เขียนระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ดูเพิ่มเติมที่การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นออนไลน์
การค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาในกรณีทั่วไปเป็นงานที่ค่อนข้างยาก อย่างไรก็ตาม มีสมการประเภทหนึ่งที่สามารถแก้ปัญหานี้ได้อย่างง่ายดาย เริ่มกันที่คลาสนี้
(*)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (*) เรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้เป็นค่าคงที่ นั่นคือ a i (x)=const จากนั้นสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน L(y)=0 จะมีรูปแบบ
. (6)
คำตอบของสมการ (6) จะถูกค้นหาในรูปแบบ y = e rx . จากนั้น y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx แทนค่า (6) เราได้

เนื่องจาก e rx ไม่ได้หายไปไหนเลย
. (7)
สมการ (7) เรียกว่าสมการคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท.ฟังก์ชัน y = e rx เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (6) ก็ต่อเมื่อ r เป็นรากของสมการคุณลักษณะ (7)
กรณีดังต่อไปนี้ได้
1. รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะนั้นเป็นของจริงและแตกต่างกัน มาแทนพวกเขากันเถอะ r 1 ,r 2 ,…,r n . จากนั้นเราจะได้คำตอบที่แตกต่างกัน n วิธี
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
สมการ (6) ให้เราพิสูจน์ว่าผลลัพธ์ของระบบการแก้ปัญหาเป็นอิสระเชิงเส้น พิจารณาปัจจัย Vronsky

.

ตัวประกอบ e (r 1+ r 2+..+ rn) x ทางด้านขวาของ W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) ไม่หายไปไหน ดังนั้นจึงยังคงแสดงให้เห็นว่าปัจจัยที่สอง (ดีเทอร์มีแนนต์) ไม่เท่ากับศูนย์ สมมติว่า

จากนั้นแถวของดีเทอร์มิแนนต์นี้จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เช่น มีจำนวน α 1 , α 2 , …, α n เช่นนั้น
ดังนั้นเราจึงได้รับว่า r i , i = 1,2,..,n เป็น n รากที่แตกต่างกันของพหุนามดีกรีที่ (n-1) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ทางด้านขวา W(er 1 x, er 2 x,…, e rnx) ไม่เท่ากับศูนย์และระบบของฟังก์ชัน (8) เป็นระบบพื้นฐานของการแก้สมการ (6) ในกรณี เมื่อรากของสมการคุณลักษณะต่างกัน

ตัวอย่าง. สำหรับสมการ y""-3y" + 2y=0 รากของสมการคุณลักษณะ r 2 - 3r + 2 = 0 เท่ากับ r 1 = 1, r 2 = 2 (หารากได้จากบริการค้นหา การเลือกปฏิบัติ) ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาคือฟังก์ชัน y 1 = e x , y 2 = e 2 x และคำตอบทั่วไปจะเขียนเป็น y = C 1 e x + C 2 e 2 x .
2. สมการคุณลักษณะมีรากหลายตัว สมมติว่า r 1 มีจำนวนคูณ α และอื่น ๆ ทั้งหมดแตกต่างกัน พิจารณากรณีแรก r 1 = 0 จากนั้นสมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ

เนื่องจากไม่เช่นนั้นมันจะไม่เป็นรูทของ α หลายหลาก ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์จึงมีรูปแบบ
นั่นคือ มันไม่มีอนุพันธ์ของลำดับที่ต่ำกว่า α สมการนี้เป็นที่พอใจของฟังก์ชันทั้งหมดที่มีอนุพันธ์ของลำดับ α ขึ้นไปมีค่าเท่ากับศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามทั้งหมดของดีกรีที่ α-1 มากที่สุดเป็นเช่นนี้ ตัวอย่างเช่น
1, x, x 2 , …, x α-1 (9)
ให้เราแสดงว่าระบบนี้เป็นอิสระเชิงเส้น เราได้รวบรวมปัจจัย Wronsky ของระบบฟังก์ชันนี้

.

นี่คือดีเทอร์มีแนนต์รูปสามเหลี่ยมที่มีรายการไม่เป็นศูนย์ในแนวทแยงหลัก ดังนั้นจึงแตกต่างจากศูนย์ซึ่งพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบฟังก์ชัน (9) โปรดทราบว่าในตัวอย่างหนึ่งของส่วนก่อนหน้านี้ เราได้พิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบฟังก์ชัน (9) ด้วยวิธีที่ต่างออกไป ให้รากของสมการคุณลักษณะของการคูณ α เป็นจำนวน r 1 ≠0 ให้เราเปลี่ยน y = ze r 1 x = z exp(r 1 x) ในสมการ (6) L(y) = 0 แล้ว

และอื่น ๆ การแทนที่ค่าอนุพันธ์ที่ได้รับลงในสมการเดิมเราจะได้สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นอีกครั้งพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(0)
ด้วยสมการคุณลักษณะ
. (1)
โปรดทราบว่าหาก k เป็นรากของสมการคุณลักษณะ (1) ดังนั้น z = e kx คือคำตอบของสมการ (0) และ y = ye r 1 x = e (k + r 1) x คือคำตอบของสมการ (6). จากนั้น r=k+r 1 คือรากของสมการคุณลักษณะ (7) ในทางกลับกัน สมการ (6) สามารถหาได้จากสมการ (0) โดยการแทนที่แบบผกผัน z = ye - r 1 x ดังนั้นแต่ละรากของสมการคุณลักษณะ (7) จึงสอดคล้องกับราก k = r - r 1 ของ สมการคุณลักษณะ (1) ดังนั้น ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งจึงถูกสร้างขึ้นระหว่างรากของสมการลักษณะเฉพาะ (7) และ (1) และรากที่แตกต่างกันของสมการหนึ่งจะสอดคล้องกับรากของอีกสมการหนึ่งที่แตกต่างกัน เนื่องจาก r = r 1 เป็นรากของการคูณ α ของสมการ (7) สมการ (1) จึงมี k=0 รากของการคูณ α ดังที่ได้พิสูจน์ไปแล้วก่อนหน้านี้ สมการ (0) มีคำตอบอิสระเชิงเส้น α
ซึ่งสอดคล้องกับโซลูชันอิสระเชิงเส้นของ α
(2)
สมการ (7) การแนบระบบผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา (2) เข้ากับโซลูชัน n-α ที่สอดคล้องกับรากที่เหลือของสมการคุณลักษณะ เราได้รับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ในกรณีของหลายราก
ตัวอย่าง. สำหรับสมการ y"""-4y""+4y" = 0 สมการคุณลักษณะเฉพาะ r 3 -4r 2 + 4r = 0 มีราก r=0 ของการคูณ 1 และ r=2 ของการคูณ 2 เนื่องจาก r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 ดังนั้นระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเดิมคือระบบของฟังก์ชัน y 1 = 1, y 2 = e 2 x , y 3 = xe 2 x , และคำตอบทั่วไป คือ y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. ในบรรดารากของสมการคุณลักษณะมีรากที่ซับซ้อน สามารถพิจารณาวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้ แต่สำหรับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงสิ่งนี้ไม่สะดวก ให้เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาจริงที่สอดคล้องกับรากที่ซับซ้อน เนื่องจากเรากำลังพิจารณาสมการที่มีสัมประสิทธิ์จริง ดังนั้นสำหรับแต่ละรูทเชิงซ้อน r j = a + bi ของการคูณ α ของสมการลักษณะพิเศษ จำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อน r k = a-bi จึงเป็นรากของหลายหลาก α ของสมการนี้ด้วย คู่ของคำตอบที่สอดคล้องกับรากเหล่านี้คือฟังก์ชัน และ , l=0,1,.., α-1 ให้พิจารณาผลรวมเชิงเส้นแทนคำตอบเหล่านี้ r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2 ดังนั้นระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเดิมคือระบบของฟังก์ชัน y 1 = cos2x, y 2 = sin2x , y 3 = xcos2x, y 4 = xsin2x และคำตอบทั่วไปมีรูปแบบ y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองมีรูปแบบ

คำนิยาม.คำตอบทั่วไปของสมการอันดับสองคือฟังก์ชันที่สำหรับค่าใดๆ จะเป็นคำตอบของสมการนี้

คำนิยาม.สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของอันดับสองเรียกว่าสมการ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ และ เป็นค่าคงที่ เช่น ไม่ขึ้นกับ สมการนี้เรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และเขียนได้ดังนี้ .

สมการ จะเรียกว่าสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

คำนิยาม.สมการ ซึ่งได้มาจากสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นโดยการแทนที่ฟังก์ชันด้วยเอกภาพและและด้วยกำลังที่สอดคล้องกัน เรียกว่า สมการคุณลักษณะ

เป็นที่ทราบกันดีว่าสมการกำลังสองมีคำตอบที่ขึ้นอยู่กับการจำแนก: , เช่น. ถ้า แล้วราก และ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน ถ้า แล้ว . ถ้า เช่น จากนั้นจะเป็นจำนวนจินตภาพ และราก และจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ในกรณีนี้ เราจะแสดงว่า

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ

วิธีการแก้.ความแตกต่างของสมการกำลังสองนี้จึงเป็น

ให้เราแสดงวิธีหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์อันดับสองจากรูปรากของสมการคุณลักษณะ

หากเป็นรากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะ .

หากรากของสมการคุณลักษณะเหมือนกัน นั่นคือ จากนั้นสูตรจะหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ หรือ .

ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่ซับซ้อน ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ

วิธีการแก้.มาสร้างสมการคุณลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด: . รากของมันถูกต้องและแตกต่าง ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป .

ระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎีบทเกี่ยวกับโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น ในส่วนนี้เราจะพิสูจน์ว่าชุดใดๆ น โซลูชันอิสระเชิงเส้นของมัน
เดฟ 14.5.5.1. ระบบการตัดสินใจพื้นฐาน. ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น น ลำดับที่ เป็นระบบอิสระเชิงเส้นใดๆ ย 1 (x ), ย 2 (x ), …, วาย เอ็น (x ) ของเขา น การตัดสินใจส่วนตัว
ทฤษฎีบท 14.5.5.1.1 เรื่องโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น. การตัดสินใจร่วมกัน ย (x ) ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นคือการรวมฟังก์ชันเชิงเส้นจากระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการนี้:
ย (x ) = ค 1 ย 1 (x ) + ค 2 ย 2 (x ) + …+ ซี เอ็น วาย เอ็น (x ).
เอกสารใน. อนุญาต ย 1 (x ), ย 2 (x ), …, วาย เอ็น (x ) เป็นระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าโซลูชันใดโดยเฉพาะ ย โช ( x ) ของสมการนี้มีอยู่ในสูตร ย (x ) = ค 1 ย 1 (x ) + ค 2 ย 2 (x ) + …+ ซี เอ็น วาย เอ็น (x ) สำหรับค่าคงที่บางชุด ค 1 , ค 2 , …, ซี เอ็น . นำจุดใดๆ มาคำนวณตัวเลข ณ จุดนี้ แล้วหาค่าคงที่ ค 1 , ค 2 , …, ซี เอ็น เป็นวิธีแก้ปัญหาระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เอกพันธ์

โซลูชันดังกล่าวมีอยู่และไม่เหมือนใคร เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบนี้คือ พิจารณาชุดค่าผสมเชิงเส้น ย (x ) = ค 1 ย 1 (x ) + ค 2 ย 2 (x ) + …+ ซี เอ็น วาย เอ็น (x ) ฟังก์ชันจากระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาด้วยค่าคงที่เหล่านี้ ค 1 , ค 2 , …, ซี เอ็น และเปรียบเทียบกับฟังก์ชัน ย โช ( x ). ฟังก์ชั่น ย (x ) และ ย โช ( x ) เป็นไปตามสมการเดียวกันและเงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกันที่จุด x 0 ดังนั้น ด้วยเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา Cauchy จึงตรงกัน: ย โช ( x ) = ค 1 ย 1 (x ) + ค 2 ย 2 (x ) + … + ซี เอ็น วาย เอ็น (x ). ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
จากทฤษฎีบทนี้มิติของพื้นที่เชิงเส้นของการแก้ปัญหาบางส่วนของสมการเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องไม่เกิน น . ยังคงต้องพิสูจน์ว่ามิตินี้เป็นอย่างน้อย น .
ทฤษฎีบท 14.5.5.1.2 ว่าด้วยการมีอยู่ของระบบพื้นฐานของคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเอกพันธ์เชิงเส้นใดๆ น คำสั่งที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องมีระบบการแก้ปัญหาพื้นฐานเช่น ระบบจาก น สารละลายอิสระเชิงเส้น
เอกสารใน. ใช้ดีเทอร์มีแนนต์ที่เป็นตัวเลขใดๆ น -ลำดับที่ ไม่เท่ากับศูนย์

เราจะขัดเกลาเทคนิคต่อไป การแปลงเบื้องต้นบน ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น.
ตามวรรคแรก เนื้อหาอาจดูน่าเบื่อและธรรมดา แต่ความประทับใจนี้หลอกลวง นอกจากการพัฒนาเทคนิคเพิ่มเติมแล้ว ยังมีข้อมูลใหม่ๆ มากมาย ดังนั้นโปรดอย่าละเลยตัวอย่างในบทความนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คืออะไร?

คำตอบแนะนำตัวเอง ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเนื้อเดียวกันหากเทอมอิสระ ทุกคนสมการของระบบเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ค่อนข้างชัดเจนว่า ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะสอดคล้องกันเสมอนั่นคือมันมีทางออกเสมอ และประการแรกที่เรียกว่า เล็กน้อยวิธีการแก้ . เล็กน้อย สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจความหมายของคำคุณศัพท์เลยหมายถึง bespontovoe แน่นอนว่าไม่ใช่ในเชิงวิชาการ แต่อย่างชาญฉลาด =) ... ทำไมต้องเอาชนะพุ่มไม้มาดูกันว่าระบบนี้มีวิธีแก้ไขอื่น ๆ หรือไม่:

ตัวอย่างที่ 1

วิธีการแก้: เพื่อแก้ปัญหาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจำเป็นต้องเขียน เมทริกซ์ระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงขั้นต้นทำให้เป็นรูปแบบขั้นบันได โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องเขียนแถบแนวตั้งและคอลัมน์ศูนย์ของสมาชิกอิสระที่นี่ ท้ายที่สุด ไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับเลขศูนย์ มันก็จะยังคงเป็นศูนย์:

(1) แถวแรกถูกเพิ่มในแถวที่สอง คูณด้วย -2 บรรทัดแรกถูกเพิ่มในบรรทัดที่สาม คูณด้วย -3

(2) เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม คูณด้วย -1

การหารแถวที่สามด้วย 3 นั้นไม่สมเหตุสมผล

อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้นทำให้ได้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เทียบเท่ากัน และการใช้การย้ายย้อนกลับของวิธี Gaussian ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าโซลูชันนั้นไม่เหมือนใคร

ตอบ:

ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่ชัดเจน: ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันมี วิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยเท่านั้น, ถ้า อันดับเมทริกซ์ของระบบ(ในกรณีนี้คือ 3) เท่ากับจำนวนตัวแปร (ในกรณีนี้คือ 3 ชิ้น)

เราอุ่นเครื่องและปรับคลื่นวิทยุของเราให้เป็นคลื่นแห่งการเปลี่ยนแปลงขั้นต้น:

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

ในการแก้ไขอัลกอริทึมในที่สุด เรามาวิเคราะห์งานสุดท้ายกัน:

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบเอกพันธ์ เขียนคำตอบในรูปเวกเตอร์

วิธีการแก้: เราเขียนเมทริกซ์ของระบบและใช้การแปลงเบื้องต้น เรานำมาเป็นรูปแบบขั้นบันได:

(1) เครื่องหมายของบรรทัดแรกมีการเปลี่ยนแปลง ฉันดึงความสนใจไปที่เทคนิคที่พบซ้ำ ๆ ซึ่งช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของการกระทำต่อไปนี้ได้อย่างมาก

(1) เพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่ 2 และ 3 บรรทัดแรกคูณด้วย 2 ถูกเพิ่มในบรรทัดที่ 4

(3) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน สองบรรทัดถูกลบออก

เป็นผลให้ได้รับเมทริกซ์ขั้นตอนมาตรฐานและการแก้ปัญหาจะดำเนินต่อไปตามเส้นทางที่มีลายนูน:

– ตัวแปรพื้นฐาน
เป็นตัวแปรอิสระ

เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ จากสมการที่ 2:

- แทนที่ในสมการที่ 1:

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

เนื่องจากมีตัวแปรอิสระสามตัวในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ระบบพื้นฐานจึงมีเวกเตอร์สามตัว

ลองแทนค่าสามค่า ลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและรับเวกเตอร์ที่มีพิกัดตรงตามแต่ละสมการของระบบเอกพันธ์ และอีกครั้งฉันขอย้ำอีกครั้งว่าควรตรวจสอบเวกเตอร์ที่ได้รับแต่ละตัว - ใช้เวลาไม่นานนัก แต่จะช่วยประหยัดข้อผิดพลาดได้ร้อยเปอร์เซ็นต์

สำหรับค่าสามเท่า หาเวกเตอร์

และสุดท้ายสำหรับสาม เราได้เวกเตอร์ที่สาม:

ตอบ: , ที่ไหน

ผู้ที่ต้องการหลีกเลี่ยงค่าเศษส่วนอาจพิจารณาแฝดสาม และรับคำตอบในรูปแบบที่เทียบเท่า:

พูดถึงเศษส่วน ลองดูเมทริกซ์ที่ได้รับในโจทย์ และถามคำถาม - เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้การแก้ปัญหาเพิ่มเติมง่ายขึ้น? ท้ายที่สุด ที่นี่เราได้แสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของเศษส่วนก่อน จากนั้นจึงแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของเศษส่วน และฉันต้องบอกว่ากระบวนการนี้ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดและไม่น่าพอใจที่สุด

ทางออกที่สอง:

ความคิดที่จะลอง เลือกตัวแปรพื้นฐานอื่นๆ. ลองดูที่เมทริกซ์และสังเกตสองอันในคอลัมน์ที่สาม เหตุใดจึงไม่ได้รับศูนย์ที่ด้านบน มาทำการแปลงเบื้องต้นกันอีกหนึ่งรายการ:

LDE ของลำดับที่ n - ur-e เชิงเส้นเทียบกับ f-ii ที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของมัน และมีรูปแบบ

ก 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x )

φ(x)≠0- LNO

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ur-e ในรูปแบบที่ลดลง

*ถ้า y 1 เป็นคำตอบของ LOU แล้ว С y 1 โดยที่ С เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ จะเป็นคำตอบของสมการนี้ด้วย

*ผลรวม y 1 + y 2 ของคำตอบของ LOU คือคำตอบของสมการเดียวกัน

1 0 การรวมเชิงเส้นกับค่าคงที่ตามอำเภอใจของสารละลาย y 1 , y 2 ,…, y m LOU เป็นคำตอบของสมการเดียวกัน

*ถ้า LOU (1) ที่มีสัมประสิทธิ์จริง p i (x)∈R มีคำตอบเชิงซ้อน y(x)=u(x)+iv(x) ดังนั้น ส่วนจริงของคำตอบนี้ Rey=u(x) และจินตภาพของมัน ส่วน Imy= v(x) แยกกันเป็นคำตอบของสมการเดียวกัน

เรียกฟังก์ชัน y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นในบางช่วงเวลา (a,b) ถ้ามีค่าคงที่ a1,a2,…,an≠0 ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมดของช่วงเวลา (a,b) เอกลักษณ์ a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x )+…+a n -1 (x)y'+a n y n (x)=0 หากฟังก์ชันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น อย่างน้อยหนึ่งในนั้นก็คือผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันอื่นๆ

ถ้าข้อมูลประจำตัวถูกต้องสำหรับ a1=a2=…=an=0 เท่านั้น ดังนั้นฟังก์ชัน y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) จะเรียกว่า อิสระเชิงเส้นในช่วง (a,b)

*ถ้าฟังก์ชัน y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นในช่วง (a,b) แล้วดีเทอร์มิแนนต์ (ของ Vronsky)

ว(x)=ว= = 0 ในช่วงเวลานี้

เงื่อนไขของความเป็นอิสระเชิงเส้นของการแก้ปัญหาเฉพาะ:

* ถ้าอิสระเชิงเส้น f-ii y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) เป็นคำตอบของ LOU (1) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ p i (x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา (a,b) จากนั้นคอมไพล์ สำหรับตัวกำหนด Wronsky ไม่เท่ากับ 0 ที่จุดใดๆ ของช่วงเวลา (a,b)

คำตอบทั่วไปของ LSE (1) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ p i (x) (i=1,2,…,n) ต่อเนื่องบน (a,b) คือผลรวมเชิงเส้นของ y oo = n ที่ไม่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นในช่วงเวลาเดียวกันของคำตอบบางส่วน y ฉันมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยพลการ

1 0 จำนวนสูงสุดของโซลูชันอิสระเชิงเส้นของ LOE เท่ากับลำดับของมัน

FSR-โซลูชันบางส่วนอิสระ n รายการใดๆ ของ LOU ลำดับที่ n

*y บน \u003d y oo + y h

โครงสร้างของคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้น วิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการสำหรับการหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

LIDE ได้รับการแก้ไขโดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ ขั้นแรกให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งมีด้านซ้ายเหมือนกับสมการเอกพันธ์ดั้งเดิม จากนั้นคำตอบของสมการจะอยู่ในรูปแบบ เช่น สันนิษฐานว่าค่าคงที่ C เป็นตัวแปรอิสระ f-mi x ในกรณีนี้ สามารถหา f- และ C 1 (x) และ C 2 (x) เป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบได้

คุณ เขา \u003d u oo + u ch

จำนวนคำตอบสูงสุดของสมการจะเท่ากับลำดับของมัน

การตัดสินใจร่วมกัน

44*. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ พหุนามลักษณะเฉพาะและสมการคุณลักษณะ. การสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาในกรณีของรากอย่างง่ายของพหุนามลักษณะเฉพาะ (จริงและซับซ้อน)

สมการในรูปแบบ y "+p (x) y \u003d f (x) โดยที่ p (x), f (x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา a

ถ้า f(x)=0 สมการนี้เรียกว่าเอกพันธ์

ถ้าในสมการ LO y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

ค่าสัมประสิทธิ์ pi ทั้งหมดเป็นค่าคงที่ ดังนั้นคำตอบเฉพาะของมันสามารถพบได้ในรูปแบบ y=e kx โดยที่ k เป็นค่าคงที่ การแทนที่ใน ur-e

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

การลดลงของ e kx เราได้รับสิ่งที่เรียกว่า ลักษณะเฉพาะ

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

ur-e ของระดับที่ n นี้กำหนดค่าเหล่านั้นของ k ซึ่ง y= e kx เป็นคำตอบของ DE ดั้งเดิมที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

1.k 1 , k 2 ,…,k n เป็นจริงและแตกต่าง

FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 \u003d k 2 \u003d ... \u003d km \u003d k ~,

k ~ - m -fold root ของ ur-i และรูท n - m อื่น ๆ ทั้งหมดนั้นแตกต่างกัน

FSR: e k ~ x ,x ek ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , ek n x

คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ปัญหาของคุณได้อย่างละเอียด !!!

เพื่อทำความเข้าใจว่าคืออะไร ระบบการตัดสินใจพื้นฐานคุณสามารถดูวิดีโอสอนสำหรับตัวอย่างเดียวกันได้โดยคลิก ตอนนี้เรามาดูคำอธิบายของงานที่จำเป็นทั้งหมด สิ่งนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของปัญหานี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น

จะหาระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

ยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

ลองหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นนี้กัน เริ่มต้นด้วยเรา เขียนเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบ

ลองแปลงเมทริกซ์นี้เป็นรูปสามเหลี่ยมกันเราเขียนบรรทัดแรกใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(11)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ ในการสร้างศูนย์แทนที่องค์ประกอบ $a_(21)$ คุณต้องลบบรรทัดแรกออกจากบรรทัดที่สอง และเขียนความแตกต่างในบรรทัดที่สอง ในการสร้างศูนย์แทนที่องค์ประกอบ $a_(31)$ คุณต้องลบตัวแรกออกจากแถวที่สามและเขียนผลต่างในแถวที่สาม ในการสร้างศูนย์แทนที่องค์ประกอบ $a_(41)$ คุณต้องลบตัวแรกคูณด้วย 2 จากบรรทัดที่สี่และเขียนความแตกต่างในบรรทัดที่สี่ ในการสร้างศูนย์แทนที่องค์ประกอบ $a_(31)$ ให้ลบตัวแรกคูณด้วย 2 จากบรรทัดที่ห้าและเขียนความแตกต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเขียนบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(22)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ ในการสร้างศูนย์ในตำแหน่งขององค์ประกอบ $a_(32)$ จำเป็นต้องลบแถวที่สองคูณด้วย 2 จากแถวที่สามและเขียนผลต่างในแถวที่สาม ในการสร้างศูนย์ในตำแหน่งขององค์ประกอบ $a_(42)$ จำเป็นต้องลบส่วนที่สองคูณด้วย 2 จากบรรทัดที่สี่และเขียนความแตกต่างในบรรทัดที่สี่ ในการสร้างศูนย์แทนที่องค์ประกอบ $a_(52)$ ให้ลบส่วนที่สองคูณด้วย 3 จากบรรทัดที่ห้าและเขียนความแตกต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเห็นอย่างนั้น สามบรรทัดสุดท้ายเหมือนกันดังนั้น หากคุณลบหนึ่งในสามออกจากสี่และห้า พวกมันจะกลายเป็นศูนย์

สำหรับเมทริกซ์นี้ เขียนระบบสมการใหม่.

เราเห็นว่าเรามีสมการอิสระเชิงเส้นเพียงสามสมการ และสมการที่ไม่รู้จักอีกห้าสมการ ดังนั้นระบบพื้นฐานของคำตอบจะประกอบด้วยเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นเรา ย้ายที่ไม่รู้จักสองตัวสุดท้ายไปทางขวา.

ตอนนี้เราเริ่มแสดงสิ่งที่ไม่รู้ที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งที่อยู่ทางด้านขวา เราเริ่มด้วยสมการสุดท้าย ขั้นแรกแสดง $x_3$ จากนั้นแทนผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการที่สองและแสดง $x_2$ จากนั้นลงในสมการแรก และที่นี่เราจะแสดง $x_1$ ดังนั้นเราจึงแสดงสิ่งที่ไม่รู้ทั้งหมดที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งที่ไม่รู้ที่อยู่ทางด้านขวา

หลังจากนั้น แทนที่จะเป็น $x_4$ และ $x_5$ คุณสามารถแทนจำนวนใดๆ แล้วหา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ ตัวเลขทั้งห้าแต่ละตัวจะเป็นรากของระบบสมการดั้งเดิมของเรา เพื่อหาเวกเตอร์ที่อยู่ใน เอฟเอสอาร์เราต้องแทน 1 แทน $x_4$ และแทน 0 แทน $x_5$ หา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ แล้วในทางกลับกัน $x_4=0$ และ $x_5=1$