เขียนสมการการแกว่งของลูกตุ้มสปริง การแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มสปริง

(1.7.1)

หากลูกบอลถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุลด้วยระยะห่าง x ดังนั้นการยืดตัวของสปริงจะเท่ากับ Δl 0 + x จากนั้นแรงที่เกิดขึ้นจะได้ค่า:

เมื่อคำนึงถึงสภาวะสมดุล (1.7.1) เราได้รับ:

เครื่องหมายลบแสดงว่าการกระจัดและแรงอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม

แรงยืดหยุ่น f มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. เป็นสัดส่วนกับการกระจัดของลูกบอลจากตำแหน่งสมดุล
2. มันจะมุ่งสู่ตำแหน่งสมดุลเสมอ

เพื่อแจ้งระบบออฟเซ็ต x คุณต้องทำตรงกันข้าม แรงยืดหยุ่นงาน:

นี้ อยู่ระหว่างดำเนินการเพื่อสร้างสำรอง พลังงานศักย์ระบบ:

ภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น ลูกบอลจะเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งสมดุลด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นพลังงานศักย์ของระบบจะลดลง แต่พลังงานจลน์จะเพิ่มขึ้น (เราละเลยมวลของสปริง) เมื่อถึงตำแหน่งสมดุลแล้ว ลูกบอลจะเคลื่อนที่ต่อไปตามความเฉื่อย นี่คือการเคลื่อนไหวช้าและจะหยุดเมื่อพลังงานจลน์ถูกแปลงเป็นพลังงานศักย์โดยสมบูรณ์ จากนั้นกระบวนการเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นเมื่อลูกบอลเคลื่อนที่เข้ามา ทิศทางย้อนกลับ- หากไม่มีแรงเสียดทานในระบบ ลูกบอลจะแกว่งไปเรื่อย ๆ

สมการของกฎข้อที่สองของนิวตันในกรณีนี้คือ:

ลองแปลงสมการดังนี้:

ด้วยการแนะนำสัญกรณ์ เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง:

มันง่ายที่จะตรวจสอบโดยการทดแทนโดยตรงว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการ (1.7.8) มีรูปแบบ:

โดยที่ a คือแอมพลิจูดและ φ คือเฟสเริ่มต้นของการสั่น - ค่าคงที่- จึงมีความผันผวน ลูกตุ้มสปริงเป็นฮาร์มอนิก (รูปที่ 1.7.2)

ข้าว. 1.7.2. การสั่นแบบฮาร์มอนิก

เนื่องจากความเป็นคาบของโคไซน์ สถานะต่างๆ ของระบบการสั่นจึงเกิดขึ้นซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (ช่วงการสั่น) T ซึ่งในระหว่างนั้นระยะการสั่นจะเพิ่มขึ้น 2π คุณสามารถคำนวณระยะเวลาโดยใช้ความเท่าเทียมกัน:

จากนี้ไป:

จำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลาเรียกว่าความถี่:

หน่วยความถี่คือความถี่ของการสั่นซึ่งมีคาบ 1 วินาที หน่วยนี้เรียกว่า 1 Hz

จาก (1.7.11) เป็นไปตามนั้น:

ดังนั้น ω 0 คือจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นใน 2π วินาที ปริมาณ ω 0 เรียกว่าความถี่วงกลมหรือวงจร การใช้ (1.7.12) และ (1.7.13) เราเขียน:

เมื่อสร้างความแตกต่าง () ตามเวลา เราจะได้นิพจน์สำหรับความเร็วของลูกบอล:

จาก (1.7.15) ความเร็วจะเปลี่ยนไปตามกฎฮาร์มอนิกและทำให้การกระจัดของเฟสก้าวหน้าไป 1/2π การสร้างความแตกต่าง (1.7.15) เราได้รับการเร่งความเร็ว:

1.7.2. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เรียกว่าระบบอุดมคติที่ประกอบด้วยระบบที่ขยายไม่ได้ ด้ายไร้น้ำหนักซึ่งเป็นที่ที่วัตถุถูกแขวนไว้ มวลทั้งหมดมีความเข้มข้นอยู่ที่จุดหนึ่ง

การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลนั้นมีลักษณะเป็นมุม φ ที่เกิดจากเกลียวในแนวตั้ง (รูปที่ 1.7.3)

ข้าว. 1.7.3. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุล แรงบิดซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:

ให้เราเขียนสมการไดนามิกของลูกตุ้ม การเคลื่อนไหวแบบหมุนโดยคำนึงว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของมันมีค่าเท่ากับ มล. 2:

สมการนี้สามารถลดลงได้ในรูปแบบ:

จำกัดตัวเราเองไว้เฉพาะในกรณีของการสั่นเล็กน้อย sinφ µ φ และแนะนำสัญกรณ์:

สมการ (1.7.19) สามารถแสดงได้ดังนี้:

ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับสมการการแกว่งของลูกตุ้มสปริง ดังนั้นสารละลายของมันจะเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิก:

จาก (1.7.20) เป็นไปตามความถี่ไซคลิกของการแกว่ง ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความยาวและความเร่งของมัน ฤดูใบไม้ร่วงฟรี- การใช้สูตรสำหรับคาบการสั่น () และ (1.7.20) เราได้รับความสัมพันธ์ที่รู้จักกันดี:

1.7.3. ลูกตุ้มทางกายภาพ

เรียกว่าลูกตุ้มทางกายภาพ แข็ง,สามารถแกว่งไปมาได้ จุดคงที่โดยไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อย ในตำแหน่งสมดุล จุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้ม C จะอยู่ใต้จุดแขวนลอย O ในแนวตั้งเดียวกัน (รูปที่ 1.7.4)

ข้าว. 1.7.4. ลูกตุ้มทางกายภาพ

เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุม φ โมเมนต์การหมุนจะเกิดขึ้น ซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:

โดยที่ m คือมวลของลูกตุ้ม l คือระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยและจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้ม

ให้เราเขียนสมการสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของลูกตุ้มโดยคำนึงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยของมันเท่ากับ I:

สำหรับการสั่นสะเทือนเล็กน้อย sinφ µ φ จากนั้นจึงแนะนำสัญกรณ์:

ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันในรูปแบบสมการการแกว่งของลูกตุ้มสปริงด้วย จากสมการ (1.7.27) และ (1.7.26) เป็นไปตามนั้นสำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อย ลูกตุ้มทางกายภาพจากตำแหน่งสมดุลจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกซึ่งความถี่ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้มโมเมนต์ความเฉื่อยและระยะห่างระหว่างแกนหมุนและจุดศูนย์กลางของความเฉื่อย การใช้ (1.7.26) คุณสามารถคำนวณระยะเวลาการแกว่งได้:

เมื่อเปรียบเทียบสูตร (1.7.28) และ () เราจะได้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มีความยาว:

จะมีคาบการสั่นเท่ากับลูกตุ้มทางกายภาพที่พิจารณา เรียกว่าปริมาณ (1.7.29) ความยาวลดลงลูกตุ้มทางกายภาพ ดังนั้น ความยาวที่ลดลงของลูกตุ้มทางกายภาพคือความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีคาบการสั่นเท่ากับคาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพที่กำหนด

เรียกว่าจุดบนเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดแขวนกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยซึ่งอยู่ห่างจากแกนหมุนที่มีความยาวลดลง ศูนย์สวิงลูกตุ้มทางกายภาพ ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มทางกายภาพมีค่าเท่ากับ:

โดยที่ I 0 คือโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับศูนย์กลางของความเฉื่อย แทนที่ (1.7.30) ลงใน (1.7.29) เราจะได้:

ดังนั้น ความยาวที่ลดลงจะมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้มเสมอ เพื่อให้จุดแขวนลอยและจุดศูนย์กลางวงสวิงอยู่ตามแนว ด้านที่แตกต่างกันจากจุดศูนย์กลางความเฉื่อย

1.7.4. พลังงานของการสั่นฮาร์มอนิก

เมื่อการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกจะเกิดการเปลี่ยนแปลงซึ่งกันและกันเป็นระยะ พลังงานจลน์ตัวสั่น E k และพลังงานศักย์ E p เนื่องจากการกระทำของแรงกึ่งยืดหยุ่น พลังงานเหล่านี้ประกอบเป็นพลังงานทั้งหมด E ของระบบออสซิลลาทอรี:

มาเขียนนิพจน์สุดท้ายกัน

แต่ k = mω 2 ดังนั้นเราจึงได้นิพจน์สำหรับ พลังงานทั้งหมดร่างกายสั่น

ดังนั้น พลังงานรวมของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจึงคงที่และเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูดและกำลังสองของความถี่วงกลมของการสั่นสะเทือน

1.7.5. การสั่นแบบหน่วง .

เมื่อศึกษาการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก แรงเสียดทานและความต้านทานที่มีอยู่ ระบบจริง- การกระทำของแรงเหล่านี้เปลี่ยนลักษณะของการเคลื่อนไหวอย่างมีนัยสำคัญ การสั่นจะกลายเป็น ซีดจาง.

หากในระบบ นอกเหนือจากแรงกึ่งยืดหยุ่นแล้ว ยังมีแรงต้านทานของตัวกลาง (แรงเสียดทาน) กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนได้ดังนี้:

โดยที่ r คือค่าสัมประสิทธิ์การเสียดสีที่แสดงคุณสมบัติของตัวกลางในการต้านทานการเคลื่อนไหว ลองแทน (1.7.34b) ลงใน (1.7.34a):

กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงในรูปที่ 1.7.5 โดยมีเส้นโค้งทึบ 1 และเส้นประ 2 แสดงการเปลี่ยนแปลงของแอมพลิจูด:

โดยมีแรงเสียดทานน้อยมาก คาบของการสั่นแบบหน่วงจะใกล้เคียงกับคาบของการแกว่งอิสระที่ไม่มีการหน่วง (1.7.35.b)

อัตราการลดลงของแอมพลิจูดของการแกว่งจะถูกกำหนด ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน: ยิ่งค่า β มากเท่าใด ผลการยับยั้งของตัวกลางก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้น และแอมพลิจูดจะลดลงเร็วขึ้นเท่านั้น ในทางปฏิบัติ ระดับของการลดทอนมักจะมีลักษณะเฉพาะ การลดลงของการหน่วงลอการิทึมซึ่งหมายความว่าค่านี้เท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของอัตราส่วนของแอมพลิจูดการแกว่งต่อเนื่องสองค่า คั่นด้วยช่วงเวลาเท่ากับคาบการสั่น:

;

ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงและการลดลงแบบลอการิทึมจึงมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ที่ค่อนข้างง่าย:

ด้วยการหน่วงที่รุนแรง สูตร (1.7.37) แสดงว่าคาบการสั่นเป็นปริมาณจินตภาพ การเคลื่อนไหวในกรณีนี้ได้ถูกเรียกไปแล้ว เป็นระยะๆ- กราฟของการเคลื่อนที่แบบเป็นระยะแสดงไว้ในรูปที่ 1 1.7.6. เรียกว่าการสั่นแบบไม่แดมป์และการสั่นแบบแดมป์ เป็นเจ้าของ หรือ ฟรี- เกิดขึ้นเนื่องจากการกระจัดครั้งแรกหรือ ความเร็วเริ่มต้นและจะดำเนินการในกรณีที่ไม่มี อิทธิพลภายนอกเนื่องจากพลังงานสะสมเริ่มแรก

1.7.6. แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ เสียงก้อง .

บังคับ การสั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นในระบบที่มีส่วนร่วม แรงภายนอกแตกต่างกันไปตามกฎหมายเป็นระยะ

ให้เราสมมติว่าจุดวัสดุ นอกเหนือจากแรงกึ่งยืดหยุ่นและแรงเสียดทานแล้ว ยังถูกกระทำโดยแรงผลักดันภายนอก

,

โดยที่ F 0 - แอมพลิจูด; ω - ความถี่วงกลมของการแกว่งของแรงผลักดัน มาสร้างสมการเชิงอนุพันธ์กัน (กฎข้อที่สองของนิวตัน):

,

แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ (1.7.39) จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแอมพลิจูดของแรงขับเคลื่อนและมี การเสพติดที่ซับซ้อนเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงของตัวกลางและความถี่วงกลมของการสั่นตามธรรมชาติและการสั่นแบบบังคับ ถ้าให้ ω 0 และ β สำหรับระบบ แสดงว่าแอมพลิจูด การสั่นบังคับมี ค่าสูงสุดที่บางส่วน ความถี่ที่แน่นอนพลังอันทรงพลังที่เรียกว่า สะท้อน.

ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการบรรลุแอมพลิจูดสูงสุดสำหรับ ω 0 และ β ที่กำหนด เสียงก้อง.

ข้าว. 1.7.7. เสียงก้อง

ในกรณีที่ไม่มีความต้านทาน แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับที่เสียงสะท้อนจะมีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้จาก ω res =ω 0 เช่น เสียงสะท้อนในระบบที่ไม่มีการหน่วงเกิดขึ้นเมื่อความถี่ของแรงขับเคลื่อนเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติ การพึ่งพาแบบกราฟิกของแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับกับความถี่วงกลมของแรงขับเคลื่อนที่ ความหมายที่แตกต่างกันค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนจะแสดงในรูป 5.

เสียงสะท้อนทางกลสามารถเป็นได้ทั้งประโยชน์และเป็นอันตราย ผลกระทบที่เป็นอันตรายของการสั่นพ้องส่วนใหญ่เกิดจากการทำลายที่เกิดขึ้น ดังนั้นในด้านเทคโนโลยีจึงจำเป็นต้องจัดให้มีการสั่นสะเทือนที่แตกต่างกัน เหตุการณ์ที่เป็นไปได้สภาพที่สะท้อน มิฉะนั้นอาจเกิดการทำลายล้างและภัยพิบัติได้ ร่างกายมักจะมีความถี่การสั่นสะเทือนตามธรรมชาติหลายความถี่ และด้วยเหตุนี้ จึงมีความถี่เรโซแนนซ์หลายความถี่ด้วย

หากค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของอวัยวะภายในของบุคคลไม่มากนักปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ที่เกิดขึ้นในอวัยวะเหล่านี้ภายใต้อิทธิพลของการสั่นสะเทือนภายนอกหรือ คลื่นเสียง, อาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าเศร้า: อวัยวะแตก, เอ็นเสียหาย ฯลฯ อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์ดังกล่าวไม่สามารถสังเกตได้จริงภายใต้อิทธิพลภายนอกในระดับปานกลาง เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของระบบชีวภาพมีขนาดค่อนข้างใหญ่ อย่างไรก็ตามปรากฏการณ์สะท้อนภายใต้อิทธิพลของภายนอก การสั่นสะเทือนทางกลเกิดขึ้นใน อวัยวะภายใน- เห็นได้ชัดว่านี่เป็นสาเหตุหนึ่งที่ทำให้เกิดผลกระทบด้านลบจากการสั่นสะเทือนและการสั่นสะเทือนแบบอินฟราเรดต่อร่างกายมนุษย์

1.7.7. การสั่นด้วยตนเอง

นอกจากนี้ยังมีระบบการสั่นที่ควบคุมการเติมพลังงานที่สูญเสียไปเป็นระยะและสามารถแกว่งได้เป็นเวลานาน

การแกว่งแบบไม่หน่วงที่มีอยู่ในระบบใด ๆ ในกรณีที่ไม่มีอิทธิพลภายนอกที่แปรผันจะถูกเรียกว่า การสั่นด้วยตนเองและระบบเอง - สั่นด้วยตนเอง

แอมพลิจูดและความถี่ของการสั่นในตัวเองนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระบบการสั่นในตัวเอง ซึ่งต่างจากการสั่นแบบบังคับตรงที่ไม่ได้ถูกกำหนดโดยอิทธิพลภายนอก

ในหลายกรณี ระบบการสั่นในตัวเองสามารถแสดงได้ด้วยองค์ประกอบหลักสามประการ (รูปที่ 1.7.8): 1) ระบบการสั่นเอง; 2) แหล่งพลังงาน 3) ตัวควบคุมการจัดหาพลังงานให้กับระบบออสซิลเลเตอร์เอง ระบบสั่นตามช่อง ข้อเสนอแนะ(รูปที่ 6) มีอิทธิพลต่อหน่วยงานกำกับดูแลโดยแจ้งหน่วยงานกำกับดูแลเกี่ยวกับสถานะของระบบนี้

ตัวอย่างคลาสสิกของระบบการสั่นในตัวเองทางกลคือนาฬิกาที่ลูกตุ้มหรือเครื่องชั่งเป็นระบบการสั่น สปริงหรือตุ้มน้ำหนักที่ยกขึ้นเป็นแหล่งพลังงาน และพุกเป็นตัวควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งกำเนิด เข้าสู่ระบบสั่น

มากมาย ระบบชีวภาพ(หัวใจ ปอด ฯลฯ) กำลังสั่นในตัวเอง ตัวอย่างทั่วไปของระบบการสั่นในตัวเองด้วยแม่เหล็กไฟฟ้าคือเครื่องกำเนิดการสั่นในตัวเอง

1.7.8. การเพิ่มการแกว่งของทิศทางเดียว

พิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวที่มีทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2)

การแกว่งของฮาร์มอนิกสามารถระบุได้โดยใช้เวกเตอร์ ซึ่งมีความยาวเท่ากับความกว้างของการแกว่ง และทิศทางจะสร้างมุมที่มีแกนที่แน่นอนเท่ากับระยะเริ่มต้นของการแกว่ง ถ้าเวกเตอร์นี้หมุนด้วย ความเร็วเชิงมุมω 0 จากนั้นเส้นโครงบนแกนที่เลือกจะเปลี่ยนไปตามกฎฮาร์มอนิก จากนี้ เราจะเลือกแกน X และแสดงการแกว่งโดยใช้เวกเตอร์ a 1 และ 2 (รูปที่ 1.7.9)

จากรูปที่ 1.7.6 เป็นไปตามนั้น

.

แบบแผนที่แสดงการแกว่งเป็นกราฟิกเป็นเวกเตอร์บนระนาบเรียกว่าแผนภาพเวกเตอร์

ตามมาจากสูตร 1.7.40 จะเกิดอะไรขึ้นถ้าผลต่างเฟสของการออสซิลเลชันทั้งสองเป็นศูนย์ แอมพลิจูดของการออสซิลเลชันที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันที่เพิ่มเข้าไป ถ้าผลต่างเฟสของการแกว่งที่เพิ่มเท่ากัน แอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ หากความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มเข้ามาไม่เท่ากัน เวกเตอร์ที่สอดคล้องกับการแกว่งเหล่านี้จะหมุนด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่ได้จะเต้นเป็นจังหวะตามขนาดและหมุนด้วยความเร็วตัวแปร ดังนั้น ผลลัพธ์ของการบวกจึงไม่ใช่การแกว่งของฮาร์มอนิก แต่เป็นกระบวนการแกว่งที่ซับซ้อน

1.7.9. เต้น

ลองพิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวในทิศทางเดียวกันซึ่งมีความถี่ต่างกันเล็กน้อย ให้ความถี่ของหนึ่งในนั้นเท่ากับ ω และความถี่ที่สอง ω+∆ω และ ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t

เมื่อบวกนิพจน์เหล่านี้และใช้สูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์ เราจะได้:

การสั่น (1.7.41) ถือได้ว่าเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่มีความถี่ ω ซึ่งแอมพลิจูดจะแตกต่างกันไปตามกฎหมาย ฟังก์ชันนี้เป็นคาบโดยมีความถี่เป็นสองเท่าของความถี่ของนิพจน์ใต้เครื่องหมายมอดุลัส เช่น ด้วยความถี่ ∆ω ดังนั้น ความถี่ของการเต้นเป็นจังหวะของแอมพลิจูด เรียกว่าความถี่บีท จะเท่ากับค่าความแตกต่างในความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้ามา

1.7.10. การบวกของการแกว่งตั้งฉากซึ่งกันและกัน (ตัวเลข Lissajous)

หากจุดวัสดุแกว่งไปมาทั้งแกน x และแกน y มันจะเคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้งที่แน่นอน ปล่อยให้ความถี่การสั่นเท่ากันและเฟสเริ่มต้นของการสั่นครั้งแรกเท่ากับศูนย์ จากนั้นเราจะเขียนสมการการสั่นในรูปแบบ:

สมการ (1.7.43) คือสมการของวงรี ซึ่งแกนของวงรีจะถูกวางทิศทางอย่างไม่มีกฎเกณฑ์สัมพันธ์กับแกนพิกัด x และ y การวางแนวของวงรีและขนาดของกึ่งแกนนั้นขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด a และ b และความแตกต่างของเฟส α ลองพิจารณากรณีพิเศษบางกรณี:

(ม=0, ±1, ±2, …) ในกรณีนี้สมการจะมีรูปแบบ

นี่คือสมการของวงรีซึ่งแกนตรงกับแกนพิกัดและแกนครึ่งของมันเท่ากับแอมพลิจูด (รูปที่ 1.7.12) ถ้าแอมพลิจูดเท่ากัน วงรีก็จะกลายเป็นวงกลม

รูปที่ 1.7.12

หากความถี่ของการแกว่งตั้งฉากซึ่งกันและกันแตกต่างกันเล็กน้อย ∆ω ก็ถือได้ว่าเป็นการแกว่งที่มีความถี่เท่ากัน แต่ด้วยความแตกต่างของเฟสที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ในกรณีนี้สามารถเขียนสมการการสั่นสะเทือนได้

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

และนิพจน์ ∆ωt+α ควรพิจารณาว่าเป็นผลต่างเฟสที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ตามเวลาตามกฎเชิงเส้น การเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นในกรณีนี้เกิดขึ้นตามเส้นโค้งที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ซึ่งจะอยู่ในรูปแบบที่สอดคล้องกับค่าทั้งหมดของความแตกต่างของเฟสตั้งแต่ -π ถึง +π

หากความถี่ของการแกว่งตั้งฉากซึ่งกันและกันไม่เท่ากัน วิถีการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจะมีรูปแบบของเส้นโค้งที่ค่อนข้างซับซ้อนเรียกว่า ตัวเลขลิสซาจูส. ตัวอย่างเช่น สมมติว่าความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มมีความสัมพันธ์กันเป็น 1 : 2 และผลต่างเฟส π/2 จากนั้นสมการการสั่นสะเทือนจะมีรูปแบบ

x=a cos ωt, y=b cos

ในช่วงเวลาที่จุดสามารถเคลื่อนที่ไปตามแกน x จากตำแหน่งสุดขั้วหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งได้ ตามแนวแกน y เมื่อออกจากตำแหน่งศูนย์ จุดนั้นจะไปถึงตำแหน่งสุดขั้วหนึ่ง จากนั้นอีกตำแหน่งหนึ่งแล้วกลับมา รูปร่างของเส้นโค้งจะแสดงในรูป 1.7.13. เส้นโค้งที่มีอัตราส่วนความถี่เท่ากัน แต่ความแตกต่างของเฟสเท่ากับศูนย์จะแสดงในรูปที่ 1.7.14 อัตราส่วนของความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มจะผกผันกับอัตราส่วนของจำนวนจุดตัดของตัวเลข Lissajous ที่มีเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด ด้วยเหตุนี้ เมื่อปรากฏตัวเลข Lissajous เราจึงสามารถกำหนดอัตราส่วนของความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มหรือความถี่ที่ไม่ทราบได้ หากทราบความถี่ใดความถี่หนึ่ง

รูปที่ 1.7.13

รูปที่ 1.7.14

ยิ่งเศษส่วนที่เป็นตรรกยะแสดงอัตราส่วนของความถี่การแกว่งเข้าใกล้ความสามัคคีมากเท่าใด ตัวเลขลิสซาจูสที่ได้ก็จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น

1.7.11. การแพร่กระจายคลื่นในตัวกลางยืดหยุ่น

หากการสั่นสะเทือนของอนุภาคถูกกระตุ้นในสถานที่ใดๆ ในตัวกลางที่ยืดหยุ่น (ของเหลวแข็งหรือก๊าซ) ดังนั้น เนื่องจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาค การสั่นสะเทือนนี้จะแพร่กระจายในตัวกลางจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคด้วยความเร็วที่แน่นอน v กระบวนการแพร่กระจายของการสั่นสะเทือนในอวกาศเรียกว่า คลื่น.

อนุภาคของตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายไม่ได้ถูกดึงดูดเข้าสู่การเคลื่อนที่แบบแปลนโดยคลื่น พวกมันจะแกว่งไปรอบตำแหน่งสมดุลเท่านั้น

ขึ้นอยู่กับทิศทางของการแกว่งของอนุภาคที่สัมพันธ์กับทิศทางที่คลื่นแพร่กระจาย ตามยาวและ ขวางคลื่น ในคลื่นตามยาว อนุภาคของตัวกลางจะสั่นไปตามการแพร่กระจายของคลื่น ในคลื่นตามขวาง อนุภาคของตัวกลางจะแกว่งไปในทิศทางตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น คลื่นตามขวางแบบยืดหยุ่นสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะในตัวกลางที่มีความต้านทานแรงเฉือนเท่านั้น ดังนั้นในตัวกลางของเหลวและก๊าซจึงเกิดได้เฉพาะคลื่นตามยาวเท่านั้น ในตัวกลางที่เป็นของแข็งสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งคลื่นตามยาวและตามขวาง

ในรูป รูปที่ 1.7.12 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคเมื่อคลื่นตามขวางแพร่กระจายในตัวกลาง หมายเลข 1, 2 ฯลฯ บ่งชี้ว่าอนุภาคล้าหลังกันด้วยระยะห่างเท่ากับ (¼ υT) เช่น ระยะทางที่คลื่นเดินทางระหว่างหนึ่งในสี่ของระยะเวลาการแกว่งของอนุภาค ในขณะที่เป็นศูนย์ คลื่นที่แพร่กระจายไปตามแกนจากซ้ายไปขวาถึงอนุภาค 1 ซึ่งเป็นผลมาจากการที่อนุภาคเริ่มเลื่อนขึ้นจากตำแหน่งสมดุลโดยลากอนุภาคต่อไปนี้ไปด้วย หลังจากผ่านไปหนึ่งในสี่ของคาบ อนุภาค 1 จะเข้าสู่ตำแหน่งสมดุลบนสุด อนุภาค 2 หลังจากผ่านไปอีกสี่ส่วนของคาบ ส่วนแรกจะผ่านตำแหน่งสมดุลโดยเคลื่อนไปในทิศทางจากบนลงล่าง อนุภาคที่สองจะไปถึงตำแหน่งบนสุด และอนุภาคตัวที่ 3 จะเริ่มเคลื่อนตัวขึ้นจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลาเท่ากับ T อนุภาคแรกจะครบวงการสั่นและจะอยู่ในสถานะการเคลื่อนที่เหมือนกับโมเมนต์เริ่มต้น คลื่น ณ เวลา T เมื่อผ่านเส้นทาง (υT) จะไปถึงอนุภาค 5

ในรูป รูปที่ 1.7.13 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคเมื่อคลื่นตามยาวแพร่กระจายในตัวกลาง ข้อโต้แย้งทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของอนุภาคในคลื่นตามขวางสามารถนำไปใช้กับกรณีนี้ได้ด้วยการแทนที่การกระจัดขึ้นและลงด้วยการกระจัดไปทางขวาและซ้าย

จะเห็นได้จากรูปที่เมื่อคลื่นตามยาวแพร่กระจายในตัวกลางจะเกิดการควบแน่นสลับกันและการเกิดอนุภาคที่หายากขึ้น (สถานที่ของการควบแน่นจะถูกระบุในรูปด้วยเส้นประ) ซึ่งเคลื่อนที่ไปในทิศทางของการแพร่กระจายของคลื่นด้วย ความเร็ว v.

ข้าว. 1.7.15

ข้าว. 1.7.16

ในรูป 1.7.15 และ 1.7.16 แสดงการสั่นสะเทือนของอนุภาคที่มีตำแหน่งและสมดุลอยู่บนแกน x.ในความเป็นจริง ไม่เพียงแต่อนุภาคที่อยู่ตามแนวแกนเท่านั้นที่สั่นสะเทือน เอ็กซ์,แต่เป็นการรวมตัวของอนุภาคที่บรรจุอยู่ในปริมาตรหนึ่ง การแพร่กระจายจากแหล่งที่มาของการสั่น กระบวนการของคลื่นครอบคลุมส่วนใหม่ๆ ของอวกาศมากขึ้นเรื่อยๆ ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่การสั่นไปถึง ณ เวลา t เรียกว่า หน้าคลื่น(หรือหน้าเวฟ) หน้าคลื่นเป็นพื้นผิวที่แยกส่วนของอวกาศที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการคลื่นออกจากบริเวณที่ยังไม่เกิดการสั่นไหว

ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่สั่นในเฟสเดียวกันเรียกว่า พื้นผิวคลื่น . พื้นผิวของคลื่นสามารถถูกดึงผ่านจุดใดก็ได้ในอวกาศที่กระบวนการของคลื่นครอบคลุม ด้วยเหตุนี้ พื้นผิวคลื่นจึงมีจำนวนอนันต์ ในขณะที่มีหน้าคลื่นเพียงหน้าเดียวในแต่ละช่วงเวลา พื้นผิวคลื่นยังคงไม่เคลื่อนที่ (ผ่านตำแหน่งสมดุลของอนุภาคที่สั่นในเฟสเดียวกัน ). คลื่นเคลื่อนตัวอยู่ตลอดเวลา

พื้นผิวคลื่นสามารถมีรูปร่างใดก็ได้ ในกรณีที่ง่ายที่สุด พวกมันจะมีรูปทรงของระนาบหรือทรงกลม ดังนั้นคลื่นในกรณีนี้จึงเรียกว่าระนาบหรือทรงกลม ในคลื่นระนาบ พื้นผิวของคลื่นคือชุดของระนาบที่ขนานกัน ในลักษณะคลื่นทรงกลม ซึ่งเป็นชุดของทรงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกัน

ข้าว. 1.7.17

ปล่อยให้คลื่นระนาบแผ่ไปตามแกน x- จากนั้นจุดทุกจุดของทรงกลมที่มีตำแหน่งและสมดุลมีพิกัดเดียวกัน x(แต่ต่างกันที่ค่าพิกัด ยและ ซ)แกว่งไปแกว่งมาในเฟสเดียวกัน

ในรูป 1.7.17 แสดงเส้นโค้งที่ให้การกระจัด ξ จากตำแหน่งสมดุลของจุดที่แตกต่างกัน xณ จุดใดจุดหนึ่ง ไม่ควรมองว่าภาพวาดนี้เป็นภาพคลื่นที่มองเห็นได้ รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน ξ (x, เสื้อ)สำหรับบางคนที่แก้ไขแล้ว ตรงเวลา ทีกราฟดังกล่าวสามารถสร้างได้ทั้งคลื่นตามยาวและตามขวาง

ระยะทาง lam ซึ่งคลื่นแพร่กระจายในช่วงเวลาสั้น ๆ เท่ากับระยะเวลาการสั่นของอนุภาคของตัวกลางเรียกว่า ความยาวคลื่น. เห็นได้ชัดว่า

โดยที่ υ คือความเร็วคลื่น T คือคาบการสั่น ความยาวคลื่นยังสามารถกำหนดเป็นระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของตัวกลางที่สั่นโดยมีความต่างเฟสเท่ากับ 2π (ดูรูปที่ 1.7.14)

การแทนที่ T ที่สัมพันธ์กัน (1.7.45) ถึง 1/ν (ν คือความถี่การสั่น) เราได้รับ

สูตรนี้ยังได้มาจากการพิจารณาต่อไปนี้ ในหนึ่งวินาที แหล่งกำเนิดคลื่นจะทำการแกว่ง ν โดยสร้าง "ยอด" ของคลื่นหนึ่งอันและ "ราง" ของคลื่นหนึ่งตัวในตัวกลางที่มีการสั่นแต่ละครั้ง เมื่อถึงเวลาที่แหล่งกำเนิดเสร็จสิ้นการสั่นครั้งที่ ν "สันเขา" แรกจะมีเวลาเดินทางไกล υ ดังนั้น ν ของ "ยอด" และ "ร่องน้ำ" ของคลื่นจะต้องพอดีกับความยาว υ

1.7.12. สมการคลื่นระนาบ

สมการคลื่นคือนิพจน์ที่ให้การกระจัดของอนุภาคที่สั่นเป็นฟังก์ชันของพิกัด x, y, z และเวลา ที :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(หมายถึงพิกัดตำแหน่งสมดุลของอนุภาค) ฟังก์ชันนี้จะต้องเป็นระยะตามเวลา ที และสัมพันธ์กับพิกัด x, y, z - ช่วงเวลาตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจุดที่อยู่ห่างจากกัน λ , สั่นในลักษณะเดียวกัน

มาดูประเภทของฟังก์ชันกัน ξ ในกรณีของคลื่นระนาบ โดยสมมติว่าการสั่นมีลักษณะฮาร์มอนิก เพื่อให้ง่ายขึ้น ให้เรากำหนดทิศทางของแกนพิกัดเพื่อให้แกนนั้น x สอดคล้องกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น จากนั้นพื้นผิวของคลื่นจะตั้งฉากกับแกน x และเนื่องจากทุกจุดของพื้นผิวคลื่นสั่นสะเทือนเท่ากัน การกระจัดจึงเกิดขึ้น ξ จะขึ้นอยู่กับเท่านั้น x และ ที:

ξ = ξ (x, เสื้อ) .

รูปที่ 1.7.18

ปล่อยให้การสั่นสะเทือนของจุดต่างๆ นอนอยู่ในระนาบ x = 0 (รูปที่ 1.7.18) มีรูปแบบ

ให้เราค้นหาประเภทของการแกว่งของจุดในระนาบที่สอดคล้องกับค่าที่กำหนด x - เพื่อที่จะเดินทางจากเครื่องบิน x=0 กว่าจะถึงระนาบนี้คลื่นต้องใช้เวลา( υ - ความเร็วของการแพร่กระจายคลื่น) ส่งผลให้เกิดการสั่นสะเทือนของอนุภาคที่วางอยู่บนระนาบ x จะล่าช้าตามเวลาโดย τ จากการสั่นสะเทือนของอนุภาคในระนาบ x = 0 , เช่น. จะมีลักษณะเช่นนี้

ดังนั้น, สมการคลื่นระนาบ(ตามยาวและตามขวาง) ขยายไปในทิศทางของแกน x ดูเหมือนว่านี้:

นิพจน์นี้กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างเวลา t และสถานที่นั้น x ซึ่งเฟสมีค่าคงที่ ค่า dx/dt ที่ได้จะให้ความเร็วในการเคลื่อนที่ของค่าเฟสที่กำหนด เราได้รับการแสดงออกที่แตกต่าง (1.7.48)

สมการของคลื่นที่แพร่กระจายในทิศทางลดลง x :

เมื่อได้สูตร (1.7.53) เราถือว่าแอมพลิจูดของการแกว่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับ x - สำหรับคลื่นระนาบ จะสังเกตได้ในกรณีที่พลังงานคลื่นไม่ถูกดูดซับโดยตัวกลาง เมื่อแพร่กระจายในตัวกลางดูดซับพลังงาน ความเข้มของคลื่นจะค่อยๆ ลดลงตามระยะห่างจากแหล่งกำเนิดของการสั่น - สังเกตการลดทอนของคลื่น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในสื่อที่เป็นเนื้อเดียวกันการลดทอนดังกล่าวเกิดขึ้นตามกฎเลขชี้กำลัง:

ตามลำดับ สมการคลื่นระนาบโดยคำนึงถึงการลดทอนมีรูปแบบดังนี้

(1.7.54)

(a 0 - แอมพลิจูดที่จุดของระนาบ x = 0)

การแกว่งเป็นระยะเรียกว่า ฮาร์มอนิก หากปริมาณที่ผันผวนเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของโคไซน์หรือไซน์:

ที่นี่
- ความถี่การสั่นแบบไซคลิก ก– ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของปริมาณที่ผันผวนจากตำแหน่งสมดุล ( แอมพลิจูดการสั่นสะเทือน ), φ( ที) = ω ที+ φ 0 – เฟสการสั่น , φ 0 – ระยะเริ่มแรก .

กราฟของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกแสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1– กราฟฮาร์มอนิก

ด้วยการสั่นแบบฮาร์มอนิก พลังงานทั้งหมดของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป สามารถแสดงได้ว่าพลังงานทั้งหมดของระบบออสซิลลาทอรีทางกลระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิกเท่ากับ:

.

ปริมาณการสั่นสะเทือนที่ประสานกัน ส(ที) เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์:

, (1)

ซึ่งเรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายไร้น้ำหนักที่ไม่สามารถยืดออกได้ โดยทำการเคลื่อนที่แบบสั่นในระนาบแนวตั้งอันเดียวภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง

ระยะเวลารหัส

ลูกตุ้มทางกายภาพ

ลูกตุ้มทางกายภาพคือวัตถุแข็งเกร็งซึ่งจับจ้องอยู่บนแกนนอนคงที่ (แกนแขวนลอย) ที่ไม่ผ่านจุดศูนย์ถ่วง และแกว่งไปรอบแกนนี้ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง มวลของวัตถุดังกล่าวไม่เหมือนกับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่งไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นจุดเดียวกันได้

ที่มุมโก่งเล็ก ๆ α (รูปที่ 7.4) ลูกตุ้มทางกายภาพก็ทำเช่นกัน การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก- เราจะสมมติว่าน้ำหนักของลูกตุ้มทางกายภาพถูกนำไปใช้กับจุดศูนย์ถ่วงที่จุด C แรงที่ทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ในกรณีนี้ จะเป็นองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง - แรง F

เพื่อให้ได้กฎการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ เราใช้สมการพื้นฐานของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

โมเมนต์แห่งแรง: ไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน เมื่อคำนึงถึงปริมาณทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมของการแกว่งของลูกตุ้มทางกายภาพจะมีรูปแบบ:

คำตอบของสมการนี้

ให้เรากำหนดความยาว l ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่งคาบการแกว่งของมันเท่ากับระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพนั่นคือ หรือ

- จากความสัมพันธ์นี้เรากำหนด

สูตรนี้กำหนดความยาวที่ลดลงของลูกตุ้มทางกายภาพ เช่น ความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว ซึ่งคาบการสั่นจะเท่ากับคาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพที่กำหนด

ลูกตุ้มสปริง

นี่คือมวลที่ติดอยู่กับสปริงซึ่งมวลสามารถละเลยได้

แม้ว่าสปริงจะไม่เสียรูป แต่แรงยืดหยุ่นจะไม่ส่งผลต่อร่างกาย ในลูกตุ้มสปริง การแกว่งจะเกิดขึ้นภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น

คำถามที่ 36 พลังงานของการสั่นฮาร์มอนิก

เมื่อใช้การสั่นแบบฮาร์มอนิก พลังงานทั้งหมดของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป สามารถแสดงได้ว่าพลังงานทั้งหมดของระบบออสซิลลาทอรีทางกลระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิกมีค่าเท่ากัน

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

การสั่นสะเทือนที่ง่ายที่สุดคือการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกเช่น การแกว่งดังกล่าวซึ่งปริมาณที่ผันผวนเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์

การสั่นสะเทือนทางกลที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรง (แรงคืน) ตามสัดส่วนของการกระจัดและตรงข้ามกับมันเรียกว่าการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก - สมการเชิงอนุพันธ์ - วิธีแก้ปัญหา

x - การกระจัดของปริมาณที่ผันผวนจากสมดุลเชิงบวก

66. ลักษณะสำคัญของประมวลกฎหมายแพ่ง

A – แอมพลิจูด - การกระจัดสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล

0 ) – ระยะการสั่น – กำหนดการกระจัด ณ เวลาที่กำหนด

0 – ระยะเริ่มต้น – กำหนดโดยตำแหน่งของระบบใน ช่วงเวลาเริ่มต้นเวลา

ω – ความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง กำหนดโดยพารามิเตอร์ของระบบ

บทบาทของเงื่อนไขเริ่มต้น – A ระยะเริ่มต้น

67. วิธีการแสดงกราฟิกของกระบวนการสั่น:

แผนภูมิแบน

แผนภาพเวกเตอร์

68. แผนภาพเวกเตอร์– วิธีการระบุการเคลื่อนที่แบบกราฟิคในรูปของเวกเตอร์

ลองใช้แกนซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร x จากจุด O ที่ถ่ายบนแกน เราพล็อตเวกเตอร์ที่มีความยาว a ทำให้เกิดมุม α กับแกน หากเรานำเวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω 0 แล้วเส้นโครงของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเคลื่อนที่ไปตามแกน x ในช่วงตั้งแต่ –a ถึง +a และพิกัดของการฉายภาพนี้จะเปลี่ยนไปตามเวลาตาม กฎ x = a cos (ω 0 t + α )

ดังนั้น การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยแอมพลิจูดเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ โดยมีความถี่วงกลมเท่ากับความเร็วเชิงมุมของการหมุนของเวกเตอร์ และมีเฟสเริ่มต้นเท่ากับมุม เกิดจากเวกเตอร์ที่มีแกน ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น

ที่. การแกว่งของฮาร์มอนิกสามารถระบุได้โดยใช้เวกเตอร์ ความยาวของ cat เท่ากับความกว้างของการแกว่ง และทิศทางของเวกเตอร์จะสร้างมุมที่มีแกน x เท่ากับระยะเริ่มต้นของการแกว่ง

69.ลูกตุ้มสปริง- ภาระที่แขวนอยู่บนสปริง

ให้เราหาค่าส่วนต่างของลูกตุ้มสปริง

70. ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เรียกระบบในอุดมคติที่ประกอบด้วยด้ายไร้น้ำหนักและขยายไม่ได้ซึ่งมีมวลที่กระจุกตัวอยู่ที่จุดหนึ่งถูกระงับ การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลจะมีลักษณะเป็นมุมที่เกิดจากเกลียวกับแนวตั้ง เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุล แรงบิด M จะเกิดขึ้นเท่ากับ M = -mgl sin มีทิศทางที่มีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล

71.ลูกตุ้มทางกายภาพ –วัตถุแข็งเกร็งใด ๆ ที่มีแกนหมุนไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางมวล

เอาท์พุตของระดับดิฟเฟอเรนเชียลของการสั่น:

72.ลดความยาวของลูกตุ้มทางกายภาพ– ความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ คาบการสั่นซึ่งตรงกับคาบของลูกตุ้มทางกายภาพที่กำหนด

ความถี่ธรรมชาติของลูกตุ้มสปริง

ความถี่ธรรมชาติของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

73. การเปลี่ยนแปลงประจุ กระแส และแรงดันไฟฟ้าเป็นระยะหรือเกือบเป็นระยะเรียกว่าการสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้า

ระบบที่ง่ายที่สุดที่สามารถเกิดการสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้าอิสระได้ประกอบด้วยตัวเก็บประจุและขดลวดที่เชื่อมต่อกับแผ่นของมัน ระบบดังกล่าวเรียกว่าวงจรออสซิลลาทอรี

ความถี่การสั่นคือจำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลา υ = 1/ต

ระยะเวลาของการสั่นที่สมบูรณ์หนึ่งครั้งเรียกว่าช่วงการสั่น ที = 1/โวลต์

โดยที่ L คือการเหนี่ยวนำ C คือความจุไฟฟ้า

74. การบวกของการสั่นแบบคอลลิเนียร์ที่มีความถี่เท่ากัน:

การกระจัด x ของตัวสั่นจะเป็นผลรวมของการกระจัด x1 และ x2 ซึ่งจะเขียนได้ดังนี้: x 1 =a 1 cos (ω 0 t+α 1) x 2 =a 2 cos (ω 0 t+ α 2)

ให้เราแสดงการสั่นสะเทือนทั้งสองโดยใช้เวกเตอร์ a1 และ a2 ให้เราสร้างผลลัพธ์เวกเตอร์ a ตามกฎของการบวกเวกเตอร์ เส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกน x เท่ากับผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์ผลรวม: x1=x1+x2 ถัดไป เวกเตอร์ a แสดงถึงการแกว่งที่เกิดขึ้น เวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω 0 เช่นเดียวกับเวกเตอร์ a1 และ a2 ดังนั้นการเคลื่อนที่ที่ได้จะเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่มีความถี่ ω 0, แอมพลิจูด a และเฟสเริ่มต้น α

75. ปล่อยให้ร่างเล็กแกว่งไปมาบนสปริงตั้งฉากกันซึ่งมีความแข็งแกร่งเท่ากันร่างกายนี้จะเคลื่อนไปตามวิถีใด? นี่คือสมการวิถีโคจรในรูปแบบพาราเมตริก

เพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างพิกัด x และ y จำเป็นต้องแยกพารามิเตอร์ t ออกจากสมการ จากสมการแรก:

จากวินาที:

หลังจากการทดแทน:

มากำจัดรากกันเถอะ: - นี่คือสมการของวงรี

76. ในสภาวะจริง แรงกระจัดกระจาย (หลอกลวง?) ปรากฏอยู่เสมอ ส่งผลให้พลังงานในวงจรลดลง

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของการสั่นสะเทือนทางกลเมื่อมีแรงเสียดทานที่มีความหนืด สมการเชิงอนุพันธ์

การสั่นแบบหน่วง

77. พารามิเตอร์พื้นฐานของการสั่นแบบหน่วง

ω0 - ความถี่ธรรมชาติของระบบการสั่นโดยไม่มีการลดทอน β - สัมประสิทธิ์การลดทอน - แสดงลักษณะอัตราการลดทอน

เวลาผ่อนคลาย ซึ่งในระหว่างนั้นแอมพลิจูดจะลดลงตามปัจจัยของ e

ปัจจัยด้านคุณภาพเป็นตัวบ่งชี้อัตราที่พลังงานออกจากระบบออสซิลเลชัน

Q=2π โดยที่พลังงาน E ที่เก็บไว้ในวงจรคือพลังงานต่อคาบ Q=πNe โดยที่ Ne คือจำนวนการแกว่งในช่วงเวลาผ่อนคลาย

สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบหน่วงสำหรับลูกตุ้มสปริง

79. สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการสั่นแบบหน่วงของวงจรไฟฟ้า

q(t)=q 0 e - βtcos (ωt+ ) โดยที่ความถี่การสั่น ω= สำหรับวงจรการสั่น

80. แอมพลิจูดและความถี่ของการสั่นแบบหน่วง, - แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วง

ω0 คือความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลเลชั่น โดยไม่มีการหน่วง ความถี่ของการสั่นแบบหน่วงจะน้อยกว่าความถี่ธรรมชาติ

แอมพลิจูดลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยที่

ที่นี่ - คือความถี่ของการสั่นแบบหน่วง

τ เป็นโหมดการนำส่ง หลังจากนั้นการสั่นจะถูกสร้างขึ้นที่ความถี่ของแรงผลักดัน

83. แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ –เกิดขึ้นในระบบการสั่นภายใต้การกระทำของแรงคาบภายนอกซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามกฎฮาร์มอนิก:

f 0 – ความกว้างของแรงบังคับ

ความถี่แรงบังคับ

แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับขึ้นอยู่กับความถี่ของแรงขับเคลื่อน

เสียงสะท้อนเป็นปรากฏการณ์ของแอมพลิจูดที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วที่ความถี่ของการสั่นแบบบังคับใกล้กับตัวมันเอง

ความถี่เรโซแนนซ์

84. แอมพลิจูด –ลักษณะความถี่ ในวงจรที่มีแฟกเตอร์คุณภาพสูง แอมพลิจูดของเรโซแนนซ์จะมีขนาดใหญ่ แต่แบนด์วิธมีขนาดเล็ก และในวงจรที่มีแฟคเตอร์ด้านคุณภาพที่คมชัด แอมพลิจูดจะมีขนาดเล็ก แต่แบนด์วิธจะมีขนาดใหญ่ในวงจรที่มีค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนอยู่ใกล้ วิกฤต.

วัตถุประสงค์ของการทำงาน- ทำความคุ้นเคยกับคุณลักษณะหลักของการสั่นสะเทือนทางกลที่ไม่มีการหน่วงและแบบไม่มีแรงหน่วง

งาน- กำหนดคาบการสั่นตามธรรมชาติของลูกตุ้มสปริง ตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของการพึ่งพากำลังสองของช่วงเวลากับมวล กำหนดความแข็งของสปริง กำหนดระยะเวลาของการแกว่งแบบหน่วงและการลดการหน่วงแบบลอการิทึมของลูกตุ้มสปริง

อุปกรณ์และอุปกรณ์เสริม- ขาตั้งกล้องพร้อมตาชั่ง สปริง ชุดตุ้มน้ำหนักต่างๆ ภาชนะใส่น้ำ นาฬิกาจับเวลา

1. การแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มสปริง ข้อมูลทั่วไป

การแกว่งเป็นกระบวนการที่ปริมาณทางกายภาพตั้งแต่หนึ่งปริมาณขึ้นไปที่อธิบายกระบวนการเหล่านี้เปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ การสั่นสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันคาบต่างๆ ของเวลา การแกว่งที่ง่ายที่สุดคือการแกว่งแบบฮาร์มอนิก - การแกว่งซึ่งปริมาณการสั่น (เช่น การกระจัดของโหลดบนสปริง) เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของโคไซน์หรือไซน์ การสั่นที่เกิดขึ้นหลังจากการกระทำของแรงระยะสั้นภายนอกต่อระบบเรียกว่าอิสระ

ถ้าโหลดถูกลบออกจากตำแหน่งสมดุลโดยการเบี่ยงเบนไปจำนวนหนึ่ง xจากนั้นแรงยืดหยุ่นจะเพิ่มขึ้น: เอฟควบคุม = – kx 2= – เค(x 1 + x- เมื่อถึงตำแหน่งสมดุลแล้ว โหลดจะมีความเร็วไม่เป็นศูนย์ และจะผ่านตำแหน่งสมดุลไปด้วยความเฉื่อย เมื่อการเคลื่อนไหวดำเนินต่อไป ความเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุลจะเพิ่มขึ้น ซึ่งจะนำไปสู่แรงยืดหยุ่นที่เพิ่มขึ้น และกระบวนการจะทำซ้ำในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นการเคลื่อนที่ของระบบจึงเกิดจากสาเหตุสองประการ: 1) ความปรารถนาของร่างกายที่จะกลับสู่ตำแหน่งสมดุลและ 2) ความเฉื่อยซึ่งไม่อนุญาตให้ร่างกายหยุดในตำแหน่งสมดุลทันที หากไม่มีแรงเสียดทาน การแกว่งจะดำเนินไปอย่างไม่มีกำหนด การปรากฏตัวของแรงเสียดทานนำไปสู่ความจริงที่ว่าพลังงานการสั่นส่วนหนึ่งกลายเป็นพลังงานภายในและการสั่นจะค่อยๆดับลง การสั่นดังกล่าวเรียกว่าการทำให้หมาด ๆ

การแกว่งอิสระที่ไม่มีการหน่วง

อันดับแรก ให้เราพิจารณาการแกว่งของลูกตุ้มสปริง ซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากแรงเสียดทาน - การแกว่งอิสระที่ไม่มีการหน่วง ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน โดยคำนึงถึงสัญญาณของการฉายภาพบนแกน X

จากสภาวะสมดุล การกระจัดที่เกิดจากแรงโน้มถ่วง: . เมื่อแทนที่ลงในสมการ (1) เราจะได้: สมการเชิงอนุพันธ์" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">สมการเชิงอนุพันธ์

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

สมการนี้เรียกว่า สมการฮาร์มอนิก- ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของโหลดจากตำแหน่งสมดุล ก 0 เรียกว่าแอมพลิจูดของการสั่น- ปริมาณในอาร์กิวเมนต์โคไซน์เรียกว่า เฟสการสั่น- ค่าคงที่ φ0 แทนค่าเฟส ณ เวลาเริ่มต้น ( ที= 0) และถูกเรียก ระยะเริ่มต้นของการสั่น- ขนาด

มันเป็นวงกลมหรือเป็นวงกลม? ความถี่ธรรมชาติเกี่ยวข้องกับ ระยะเวลาของการสั่น ตอัตราส่วน https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55"> (5)

การสั่นแบบหน่วง

ให้เราพิจารณาการแกว่งอิสระของลูกตุ้มสปริงเมื่อมีแรงเสียดทาน (การสั่นแบบหน่วง) ในกรณีที่ง่ายที่สุดและในเวลาเดียวกัน แรงเสียดทานจะแปรผันตามความเร็ว υ การเคลื่อนไหว:

เอฟตร = – รู, (6)

ที่ไหน ร– ค่าคงที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน เครื่องหมายลบแสดงว่าแรงเสียดทานและความเร็วอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม สมการของกฎข้อที่สองของนิวตันในการฉายภาพบนแกน X เมื่อมีแรงยืดหยุ่นและแรงเสียดทาน

แม่ = – เคเอ็กซ์ – รู. (7)

สมการเชิงอนุพันธ์นี้คำนึงถึงด้วย υ = ดีเอ็กซ์/ dtสามารถเขียนลงไปได้

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – ค่าสัมประสิทธิ์การทำให้หมาด ๆ- – ความถี่วงจรของฟรี การสั่นอย่างต่อเนื่องของระบบออสซิลเลเตอร์ที่กำหนด เช่น ในกรณีที่ไม่มีการสูญเสียพลังงาน (β = 0) เรียกสมการ (8) สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบหน่วง.

เพื่อให้ได้การพึ่งพาการกระจัด xเป็นครั้งคราว ทีจำเป็นต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

ที่ไหน ก 0 และ φ0 – แอมพลิจูดเริ่มต้นและเฟสเริ่มต้นของการแกว่ง
– ความถี่วงจรของการสั่นแบบหน่วงที่ ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src="> (10)

บนกราฟของฟังก์ชัน (9) รูปที่. 2 เส้นประแสดงการเปลี่ยนแปลงในแอมพลิจูด (10) ของการแกว่งแบบหน่วง

ข้าว. 2. การพึ่งพาการกำจัด เอ็กซ์โหลดเป็นครั้งคราว ทีเมื่อมีแรงเสียดทาน

สำหรับ ลักษณะเชิงปริมาณระดับการลดทอนของการสั่นจะทำให้เกิดค่าเท่ากับอัตราส่วนของแอมพลิจูดที่แตกต่างกันไปตามช่วงเวลา และเรียกว่า การทำให้หมาด ๆ ลดลง:

. (11)

มักใช้ลอการิทึมธรรมชาติของปริมาณนี้ พารามิเตอร์นี้เรียกว่า การลดลงของการหน่วงลอการิทึม:

แอมพลิจูดลดลงใน nคูณด้วยสมการ (10) จะได้ตามนั้น

จากนี้ไป. การลดลอการิทึมเราได้รับการแสดงออก

หากในช่วงเวลาดังกล่าว ที" แอมพลิจูดลดลง จครั้งหนึ่ง ( จ= 2.71 – ฐาน ลอการิทึมธรรมชาติ) จากนั้นระบบจะมีเวลาครบจำนวนการสั่น

ข้าว. 3. แผนภาพการติดตั้ง

การติดตั้งประกอบด้วยขาตั้งกล้อง 1 พร้อมสเกลวัด 2 - ไปจนถึงขาตั้งกล้องแบบมีสปริง 3 โหลดถูกระงับ 4 ของมวลชนต่างๆ เมื่อศึกษาการสั่นแบบหน่วงในงานที่ 2 จะใช้วงแหวนเพื่อเพิ่มการหน่วง 5 ซึ่งวางอยู่ในภาชนะใส 6 ด้วยน้ำ

ในภารกิจที่ 1 (ดำเนินการโดยไม่มีภาชนะที่มีน้ำและวงแหวน) ในการประมาณครั้งแรก การหน่วงของการสั่นสามารถละเลยได้และถือว่าเป็นฮาร์มอนิก ดังต่อไปนี้จากสูตร (5) สำหรับการแกว่งของฮาร์มอนิก การพึ่งพา ต 2 = ฉ (ม) – เชิงเส้นซึ่งสามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงได้ เคตามสูตร

ความชันของเส้นตรงอยู่ที่ไหน ต 2 จาก ม.

ภารกิจที่ 1การกำหนดระยะเวลาการแกว่งตามธรรมชาติของลูกตุ้มสปริงกับมวลของภาระ

1. หาคาบการแกว่งของลูกตุ้มสปริงที่ ความหมายที่แตกต่างกันมวลสินค้า ม- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้นาฬิกาจับเวลาสำหรับแต่ละค่า มวัดเวลาสามครั้ง ทีเต็ม nความผันผวน ( n≥10) และตามค่าเวลาเฉลี่ยhttps://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28"> ป้อนผลลัพธ์ในตาราง 1.

2. จากผลการวัด ให้สร้างกราฟกำลังสองของช่วงเวลา ต2 โดยน้ำหนัก ม- จาก ความลาดชันกราฟิกเพื่อกำหนดความแข็งของสปริง เคตามสูตร (16)

ตารางที่ 1

ผลการวัดเพื่อกำหนดคาบการสั่นตามธรรมชาติ

3. งานเพิ่มเติม- ประมาณการสุ่ม ผลรวม และสัมพัทธ์ ε ทีข้อผิดพลาดในการวัดเวลาสำหรับค่ามวล m = 400 กรัม

ภารกิจที่ 2การหาค่าการลดการหน่วงลอการิทึมของลูกตุ้มสปริง

1. แขวนมวลไว้บนสปริง ม= 400 กรัม พร้อมวงแหวน และใส่ในภาชนะที่มีน้ำเพื่อให้วงแหวนจมอยู่ในน้ำจนหมด กำหนดระยะเวลาของการสั่นแบบหน่วงสำหรับ มูลค่าที่กำหนด มตามวิธีการที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ 1 ของงานที่ 1 ทำซ้ำการวัดสามครั้งแล้วป้อนผลลัพธ์ทางด้านซ้ายของตาราง 2.

2. นำลูกตุ้มออกจากตำแหน่งสมดุล และวัดเวลาโดยสังเกตแอมพลิจูดเริ่มต้นบนไม้บรรทัด ที" ซึ่งในระหว่างนั้นแอมพลิจูดของการแกว่งจะลดลง 2 เท่า ทำการวัดสามครั้ง ใส่ผลลัพธ์เข้าไป ด้านขวาโต๊ะ 2.

ตารางที่ 2

ผลการวัด

เพื่อกำหนดการลดการหน่วงแบบลอการิทึม

การวัดคาบการสั่น	การวัดเวลา ลดความกว้างลง 2 เท่า

4. คำถามเพื่อความปลอดภัยและงานต่างๆ

1. การสั่นแบบใดที่เรียกว่าฮาร์มอนิก? กำหนดลักษณะสำคัญของพวกเขา

2. การสั่นแบบใดที่เรียกว่าหน่วง? กำหนดลักษณะสำคัญของพวกเขา

3. อธิบาย ความหมายทางกายภาพการลดทอนลอการิทึมและค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน

4. หาเวลาขึ้นอยู่กับความเร็วและความเร่งของโหลดบนสปริงที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก ให้กราฟและการวิเคราะห์

5. หาค่าเวลาซึ่งขึ้นอยู่กับจลน์ศาสตร์ ศักย์ไฟฟ้า และพลังงานทั้งหมดสำหรับโหลดที่สั่นบนสปริง ให้กราฟและการวิเคราะห์

6. รับสมการเชิงอนุพันธ์ การสั่นสะเทือนฟรีและการตัดสินใจของเขา

7. สร้างกราฟของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกด้วยเฟสเริ่มต้น π/2 และ π/3

8. การลดค่าลดแรงสั่นสะเทือนแบบลอการิทึมสามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายในขีดจำกัดใด?

9. จงหาสมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบหน่วงของลูกตุ้มสปริงและสารละลายของมัน

10. แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงเปลี่ยนแปลงตามกฎข้อใด? การสั่นแบบหน่วงเป็นระยะหรือไม่?

11. การเคลื่อนที่แบบใดเรียกว่าเป็นระยะ? สังเกตภายใต้เงื่อนไขใด?

12. ความถี่ธรรมชาติของการสั่นเป็นเท่าใด? มันขึ้นอยู่กับมวลของการสั่นของลูกตุ้มสปริงอย่างไร

13. เหตุใดความถี่ของการสั่นแบบหน่วงจึงน้อยกว่าความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติของระบบ?

14. ลูกบอลทองแดงที่ห้อยลงมาจากสปริงจะทำการแกว่งในแนวตั้ง คาบของการสั่นจะเปลี่ยนไปอย่างไร ถ้าแทนที่จะใช้ลูกบอลทองแดง กลับใช้ลูกบอลอะลูมิเนียมที่มีรัศมีเท่ากันแขวนอยู่บนสปริง

15. การแกว่งจะสลายเร็วขึ้นที่ค่าการลดแรงหน่วงลอการิทึมที่ค่าใด: ที่ θ1 = 0.25 หรือ θ2 = 0.5 แสดงกราฟของการสั่นแบบหน่วงเหล่านี้

บรรณานุกรม

1. โทรฟิโมวา ที.ไอ- หลักสูตรฟิสิกส์ / . – ฉบับที่ 11 – อ.: สถาบันการศึกษา, 2549. – 560 น.

2. Savelyev I.V- ดี ฟิสิกส์ทั่วไป: ใน 3 เล่ม / . – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก : ลาน, 2551. – ต. 1. – 432 น.

3. อัคมาตอฟ เอ.เอส.. ห้องปฏิบัติการห้องปฏิบัติการในวิชาฟิสิกส์ / .
– ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2523 – 359 น.

ลูกตุ้มสปริงเป็นระบบสั่นที่ประกอบด้วย จุดวัสดุมวล t และสปริง พิจารณาลูกตุ้มสปริงแนวนอน (รูปที่ 13.12, a) ประกอบด้วยลำตัวขนาดใหญ่ เจาะตรงกลางและวางบนแกนแนวนอน ซึ่งสามารถเลื่อนได้โดยไม่มีแรงเสียดทาน (ระบบสั่นในอุดมคติ) ก้านได้รับการแก้ไขระหว่างส่วนรองรับแนวตั้งสองอัน ปลายด้านหนึ่งมีสปริงไร้น้ำหนักติดอยู่กับตัวเครื่อง ปลายอีกด้านหนึ่งจับจ้องไปที่ส่วนรองรับ ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดคืออยู่นิ่งโดยสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ลูกตุ้มแกว่งไปมา ในตอนแรกสปริงจะไม่เสียรูปและร่างกายอยู่ในตำแหน่งสมดุล C หากโดยการยืดหรือบีบอัดสปริงร่างกายจะถูกดึงออกจากตำแหน่งสมดุลจากนั้นแรงยืดหยุ่นจะเริ่มกระทำต่อสปริงจาก ด้านข้างของสปริงที่เสียรูป ให้หันไปทางตำแหน่งสมดุลเสมอ ให้เราบีบอัดสปริง ขยับตัวไปที่ตำแหน่ง A แล้วปล่อย \((\upsilon_0=0).\) ภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น สปริงจะเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง ในกรณีนี้ ในตำแหน่ง A ร่างกายจะได้รับผลกระทบ ความแข็งแรงสูงสุดความยืดหยุ่น เนื่องจากที่นี่การยืดตัวสัมบูรณ์ x m ของสปริงจะยิ่งใหญ่ที่สุด ดังนั้นในตำแหน่งนี้อัตราเร่งจึงสูงสุด เมื่อร่างกายเคลื่อนเข้าสู่ตำแหน่งสมดุล การยืดตัวสัมบูรณ์ของสปริงจะลดลง และด้วยเหตุนี้ ความเร่งที่เกิดจากแรงยืดหยุ่นจึงลดลง แต่เนื่องจากการเร่งความเร็วระหว่างการเคลื่อนไหวที่กำหนดจะมีทิศทางร่วมกับความเร็ว ความเร็วของลูกตุ้มจะเพิ่มขึ้น และในตำแหน่งสมดุลจะเป็นค่าสูงสุด เมื่อถึงตำแหน่งสมดุล C ร่างกายจะไม่หยุด (แม้ว่าในตำแหน่งนี้สปริงจะไม่เปลี่ยนรูปและแรงยืดหยุ่นเป็นศูนย์) แต่เมื่อความเร็วจะเคลื่อนที่ต่อไปตามความเฉื่อยโดยยืดสปริง แรงยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นตอนนี้มุ่งตรงต่อการเคลื่อนไหวของร่างกายและทำให้ช้าลง ที่จุด D ความเร็วของร่างกายจะเท่ากับศูนย์ และความเร่งจะสูงสุด ร่างกายจะหยุดครู่หนึ่งหลังจากนั้น มันจะเริ่มเคลื่อนที่เข้าไปภายใต้อิทธิพลของแรงยืดหยุ่น ด้านหลังสู่ตำแหน่งสมดุล เมื่อผ่านมันไปอีกครั้งด้วยความเฉื่อยร่างกายซึ่งบีบอัดสปริงและทำให้การเคลื่อนไหวช้าลงจะไปถึงจุด A (เนื่องจากไม่มีแรงเสียดทาน) เช่น จะทำให้วงสวิงสมบูรณ์ หลังจากนี้ การเคลื่อนไหวร่างกายจะทำซ้ำตามลำดับที่อธิบายไว้ ดังนั้นสาเหตุของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มสปริงคือการกระทำของแรงยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นเมื่อสปริงผิดรูปและความเฉื่อยของร่างกาย

ตามกฎของฮุค \(~F_x=-kx.\) ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน \(~F_x = ma_x.\) ดังนั้น \(~ma_x = -kx.\) ดังนั้น

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) หรือ \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - สมการแบบไดนามิกการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสปริง

เราจะเห็นว่าความเร่งเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการผสมและพุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับส่วนผสมนั้น เมื่อเปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) เราจะเห็นว่าลูกตุ้มสปริงทำการสั่นฮาร์มอนิกด้วยความถี่ไซคลิก \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) เนื่องจาก \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) ดังนั้น

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) คือคาบการสั่นของลูกตุ้มสปริง

เมื่อใช้สูตรเดียวกัน คุณสามารถคำนวณระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มสปริงแนวตั้งได้ (รูปที่ 13.12.b) อันที่จริง ในตำแหน่งสมดุล เนื่องจากการกระทำของแรงโน้มถ่วง สปริงจึงถูกยืดออกด้วยจำนวนหนึ่ง x 0 ซึ่งกำหนดโดยความสัมพันธ์ \(~mg=kx_0.\) เมื่อลูกตุ้มถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุล โอบน เอ็กซ์เส้นโครงของแรงยืดหยุ่น \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) และตามกฎข้อที่สองของนิวตัน \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) โดยแทนที่ค่าที่นี่ \(~kx_0 =mg,\) เราได้สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) ซึ่งสอดคล้องกับสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มแนวนอน

วรรณกรรม

Aksenovich L. A. ฟิสิกส์ โรงเรียนมัธยมปลาย: ทฤษฎี. การมอบหมายงาน การทดสอบ: หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยงสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป สิ่งแวดล้อม การศึกษา / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; เอ็ด เค.เอส. ฟาริโน. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - หน้า 377-378.