เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์หรือไม่? การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์
ก 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ก 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ก 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
สารละลาย.เรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปสำหรับระบบสมการ
ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ
วิธีเกาส์ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เขียนระบบเอกพันธ์นี้ลงในพิกัด:
เมทริกซ์ระบบ
ระบบที่อนุญาตมีรูปแบบ: (อาร์ เอ = 2, n= 3) ระบบให้ความร่วมมือและไม่แน่นอน วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ( x 2 – ตัวแปรอิสระ): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => เอ็กซ์โอ = . ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของสารละลายเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ บ่งชี้ว่าเวกเตอร์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระเชิงเส้น:
1. ก 1 = { -20, -15, - 4 }, ก 2 = { –7, -2, -4 }, ก 3 = { 3, –1, –2 }.
สารละลาย.พิจารณาระบบสมการเอกพันธ์ ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ
หรือในรูปแบบขยาย (ตามพิกัด)
ระบบเป็นเนื้อเดียวกัน ถ้าไม่เสื่อมก็มีวิธีแก้ไขเฉพาะตัว ในกรณีของระบบเอกพันธ์ จะมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ ระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระจากกัน หากระบบเสื่อมลง ก็จะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นระบบจึงขึ้นอยู่กับ
เราตรวจสอบระบบเพื่อความเสื่อม:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
ระบบไม่เสื่อมสภาพและด้วยเหตุนี้พาหะ ก 1 , ก 2 , ก 3 เป็นอิสระเชิงเส้น
การมอบหมายงานค้นหาว่าระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระเชิงเส้น:
1. ก 1 = { -4, 2, 8 }, ก 2 = { 14, -7, -28 }.
2. ก 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ก 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. ก 1 = { -7, 5, 19 }, ก 2 = { -5, 7 , -7 }, ก 3 = { -8, 7, 14 }.
4. ก 1 = { 1, 2, -2 }, ก 2 = { 0, -1, 4 }, ก 3 = { 2, -3, 3 }.
5. ก 1 = { 1, 8 , -1 }, ก 2 = { -2, 3, 3 }, ก 3 = { 4, -11, 9 }.
6. ก 1 = { 1, 2 , 3 }, ก 2 = { 2, -1 , 1 }, ก 3 = { 1, 3, 4 }.
7. ก 1 = {0, 1, 1 , 0}, ก 2 = {1, 1 , 3, 1}, ก 3 = {1, 3, 5, 1}, ก 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. ก 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ก 2 = {2, 3 , 2, 1}, ก 3 = {4, 4, 4, -3}, ก 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. จงพิสูจน์ว่าระบบเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงถ้ามี:
ก) เวกเตอร์สองตัวที่เท่ากัน;
b) เวกเตอร์สัดส่วนสองตัว
การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์
พื้นฐานของเวกเตอร์ ระบบพิกัดอัฟฟิน
มีรถเข็นพร้อมช็อคโกแลตอยู่ในหอประชุม และผู้เยี่ยมชมทุกคนในวันนี้จะได้รับคู่รักแสนหวาน - เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์พร้อมพีชคณิตเชิงเส้น บทความนี้จะพูดถึงสองส่วนของคณิตศาสตร์ขั้นสูงในคราวเดียว และเราจะดูว่าพวกมันอยู่ร่วมกันอย่างไรในกระดาษห่อเดียว พักสมอง กิน Twix! ...บ้าเอ๊ย ไร้สาระมากมาย แม้ว่าฉันจะไม่ได้คะแนน แต่สุดท้ายแล้วคุณควรมีทัศนคติเชิงบวกต่อการเรียน
การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์, ความเป็นอิสระของเวกเตอร์เชิงเส้น, พื้นฐานของเวกเตอร์และคำศัพท์อื่นๆ ไม่เพียงแต่มีการตีความทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่เหนือสิ่งอื่นใดคือความหมายเชิงพีชคณิต แนวคิดของ "เวกเตอร์" จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้นไม่ใช่เวกเตอร์ "ธรรมดา" เสมอไปที่เราสามารถพรรณนาบนเครื่องบินหรือในอวกาศ คุณไม่จำเป็นต้องมองหาข้อพิสูจน์มากนัก ลองวาดเวกเตอร์ของปริภูมิห้ามิติ - หรือเวกเตอร์สภาพอากาศ ซึ่งผมเพิ่งไปที่ Gismeteo เพื่อหาอุณหภูมิและความดันบรรยากาศ ตามลำดับ แน่นอนว่าตัวอย่างนั้นไม่ถูกต้องจากมุมมองของคุณสมบัติของปริภูมิเวกเตอร์ แต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครห้ามไม่ให้ทำให้พารามิเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์อย่างเป็นทางการ ลมหายใจแห่งฤดูใบไม้ร่วง...
ไม่ ฉันจะไม่ทำให้คุณเบื่อกับทฤษฎี สเปซเวกเตอร์เชิงเส้น ภารกิจก็คือต้องทำ เข้าใจคำจำกัดความและทฤษฎีบท คำศัพท์ใหม่ (การพึ่งพาเชิงเส้น ความเป็นอิสระ ผลรวมเชิงเส้น พื้นฐาน ฯลฯ) นำไปใช้กับเวกเตอร์ทั้งหมดจากมุมมองพีชคณิต แต่จะมีตัวอย่างเรขาคณิตให้ ดังนั้นทุกอย่างจึงเรียบง่าย เข้าถึงได้ และชัดเจน นอกจากปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์แล้ว เรายังพิจารณาปัญหาพีชคณิตทั่วไปด้วย หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับบทเรียนต่างๆ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองและ จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?
การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ระนาบ
พื้นฐานระนาบและระบบพิกัดสัมพันธ์
ลองพิจารณาระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ (แค่โต๊ะ โต๊ะข้างเตียง พื้น เพดาน และอื่นๆ ตามที่คุณต้องการ) งานจะประกอบด้วยการดำเนินการดังต่อไปนี้:
1) เลือกพื้นฐานเครื่องบิน- พูดโดยคร่าวๆ โต๊ะจะมีความยาวและความกว้าง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่ต้องใช้เวกเตอร์สองตัวเพื่อสร้างฐาน เวกเตอร์หนึ่งตัวไม่เพียงพออย่างชัดเจน เวกเตอร์สามตัวนั้นมากเกินไป
2) ขึ้นอยู่กับพื้นฐานที่เลือก กำหนดระบบพิกัด(ตารางพิกัด) เพื่อกำหนดพิกัดให้กับวัตถุทั้งหมดบนโต๊ะ
ไม่ต้องแปลกใจ ในตอนแรกคำอธิบายจะอยู่ที่ปลายนิ้ว ยิ่งไปกว่านั้นเกี่ยวกับคุณ กรุณาวาง นิ้วชี้ซ้ายที่ขอบโต๊ะเพื่อมองจอภาพ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ตอนนี้สถานที่ นิ้วก้อยขวาบนขอบโต๊ะในลักษณะเดียวกัน - เพื่อให้หันไปที่หน้าจอมอนิเตอร์ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ยิ้มสิ คุณดูดีมาก! เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเวกเตอร์ได้บ้าง? เวกเตอร์ข้อมูล คอลลิเนียร์ซึ่งหมายความว่า เชิงเส้นแสดงออกผ่านกันและกัน:
หรือในทางกลับกัน: โดยที่ตัวเลขบางตัวแตกต่างจากศูนย์
คุณสามารถเห็นภาพการกระทำนี้ในชั้นเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองโดยที่ฉันอธิบายกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข
นิ้วของคุณจะวางรากฐานบนระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์หรือไม่? เห็นได้ชัดว่าไม่ เวกเตอร์คอลลิเนียร์เคลื่อนที่ไปมา ตามลำพังทิศทาง และระนาบมีความยาวและความกว้าง
เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น.
อ้างอิง: คำว่า "เชิงเส้น" "เชิงเส้น" แสดงถึงความจริงที่ว่าในสมการทางคณิตศาสตร์และนิพจน์นั้นไม่มีกำลังสอง ลูกบาศก์ กำลังอื่น ลอการิทึม ไซน์ ฯลฯ มีเพียงนิพจน์และการขึ้นต่อกันเชิงเส้น (ระดับที่ 1) เท่านั้น
เวกเตอร์ระนาบสองตัว ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้าเพียงแต่ว่าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน.
ไขว้นิ้วบนโต๊ะเพื่อให้มีมุมระหว่างนิ้วทั้งสองข้างนอกเหนือจาก 0 หรือ 180 องศา เวกเตอร์ระนาบสองตัวเชิงเส้น ไม่ขึ้นอยู่กับว่าพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่- ดังนั้นจึงได้รับพื้นฐาน ไม่จำเป็นต้องอับอายที่พื้นฐานกลายเป็น "เบ้" ด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากซึ่งมีความยาวต่างกัน ในไม่ช้าเราจะเห็นว่าไม่เพียงแต่มุม 90 องศาเท่านั้นที่เหมาะกับการก่อสร้าง และไม่เพียงแต่เวกเตอร์หน่วยที่มีความยาวเท่ากันเท่านั้น
ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นได้ถูกขยายออกไปตามพื้นฐาน:
, จำนวนจริงอยู่ที่ไหน ตัวเลขที่ถูกเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้
ยังได้กล่าวอีกว่า เวกเตอร์นำเสนอเป็น การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน- นั่นคือการแสดงออกที่เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐานหรือ การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน
ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์นั้นสลายตัวไปตามแนวออร์โธนอร์มอลของระนาบ หรือเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์นั้นแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์
มากำหนดกัน คำจำกัดความของพื้นฐานอย่างเป็นทางการ: พื้นฐานของเครื่องบินเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่เชิงเส้น) คู่หนึ่ง , ในขณะที่ ใดๆเวกเตอร์ระนาบคือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน
จุดสำคัญของคำจำกัดความก็คือความจริงที่ว่าเวกเตอร์นั้นถูกถ่าย ในลำดับที่แน่นอน- ฐาน – นี่คือสองฐานที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! ตามที่กล่าวไว้คุณไม่สามารถเปลี่ยนนิ้วก้อยของมือซ้ายแทนที่นิ้วก้อยของมือขวาได้
เราได้หาพื้นฐานแล้ว แต่ยังไม่เพียงพอในการตั้งค่าตารางพิกัดและกำหนดพิกัดให้กับแต่ละรายการบนโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ ทำไมมันไม่พอล่ะ? เวกเตอร์นั้นฟรีและเดินไปทั่วทั้งเครื่องบิน แล้วคุณจะกำหนดพิกัดให้กับจุดสกปรกเล็กๆ น้อยๆ บนโต๊ะที่เหลือจากวันหยุดสุดสัปดาห์ได้อย่างไร? จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้น และจุดสังเกตดังกล่าวเป็นจุดที่ทุกคนคุ้นเคย - ที่มาของพิกัด มาทำความเข้าใจระบบพิกัดกันดีกว่า:
ฉันจะเริ่มต้นด้วยระบบ "โรงเรียน" อยู่ในบทเรียนเบื้องต้นแล้ว เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองฉันเน้นความแตกต่างบางประการระหว่างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและพื้นฐานออร์โธนอร์มอล นี่คือภาพมาตรฐาน:
เมื่อพวกเขาพูดถึง ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมจากนั้นส่วนใหญ่มักจะหมายถึงจุดกำเนิด พิกัดแกน และมาตราส่วนตามแกน ลองพิมพ์ "ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม" ลงในเครื่องมือค้นหา แล้วคุณจะเห็นว่าหลายแหล่งจะบอกคุณเกี่ยวกับแกนพิกัดที่คุ้นเคยตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 และวิธีการพล็อตจุดบนเครื่องบิน
ในทางกลับกัน ดูเหมือนว่าระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์ในแง่ของพื้นฐานออร์โธนอร์มอล และนั่นเกือบจะเป็นความจริง ถ้อยคำมีดังนี้:
ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดระนาบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน - นั่นก็คือระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อย่างแน่นอนถูกกำหนดโดยเวกเตอร์มุมฉากจุดเดียวและสองหน่วย นั่นคือสาเหตุที่คุณเห็นภาพวาดที่ฉันให้ไว้ข้างต้น - ในปัญหาทางเรขาคณิต มักจะวาดทั้งเวกเตอร์และแกนพิกัด (แต่ไม่เสมอไป)
ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจว่าการใช้จุด (ต้นกำเนิด) และพื้นฐานออร์โธนอร์มอล จุดใดๆ บนเครื่องบินและเวกเตอร์ใดๆ บนเครื่องบินสามารถกำหนดพิกัดได้ หากพูดเป็นรูปเป็นร่างว่า “ทุกสิ่งบนเครื่องบินสามารถนับได้”
เวกเตอร์พิกัดจำเป็นต้องเป็นหน่วยหรือไม่? ไม่ พวกเขาสามารถมีความยาวที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ตามใจชอบ พิจารณาจุดและเวกเตอร์มุมฉากสองตัวที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ตามอำเภอใจ:
พื้นฐานดังกล่าวเรียกว่า ตั้งฉาก- ต้นกำเนิดของพิกัดกับเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยตารางพิกัด และจุดใดๆ บนระนาบ เวกเตอร์ใดๆ ก็มีพิกัดของมันบนพื้นฐานที่กำหนด ตัวอย่างเช่นหรือ. ความไม่สะดวกที่เห็นได้ชัดคือเวกเตอร์พิกัด ในกรณีทั่วไปมีความยาวต่างกันนอกจากความสามัคคี หากความยาวเท่ากับความสามัคคี ก็จะได้ค่าพื้นฐานออร์โธนอร์มอลตามปกติ
- บันทึก : ในลักษณะตั้งฉาก เช่นเดียวกับด้านล่างในฐานสัมพันธ์ของระนาบและที่ว่าง ให้พิจารณาหน่วยตามแนวแกน มีเงื่อนไข- ตัวอย่างเช่น หนึ่งหน่วยตามแกน x มี 4 ซม. หนึ่งหน่วยตามแกนกำหนดมี 2 ซม. ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะแปลงพิกัด "ที่ไม่ได้มาตรฐาน" เป็น "เซนติเมตรปกติของเรา" หากจำเป็น
และคำถามที่สอง ซึ่งมีคำตอบไปแล้ว คือมุมระหว่างเวกเตอร์ฐานจะต้องเท่ากับ 90 องศาหรือไม่? เลขที่! ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความ เวกเตอร์พื้นฐานจะต้องเป็น ไม่ใช่คอลลิเนียร์เท่านั้น- ดังนั้น มุมสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 0 ถึง 180 องศา
จุดบนเครื่องบินเรียกว่า ต้นทาง, และ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, , ชุด ระบบพิกัดระนาบอัฟฟิน :
บางครั้งเรียกว่าระบบพิกัดดังกล่าว เฉียงระบบ. ตามตัวอย่าง ภาพวาดจะแสดงจุดและเวกเตอร์:
ดังที่คุณเข้าใจ ระบบพิกัดอัฟฟินนั้นสะดวกน้อยกว่า สูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์และเซ็กเมนต์ซึ่งเราพูดคุยไปแล้วในส่วนที่สองของบทเรียนนั้นใช้ไม่ได้ผล เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง,สูตรอร่อยมากมายที่เกี่ยวข้อง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์- แต่กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข สูตรสำหรับการแบ่งส่วนในส่วนนี้ รวมถึงปัญหาประเภทอื่น ๆ ที่เราจะพิจารณาในไม่ช้านี้นั้นถูกต้อง
และข้อสรุปก็คือ กรณีพิเศษที่สะดวกที่สุดของระบบพิกัดแอฟฟินคือระบบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณถึงต้องพบเธอบ่อยที่สุดที่รัก ...อย่างไรก็ตาม ทุกสิ่งในชีวิตนี้มีความสัมพันธ์กัน มีหลายสถานการณ์ที่มีมุมเฉียง (หรือมุมอื่น ๆ เช่น ขั้วโลก) ระบบพิกัด และหุ่นยนต์ฮิวแมนนอยด์อาจจะชอบระบบแบบนี้ =)
เรามาดูส่วนที่ใช้งานได้จริงกันดีกว่า ปัญหาทั้งหมดในบทเรียนนี้ใช้ได้กับทั้งระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและกรณีความสัมพันธ์ทั่วไป ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่แม้แต่เด็กนักเรียนก็สามารถเข้าถึงเนื้อหาทั้งหมดได้
จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ระนาบได้อย่างไร?
สิ่งทั่วไป เพื่อให้ได้เวกเตอร์ระนาบสองตัว อยู่ในแนวเดียวกัน จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่พิกัดที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วนโดยพื้นฐานแล้ว นี่คือรายละเอียดแบบประสานงานโดยพิกัดของความสัมพันธ์ที่ชัดเจน
ตัวอย่างที่ 1
ก) ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่ .
b) เวกเตอร์สร้างพื้นฐานหรือไม่? ?
สารละลาย:
ก) ให้เราดูว่ามีเวกเตอร์หรือไม่ ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเพื่อให้มีความเท่าเทียมกัน:
ฉันจะบอกคุณอย่างแน่นอนเกี่ยวกับการใช้กฎนี้ในรูปแบบ "ฟุ่มเฟือย" ซึ่งใช้ได้ผลค่อนข้างดีในทางปฏิบัติ แนวคิดคือสร้างสัดส่วนทันทีและดูว่าถูกต้องหรือไม่:
เรามาสร้างสัดส่วนจากอัตราส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน:
มาย่อให้สั้นลง:
ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงเป็นสัดส่วน ดังนั้น
ความสัมพันธ์สามารถทำในทางกลับกันได้ นี่เป็นตัวเลือกที่เทียบเท่า:
สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์แสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้ ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น - ความถูกต้องของพวกมันสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายผ่านการดำเนินการเบื้องต้นด้วยเวกเตอร์:
b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) เราตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความเป็นเชิงเส้น - มาสร้างระบบกันเถอะ:
จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น จากสมการที่สองเป็นไปตามนั้น ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์จึงไม่เป็นสัดส่วน
บทสรุป: เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน
โซลูชันเวอร์ชันที่เรียบง่ายมีลักษณะดังนี้:
ลองสร้างสัดส่วนจากพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐาน
โดยทั่วไปแล้ว ตัวเลือกนี้จะไม่ถูกปฏิเสธโดยผู้ตรวจสอบ แต่เกิดปัญหาในกรณีที่พิกัดบางพิกัดมีค่าเท่ากับศูนย์ แบบนี้: - หรือเช่นนี้: - หรือเช่นนี้: - ทำงานตามสัดส่วนที่นี่ได้อย่างไร? (อันที่จริงคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ด้วยเหตุนี้ฉันจึงเรียกวิธีแก้ปัญหาแบบง่ายว่า "foppish"
คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม
ตัวอย่างเชิงสร้างสรรค์เล็กๆ น้อยๆ สำหรับโซลูชันของคุณเอง:
ตัวอย่างที่ 2
เวกเตอร์มีค่าเท่ากับพารามิเตอร์เท่าใด พวกเขาจะเรียงกันไหม?
ในสารละลายตัวอย่าง พารามิเตอร์จะพบได้จากสัดส่วน
มีวิธีพีชคณิตที่หรูหราในการตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความสอดคล้องกัน มาจัดระบบความรู้ของเราและเพิ่มเป็นจุดที่ห้า:
สำหรับเวกเตอร์ระนาบสองตัว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:
2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง
+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ไม่ใช่ศูนย์.
ตามลำดับ ข้อความตรงข้ามต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
2) เวกเตอร์ไม่ได้สร้างพื้นฐาน
3) เวกเตอร์เป็นแบบเส้นตรง;
4) เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน
+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์.
ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งว่าตอนนี้คุณจะเข้าใจข้อกำหนดและข้อความทั้งหมดที่คุณพบแล้ว
มาดูประเด็นที่ห้าใหม่ให้ละเอียดยิ่งขึ้น: เวกเตอร์ระนาบสองอัน อยู่ในแนวเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์- แน่นอนว่าหากต้องการใช้ฟีเจอร์นี้ คุณจะต้องสามารถทำได้ ค้นหาปัจจัยกำหนด.
มาตัดสินใจกันตัวอย่างที่ 1 ในวิธีที่สอง:
ก) ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :
, ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกัน
b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน
คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม
มันดูกะทัดรัดและสวยกว่าโซลูชันที่มีสัดส่วนมาก
ด้วยความช่วยเหลือของวัสดุที่พิจารณา มันเป็นไปได้ที่จะสร้างไม่เพียงแต่ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เท่านั้น แต่ยังพิสูจน์ความขนานของเซ็กเมนต์และเส้นตรงได้ด้วย ลองพิจารณาปัญหาสองสามประการเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะกัน
ตัวอย่างที่ 3
จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์: ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาดในปัญหา เนื่องจากการแก้ปัญหาจะเป็นการวิเคราะห์ล้วนๆ จำคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
สี่เหลี่ยมด้านขนาน
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่เรียกว่า
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิสูจน์:
1) ความขนานของด้านตรงข้ามและ;
2) ความขนานของด้านตรงข้าม และ
เราพิสูจน์:
1) ค้นหาเวกเตอร์:
2) ค้นหาเวกเตอร์:
ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์เดียวกัน (“ตามโรงเรียน” – เวกเตอร์เท่ากัน) Collinearity ค่อนข้างชัดเจน แต่จะดีกว่าถ้าทำการตัดสินใจให้ชัดเจนและมีการจัดเตรียมไว้จะดีกว่า ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรง และ
บทสรุป: ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกันเป็นคู่ๆ ซึ่งหมายความว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำนิยาม Q.E.D.
ตัวเลขที่ดีและแตกต่างมากขึ้น:
ตัวอย่างที่ 4
จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
สำหรับการกำหนดหลักฐานที่เข้มงวดมากขึ้น แน่นอนว่าจะดีกว่าถ้าได้คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ก็เพียงพอแล้วที่จะจำไว้ว่ามันมีลักษณะอย่างไร
นี่เป็นงานสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มในตอนท้ายของบทเรียน
และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะค่อยๆ เคลื่อนตัวจากเครื่องบินไปสู่อวกาศ:
จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์อวกาศได้อย่างไร?
กฎนี้คล้ายกันมาก เพื่อให้เวกเตอร์อวกาศสองตัวอยู่ในแนวเดียวกัน พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านั้นจะต้องเป็นสัดส่วนกันจึงจำเป็นและเพียงพอ.
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่:
ก) ;
ข)
วี)
สารละลาย:
ก) มาตรวจสอบว่ามีค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสำหรับพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หรือไม่:
ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน
“ประยุกต์” ถูกทำให้เป็นทางการโดยการตรวจสอบสัดส่วน ในกรณีนี้:
– พิกัดที่สอดคล้องกันไม่เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน
คำตอบ:เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง
b-c) สิ่งเหล่านี้เป็นจุดสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ ลองใช้สองวิธี
มีวิธีการตรวจสอบเวกเตอร์เชิงพื้นที่เพื่อหาความสอดคล้องกันผ่านปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม วิธีการนี้จะกล่าวถึงในบทความนี้ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์.
เช่นเดียวกับกรณีเครื่องบิน เครื่องมือที่ได้รับการพิจารณาสามารถใช้เพื่อศึกษาความขนานของส่วนเชิงพื้นที่และเส้นตรงได้
ยินดีต้อนรับสู่ส่วนที่สอง:
การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ
พื้นฐานเชิงพื้นที่และระบบพิกัดสัมพันธ์
รูปแบบหลายๆ รูปแบบที่เราตรวจสอบบนเครื่องบินก็ใช้ได้กับอวกาศเช่นกัน ฉันพยายามย่อบันทึกทางทฤษฎีให้เหลือน้อยที่สุด เนื่องจากส่วนแบ่งข้อมูลส่วนใหญ่ถูกเคี้ยวไปแล้ว อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านส่วนเกริ่นนำอย่างละเอียด เนื่องจากข้อกำหนดและแนวคิดใหม่จะปรากฏขึ้น
ตอนนี้ แทนที่จะเป็นระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ เราสำรวจอวกาศสามมิติ ก่อนอื่นเรามาสร้างพื้นฐานกันก่อน ขณะนี้มีคนอยู่ในบ้าน บางคนอยู่กลางแจ้ง แต่ไม่ว่าในกรณีใด เราไม่สามารถหลบหนีสามมิติ ได้แก่ ความกว้าง ความยาว และความสูง ดังนั้น ในการสร้างพื้นฐาน จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์เชิงพื้นที่ 3 ตัว เวกเตอร์หนึ่งหรือสองตัวไม่เพียงพอ เวกเตอร์ตัวที่สี่นั้นไม่จำเป็น
และอีกครั้งที่เราอุ่นเครื่องบนนิ้วของเรา โปรดยกมือขึ้นแล้วกางไปในทิศทางต่างๆ นิ้วหัวแม่มือ นิ้วชี้ และนิ้วกลาง- พวกนี้จะเป็นเวกเตอร์ โดยมองไปในทิศทางต่างกัน มีความยาวต่างกัน และมีมุมระหว่างกันต่างกัน ขอแสดงความยินดี พื้นฐานของพื้นที่สามมิติพร้อมแล้ว! ยังไงก็ตามไม่จำเป็นต้องแสดงสิ่งนี้ให้ครูเห็นไม่ว่าคุณจะบิดนิ้วแรงแค่ไหน แต่ก็หนีไม่พ้นคำจำกัดความ =)
ต่อไป เรามาถามคำถามสำคัญ: เวกเตอร์สามตัวใดๆ จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ- กรุณากดสามนิ้วที่ด้านบนของโต๊ะคอมพิวเตอร์ให้แน่น เกิดอะไรขึ้น เวกเตอร์สามตัวอยู่ในระนาบเดียวกัน และพูดคร่าวๆ ก็คือ เราได้สูญเสียมิติหนึ่งไป นั่นก็คือความสูง เวกเตอร์ดังกล่าวคือ เครื่องบินร่วมและเห็นได้ชัดว่าไม่ได้สร้างพื้นฐานของพื้นที่สามมิติ
ควรสังเกตว่าเวกเตอร์ coplanar ไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน แต่สามารถอยู่ในระนาบขนานได้ (อย่าใช้นิ้วทำเช่นนี้ มีเพียง Salvador Dali เท่านั้นที่ทำเช่นนี้ =))
คำนิยาม: เรียกว่าเวกเตอร์ เครื่องบินร่วมหากมีระนาบที่ขนานกัน เป็นตรรกะที่ต้องเพิ่มตรงนี้ว่า หากไม่มีระนาบดังกล่าว เวกเตอร์ก็จะไม่เป็นระนาบเดียวกัน
เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเสมอนั่นคือพวกมันถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน เพื่อความง่าย ลองจินตนาการอีกครั้งว่าพวกเขาอยู่ในระนาบเดียวกัน ประการแรก เวกเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นโคพลานาร์เท่านั้น แต่ยังสามารถอยู่ในระนาบเดียวกันได้ด้วย จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามสามารถแสดงผ่านเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ ในกรณีที่สอง ตัวอย่างเช่น ถ้าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน เวกเตอร์ที่สามก็จะแสดงผ่านเวกเตอร์เหล่านั้นในลักษณะเฉพาะ: (และเหตุใดจึงเดาง่ายจากเนื้อหาในหัวข้อที่แล้ว)
การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัวจะเป็นอิสระเชิงเส้นเสมอนั่นคือพวกเขาไม่ได้แสดงออกผ่านกันในทางใดทางหนึ่ง และเห็นได้ชัดว่ามีเพียงเวกเตอร์ดังกล่าวเท่านั้นที่สามารถสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติได้
คำนิยาม: พื้นฐานของพื้นที่สามมิติเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามเท่า (ไม่ใช่โคพลานาร์) ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอนและเวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิ วิธีเดียวเท่านั้นถูกสลายไปบนพื้นฐานที่กำหนด โดยที่พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้อยู่ที่ไหน
ฉันขอเตือนคุณว่าเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์แสดงอยู่ในรูปแบบด้วย การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน
แนวคิดของระบบพิกัดถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับกรณีระนาบ จุดเดียวและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามจุดก็เพียงพอแล้ว:
ต้นทาง, และ ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอน, ชุด ระบบพิกัดสัมพันธ์ของปริภูมิสามมิติ
:
แน่นอนว่าตารางพิกัดนั้น "เอียง" และไม่สะดวก แต่ถึงกระนั้นระบบพิกัดที่สร้างขึ้นก็ช่วยให้เรา อย่างแน่นอนกำหนดพิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของจุดใด ๆ ในอวกาศ เช่นเดียวกับเครื่องบิน สูตรบางสูตรที่ผมได้กล่าวไปแล้วจะใช้ไม่ได้ในระบบพิกัดอัฟฟินของอวกาศ
กรณีพิเศษที่คุ้นเคยและสะดวกที่สุดของระบบพิกัดอัฟฟินตามที่ทุกคนเดาก็คือ ระบบพิกัดพื้นที่สี่เหลี่ยม:
จุดหนึ่งในอวกาศที่เรียกว่า ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดอวกาศสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน
- ภาพที่คุ้นเคย:
ก่อนที่จะไปสู่การปฏิบัติ เรามาจัดระบบข้อมูลอีกครั้ง:
สำหรับเวกเตอร์ปริภูมิสามตัว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น
2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่ใช่ระนาบเดียว
4) เวกเตอร์ไม่สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้
5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ แตกต่างจากศูนย์
ฉันคิดว่าข้อความที่ตรงกันข้ามสามารถเข้าใจได้
การพึ่งพาเชิงเส้น/ความเป็นอิสระของเวกเตอร์ปริภูมิจะถูกตรวจสอบแบบดั้งเดิมโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ (จุดที่ 5) งานภาคปฏิบัติที่เหลือจะมีลักษณะพีชคณิตที่ชัดเจน ถึงเวลาที่จะแขวนแท่งทรงเรขาคณิตแล้วควงไม้เบสบอลของพีชคณิตเชิงเส้น:
เวกเตอร์อวกาศสามตัวเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์: .
ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความแตกต่างทางเทคนิคเล็กน้อย: พิกัดของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ไม่เพียง แต่ในคอลัมน์เท่านั้น แต่ยังอยู่ในแถวด้วย (ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้ - ดูคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์) แต่จะดีกว่ามากในคอลัมน์เนื่องจากมีประโยชน์มากกว่าในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ
สำหรับผู้อ่านที่ลืมวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ไปบ้างหรืออาจมีความเข้าใจเพียงเล็กน้อยในเรื่องนี้ ฉันขอแนะนำบทเรียนที่เก่าแก่ที่สุดบทหนึ่งของฉัน: จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 6
ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้เป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติหรือไม่:
สารละลาย: อันที่จริง คำตอบทั้งหมดขึ้นอยู่กับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์
ก) ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ถูกเปิดเผยในบรรทัดแรก):
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่ระนาบร่วม) และสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ
คำตอบ: เวกเตอร์เหล่านี้เป็นฐาน
b) นี่คือประเด็นสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
นอกจากนี้ยังมีงานสร้างสรรค์:
ตัวอย่างที่ 7
เวกเตอร์จะเป็นโคระนาบที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด
สารละลาย: เวกเตอร์จะเป็นระนาบเดียวก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์:
โดยพื้นฐานแล้ว คุณต้องแก้สมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์ เราโฉบลงบนศูนย์เหมือนว่าวบน jerboas - เป็นการดีที่สุดที่จะเปิดดีเทอร์มิแนนต์ในบรรทัดที่สองและกำจัด minuses ทันที:
เราดำเนินการลดความซับซ้อนเพิ่มเติมและลดเรื่องให้เป็นสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:
คำตอบ: ที่
ง่ายต่อการตรวจสอบที่นี่ โดยคุณต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ให้เป็นค่าดีเทอร์มิแนนต์เดิมและตรวจสอบให้แน่ใจว่า , เปิดอีกครั้ง.
โดยสรุป เราจะพิจารณาปัญหาทั่วไปอีกปัญหาหนึ่ง ซึ่งมีลักษณะเป็นพีชคณิตมากกว่าและมักจะรวมอยู่ในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น เป็นเรื่องปกติมากที่สมควรได้รับหัวข้อของตัวเอง:
พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ 3 ตัวเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ
และหาพิกัดของเวกเตอร์ตัวที่ 4 บนพื้นฐานนี้
ตัวอย่างที่ 8
มีการระบุเวกเตอร์ แสดงว่าเวกเตอร์สร้างพื้นฐานในปริภูมิสามมิติและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้
สารละลาย: ก่อนอื่นมาจัดการกับเงื่อนไขกันก่อน ตามเงื่อนไข จะมีการกำหนดเวกเตอร์สี่ตัว และอย่างที่คุณเห็น เวกเตอร์เหล่านี้มีพิกัดอยู่แล้วในบางพื้นฐาน สิ่งที่เป็นพื้นฐานนี้ไม่น่าสนใจสำหรับเรา และสิ่งต่อไปนี้น่าสนใจ: เวกเตอร์สามตัวอาจสร้างฐานใหม่ได้ และขั้นตอนแรกเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบของตัวอย่างที่ 6 โดยสมบูรณ์ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นจริงหรือไม่:
ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ
- สำคัญ : พิกัดเวกเตอร์ จำเป็นเขียนลงไป ลงในคอลัมน์ดีเทอร์มิแนนต์ ไม่ใช่ในสตริง มิฉะนั้นจะเกิดความสับสนในอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเพิ่มเติม
ในการตรวจสอบว่าระบบของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหรือไม่ จำเป็นต้องเขียนผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ และตรวจสอบว่าสามารถเป็นศูนย์ได้หรือไม่หากสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์
กรณีที่ 1 ระบบเวกเตอร์กำหนดโดยเวกเตอร์
การสร้างผลรวมเชิงเส้น
เราได้รับระบบสมการเอกพันธ์ ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์จะต้องเท่ากับศูนย์ ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์และหาค่าของมันกัน
ดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง
กรณีที่ 2 ระบบเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการวิเคราะห์:
ก)
ถ้าเอกลักษณ์เป็นจริง ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง
มาสร้างผลรวมเชิงเส้นกัน
มีความจำเป็นต้องตรวจสอบว่ามี a, b, c อยู่หรือไม่ (อย่างน้อยหนึ่งรายการไม่เท่ากับศูนย์) ซึ่งนิพจน์นี้เท่ากับศูนย์
มาเขียนฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกกันดีกว่า
,
, แล้ว
จากนั้นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จะอยู่ในรูปแบบ:
ที่ไหน
สมมุติว่าผลรวมเชิงเส้นเป็นศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงขึ้นกับเชิงเส้นตรง
คำตอบ: ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง
ข)
ลองสร้างผลรวมเชิงเส้นกัน
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จะต้องเท่ากับศูนย์สำหรับค่าใด ๆ ของ x
มาตรวจสอบกรณีพิเศษกัน
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
ดังนั้นระบบจึงเป็นอิสระเชิงเส้น
คำตอบ: ระบบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น
5.3. ค้นหาพื้นฐานและกำหนดขนาดของพื้นที่โซลูชันเชิงเส้น
ลองสร้างเมทริกซ์แบบขยายและลดขนาดให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้วิธีเกาส์เซียน
เพื่อให้ได้พื้นฐานมาแทนที่ค่าที่กำหนดเอง:
เรามาพิกัดที่เหลือกันดีกว่า
คำตอบ:
5.4. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ X บนพื้นฐาน หากระบุไว้ในฐาน
การค้นหาพิกัดเวกเตอร์ในรูปแบบใหม่นั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ระบบสมการ
วิธีที่ 1 การค้นหาโดยใช้เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง
มาสร้างเมทริกซ์ทรานซิชันกันดีกว่า
ลองหาเวกเตอร์ในฐานใหม่โดยใช้สูตร
ลองหาเมทริกซ์ผกผันแล้วทำการคูณกัน
,
วิธีที่ 2 การค้นหาโดยการเขียนระบบสมการ
ลองเขียนเวกเตอร์พื้นฐานจากค่าสัมประสิทธิ์พื้นฐานกัน
,
,
การค้นหาเวกเตอร์บนพื้นฐานใหม่จะมีรูปแบบ
, ที่ไหน งนี่คือเวกเตอร์ที่กำหนด x.
สมการผลลัพธ์สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีใดคำตอบจะคล้ายกัน
คำตอบ: เวกเตอร์ในรูปแบบใหม่
.
5.5. ให้ x = (x 1 , x 2 , x 3 ) - การแปลงต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่?
ลองเขียนเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นจากสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ที่กำหนดกัน
ลองตรวจสอบคุณสมบัติของการดำเนินการเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์ตัวดำเนินการเชิงเส้นแต่ละตัว
เราหาด้านซ้ายโดยการคูณเมทริกซ์ กเป็นเวกเตอร์
เราค้นหาด้านขวาโดยการคูณเวกเตอร์ที่กำหนดด้วยสเกลาร์
.
เราเห็นสิ่งนั้น
ซึ่งหมายความว่าการแปลงไม่เป็นเชิงเส้น
ลองตรวจสอบเวกเตอร์อื่นกัน
, การแปลงไม่เป็นเชิงเส้น
, การแปลงเป็นเส้นตรง
คำตอบ: โอ้– ไม่ใช่การแปลงเชิงเส้น ใน– ไม่เป็นเส้นตรง Cx– เชิงเส้น
บันทึก.คุณสามารถทำงานนี้ให้สำเร็จได้ง่ายขึ้นมากโดยดูเวกเตอร์ที่ให้มาอย่างระมัดระวัง ใน โอ้เราเห็นว่ามีคำศัพท์ที่ไม่มีองค์ประกอบอยู่ เอ็กซ์ซึ่งไม่สามารถรับได้เนื่องจากการดำเนินการเชิงเส้น ใน ในมีองค์ประกอบอยู่ เอ็กซ์ยกกำลังสาม ซึ่งไม่สามารถหาได้จากการคูณด้วยเวกเตอร์ เอ็กซ์.
5.6. ที่ให้ไว้ x = { x 1 , x 2 , x 3 } , ขวาน = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , บีเอ็กซ์ = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } - ดำเนินการตามที่ระบุ: ( ก ( บี – ก )) x .
ให้เราเขียนเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น
เรามาดำเนินการกับเมทริกซ์กัน
เมื่อคูณเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วย X เราจะได้
คำตอบ:
คำนิยาม. ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a 1 , ..., a n ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ x 1 , ..., x n เรียกว่าเวกเตอร์
x 1 ก 1 + ... + x n ก n .
เล็กน้อยถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด x 1 , ..., xn เท่ากับศูนย์
คำนิยาม. การรวมกันเชิงเส้น x 1 a 1 + ... + xn a n เรียกว่า ไม่สำคัญหากค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า x 1, ..., xn ไม่เท่ากับศูนย์
เป็นอิสระเชิงเส้นหากไม่มีผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้ที่ไม่สำคัญเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์
นั่นคือ เวกเตอร์ a 1, ..., a n มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ถ้า x 1 a 1 + ... + xn a n = 0 ก็ต่อเมื่อ x 1 = 0, ..., x n = 0
คำนิยาม. เวกเตอร์ a 1, ..., a n ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีการรวมกันของเวกเตอร์เหล่านี้ที่ไม่สำคัญซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์
คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น:
สำหรับเวกเตอร์ n มิติ
เวกเตอร์ n + 1 จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเสมอ
สำหรับเวกเตอร์ 2 และ 3 มิติ
เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสองตัวนั้นอยู่ในแนวเดียวกัน (เวกเตอร์คอลลิเนียร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง)
สำหรับเวกเตอร์สามมิติ
เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสามตัวคือโคพลานาร์ (เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง)
ตัวอย่างปัญหาเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์:
ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงหรือไม่ .
สารละลาย:
เวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจากขนาดของเวกเตอร์น้อยกว่าจำนวนเวกเตอร์
ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่
สารละลาย:
x 1 + x 2 = 0 | |
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
x 1 + x 3 = 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
1 | 2 | -1 | 0 | |||
1 | 0 | 1 | 0 |
~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
ลบอันที่สองจากบรรทัดแรก เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม:
~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ผลเฉลยนี้แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย กล่าวคือ มีค่าผสมของตัวเลข x 1, x 2, x 3 ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a, b, c เท่ากับ เวกเตอร์ศูนย์ เช่น:
ก + ข + ค = 0
และนี่หมายถึงเวกเตอร์ a, b, c ขึ้นกับเชิงเส้นตรง
คำตอบ:เวกเตอร์ a, b, c ขึ้นอยู่เชิงเส้นตรง
ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่
สารละลาย:ให้เราค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์
x 1 ก + x 2 ข + x 3 ค 1 = 0สมการเวกเตอร์นี้สามารถเขียนเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้
x 1 + x 2 = 0 | |
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
x 1 + 2x 3 = 0 |
เรามาแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีเกาส์กัน
1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
1 | 2 | -1 | 0 | |||
1 | 0 | 2 | 0 |
ลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สอง ลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สาม:
~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
ลบอันที่สองจากบรรทัดแรก เพิ่มวินาทีในบรรทัดที่สาม
เวกเตอร์ คุณสมบัติ และการกระทำกับเวกเตอร์
เวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ สเปซเวกเตอร์เชิงเส้น
เวกเตอร์คือชุดรวมของจำนวนจริงที่มีจำนวนจำกัดตามลำดับ
การดำเนินการ: 1. การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. การบวกเวกเตอร์ (อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์เดียวกัน) เวกเตอร์ x + เวกเตอร์ y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. เวกเตอร์ 0=(0,0…0)---n E n – n มิติ (ปริภูมิเชิงเส้น) เวกเตอร์ x + เวกเตอร์ 0 = เวกเตอร์ x
ทฤษฎีบท. เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์ n ซึ่งเป็นปริภูมิเชิงเส้น n มิติ เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งจะต้องเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น
ทฤษฎีบท. เซตของเวกเตอร์ลำดับที่ n+ ใดๆ ของปริภูมิเชิงเส้น n มิติของปรากฏการณ์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข การลบเวกเตอร์
ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นจะต้องตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ หากเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยการขยายในเวกเตอร์หน่วยพื้นฐาน จากนั้นเมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดที่สอดคล้องกันจะถูกเพิ่มเข้าไป
ลองพิจารณาเรื่องนี้โดยใช้ตัวอย่างของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน อนุญาต
มาแสดงกันเถอะ
จากภาพที่ 3 ชัดเจนว่า
ผลรวมของเวกเตอร์จำนวนจำกัดใดๆ สามารถพบได้โดยใช้กฎรูปหลายเหลี่ยม (รูปที่ 4): เพื่อสร้างผลรวมของเวกเตอร์จำนวนจำกัด ก็เพียงพอที่จะรวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ตามมาแต่ละอันเข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ก่อนหน้า และสร้างเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย
คุณสมบัติของการดำเนินการบวกเวกเตอร์:
ในนิพจน์เหล่านี้ m, n คือตัวเลข
ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ เทอมที่สองคือเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ในทิศทาง แต่มีความยาวเท่ากับเวกเตอร์
ดังนั้นการดำเนินการลบเวกเตอร์จึงถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการบวก
เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิดและสิ้นสุดที่จุด A (x1, y1, z1) เรียกว่าเวกเตอร์รัศมีของจุด A และเขียนแทนง่ายๆ เนื่องจากพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุด A การขยายตัวในหน่วยเวกเตอร์จึงมีรูปแบบ
เวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุด A(x1, y1, z1) และสิ้นสุดที่จุด B(x2, y2, z2) สามารถเขียนได้เป็น
โดยที่ r 2 คือเวกเตอร์รัศมีของจุด B; r 1 - เวกเตอร์รัศมีของจุด A
ดังนั้นการขยายตัวของเวกเตอร์ในหน่วยเวกเตอร์จึงมีรูปแบบ
ความยาวเท่ากับระยะห่างระหว่างจุด A และ B
การคูณ
ดังนั้นในกรณีที่เกิดปัญหาระนาบ ผลคูณของเวกเตอร์โดย a = (ax; ay) คูณจำนวน b จะถูกหาได้จากสูตร
a b = (ขวาน b; ay b)
ตัวอย่างที่ 1. ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ a = (1; 2) คูณ 3
3 ก = (3 1; 3 2) = (3; 6)
ดังนั้น ในกรณีที่เกิดปัญหาเชิงพื้นที่ ผลคูณของเวกเตอร์ a = (ax; ay; az) ตามจำนวน b จะพบได้จากสูตร
a b = (ขวาน b; ay b; az b)
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ a = (1; 2; -5) คูณ 2
2 ก = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
ผลคูณดอทของเวกเตอร์และ มุมระหว่างเวกเตอร์และอยู่ที่ไหน ; ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว
จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะได้ดังนี้
โดยที่ ตัวอย่างเช่น คือขนาดของเส้นโครงของเวกเตอร์ไปยังทิศทางของเวกเตอร์
เวกเตอร์กำลังสองแบบสเกลาร์:
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท:
สินค้าดอทในพิกัด
ถ้า ที่
มุมระหว่างเวกเตอร์
มุมระหว่างเวกเตอร์ - มุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์เหล่านี้ (มุมที่เล็กที่สุด)
ครอสโปรดัค (ครอสโปรดัคของเวกเตอร์สองตัว) -นี่เป็นเวกเตอร์เทียมที่ตั้งฉากกับระนาบที่สร้างจากปัจจัยสองประการ ซึ่งเป็นผลมาจากการดำเนินการไบนารี่ "การคูณเวกเตอร์" บนเวกเตอร์ในปริภูมิยูคลิดสามมิติ ผลคูณไม่สามารถสับเปลี่ยนหรือเชื่อมโยงได้ (เป็นสารต้านสับเปลี่ยน) และแตกต่างจากผลคูณดอทของเวกเตอร์ ในปัญหาทางวิศวกรรมและฟิสิกส์หลายๆ อย่าง คุณจะต้องสามารถสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่มีอยู่สองตัวได้ - ผลคูณของเวกเตอร์ให้โอกาสนี้ ผลคูณไขว้มีประโยชน์สำหรับ "การวัด" เส้นตั้งฉากของเวกเตอร์ - ความยาวของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของความยาวหากพวกมันตั้งฉากกัน และจะลดลงเหลือศูนย์หากเวกเตอร์ขนานกันหรือขนานกัน
ผลคูณไขว้ถูกกำหนดไว้เฉพาะในช่องว่างสามมิติและเจ็ดมิติเท่านั้น ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เช่นเดียวกับผลคูณสเกลาร์ ขึ้นอยู่กับหน่วยเมตริกของปริภูมิแบบยุคลิด
ต่างจากสูตรในการคำนวณเวกเตอร์ผลคูณสเกลาร์จากพิกัดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามมิติ สูตรสำหรับผลคูณไขว้นั้นขึ้นอยู่กับการวางแนวของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ "chirality"
เส้นตรงของเวกเตอร์
เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เท่ากับ 0) สองตัวจะถูกเรียกว่าคอลลิเนียร์หากพวกมันอยู่บนเส้นคู่ขนานหรืออยู่บนเส้นเดียวกัน คำพ้องความหมายที่ยอมรับได้ แต่ไม่แนะนำคือเวกเตอร์ "ขนาน" เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถมีทิศทางที่เหมือนกัน ("โคไดนามิก") หรือทิศทางตรงกันข้าม (ในกรณีหลังบางครั้งเรียกว่า "แอนติคอลลิเนียร์" หรือ "แอนติขนาน")
ผลคูณผสมของเวกเตอร์( ก ข ค)- ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ b และ c:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
บางครั้งเรียกว่าผลคูณสามจุดของเวกเตอร์ เนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้เป็นสเกลาร์ (หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือสเกลาร์เทียม)
ความหมายทางเรขาคณิต: โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมมีค่าเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ (ก,ข,ค) .
คุณสมบัติ
ผลิตภัณฑ์แบบผสมมีความเบ้สมมาตรโดยคำนึงถึงข้อโต้แย้งทั้งหมด: กล่าวคือ e. การจัดเรียงปัจจัยทั้งสองใหม่จะเปลี่ยนเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์ ผลคูณผสมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนด้านขวา (ในรูปแบบออร์โธนอร์มอล) เท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ และ:
ผลคูณผสมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนด้านซ้าย (ในรูปแบบออร์โธนอร์มอล) เท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ และนำมาด้วยเครื่องหมายลบ:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
หากเวกเตอร์สองตัวใดขนานกัน แล้วเวกเตอร์ตัวที่สามจะเกิดผลคูณผสมเท่ากับศูนย์
หากเวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง (นั่นคือ coplanar อยู่ในระนาบเดียวกัน) ผลคูณที่ผสมกันจะเท่ากับศูนย์
ความหมายทางเรขาคณิต - ผลคูณผสมมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์กับปริมาตรของเส้นขนาน (ดูรูป) ที่เกิดจากเวกเตอร์และ เครื่องหมายขึ้นอยู่กับว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้ถนัดขวาหรือถนัดซ้าย
ระนาบร่วมของเวกเตอร์
เวกเตอร์ 3 ตัว (หรือจำนวนที่มากกว่า) เรียกว่า coplanar ถ้าพวกมันถูกรีดิวซ์ให้เหลือจุดกำเนิดร่วมอยู่ในระนาบเดียวกัน
คุณสมบัติของระนาบร่วม
ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสามเวกเตอร์เป็นศูนย์ แล้วเวกเตอร์ทั้งสามนั้นก็ถูกพิจารณาว่าเป็นระนาบเดียวกัน
เวกเตอร์สามตัวที่มีเวกเตอร์คอลลิเนียร์คู่หนึ่งคือโคพลานาร์
ผลคูณผสมของเวกเตอร์โคพลานาร์ นี่คือเกณฑ์สำหรับ coplanarity ของเวกเตอร์สามตัว
เวกเตอร์โคพลานาร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง นี่เป็นเกณฑ์สำหรับการทำงานร่วมกันด้วย
ในปริภูมิ 3 มิติ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน 3 ตัวจะก่อตัวเป็นพื้นฐาน
เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น
ระบบเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและเป็นอิสระคำนิยาม- เรียกว่าระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีผลรวมเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญอย่างน้อยหนึ่งตัวของเวกเตอร์เหล่านี้ ซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ มิฉะนั้นนั่นคือ หากเพียงผลรวมเชิงเส้นเล็กน้อยของเวกเตอร์ที่กำหนดเท่านั้นที่เท่ากับเวกเตอร์ว่าง เวกเตอร์จะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น.
ทฤษฎีบท (เกณฑ์การพึ่งพาเชิงเส้น)- เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นเป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งตัวจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ
1) หากในบรรดาเวกเตอร์มีเวกเตอร์ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว ระบบเวกเตอร์ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง
ในความเป็นจริง ตัวอย่างเช่น หาก สมมุติว่า เรามีผลรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญ ▲
2) ถ้าเวกเตอร์บางตัวก่อตัวเป็นระบบที่ขึ้นต่อเชิงเส้น ดังนั้นทั้งระบบก็จะขึ้นต่อกันเป็นเส้นตรง
แท้จริงแล้ว ให้เวกเตอร์ , , เป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่ามีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่แล้วสมมุติว่า เรายังได้รับผลรวมเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ด้วย
2. พื้นฐานและมิติ คำนิยาม- ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ พื้นฐานของปริภูมินี้หากเวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบนี้ กล่าวคือ สำหรับเวกเตอร์แต่ละตัวจะมีจำนวนจริง ความเสมอภาคนั้นจึงเรียกว่าความเสมอภาคนี้ การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐานและตัวเลข ถูกเรียก พิกัดของเวกเตอร์สัมพันธ์กับฐาน(หรือ ในพื้นฐาน) .
ทฤษฎีบท (บนเอกลักษณ์ของการขยายตัวโดยคำนึงถึงพื้นฐาน). เวกเตอร์ทุกตัวในอวกาศสามารถขยายเป็นฐานได้ ในทางเดียวนั่นคือ พิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวบนพื้นฐาน ถูกกำหนดไว้อย่างไม่คลุมเครือ