ความหมายของการเคลื่อนไหวแบบฮาร์มอนิกในสารานุกรมของ Brockhaus และ Efron การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์(ในกลศาสตร์คลาสสิก) - ระบบที่เมื่อถอดออกจากตำแหน่งสมดุล จะได้สัมผัสกับการกระทำของแรงที่คืนตัว ฉ, เป็นสัดส่วนกับการกระจัด x :

ที่ไหน เค- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ถ้า ก ฉ- แรงเดียวที่กระทำต่อระบบ จากนั้นเรียกว่าระบบ เรียบง่ายหรือ ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์นิยม. การสั่นแบบอิสระของระบบดังกล่าวแสดงถึงการเคลื่อนที่เป็นระยะรอบตำแหน่งสมดุล (การสั่นแบบฮาร์มอนิก) ความถี่และแอมพลิจูดมีค่าคงที่ และความถี่ไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด

ตัวอย่างเชิงกลของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ได้แก่ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (ที่มีมุมโก่งตัวเล็กน้อย) ลูกตุ้มบิด และระบบอะคูสติก ในบรรดาอะนาล็อกที่ไม่ใช่กลไกของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก เราสามารถแยกออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไฟฟ้าออกได้ (ดูวงจร LC)

การสั่นแบบอิสระของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์นิยม

สมการและคำตอบ

อนุญาต x- การกระจัดของจุดวัสดุเทียบกับตำแหน่งสมดุล และ ฉ- ทำหน้าที่ในการคืนแรงจุดในลักษณะใด ๆ ของรูปแบบ

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

ที่ไหน เค= คงที่ จากนั้นใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน เราสามารถเขียนความเร่งได้เป็น

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

หมายถึง ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m)และเปลี่ยน กอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดตามเวลา x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), เรามี

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

สมการเชิงอนุพันธ์นี้อธิบายพฤติกรรมของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์ มูลค่า ω 0 (\displaystyle \โอเมก้า _(0))เรียกว่าความถี่วงจร (ซึ่งหมายถึงความถี่วงกลม วัดเป็นเรเดียนต่อวินาที หากต้องการแปลงเป็นความถี่ที่มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ จะต้องหารด้วย 2 π (\displaystyle 2\pi ).)

เราจะหาคำตอบของสมการนี้ในรูปแบบ

x (t) = บาป ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

ที่นี่ ก- แอมพลิจูด, ω - ความถี่การสั่น, φ - เฟสเริ่มต้น

เราแทนค่าลงในสมการเชิงอนุพันธ์และได้:

x ¨ (t) = − A ω 2 บาป ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 บาป ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A บาป ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\โอเมก้า t+\varphi)=0).

แอมพลิจูดจะลดลง ซึ่งหมายความว่าสามารถมีค่าใดก็ได้ (รวมถึงศูนย์ - ซึ่งหมายความว่าจุดวัสดุหยุดนิ่งในตำแหน่งสมดุล) ไซน์ยังสามารถลดลงเนื่องจากความเท่าเทียมกันจะต้องคงอยู่ได้ตลอดเวลา ที. ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับความถี่การสั่นจึงยังคงอยู่:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0))

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นพื้นฐานของวิธีวิเคราะห์ประเภทการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนมากขึ้น หนึ่งในวิธีการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการแปลงฟูริเยร์ สาระสำคัญคือการแยกประเภทของการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนมากขึ้นออกเป็นชุดของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์

ระบบใดก็ตามที่เกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายจะมีคุณสมบัติหลักสองประการ:

เมื่อระบบไม่อยู่ในสภาวะสมดุล จะต้องมีแรงยึดเหนี่ยวเพื่อนำระบบกลับเข้าสู่สภาวะสมดุล
แรงคืนสภาพจะต้องตรงหรือเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับการกระจัด

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วน

ระบบสปริงโหลดแนวนอน

ตัวอย่างทั่วไปของระบบที่เกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายคือระบบสปริงมวลในอุดมคติ ซึ่งมวลจะยึดติดกับสปริงและวางบนพื้นผิวแนวนอน หากสปริงไม่บีบอัดและไม่ยืดออก จะไม่มีแรงแปรผันกระทำกับโหลดและสปริงจะอยู่ในสภาวะสมดุลเชิงกล อย่างไรก็ตาม หากโหลดออกจากตำแหน่งสมดุล สปริงจะผิดรูปและจะมีแรงกระทำจากด้านข้าง ซึ่งจะทำให้โหลดกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ในกรณีของระบบโหลดสปริง แรงดังกล่าวคือแรงยืดหยุ่นของสปริง ซึ่งเป็นไปตามกฎของฮุค:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

ที่ไหน เคมีความหมายที่เฉพาะเจาะจงมาก - นี่คือค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริง

เมื่อโหลดที่ถูกแทนที่อยู่ภายใต้การกระทำของแรงที่คืนตัว เร่งมันและพุ่งกลับไปที่จุดเริ่มต้น นั่นคือ สู่ตำแหน่งสมดุล เมื่อโหลดเข้าใกล้ตำแหน่งสมดุล แรงดึงกลับจะลดลงและมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตามในตำแหน่ง x = 0 โหลดมีการเคลื่อนที่จำนวนหนึ่ง (โมเมนตัม) ซึ่งได้มาจากการกระทำของแรงคืน ดังนั้น โหลดจะข้ามตำแหน่งสมดุล เริ่มเปลี่ยนรูปสปริงอีกครั้ง (แต่ในทิศทางตรงกันข้าม) แรงดึงกลับมีแนวโน้มที่จะทำให้ช้าลงจนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ และแรงจะพยายามทำให้โหลดกลับสู่ตำแหน่งสมดุลอีกครั้ง

หากไม่มีการสูญเสียพลังงาน โหลดจะสั่นตามที่อธิบายไว้ข้างต้น การเคลื่อนไหวนี้เป็นระยะ

ระบบสปริงโหลดแนวตั้ง

ในกรณีของโหลดที่แขวนในแนวดิ่งบนสปริงพร้อมกับแรงยืดหยุ่น แรงโน้มถ่วงกระทำ นั่นคือ แรงทั้งหมดจะเท่ากับ

F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).

หากเราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรให้ทำงานแบบไม่มีค่า x (\displaystyle x)และค่า X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k)จากนั้นสมการการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูปแบบเดียวกับกรณีของเรขาคณิตแนวนอนเฉพาะสำหรับตัวแปร X (\displaystyle X).

การสั่นจะเกิดขึ้นด้วยความถี่เดียวกัน ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). อย่างไรก็ตาม หากในกรณีแนวนอน สถานะของสปริงที่ไม่เสียรูปสอดคล้องกับสภาวะสมดุล สปริงในสภาวะสมดุลจะถูกยืดออกในแนวตั้ง การขึ้นต่อกันของความถี่กับขนาดของความเร่งของการตกอย่างอิสระ g (\displaystyle g)ในขณะที่ไม่; g (\displaystyle g)มีผลแค่การเปลี่ยนตำแหน่งสมดุลเท่านั้น m g / k (\displaystyle มก./k).

การวัดความถี่ (หรือระยะเวลา) ของการสั่นของโหลดบนสปริงถูกนำมาใช้ในอุปกรณ์สำหรับกำหนดมวลของร่างกาย - ที่เรียกว่าเครื่องวัดมวล ซึ่งใช้ในสถานีอวกาศเมื่อเครื่องชั่งไม่สามารถทำงานได้เนื่องจากสภาวะไร้น้ำหนัก

การเคลื่อนที่แบบวงกลมสากล

ในบางกรณี การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอาจถือเป็นการฉายภาพหนึ่งมิติของการเคลื่อนที่แบบวงกลมสากล

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ω ตามแนววงกลมรัศมี รซึ่งจุดศูนย์กลางคือจุดกำเนิดของระนาบ x - ยจากนั้นการเคลื่อนที่ดังกล่าวไปตามแกนพิกัดแต่ละแกนจะเป็นฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่มีแอมพลิจูด รและความถี่แบบวงกลม ω .

น้ำหนักเหมือนลูกตุ้มธรรมดา

ในการประมาณมุมเล็ก การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่ายจะใกล้เคียงกับฮาร์โมนิกอย่างง่าย ระยะเวลาของการสั่นของลูกตุ้มดังกล่าวที่ติดกับแท่งยาว ℓ ถูกกำหนดโดยสูตร

T = 2πℓก. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))))

ที่ไหน ช- การเร่งแรงโน้มถ่วง นี่แสดงว่าคาบของการแกว่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม แต่ขึ้นอยู่กับ ชดังนั้นด้วยความยาวลูกตุ้มเท่ากันบนดวงจันทร์มันจะแกว่งช้าลงเนื่องจากแรงโน้มถ่วงนั้นอ่อนลงและค่าความเร่งของการตกอย่างอิสระจะต่ำกว่า

ค่าประมาณที่ระบุนั้นถูกต้องเฉพาะที่มุมโก่งตัวเล็กน้อย เนื่องจากนิพจน์สำหรับการเร่งความเร็วเชิงมุมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของพิกัด:

ℓ m g บาป ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

ที่ไหน ฉัน- โมเมนต์ความเฉื่อย ; ในกรณีนี้ ฉัน = มℓ 2. มุมเล็กๆ จะเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขเมื่อแอมพลิจูดการสั่นน้อยกว่าความยาวของแท่งมาก

ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

ซึ่งทำให้ความเร่งเชิงมุมเป็นสัดส่วนโดยตรงกับมุม θ และเป็นไปตามนิยามของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ฟรีออสซิลเลเตอร์ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์แบบหน่วง

สมการและคำตอบ

เมื่อพิจารณาออสซิลเลเตอร์แบบลดแรงสั่นสะท้าน แบบจำลองของออสซิลเลเตอร์แบบอนุรักษ์นิยมจะถูกนำมาเป็นพื้นฐาน โดยเพิ่มแรงเสียดทานแบบหนืดเข้าไปด้วย แรงเสียดทานหนืดนั้นพุ่งตรงต่อความเร็วของโหลดที่สัมพันธ์กับตัวกลางและเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความเร็วนี้ จากนั้นจึงเขียนแรงรวมที่กระทำต่อโหลดได้ดังนี้

F = − k x − α v . (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

เมื่อใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน เราได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงออสซิลเลเตอร์แบบหน่วง:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .)

นี่คือสัญกรณ์: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). ค่าสัมประสิทธิ์ γ (\displaystyle \gamma )เรียกว่าค่าคงที่การหน่วง มันมีมิติของความถี่ด้วย

วิธีแก้ไขแบ่งออกเป็นสามกรณี

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

ที่ไหน ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- ความถี่ของการสั่นอิสระ

x (t) = (A + B เสื้อ) e − γ เสื้อ . (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) เสื้อ))

ที่ไหน β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2)))))

การถอดเสียง

1 IV Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก ก่อนที่จะแก้ปัญหาใบปลิวควรทำซ้ำบทความ "การสั่นสะเทือนทางกล" ซึ่งมีการระบุทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด ด้วยการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก พิกัดของร่างกายจะเปลี่ยนไปตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ถ้า x = A sin ωt ดังนั้นเส้นโครงของความเร็วและความเร่งคือ v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sin ωt งาน 1. ("พิชิต Sparrow Hills!", 014,) วัตถุสองชิ้นที่มีมวล M และเชื่อมต่อกันด้วยสปริงดังแสดงในรูป ร่างกายทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกตามแนวดิ่งด้วยความถี่ ω และแอมพลิจูด A สปริงไม่มีน้ำหนัก ค้นหาอัตราส่วนของแรง F ที่ใหญ่ที่สุดและแรง F ที่เล็กที่สุดของความดันระบบบนระนาบของตาราง ความเร่งของการตกอย่างอิสระคือ g F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω สำหรับ (M +)g > Aω ปัญหา (Vseross., 006, สุดท้าย, 9) แท่งมวล M ซึ่งวางอยู่บนโต๊ะในแนวนอน และลูกตุ้มสปริงที่ประกอบด้วยน้ำหนักของมวลและสปริงยาวเบา เชื่อมต่อกันด้วยด้ายเส้นเล็กที่ยืดออกไม่ได้ที่โยนเหนืออุดมคติ บล็อกเคลื่อนที่ไม่ได้ (ดูรูป) ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างฐานของแท่งกับพื้นผิวของโต๊ะ µ = 0.3 อัตราส่วนของมวลของแท่งต่อมวลของน้ำหนักบรรทุกคือ M/ = 8 โหลดทำการสั่นในแนวดิ่งด้วยระยะเวลา T = 0.5 วินาที แอมพลิจูด A สูงสุดที่เป็นไปได้ของการสั่นดังกล่าวที่ยังคงฮาร์มอนิกคือเท่าใด A () µm 1 gt 4pi = 8.8 cm, A gt 4π = 6.3 cm; ดังนั้น A = 6.3 ซม. ปัญหาที่ 3 ลูกตุ้มทำการสั่นแบบฮาร์มอนิก ในช่วงเศษส่วนใดของคาบการสั่น ลูกตุ้มจะหลุดออกจากตำแหน่งสมดุลไม่เกินครึ่งหนึ่งของแอมพลิจูด 1/3 ปัญหาที่ 4 (MIPT, 006) ลูกบอลที่ห้อยอยู่บนสปริงยางยืดจะแกว่งด้วยคาบ T และแอมพลิจูด A ตามแนวดิ่ง มวลของลูกบอลจะมากกว่ามวลของสปริงมาก 1) หาความเร็วสูงสุด (โมดูโล) ของลูกบอล v.) หาความเร่ง (โมดูโล) ของลูกบอล ณ เวลาที่ความเร็ว (โมดูโล) เท่ากับ v /3 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 ปัญหาที่ 5 (MIPT, 1996) ถ้วยที่มีตุ้มน้ำหนักแบบสปริงอยู่นิ่ง น้ำหนักอื่นวางอยู่บนถ้วย ค้นหาแอมพลิจูดของการสั่นของถ้วย ความแข็งของสปริง A = g ปัญหาที่ 6 (MIPT, 1996) สปริงติดแน่นกับเพดานและคานด้วยมวล (ดูรูป) แถบอยู่บนขาตั้งเพื่อให้แกนของสปริงอยู่ในแนวตั้งและสปริงถูกบีบอัดด้วยค่า L ขาตั้งจะถูกถอดออกอย่างรวดเร็ว ค้นหาแอมพลิจูดของการสั่นของแถบ A = L + ก หลังจากเผาด้ายแล้ว น้ำหนักส่วนบนเริ่มแกว่งตามแอมพลิจูด A จงหามวลของน้ำหนักส่วนล่าง = A g ปัญหาที่ 8. (MIPT, 1996) ตุ้มน้ำหนักถูกมัดด้วยด้ายที่โยนข้ามบล็อกไปยังตุ้มน้ำหนักอีกก้อนหนึ่ง ซึ่งถูกตรึงไว้บนโต๊ะแนวนอนเรียบด้วยสปริงที่ติดอยู่กับผนัง (ดูรูป) ด้ายถูกไฟไหม้และโหลดบนโต๊ะเริ่มสั่นด้วยแอมพลิจูด A ค้นหาความแข็งของสปริง = g ปัญหาที่ 9 (MIPT, 199) ตุ้มน้ำหนัก 2 อันที่มีมวลรวม = 1 กก. ต่อด้วยสปริงยางยืดที่มีความฝืด = 100 นิวตัน/เมตร แขวนบนด้าย (ดูรูป) ค้นหาระยะทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งควรดึงน้ำหนักส่วนล่างลงมาในแนวดิ่งแล้วปล่อย เพื่อให้น้ำหนักส่วนบนไม่เคลื่อนไหวระหว่างการแกว่งที่ตามมา ก 10 ซม. ปัญหา 10. (MIPT, 199) ตุ้มน้ำหนัก 2 อันที่มีมวลรวม = 1 กก. ต่อด้วยด้าย แขวนบนสปริงยางยืดที่มีความแข็ง = 100 นิวตัน/เมตร (ดูรูป) ค้นหาระยะทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งควรดึงตุ้มน้ำหนักลงในแนวตั้งแล้วปล่อยออก เพื่อไม่ให้ด้ายหย่อนระหว่างการสั่นของตุ้มน้ำหนักที่ตามมา A g 10 cm ปัญหาที่ 11. (MIPT, 199) กระดานที่มีไม้ค้ำอยู่วางบนพื้นผิวเรียบในแนวนอนของโต๊ะ (ดูรูป) บล็อกหนักกว่ากระดานห้าเท่า ระบบจะแกว่งด้วยแอมพลิจูด A = 8 ซม. และคาบ T = 0.8 วินาที ไปตามพื้นผิวโต๊ะภายใต้แรงกระทำของสปริงที่ติดอยู่กับคาน บอร์ดและบาร์ระหว่างการสั่นสะเทือนจะไม่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างบอร์ดกับบาร์ค่าใดที่สามารถแกว่งได้? µ 4π A gt M 0.1

3 ปัญหาที่ 1. (MIPT, 199) กระดานที่มีไม้พาดอยู่บนพื้นผิวแนวนอนเรียบของโต๊ะ (ดูรูป) ระบบจะแกว่งภายใต้การกระทำของสปริงยืดหยุ่นในแนวเส้นตรงโดยมีคาบ T = 1 และความเร็วสูงสุด v = 0.5 เมตร/วินาที ในกรณีนี้ บอร์ดและบาร์จะไม่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานการเลื่อนระหว่างบอร์ดและบาร์ค่าใดที่สามารถเกิดขึ้นได้? µ π T v g 0.3 ปัญหา 13. (MIPT, 005) บนระนาบเรียบเรียบที่มีมุมเอียงกับขอบฟ้า α วงแหวนของมวลและแท่งมวล 3 แกว่งด้วยแอมพลิจูด A เป็นหนึ่งหน่วยตามแนวเส้นตรงภายใต้ การกระทำของสปริงที่มีความแข็งติดอยู่กับแถบ (ดูภาพ) ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานการเลื่อนระหว่างแหวนรองและแถบเลื่อนต่ำสุดเท่าไรที่เป็นไปได้? 3 α µin = tg α + A 4g cos α ดูรูป) ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานการเลื่อนระหว่างบาร์กับกระดานคือ µ การสั่นดังกล่าวเป็นไปได้ที่แอมพลิจูดสูงสุดของการสั่นเท่าใด 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) ปัญหาที่ 15. (MIPT, 007) ก้อนมวลสั่นด้วยแอมพลิจูด A 0 ตามแนวเส้นตรงบนพื้นผิวโต๊ะแนวนอนเรียบภายใต้การกระทำของสปริงยืดหยุ่น ในขณะที่การกระจัดของแท่งจากตำแหน่งสมดุลคือ A 0 /3 ชิ้นส่วนของดินน้ำมันที่มีมวลตกลงบนมันและติดอยู่ เคลื่อนที่ในแนวดิ่งก่อนกระแทก เวลาในการกระแทกจะน้อยกว่าระยะเวลาการแกว่งมาก และระหว่างการกระแทกนั้น บาร์จะไม่หลุดออกจากโต๊ะ 1) ระยะเวลาการสั่นเปลี่ยนไปอย่างไรและกี่ครั้ง) ค้นหาแอมพลิจูดของการสั่นของแท่งหลังจากติดดินน้ำมัน 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 มวลของสินค้าใหม่เป็นสามเท่าของเดิม 1) ค่าของความเร่งสูงสุด a ขวานระหว่างการแกว่งที่เกิดขึ้นแตกต่างจากค่าความเร่งของการตกอย่างอิสระ g กี่ครั้ง) โหลดเคลื่อนที่ด้วยขนาดเท่าใดในขณะที่พลังงานจลน์ T = 3U 0 ละเว้นการลดการสั่นสะเทือน 1) aax = g 3;) a = 1 3 g 3

4 ปัญหา 17. (MIPT, 003) ลูกบอลแขวนอยู่บนสปริงในสนามโน้มถ่วง ก. ในตำแหน่งสมดุล สปริงจะเก็บพลังงานไว้เท่ากับ U 0 ลูกบอลจะถูกดึงลงมาเพื่อให้พลังงาน U 1 \u003d 9U 0 /4 ถูกเก็บไว้ในสปริงแล้วปล่อยออกมา 1) ค่าความเร่งสูงสุดของขวานที่ลูกบอลเคลื่อนที่ระหว่างการสั่นในแนวดิ่งที่เกิดขึ้นมีค่าเท่าใด) พลังงานจลน์ T ของการเคลื่อนที่ของลูกบอลในขณะที่ความเร่งคือ a = a ขวาน / คือเท่าใด ละเว้นการลดการสั่นสะเทือน 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 ปัญหา 18. (MIPT, 000) ลูกบอลถูกติดตั้งบนซี่ล้อตรงในแนวนอนและสามารถเลื่อนไปตามลูกโดยไม่มีแรงเสียดทาน (ดูรูป) สปริงเบาติดอยู่กับลูกบอลโดยมวล และหยุดนิ่ง ลูกบอลมวลเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v รัศมีของลูกบอลน้อยกว่าความยาวของสปริงมาก 1) กำหนดความเร็วของมวลลูกบอลหลังจากแยกออกจากสปริง) กำหนดเวลาสัมผัสของมวลลูกบอลกับสปริง v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 ปัญหา 19. (MIPT, 000) แท่งมวลสองแท่ง v 3 และ 3 เชื่อมต่อกันด้วยด้าย เคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวโต๊ะเรียบในแนวนอนด้วยความเร็วคงที่ v. ระหว่างแท่งมีสปริงที่มีความแข็งซึ่งบีบอัดด้วย x 0 (ดูรูป) สปริงติดอยู่กับแท่งโดยมวลเท่านั้น ขนาดของแท่งมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของเธรด, มวลของสปริงถูกละเลย, ความเร็วของแท่งจะถูกส่งไปตามเธรด ระหว่างการเคลื่อนไหว ด้ายจะขาดและแถบจะเคลื่อนออกจากกันตามทิศทางเริ่มต้นของด้าย 1) ค้นหาความเร็วของแท่งมวล 3 หลังจากแยกออกจากสปริง) ค้นหาเวลาสัมผัสระหว่างสปริงกับแท่งมวล 3 นับจากเวลาที่ด้ายขาด 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 ปัญหา 0. (MIPT, 1999) ก้อนมวลเล็กๆ วางอยู่บนโต๊ะเรียบภายในโครงแข็ง ความยาวเฟรมคือ L น้ำหนัก ด้วยความช่วยเหลือของแท่งเบาและสปริง แท่งจะเชื่อมต่ออย่างแน่นหนากับส่วนรองรับแบบตายตัว (ดูรูป) แถบถูกนำไปที่ด้านตรงข้ามของเฟรมแล้วปล่อย อันเป็นผลมาจากการชนกันของยางยืด แถบและเฟรมจะทำการเคลื่อนไหวเป็นระยะ 1) จงหาความเร็วของเฟรมทันทีหลังจากการชนแท่งแรก) จงหาคาบการสั่นของแท่ง 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 ปัญหาที่ 1 (MIPT, 1999) ก้อนมวลเล็กๆ วางอยู่บนโต๊ะเรียบภายในกรอบแข็งที่มีความยาว L และมวล บาร์โดยใช้แท่งไฟและสปริงเชื่อมต่ออย่างแน่นหนากับส่วนรองรับคงที่ 1 (ดูรูป) เฟรมเชื่อมต่ออย่างแน่นหนากับสปริงรองรับแบบตายตัว ในตำแหน่งเริ่มต้น แถบแตะด้านซ้ายของเฟรม และสปริงไม่เสียรูป กรอบถูกนำไปทางซ้ายจนกระทั่งแถบสัมผัสกับผนังด้านขวาของกรอบ และปล่อย อันเป็นผลมาจากการชนกันของยางยืด แถบและเฟรมจะทำการเคลื่อนไหวเป็นระยะ 1) จงหาความเร็วของแท่งทันทีหลังจากการชนเฟรมครั้งแรก) จงหาคาบการสั่นของเฟรม 1) v = L ;) T = π ปัญหา (MIPT, 1997) ลูกบอลมวลเล็กๆ ที่มีประจุบวก q แขวนอยู่บนด้ายเส้นยาวที่ยืดออกไม่ได้ใกล้กับแผ่น P ขนาดใหญ่ที่ไม่นำไฟฟ้า (ดูรูป) กำหนดระยะเวลาของการสั่นเล็กน้อยของลูกบอลเมื่อมีประจุลบที่มีความหนาแน่นพื้นผิว σ บนจาน หากทราบว่าหากไม่มีประจุนี้ คาบการแกว่งของลูกบอลจะเท่ากับ T 0 พิจารณาความเร่ง ของแรงดึงดูดที่กำหนดให้ และเท่ากับ g T = T0 1+ σg ε 0 g ปัญหาที่ 3 (MIPT, 1997) ทรงกระบอกผนังบางที่มีพื้นผิวด้านในเรียบวางไม่เคลื่อนที่บนแผ่น P ที่ไม่นำไฟฟ้าซึ่งอยู่ในแนวนอน (ดูรูป) ขนาดของแผ่น (ในระนาบแนวนอน) นั้นใหญ่กว่าขนาดของกระบอกสูบมาก เป็นที่ทราบกันว่าอัตราส่วนของระยะเวลาการสั่นของลูกบอลที่มีประจุลบขนาดเล็กภายในกระบอกสูบที่ความหนาแน่นบวกของประจุที่พื้นผิว σ x ของเพลตต่อระยะเวลาการสั่นที่ σ = 0 เท่ากับ T x /T 0 = α . กำหนด σ x โดยพิจารณาจากอัตราส่วน α ประจุของลูกบอล q มวลของมัน และความเร่งโน้มถ่วง g ตามที่กำหนดให้ σx = ε 0(1 α)g α q ปัญหาที่ 4. (“พิชิตเนินเขาสแปร์โรว์!”, 015,) ข้อศอกแนวตั้งของท่อเรียบที่มีหน้าตัดคงที่งอเป็นมุมฉากนั้นเต็มไปด้วยของเหลวที่สามารถ ถือว่าเกือบจะสมบูรณ์แบบ ความสูงของข้อศอกนี้เท่ากับ L (และมีขนาดใหญ่กว่าขนาดตามขวางของท่ออย่างเห็นได้ชัด) และไม่อนุญาตให้ถ่ายลงในข้อศอกแนวนอนเนื่องจากปลั๊กไฟไม่ขยับเขยื้อน บางช่วงก็ปล่อยจุกเบาๆ จุกก๊อกจะโผล่ออกมาจากหลอดนานแค่ไหน? ความยาวของข้อศอกแนวนอนคือ 3L/ แรงตึงผิวจะถูกละเว้น t = π+1 L ก 5

6 ภารกิจที่ 5. (“พิชิต Sparrow Hills!”, 014,) ในระบบที่แสดงในรูป มวลของน้ำหนักบรรทุกเท่ากับ 1 และความแข็งของสปริง บล็อก เกลียว และสปริงคือ ไร้น้ำหนัก บล็อกหมุนโดยไม่มีแรงเสียดทาน ด้ายไม่เลื่อนผ่านบล็อก ในตำแหน่งสมดุลสปริงจะยืดออก โหลด 1 ถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุลลงด้านล่างเป็นระยะทาง s หลังจากนั้นโหลดจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิก ค้นหาความเร็วสูงสุดของมวลที่สั่นสะเทือน v1 = s, v = v1/ ให้ s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 ภารกิจที่ 9. (MFO, 016, 11) รูปภาพแสดงระบบกลไกที่มีการโยนด้ายที่ยืดออกไม่ได้แบบไร้น้ำหนักผ่านบล็อกไร้น้ำหนักที่มีแกนนอนติดอยู่กับเพดาน มวลขนาดเล็กติดอยู่ที่ปลายด้ายและ โหลดอยู่บนแนวรองรับ โหลดค้างอยู่ โหลดที่คล้ายกันที่สองติดอยู่กับโหลดผ่านสปริงในอุดมคติแบบไร้น้ำหนักที่มีความแข็งแกร่งซึ่งอยู่ในแนวตั้งและมีความยาว L 0 เล็กน้อย ในช่วงแรก สปริงจะไม่เปลี่ยนรูป และโหลดที่สองอยู่บนการรองรับแบบเดียวกับโหลด ระยะทางจากโหลดสูงสุดไปยังบล็อกเท่ากับ l 0 ส่วนที่ว่างของเธรดที่ไม่ได้อยู่บนรอกของบล็อกจะเป็นแนวตั้ง ที่เวลา t = 0 การสนับสนุนจะหายไป (จะถูกลบลงอย่างรวดเร็ว) หลังจากนั้นสักครู่ τ หลังจากนั้น น้ำหนักก้อนหนึ่งแตะบล็อก สินค้านี้คืออะไร? ค่าของ l 0 คือเวลาสูงสุด τ เท่าใด ค่าสูงสุดของ τ เป็นเท่าใด สินค้า; τax = π 3 4 สำหรับ l 0 = g 7

IV Yakovlev ฟิสิกส์วัสดุ MathUs.ru การโต้ตอบแบบยืดหยุ่น ในระหว่างการโต้ตอบแบบยืดหยุ่นของร่างกายโดยเฉพาะอย่างยิ่งระหว่างการกระแทกแบบยืดหยุ่นไม่มีการเปลี่ยนแปลงในสถานะภายใน พลังงานภายในร่างกาย

IV Yakovlev เนื้อหาเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru ความสัมพันธ์ทางจลนศาสตร์ในพลวัต ในปัญหาบางอย่างของพลวัตพร้อมกับกฎของนิวตัน ความสัมพันธ์เพิ่มเติมที่ไม่สำคัญระหว่างการเร่งความเร็วของร่างกายเป็นสิ่งที่จำเป็น

IV Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru การโต้ตอบแบบยืดหยุ่น ในระหว่างการโต้ตอบแบบยืดหยุ่นของร่างกาย (โดยเฉพาะระหว่างการกระแทกแบบยืดหยุ่น) ไม่มีการเปลี่ยนแปลงในสถานะภายใน กำลังภายใน

IV Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru สมการการสั่นของฮาร์มอนิกสมการการสั่น 2 ẍ + ω 2 x = 0 สามารถหาได้จากการแยกแยะกฎการอนุรักษ์พลังงานตามเวลา มาแสดงแบบง่ายที่สุดกันเถอะ

เรือสองลำพร้อมกับสินค้ามีมวล M และ M เรือแล่นเข้าหากันในเส้นทางคู่ขนาน เมื่อเรืออยู่ตรงข้ามกัน กระเป๋าหนึ่งใบจะถูกย้ายจากเรือแต่ละลำไปยังอีกฟากหนึ่งพร้อมกัน

IV ยาโคฟเลฟ วัสดุฟิสิกส์ MathUs.ru วัตถุที่มีขอบเขต ปัญหา 1. มวล m และ 2m สองก้อนเชื่อมต่อกันด้วยด้ายเส้นเล็กที่ยืดออกไม่ได้และวางอยู่บนพื้นผิวเรียบในแนวนอน (มวล m จะอยู่ทางซ้าย)

I. V. Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru ปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ยืดหยุ่น ตัวอย่างของปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ยืดหยุ่นคือการเจาะแท่งด้วยกระสุนหรือการกระแทกที่ไม่ยืดหยุ่นอย่างยิ่ง (หลังจากนั้นร่างกายจะเคลื่อนที่เป็นก้อนเดียว

การฝึกทางไกล bituru ฟิสิกส์ ข้อ 8 ระบบกลไกการแกว่ง เนื้อหาทางทฤษฎี ในบทความนี้เราจะพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบแกว่งของวัตถุโดยการเคลื่อนที่แบบแกว่ง

C1.1 แท่งที่เหมือนกันสองอันเชื่อมต่อกันด้วยสปริงตัวเบาบนพื้นผิวโต๊ะแนวนอนที่เรียบ ในขณะนี้ t = 0 บล็อกด้านขวาเริ่มเคลื่อนที่ ดังนั้นในเวลา x บล็อกนั้นจะจับความเร็วสุดท้าย

I. V. Yakovlev วัสดุฟิสิกส์ MathUs.ru แรงยืดหยุ่น ปัญหา 1. (MOSh, 2018, 10) วัตถุมวล m = 2 กก. วางอยู่บนสปริงที่มีความแข็ง k = 100 นิวตัน/เมตร ติดอยู่กับเพดาน (ดูรูปที่ ) . เริ่มที่เขา

1.2.1. ระบบอ้างอิงเฉื่อย กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน หลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ 28(C1).1. ผู้โดยสารรถบัสที่ป้ายรถเมล์ผูกลูกโป่งไฟที่เต็มไปด้วย

1 Kinematics 1 จุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามแกน x เพื่อให้พิกัดเวลาของจุดคือ x(0) B ค้นหา x (t) V x ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น จุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามแกน x เพื่อให้ ax A x ในเบื้องต้น

IV Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru ระบบที่ไม่อนุรักษ์ พลังงานกล E = K + W ไม่ได้รับการอนุรักษ์ในระบบที่ไม่อนุรักษ์ ตัวอย่างเช่น ถ้าแรงเสียดทานกระทำต่อร่างกายของระบบ

216 ปี ชั้น 9 ตั๋ว 9-1 1 มวล m สองก้อนที่ตั้งอยู่บนโต๊ะแนวนอนเรียบเชื่อมต่อกันด้วยด้าย และเชื่อมต่อกับน้ำหนักมวล 3 เมตรด้วยด้ายอีกเส้นหนึ่งโยนข้ามบล็อกไร้น้ำหนัก (ดูรูป) โดยแรงเสียดทาน

งานสำหรับงานคำนวณ (EnMI) ในกลศาสตร์ 2013/14 1. Kinematics 1. ก้อนหินถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่งจากความสูง 10 ม. ด้วยความเร็วเริ่มต้น 8 ม./วินาที เขียนสมการการเคลื่อนที่ในสามรูปแบบโดยการวาง

7 .. แท่งเนื้อเดียวกันบางๆ มวล m และความยาว L สามารถหมุนรอบแกนนอนคงที่ O ผ่านปลายบนของแท่ง ติดกับปลายล่างของคันเบ็ดคือปลายแนวนอน

กลุ่ม 12-EUN ตัวเลือก 1. 5.49. 1. วัตถุที่มีมวล 313 กก. เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเมื่อเบรก ความเร็วลดลงจาก 17 m/s เป็น 2 m/s ใน 42 วินาที หาแรงเบรก. 2. ปิดรถ

บทที่ 7 กฎการอนุรักษ์ ภารกิจที่ 1 รูปแสดงกราฟของการเปลี่ยนแปลงความเร็วของรถเข็นสองคันที่มีมวลต่างกัน ข้อมูลอะไรเกี่ยวกับรถเข็น

2. ไดนามิกส์ของการเคลื่อนที่แบบแปล 134. แรงคงที่ F = 10-2 N กระทำต่อร่างกาย ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง a = 0.5 m/s 2. จงหามวลของร่างกาย 135. วัตถุที่มีมวล 250 g เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง

ДЗ2015(2)2.2(5) 1. น้ำหนักที่ติดอยู่กับผนังด้วยสปริงวางอยู่บนพื้นผิวขรุขระ สปริงไม่เสียรูป หากดึงโหลดเป็นระยะทาง L แล้วปล่อย โหลดจะหยุดที่ตำแหน่งเดิม

งานที่เลื่อนออกไป (88) ลูกบอลที่ขว้างขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็ว υ หลังจากนั้นครู่หนึ่งก็ตกลงสู่พื้นผิวโลก กราฟใดที่สอดคล้องกับการพึ่งพาการฉายภาพความเร็วบนแกน x ในช่วงเวลาของการเคลื่อนที่

หน้าหนังสือ 1 จาก 9 11/04/2016 21:29 กระดานขนาดใหญ่ถูกแขวนอย่างหมุนจากเพดานบนแท่งไฟ ลูกบอลดินน้ำมันหนัก 0.2 กก. กระทบกระดานด้วยความเร็ว 10 ม./วินาที แล้วเกาะติดกับกระดาน ความเร็วของลูกก่อน

รอบชิงชนะเลิศที่สอง) เวทีการแข่งขันทางวิชาการโอลิมปิกสำหรับเด็กนักเรียน "ก้าวสู่อนาคต" ในวิชาศึกษาทั่วไป "ฟิสิกส์" ฤดูใบไม้ผลิตัวเลือกที่ 6 5 ปัญหา ร่างกายเคลื่อนไหวอย่างสม่ำเสมอด้วย

ตั๋ว N 5 ตั๋ว N 4 คำถาม N 1 แท่งสองแท่งที่มีมวล m 1 \u003d 10.0 กก. และ m 2 \u003d 8.0 กก. เชื่อมต่อกันด้วยด้ายที่ยืดไม่ได้แสงเลื่อนไปตามระนาบเอียงที่มีมุมเอียง \u003d 30 กำหนด การเร่งความเร็วของระบบ

Year 16 Class 1 Ticket 1-1 1. โหลดมวล 2 ก้อนและ 5 ซึ่งวางอยู่บนโต๊ะแนวนอนที่ราบเรียบ เชื่อมต่อกันด้วยด้ายและเชื่อมต่อกับโหลดด้วยมวลของด้ายอีกเส้นหนึ่งโยนข้ามบล็อกไร้น้ำหนัก (ดูรูป) . แรงเสียดทาน

"การแกว่งและคลื่น" ภารกิจส่วนบุคคล 1. ตัวเลือกที่ 1 1. ความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ควรลดลงโดยส่วนใดของความยาวเพื่อให้คาบการสั่นของมันที่ความสูง 10 กม. จะเท่ากับระยะเวลาของมัน การสั่น

ขั้นสุดท้ายที่สอง) เวทีการแข่งขันทางวิชาการของโอลิมปิกสำหรับเด็กนักเรียน "ก้าวสู่อนาคต" ในวิชาศึกษาทั่วไป "ฟิสิกส์" ฤดูใบไม้ผลิปี 6 ตัวเลือก 3 ปัญหา ร่างกายเคลื่อนไหวอย่างสม่ำเสมอด้วย

งานวินิจฉัยเฉพาะเรื่องเพื่อเตรียมสอบวิชาฟิสิกส์ หัวข้อ "กลศาสตร์" 18 ธันวาคม 2557 เกรด 10 ตัวเลือก PHI00103 (90 นาที) อ. เมือง (เมือง). ชื่อชั้น โรงเรียน. ชื่อ.

หนังสือปัญหาของนักเรียน izprtalru 6 พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง สมการพื้นฐานของไดนามิกของจุดวัสดุ (กฎข้อที่สองของนิวตัน) สำหรับวัตถุที่มีมวลคงที่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยมีรูปแบบ

ขั้นตอนที่สอง (สุดท้าย) ของการแข่งขันทางวิชาการของโอลิมปิกสำหรับเด็กนักเรียน "ก้าวสู่อนาคต" ในหัวข้อการศึกษาทั่วไป "ฟิสิกส์" ฤดูใบไม้ผลิ 6 ปี

กฎการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์รัศมี r ของอนุภาคเป็นที่รู้จัก: r (t) b t โดยที่ t คือเวลา, ค่าคงที่บวก, b คือเวกเตอร์, ค่าคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง ค้นหาเส้นทางที่อนุภาคเดินทางตั้งแต่นั้นมา

1. ลูกบอลที่ขว้างขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็ว υ ตกลงบนพื้นผิวโลกหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง กราฟใดที่สอดคล้องกับการพึ่งพาการฉายภาพความเร็วบนแกน x ในช่วงเวลาของการเคลื่อนที่ กำกับแกน OX

ฟิสิกส์. เกรด 9 การฝึกอบรม "ความเฉื่อย กฎของนิวตัน แรงในกลศาสตร์» 1 ความเฉื่อย กฎของนิวตัน แรงในทางกลศาสตร์ ตัวเลือกที่ 1 1 แท่งโลหะที่ห้อยลงมาจากสปริงและแช่อยู่ในภาชนะที่มีน้ำ

กลไก Kirillov A.M. ครูโรงยิม 44, Sochi (http://kirillandrey72.narod.ru/) ., Khoruzhy V.D.

ตั๋ว N 5 ตั๋ว N 4 คำถาม N 1 แรงแนวนอนเริ่มกระทำกับวัตถุที่มีมวล m 2.0 กก. ซึ่งโมดูลัสขึ้นอยู่กับเวลาเชิงเส้น: F t โดยที่ 0.7 N / s ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน k 0.1 กำหนดช่วงเวลา

การแก้ปัญหา “การสั่นทางกลด้วยการสั่นแบบฮาร์มอนิกของลูกตุ้มสปริง พิกัดของโหลดจะเปลี่ยนไปตามเวลา t ดังแสดงในรูป คาบ T และแอมพลิจูดของการสั่น A เท่ากัน

ตั๋ว N 5 ตั๋ว N 4 คำถาม N 1 แท่งบางๆ มวล M 0 = 1 กก. และความยาว l = 60 ซม. วางอยู่บนพื้นผิวเรียบในแนวนอน แกนสามารถหมุนได้อย่างอิสระรอบแกนแนวตั้งคงที่

IV Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru พลังงานของประจุ หากจุดประจุ 1 และอยู่ห่างจากกัน r ดังนั้นพลังงานศักย์ของการโต้ตอบจะเท่ากับ W = k 1 r พลังงานศักย์

I. V. Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru สารบัญ แรงเสียดทาน 1 โอลิมปิกรัสเซียทั้งหมดสำหรับเด็กนักเรียนในวิชาฟิสิกส์ ......................... 1 2 มอสโกฟิสิกส์โอลิมปิก ..... ................. 3 3 MIPT

ภารกิจ A22 ในวิชาฟิสิกส์ 1. หากโหลดถูกระงับจากสปริงยืดหยุ่นแสงสปริงที่อยู่ในสมดุลจะถูกยืดออกไป 10 ซม. ระยะเวลาของการแกว่งฟรีของโหลดนี้จะเป็นเท่าใด

ฟิสิกส์. เกรด 11 การฝึกอบรม "กองกำลังในธรรมชาติ" 1 กองกำลังในธรรมชาติ ภารกิจสำหรับการฝึกอบรม 1 น้ำที่มีน้ำหนัก 1.5 กก. เทลงในภาชนะที่มีรูปทรงกรวยที่ถูกตัดออก (ดูรูป) พื้นที่ด้านล่างของเรือคือ 100 ซม. 2

ตัวเลือกสำหรับการบ้าน HARMONIC OSCILLATIONS AND WAVES ตัวเลือกที่ 1 1. รูป a แสดงกราฟของการเคลื่อนที่แบบแกว่ง สมการการสั่น x = Asin(ωt + α o) กำหนดระยะเริ่มต้น x โอ t

IV Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru ปัญหาระนาบเอียง 1. ก้อนมวลถูกวางบนระนาบเอียงเรียบที่มีมุมเอียงและปล่อย ค้นหาความเร่งของแท่งและแรงที่แท่งกระทำ

C1.1 หลังจากการผลัก น้ำแข็งจะกลิ้งลงไปในหลุมที่มีผนังเรียบ ซึ่งมันสามารถเคลื่อนที่ได้โดยแทบไม่มีแรงเสียดทาน รูปแสดงกราฟของการพึ่งพาพลังงานของการปฏิสัมพันธ์ของน้ำแข็งที่ลอยกับโลก

งานสำหรับการทำงานอิสระของนักเรียน โมดูลที่ 6 "การสั่นสะเทือนเชิงกล"... 3 หัวข้อ 1. จลนพลศาสตร์ของการสั่นฮาร์มอนิก... 3 หัวข้อ 2. การเพิ่มการสั่นสะเทือน... 8 หัวข้อ 3. ไดนามิกของการสั่นฮาร์มอนิก...

IV Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru การหมุนของวัตถุแข็ง ปัญหา 1. (MIPT, 2003)

งานควบคุมในหัวข้อ "ไดนามิกส์" 1 (A) นักกระโดดร่มชูชีพที่มีน้ำหนัก 65 กก. ลงมาด้วยร่มชูชีพแบบเปิด อะไรคือแรงต้านของอากาศ F c ในกรณีของนักกระโดดร่มที่มีความเร็วคงที่? ผลลัพธ์คืออะไร

DZ 3.3 (01) 1. จุดสร้างการสั่นของฮาร์มอนิกเป็นเส้นตรงระหว่างตำแหน่ง A และ B เมื่อรู้ว่าความเร็วสูงสุดคือ V m \u003d 10 m / s ให้หาความเร็วเฉลี่ยระหว่างทางจาก A ถึง B 2 .ที่เฟส

การฝึกทางไกล บทความ Abituru PHYSICS กฎของนิวตัน เนื้อหาทางทฤษฎี ในบทความนี้เราจะพิจารณางานของการใช้กฎของนิวตัน

ตั๋ว N 10 ตั๋ว N 9 คำถาม N 1 ไจโรสโคปเคลื่อนตัวรอบจุดศูนย์กลางล่าง โมเมนต์ความเฉื่อยของไจโรสโคปคือ I \u003d 0.2 kg m 2 ความเร็วเชิงมุมของการหมุนคือ 0 \u003d 1,000 s -1 มวล m \u003d 20 kg จุดศูนย์กลางมวลคือ

ปัญหาสำหรับการบ้านส่วนบุคคล 3 1. ดิสก์ที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีรัศมี 40 ซม. แกว่งไปมารอบแกนนอนผ่านจุดแขวนลอยซึ่งตรงกับหนึ่งในเจนเนอราทริกซ์ของพื้นผิวดิสก์

ตัวอย่างของการแก้ปัญหา ตัวอย่างที่ 1 ด้ายที่ยืดออกไม่ได้แบบไร้น้ำหนักถูกโยนผ่านบล็อกที่หมุนรอบแกนนอน (รูปที่ 1a) ไปยังปลายที่มีน้ำหนัก 1 และ

6.1. ทรงกระบอกที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีมวล M และรัศมี R สามารถหมุนรอบแกนนอนได้โดยไม่มีแรงเสียดทาน ด้ายถูกพันรอบกระบอกสูบจนถึงส่วนท้ายของโหลดมวล m ค้นหาการพึ่งพาอาศัยกันของพลังงานจลน์

I. V. Yakovlev วัสดุเกี่ยวกับฟิสิกส์ MathUs.ru Olympiad "Phystech" ในฟิสิกส์เกรด 11 เวทีออนไลน์ 2013/14 1. ก้อนหินที่โยนลงมาจากหลังคาโรงนาเกือบขึ้นในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 15 เมตร/วินาที ตกลงมาที่พื้น

IV Yakovlev ฟิสิกส์วัสดุ MathUs.ru ระบบอนุรักษ์นิยม ระบบของร่างกายเรียกว่าอนุรักษ์นิยมหากเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์พลังงานกล: K + W = const โดยที่ K คือจลนศาสตร์

เกรด 10 รอบที่ 1 1. ภารกิจที่ 1 ถ้าแท่งน้ำหนัก 0.5 กก. ถูกกดลงกับผนังแนวตั้งขรุขระด้วยแรง 15 นิวตันในแนวนอน แท่งนั้นจะเลื่อนลงมาเท่ากัน ด้วยความเร่งแบบโมดูโลจะเป็นอย่างไร

1.2.1. ระบบอ้างอิงเฉื่อย กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน หลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ 27.1 ผู้โดยสารที่ป้ายรถเมล์คนหนึ่งผูกลูกโป่งไฟที่บรรจุก๊าซฮีเลียมไว้กับที่จับที่นั่งด้วยด้าย

Statics Levers 1. ถ้วยสองใบมีความสมดุลในระดับที่ไม่เท่ากัน ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของแว่นตาคือ l มวลของน้ำ m ถูกนำมาจากแก้วหนึ่งและเทลงในแก้วที่สอง หากในเวลาเดียวกันการรองรับยอดคงเหลือจะถูกย้าย

งาน #1 ทดสอบในหัวข้อ "การสั่นสะเทือนเชิงกล" พิกัดของร่างกายที่สั่นจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย X=5ˑcos(/2)t (m) ความถี่การสั่นคืออะไร? ปริมาณทั้งหมดจะแสดงเป็นหน่วย SI 1) 2 เฮิร์ต 2) 1/2

บทที่ 3 หลักการพื้นฐานของไดนามิกส์ แรง: แรงโน้มถ่วง ปฏิกิริยา ความยืดหยุ่น ตัวเลือกที่ 3 ... แรงหลายอย่างกระทำกับวัตถุที่มีมวล 0 กก. ซึ่งผลลัพธ์จะคงที่และเท่ากับ 5 นิวตัน สัมพันธ์กับแรงเฉื่อย

1 ตัวเลือก A1 ระบบประกอบด้วยสองส่วน a และ b ในภาพ ลูกศรบนสเกลที่ระบุระบุช่วงเวลาของวัตถุเหล่านี้ 1) 2.0 กก. ม./วินาที 2) 3.6 กก. ม./วินาที 3) 7.2 กก. ม./วินาที 4) 10.0 กก. ม./วินาที A2. คนมวล m กำลังกระโดด

1 แรงกระตุ้น กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม 1. สูตรใดที่สามารถใช้คำนวณโมเมนตัมของร่างกายได้? 1) น. ม.) น. มะ 3) น. 4) น. Ft. โมเมนตัมของร่างกายเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร? 1) การเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกาย) แรงกระตุ้นของแรงที่กระทำ

ไดนามิก 008 แรงที่เกิดขึ้นระหว่างสายพานขับเคลื่อนและมู่เล่ย์เมื่อสายพานเคลื่อนที่คือแรง A) ของความตึง B) แรงเสียดทานแบบเลื่อน C) แรงเสียดทานกลิ้ง ง) ความยืดหยุ่น E) แรงเสียดทานสถิต .. ผลลัพธ์ของสาม

การคำนวณและงานกราฟิกเกี่ยวกับกลศาสตร์ ภารกิจที่ 1. 1 การพึ่งพาการเร่งความเร็วตรงเวลาสำหรับการเคลื่อนไหวของร่างกายบางส่วนแสดงในรูปที่ กำหนดความเร็วพื้นเฉลี่ยสำหรับ 8 วินาทีแรก ความเร็วเริ่มต้น

ตัวเลือกที่ 1 1. A ต้องทำอะไรเพื่อยืดเหล็กเส้น x=1 มม. ที่มีความยาว l=1 ม. และพื้นที่หน้าตัด S เท่ากับ 1 ซม. 2 2. สปริงสองตัวที่มีความฝืด k 1 =0.3 kN/m และ k 2

กฎการอนุรักษ์ โมเมนตัมของร่างกาย (จุดวัสดุ) คือปริมาณเวกเตอร์ทางกายภาพที่เท่ากับผลคูณของมวลของร่างกายและความเร็วของมัน p = m υ [p] = kg m/s p υ แรงกระตุ้นเป็นปริมาณทางกายภาพเวกเตอร์

วางแผน:

1 การสั่นสะเทือนฟรี
- 1.1 ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์นิยม
  - 1.1.1
    - 1.1.1.1 ไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
    - 1.1.1.2 พลังงานของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
    - 1.1.1.3 ตัวอย่าง
      - 1.1.1.3.1 น้ำหนักสปริง
      - 1.1.1.3.2 การเคลื่อนที่แบบวงกลมสากล
      - 1.1.1.3.3 น้ำหนักเหมือนลูกตุ้มธรรมดา
- 1.2 ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบหน่วง
2 การสั่นสะเทือนบังคับ

บทนำ

ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์(ในกลศาสตร์คลาสสิก) เป็นระบบที่เมื่อถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุล จะได้สัมผัสกับแรงคืนสภาพตามสัดส่วนของการกระจัด (ตามกฎของฮุค):

ที่ไหน เคเป็นค่าคงที่เชิงบวกที่อธิบายความแข็งแกร่งของระบบ

หากเป็นแรงเดียวที่กระทำต่อระบบ ระบบจะถูกเรียกว่า เรียบง่ายหรือ ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์นิยม. การสั่นแบบอิสระของระบบดังกล่าวแสดงถึงการเคลื่อนที่เป็นระยะรอบตำแหน่งสมดุล (การสั่นแบบฮาร์มอนิก) ความถี่และแอมพลิจูดมีค่าคงที่ และความถี่ไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด

หากมีแรงเสียดทาน (การลดทอน) เป็นสัดส่วนกับความเร็วในการเคลื่อนที่ (แรงเสียดทานหนืด) ระบบดังกล่าวจะเรียกว่า สีซีดจางหรือ ออสซิลเลเตอร์กระจายตัว. หากแรงเสียดทานไม่มากเกินไป ระบบจะทำการเคลื่อนไหวเกือบเป็นระยะ - การสั่นไซน์ด้วยความถี่คงที่และแอมพลิจูดที่ลดลงแบบทวีคูณ ความถี่ของการสั่นอิสระของออสซิลเลเตอร์แบบหน่วงจะค่อนข้างต่ำกว่าความถี่ของออสซิลเลเตอร์ที่คล้ายกันโดยไม่มีแรงเสียดทาน

หากปล่อยออสซิลเลเตอร์ไว้ตามลำพัง แสดงว่าออสซิลเลเตอร์ทำงานอิสระ หากมีแรงภายนอก (ขึ้นอยู่กับเวลา) เราจะบอกว่าออสซิลเลเตอร์ประสบกับการสั่นที่ถูกบังคับ

ตัวอย่างเชิงกลของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ได้แก่ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (ที่มีมุมการกระจัดเล็กๆ) น้ำหนักบนสปริง ลูกตุ้มบิด และระบบอะคูสติก ในบรรดาอะนาล็อกอื่น ๆ ของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก ควรเน้นที่ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไฟฟ้า (ดูวงจร LC)

1. การสั่นสะเทือนฟรี

1.1. ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์นิยม

ในฐานะที่เป็นต้นแบบของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์นิยม ลองนำน้ำหนักจำนวนมากมาจับจ้องที่สปริงที่มีความฝืด

ให้ คือการกระจัดของโหลดเทียบกับตำแหน่งสมดุล จากนั้นตามกฎของฮุค แรงฟื้นฟูจะกระทำกับมัน:

เราเขียนโดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน

แสดงและแทนที่ความเร่งด้วยอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดตามเวลา เราเขียน:

สมการเชิงอนุพันธ์นี้อธิบายพฤติกรรมของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์ ค่าสัมประสิทธิ์ ω 0 เรียกว่าความถี่วงจรของออสซิลเลเตอร์ (หมายถึงความถี่วงกลม วัดเป็นเรเดียนต่อวินาที หากต้องการแปลงความถี่เป็นเฮิรตซ์ คุณต้องหารความถี่วงกลมด้วย 2π)

เราจะหาคำตอบของสมการนี้ในรูปแบบ:

ที่นี่ - แอมพลิจูด - ความถี่การสั่น (ยังไม่จำเป็นต้องเท่ากับความถี่ธรรมชาติ) - ระยะเริ่มต้น

เราแทนค่าลงในสมการเชิงอนุพันธ์

แอมพลิจูดจะลดลง ซึ่งหมายความว่าสามารถมีค่าใดก็ได้ (รวมถึงศูนย์ - หมายความว่าโหลดหยุดนิ่งในตำแหน่งสมดุล) ไซน์ยังสามารถลดลงเนื่องจากความเท่าเทียมกันจะต้องคงอยู่ได้ตลอดเวลา ที. และเงื่อนไขสำหรับความถี่การสั่นยังคงอยู่:

สามารถละทิ้งความถี่เชิงลบได้เนื่องจากความเด็ดขาดในการเลือกเครื่องหมายนี้ถูกปกคลุมด้วยความเด็ดขาดในการเลือกระยะเริ่มต้น

การเคลื่อนที่แบบวงกลมและการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก

คำตอบทั่วไปของสมการเขียนเป็น:

โดยที่แอมพลิจูด กและเฟสเริ่มต้นเป็นค่าคงที่โดยพลการ บันทึกนี้ใช้คำตอบทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์ เนื่องจากช่วยให้เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นใดๆ (ตำแหน่งเริ่มต้นของโหลดและความเร็วเริ่มต้น)

โดยสรุป ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบอนุรักษ์สามารถดำเนินการสั่นแบบฮาร์มอนิกล้วนด้วยความถี่เท่ากับความถี่ของมันเอง ด้วยแอมพลิจูดขนาดใดก็ได้และเฟสเริ่มต้นตามอำเภอใจ

พลังงานจลน์เขียนได้เป็น

และพลังงานศักย์คือ

แล้วพลังงานทั้งหมดจะคงที่

1.1.1. การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนไหวง่ายๆ ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกการเคลื่อนไหวเป็นช่วงๆ ที่ไม่บังคับหรือหน่วงเหนี่ยว ร่างกายในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอยู่ภายใต้แรงตัวแปรเดียวที่เป็นสัดส่วนโดยตรงกับค่าสัมบูรณ์กับการกระจัด xและมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม

การเคลื่อนไหวนี้เป็นระยะ: ร่างกายจะแกว่งไปรอบๆ ตำแหน่งสมดุลตามกฎไซน์ การสั่นที่ตามมาแต่ละครั้งจะเหมือนกับครั้งก่อน และคาบ ความถี่ และแอมพลิจูดของการสั่นจะคงที่ ถ้าเรายอมรับว่าตำแหน่งสมดุลอยู่ที่จุดที่มีพิกัดเท่ากับศูนย์ การกระจัด xร่างกายได้ตลอดเวลาโดยสูตร:

กคือแอมพลิจูดของการสั่น ฉ- ความถี่, φ - ระยะเริ่มต้น

ความถี่ของการเคลื่อนไหวถูกกำหนดโดยคุณสมบัติเฉพาะของระบบ (เช่น มวลของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่) ในขณะที่แอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น - การกระจัดและความเร็วของร่างกายในขณะที่การสั่น เริ่ม. พลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของระบบขึ้นอยู่กับคุณสมบัติและเงื่อนไขเหล่านี้ด้วย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ในภาพเคลื่อนไหวนี้ พิกัดของอนุภาคถูกลงจุดตามแกนตั้ง ( xในสูตร) และเวลาจะถูกลงจุดตามแกนนอน ( ที).

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายสามารถเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ประเภทต่างๆ เช่น การสั่นของสปริง กรณีอื่น ๆ ที่สามารถพิจารณาอย่างคร่าว ๆ ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ได้แก่ การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มและการสั่นของโมเลกุล

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายแสดงพร้อมกันในพื้นที่จริงและพื้นที่เฟส ในที่นี้ แกนความเร็วและแกนตำแหน่งจะแสดงแตกต่างจากการแสดงแกนพิกัดตามปกติ - เพื่อให้ตัวเลขทั้งสองสอดคล้องกัน พื้นที่จริง - พื้นที่จริง เฟสสเปซ - เฟสสเปซ; ความเร็ว - ความเร็ว; ตำแหน่ง - ตำแหน่ง (ตำแหน่ง)

ตัวอย่างทั่วไปของระบบที่เกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายคือระบบสปริงมวลในอุดมคติซึ่งมวลติดอยู่กับสปริง หากสปริงไม่บีบอัดและไม่ยืดออก จะไม่มีแรงแปรผันกระทำกับโหลด และโหลดจะอยู่ในสภาวะสมดุลเชิงกล อย่างไรก็ตาม หากโหลดออกจากตำแหน่งสมดุล สปริงจะผิดรูป และแรงจากด้านข้างจะกระทำต่อโหลด ซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้โหลดกลับคืนสู่ตำแหน่งสมดุล ในกรณีของระบบโหลดสปริง แรงดังกล่าวคือแรงยืดหยุ่นของสปริง ซึ่งเป็นไปตามกฎของฮุค:

ฉ = − เคx, ฉ- ฟื้นฟูกำลัง x- การเคลื่อนที่ของโหลด (การเปลี่ยนรูปสปริง) เค- ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริง

เมื่อระบบไม่อยู่ในสภาวะสมดุล จะต้องมีแรงดึงกลับเข้ามาเพื่อทำให้ระบบกลับเข้าสู่สภาวะสมดุล
แรงดึงกลับต้องตรงหรือเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับการกระจัด

ระบบสปริงน้ำหนักเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองนี้

เมื่อโหลดที่ถูกแทนที่อยู่ภายใต้การกระทำของแรงที่คืนตัว เร่งมัน และมีแนวโน้มที่จะกลับสู่จุดเริ่มต้น นั่นคือ สู่ตำแหน่งสมดุล เมื่อโหลดเข้าใกล้ตำแหน่งสมดุล แรงดึงกลับจะลดลงและมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตามในตำแหน่ง x= 0 โหลดมีการเคลื่อนที่จำนวนหนึ่ง (โมเมนตัม) ซึ่งได้มาจากการกระทำของแรงดึงกลับ ดังนั้น โหลดจะข้ามตำแหน่งสมดุล เริ่มเปลี่ยนรูปสปริงอีกครั้ง (แต่ในทิศทางตรงกันข้าม) แรงดึงกลับมีแนวโน้มที่จะทำให้ช้าลงจนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ และแรงจะพยายามทำให้โหลดกลับสู่ตำแหน่งสมดุลอีกครั้ง

ตราบใดที่ไม่มีการสูญเสียพลังงานในระบบ โหลดจะสั่นตามที่อธิบายไว้ข้างต้น การเคลื่อนไหวดังกล่าวเรียกว่าเป็นระยะ

การวิเคราะห์เพิ่มเติมจะแสดงให้เห็นว่าในกรณีของระบบมวลสปริง การเคลื่อนที่เป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

1.1.1.1. ไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

สำหรับการสั่นในปริภูมิหนึ่งมิติ ให้กฎข้อที่สองของนิวตัน ( ฉ= ม d² x/ง ที² ) และกฎของฮุค ( ฉ = −เคเอ็กซ์ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น) เรามีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง:

มคือมวลของร่างกาย x- การกระจัดเทียบกับตำแหน่งสมดุล เค- ค่าคงที่ (ปัจจัยความแข็งของสปริง)

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือไซน์ ทางออกหนึ่งคือ:

ที่ไหน ก, ω , และ φ เป็นค่าคงที่และตำแหน่งสมดุลจะถือเป็นตำแหน่งเริ่มต้น ค่าคงที่แต่ละค่าเหล่านี้แสดงถึงคุณสมบัติทางกายภาพที่สำคัญของการเคลื่อนที่: กคือแอมพลิจูด ω = 2π ฉคือความถี่แบบวงกลม และ φ - ระยะเริ่มต้น

ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์

การใช้วิธีการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ความเร็วและความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลาสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายบนระนาบเฟส

ความเร่งยังสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของการกระจัด:

เพราะว่า แม่ = −ม² x = −เคเอ็กซ์ , แล้ว

กำหนดว่า ω = 2π ฉ, เราได้รับ

และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ต = 1/ฉโดยที่ T คือระยะเวลาการสั่น ดังนั้น

สูตรเหล่านี้แสดงว่าคาบและความถี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและระยะเริ่มต้นของการเคลื่อนที่

1.1.1.2. พลังงานของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

พลังงานจลน์ เคระบบเป็นฟังก์ชันของเวลา ทีเป็น:

และพลังงานศักย์คือ

อย่างไรก็ตาม พลังงานกลทั้งหมดของระบบมีค่าคงที่

1.1.1.3. ตัวอย่าง

ระบบสปริงโหลดที่ไม่มีการหน่วงซึ่งเกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายแสดงอยู่ในระบบฟิสิกส์อย่างง่ายหลายระบบ และตัวอย่างบางส่วนแสดงไว้ด้านล่าง

1.1.1.3.1. น้ำหนักบนสปริง

น้ำหนัก มติดอยู่กับสปริงที่แข็งสม่ำเสมอ เคเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในอวกาศ สูตร

แสดงให้เห็นว่าระยะเวลาการแกว่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและความเร่งโน้มถ่วง

1.1.1.3.2. การเคลื่อนที่แบบวงกลมสากล

ในบางกรณี การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอาจถือเป็นการฉายภาพหนึ่งมิติของการเคลื่อนที่แบบวงกลมสากล ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุม ω รอบเส้นรอบวงของรัศมี รซึ่งจุดศูนย์กลางคือจุดกำเนิดของระนาบ x-ยจากนั้นการเคลื่อนที่ดังกล่าวไปตามแกนพิกัดแต่ละแกนจะเป็นฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่มีแอมพลิจูด รและความถี่แบบวงกลม ω .

1.1.1.3.3. น้ำหนักเหมือนลูกตุ้มธรรมดา

การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มโดยไม่มีการลดแรงสั่นสะเทือนสามารถพิจารณาได้โดยประมาณว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หากแอมพลิจูดของการแกว่งมีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับความยาวของแกน

ในการประมาณมุมเล็ก การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่ายจะใกล้เคียงกับฮาร์โมนิกอย่างง่าย ระยะเวลาของการสั่นของลูกตุ้มดังกล่าวที่ติดกับแท่งยาว ℓ ด้วยอัตราเร่งการตกอย่างอิสระ ชกำหนดโดยสูตร

นี่แสดงว่าคาบการแกว่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม แต่ขึ้นอยู่กับความเร่งของการตกอย่างอิสระ ชดังนั้น ด้วยความยาวลูกตุ้มเท่ากัน บนดวงจันทร์ ดวงจันทร์จะหมุนช้าลง เนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะอ่อนลงและค่าความเร่งของการตกอิสระจะต่ำกว่า

การประมาณเชิงมุมที่ระบุนั้นถูกต้องเฉพาะในมุมเล็กๆ เนื่องจากนิพจน์สำหรับการเร่งความเร็วเชิงมุมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของพิกัด:

ฉัน- โมเมนต์ความเฉื่อย ในกรณีนี้ ฉัน = มℓ 2 .

1.2. ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบหน่วง

เราเพิ่มแรงเสียดทานหนืดเข้าไปโดยใช้แบบจำลองเดียวกันเป็นพื้นฐาน แรงเสียดทานหนืดนั้นพุ่งตรงต่อความเร็วในการเคลื่อนที่ของโหลดที่สัมพันธ์กับตัวกลางและเป็นสัดส่วนกับความเร็วนี้ จากนั้นจึงเขียนแรงรวมที่กระทำต่อโหลดได้ดังนี้

จากการดำเนินการที่คล้ายกัน เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงออสซิลเลเตอร์แบบหน่วง:

แนะนำสัญกรณ์ที่นี่: . ค่าสัมประสิทธิ์ γ เรียกว่าค่าคงที่การหน่วง มันมีมิติของความถี่ด้วย

วิธีแก้ไขแบ่งออกเป็นสามกรณี

ที่แรงเสียดทานต่ำ (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

ความถี่ของการสั่นอิสระอยู่ที่ไหน

การทำให้หมาด ๆ γ = ω 0 เรียกว่า วิกฤต. เริ่มต้นจากค่านี้ของดัชนีหมาดๆ ออสซิลเลเตอร์จะทำการเคลื่อนไหวที่เรียกว่า non-oscillatory ในกรณีเขตแดน การเคลื่อนไหวเกิดขึ้นตามกฎหมาย:

สำหรับแรงเสียดทานแรง γ > ω 0 วิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

, ที่ไหน

การลดระดับวิกฤตเป็นสิ่งที่สังเกตได้จากความจริงที่ว่าออสซิลเลเตอร์มีแนวโน้มที่จะเข้าสู่ตำแหน่งสมดุลอย่างรวดเร็วที่สุดในระหว่างการลดระดับวิกฤต ถ้าแรงเสียดทานมีค่าน้อยกว่าค่าวิกฤต มันจะไปถึงตำแหน่งสมดุลได้เร็วกว่า อย่างไรก็ตาม มันจะ "เคลื่อนผ่าน" ด้วยความเฉื่อย และจะแกว่งไปมา หากแรงเสียดทานมีค่ามากกว่าวิกฤต ออสซิลเลเตอร์จะมีแนวโน้มแบบทวีคูณไปที่ตำแหน่งสมดุล แต่ยิ่งช้า แรงเสียดทานก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ดังนั้นในไดอัลเกจ (เช่น ในแอมมิเตอร์) พวกเขามักจะพยายามแนะนำการลดทอนที่สำคัญอย่างแม่นยำเพื่อให้อ่านค่าที่อ่านได้โดยเร็วที่สุด

การลดการสั่นสะเทือนของออสซิลเลเตอร์มักมีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์ไร้มิติที่เรียกว่าปัจจัยด้านคุณภาพ ปัจจัยด้านคุณภาพมักจะแสดงด้วยตัวอักษร ถาม. ตามคำนิยาม ปัจจัยด้านคุณภาพคือ:

ยิ่งปัจจัยด้านคุณภาพมากเท่าไหร่ การสั่นของการสลายตัวของออสซิลเลเตอร์ก็จะยิ่งช้าลงเท่านั้น

ออสซิลเลเตอร์ที่มีการหน่วงที่สำคัญมีค่าปัจจัยด้านคุณภาพเท่ากับ 0.5 ดังนั้นปัจจัยด้านคุณภาพจึงบ่งบอกถึงลักษณะของพฤติกรรมของออสซิลเลเตอร์ หากปัจจัยด้านคุณภาพมากกว่า 0.5 แสดงว่าการเคลื่อนไหวอิสระของออสซิลเลเตอร์นั้นเป็นการสั่น เมื่อเวลาผ่านไป มันจะข้ามตำแหน่งสมดุลไม่จำกัดจำนวนครั้ง ปัจจัยด้านคุณภาพที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.5 สอดคล้องกับการเคลื่อนที่แบบไม่สั่นของออสซิลเลเตอร์ ในการเคลื่อนที่แบบอิสระ มันจะข้ามตำแหน่งสมดุลมากสุดหนึ่งครั้ง

ปัจจัยด้านคุณภาพบางครั้งเรียกว่าอัตราขยายของออสซิลเลเตอร์ เนื่องจากด้วยวิธีการกระตุ้นบางอย่าง เมื่อความถี่กระตุ้นเกิดขึ้นพร้อมกับแอมพลิจูดเรโซแนนซ์ แอมพลิจูดของการสั่นจึงมีค่าประมาณ ถามมากกว่าเมื่อตื่นเต้นที่ความถี่ต่ำหลายเท่า

นอกจากนี้ ปัจจัยด้านคุณภาพจะเท่ากับจำนวนรอบการสั่นโดยประมาณ ซึ่งในระหว่างนั้นแอมพลิจูดของการสั่นจะลดลงใน อีเวลาคูณด้วย π

ในกรณีของการเคลื่อนที่แบบสั่น การลดทอนยังมีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์เช่น:

อายุการใช้งานความลังเลมัน เวลาสลายตัว, มันคือ เวลาพักผ่อน. τ คือเวลาที่แอมพลิจูดของการสั่นจะลดลง อีครั้งหนึ่ง.

τ = 1 / γ เวลานี้ถือเป็นเวลาที่จำเป็นสำหรับการหน่วง (การหยุด) ของการสั่น (แม้ว่าการสั่นแบบอิสระอย่างเป็นทางการจะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด)

2. การสั่นสะเทือนบังคับ

ดูบทความหลักที่: การสั่นแบบบังคับ

การสั่นของออสซิลเลเตอร์เรียกว่าบังคับเมื่อมีอิทธิพลภายนอกเพิ่มเติมเกิดขึ้นกับมัน อิทธิพลนี้สามารถผลิตได้ด้วยวิธีการต่างๆ และตามกฎหมายต่างๆ ตัวอย่างเช่น แรงกระตุ้นคือผลกระทบต่อภาระโดยแรงที่ขึ้นอยู่กับเวลาเท่านั้นตามกฎหมายบางข้อ การกระตุ้นทางจลนศาสตร์คือการกระทำของออสซิลเลเตอร์โดยการเคลื่อนที่ของจุดตรึงสปริงตามกฎที่กำหนด ผลกระทบของแรงเสียดทานก็เป็นไปได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อตัวกลางที่โหลดสัมผัสกับแรงเสียดทานเคลื่อนที่ตามกฎที่กำหนด

วรรณกรรม

Butikov EI การสั่นตามธรรมชาติของออสซิลเลเตอร์เชิงเส้น กวดวิชา

หมายเหตุ

, ความสัมพันธ์อย่างง่าย , เขตข้อมูลอย่างง่าย , ประโยคอย่างง่าย , จำนวนเฉพาะ .

โคไซน์ในการแก้สมการ (21.2) แสดงว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม แน่นอนว่าการเปรียบเทียบนี้เป็นของเทียมเพราะในการเคลื่อนที่เชิงเส้นไม่มีที่ไหนเลยที่จะได้วงกลม: น้ำหนักจะเคลื่อนที่ขึ้นและลงอย่างเคร่งครัด เราพิสูจน์ตัวเองได้ด้วยความจริงที่ว่าเราได้แก้สมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกแล้วเมื่อเราศึกษากลศาสตร์การเคลื่อนที่ในวงกลม ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ไปตามวงกลมด้วยความเร็วคงที่ เวกเตอร์รัศมีจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังอนุภาคจะหมุนเป็นมุม ซึ่งค่าของค่านั้นจะเป็นสัดส่วนกับเวลา สมมติว่ามุมนี้ (รูปที่ 21.2) แล้ว . เป็นที่รู้จักกันว่าอัตราเร่ง และมุ่งสู่ศูนย์กลาง พิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ ณ ขณะนั้นคือ

ความเร่งสามารถบอกอะไรได้บ้าง? อะไรคือองค์ประกอบของความเร่ง? ค่านี้สามารถพบได้ในทางเรขาคณิตเท่านั้น: เท่ากับค่าความเร่งคูณด้วยโคไซน์ของมุมฉาย ก่อนนิพจน์ผลลัพธ์ คุณต้องใส่เครื่องหมายลบ เนื่องจากการเร่งความเร็วมุ่งตรงสู่ศูนย์กลาง:

รูปที่. 21.2. อนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่

ดังนั้นจึงมีเหตุผลหลายประการที่เราควรคาดหวังว่าการเบี่ยงเบนของน้ำหนักบนสปริงจะเป็นสัดส่วนและการเคลื่อนไหวจะดูราวกับว่าเรากำลังติดตามพิกัดของอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วเชิงมุม คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยตั้งค่าการทดลองเพื่อแสดงว่าการเคลื่อนที่ของน้ำหนักขึ้นและลงบนสปริงนั้นสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของจุดในวงกลมทุกประการ ในมะเดื่อ 21.3 แสงของโคมไฟโค้งฉายภาพเงาของเข็มที่ติดอยู่ในจานหมุนบนหน้าจอ และน้ำหนักที่สั่นในแนวดิ่งเคลื่อนที่เคียงข้างกัน หากคุณทำให้น้ำหนักแกว่งตามเวลาและจากตำแหน่งที่ถูกต้อง จากนั้นเลือกความเร็วของการเคลื่อนที่ของดิสก์อย่างระมัดระวังเพื่อให้ความถี่ของการเคลื่อนที่ตรงกัน เงาบนหน้าจอจะตามมาติดกัน นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะทำให้แน่ใจว่า โดยการหาคำตอบที่เป็นตัวเลข เราเกือบจะเข้าใกล้โคไซน์แล้ว

รูปที่. 21.3. การสาธิตสมมูลของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายและการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ

ตรงนี้สามารถเน้นย้ำได้ว่าเนื่องจากคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอตามวงกลมนั้นคล้ายกันมากกับคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบแกว่งขึ้นและลง การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบแกว่งจะง่ายขึ้นมากหากการเคลื่อนที่นี้แสดงเป็นเส้นโครงของการเคลื่อนที่ตามแนววงกลม . กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถเสริมสมการ (21.2) ซึ่งดูเหมือนจะเป็นสมการที่ซ้ำซ้อนโดยสิ้นเชิง และพิจารณาสมการทั้งสองร่วมกัน เมื่อทำสิ่งนี้แล้ว เราจะลดการสั่นแบบหนึ่งมิติเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลม ซึ่งจะช่วยไม่ให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คุณสามารถทำเคล็ดลับอื่นได้ - แนะนำจำนวนเชิงซ้อน แต่จะเพิ่มเติมในบทถัดไป

โคไซน์ในการแก้สมการ (21.2) แสดงว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม แน่นอนว่าการเปรียบเทียบนี้เป็นของเทียมเพราะในการเคลื่อนที่เชิงเส้นไม่มีที่ไหนเลยที่จะได้วงกลม: น้ำหนักจะเคลื่อนที่ขึ้นและลงอย่างเคร่งครัด เราพิสูจน์ตัวเองได้ด้วยความจริงที่ว่าเราได้แก้สมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกแล้วเมื่อเราศึกษากลศาสตร์การเคลื่อนที่ในวงกลม ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ไปตามวงกลมด้วยความเร็วคงที่ v เวกเตอร์รัศมีจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังอนุภาคจะหมุนผ่านมุมที่มีขนาดแปรผันกับเวลา สมมติว่ามุมนี้ θ=vt/R (รูปที่ 21.2) จากนั้น dQθ/dt=ω 0 =v/R เป็นที่ทราบกันว่าความเร่ง a=v 2 /R = ω 2 0 R และมุ่งตรงไปที่จุดศูนย์กลาง พิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ ณ ขณะนั้นคือ
x = R cos θ, y = R บาป θ

ความเร่งสามารถบอกอะไรได้บ้าง? องค์ประกอบ x ของความเร่งคืออะไร d 2 x/dt 2 ? ค่านี้สามารถพบได้ในทางเรขาคณิตเท่านั้น: เท่ากับค่าความเร่งคูณด้วยโคไซน์ของมุมฉาย ก่อนนิพจน์ผลลัพธ์ คุณต้องใส่เครื่องหมายลบ เนื่องจากการเร่งความเร็วมุ่งตรงสู่ศูนย์กลาง:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลม องค์ประกอบในแนวราบของการเคลื่อนที่จะมีความเร่งเป็นสัดส่วนกับการกระจัดในแนวราบจากจุดศูนย์กลาง แน่นอน เรารู้คำตอบสำหรับกรณีของการเคลื่อนที่แบบวงกลม: x=R cos ω 0 t สมการ (21.7) ไม่มีรัศมีของวงกลม มันจะเหมือนกันเมื่อเคลื่อนที่ไปตามวงกลมใด ๆ สำหรับ ω 0 เดียวกัน ดังนั้นจึงมีเหตุผลหลายประการที่เราควรคาดหวังว่าการเบี่ยงเบนของน้ำหนักบนสปริงจะเป็นสัดส่วนกับ cos ω 0 t และการเคลื่อนไหวจะดูราวกับว่าเรากำลังติดตามพิกัด x ของอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยมี ความเร็วเชิงมุม ω 0 . คุณสามารถตรวจสอบได้โดยตั้งค่าการทดลองเพื่อแสดงว่าการเคลื่อนที่ของน้ำหนักขึ้นและลงบนสปริงตรงกับการเคลื่อนที่ของจุดตามวงกลมทุกประการ ในมะเดื่อ 21.3 แสงของโคมไฟโค้งฉายภาพเงาของเข็มที่ติดอยู่ในจานหมุนบนหน้าจอ และน้ำหนักที่สั่นในแนวดิ่งเคลื่อนที่เคียงข้างกัน หากคุณทำให้น้ำหนักแกว่งตามเวลาและจากตำแหน่งที่ถูกต้อง จากนั้นเลือกความเร็วของการเคลื่อนที่ของดิสก์อย่างระมัดระวังเพื่อให้ความถี่ของการเคลื่อนที่ตรงกัน เงาบนหน้าจอจะตามติดๆ กัน นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะทำให้แน่ใจว่า โดยการหาคำตอบที่เป็นตัวเลข เราเกือบจะเข้าใกล้โคไซน์แล้ว

ตรงนี้สามารถเน้นย้ำได้ว่าเนื่องจากคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอตามวงกลมนั้นคล้ายกันมากกับคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบแกว่งขึ้นและลง การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบแกว่งจะง่ายขึ้นมากหากการเคลื่อนที่นี้แสดงเป็นเส้นโครงของการเคลื่อนที่ตามแนววงกลม . กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถเสริมสมการ (21.2) ซึ่งดูเหมือนจะเป็นสมการที่ซ้ำซ้อนโดยสิ้นเชิงสำหรับ y และพิจารณาสมการทั้งสองร่วมกัน เมื่อทำสิ่งนี้แล้ว เราจะลดการสั่นแบบหนึ่งมิติเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลม ซึ่งจะช่วยไม่ให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คุณสามารถทำเคล็ดลับอื่นได้ - แนะนำจำนวนเชิงซ้อน แต่จะเพิ่มเติมในบทถัดไป