Що таке ціле вираження правило. Урок « Алгебраїчні дроби, раціональні та дробові вирази

Ціле вираз - це математичне вираз, складене з чисел і літерних змінних за допомогою дій складання, віднімання та множення. Також до цілих відносяться вирази, які мають у своєму складі розподіл на якесь число, відмінне від нуля.

Приклади цілого виразу

Нижче наведено кілька прикладів цілих виразів:

1. 12 * a ^ 3 + 5 * (2 * a -1);

2. 7*b

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Дробові вирази

Якщо ж у виразі присутній розподіл на змінну або на інший вираз містить змінну, то такий вираз не є цілим. Такий вираз називається дробовим. Дамо повне визначеннядробового виразу.

Дробне вираз - це математичне вираз, яке крім дій складання, віднімання та множення, виконаних з числами і буквеними змінними, а також поділу на число не рівне нулю, містить так само поділ на вирази з буквеними змінними.

Приклади дробових виразів:

1. (12 * a ^ 3 +4) / a

2. 7/(x+3)

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Дробові та цілі вирази становлять дві великі множини математичних виразів. Якщо ці множини об'єднати, то отримаємо нову множину, яка називається раціональними виразами. Тобто раціональні вирази це все ціле і дробові вирази.

Нам відомо, що цілі вирази мають сенс за будь-яких значень змінних, які до нього входять. Це випливає з того, що для знаходження значення цілого виразу необхідно виконувати дії, які завжди можливі: додавання, віднімання, множення, розподіл на число відмінне від нуля.

Дрібні ж висловлювання, на відміну цілих, можуть і мати сенсу. Так як присутня операція поділу на змінну або вираз, що містить змінні, і цей вираз може звернутися в нуль, а ділити на нуль не можна. Значення змінних, при яких дробовий вираз матиме сенс, називають допустимими значеннямизмінних.

Раціональний дріб

Одним із окремих випадків раціональних виразівбуде дріб, чисельник і знаменник якої багаточлени. Для такого дробу в математиці теж існує своя назва - раціональний дріб.

Раціональна дріб матиме сенс у тому випадку, якщо її знаменник не дорівнює нулю. Тобто допустимими будуть всі значення змінних, у яких знаменник дробу відмінний від нуля.

Приклади цілого виразу

Нижче наведено кілька прикладів цілих виразів:

1. 12 * a ^ 3 + 5 * (2 * a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Дробові вирази

Приклади дробових виразів:

1. (12 * a ^ 3 +4) / a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Дрібні ж висловлювання, на відміну цілих, можуть і мати сенсу. Так як присутня операція поділу на змінну або вираз, що містить змінні, і цей вираз може звернутися в нуль, а ділити на нуль не можна. Значення змінних, у яких дробове вираз матиме сенс, називають допустимими значеннями змінних.

Раціональний дріб

Одним з окремих випадків раціональних виразів буде дріб, чисельник і знаменник якої багаточлени. Для такого дробу в математиці теж існує своя назва - раціональний дріб.

«Урок Многочлен» - І виконати перевірку: 2.Виконати множення многочленів: 4.Виконати поділ многочлена A(x) на В(х). 3. Розкласти многочлен на множники. 1.Виконати додавання та віднімання багаточленів: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 і Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Дії із багаточленами. Урок 15

«Перетворення цілого вираження на многочлен» - Розвивати обчислювальні навички учнів. Ввести поняття цілого виразу. Перетворення цілих виразів. Багаточлени і, зокрема, одночлени є цілими виразами. Вправляти учнів у приведенні подібних доданків. Прикладами цілих виразів є такі вирази: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+2c) )/5+2,5ac.

«Множення багаточленів» - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. презентація. Позиційне число багаточлену. Множення багаточленів з використанням позиційного числа. Рябов Павло Юрійович. Керівник: Калетурін А. С.

"Многочлен стандартного виду" - Стандартний вид багаточлена. приклади. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Додавання багаточленів. Підготовка до с/р №6. Словник. Глава 2, §1b. Для багаточленів з однією літерою старшого члена визначено однозначно. Перевір себе. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

"Многочлени" - Одночлен вважають багаточленом, що складається з одного члена. Винесення загального множника за дужки. Алгебра. Багаточлени. Помножимо многочлен a+b багаточлен c+d. Добуток одночлена та багаточлена Множення одночлена на багаточлен. Подібними доданками є і члени 2 і -7, які не мають буквену частину. Членами багаточлена 4xz-5xy+3x-1 є 4xz, -5xy, 3x та -1.

"Урок Розкладання на множники" - Застосування ФСУ. Формули скороченого множення. Тема уроку: Відповіді: вар 1: б, г, б, г, в; вар 2: а, г, в, б, а; вар 3: в, в, в, а, б; Вар 4: г, г, в, б, г. Ну, і як? Винесення загального множника за дужки. 3. Закінчіть розкладання на множники: Робота в групах: Винесіть загальний множник за дужки. 1. Закінчіть розкладання на множники: а).

Завдяки курсу алгебри відомо, що всі висловлювання вимагають перетворення для зручнішого рішення. Визначення цілих виразів сприяє тому, що спочатку виконуються тотожні перетворення. Перетворюватимемо вираз у многочлен. Наприкінці розберемо кілька прикладів.

Визначення та приклади цілих виразів

Визначення 1

Цілі вирази– це числа, змінні або вирази зі складанням або відніманням, які записуються у вигляді ступеня з натуральним показником, які також мають дужки або поділ, відмінний від нуля.

Виходячи з визначення, маємо, що приклади цілих виразів: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 і так далі, причому змінні види a, b, p, q, x, z вважають за цілі вирази. Після їх перетворення сум, різниць, творів виразу набудуть вигляду

x + 1 , 5 · y 3 · 2 · 3 · 7 − 2 · y − 3 , 3 − x · y · z 4 , - 6 7 , 5 · (2 · x + 3 · y 2) 2 − - ( 1 − x) · (1 + x) · (1 + x 2)

Якщо у виразі є розподіл на число, відмінне від нуля виду x: 5 + 8: 2: 4 або (x + y) : 6 , тоді поділ може позначатися за допомогою дробової риси, як x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . При розгляді виразів виду x: 5 + 5: x або 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c видно, що такі вирази не можуть бути цілими, тому що в першому є поділ на змінну x , а у другому на вираз із змінною.

Багаточлен і одночлен є цілими виразами, з якими зустрічаємося у школі під час роботи з раціональними числами. Інакше кажучи, цілі вирази не включають записи ірраціональних дробів. Інша назва – це цілі ірраціональні вирази.

Які перетворення цілих виразів можливі?

Цілі висловлювання розглядаються під час вирішення як основні тотожні перетворення, розкриття дужок, групування, приведення подібних.

Приклад 1

Розкрити дужки і навести подібні доданки в 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b) .

Рішення

Для початку необхідно застосувати правило розкриття дужок. Отримаємо вираз виду 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · (−2 · a) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b

Після цього можемо навести такі складові:

2 · a 3 + 6 · a · b - 4 · a - 2 · a 3 - 5 · a · b + 6 · a - b = = (2 · a 3 - 2 · a 3) + (6 · a · b − 5 · a · b) + (−4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .

Після їх приведення отримуємо багаточлен виду a · b + 2 · a - b.

Відповідь: 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = a · b + 2 · a − b.

Приклад 2

Зробити перетворення (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Рішення

Наявне поділ можна замінювати множенням, але зворотне число. Тоді необхідно виконати перетворення, після яких вираз набуде вигляду (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Тепер слід зайнятися приведенням подібних доданків. Отримаємо, що

(x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · (x - 1) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x - 3 2 + 2 21 · x 2 + 2 21 = 2 21 · x 2 + 3 2 · x - 59 42 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42

Відповідь: (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

Приклад 3

Подати вираз 6 · x 2 · y + 18 · x · y - 6 · y - (x 2 + 3 · x - 1) · (x 3 + 4 · x) у вигляді твору.

Рішення

Розглянувши вираз, видно, що перші три доданки мають загальний множник виду 6 · y, який слід винести за дужки під час перетворення. Тоді отримаємо, що 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x)

Видно, що отримали різницю двох виразів виду 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) та (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) із загальним множником x 2 + 3 · x − 1 , який потрібно винести за дужки. Отримаємо, що

6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − (x 3 + 4 · x))

Розкривши дужки, маємо вираз виду (x 2 + 3 · x - 1) · (6 · y - x 3 - 4 · x), яке необхідно було знайти за умовою.

Відповідь:6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · ( 6 · y − x 3 − 4 · x)

Тотожні перетворення вимагають суворе виконання порядку дій.

Приклад 4

Перетворити вираз (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8.

Рішення

Ви насамперед виконуються дії у дужках. Тоді маємо, що 3 · 2 − 6 2: 9 = 3 · 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2. Після перетворень вираз набуває вигляду 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Відомо що 2 3 = 8 і (x 2) 4 = x 2 · 4 = x 8, Тоді можна дійти виразу виду 8 · x 8 + 4 · x: 8 . Другий доданок вимагає заміни поділу на множення з 4 · x: 8. Згрупувавши множники, отримуємо, що

8 · x 8 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Відповідь:(3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 1 2 · x .

Перетворення на багаточлен

Більшість випадків перетворення цілих виразів – це у вигляді многочлена. Будь-яке вираз можна у вигляді многочлена.Будь-який вираз може бути розглянуто як багаточлени, з'єднані арифметичними знаками. Будь-яка дія над многочленами у результаті дає многочлен.

Для того, щоб вираз був представлений у вигляді багаточлена, необхідно виконувати всі дії з багаточленами згідно з алгоритмом.

Приклад 5

Подати у вигляді многочлена 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (4 · x - x · (15 · x + 1)).

Рішення

У цьому виразі почати перетворення з виразу виду 4 · x − x · (15 · x + 1) , причому за правилом на початку виконавши множення або поділ, після чого додавання або віднімання. Помножимо – x на 15 · x + 1 тоді отримаємо 4 · x − x · (15 · x + 1) = 4 · x − 15 · x 2 − x = (4 · x − x) − 15 · x 2 = 3 · x − 15 · x 2. Задане вираз набуде вигляду 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (3 · x - 15 · x 2) .

Далі потрібно зробити будівництво в 2 рівень многочлена 2 · x − 1, отримаємо вираз виду (2 · x − 1) 2 = (2 · x − 1) · (2 · x − 1) = 4 · x 2 + 2 · x · (− 1) − 1 · 2 · x − 1 · (− 1 ) = = 4 · x 2 − 4 · x + 1

Тепер можна перейти до вигляду 2 · (2 · x 3 - 1) + (4 · x 2 - 4 · x + 1) · (3 - x) + (3 · x - 15 · x 2).

Розберемо множення. Видно, що 2 · (2 · x 3 - 1) = 4 · x 3 - 2 і (4 · x 2 - 4 · x + 1) · (3 - x) = 12 · x 2 - 4 · x 3 - 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3

тоді можна зробити перехід до виразу виду (4 · x 3 - 2) + (16 · x 2 - 4 · x 3 - 13 · x + 3) + (3 · x - 15 · x 2).

Виконуємо додавання, після чого прийдемо до виразу:

(4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) = = 4 · x 3 − 2 + 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3 + 3 · x − 15 · x 2 = = (4 · x 3 − 4 · x 3) + (16 · x 2 − 15 · x 2) + (− 13 · x + 3 · x) + (−2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 · x + 1 = x 2 − 10 · x + 1 .

Звідси випливає, що вихідний вираз має вигляд x 2 − 10 · x + 1.

Відповідь: 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (4 · x - x · (15 · x + 1)) = x 2 - 10 · x + 1.

Множення та зведення в ступінь багаточлена говорить про те, що необхідно використовувати формули скороченого множення для прискорення процесу перетворення. Це сприяє тому, що дії будуть виконані раціонально та правильно.

Приклад 6

Перетворити 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) .

Рішення

З формули квадрата отримаємо, що (2 · m + n) 2 = (2 · m) 2 + 2 · (2 · m) · n + n 2 = 4 · m 2 + 4 · m · n + n 2, Тоді добуток (m − 2 · n) · (m + 2 · n) дорівнює різниці квадратів m і 2 · n , таким чином, дорівнює m 2 − 4 · n 2. Отримаємо, що вихідний вираз набуде вигляду 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) = 4 · (4 · m 2 + 4 · m · n + n 2) + (m 2 - 4) · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 - 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n

Відповідь: 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) = 17 · m 2 + 16 · m · n.

Щоб перетворення було занадто довгим, необхідно заданий вираз приводити до стандартного виду.

Приклад 7

Спростити вираз виду (2 · a · (−3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2 ) + (5 · a · b · (− 3) · b 2)

Рішення

Найчастіше багаточлени та одночлени даються не стандартного виглядутому доводиться виконувати перетворення. Слід перетворити, щоб отримати вираз виду − 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3. Для того щоб навести подібні, необхідно попередньо зробити множення за правилами перетворення складного виразу. Отримуємо вираз виду

− 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b - 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 - 15 · a · b 3 = = (−12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 · a · b 3) = 6 · a 2 · b

Відповідь: (2 · a · (−3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2 ) + + (5 · a · b · (− 3) · b 2) = 6 · a 2 · b

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter