Що означає система лінійних рівнянь слу однорідна. Визначення, поняття, позначення

Лінійне рівняння називається однорідним, якщо його вільний член дорівнює нулю, і неоднорідним інакше. Система, що складається з однорідних рівнянь, називається однорідною і має загальний вигляд:

Вочевидь, будь-яка однорідна система спільна і має нульове (тривіальне) рішення. Тому стосовно однорідних систем лінійних рівняньчасто доводиться шукати відповіді питання про існування ненульових рішень. Відповідь це питання можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема . Однорідна система лінійних рівнянь має ненульове рішення тоді і лише тоді, коли її ранг менше числаневідомих .

Доведення: Допустимо, система, ранг якої дорівнює, має ненульове рішення. Очевидно, що не перевершує . У цьому випадку система має єдине рішення. Оскільки система однорідних лінійних рівнянь завжди має нульове рішення, саме нульове рішення і буде цим єдиним рішенням. Таким чином, ненульові рішення можливі лише за .

Наслідок 1 : Однорідна система рівнянь, у якій кількість рівнянь менша за кількість невідомих, завжди має ненульове рішення.

Доведення: Якщо в системи рівнянь, то ранг системи вбирається у числа рівнянь, тобто. . Отже, виконується умова і, отже, система має ненульове рішення.

Наслідок 2 : p align="justify"> Однорідна система рівнянь з невідомими має ненульове рішення тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

Доведення: Припустимо, система лінійних однорідних рівнянь, матриця якої з визначником має ненульове рішення. Тоді з доведеної теоремі , але це, що матриця вироджена, тобто. .

Теорема Кронекера-Капеллі: СЛУ спільна тоді і лише тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангурозширеної матриці цієї системи Система ур-ий називається спільної, якщо вона має хоча одне рішення.

Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь .

Система m лінійних ур-ій з n змінними називається системою лінійних однорідних рівнянь, якщо вільні члени рівні 0. Система лінійних однорідних ур-ий завжди спільна, т.к. вона завжди має принаймні нульове рішення. Система лінійних однорідних ур-ий має ненульове рішення і тоді, коли ранг її матриці коефіцієнтів при змінних менше числа змінних, тобто. при rang A (n. Будь-яка лін. комбінація

рішень системи лін. однорідний. ур-ий є рішенням цієї системи.

Система лін.незалежних рішень е1, е2, ..., еk називається фундаментальною, якщо кожне рішення системи є лінійною комбінацією рішень. Теорема: якщо ранг r матриці коефіцієнтів при змінних системилінійних однорідних рівнянь менше кількості змінних n, то будь-яка фундаментальна система рішень системи складається з n-r рішень. Тому загальне рішеннясистеми лін. однордн. ур-ий має вигляд: с1е1+с2е2+…+сkеk, де е1, е2,…, еk – будь-яка фундаментальна система рішень, с1, с2,…, сk – довільні числа і k=n-r. Загальне рішення системи m лінійних ур-ій з n змінними дорівнює сумі

загального рішення відповідної їй системи однорідної. лінійних ур-ій та довільного приватного вирішення цієї системи.

7.Лінійні простори. Підпростору. Базис, розмірність. Лінійна оболонка. Лінійний простір називається n-мірнимякщо в ньому існує система з лінійно незалежних векторів, а будь-яка система з більшої кількостівектори лінійно залежні. Число називається розмірністю (числом вимірів)лінійного простору і позначається. Іншими словами, розмірність простору – це максимальна кількість лінійно незалежних векторів цього простору. Якщо така кількість існує, то простір називається кінцевим. Якщо ж для будь-кого натурального числап у просторі знайдеться система, що складається з лінійно незалежних векторів, такий простір називають нескінченномірним (записують: ). Далі, якщо не обумовлено неприємне, розглядатимуться кінцеві простори.

Базисом n-вимірного лінійного простору називається впорядкована сукупність лінійно незалежних векторів ( базисних векторів).

Теорема 8.1 про розкладання вектора за базисом. Якщо - базис n-вимірного лінійного простору, то будь-який вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
і до того ж єдиним чином, тобто. Коефіцієнти визначаються однозначно.Іншими словами, будь-який вектор простору може бути розкладений по базису і до того ж єдиним чином.

Справді, розмірність простору дорівнює . Система векторів лінійно незалежна (це базис). Після приєднання до базису будь-якого вектора отримуємо лінійно залежну систему(оскільки ця система складається з векторів n-мірного простору). За якістю 7 лінійно залежних та лінійно незалежних векторів отримуємо висновок теореми.

Метод Гауса має ряд недоліків: не можна дізнатися, спільна система чи ні, доки не будуть проведені всі перетворення, необхідні в методі Гауса; метод Гауса не придатний для систем із літерними коефіцієнтами.

Розглянемо інші методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Ці методи використовують поняття рангу матриці та зводять рішення будь-якої спільної системидо рішення системи, до якої застосовується правило Крамера.

приклад 1.Знайти спільне рішення наступної системилінійних рівнянь за допомогою фундаментальної системи рішень наведеної однорідної системи та приватного розв'язання неоднорідної системи.

1. Складаємо матрицю Aта розширену матрицю системи (1)

2. Досліджуємо систему (1) на спільність. Для цього знаходимо ранги матриць Aі https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) несумісна. Якщо ж отримаємо, що , то ця система спільна і ми її вирішуватимемо. (Дослідження на спільність засноване на теоремі Кронекера-Капеллі).

a. Знаходимо rA.

Щоб знайти rA, будемо розглядати послідовно відмінні від нуля мінори першого, другого і т. д. порядків матриці Aі мінори, що їх облямують.

М1=1≠0 (1 беремо з лівого верхнього кутаматриці А).

Облямовуємо М1другим рядком і другим стовпцем цієї матриці. . Продовжуємо облямовувати М1другим рядком і третім стовпцем..gif" width="37" height="20 src=">. М2′другого порядку.

Маємо: (т. до. два перші стовпці однакові)

(Тобто другий і третій рядки пропорційні).

Ми бачимо, що rA=2, а - базисний мінорматриці A.

b. Знаходимо.

Достатньо базисний мінор М2′матриці Aобрамити стовпцем вільних членів і всіма рядками (у нас тільки останнім рядком).

. Звідси випливає, що і М3′′залишається базовим мінором матриці width="168" (2)

Так як М2′- базисний мінор матриці Aсистеми (2) , то ця система еквівалентна системі (3) , що складається з перших двох рівнянь системи (2) (бо М2′знаходиться у перших двох рядках матриці A).

(3)

Так як базисний мінор width="153" (4)

У цій системі два вільні невідомі ( x2 і x4 ). Тому ФСР системи (4) складається із двох рішень. Щоб їх знайти, надамо вільним невідомим у (4) спочатку значення x2=1 , x4=0 , а потім - x2=0 , x4=1 .

При x2=1 , x4=0 отримаємо:

.

Ця система вже має єдине рішення (його можна знайти за правилом Крамера або будь-яким іншим способом). Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо:

Її рішенням буде x1= -1 , x3=0 . Враховуючи значення x2 і x4 , які ми додали, отримуємо перше фундаментальне рішеннясистеми (2) : .

Тепер гадаємо у (4) x2=0 , x4=1 . Отримаємо:

.

Вирішуємо цю систему за теоремою Крамера:

.

Отримуємо друге фундаментальне рішення системи (2) : .

Рішення β1 , β2 і становлять ФСР системи (2) . Тоді її спільним рішенням буде

γ= З 1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Тут З 1 , С2 - Довільні постійні.

4. Знайдемо одне приватне Рішення неоднорідної системи(1) . Як і у пункті 3 замість системи (1) розглянемо еквівалентну їй систему (5) , що складається з перших двох рівнянь системи (1) .

(5)

Перенесемо у праві частини вільні невідомі x2і x4.

(6)

Надамо вільним невідомим x2 і x4 довільні значення, наприклад, x2=2 , x4=1 і підставимо їх у (6) . Отримаємо систему

Ця система має єдине рішення (бо її визначник М2′0). Вирішуючи її (за теоремою Крамера або методом Гауса), отримаємо x1=3 , x3=3 . Враховуючи значення вільних невідомих x2 і x4 , отримаємо приватне вирішення неоднорідної системи(1)α1=(3,2,3,1).

5. Тепер залишилось записати загальне рішення α неоднорідної системи(1) : воно дорівнює сумі приватного рішенняцієї системи та загального вирішення її наведеної однорідної системи (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Це означає: (7)

6. Перевірка.Щоб перевірити, чи правильно ви вирішили систему (1) , Треба загальне рішення (7) підставити в (1) . Якщо кожне рівняння обернеться в тотожність ( З 1 і С2 повинні знищитися), то рішення знайдено правильно.

Ми підставимо (7) для прикладу лише останнє рівняння системи (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Отримаємо: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Звідки –1=–1. Здобули тотожність. Так чинимо з усіма іншими рівняннями системи (1) .

Зауваження.Перевірка зазвичай досить громіздка. Можна рекомендувати таку «часткову перевірку»: у загальному вирішенні системи (1) довільним постійним надати деякі значення і підставити отримане приватне рішення тільки у відкинуті рівняння (тобто ті рівняння з (1) , які не увійшли до (5) ). Якщо отримаєте тотожності, то, швидше за все, вирішення системи (1) знайдено правильно (але повної гарантії правильності така перевірка не дає!). Наприклад, якщо в (7) покласти С2=- 1 , С1 = 1, Отримаємо: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Підставляючи останнє рівняння системи (1), маємо: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , Т. е. -1 = -1. Здобули тотожність.

приклад 2.Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь (1) висловивши основні невідомі через вільні.

Рішення.як і в приклад 1, складаємо матриці Aі цих матриць. Залишаємо тепер тільки ті рівняння системи (1) , Коефіцієнти з яких входять в цей базисний мінор (тобто у нас - перші два рівняння) і розглядаємо систему, що складається з них, еквівалентну системі (1).

Перенесемо у праві частини цих рівнянь вільні невідомі.

Систему (9) вирішуємо шляхом Гаусса, вважаючи праві частини вільними членами.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Варіант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Варіант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Варіант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Варіант 6

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Системи лінійних рівнянь, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називаються однорідними :

Будь-яка однорідна система завжди спільна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним ) Рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.

Теорема 5.2.Однорідна система має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці менший за кількість її невідомих.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник основний матриці системи не дорівнює нулю.

Приклад 5.6.Визначити значення параметра l, за яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:

Рішення. Ця система матиме нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:

Отже, система нетривіальна, коли l=3 чи l=2. При l=3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи лише одне рівняння і вважаючи, що y=aі z=b, отримаємо x=b-a, тобто.

При l=2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи як базисний мінор:

отримаємо спрощену систему

Звідси знаходимо, що x=z/4, y=z/2. Вважаючи z=4a, отримаємо

Безліч всіх рішень однорідної системи має дуже важливе значення. лінійною властивістю : якщо стовпці X 1 та X 2 - рішення однорідної системи AX = 0, то всяка їхня лінійна комбінація a X 1 + b X 2 також буде вирішенням цієї системи. Справді, оскільки AX 1 = 0 і AX 2 = 0 , то A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, то цих рішень буде нескінченно багато.

Лінійно незалежні стовпці E 1 , E 2 , E k, що є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системоюрішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо загальне рішення цієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:

Якщо однорідна система має nзмінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r, то k = n-r.

Приклад 5.7.Знайти фундаментальну систему розв'язків наступної системи лінійних рівнянь:

Рішення. Знайдемо ранг основної матриці системи:

Таким чином, безліч рішень даної системи рівнянь утворює лінійний підпростір розмірності n - r= 5 - 2 = 3. Виберемо як базисний мінор

.

Тоді залишаючи тільки базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), отримаємо спрощену систему рівнянь:

Вважаючи, x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, знаходимо

, .

Вважаючи a= 1, b = c= 0, отримаємо перше базисне рішення; вважаючи b= 1, a = c= 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c= 1, a = b= 0, отримаємо третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна система рішень набуде вигляду

З використанням фундаментальної системи загальне рішення однорідної системи можна записати як

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Зазначимо деякі властивості розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь AX=Bта їх взаємозв'язок відповідною однорідною системою рівнянь AX = 0.

Загальне рішення неоднорідної системидорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 та довільного приватного вирішення неоднорідної системи. Справді, нехай Y 0 довільне окреме рішення неоднорідної системи, тобто. AY 0 = B, і Y- загальне рішення неоднорідної системи, тобто. AY = B. Віднімаючи одну рівність з іншої, отримаємо
A(Y-Y 0) = 0, тобто. Y - Y 0 є загальне рішення відповідної однорідної системи AX=0. Отже, Y - Y 0 = X, або Y = Y 0 + X. Що й потрібно було довести.

Нехай неоднорідна системамає вигляд AX = B 1 + B 2 . Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X 1 + X 2 , де AX 1 = B 1 та AX 2 = B 2 . Ця властивість виражає універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці ця властивість називається принципом суперпозиції, в електро- та радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, у теорії лінійних електричних ланцюгівструм у будь-якому контурі може бути отриманий як алгебраїчна сумаструмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.

Дано матриці

Знайти: 1) aA - bB,

Рішення: 1) Знаходимо послідовно, використовуючи правила множення матриці на число і додавання матриць.

2. Знайдіть А*В, якщо

Рішення: Використовуємо правило множення матриць

Відповідь:

3. Для заданої матрицізнайдіть мінор М 31 та обчисліть визначник.

Рішення: Мінор М 31 - це визначник матриці, яка виходить з А

після викреслення рядка 3 та стовпця 1. Знаходимо

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Перетворимо матрицю А, не змінюючи її визначника (зробимо нулі у рядку 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Тепер обчислюємо визначник матриці А розкладанням рядка 1

Відповідь: М 31 = 0, detA = 0

Вирішити методом Гауса і методом Крамера.

2х 1 + х 2 + х 3 = 2

x 1 + х 2 + 3x 3 = 6

2x1+x2+2x3=5

Рішення: Перевіримо

Можна застосувати метод Крамеру

Рішення системи: х 1 = D 1 / D = 2, х 2 = D 2 / D = -5, х 3 = D 3 / D = 3

Застосуємо метод Гауса.

Розширену матрицю системи наведемо до трикутного вигляду.

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (k = -1/2 = -1 / 2 ) і додамо до 3-ї:

	1 / 2		7 / 2

Помножимо 1-й рядок на (k = -2/2 = -1 ) і додамо до 2-ї:

Тепер вихідну систему можна записати як:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

З 2-го рядка висловлюємо

З першого рядка висловлюємо

Рішення те саме.

Відповідь: (2; -5; 3)

Знайти загальне рішення системи та ФСР

13х 1 - 4х 2 - х 3 - 4х 4 - 6х 5 = 0

11х 1 - 2х 2 + х 3 - 2х 4 - 3х 5 = 0

5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0

7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0

Рішення: Застосуємо метод Гауса. Розширену матрицю системи наведемо до трикутного вигляду.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Помножимо 1-й рядок на (-11). Помножимо 2-й рядок на (13). Додамо 2-й рядок до 1-го:

	-2		-2	-3

Помножимо 2-й рядок на (-5). Помножимо 3-й рядок на (11). Додамо 3-й рядок до 2-го:

Помножимо 3-й рядок на (-7). Помножимо 4-й рядок на (5). Додамо 4-й рядок до 3-го:

Друге рівняння є лінійною комбінацією інших

Знайдемо ранг матриці.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Виділений мінор має найвищий порядок(з можливих мінорів) та відмінний від нуля (він дорівнює творуелементів, що стоять на зворотній діагоналі), отже rang(A) = 2.

Цей мінор є базовим. До нього увійшли коефіцієнти при невідомих x 1, x 2, отже, невідомі x 1, x 2 - залежні (базисні), а x 3, x 4, x 5 - вільні.

Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:

18x2=24x3+18x4+27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Методом виключення невідомих знаходимо загальне рішення:

x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Знаходимо фундаментальну систему рішень (ФСР), що складається з (n-r) рішень. У разі n=5, r=2, отже, фундаментальна система рішень складається з 3-х рішень, причому ці рішення мають бути лінійно незалежними.

Щоб рядки були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної з елементів рядків, дорівнював кількості рядків, тобто 3.

Достатньо надати вільним невідомим x 3 x 4 x 5 значення з рядків визначника 3-го порядку, відмінного від нуля, і підрахувати x 1 x 2 .

Найпростішим визначником, відмінним від нуля, є одинична матриця.

Але тут зручніше взяти

Знаходимо, використовуючи загальне рішення:

а) х 3 = 6, х 4 = 0, х 5 = 0 ? х 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I рішення ФСР: (-2; -4; 6; 0; 0)

б) х 3 = 0, х 4 = 6, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II рішення ФСР: (0; -6; 0; 6; 0)

в) х 3 = 0, х 4 = 0, х 5 = 6 ? х 1 = - 1/3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III рішення ФСР: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ ФСР: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Дано: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Знайти: a) z 1 - 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 / z 2

Рішення: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Відповідь: а) -3i б) 12+26i в) -1.4 - 0.3i

Однорідна система лінійних рівнянь над полем

ВИЗНАЧЕННЯ. Фундаментальною системою розв'язків системи рівнянь (1) називається непуста лінійно незалежна системаїї рішень, лінійна оболонка якої збігається з множиною всіх рішень системи (1).

Зазначимо, що однорідна система лінійних рівнянь, має лише нульове рішення, немає фундаментальної системи рішень.

ПРОПОЗИЦІЯ 3.11. Будь-які дві фундаментальні системи рішень однорідної системи лінійних рівнянь складаються з однакового числарішень.

Доведення. Насправді, будь-які дві фундаментальні системи розв'язків однорідної системи рівнянь (1) еквівалентні та лінійно незалежні. Тому з пропозиції 1.12 їх ранги рівні. Отже, число рішень, що входять до однієї фундаментальної системи, дорівнює числу рішень, що входять до будь-якої іншої фундаментальної системи рішень.

Якщо основна матриця А однорідної системи рівнянь (1) нульова, то будь-який вектор є рішенням системи (1); в цьому випадку будь-яка сукупність лінійно незалежних векторів є фундаментальною системою рішень. Якщо стовпцевий ранг матриці А дорівнює , то система (1) має тільки одне рішення - нульове; отже, у цьому випадку система рівнянь (1) не має фундаментальної системи рішень.

ТЕОРЕМА 3.12. Якщо ранг основної матриці однорідної системи лінійних рівнянь (1) менше кількості змінних , то система (1) має фундаментальну систему рішень, що складається з рішень.

Доведення. Якщо ранг основної матриці А однорідної системи (1) дорівнює нулю або, вище було показано, що теорема вірна. Тому нижче передбачається, що вважаючи , вважатимемо, що перші стовпчиків матриці А лінійно незалежні. У цьому випадку матриця А строчечно еквівалентна наведеній ступінчастої матриці, а система (1) дорівнює наступній наведеній ступінчастій системі рівнянь:

Легко перевірити, що будь-якій системі значень вільних змінних системи (2) відповідає одне і лише одне рішення системи (2) і, отже, системи (1). Зокрема, системі нульових значень відповідає лише нульове рішення системи (2) та системи (1).

Будемо в системі (2) надавати одному з вільних змінних значення, що дорівнює 1, а іншим змінним - нульові значення. В результаті отримаємо розв'язків системи рівнянь (2), які запишемо у вигляді рядків наступної матриці С:

Система рядків цієї матриці є лінійно незалежною. Насправді, для будь-яких скалярів із рівності

слідує рівність

і, отже, рівності

Доведемо, що лінійна оболонка системи рядків матриці збігається з безліччю всіх рішень системи (1).

Довільне вирішення системи (1). Тоді вектор

також є рішенням системи (1), причому