Рух по криволінійній траєкторії. Криволінійний рух Рівняння криволінійного руху

Транскрипт

1 ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ

2 Федеральне агентство освіти Російської Федерації Уральський державний технічний університет УПІ імені першого Президента Росії Б.Н. Єльцина ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради УДТУ УПІ від м. Єкатеринбург УДТУ УПІ 009

3 УДК (075.8) Упорядники: Г.С. Новікова Науковий редактор, доцент, канд. фіз.-мат. наук Дружініна Т.В. Динаміка матеріальної точки. Криволінійний рух: збірник завдань для самостійної роботи з курсу «Теоретична механіка»/сост. Г.С. Новікова. Єкатеринбург: УДТУ УПІ, с. Збірник призначений для видачі домашніх завдань, розрахунковографічних та контрольних робіт для студентів усіх спеціальностей та всіх форм навчання. Мал. 30 Підготовлено кафедрою теоретичної механіки Уральський державний технічний університет УПІ, 009

4 ВСТУП Збірник містить 30 завдань на тему «Динаміка матеріальної точки. Криволінійний рух». Передбачається, що він використовуватиметься студентами для виконання індивідуальних розрахункових завдань, передбачених типовою програмою курсу «Теоретична механіка». У задачах задані сили передбачаються лінійними функціями координат точки, її абсолютної чи відносної швидкості. Тому диференціальні рівняння будуть лінійними та мають аналітичне рішення. При вирішенні можливе використання обчислювальної техніки як чисельного інтегрування рівнянь руху, так побудови графіків руху і траєкторії при аналітичному вирішенні систем рівнянь. Вказівки до виконання завдань Під час роботи над завданням необхідно побудувати розрахункову механічну модель, замінивши задане тіло матеріальною точкою, показати на малюнку для довільного положення M (x, y) діючі сили та записати у векторній формі рівняння руху. Пружні сили і сили опору, що діють, виразити через радіус-вектор r (x, y) і абсолютну швидкість точки ν r (x, y). Потім скласти диференціальні рівняння руху в проекціях обрані осі координат. Проінтегрувавши рівняння аналітично чи чисельно, отримуємо рішення x(t), y(t). У більшості завдань рішення має характер загасаючих коливань. Знайти період Т та декремент D цих коливань. Побудова графіків руху x(t), y(t) провести за точками на ділянці одного періоду (якщо періоди для рішень різні, то взяти найбільший) з кроком, наприклад, T/4. Для чисельного інтегрування прийняти крок h=T/40. Для продовження побудови на весь період перехідного режиму на рух можна використовувати Т і D. Час перехідного режиму можна оцінити приблизно за формулою 3 τ = 3 / n, де n = μ / m. При «ус-

5 ложнении» задач рекомендується сили опору вважати пропорційними квадрату швидкості 0 R = μν ν, де ν = ν / ν 0 одиничний вектор, ν і \ν вектор і модуль швидкості. У варіантах 4, 5, 10, 14, 3, 5, 7 силу опору прийняти у вигляді 1 x μ y R = μ V i V j. Приклад розв'язання задачі Визначити рух важкої матеріальної точки, маса якої дорівнює m, що притягується до нерухомого центру Про силою прямо пропорційною відстані до цього центру. Рух відбувається у порожнечі; сила тяжіння на одиниці відстані дорівнює μm; у момент t = 0: MO = x = a x& = 0; y = 0; y& 0, 0 0; = причому вісь y спрямована по вертикалі вниз (див. рисунок). Згідно з другим законом Ньютона m a = P + F, де F = μ m OM. У проекціях на осі координат отримаємо m&x = μm OM sin α; де x = OM sin α, y = OM cosα. m & y = mg μ m OM cosα, Тоді m& x = μ mx, m& y = mg μ my. Остаточно диференціальні рівняння руху матимуть вигляд 4

6 && x = μ x, && y = g μ y. Розв'язання першого лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку & x& + μ x = 0 шукаємо в залежності від виду коренів характеристичного рівняння, для чого в рівнянні підставляємо x = e і отримуємо характеристичне рівняння λt λ + μ = 0, звідки λ = ±. 1, μ Оскільки корені характеристичного рівняння уявні і різні, розв'язком рівняння буде x = c1 coskt + c sin kt. Для визначення постійних інтегрування c 1 та c визначимо швидкість x & = c1k sin kt + ck coskt. Розв'язання другого неоднорідного диференціального рівняння з постійною правою частиною & y μ y = g = складатиметься із загального рішення однорідного рівняння & y& + μ y 0 і g приватного рішення неоднорідного & y + μ y =, тобто y = A & y 0, тоді μ A = g, A = g. μ Повне рішення y = y 1 + y: y = c 1 coskt + c g sin kt + μ. = Швидкість y & = c1k sin kt + ck coskt. Відповідно до початкових умов: y =, y & 0 з цих рівнянь отримаємо c g = 1 =; c = μ 0.5

7 Тоді закон руху точки в проекції на вісь у буде g y = (1 coskt). μ Остаточно закон руху матеріальної точки в проекціях на осі координат буде x = acoskt, g y = (1 coskt). μ Виключивши з цих рівнянь час t, отримаємо траєкторію точки: відрізок прямої g x g y = 1; a x a; 0 y. μ a μ 6

8 Завдання 1. Вагонетка підвісної дороги маси m піднімається заданою силою Q. Трос пружний, силу пружності його вважати пропорційною поперечною деформацією швидкості AM. Опір середовища пропорційно. Пряма OO 1 визначає точки, де поперечна деформація троса дорівнює нулю. Рух вагонетки почався з точки O, початкова швидкість вказана малюнку. Знайти рівняння руху вагонетки. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: µ = 1,4 10³ Н c/м; α = 30; Q = 7 10? Н; = 1,8 м/с; m = 1,3 10³ кг; c = 1 10³ Н/м. Завдання. Аеростат, що має масу m, буксирується з постійною швидкістю V A. Різниця архімедової сили та ваги його спрямована вертикально вгору і дорівнює 0,1 mg. Трос пружний, силу пружності вважати пропорційною відстані AM, AM. Сила опору середовища пропорційна швидкості. У початковий момент часу швидкість аеростату вертикальна, точка А була на початку координат. Прийняти AM = 0. Знайти рівняння руху аеростату. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 0,8 10? кг; = 0,9 м/с. O V A = 5 м/с; с = 1,1 10? Н/м; µ = 0,8 10³ Н c/м; 7

9 Завдання 3. Пружна нитка, закріплена в точці A, проходить через нерухоме гладке кільце; до вільного кінця її прикріплено кульку М, маса якої m. Довжина невитягнутої нитки l = АТ. Коефіцієнт жорсткості нитки с. Витягнувши нитку по вертикалі вдвічі, повідомили кульці початкову горизонтальну швидкість. При русі на кульку діє сила опору середовища, пропорційна швидкості. Знайти рівняння руху кульки. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 0 кг; з = 0 Н/м; µ = 0,8 Н c/м; = 0 м/с; l = 1м. Завдання 4. Платформа маси на повітряній подушці розганяється постійною силою Q. Пружні сили реалізується силами системи повітряної подушки. Вважати еквівалентну пружну силу, пропорційну вертикальному відхиленні AM. Пряма OA відповідає рівню, де F = 0. Сили в'язкого опору в горизонтальному та вертикальному напрямках пропорційні відповідним складовим швидкості, коефіцієнти пропорційності дорівнюють µ 1 і µ. Початкова швидкість платформи вказано малюнку. Знайти рівняння руху платформи. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; Q = 4, Н; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; = 0,7 м/с. 8

10 Завдання 5. Вантаж М маси m буксирується із заданою постійною швидкістю V A. Трос пружний, силу пружності його вважати пропорційною поздовжньої деформації F1 = c1 AM. Амортизатори створюють пружну силу, пропорційну вертикальному відхилення недеформованого стану BM. Сили опору середовища у горизонтальному та вертикальному напрямках пропорційні відповідним складовим швидкості. Коефіцієнти пропорційності дорівнюють μ 1 і μ, початкова швидкість вертикальна. Знайти рівняння руху. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; VA = 4, м/c; з 1 = 3, Н/м; с = 1, 105 Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = Н c/м; V м (О) = 1,6 м/с; B 0 M 0 = 1,5 м; OB 0 = 0; OA 0 = 0,4 м. Завдання 6. До кінця горизонтально натягнутої пружної нитки AM, закріпленої в точці A і проходить через гладке нерухоме кільце O, прив'язаний вантаж М маси m. У початковий момент нитка розтягнута на величину OM 0 і відпущений вантаж без початкової швидкості. Сила пружності пропорційна подовженню. Коефіцієнт пропорційності дорівнює с. Довжина недеформованої нитки l = AO. Сила опору середовища пропорційна швидкості. Знайти рівняння руху вантажу. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 0,6 кг; з = 15 Н/м; µ =,4 Н c/м; l = 1 м; OM 0 = 0,8 м. 9

11 Завдання 7. Вантаж маси m підвішений на пружному тросі, сила пружності якого пропорційна поздовжній деформації = c OM. На нього діє постійна сила Q, спрямована під кутом до горизонту. Сила в'язкого опору руху пропорційна швидкості F. Знайти рівняння руху вантажу, якщо початковий момент його швидкість горизонтальна, трос був вертикальним, OM 0 початкова деформація троса. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 1,5 10 кг; с = 1, Н/м; µ =,6 10 Н c/м; α = 30; Q =, 8 10 Н; =, м/с; OM 0 = 0,8 м. Завдання 8. Понтон маси m, що знаходиться в потоці рідини, утримується пружним тросом. Сила пружності пропорційна поздовжній деформації F1 = c1 AM. Швидкість потоку U вказано малюнку. Архімедова сила пропорційна величині занурення BM, Сила в'язкого опору пропорційна відносної швидкості отн. Знайти рівняння руху понтона, якщо початкова швидкість вертикальна. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; з 1 = Н/м; з = 4, Н/м; µ = 4, Н c/м; U = 6 м/c; = 0,3 м/с; AM0 = 1 м; BM 0 = 0. 10

12 Завдання 9. Вагонетка підвісної дороги маси m вільно опускається тросом. Трос пружний, силу пружності вважати пропорційною поперечній деформації AM. Опір середовища пропорційний швидкості. Пряма OO 1 визначає точки, де поперечна деформація троса дорівнює нулю. Рух вагонетки почався з точки O, початкова швидкість вказана малюнку. Знайти рівняння руху вагонетки. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 5 10 кг; з = 6, Н/м; µ = 4,3 10 Н c/м; α = 10; = 1,8 м/с. Завдання 10. Дирижабль маси m знаходиться в повітряному потоці, швидкість якого U. Трос, який утримує дирижабль у причальної щогли, пружний, сила пружності пропорційна поздовжньої деформації OM. Різниця архімедової сили і ваги спрямована вертикально вгору, і дорівнює 0,mg. Сили в'язкого опору у вертикальному та горизонтальному напрямках пропорційні відповідним складовим відносної швидкості. Коефіцієнти пропорційності дорівнюють μ 1 і μ. На початковий момент швидкість дирижабля. Знайти рівняння руху дирижабля. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; µ 1 = 5, Н c/м; µ = 1, Н c/м; U = 5 м/с; = 1,7 м/с; OM 0 = 0,5 м; OM 0 U. 11

13 Завдання 11. Катер маси m розганяється горизонтальною постійною силою. При цьому, маючи початкову швидкість занурення у воду, він здійснює коливання під дією архімедової сили, пропорційної глибині частини катера AM, що занурюється. На катер діє сила опору води, пропорційна швидкості. Знайти рівняння руху катера. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 1 кг; з = 4, Н/м; µ = 1, Н c/м; Q = 3, Н; = 1,3 м/с; точка A проекції центру мас катера на поверхню води. Завдання 1. Підводний апарат маси m буксирується із заданою швидкістю V. Буксирувальний пружний трос, сила пружності A AM поздовжня деформація. Різниця архімедової сили та ваги апарата дорівнює 0,3mg і спрямована вертикально донизу. Сила опору середовища. Знайти рівняння руху апарата, якщо його F = c AM, де початкова швидкість вертикальна. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 5 кг; V A = м/с; с = Н/м; µ = 5, Н c/м; = 0,6 м/с; при t = 0 апарат знаходиться під буксиром на глибині 0,5 м. 1

14 Завдання 13. Висячий на тросі вантаж маси m з бічними амортизаторами здійснює вільні коливання під дією сили пружності троса F1 = c1 OM (OM поздовжня деформація) і сил пружності амортизаторів, рівнодіючу яких можна вважати горизонтальною і пропорційною горизонтальному від F: x = c x. Сила опору середовища пропорційна швидкості. Знайти рівняння руху вантажу, якщо початкова швидкість горизонтальна, трос OM 0 вертикальний. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; з 1 = Н/м; с = Н/м; BM 0 = 0,0 м; µ = 8, Н c/м; = 0,9 м/с; OM 0 = 0 м Завдання 14. Буєр маси m розганяється вітром, швидкість якого U постійна. Льодову поверхню, якою ковзає буєр, вважати пружною. Сила пружності пропорційна поперечній деформації AM. Сили в'язкого тертя у вертикальному та горизонтальному напрямках пропорційні складовим відносної швидкості буєра за цими напрямами, коефіцієнти пропорційності дорівнюють μ 1 і μ. Пряма OO 1 вказує положення буєра де F = 0. Початкова швидкість буєра спрямована вертикально вниз. Знайти рівняння руху буєра. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 3,5 10 кг; з = 7, Н/м; µ 1 = Н c/м; µ =,1 10 Н c/м; = 1,4 м/с; U = 5 м/с. 13

15 Завдання 15. Витяг на пружному тросі вантаж маси m знаходиться в потоці рідини, що рухається з постійною швидкістю U. Сила пружності троса пропорційна поздовжньої деформації OM. Різниця ваги вантажу та архімедової сили спрямована вертикально вниз і дорівнює Q = 0,8mg. Сила в'язкого тертя пропорційна відносної швидкості вантажу R μv = отн. У початковий момент вантаж був у рівноважному положенні та отримав початкову швидкість, спрямовану під кутом α до горизонту. Знайти рівняння руху вантажу. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; U = 8 м/с; с = 1, Н/м; µ = 1, Н c/м; α = 30; = 1 м/с. Задача 16. Баржа маси m буксирується із заданою горизонтальною швидкістю V A в потоці рідини, що має швидкість U. Виштовхувальна сила з боку води пропорційна глибині занурення, коефіцієнт пропорційності c 1. Сила пружності троса пропорційна його поздовжньої деформації AM. Сила опору води пропорційна відносної швидкості отн. Початкова швидкість вказана малюнку. За початок координат прийняти початкове положення точки А, рахувати AM 0 = 0. Знайти рівняння руху баржі. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; VA = 4 м/c; U = 3 м/с; з 1 = Н/м; с = 6, 105 Н/м; µ = Н c/м; α = 30; = 0,7 м/с. А 14

16 Завдання 17. Тіло маси m, кинуте з початковою швидкістю під кутом α до горизонту, рухається під впливом сили тяжіння та сили опору повітря, пропорційної швидкості. Знайти рівняння руху тіла, найбільшу висоту підйому, відстань по горизонталі, коли ця висота буде досягнута, дальність польоту. Побудувати графіки руху та траєкторію тіла. Дано: m = 5 кг; = 0 м/с; α = 60; µ = 0,3 Н c/м. Завдання 18. Вантаж маси m, підвішений на пружному тросі, піднімається краном з постійною швидкістю V A. Сила пружності троса пропорційна поздовжній деформації AM. Сила опору повітря пропорційна швидкості вантажу. Початкова швидкість горизонтальна, трос був вертикальним, A0M 0 початкова деформація. Знайти рівняння руху вантажу. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; V A = м/с; с = 6, 104 Н/м; µ = 4, Н c/м; = 1,3 м/с; A 0M = 0,5 м. 0 15

17 Завдання 19. Альпініст маси m спускається пружним канатом, який у ненавантаженому стані збігається з прямою OO 1, що становить кут α з горизонтом. Силу пружності каната вважати пропорційною поперечної деформації AM. Сила опору повітря пропорційна швидкості. Початкова швидкість показано малюнку. Знайти рівняння руху альпініста. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 80 кг; α = 15; з = 6,5 10 = 1,5 м/с. Н/м; AM0 = 0; µ = 75 Н c/м; Завдання 0. Вантаж маси m, підвішений на пружному тросі, переміщається краном з постійною горизонтальною швидкістю пропорційна поздовжньої деформації V. Сила пружності троса A AM. Рух відбувається у середовищі, що рухається з постійною швидкістю U. Сила опору середовища пропорційна відносної швидкості вантажу = отн. У початковий момент часу швидкість вантажу R μv була горизонтальна, трос вертикальний, A 0M 0 =1 м. Початкове положення точки прийняти за початок координат. Знайти рівняння руху вантажу. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; VA =,5 м/c; з = 5, Н/м; U = 3,3 м/с; µ = 6, Н c/м; = 1,4 м/с. 16

18 Завдання 1. Буй маси m утримується у рідині пружним тросом. Сила пружності пропорційна поздовжній деформації OM. На буй діє постійна за модулем сила Q, спрямована під кутом до горизонту. Різниця архімедової сили та ваги буя дорівнює 0,5mg і спрямована вертикально вгору (позитивна плавучість). При русі буя нею діє сила опору рідини, пропорційна швидкості. Знайти рівняння руху буя, якщо в початковий момент його швидкість вертикальна і спрямована вгору, трос був вертикальним і OM 0 = 0,1 м. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 1, 10 кг; c = 6, 103 Н/м; = 0,7 м/с; Q = 4, 10; α = 40; µ = 3,8 10 Н c/м. Завдання. У човен маси m 1, прив'язаний до берега пружним тросом, застрибує людина маси m, при цьому човен отримує початкову швидкість, спрямовану під кутом до горизонту. Початкова деформація троса дорівнює нулю. Коефіцієнт жорсткості троса з 1. Архімедова сила, що діє на човен при її коливаннях, пропорційна глибині занурення. Коефіцієнт пропорційності с. Сила в'язкого опору залежить від швидкості за лінійним законом. Знайти рівняння руху човна з людиною. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m 1 = 60 кг; m = 80 кг; = 5 м/с; α = 15; з 1 = 500 Н/м; с = Н/м; µ = 1,8 10 Н c/м. 17

19 Завдання 3. Судно маси m вільно дрейфує в потоці, швидкість якого постійна і дорівнює U. Архимедову силу, що діє на судно, вважати пропорційною глибині занурення з коефіцієнтом пропорційності c. Сили в'язкого опору руху в горизонтальному та вертикальному напрямках пропорційні відповідним складовим відносної швидкості, коефіцієнти пропорційності дорівнюють μ 1 і μ. У початковий момент судно мало швидкість. Знайти рівняння руху судна. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; U = 5 м/c; c = 6 Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, 10 5 Н c/м; =,3 м/с. Завдання 4. Вантаж маси m ковзає пружною стрічкою транспортера. ненавантаженому стані стрічка займає положення OO 1, що становить кут з горизонтом. У деякий момент часу вантаж падає на стрічку (у точці О) зі швидкістю перпендикулярної стрічкі. Силу тертя вантажу про стрічку вважати у пропорційній його швидкості. Сила поперечної пружності стрічки пропорційна її прогину AM. На вантаж діє постійна сила Q, паралельна OO 1 і гальмує рух. Знайти рівняння руху вантажу. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 60 кг; α = 15; = 1,5 м/с; µ = 80 Н c/м; c = 7, 10 Н/м; Q = 45 Н. 18

20 Завдання 5. Дирижабль маси m буксирується із заданою швидкістю Буксирувальний пружний трос, силу пружності вважати пропорційною поздовжньої деформації V A. AM, Різниця архімедової сили і ваги дирижабля дорівнює 0,15 mg і спрямована вертикально вгору. Сили опору повітря в горизонтальному та вертикальному напрямках вважати пропорційними відповідним складовим швидкості дирижабля. Коефіцієнти пропорційності дорівнюють μ і 1 μ. На початку буксирування дирижабль отримав початкову швидкість і AM 0. Початкове положення точки A 0 = прийняти початок координат. Знайти рівняння руху дирижабля. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; VA = 3 м/c; c = Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = 8, 10 4 Н c/м; = 0,9 м/с. Завдання 6. На дні резервуара знаходиться вантаж маси m, прив'язаний еластичним шнуром коефіцієнт жорсткості якого c. У деякий момент часу вантаж підчепили і почали витягувати з постійною силою Q під кутом до горизонту. Негативна плавучість (різниця між вагою та архімедовою силою) спрямована вниз і дорівнює N = 0, 5G, де G вага вантажу. В'язке тертя води пропорційно швидкості вантажу і визначається за формулою. В момент зачеплення вантаж стосувався блоку О, шнур був не деформований, а вантаж отримав початкову горизонтальну швидкість. Знайти рівняння руху вантажу. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 50 кг; c = 00 Н/м; µ = 100 Н c/м; Q = 100 Н; α = 30; = 8 м/с. 19

21 Завдання 7. Судно маси m буксирується з постійною горизонтальною швидкістю V A. Буксирувальний пружний трос, силу пружності вважати пропорційною поздовжньої деформації F = c1 AM. У початковий момент судно стосувалося буксира, трос у відсутності деформації, і початкова швидкість спрямовано вертикально вниз. Архімедову силу вважати пропорційною глибині занурення судна, коефіцієнт пропорційності дорівнює с. Сили опору води у горизонтальному та вертикальному напрямках пропорційні відповідним складовим швидкості, μ 1 та μ коефіцієнти пропорційності. Знайти рівняння руху судна. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; VA = 4,5 м/c; c 1 = 0 Н/м; c = 1 Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; =,3 м/с. Завдання 8. Катер маси m рухається проти течії при відключених двигунах, маючи початкову швидкість, спрямовану під кутом до горизонту. Швидкість течії U постійна. Архімедова сила пропорційна висоті занурення, коефіцієнт пропорційності дорівнює c. З боку води катер відчуває опір, пропорційний відносної швидкості отн. Знайти рівняння руху катера. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 50 кг; α = 10; = 3 м/с; µ = 1,7 10 Н c/м; c = Н/м; U = 5 м/с. 0

22 Завдання 9. Вантаж маси m, підвішений на пружному тросі, переміщається підйомним краном з постійною швидкістю V A спрямованою під кутом α до горизонту. Сила пружності троса пропорційна поздовжній деформації F = c AM. Сила опору повітря пропорційна швидкості. У початковий час швидкість вантажу горизонтальна, трос був вертикальний, A 0M 0 початкова деформація троса. Початок координат взяти у початковому положенні точки A. Знайти рівняння руху вантажу. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = 500 кг; VA = 3 м/c; α = 30; з = 8, Н/м; = 1,8 м/с; µ = 9 10 Н c/м; A 0 M 0 = 0, м. Завдання 30. Понтон маси m утримується в потоці, швидкість якого U пружним тросом. Сила пружності пропорційна поздовжній деформації F1 = c1 OM. Архімедова сила пропорційна глибині занурення понтона, коефіцієнт пропорційності с. З боку рідини на понтон діє сила в'язкого опору, пропорційна відносної швидкості отн. У початковий час понтон стосувався блоку (OM 0 = 0) і мав швидкість, спрямовану по вертикалі. Знайти рівняння руху понтону. Побудувати графіки руху та траєкторію. Дано: m = кг; U = м/с; c 1 = 8, µ = 3, Н c/м; =,1 м/с. Н/м; c = 9, 104 Н/м; 1

23 Динаміка матеріальної точки. Криволінійний рух Редактор О.С. Смирнова Комп'ютерна верстка І.І. Іванов Підписано до друку Формат 60х84 1/16 Папір письмовий Плоский друк Ум. піч. л. Уч.-вид. л. Тираж 100 екз. Редакційно-видавничий відділ УДТУ УПІ 6006, Єкатеринбург, вул. Миру, 19 Різографія НІЧ УГТУ УПІ 6006, Єкатеринбург, вул. Миру, 19

Федеральне агентство залізничного транспорту Уральський державний університет шляхів сполучення Кафедра «Мехатроніка» Г. В. Васильєва В. С. Тарасян ПРЯМОЛІНІЙНІ КОЛИВАННЯ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Міністерство освіти Російської Федерації Державна освітня установа вищої професійної освіти «САМАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНІКА» ДИНАМІКА

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ ВОЛГОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВОЛЖСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ (ФІЛІЯ) Г.Б. Потапова, К.В. Худяков ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Умови та рішення задач II олімпіади Мордовського державного університету з теоретичної механіки (2013 2014 навчальний рік) 1. Вантаж втягують вгору по шорсткій поверхні, нахиленій під кутом

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО ПОВІТРЯНОГО ТРАНСПОРТУ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «МОСКОВСЬКИЙ ДАНСЬКИЙ

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти Алтайський державний технічний університет

ЗАВДАННЯ Д-I Тема: Друге основне завдання динаміки точки та метод кінетостатики (принцип Германа-Ейлера-Даламбера). ПЛАН РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ 1. До завдання 1-го: а) розставити сили, що діють на матеріальну точку

Тести з теоретичної механіки 1: Яке чи які з наведених нижче тверджень не справедливі? I. Система відліку включає тіло відліку і пов'язану з ним систему координат і обраний спосіб

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Уральський федеральний університет імені першого Президента України Б.М. Єльцина Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника

Витяг з книги Горбатого ІН «Механіка» 3 Робота Потужність Кінетична енергія Розглянемо частинку яка під дією постійної сили F r здійснює переміщення l r Роботою сили F r на переміщенні l

Пояснення явищ 1. На малюнку представлено схематичний вигляд графіка зміни кінетичної енергії тіла з часом. Виберіть два правильні твердження, що описують рух відповідно до даного

3 Закони збереження в механіці Основні закони та формули Другий закон Ньютона ma = F може бути представлений у вигляді: m υ = F t, ті зміна імпульсу тіла (p = m υ = mυ mυ) дорівнює імпульсу n рівнодіючої

фізика. 9 клас. Тренінг Інерція. Закони Ньютона. Сили у механіці» 1 Інерція. Закони Ньютона. Сили в механіці Варіант 1 1 Металевий брусок підвішений до пружини і повністю занурений у посудину з водою, перебуваючи

Завдання А5 з фізики 1. Тіло втягують нагору по шорсткій похилій площині. Яка із зображених на малюнку сил здійснює позитивну роботу? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 2. На малюнку показаний графік залежності

Лекція 1. Сергій Євгенович Муравйов кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри теоретичної ядерної фізики НІЯУ МІФІ Ми починаємо! 1. Переможці та призери олімпіад мають набрати 75 балів ЄДІ!.

Методичні матеріали на тему «Механічні явища»- 9 клас Частина 1 1. Автомобіль починає рух по прямій зі стану спокою із прискоренням 0,2 м/с 2. За який час він набуде швидкості 20 м/с?

Міністерство освіти Російської Федерації Державна освітня установа вищої професійної освіти «САМАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНІКА»

«ОСНОВИ ДИНАМІКИ» Закони Ньютона: Перший: Існують системи відліку звані інерціальними, щодо яких тіло, що поступово рухається, зберігає свій стан спокою або прямолінійного рівномірного

Заняття 11 Підсумковий 2. Механіка. Завдання 1 На малюнку представлено графік залежності шляху S велосипедиста від часу t. Визначте інтервал часу після початку руху, коли велосипедист рухався зі

Диференціальне рівняння руху точки Завдання D2.1. 1 Гальмівний шлях автомобіля на горизонтальній дорозі при швидкості v 0 становить S. Чому дорівнює гальмівний шлях цього автомобіля за тієї ж швидкості

00-0 навч. рік, кл. фізика. Основні закони механіки. Динаміка У динаміці механічний рух вивчається у зв'язку з причинами, що викликають той чи інший його характер. В інерційних системах відліку цими

Приклади завдань з бази завдань дистанційного відбірного туру олімпіади «Росатом», 11 клас База завдань дистанційного відбіркового туру олімпіади «Росатом»

Встановлення відповідності, частина 2 1. русок, що знаходиться на шорсткої горизонтальної поверхні, починає рухатися рівноприскорено під дією сили В системі відліку, пов'язаної з горизонтальною поверхнею,

КІНЕМТИК завдання типу У Стор. 1 із 5 1. Тіло почало рух уздовж осі OX з точки x = 0 з початковою швидкістю v0х = 10 м/с і з постійним прискоренням a х = 1 м/c 2. Як змінюватимуться фізичні величини,

ОЛІМПІАДА МАЙБУТНІ ДОСЛІДНИКИ МАЙБУТНЄ НАУКИ 2018-2019 Фізика, I тур, варіант 1 7 клас 1. (30 балів) Два автомобілі виїхали одночасно: один з пункту А до пункту Б, інший з Б до А. Швидкість одного

Уральський федеральний університет імені першого Президента Росії БН Єльцина Спеціалізований навчально-науковий центр ЛІТНЯ ШКОЛА 07 року ФІЗИКА РОЗБІР ЗАВДАНЬ Локомотив (3 бали) Визначте, користуючись

Дистанційна підготовка bituru ФІЗИКА Стаття 8 Механічні коливальні системи Теоретичний матеріал У цій статті ми розглянемо методи вирішення завдань на коливальний рух тіл.

Динаміка 1. Брусок масою рухається поступально горизонтальною площиною під дією постійної сили, спрямованої під кутом до горизонту. Модуль цієї сили Коефіцієнт тертя між бруском та площиною

ТЕМА Лекція 3 Робота, потужність, енергія. Закон збереження та зміни механічної енергії. Матрончик Олексій Юрійович кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри загальної фізики НІЯУ МІФІ, експерт

ОЛІМПІАДА МАЙБУТНІ ДОСЛІДНИКИ МАЙБУТНЄ НАУКИ 017-018 Фізика, I тур, варіант 1 РІШЕННЯ Увага: квант оцінки дорівнює 5 (можна ставити тільки 5, 10, 15 і т. д. балів)! Загальна рекомендація: Під час перевірки,

Заняття 3. Основні засади динаміки. Сили: тяжкості, реакції, пружності Варіант 3... На тіло масою 0 кг діють кілька сил, рівнодіюча яких є постійною і дорівнює 5 Н. Щодо інерційної

С1.1. Два однакові бруски, пов'язані легкою пружиною, спочивають на гладкій горизонтальній поверхні столу. У момент t = 0 правий брусок починають рухати так, що за час х він набирає кінцеву швидкість

Дистанційна підготовка Abituru ФІЗИКА Стаття Закони Ньютона Теоретичний матеріал У цій статті ми розглянемо завдання застосування законів Ньютона Перший закон Ньютона (закон інерції) стверджує про те,

Залік 1 на тему: «Кінематика. Динаміка. Закони збереження» 10 клас Запитання до заліку 1 1. Що називається механічним рухом? 2. Що називається тілом відліку? 3..Якими способами можна задати становище

Банк завдань з фізики 1 клас МЕХАНІКА Рівномірний та рівноприскорений прямолінійний рух 1 На малюнку наведено графік залежності координати тіла від часу при його прямолінійному русі по осі x.

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти Ухтинський державний технічний університет Фізика МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

ВСТУП Умова кожного завдання розрахунково-графічної роботи супроводжується десятьма малюнками та двома таблицями числових значень заданих величин. Вибір варіантів здійснюється згідно із шифром студента.

Залік 1 на теми «Кінематика. Динаміка». Запитання до заліку: 1. Що вивчає кінематика? 2. Основні поняття кінематики: механічний рух, матеріальна точка, система відліку, траєкторія, пройдений

Навчальні завдання по темі «ДИНАМІКА» 1(А) Автобус рухається прямолінійно з постійною швидкістю. Виберіть правильне твердження. 1) На автобус діє тільки сила тяжіння.

Задачник школяра izprtalru 6 Динаміка прямолінійного руху Основне рівняння динаміки матеріальної точки (другий закон Ньютона) для тіла постійної маси в інерційних системах відліку має вигляд

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Уральський федеральний університет імені першого Президента Росії Б. Н. Єльцина

Приклади розв'язання задач Приклад 1 Через обертовий навколо горизонтальної осі блок (рис1а) перекинута невагома нерозтяжна нитка до кінців якої прив'язані вантажі 1 і Знайдіть силу тиску X N F блоку на

Розв'язання задач на рух тіл з використанням блоків Завдання Через блок перекинуто нерозтяжну нитку, до якої прикріплено два тіла масами і (причому) Визначити прискорення, з якими будуть рухатися

ОЛІМПІАДА МАЙБУТНІ ДОСЛІДНИКИ МАЙБУТНЄ НАУКИ 017-018 Фізика, I тур, варіант РІШЕННЯ Увага: квант оцінки дорівнює 5 (можна ставити тільки 5, 10, 15 і т. д. балів)! Загальна рекомендація: При перевірці, навіть

1.2.1. Інерційні системи відліку. Перший закон Ньютона. Принцип відносності Галілея 28 (С1). Пасажир автобуса на зупинці прив'язав до ручки сидіння за нитку легку повітряну кульку, заповнену

РОБОТА, ПОТУЖНІСТЬ, ЕНЕРГІЯ, ТИСК 008 1. Сталева деталь (ρс = 7800кг/м) об'ємом 4 дм знаходиться на висоті м. Її потенційна енергія дорівнює А) 9600 Дж В) 960 Дж С) 99000 ,6 Дж. Визначте

ОЛІМПІАДА МАЙБУТНІ ДОСЛІДНИКИ МАЙБУТНЄ НАУКИ 017-018 Фізика, I тур, варіант 1 РІШЕННЯ 7 клас 1. (40 балів) Два автомобілі одночасно виїжджають назустріч один одному з різних пунктів і їдуть зі швидкостями,

ІТТ-10.3.2 Варіант 2 ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ 1. Як називається фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на вектор його миттєвої швидкості? 2. Як називається фізична величина, що дорівнює половині твору

Варіанти домашнього завдання ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ Варіант 1. 1. На малюнку а наведено графік коливального руху. Рівняння коливань x = Asin(ωt + αo). Визначити початкову фазу. x Про t

Величина, її визначення Позначення Одиниця виміру «МЕХАНІКА» Формула Величини у формулі ВИДИ РУХУ I. Рівномірний прямолінійний рух-це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки

Мінімум з фізики для учнів 10-х класів за півріччя. Вчитель фізики - Турова Марія Василівна e-mail: [email protected]Список литературы: 1. Підручник фізики 10 клас. Автори: Г.Я.Мякішев, Б.Б.

Лекція 4. Тема: Динаміка матеріальної точки. Закони Ньютона. Динаміка матеріальної точки. Закони Ньютона. Інерційні системи відліку. Принцип відносності Галілея. Сили у механіці. Сила пружності (закон

Запитання для заліку за курсом «Теоретична механіка», розділ «Динаміка» 1. Основні аксіоми класичної механіки. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки. 3. Моменти інерції системи точок

Тематична діагностична робота з підготовки до ЄДІ з ФІЗИКИ на тему «Механіка» 18 грудня 2014 року 10 клас Варіант ФІ00103 (90 хвилин) Район. Місто (населений пункт). Школа Клас Прізвище. Ім'я.

Міністерство освіти Республіки Білорусь Установа освіти «Могилівський державний університет продовольства» Кафедра фізики ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ І ПЕРЕВІРКА ТЕОРЕМИ ШТЕЙНЕРА З ДОПОМОГЮ

Демонстраційний варіант_10 клас (профіль) Завдання 1 1. Повз зупинку прямою вулицею проїжджає вантажівка зі швидкістю 10 м/с. Через 5 с від зупинки навздогін вантажівці від'їжджає мотоцикліст, що рухається

Нурушева Марина Борисівна старший викладач кафедри фізики 3 НІЯУ МІФІ Механічні коливання Механічними коливаннями називають рухи тіл, що повторюються точно (або приблизно) через однакові

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Закони Ньютона Завдання 1. Ракета стартує з поверхні Землі і рухається вертикально вгору, розганяючись із прискоренням 5g. Знайдіть вагу космонавта масою m, що знаходиться

ОЛІМПІАДА МАЙБУТНІ ДОСЛІДНИКИ МАЙБУТНЄ НАУКИ 2018-2019 Фізика, I тур, варіант 2 7 клас 1 (40 балів) Два автомобілі виїхали одночасно: один з пункту А в пункт Б, інший з Б в А Швидкість одного автомобіля

006-007 навч. рік, 9 кл. фізика. Динаміка. 5. Сили Запис другого закону Ньютона як формули () не можна трактувати, як рівність двох сил F і ma. Цей запис є лише виразом рівнодіючої

Закони збереження Імпульс тіла (матеріальної точки) - фізична векторна величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість. p = m υ [p] = кг м/с p υ Імпульс сили векторна фізична величина,

6. Криволінійний рух. Кутове переміщення, кутові швидкість та прискорення тіла. Шлях та переміщення при криволінійному русі тіла.

Криволінійний рух– це рух, траєкторія якого є кривою лінією (наприклад, коло, еліпс, гіперболу, параболу). Прикладом криволінійного руху є рух планет, кінця стрілки годинника по циферблату і т.д. У загальному випадку швидкість при криволінійному русізмінюється за величиною та за напрямом.

Криволінійний рух матеріальної точкивважається рівномірним рухом, якщо модуль швидкості постійний (наприклад, рівномірний рух по колу), і рівноприскореним, якщо модуль та напрямок швидкості змінюється (наприклад, рух тіла, кинутого під кутом до горизонту).

Мал. 1.19. Траєкторія та вектор переміщення при криволінійному русі.

При русі по криволінійній траєкторії вектор переміщення спрямований хордою (рис. 1.19), а l- Довжина траєкторії . Миттєва швидкість руху тіла (тобто швидкість тіла в даній точці траєкторії) спрямована по дотичній в тій точці траєкторії, де в даний момент знаходиться тіло, що рухається (рис. 1.20).

Мал. 1.20. Миттєва швидкість при криволінійному русі.

Криволінійний рух – це завжди прискорений рух. Тобто прискорення при криволінійному русіє завжди, навіть якщо модуль швидкості не змінюється, а змінюється тільки напрямок швидкості. Зміна величини швидкості за одиницю часу – це тангенціальне прискорення :

або

Де v τ , v 0 – величини швидкостей у момент часу t 0 + Δtі t 0 відповідно.

Тангенційне прискорення у цій точці траєкторії у напрямку збігається з напрямом швидкості руху тіла або протилежно йому.

Нормальне прискорення - це зміна швидкості за одиницю часу:

Нормальне прискореннянаправлено по радіусу кривизни траєкторії (до осі обертання). Нормальне прискорення перпендикулярно до напрямку швидкості.

Центрошвидке прискорення- Це нормальне прискорення при рівномірному русі по колу.

Повне прискорення при рівнозмінному криволінійному русі тілаодно:

Рух тіла по криволінійній траєкторії можна приблизно представити як рух по дугах деяких кіл (рис. 1.21).

Мал. 1.21. Рух тіла при криволінійному русі.

Криволінійний рух

Криволінійні рухи- Рухи, траєкторії яких являють собою не прямі, а криві лінії. По криволінійних траєкторіях рухаються планети, води річок.

Криволінійний рух – це завжди рух із прискоренням, навіть якщо за модулем швидкість постійна. Криволінійний рух із постійним прискоренням завжди відбувається у тій площині, в якій знаходяться вектори прискорення та початкові швидкості точки. У разі криволінійного руху з постійним прискоренням у площині xOyпроекції v xі v yїї швидкості на осі Oxі Ойта координати xі yточки у будь-який момент часу tвизначається за формулами

Приватним випадком криволінійного руху є рух по колу. Рух по колу, навіть рівномірний, завжди є прискорений рух: модуль швидкості весь час спрямований по дотичній до траєкторії, постійно змінює напрям, тому рух по колу завжди відбувається з доцентровим прискоренням де r- Радіус кола.

Вектор прискорення при русі коло спрямований до центру кола і перпендикулярно вектору швидкості.

При криволінійному русі прискорення можна представити як суму нормальної та тангенційної складових:

Нормальне (відцентрове) прискорення, спрямоване до центру кривизни траєкторії та характеризує зміну швидкості за напрямком:

v –миттєве значення швидкості, r– радіус кривизна траєкторії у цій точці.

Тангенціальне (дотичне) прискорення, спрямоване по дотичній до траєкторії та характеризує зміну швидкості за модулем.

Повне прискорення, з яким рухається матеріальна точка, дорівнює:

Крім доцентрового прискорення, найважливішими характеристиками рівномірного руху по колу є період і частота обігу.

Період звернення- цей час, за яке тіло відбувається один оборот .

Позначається період літерою Т(с) і визначається за формулою:

де t- час звернення, п- число оборотів, скоєних цей час.

Частота звернення- це величина, чисельно рівна числу оборотів, скоєних за одиницю часу.

Позначається частота грецької літерою (ню) і знаходиться за формулою:

Вимірюється частота 1/с.

Період і частота - величини взаємно зворотні:

Якщо тіло рухається по колу зі швидкістю v,робить один оборот, то пройдений цим тілом шлях можна знайти, помноживши швидкість vна час одного обороту:

l = vT.З іншого боку, цей шлях дорівнює довжині кола 2π r. Тому

vT = 2π r,

де w(з 1) - кутова швидкість.

При незмінній частоті звернення доцентрове прискорення прямо пропорційно відстані від частки, що рухається, до центру обертання.

Кутова швидкість (w) – величина, що дорівнює відношенню кута повороту радіуса, на якому знаходиться точка, що обертається, до проміжку часу, за який відбувся цей поворот:

Зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями:

Рух тіла вважатимуться відомим лише тоді, коли відомо, як рухається кожна його точка. Найпростіший рух твердих тіл – поступальний. Поступальнимназивається рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в цьому тілі, переміщається паралельно до самої себе.

За допомогою цього уроку ви зможете самостійно вивчити тему «Прямолінійний та криволінійний рух. Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю». Спочатку ми охарактеризуємо прямолінійне і криволінійне рух, розглянувши, як із цих видах руху пов'язані вектор швидкості і прикладена до тіла сила. Далі розглянемо окремий випадок, коли відбувається рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю.

На попередньому уроці ми розглянули питання, пов'язані із законом всесвітнього тяжіння. Тема сьогоднішнього уроку тісно пов'язана із цим законом, ми звернемося до рівномірного руху тіла по колу.

Раніше ми говорили, що рух -це зміна положення тіла у просторі щодо інших тіл з часом. Рух та напрямок руху характеризуються в тому числі і швидкістю. Зміна швидкості та сам вид руху пов'язані з дією сили. Якщо на тіло діє сила, тіло змінює свою швидкість.

Якщо сила спрямована паралельно руху тіла, такий рух буде прямолінійним(Рис. 1).

Мал. 1. Прямолінійний рух

Криволінійнимбуде такий рух, коли швидкість тіла та сила, прикладена до цього тіла, спрямовані один щодо одного під деяким кутом (рис. 2). В цьому випадку швидкість змінюватиме свій напрямок.

Мал. 2. Криволінійний рух

Отже, за прямолінійному русівектор швидкості спрямований у той самий бік, як і сила, прикладена до тілу. А криволінійним рухомє такий рух, коли вектор швидкості та сила, прикладена до тіла, розташовані під деяким кутом один до одного.

Розглянемо окремий випадок криволінійного руху, коли тіло рухається по колу з постійною за модулем швидкістю. Коли тіло рухається по колу із постійною швидкістю, то змінюється лише напрямок швидкості. За модулем вона залишається постійною, а напрямок швидкості змінюється. Така зміна швидкості призводить до наявності у тіла прискорення, яке називається доцентровим.

Мал. 6. Рух по криволінійній траєкторії

Якщо траєкторія руху тіла є кривою, її можна уявити як сукупність рухів по дугах кіл, як і зображено на рис. 6.

На рис. 7 показано, як змінюється напрямок вектора швидкості. Швидкість за такого руху спрямована по дотичній до кола, дугою якої рухається тіло. Таким чином, її напрямок безперервно змінюється. Навіть якщо швидкість по модулю залишається постійною величиною, зміна швидкості призводить до появи прискорення:

В даному випадку прискореннябуде направлено до центру кола. Тому воно називається доцентровим.

Чому доцентрове прискорення спрямоване до центру?

Згадаємо, що й тіло рухається по криволінійної траєкторії, його швидкість спрямовано по дотичній. Швидкість є величиною векторною. У вектора є чисельне значення та напрямок. Швидкість у міру руху тіла безперервно змінює свій напрямок. Тобто різниця швидкостей у різні моменти часу не дорівнюватиме нулю (), на відміну від прямолінійного рівномірного руху.

Отже, ми маємо зміну швидкості за якийсь проміжок часу . Ставлення до – це прискорення. Ми приходимо до висновку, що навіть якщо швидкість не змінюється по модулю, у тіла, що здійснює рівномірний рух по колу, є прискорення.

Куди ж спрямоване це прискорення? Розглянемо рис. 3. Деяке тіло рухається криволінійно (по дузі). Швидкість тіла в точках 1 та 2 спрямована по дотичній. Тіло рухається поступово, тобто модулі швидкостей рівні: , але напрями швидкостей не збігаються.

Мал. 3. Рух тіла по колу

Віднімемо зі швидкість і отримаємо вектор. Для цього необхідно з'єднати початки обох векторів. Паралельно перенесемо вектор на початок вектора. Добудовуємо до трикутника. Третя сторона трикутника буде вектором різниці швидкостей (рис. 4).

Мал. 4. Вектор різниці швидкостей

Вектор спрямований у бік кола.

Розглянемо трикутник, утворений векторами швидкостей та вектором різниці (рис. 5).

Мал. 5. Трикутник, утворений векторами швидкостей

Цей трикутник є рівнобедреним (модулі швидкостей рівні). Значить, кути при основі рівні. Запишемо рівність для суми кутів трикутника:

З'ясуємо, куди спрямоване прискорення у цій точці траєкторії. Для цього почнемо наближати точку 2 до точки 1. При такому необмеженому старанні кут прагнутиме 0, а кут - . Кут між вектором зміни швидкості та вектором самої швидкості становить . Швидкість спрямована дотичною, а вектор зміни швидкості спрямований до центру кола. Отже, прискорення теж спрямоване до центру кола. Саме тому це прискорення носить назву доцентрове.

Як знайти доцентрове прискорення?

Розглянемо траєкторію, якою рухається тіло. У разі це дуга кола (рис. 8).

Мал. 8. Рух тіла по колу

На малюнку представлені два трикутники: трикутник, утворений швидкостями, та трикутник, утворений радіусами та вектором переміщення. Якщо точки 1 і 2 дуже близькі, вектор переміщення буде збігатися з вектором шляху. Обидва трикутники є рівнобедреними з однаковими кутами при вершині. Таким чином, трикутники подібні. Це означає, що відповідні сторони трикутників відносяться однаково:

Переміщення дорівнює добутку швидкості тимчасово: . Підставивши цю формулу, можна отримати наступний вираз для доцентрового прискорення:

Кутова швидкістьпозначається грецькою буквою омега (ω), вона говорить про те, на який кут повертається тіло за одиницю часу (рис. 9). Це величина дуги у градусній мірі, пройденої тілом за деякий час.

Мал. 9. Кутова швидкість

Звернемо увагу, що якщо тверде тіло обертається, то кутова швидкість для будь-яких точок на цьому тілі буде постійною. Ближче точка розташовується до центру обертання чи далі - це важливо, т. е. від радіусу залежить.

Одиницею виміру у разі буде або градус за секунду (), або радіан за секунду (). Часто слово «радіан» не пишуть, а просто пишуть. Наприклад знайдемо, чому дорівнює кутова швидкість Землі. Земля робить повний поворот на за год, і в цьому випадку можна говорити про те, що кутова швидкість дорівнює:

Також зверніть увагу на взаємозв'язок кутової та лінійної швидкостей:

Лінійна швидкість прямо пропорційна радіусу. Чим більший радіус, тим більша лінійна швидкість. Тим самим, віддаляючись від центру обертання, ми збільшуємо свою лінійну швидкість.

Слід зазначити, що рух по колу з постійною швидкістю - це окремий випадок руху. Однак рух по колу може бути нерівномірним. Швидкість може змінюватися не тільки за напрямом і залишатися однаковою за модулем, але й змінюватися за своїм значенням, тобто, крім зміни напрямку, існує зміна модуля швидкості. У цьому випадку ми говоримо про так званий прискорений рух по колу.

Що таке радіан?

Існує дві одиниці виміру кутів: градуси та радіани. У фізиці, як правило, радіальний захід кута є основним.

Побудуємо центральний кут, що спирається на дугу завдовжки.

Розглядаючи криволінійний рух тіла, ми побачимо, що його швидкість у різні моменти є різною. Навіть у тому випадку, коли модуль швидкості не змінюється, все ж таки має місце зміна напрямку швидкості. Загалом змінюються і модуль і напрямок швидкості.

Таким чином, при криволінійному русі швидкість постійно змінюється, так що цей рух відбувається з прискоренням. Для визначення цього прискорення (за модулем та напрямом) потрібно знайти зміну швидкості як вектора, тобто знайти збільшення модуля швидкості та зміну її напрямку.

Мал. 49. Зміна швидкості при криволінійному русі

Нехай, наприклад, точка, рухаючись криволінійно (рис. 49), мала в певний момент швидкість, а через малий проміжок часу - швидкість. Приріст швидкості є різниця між векторами і . Так як ці вектори мають різний напрямок, потрібно взяти їх векторну різницю. Збільшення швидкості виразиться вектором, що зображується стороною паралелограма з діагоналлю та іншою стороною. Прискоренням називається відношення збільшення швидкості до проміжку часу, за який це збільшення сталося. Значить, прискорення

У напрямку збігається з вектором.

Вибираючи досить малим, дійдемо поняття миттєвого прискорення (пор. § 16); при довільному векторі представлятиме середнє прискорення за проміжок часу.

Напрямок прискорення при криволінійному русі не збігається з напрямом швидкості, тоді як прямолінійного руху ці напрями збігаються (чи протилежні). Щоб знайти напрям прискорення при криволінійному русі, достатньо зіставити напрями швидкостей у двох близьких точках траєкторії. Так як швидкості спрямовані по дотичних до траєкторії, то на вигляд самої траєкторії можна зробити висновок, в яку сторону від траєкторії спрямоване прискорення. Справді, оскільки різницю швидкостей у двох близьких точках траєкторії завжди спрямовано той бік, куди викривляється траєкторія, то, отже, і прискорення завжди спрямовано бік увігнутості траєкторії. Наприклад, коли кулька котиться по вигнутому жолобі (рис. 50), його прискорення на ділянках і спрямоване так, як показують стрілки, причому це не залежить від того, котиться кулька від або в зворотному напрямку.

Мал. 50. Прискорення при криволінійному русі завжди спрямовані у бік увігнутості траєкторії

Мал. 51. До висновку формули для відцентрового прискорення

Розглянемо рівномірний рух точки криволінійної траєкторії. Ми вже знаємо, що це прискорений рух. Знайдемо прискорення. Для цього достатньо розглянути прискорення для окремого випадку рівномірного руху по колу. Візьмемо два близькі положення і точки, що рухаються, розділених малим проміжком часу (рис. 51, а). Швидкості точки, що рухається в і рівні по модулю, але різні за напрямом. Знайдемо різницю цих швидкостей, користуючись правилом трикутника (рис. 51, б). Трикутники і подібні як рівнобедрені трикутники з рівними кутами при вершині. Довжину сторони , що зображує збільшення швидкості за проміжок часу , можна покласти рівною , де модуль шуканого прискорення. Подібна їй сторона є хорда дуги; внаслідок трохи дуги довжина її хорди може бути приблизно прийнята рівною довжиною дуги, тобто. . Далі, ; де - радіус траєкторії. З подоби трикутників випливає, що відносини подібних сторін у них рівні:

звідки знаходимо модуль шуканого прискорення:

Напрямок прискорення перпендикулярно до хорди. Для досить малих проміжків часу вважатимуться, що до дузі практично збігається з її хордою. Отже, прискорення вважатимуться спрямованим перпендикулярно (нормально) до дотичної до траєкторії, т. е. по радіусу до центру окружності. Тому таке прискорення називають нормальним або доцентровим прискоренням.

Якщо траєкторія - не коло, а довільна крива лінія, то у формулі (27.1) слід взяти радіус кола, що найближче підходить до кривої в даній точці. Напрямок нормального прискорення і в цьому випадку буде перпендикулярно до траєкторії в даній точці. Якщо при криволінійному русі прискорення постійно за модулем і напрямом, його можна знайти як відношення збільшення швидкості до проміжку часу, за який це збільшення сталося, яким би не був цей проміжок часу. Значить, у цьому випадку прискорення можна знайти за формулою

аналогічною формулою (17.1) для прямолінійного руху з постійним прискоренням. Тут - швидкість тіла початковий момент, a - швидкість момент часу .

Вам добре відомо, що в залежності від форми траєкторії рух поділяється на прямолінійнеі криволінійне. З прямолінійним рухом ми навчилися працювати на попередніх уроках, саме вирішувати головне завдання механіки для такого виду руху.

Однак ясно, що в реальному світі ми найчастіше маємо справу з криволінійним рухом, коли траєкторія є кривою лінією. Прикладами такого руху є траєкторія тіла, кинутого під кутом до горизонту, рух Землі навколо Сонця і навіть траєкторія руху ваших очей, які зараз стежать за цим конспектом.

Питання у тому, як вирішується головне завдання механіки у разі криволінійного руху, і буде присвячений цей урок.

Спочатку визначимося, які важливі відмінності є у криволінійного руху (рис. 1) щодо прямолінійного і чого ці відмінності призводять.

Мал. 1. Траєкторія криволінійного руху

Поговоримо про те, як зручно описувати рух тіла при криволінійному русі.

Можна розбити рух окремі ділянки, кожному з яких рух вважатимуться прямолінійним (рис. 2).

Мал. 2. Розбиття криволінійного руху на ділянки прямолінійного руху

Проте зручнішим є наступний підхід. Ми представимо цей рух як сукупність кількох рухів по дугах кіл (рис. 3). Зверніть увагу, що таких розбиття менше, ніж у попередньому випадку, крім того, рух по колу є криволінійним. До того ж, приклади руху по колу в природі зустрічаються дуже часто. З цього можна дійти невтішного висновку:

Для того щоб описувати криволінійний рух, потрібно навчитися описувати рух по колу, а потім довільний рух подавати у вигляді сукупностей рухів по дугах кіл.

Мал. 3. Розбиття криволінійного руху на рухи по дугах кіл

Отже, почнемо вивчення криволінійного руху з вивчення рівномірного руху по колу. Давайте розберемося, які важливі відмінності криволінійного руху від прямолінійного. Для початку пригадаємо, що у дев'ятому класі ми вивчили той факт, що швидкість тіла при русі по колу спрямована по дотичній до траєкторії (рис. 4). До речі, цей факт ви можете подивитися на досвіді, якщо подивіться, як рухаються іскри при використанні точильного каменю.

Розглянемо рух тіла дугою кола (рис. 5).

Мал. 5. Швидкість тіла під час руху по колу

Зверніть увагу, що в даному випадку модуль швидкості тіла у точці дорівнює модулю швидкості тіла у точці :

Однак вектор не дорівнює вектору. Отже, у нас з'являється вектор різниці швидкостей (рис. 6):

Мал. 6. Вектор різниці швидкостей

Причому зміна швидкості сталася через деякий час. Таким чином, ми отримуємо знайому комбінацію:

Це не що інше, як зміна швидкості за проміжок часу або прискорення тіла. Можна зробити дуже важливий висновок:

Рух криволінійною траєкторією є прискореним. Природа цього прискорення – безперервна зміна напряму вектора швидкості.

Ще раз відзначимо, що, навіть якщо говориться, що тіло рівномірно рухається по колу, мається на увазі, що модуль швидкості тіла не змінюється. Однак такий рух завжди є прискореним, оскільки змінюється напрямок швидкості.

У дев'ятому класі ви вивчали, чому таке прискорення і як воно спрямоване (рис. 7). Центрошвидке прискорення завжди спрямоване до центру кола, яким рухається тіло.

Мал. 7. Центрошвидке прискорення

Модуль доцентрового прискорення може бути розрахований за формулою:

Переходимо до опису рівномірного руху тіла по колу. Домовимося, що швидкість , якою ви користувалися під час опису поступального руху, тепер називатиметься лінійною швидкістю. І під лінійною швидкістю ми розумітимемо миттєву швидкість у точці траєкторії тіла, що обертається.

Мал. 8. Рух точок диска

Розглянемо диск, який для визначеності обертається за годинниковою стрілкою. На його радіусі відзначимо дві точки (рис. 8). Розглянемо їхній рух. За деякий час ці точки перемістяться по дугах кола і стануть точками . Очевидно, що точка здійснила більше переміщення, ніж . З цього можна зробити висновок, що чим далі від осі обертання знаходиться точка, тим з більшою лінійною швидкістю вона рухається

Однак якщо уважно подивитися на точки і , можна сказати, що незмінним залишився кут, на який вони повернулися щодо осі обертання. Саме кутові характеристики ми і використовуватимемо для опису руху по колу. Зазначимо, що для опису руху по колу можна використовувати кутовіХарактеристики.

Почнемо розгляд руху по колу із найпростішого випадку – рівномірного руху по колу. Нагадаємо, що рівномірним поступальним рухом називається рух, при якому за будь-які рівні проміжки часу тіло здійснює однакові переміщення. За аналогією можна дати визначення рівномірного руху по колу.

Рівномірним рухом по колу називається рух, за якого за будь-які рівні проміжки часу тіло повертається на однакові кути.

Аналогічно поняттю лінійної швидкості вводиться поняття кутової швидкості.

Кутовою швидкістю рівномірного руху (називається фізична величина, що дорівнює відношенню кута, на який повернулося тіло, на час, за який відбувся цей поворот.

У фізиці найчастіше використовується радіанна міра кута. Наприклад, кут дорівнює радіан. Вимірюється кутова швидкість у радіанах за секунду:

Знайдемо зв'язок між кутовою швидкістю обертання точки та лінійною швидкістю цієї точки.

Мал. 9. Зв'язок між кутовою та лінійною швидкістю

Крапка проходить при обертанні дугу довжиною, повертаючись при цьому на кут. З визначення радіанної міри кута можна записати:

Розділимо ліву та праву частини рівності на проміжок часу , за який було здійснено переміщення, потім скористаємося визначенням кутової та лінійної швидкостей:

Звернемо увагу, що чим далі точка знаходиться від осі обертання, тим вища її лінійна швидкість. А точки, розташовані на осі обертання, нерухомі. Прикладом цього може бути карусель: що ближче ви перебуваєте до центру каруселі, то легше вам утриматися.

Така залежність лінійної та кутової швидкостей використовується в геостаціонарних супутниках (супутники, які завжди знаходяться над однією точкою земної поверхні). Завдяки таким супутникам ми маємо змогу отримувати телевізійні сигнали.

Згадаймо, що раніше ми вводили поняття періоду та частоти обертання.

Період обертання – час повного обороту.Період обертання позначається буквою і вимірюється в секундах СІ:

Частота обертання - фізична величина, що дорівнює кількості оборотів, що тіло здійснює за одиницю часу.

Частота позначається буквою та вимірюється у зворотних секундах:

Вони пов'язані співвідношенням:

Існує зв'язок між кутовою швидкістю та частотою обертання тіла. Якщо згадати, що повний оборот дорівнює, легко побачити, що кутова швидкість:

Підставляючи ці вирази залежність між кутової і лінійною швидкістю, можна отримати залежність лінійної швидкості від періоду або частоти:

Запишемо також зв'язок між доцентровим прискоренням і цими величинами:

Таким чином, ми знаємо зв'язок між усіма характеристиками рівномірного руху по колу.

Підсумуємо. На цьому уроці ми почали описувати криволінійний рух. Ми зрозуміли, як можна пов'язати криволінійний рух з рухом по колу. Рух по колу завжди є прискореним, а наявність прискорення обумовлює той факт, що швидкість завжди змінює свій напрямок. Таке прискорення називається доцентровим. Нарешті ми згадали деякі характеристики руху по колу (лінійну швидкість, кутову швидкість, період і частоту обертання) і знайшли співвідношення між ними.

Список літератури

Г.Я. Мякішев, Б.Б. Буховцев, Н.М. Сотський. Фізика 10. – К.: Просвітництво, 2008.
А.П. Римкевич. фізика. Задачник 10-11. - М: Дрофа, 2006.
О.Я. Савченко. Завдання з фізики. - М: Наука, 1988.
А.В. Перишкін, В.В. Краукліс. Курс фізики Т. 1. - М.: Держ. уч.-пед. вид. хв. освіти РРФСР, 1957.

Аyp.ru ().
Вікіпедія ().

Домашнє завдання

Вирішивши завдання до цього уроку, ви зможете підготуватися до питань 1 ГІА та питань А1, А2 ЄДІ.

Завдання 92, 94, 98, 106, 110 – зб. завдань А.П. Римкевич, вид. 10
Обчисліть кутову швидкість руху хвилинної, секундної та годинної стрілок годинника. Обчисліть доцентрове прискорення, що діє на кінчики цих стрілок, якщо радіус кожної з них дорівнює одному метру.