Прискорювачі заряджених частинок Для дослідження атомного ядра його обстрілювали або опромінювали елементарними частинкамиспостерігаючи за наслідками. Спочатку досить було й енергії, що виникає при природному розпаді радіоактивних елементів.

У ДРЕЙФ

А. Гравітаційний дрейф.

В цьому випадку сила - сила тяжкості та вираз для швидкості дрейфу перетворюється на наступну формулу:

У цьому виді дрейфу швидкість його залежить від заряду та маси частки. Важливо, що у випадку гравітаційного дрейфуіони та електрони дрейфують у протилежних напрямках і, тим самим, створюється електричний струм, щільність якого виражається формулою (іони вважаємо однозарядними):

(2.1.11)

б. Градієнтний дрейф.

Тут нам доведеться зіткнутися з просторовою неоднорідністю, що ускладнює отримання точних рішень. Наближені відповіді отримують зазвичай, застосовуючи так званий підхід слабкої неоднорідності, тобто проводячи розкладання за параметром (належним малим) , де L- Характерний масштаб неоднорідності.

Як і раніше, вважаємо магнітне поле спрямованим уздовж осі z, а градієнт його нехай, для визначеності, буде направлений по осі y. Якісно можна відразу сказати, що ларморовский радіус в області більших y буде більше, ніж в області менших y. Це призведе до того, що дрейф іонів і електронів відбуватиметься в протилежних напрямках і перпендикулярно як , так і . Отже, знаходження швидкості дрейфу ми маємо отримувати силу, усереднену за періодом обертання частки. Що стосується градієнтного дрейфу усереднювати необхідно просторово неоднорідну силу Лоренца, . Наближеність нашого розгляду обумовлена ​​усередненням за незбуреної орбітічастки. Таке усереднення дасть 0 для x компоненти сили Лоренца =0 (частка рухається вгору стільки ж часу, скільки і вниз). Вираз для y – компоненти:

де використано розкладання поля до ряду Тейлора , дає за усереднення:

(2.1.13)

Таким чином, з урахуванням свавілля при виборі напрямку градієнта магнітного поля отримуємо для швидкості градієнтного дрейфу:

(2.1.14)

Формула дає протилежні напрямки дрейфу іонів та електронів, що призводить до появи електричного струму магнітному полю.

в. Відцентровий дрейф.

При русі плазми в магнітному полі з викривленими силовими лініями виникає відцентрова сила, яка можна розглядати, як деякий аналог гравітації. Тут також виявляється застосовним дрейфове трактування руху заряджених частинок. Припустимо для простоти, що радіус кривизни силових ліній магнітного поля постійний і дорівнює R c .З тієї ж причини вважаємо постійним модуль магнітного поля B=const. Нехай також - середній квадратшвидкості хаотичного руху вздовж магнітного поля. Тоді вираз для середньої відцентрової сили, що діє на частинку

і, відповідно до загального виразу для дрейфової швидкості (2.1.9) отримуємо вираз для відцентрового дрейфу:

(2.1.16)

2.1.4. Магнітний корок.

Цей випадок відповідає умові: . Направимо, як і раніше, магнітне поле вздовж осі z, покладемо його аксіально-симетричним з модулем напруженості, що залежить від z. У цьому випадку воно складатиметься з двох компонентів: поздовжньої B zта радіальної B r. Зв'язок між цими компонентами випливає із умови рівності нулю дивергенції магнітного поля, яке для обумовленого випадку виглядає так:

(2.1.17)

Нехай похідна задана на осі (при r = 0) і залежить від радіусу. Тоді, проінтегрувавши (2.1.17), отримуємо:

(2.1.18)

Для аналізу руху частки у прийнятих умовах зручно виписати компоненти лоренцевої сили:

,

.

Для нашого випадку: () маємо:

.

Перше з рівнянь разом із першим членом другого визначає ларморовское обертання, вивчене нами раніше. Другий член другого рівняння (азимутальна складова сили Лоренца), звертаючись в 0 на осі, викликає дрейф у радіальному напрямку, що призводить до руху провідних центрів частинок вздовж кривих силових ліній магнітного поля. Особливий інтерес представляє нам у разі третє з висловів (2.1.20). Підставивши до нього B rз (2.1.18), отримаємо:

2.1.21)

Середнім тепер отриманий вираз за періодом обертання частки, провідний центр якої знаходиться на осі (для простоти). При цьому r = r Lта швидкість u qпостійна. Отримуємо, що для даного випадку, середня сила, що діє на частинку, описується виразом:

де величина визначається як магнітний моментчастки. Для загального випадкувираз (2.1.22) може бути переписаний, як F êê = -m êê B.

Магнітний момент частки, що рухається в неоднорідному магнітному полі, не змінюється, будучи інваріантомруху. Це легко можна показати, розглянувши проекцію рівняння руху на напрямок магнітного поля:

(2.1.23)

Помноживши (2.1.23) зліва на u êê, а справа на рівну величину ds/dt, отримуємо:

(2.1.23)

Тут dB/dt- Зміна поля в системі координат частинки, що рухається. Запишемо тепер закон збереження повної кінетичної енергіїчастинки:

Звідки, використовуючи (2.1.23), отримуємо:

, і, отже, (2.1.25)

На збереженні магнітного моментузарядженої частинки, що рухається в магнітному полі, грунтується ідея магнітної пробки. Частка, рухаючись в область сильного магнітного поля за збереження магнітного моменту, збільшує швидкість поперечного обертання. Відповідно до закону збереження енергії, швидкість поздовжнього руху має зменшитися.

Мал. 2.3. Магнітний затор (дзеркало).

При досить великому полі в «пробці», знайдеться місце, де поздовжня швидкість обернеться в нуль і відбивається частка. Розташувавши дві «пробки» одну навпроти іншої, отримаємо магнітну пастку, яку зазвичай називають «пробкотроном» або дзеркальною пасткою.

Рис.2.4. Магнітна конфігурація «пробкотрону»

2.1.5. Рух у неоднорідному електричному полі.

Розглянемо тепер вплив неоднорідності електричного поля. Магнітне поле нехай буде однорідним та постійним; збережемо за ним колишній напрямок – уздовж осі z.

Електричне поле задаємо у вигляді поля плоскої стоячої електростатичної хвилі довжиною хвильової вектор якої спрямований уздовж осі x.:

(2.1.26)

Оскільки рух уздовж магнітного поля тут нас не цікавить, випишемо відразу поперечні компоненти рівняння руху частинки:

а) ; б) (2.1.27)

Або, продиференціювавши вдруге за часом, перепишемо їх у вигляді:

а) ; б) (2.1.28)

Щоб знати величину електричного поля у місці знаходження частки, потрібно знати її траєкторію. У нульовому наближенні по електричному полюця траєкторія нам відома – ларморівське обертання в однорідному магнітному полі навколо провідного центру: . Використовуємо її.Підставивши електричне поле з (2.1.26) до рівняння (2.1.28.б), отримаємо з урахуванням незбуреної траєкторії частки:

Оскільки нас цікавить дрейфова складова швидкості, середнім рівнянням руху за періодом циклотронного обертання частки. Усі осцилюючі члени у своїй «зануляються». Тому з рівняння (2.1.28а) видно, що середня складова x - компоненти швидкості виявляється рівною нулю, а з рівняння для y-компоненти швидкості виходить наступний вираз:

Звідси неважко висловити середню швидкістьу напрямку y:

(2.1.30)

Далі, скориставшись тригонометричними перетвореннямита можливістю обмежитися малими значеннями ларморівського радіусу (kr L<<1 ; при этом используем старшие члены разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора: sina @ a , cosa @ 1-(1/2) a 2), получаем, помня об исчезновении при усреднении осциллирующих членов, следующее выражение:

, (2.1.31)

яке, у загальному вигляді, може бути переписано таким чином:

. (2.1.32)

Якщо просторова неоднорідність поля має довільний вигляд, воно трансформується ( kзмінюється на ):

. (2.1.33)

Отже, за наявності неоднорідності електричного поля звичайне вираз швидкості дрейфу в схрещених полях (див.(2.1.8)) змінюється з урахуванням поправки, величина якої залежить від співвідношення характерного розміру неоднорідності і ларморовского радіусу. Таким чином, поправка враховує ефект кінцевого ларморовского радіусу при дрейфовому русі. Очевидно, що при цьому виникає відмінність у дрейфі електронної та іонної компонентів плазми, що веде до поділу зарядів. Це означає, що наявність неоднорідного електричного поля в плазмі запускає в дію механізм виникнення вторинного електричного поля, що може стати причиною, як розвитку нестійкості, так і її стабілізації в залежності від знака вторинного поля, що виникає.

2.1.6. Нестаціонарне електричне поле.

Нехай тепер, за просторової однорідності електричного та магнітного полів, магнітне поле постійно, а електричне поле змінюється в часі за синусоїдальним законом і має тільки x-компоненту:

При цьому компоненти дрейфового руху можуть бути записані у вигляді:

, (2.1.35)

Якщо ввести величини:

то цікаві для нас компоненти рівняння руху набувають вигляду:

, .(2.1.37)

Рішення системи.(2.1.37) шукаємо у вигляді:

, . (2.1.38)

Для цього двічі продиференціюємо вирази (2.1.38) за часом і порівняємо (2.1.37). Диференціювання дає:

Вирази (2.1.39) збігаються з (2.1.37), якщо w 2мало в порівнянні з .Це означає, що запропонована нами модель рішення - швидке обертання, накладене на порівняно повільний дрейф провідного центру може бути прийнята за порівняно повільних змін електричного поля. Трактування введених нами в (2.1.36) величин така: швидкість дрейфу провідного центру може бути представлена ​​двома повільно (порівняно з циклотронним обертанням) осцилюючими складовими. У напрямку y - це звичайний дрейф у схрещених електричному та магнітному полях, а у напрямку x – новий тип дрейфового руху – вздовж електричного поля. Це так званий поляризаційний дрейф, що виникає при будь-якій зміні електричного поля. Узагальнений вираз для швидкості поляризаційного дрейфу виходить за допомогою заміни першої з формул (2.1.36) на :

(2.1.40)

Швидкості поляризаційного дрейфу для електронів та іонів спрямовані у протилежні сторони, отже, дрейфовий рух цього типу викликає поляризаційний струм:

(2.1.41)

2.1.7. Рух у нестаціонарному магнітному полі

Магнітне поле, що змінюється в часі, викликає появу електричного поля.

яке здатне (на відміну від магнітного) змінювати енергію частки:

, (2.1.43)

Розглядаємо тут лише поперечний рух; ; - Елемент траєкторії частинки. Зміну енергії частки за один оборот отримаємо, проінтегрувавши (2.1.43) за періодом обертання:

, (2.1.44)

Вважаючи, що поле змінюється досить повільно, інтегруватимемо вздовж незбурненої орбіти:

Тут враховано, що - Зміна за один оборот. Так як. збільшення кінетичної енергії частки тотожно дорівнює , то з (2.1.45) слід

Таким чином, ми отримуємо інваріантність магнітного моменту в магнітному полі, що повільно змінюється. Звідси випливає ще одне твердження: Магнітний потік через поверхню, обмежену ларморівським колом, постійний.Дійсно:

Де , тому (2.1.47)

звідки видно, що якщо , то і

2.1.8. Адіабатичні інваріанти.

Як відомо, у класичній системі за наявності періодичного руху зберігається інтеграл, взятий за періодом руху. (p і q-узагальнені імпульс і координата). Якщо рух системи не є строго періодичним, але зміни досить повільні (відбуваються за часи, багато більші за період), то виписаний вище інтеграл руху, як і раніше, зберігається; у цьому випадку він називається адіабатичним інваріантом. У фізиці плазми адіабатичні інваріанти, пов'язані з різними типами періодичних рухів, відіграють важливу роль. Вкажемо деякі з них.

а) Перший адіабатичний інваріант.Це вже розглядався нами магнітний момент частки, що обертається:

Цей інваріант відповідає ларморівського обертання і, як було показано вище, зберігається в нестаціонарних та неоднорідних магнітних полях. Умовою адіабатичності в даному випадку є нерівність<<1.

б) Другий адіабатичний інваріант.Іншим періодичним рухом, важливим вивчення рухів плазми в магнітних пастках, є осциляція частинок, захоплених між двома пробками. У цьому випадку інтегралом руху є інтеграл, де ds- Елемент довжини дуги при русі провідного центру вздовж силової лінії. Це інтеграл називається поздовжнім інваріантом J і обчислюється між точками відображення:

Умовою адіабатичності тут є повільність змін у порівнянні з баунс-періодом. <<1. Здесь w b - Баунс-частота -частота осциляцій між пробками.

в) Третій адіабатичний інваріант.Нестрогість періодичності осциляцій між пробками пов'язана, зокрема, з азимутальним дрейфом частинок у пробкотроні. Цей рух, у свою чергу, є періодичним і з ним зв'язується третій адіабатичний інваріант – повний магнітний потік, що охоплюється дрейфовою поверхнею Ф. Цей інваріант зазвичай менш корисний у технічних програмах. Справа в тому, що він пов'язаний із відносно повільним рухом; багато, цікаві з погляду утримання плазми в пастці процеси, протікають швидше, ніж необхідно для збереження адіабатичності процесу. Проте, скажімо, у геофізиці його зручно використовувати щодо руху заряджених частинок у радіаційних поясах Землі

2.2. Гідродинамічний підхід.

2.2.1. Однорідинна гідродинаміка.

В рамках цієї моделі плазма розглядається як провідна рідина. При цьому до звичайного гідродинамічного рівняння руху середовища крім сили, пов'язаної з градієнтом тиску, в'язкістю і т.д., додається пондеромоторна сила:

де густина струму, напруженість магнітного поля.

Якщо знехтувати в'язкістю та іншими дисипативними силами, то рівняння руху провідної рідини має вигляд:

(2.2.2)

де прискорення аналізованого «елемента рідини». Рівняння (2.2.2) написано у поданні Лагранжа, коли рух рідини вивчається шляхом стеження за траєкторією обраного елемента і, виписана вище похідна, є похідною вздовж траєкторії; її називають лагранжевою похідною. Існує альтернативний підхід, званий уявленням Ейлера, у якому розглядається зміна швидкості середовища у вибраній точці простору: ейлерова похідна. Хоча вона є похідною швидкості за часом, але немає фізичного сенсу прискорення. Зв'язок між лагранжевою та ейлеровою похідними дається виразом:

Тому рівняння (2.2.2) у поданні Ейлера виглядатиме так:

Щільність струму визначається законом Ома:

(2.2.3)

де напруженість електричного поля у системі відліку, що рухається разом із плазмою, провідність плазми, напруженість електричного поля у лабораторній системі координат.

Завдання щільності струму за допомогою закону Ома, при тому, що провідність плазми вважається константою - головний недолік однорідинної МГД теорії. У багатьох випадках цей підхід не застосовується, проте є досить багато практично цікавих випадків, коли таке спрощення є виправданим.

Система рівнянь (2.2.2) – (2.2.3), що описує рух плазми, має бути доповнена рівняннями Максвелла. Спільне їхнє рішення і становить обговорюваний підхід до дослідження плазми. Додаткове суттєве спрощення моделі виходить, якщо мати на увазі відносну повільність процесів, що описуються цим наближенням, що дозволяє знехтувати струмами зміщення. Тоді з усієї системи рівнянь Максвелла залишається лише:

і рівняння (2.2.2) набуває вигляду

(2.2.5)

Використовуючи відоме співвідношення векторного аналізу:

(2.2.6)

отримаємо з нього:

і, підставивши потім (2.2.7) (2.2.5), маємо:

(2.2.8)

Права частина рівняння (2.2.8) містить три члени, що описують дію сил, пов'язаних з градієнтом тиску, кривизною силових ліній та просторовою зміною модуля напруженості магнітного поля. Якщо магнітне поле змінюється тільки у напрямку, поперечному по відношенню до силових ліній, то другий член у правій частині, пов'язаний з кривизною силових ліній, перетворюється на нуль і рівняння може бути переписано в наступному вигляді:

(2.2.9)

Тут прискорення у напрямку поперек силових ліній магнітного поля. Член входить у формулу на рівних підставах з газокінетичним тиском (поперечним), тому його також можна інтерпретувати як тиск – тиск магнітного поля. Таким чином, отриманий вираз дозволяє зробити практично важливий висновок про можливість чинити тиск на плазму (провідне середовище) за допомогою магнітного поля.