Як знайти довжину кола: через діаметр та радіус. Термінологія, основні формули та характеристика фігури

§ 117. Довжина кола та площа кола.

1. Довжина кола.Окружністю називається замкнута крива плоска лінія, всі точки якої знаходяться на рівній відстані від однієї точки (О), званої центром кола (рис. 27).

Коло викреслюється за допомогою циркуля. Для цього гостру ніжку циркуля ставлять у центр, а іншу (з олівцем) обертають навколо першої, поки кінець олівця не викреслить повного кола. Відстань від центру до будь-якої точки кола називається її радіусом.З визначення слід, що це радіуси одного кола рівні між собою.

Відрізок прямої лінії (АВ), що з'єднує дві будь-які точки кола і проходить через її центр, називається діаметром. Усі діаметри одного кола рівні між собою; діаметр дорівнює двом радіусам.

Як знайти довжину кола? Практично в деяких випадках довжину кола можна знайти шляхом безпосереднього виміру. Це можна зробити, наприклад, при вимірі кола порівняно невеликих предметів (відро, склянку тощо). Для цього можна скористатися рулеткою, тасьмою або шнуром.

У математиці застосовується прийом непрямого визначення довжини кола. Він полягає у обчисленні за готовою формулою, яку ми зараз виведемо.

Якщо ми візьмемо кілька великих і малих круглих предметів (монета, склянка, відро, бочка і т. д.) і виміряємо у кожного з них довжину кола та довжину діаметра, то отримаємо для кожного предмета два числа (одне, що вимірює довжину кола, і інше – довжину діаметра). Природно, що з малих предметів ці числа будуть невеликими, а великих – великими.

Однак якщо ми в кожному з цих випадків візьмемо відношення отриманих двох чисел (довжини кола та діаметра), то при ретельному виконанні вимірювання знайдемо майже одне й те число. Позначимо довжину кола буквою Здовжину діаметра буквою D, тоді відношення їх матиме вигляд З: D. Фактичні виміри завжди супроводжуються неминучими неточностями. Але, виконавши вказаний досвід та здійснивши необхідні обчислення, ми отримаємо для відношення З: Dприблизно такі числа: 3,13; 3,14; 3,15. Ці числа дуже мало відрізняються одна від одної.

У математиці шляхом теоретичних міркувань встановлено, що потрібне ставлення З: Dніколи не змінюється і воно одно нескінченного неперіодичного дробу, наближене значення якого з точністю до десятитисячних часток дорівнює 3,1416 . Це означає, що всяке коло довше за свій діаметр в одне й те саме число разів. Це число прийнято позначати грецькою літерою π (Пі). Тоді відношення довжини кола до діаметра запишеться так: З: D = π . Ми обмежуватимемо це число тільки сотими частками, тобто брати π = 3,14.

Напишемо формулу для визначення довжини кола.

Так як З: D= π , то

C = πD

тобто довжина кола дорівнює добутку числа π на діаметр.

Завдання 1.Знайти довжину кола ( З) круглої кімнати, якщо діаметр її D= 5,5 м-коду.

Зважаючи на викладене вище, ми повинні для вирішення цього завдання збільшити діаметр у 3,14 рази:

5,5 3,14 = 17,27(м).

Завдання 2.Знайти радіус колеса, у якого довжина кола 125,6 див.

Це завдання протилежне попередньому. Знайдемо діаметр колеса:

125,6: 3,14 = 40 (см).

Знайдемо тепер радіус колеса:

40: 2 = 20 (см).

2. Площа кола.Щоб визначити площу кола, можна було б накреслити на папері коло даного радіусу, покрити його прозорим картатим папером і потім порахувати клітини, що знаходяться всередині кола (рис. 28).

Але такий спосіб незручний з багатьох причин. По-перше, поблизу контуру кола виходить ряд неповних клітин, про величину яких важко судити. По-друге, не можна покрити аркушем паперу великий предмет (круглу клумбу, басейн, фонтан та ін.). По-третє, підрахувавши клітини, ми таки не отримуємо жодного правила, що дозволяє нам вирішувати інше подібне завдання. В силу цього вчинимо інакше. Порівняємо коло з якоюсь знайомою нам фігурою і зробимо це наступним чином: виріжемо коло з паперу, розріжемо його спочатку по діаметру навпіл, потім кожну половину розріжемо ще навпіл, кожну чверть - ще навпіл і т. д., поки не розріжемо коло, наприклад, на 32 частини, що мають форму зубців (рис. 29).

Потім складемо їх так, як показано на малюнку 30, тобто спочатку розташуємо 16 зубців у вигляді пили, а потім в отвори, що утворилися, вкладемо 15 зубців і, нарешті, останній зубець, що залишився, розріжемо по радіусу навпіл і прикладемо одну частину зліва, іншу - праворуч. Тоді вийде постать, що нагадує прямокутник.

Довжина цієї фігури (основа) дорівнює приблизно довжині півкола, а висота - приблизно радіусу. Тоді площу такої фігури можна знайти шляхом множення чисел, що виражають довжину півкола та довжину радіуса. Якщо позначимо площу кола буквою Sдовжину кола буквою З, радіус буквою r, то можемо записати формулу визначення площі кола:

яка читається так: площа кола дорівнює довжині півкола, помноженої на радіус.

Завдання.Знайти площу кола, радіус якого дорівнює 4 см. Знайдемо спочатку довжину кола, потім довжину півкола, а потім помножимо її на радіус.

1) Довжина кола З = π D= 3,14 8 = 25,12 (см).

2) Довжина половини кола C / 2 = 25,12: 2 = 12,56 (см).

3) Площа кола S = C / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (кв. см).

§ 118. Поверхня та об'єм циліндра.

Завдання 1.Знайти повну поверхню циліндра, у якого діаметр основи 206 см і висота 305 см.

Форму циліндра (рис. 31) мають: цебро, стакан (не гранований), каструля та безліч інших предметів.

Повна поверхня циліндра (як і повна поверхня прямокутного паралелепіпеда) складається з бічної поверхні та площ двох основ (рис. 32).

Щоб наочно уявити, про що йдеться, необхідно акуратно зробити модель циліндра з паперу. Якщо ми від цієї моделі заберемо дві основи, тобто два кола, а бічну поверхню розріжемо вздовж і розгорнемо, то буде зрозуміло, як потрібно обчислювати повну поверхню циліндра. Бічна поверхня розгорнеться у прямокутник, основа якого дорівнює довжині кола. Тому вирішення завдання матиме вигляд:

1) Довжина кола: 20,6 3,14 = 64,684 (см).

2) Площа бічної поверхні: 64,684 30,5 = 1972,862 (кв.см).

3) Площа однієї основи: 32,342 10,3 = 333,1226 (кв.см).

4) Повна поверхня циліндра:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (кв. см) ≈ 2639 (кв. см).

Завдання 2.Знайти об'єм залізної бочки, що має форму циліндра з розмірами: діаметр основи 60 см та висота 110 см.

Щоб обчислити об'єм циліндра, слід згадати, як ми обчислювали об'єм прямокутного паралелепіпеда (корисно прочитати § 61).

Одиницею вимірювання об'єму буде кубічний сантиметр. Спочатку треба дізнатися, скільки кубічних сантиметрів можна розташувати на площі основи, а потім знайдене число помножити на висоту.

Щоб дізнатися, скільки кубічних сантиметрів можна укласти на площі основи, треба обчислити площу основи циліндра. Оскільки основою служить коло, потрібно знайти площу кола. Потім визначення обсягу помножити їх у висоту. Розв'язання задачі має вигляд:

1) Довжина кола: 60 ​​3,14 = 188,4 (см).

2) Площа кола: 94,2 30 = 2826 (кв. см).

3) Об'єм циліндра: 2826110 = 310860 (куб. см).

Відповідь. Об'єм бочки 310,86 куб. дм.

Якщо позначимо об'єм циліндра буквою V, площа основи S, висоту циліндра H, то можна написати формулу для визначення об'єму циліндра:

V = S H

яка читається так: об'єм циліндра дорівнює площі основи, помноженої на висоту.

§ 119. Таблиці для обчислення довжини кола за діаметром.

За рішення різних виробничих завдань часто доводиться обчислювати довжину кола. Уявімо робітника, який виготовляє круглі деталі за вказаними йому діаметрами. Він повинен щоразу, знаючи діаметр, обчислити довжину кола. Щоб заощадити час і застрахувати себе від помилок, він звертається до готових таблиць, в яких вказані діаметри та відповідні довжини кіл.

Наведемо невелику частину таких таблиць та розповімо, як ними користуватися.

Нехай відомо, що діаметр кола дорівнює 5 м. Шукаємо у таблиці у вертикальному стовпці під буквою DЧисло 5. Це довжина діаметра. Поруч із цим числом (праворуч, у стовпці під назвою «Довжина кола») побачимо число 15,708 (м). Так само знайдемо, що якщо D= 10 см, то довжина кола дорівнює 31,416 см.

За цими ж таблицями можна робити і обчислення. Якщо відома довжина кола, то можна знайти в таблиці відповідний їй діаметр. Нехай довжина кола дорівнює приблизно 34,56 см. Знайдемо в таблиці число, найближче до цього. Таким буде 34,558 (різниця 0,002). Відповідний такий довжині кола діаметр дорівнює приблизно 11 см.

Таблиці, про які тут сказано, є у різних довідниках. Зокрема, їх можна знайти у книзі «Чотиризначні математичні таблиці» В. М. Брадіса. та в задачнику з арифметики С. А. Пономарьова та Н. І. Сирньова.

Окружність - замкнута крива, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від центру. Ця фігура є плоскою. Тому вирішення завдання, питання якого полягає в тому, як знайти довжину кола, є досить простим. Усі наявні методи, ми розглянемо у сьогоднішній статті.

Опис фігури

Крім досить простого описового визначення існують ще три математичні характеристики кола, які вже самі по собі містять відповідь на питання, як знайти довжину кола:

• Складається з точок A та B та всіх інших, з яких AB можна побачити під прямим кутом. Діаметр даної фігури дорівнює довжині відрізка, що розглядається.
• Включає виключно такі точки X, що відношення AX/BX незмінне і не дорівнює одиниці. Якщо ця умова не дотримується, то це не коло.
• Складається з точок, для кожної з яких виконується наступна рівність: сума квадратів відстаней до двох інших - це задана величина, яка завжди більша за половину довжини відрізка між ними.

Термінологія

Не у всіх у школі був добрий учитель математики. Тому відповідь на питання, як знайти довжину кола, ускладнюється ще й тим, що не всі знають основні геометричні поняття. Радіус – відрізок, який з'єднує центр фігури з точкою на кривій. Особливим випадком у тригонометрії є одиничне коло. Хорда – відрізок, який з'єднує дві точки кривої. Наприклад, під цю ухвалу підпадає вже розглянутий AB. Діаметр – це хорда, що проходить через центр. Число π дорівнює довжині одиничного півкола.

Основні формули

З визначень безпосередньо випливають геометричні формули, які дозволяють розрахувати основні характеристики кола:

1. Довжина дорівнює добутку числа і діаметра. Формулу зазвичай записують так: C = π*D.
2. Радіус дорівнює половині діаметра. Його також можна розрахувати, обчисливши приватне від розподілу довжини кола на подвоєне число π. Формула має такий вигляд: R = C/(2* π) = D/2.
3. Діаметр дорівнює частці від розподілу довжини кола на π або подвоєному радіусу. Формула досить проста і виглядає так: D = C/π = 2*R.
4. Площа кола дорівнює добутку числа π і квадрата радіусу. Аналогічно у цій формулі можна використовувати діаметр. У цьому випадку площа дорівнюватиме приватному від ділення добутку числа π і квадрата діаметра на чотири. Формулу можна записати так: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Як знайти довжину кола по діаметру

Для простоти пояснення позначимо літерами, необхідні для розрахунку характеристики фігури. Нехай C - це довжина, що шукається, D - її діаметр, а число π приблизно дорівнює 3,14. Якщо у нас є лише одна відома величина, то завдання можна вважати вирішеним. Навіщо це потрібно у житті? Припустимо, ми вирішили обнести круглий басейн парканом. Як визначити необхідну кількість стовпчиків? І тут на допомогу приходить уміння, як обчислити довжину кола. Формула виглядає так: C = π D. У нашому прикладі діаметр визначається на основі радіуса басейну і необхідної відстані до забору. Наприклад, припустимо, що наша домашня штучна водойма становить 20 метрів завширшки, а стовпчики ми збираємося ставити на десятиметровій відстані від неї. Діаметр окружності, що вийшла, дорівнює 20 + 10 * 2 = 40 м. Довжина - 3,14 * 40 = 125,6 метрів. Нам знадобляться 25 стовпчиків, якщо проміжок між ними буде близько 5 м.

Довжина через радіус

Як завжди, почнемо з присвоєння характеристик кола букв. Насправді вони універсальні, тому математикам з різних країн зовсім не обов'язково знати мову один одного. Припустимо, що C - це довжина кола, r - її радіус, а приблизно дорівнює 3,14. Формула виглядає у разі наступним чином: C = 2*π*r. Очевидно, що це абсолютно правильна рівність. Як ми вже розібралися діаметр кола дорівнює її подвоєному радіусу, тому ця формула так і виглядає. У житті цей спосіб теж може часто стати в нагоді. Наприклад, ми печемо торт у спеціальній розсувній формі. Щоб він не забруднився, нам потрібна декоративна обгортка. Але як вирізати коло необхідного розміру. Тут на допомогу приходить математика. Ті, хто знає, як дізнатися довжину кола, відразу скажуть, що потрібно помножити число π на подвоєний радіус форми. Якщо її радіус дорівнює 25 см, то довжина складатиме 157 сантиметрів.

Приклади завдань

Ми вже розглянули кілька практичних випадків отриманих знань про те, як дізнатися про довжину кола. Але часто нас турбують не вони, а реальні математичні завдання, що містяться у підручнику. Адже за них учитель виставляє бали! Тому розглянемо завдання підвищеної складності. Припустимо, що довжина кола становить 26 см. Як знайти радіус такої фігури?

Рішення прикладу

Спочатку запишемо, що нам дано: C = 26 см, π = 3,14. Також згадаємо формулу: C = 2 * π * R. З неї можна витягти радіус кола. Таким чином, R = C/2/π. Тепер приступимо до безпосереднього розрахунку. Спочатку ділимо довжину на дві. Отримуємо 13. Тепер потрібно розділити на значення числа π: 13/3,14 = 4,14 см. Важливо не забути записати відповідь правильно, тобто з одиницями виміру, інакше втрачається весь практичний зміст таких завдань. До того ж, за подібну неуважність можна отримати оцінку на один бал нижче. І як би прикро, доведеться миритися з таким станом речей.

Не такий страшний звір, як його малюють

Ось ми і розібралися з таким непростим на перший погляд завданням. Як виявилося, потрібно просто розуміти значення термінів та запам'ятати кілька легких формул. Математика – це не так страшно, потрібно лише докласти небагато зусиль. Так що геометрія чекає на вас!

1. Складніше знайти довжину кола через діаметр, Тому спочатку розберемо цей варіант.

Приклад: Знайдіть довжину кола діаметр якого дорівнює 6 см. Ми використовуємо наведену вище формулу довжини кола, тільки спочатку нам потрібно знайти радіус. Для цього ми ділимо діаметр 6 см на 2 і отримуємо радіус кола 3 см.

Після цього все просто: Помножуємо число Пі на 2 і на отриманий радіус в 3 см.
2*3,14*3 см = 6,28*3см = 18,84 см.

2. А тепер ще раз розберемо простий варіант знайдіть довжину кола радіус дорівнює 5 см

Рішення: Радіус 5 см множимо на 2 і множимо на 3,14. Не лякайтеся, адже перестановка місцями множників не впливає на результат, та формулу довжини коламожна застосовувати у будь-якій послідовності.

5см * 2 * 3,14 = 10 см * 3,14 = 31.4 см - це знайдена довжина кола для радіусу 5 см!

Онлайн калькулятор довжини кола

Наш калькулятор довжини кола здійснить усі ці не хитрі обчислення миттєво і розпише рішення у рядок та з коментарями. Ми розрахуємо довжину кола для радіусу 3, 5, 6, 8 або 1 см, або діаметр дорівнює 4, 10, 15, 20 дм, нашому калькулятору не має значення для якого значення радіуса знайти довжину кола.

Усі обчислення будуть точними, тестованими фахівцями математиками. Результати можна використовувати у вирішенні шкільних завдань з геометрії або математики, а також при робочих розрахунках у будівництві або ремонті та оздобленні приміщень, коли потрібні точні обчислення за цією формулою.

Таким чином, довжину кола ( C) можна обчислити, помноживши константу π на діаметр ( D), або помноживши π на подвоєний радіус, оскільки діаметр дорівнює двом радіусам. Отже, формула довжини колавиглядатиме так:

C = πD = 2πR

де C- довжина кола, π - Константа, D- Діаметр кола , R- Радіус кола.

Оскільки коло є межею кола , то довжину кола можна назвати довжиною кола чи периметром кола.

Завдання на довжину кола

Завдання 1.Знайти довжину кола, якщо його діаметр дорівнює 5 см.

Оскільки довжина кола дорівнює π помножене на діаметр, то довжина кола з діаметром 5 см дорівнюватиме:

C≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Завдання 2.Знайти довжину кола, радіус якого дорівнює 3,5 м.

Спочатку знайдемо діаметр кола, помноживши довжину радіуса на 2:

D= 3,5 · 2 = 7 (м)

тепер знайдемо довжину кола, помноживши π на діаметр:

C≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Завдання 3.Знайти радіус кола, довжина якого дорівнює 7,85 м.

Щоб знайти радіус кола по її довжині, треба довжину кола розділити на 2 π

Площа кола

Площа кола дорівнює добутку числа π на квадрат радіусу. Формула знаходження площі кола:

S = πr 2

де S- площа кола, а r- Радіус кола.

Оскільки діаметр кола дорівнює подвоєному радіусу, то радіус дорівнює діаметру, поділеному на 2:

Завдання на площу кола

Завдання 1.Знайти площу кола, якщо його радіус дорівнює 2 см.

Оскільки площа кола дорівнює π помножене на радіус у квадраті, то площа кола з радіусом 2 см дорівнюватиме:

S≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2)

Завдання 2.Знайти площу кола, якщо його діаметр дорівнює 7 см.

Спочатку знайдемо радіус кола, розділивши його діаметр на 2:

7: 2 = 3,5 (см)

тепер обчислимо площу кола за формулою:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2)

Це завдання можна вирішити й іншим способом. Замість того, щоб спочатку знаходити радіус, можна скористатися формулою знаходження площі кола через діаметр:

S = π	D 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	= 38,465 (см 2)
	4		4		4		4

Завдання 3.Знайти радіус кола, якщо площа дорівнює 12,56 м 2 .

Щоб знайти радіус кола на його площі, треба площу кола розділити π , а потім з отриманого результату витягти квадратний корінь:

r = √S : π

отже радіус дорівнюватиме:

r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Довжину кола предметів, що оточують нас, можна виміряти за допомогою сантиметрової стрічки або мотузки (нитки), довжину якої можна потім поміряти окремо. Але в деяких випадках помірити довжину кола важко або практично неможливо, наприклад, внутрішнє коло пляшки або просто довжину кола накресленого на папері. У разі можна обчислити довжину кола, якщо відома довжина його діаметра чи радіуса.

Щоб зрозуміти, як це можна зробити, візьмемо кілька круглих предметів, у яких можна виміряти і довжину кола та діаметр. Обчислимо відношення довжини до діаметра, в результаті отримаємо наступний ряд чисел:

З цього можна дійти невтішного висновку, що ставлення довжини кола до її діаметру це постійна величина кожному за окремого кола і всім кіл у цілому. Це ставлення і позначається буквою π .

Використовуючи ці знання, можна за радіусом або діаметром кола знаходити його довжину. Наприклад, для обчислення довжини кола з радіусом 3 см потрібно помножити радіус на 2 (так ми отримаємо діаметр), а отриманий діаметр помножити на π . У результаті за допомогою числа π ми довідалися, що довжина кола з радіусом 3 див дорівнює 18,84 див.

Колом називають криву лінію, яка обмежує собою коло. У геометрії фігури плоскі, тому визначення відноситься до двомірного зображення. Передбачається, що всі точки цієї кривої віддалені від центру кола на однакову відстань.

У кола є кілька характеристик, на основі яких проводять розрахунки, пов'язані з цією геометричною фігурою. До них входить: діаметр, радіус, площа і довжина кола. Ці показники взаємопов'язані, тобто їх обчислення достатньо інформації хоча про одну з складових. Наприклад, знаючи тільки радіус геометричної фігури за формулою можна знайти довжину кола, діаметр і її площу.

• Радіус кола - це відрізок усередині кола, з'єднаний з її центром.
• Діаметр – це відрізок усередині кола, що з'єднує її точки та проходить через центр. По суті, діаметр – це два радіуси. Саме так виглядає формула для обчислення: D=2r.
• Є ще одна складова кола – хорда. Ця пряма, яка сполучає дві точки кола, але не завжди проходить через центр. Так от ту хорду, яка через неї проходить, теж називають діаметром.

Як дізнатися довжину кола? Нині з'ясуємо.

Довжина кола: формула

Для позначення цієї характеристики вибрано латинську букву p. Ще Архімед довів, що відношення довжини кола до її діаметра є одним і тим же числом для всіх кіл: це число π, яке приблизно дорівнює 3,14159. Формула для обчислення π виглядає так: π = p/d. Відповідно до цієї формули, величина p дорівнює πd, тобто довжина кола: p = πd. Оскільки d (діаметр) дорівнює двом радіусам, то цю ж формулу довжини кола можна записати як p = 2πr. Розглянемо застосування формули на прикладі простих завдань:

Завдання 1

В основі цар-дзвона діаметр дорівнює 6,6 метрів. Яка довжина кола основи дзвона?

1. Отже, формула для обчислення кола - p = πd
2. Підставляємо наявне значення формулу: p=3,14*6,6= 20,724

Відповідь: довжина кола основи дзвону 20,7 метра.

Завдання 2

Штучний супутник Землі обертається з відривом 320 км від планети. Радіус Землі – 6370 км. Яка довжина кругової орбіти супутника?

1. 1.Обчислимо радіус кругової орбіти супутника Землі: 6370 +320 = 6690 (км)
2. 2.Обчислимо довжину кругової орбіти супутника за такою формулою: P=2πr
3. 3. P = 2 * 3,14 * 6690 = 42013,2

Відповідь: довжина кругової орбіти супутника Землі 42 013,2 км.

Способи вимірювання довжини кола

Обчислення довжини кола практично використовується не часто. Причиною цього є приблизне значення числа π. У побуті для пошуку довжини кола використовують спеціальний прилад – курвіметр. На колі відзначають довільну точку відліку і ведуть від неї прилад строго по лінії, доки знову не дійдуть цієї точки.

Як знайти довжину кола? Потрібно просто пам'ятати нехитрі формули для обчислень.