У математиці середнє арифметичне значеннячисел (або просто середнє) — це сума всіх чисел у даному наборі, Поділена на їх кількість. Це найбільш узагальнене та поширене поняття середньої величини. Як ви вже зрозуміли, щоб знайти потрібно підсумовувати всі дані вам числа, а отриманий результат поділити на кількість доданків.

Що таке середнє арифметичне?

Давайте розглянемо приклад.

Приклад 1. Дано числа: 6, 7, 11. Потрібно знайти їхнє середнє значення.

Рішення.

Спочатку знайдемо суму всіх цих чисел.

Тепер розділимо суму, що вийшла, на кількість доданків. Так як у нас складові три, відповідно, ми ділитимемо на три.

Отже, середнє значення чисел 6, 7 та 11 — це 8. Чому саме 8? Та тому, що сума 6, 7 та 11 буде такою самою, як трьох вісімок. Це добре видно на ілюстрації.

Середнє значення чимось нагадує вирівнювання ряду чисел. Як бачите, купки олівців стали одного рівня.

Розглянемо ще один приклад, щоб закріпити отримані знання.

приклад 2.Дано числа: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Потрібно знайти їхнє середнє арифметичне значення.

Рішення.

Знаходимо суму.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Ділимо на кількість доданків (у цьому випадку - 15).

Отже, середнє значення даного ряду чисел дорівнює 22.

Тепер розглянемо негативні числа. Згадаймо, як їх підсумовувати. Наприклад, у вас є два числа 1 та -4. Знайдемо їхню суму.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Знаючи це, розглянемо ще один приклад.

приклад 3.Знайти середнє значення низки чисел: 3, -7, 5, 13, -2.

Рішення.

Знаходимо суму чисел.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Так як доданків 5, розділимо суму, що вийшла на 5.

Отже, середнє арифметичне значення чисел 3, -7, 5, 13, -2 дорівнює 2,4.

У наш час технологічного прогресу набагато зручніше використовуватиме знаходження середнього значення комп'ютерні програми. Microsoft Office Excel – одна з них. Шукати середнє значення в Excel швидко та просто. Тим більше, що ця програма входить до пакета програм від Microsoft Office. Розглянемо коротку інструкціюзначення за допомогою цієї програми.

Щоб порахувати середнє значення ряду чисел, необхідно використовувати функцію AVERAGE. Синтаксис для цієї функції:
= Average (argument1, argument2, ... argument255)
де argument1, argument2, ... argument255 - це або числа, або посилання на комірки (під комірками маються на увазі діапазони та масиви).

Щоб було зрозуміліше, опробуємо отримані знання.

1. Введіть числа 11, 12, 13, 14, 15, 16 у комірки С1 - С6.
2. Виділіть комірку С7, натиснувши на неї. У цьому осередку у нас буде відображатися середнє значення.
3. Клацніть на вкладці Формули.
4. Виберіть More Functions > Statistical, щоб відкрити
5. Виберіть AVERAGE. Після цього має відкритися діалогове вікно.
6. Виділіть та перетягніть туди осередки С1-С6, щоб задати діапазон у діалоговому вікні.
7. Підтвердіть свої дії за допомогою клавіші «ОК».
8. Якщо ви все зробили правильно, у комірці С7 у вас має з'явитися відповідь – 13,7. При натисканні на комірку C7 функція (= Average (C1: C6)) відображатиметься у рядку формул.

Дуже зручно використовувати цю функцію для ведення обліку, накладних або, коли вам просто потрібно знайти середнє значення з дуже довгого ряду чисел. Тому її часто використовують в офісах та великих компаніях. Це дозволяє зберігати порядок у записах і дозволяє швидко порахувати що-небудь (наприклад, середній дохід за місяць). Також з допомогою Excelможна знайти середнє значення функції.

Як порахувати середнє значення чисел в Excel

Знайти середнє арифметичне чисел Excel можна за допомогою функції .

Синтаксис СРЗНАЧ

=СРЗНАЧ(число1;[число2];…) - російська версія

Аргументи СРЗНАЧ

• число1– перше число чи діапазон чисел, до розрахунку середнього арифметичного;
• число2(Опціонально) – друге число чи діапазон чисел розрахунку середнього арифметичного. Максимальна кількістьаргументів функції – 255.

Для розрахунку виконайте такі кроки:

• Виділіть будь-яку комірку;
• Напишіть у ній формулу =СРЗНАЧ(
• Виділіть діапазон осередків, для якого потрібно зробити розрахунок;
• Натисніть клавішу “Enter” на клавіатурі

Функція розрахує середнє значення у вказаному діапазоні серед тих осередків, у яких є числа.

Як знайти середнє значення з урахуванням тексту

Якщо в діапазоні даних є порожні рядки або текст, функція сприймає їх як “нуль”. Якщо серед даних є логічні висловлюванняБрехня або ІСТИНА, то Брехня функція сприймає як "нуль", а ІСТИНА як "1".

Як знайти середнє арифметичне за умовою

Для розрахунку середнього за умовою чи критерієм використовується функція. Наприклад, уявимо, що у нас є дані з продажу товарів:

Наше завдання – обчислити середнє значення продажів ручок. Для цього зробимо такі кроки:

• У осередку A13напишемо назву товару "Ручки";
• У осередку B13введемо формулу:

=ЗНАЧАЛЬНІ(A2:A10;A13;B2:B10)

Діапазон осередків “ А2: A10” вказує на список товарів, у якому ми шукатимемо слово “Ручки”. Аргумент A13це посилання на комірку з текстом, який ми шукатимемо серед усього списку товарів. Діапазон осередків “ B2: B10” це діапазон з даними продажу товарів, серед яких функція знайде “Ручки” та обчислить середнє значення.

Середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня величина це:

1) найбільш типове для сукупності значення ознаки;

2) обсяг ознаки сукупності, розподілений нарівно між одиницями сукупності.

Ознака, котрій розраховується середня величина, у статистиці називається «осредняемый».

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінностіодиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, Що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки в одиниць, що належать до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Важливо, що у процесі опосередкування сукупне значення рівнів ознаки чи кінцеве його значення (у разі розрахунку середніх рівнів у ряді динаміки) має залишатися незмінним. Іншими словами, при розрахунку середньої величини обсяг досліджуваного ознаки не повинен бути спотворений, і вирази, що складаються при розрахунках середньої, обов'язково повинні мати сенс.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показникзаперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць досліджуваної сукупності, водночас він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх з дії закону великих чиселвипадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, кількісних значеньознаки у кожному даному випадку. У здібності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і укладена наукова цінністьсередніх як узагальнюючих показників сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося на деяких загальних принципахзастосування середніх величин.

1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.

2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.

3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.

4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнім відносяться такі найвідоміші і найчастіше застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична і середня квадратична.

Як структурні середні розглядаються мода і медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

,

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

,

де X i - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;

m – показник ступеня середнього;

f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значеннясередньої ознаки.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
		Проста	Зважена
Гармонійна
Геометрична
Арифметична
Квадратична
Кубічна

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значенняознаки у кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних та зведених показників. Інакше кажучи, середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні кожного індивідуального значення показника, що осредняется, його середньою величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний тимабо іншим чином із середнім. Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1, i 2, i 3, ..., i n. Очевидно, що обсяг виробництва в останньому роцівизначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

Особливий вид середніх величин – структурні середні – застосовується вивчення внутрішньої будовирядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (ступеневого типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств) .

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки - і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди та медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значенняділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;

h Me – його величина;

(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);

S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;

m Me – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального рядутреба звертати увагу на те, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтерваламивеличина моди визначається як

,

де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;

m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);

m Mo-1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;

m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;

h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

ЗАВДАННЯ 1

Є такі дані щодо групи промислових підприємствза звітний рік

№ підприємства	Обсяг продукції, млн. руб.		Середньооблікова кількість працівників, чол.	Прибуток, тис. руб.
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Потрібно виконати угруповання підприємств з обміну продукції, прийнявши такі інтервали:

до 200 млн. руб.


від 200 до 400 млн. руб.


1. від 400 до 600 млн. руб.
   

   По кожній групі та по всіх разом визначити кількість підприємств, обсяг продукції, середньооблікова кількість працівників, середній виробіток продукції на одного працівника. Результати угруповання подати у вигляді статистичної таблиці. Сформулювати висновок.
   

   РІШЕННЯ
   

   Зробимо угруповання підприємств з обміну продукції, розрахунок числа підприємств, обсягу продукції, середньооблікового числа працівників за формулою простої середньої. Результати угруповання та розрахунків зводимо до таблиці.
   

   Групи за обсягом продукції	№ підприємства	Обсяг продукції, млн. руб.	Середньорічна вартість основних засобів, млн. руб.	Середньоспі соковита кількість працівників, чол.	Прибуток, тис. руб.	Середнє вироблення продукції одного працівника
   1 група до 200 млн. руб.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Середній рівень		198,3			24,9
   2 група від 200 до 400 млн. руб.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Середній рівень		282,3	37,6	1530	64,0
   3 група від 400 до 600 млн.	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Середній рівень		512,9	34,4	1421	120,9
   Усього за сукупністю		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   У середньому за сукупністю		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Висновок. Таким чином, у аналізованій сукупності найбільша кількість підприємств за обсягом продукції потрапила до третьої групи – сім, або половина підприємств. Величина середньорічної вартості основних засобів також у цій групі, як і велика величина середньооблікового числа працівників - 9974 осіб, найменш прибуткові підприємства першої групи.
   

   ЗАВДАННЯ 2
   

   Є такі дані на підприємствах фірми
   

   Номер підприємства, що входить у фірму	I квартал		II квартал
   	Випуск продукції, тис. руб.		Відпрацьовано робітниками людино-днів	Середнє вироблення однієї робочого щодня, крб.
   	59390,13

Тема 5. Середні величини як статистичні показники

Концепція середньої величини. Область застосування середніх величин у статистичному дослідженні

Середні величини використовуються на етапі обробки та узагальнення отриманих первинних статистичних даних. Потреба визначення середніх величин пов'язані з тим, що з різних одиниць досліджуваних сукупностей індивідуальні значення однієї й тієї ж ознаки, зазвичай, неоднакові.

Середньою величиноюназивають показник, який характеризує узагальнене значення ознаки чи групи ознак у досліджуваній сукупності.

Якщо досліджується сукупність з якісно однорідними ознаками, то середня величина виступає тут як типова середня. Наприклад, груп працівників певної галузі з фіксованим рівнем доходу визначається типова середня витрат на предмети першої необхідності, тобто. Типова середня узагальнює якісно однорідні значення ознаки у цій сукупності, яким є частка витрат у працівників цієї групи на товари першої необхідності.

При дослідженні сукупності з якісно різнорідними ознаками першому плані може бути нетиповість середніх показників. Такими, наприклад, є середні показники виробленого національного доходу душу населення (різні вікові групи), середні показники врожайності зернових культур по всій території Росії (райони різних кліматичних зон та різних зернових культур), середні показники народжуваності населення по всіх регіонах країни, середні температури за певний періоді т.д. Тут середні величини узагальнюють якісно різнорідні значення ознак чи системних просторових сукупностей (міжнародне співтовариство, континент, держава, регіон, район тощо.) чи динамічних сукупностей, протяжних у часі (століття, десятиліття, рік, сезон тощо.) . Такі середні величини називають системними середніми.

Отже, значення середніх величин полягає у їх узагальнюючої функції. Середня величина замінює велике числоіндивідуальних значень ознаки, виявляючи загальні властивості, властиві всім одиницям сукупності. Це, у свою чергу, дозволяє уникнути випадкових причин та виявити загальні закономірностіобумовлені загальними причинами.

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробкиможуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;

структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться з загальної формулистепеневої середньої:

(5.1)

при k = 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = -2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньої.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної (простий) має вигляд

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значенняознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. В цьому випадку мова йдепро використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

Так нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що угоди здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажів розподілилася так:

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної сумиугод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 +990 · 650 +1015 · 700 +900 · 550 +1150 · 850 = 3634500;

КПА = 800 +650 +700 +550 +850 = 3550.

У цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Необхідно знати властивості арифметичної середньої, що дуже важливо як щодо її використання, так і при її розрахунку. Можна виділити три основні властивості, які найбільше зумовили широке застосування арифметичної середньої статистико-економічних розрахунків.

Властивість перша (нульова): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки вона показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), спричинені випадковими причинами, будуть взаємно погашені.

Доведення:

Властивість друге (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від іншого числа (а), тобто. є мінімальне число.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Отже, екстремум суми квадратів відхилень досягається при . Цей екстремум – мінімум, тому що функція не може мати максимуму.

Властивість третя: середня арифметична постійної величинидорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостейсередньої арифметичної існують так звані розрахункові властивості, які поступово втрачають свою значущість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити чи розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться у стільки ж разів;

середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки поділити на постійне число;

якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на ту саму величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести з базової формули, Підставивши k = -1:

Наприклад, нам потрібно обчислити середню швидкістьдвох автомашин, що пройшли той самий шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км/год, друга - 90 км/год. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці найчастіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Ця формула використовується у випадках, коли ваги (чи обсяги явищ) за кожним ознакою не рівні. У вихідному співвідношенні до розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки сукупностіданих порівну розподіляється між усіма одиницями, які входять у цю сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаковою мірою розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична- дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Приклад 1. Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Знайти середню заробітну плату Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6=3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Приклад 2. Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяць

Заробітна плата одного робітника тис.руб; X	Число робітників F

Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної плати на загальне числоробітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу як напівсуму верхньої і нижньої меж, а потім - середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

Приклад 3. Визначити середній вікстуденти вечірнього відділення.

Вік у роках!!х??	Число студентів	Середнє значення інтервалу	Добуток середини інтервалу (вік) на кількість студентів
		(18 + 20) / 2 = 19 18 в даному випадкумежа нижнього інтервалу. Обчислюється як 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 і більше		(30 + 34) / 2 = 32

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як ваги можуть використовуватися не тільки абсолютні, але і відносні величини(частина).