Як перекласти із цілої. Переведення звичайного дробу в десятковий дріб і назад, правила, приклади

Намагаючись вирішити математичні завдання з дробами, школяр розуміє, що йому недостатньо лише бажання вирішити ці завдання. Також необхідні знання з обчислення з дробовими числами. У деяких завданнях усі початкові дані подаються за умови в дробовому вигляді. В інших частина їх може бути дробами, а частина - цілими числами. Щоб робити якісь обчислення з цими заданими значеннями, треба спочатку привести їх до єдиного виду, тобто цілі числа перевести в дробові, а потім уже обчислюватися. Взагалі спосіб, як ціле число перевести в дріб, дуже простий. І тому треба в чисельнику підсумкового дробу написати саме задане число, а її знаменнику - одиничку. Тобто, якщо треба перевести в дріб число 12, то отриманий дріб буде 12/1.

Такі модифікації допомагають спричинити дроби до спільного знаменника. Це потрібно для того, щоб отримати можливість проводити віднімання чи складання дробових чисел. При їх множенні та розподілі спільний знаменник не потрібний. Можна розглянути на прикладі, як перевести число в дріб і потім зробити додавання двох дробових чисел. Допустимо треба скласти число 12 і дробове число 3/4. Перший доданок (число 12) наводиться до виду 12/1. Однак його знаменник дорівнює 1 у той час, як у другого доданку він дорівнює 4. Для подальшого додавання цих двох дробів треба привести їх до спільного знаменника. Завдяки тому, що один із чисел знаменник дорівнює 1, це зробити взагалі просто. Треба взяти знаменник другого числа та помножити на нього і чисельник, і знаменник першого.

Через війну множення вийде: 12/1=48/4. Якщо 48 розділити на 4, то виходить 12, значить дріб приведений до правильного знаменника. Таким чином можна заразом і зрозуміти, як дріб перевести в ціле число. Це стосується лише неправильних дробів, тому що у них чисельник більший, ніж знаменник. У такому разі чисельник ділиться на знаменник і, якщо не виходить залишку, буде ціле число. Із рештою ж дріб так і залишається дробом, але з виділеною цілою частиною. Тепер щодо приведення до спільного знаменника на розглянутому прикладі. Якби у першого доданку знаменник дорівнював якомусь іншому числу, крім 1, чисельник і знаменник першого числа треба було б помножити на знаменник другого, а чисельник і знаменник другого - на знаменник першого.

Обидва доданки приведені до їхнього спільного знаменника і готові до складання. Виходить, що у цій задачі потрібно скласти два числа: 48/4 та 3/4. При додаванні двох дробів з однаковим знаменником підсумовувати потрібно їх верхні частини, тобто чисельники. Знаменник суми залишиться без зміни. У цьому прикладі має бути 48/4+3/4=(48+3) /4=51/4. Це і буде результатом додавання. Але в математиці прийнято неправильні дроби спричиняти правильні. Вище розглядалося, як перетворити дріб на число, але в цьому прикладі не вийде ціле число з дробу 51/4, тому що число 51 не ділиться без залишку на число 4. Тому потрібно виділити цілу частину даного дробу та її дробову частину. Цілою частиною буде те число, яке виходить при розподілі націло першого ж меншого, ніж 51 числа.

Тобто те, яке можна поділити на 4 без залишку. Перше число перед числом 51, яке націло ділиться на 4, буде число 48. Розділивши 48 на 4, виходить число 12. Значить цілою частиною дробу, що шукається, буде 12. Залишилося тільки знайти дробову частину числа. Знаменник дробової частини залишається тим самим, тобто 4 у разі. Щоб знайти чисельник дробової частини, треба від вихідного чисельника відняти те число, яке ділилося на знаменник без залишку. У прикладі потрібно для цього відняти з числа 51 число 48. Тобто чисельник дробової частини дорівнює 3. Результатом додавання буде 12 цілих і 3/4. Те саме робиться і при відніманні дробів. Допустимо треба від цілого числа 12 відняти дробове число 3/4. Для цього ціле число 12 переводиться в дрібне 12/1, а потім приводиться до спільного знаменника з другим числом - 48/4.

При відніманні так само знаменник обох дробів залишається без зміни, а з їх числами і проводять віднімання. Тобто від чисельника першого дробу віднімають чисельник другого. У цьому прикладі це буде 48/4-3/4=(48-3) /4=45/4. І знову вийшов неправильний дріб, який треба привести до правильного. Для виділення цілої частини визначають перше до 45 число, яке ділиться на 4 без залишку. Це буде 44. Якщо число 44 розділити на 4, вийде 11. Значить ціла частина підсумкового дробу дорівнює 11. У дробовій частині також знаменник залишають без зміни, а з чисельника вихідного неправильного дробу віднімають число, яке ділилося на знаменник без залишку. Тобто треба від 45 відняти 44. Значить чисельник у дрібній частині дорівнює 1 і 12-3/4=11 і 1/4.

Якщо дано одне число ціле та одне дробове, але його знаменник дорівнює 10, то простіше друге число перевести в десятковий дріб, а потім проводити обчислення. Наприклад, треба скласти ціле число 12 і дробове число 3/10. Якщо число 3/10 записати як десяткового дробу, вийде 0,3. Тепер значно легше до 12 додати 0,3 і отримати 2,3, ніж приводити дроби до спільного знаменника, проводити обчислення, а потім виділяти цілу та дробову частини з неправильного дробу. Навіть найпростіші завдання з дробовими числами припускають, що школяр (чи студент) знає, як перевести ціле число в дріб. Ці правила дуже прості і легко запам'ятовуються. Натомість за допомогою них дуже просто проводити обчислення дробових чисел.

Ось, здавалося б, переведення десяткового дробу у звичайний — елементарна тема, але багато учнів її не розуміють! Тому сьогодні ми докладно розглянемо одразу кілька алгоритмів, за допомогою яких ви розберетеся з будь-якими дробами буквально за секунду.

Нагадаю, що існує як мінімум дві форми запису одного і того ж дробу: звичайний і десятковий. Десяткові дроби - це всілякі конструкції виду 0,75; 1,33; і навіть –7,41. А ось приклади звичайних дробів, які виражають ті самі числа:

Зараз розберемося: як від десяткового запису перейти до звичайного? І найголовніше: як зробити це максимально швидко?

Основний алгоритм

Насправді існує як мінімум два алгоритми. І ми зараз розглянемо обидва. Почнемо з першого — найпростішого та найзрозумілішого.

Щоб перевести десятковий дріб у звичайний, необхідно виконати три кроки:

Важливе зауваження щодо негативних чисел. Якщо у вихідному прикладі перед десятковим дробом стоїть знак мінус, то і на виході перед звичайним дробом теж повинен стояти мінус. Ось ще кілька прикладів:

Приклади переходу від десяткового запису дробів до звичайного

Особливу увагу хотілося б звернути на останній приклад. Як бачимо, у дробі 0,0025 є багато нулів після коми. Через це доводиться аж чотири рази множити чисельник і знаменник на 10. Чи можна якось спростити алгоритм у цьому випадку?

Звичайно можна. І зараз ми розглянемо альтернативний алгоритм — він трохи складніший для сприйняття, але після невеликої практики працює набагато швидше за стандартний.

Швидший спосіб

У цьому алгоритмі також 3 кроки. Щоб отримати звичайний дріб із десяткового, потрібно виконати наступне:

1. Порахувати, скільки цифр коштує після коми. Наприклад, у дробу 1,75 таких цифр дві, а 0,0025 — чотири. Позначимо цю кількість буквою $n$.
2. Переписати вихідне число у вигляді дробу виду $\frac(a)(((10)^(n)))$, де $a$ це всі цифри вихідного дробу (без «стартових» нулів зліва, якщо вони є), а $n$ - та сама кількість цифр після коми, яку ми порахували на першому кроці. Інакше кажучи, необхідно розділити цифри вихідного дробу на одиницю з $n$ нулями.
3. По можливості скоротити отриманий дріб.

От і все! На перший погляд, ця схема складніша за попередню. Але насправді він і простіший, і швидший. Судіть самі:

Як бачимо, у дробі 0,64 після коми стоїть дві цифри - 6 і 4. Тому $ n = 2 $. Якщо прибрати кому і нулі зліва (в даному випадку - всього один нуль), то отримаємо число 64. Переходимо до другого кроку: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, тому у знаменнику стоїть саме сто. Ну а потім залишається лише скоротити чисельник і знаменник.

Ще один приклад:

Тут все трохи складніше. По-перше, цифр після коми вже три штуки, тобто. $n=3$, тому ділити доведеться $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. По-друге, якщо прибрати з десяткового запису кому, то ми отримаємо ось це: 0,004 → 0004. Згадаємо, що нулі зліва треба прибрати, тому за фактом у нас число 4. Далі все просто: ділимо, скорочуємо і отримуємо відповідь.

Зрештою, останній приклад:

Особливість цього дробу – наявність цілої частини. Тому на виході у нас виходить неправильний дріб 47/25. Можна, звичайно, спробувати розділити 47 на 25 із залишком і таким чином знову виділити цілу частину. Але для чого ускладнювати собі життя, якщо це можна зробити ще на етапі перетворень? Що ж, розберемося.

Що робити з цілою частиною

Насправді все дуже просто: якщо ми хочемо отримати правильний дріб, то необхідно прибрати з нього цілу частину на час перетворень, а потім, коли отримаємо результат, знову дописати праворуч перед дробовою рисою.

Наприклад, розглянемо те саме число: 1,88. Заб'ємо на одиницю (цілу частину) і подивимося на дріб 0,88. Вона легко перетворюється:

Потім згадуємо про втрачену одиницю і дописуємо її спереду:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

От і все! Відповідь вийшла тим самим, що й після виділення цілої частини минулого разу. Ще кілька прикладів:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \&& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

В цьому і полягає принадність математики: яким би шляхом ви не пішли, якщо всі обчислення виконані правильно, відповідь завжди буде одним і тим же.

Насамкінець хотів би розглянути ще один прийом, який багатьом допомагає.

Перетворення «на слух»

Давайте подумаємо про те, що взагалі таке десятковий дріб. Точніше, як ми читаємо її. Наприклад, число 0,64 - ми читаємо його як "нуль цілих, 64 сотих", правильно? Ну, або просто «64 соті». Ключове слово тут - "сотих", тобто. Число 100.

А що щодо 0,004? Це ж «нуль цілих, 4 тисячні» або просто «чотири тисячні». Так чи інакше, ключове слово - "тисячних", тобто. 1000.

Ну, і що в цьому такого? А те, що саме ці числа зрештою «спливають» у знаменниках на другому етапі алгоритму. Тобто. 0,004 — це «чотири тисячні» або «4 розділити на 1000»:

Спробуйте потренуватися самі це дуже просто. Головне - правильно прочитати вихідний дріб. Наприклад, 2,5 - це «2 цілих, 5 десятих», тому

А якесь 1,125 — це «1 ціла, 125 тисячних», тому

В останньому прикладі, звичайно, хтось заперечить, мовляв, не кожному учневі очевидно, що 1000 ділиться на 125. Але тут треба пам'ятати, що 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5 тому

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5 \ cdot 5 = 8 \ cdot 125 \ end (align) \]

Таким чином, будь-який ступінь десятки розкладається лише на множники 2 і 5 — саме ці множники потрібно шукати і в чисельнику, щоб у результаті все скоротилося.

На цьому урок закінчено. Переходимо до більш складної зворотної операції - див.

Дроб може бути перетворена на ціле число або в десятковий дріб. Неправильний дріб, чисельник якого більший за знаменник і ділиться на нього без залишку, переводиться в ціле число, наприклад: 20/5. Ділимо 20 на 5 і отримуємо число 4. Якщо дріб правильний, тобто чисельник менший за знаменник, то тоді перетворити його в число (десятковий дріб). Більше інформації про дроби ви зможете отримати з нашого розділу - .

Способи перетворення дробу на число

• Перший спосіб, як перевести дріб у число годиться для дробу, яку можна перетворити на число, що є десятковим дробом. Спочатку з'ясуємо, чи можна перевести заданий дріб у дріб десятковий. Для цього звернемо увагу на знаменник (цифра, яка під межею або праворуч від похилої). Якщо знаменник можна розкласти на множники (у нашому прикладі - 2 і 5), які можуть повторюватися, то цей дріб реально перетворити на кінцевий десятковий дріб. Наприклад: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Цей звичайний дріб переведеться в число (десятковий дріб) з кінцевою кількістю знаків після коми. А ось дріб 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) переведеться до числа з нескінченною кількістю знаків після коми. Тобто при точному обчисленні числового значення досить важко визначити кінцевий знак після коми, оскільки таких знаків безліч. Тому для вирішення завдань зазвичай потрібно округлити значення до сотих чи тисячних. Далі - необхідно помножити і чисельник, і знаменник на таке число, щоб у знаменнику вийшли цифри 10, 100, 1000 і т. д. Наприклад: 11/40 = (11 25) / (40 25) 0,275
• Другий спосіб, як перевести дріб у число - простіший: необхідно чисельник поділити на знаменник. Для застосування цього способу просто зробимо розподіл, а отримане число і буде тим шуканим десятковим дробом. Наприклад, треба перевести дріб 2/15 до числа. Ділимо 2 на 15. Отримуємо 0, 1333 - нескінченний дріб. Записуємо так: 0,13 (3). Якщо дріб неправильний, тобто чисельник більший за знаменник (наприклад, 345/100), то в результаті перетворення його в число вийде ціле числове значення або десятковий дріб з цілою дробовою частиною. У прикладі це буде 3,45. Щоб перетворити змішаний дріб такого виду, як 3 2 / 7 , у число, потрібно спочатку перетворити його на неправильний дріб: (3∙7+2)/7 =23/7. Далі ділимо 23 на 7 та отримуємо число 3,2857143, яке скорочуємо до 3,29.

Найпростіший спосіб переведення дробу в число - це використання калькулятора або іншого обчислювального приладу. Вкажемо спочатку чисельник дробу, потім натиснемо кнопку зі значком "розділити" і набираємо знаменник. Після натискання кнопки "=" ми отримуємо шукане число.

На самому початку потрібно все-таки дізнатися, що таке дріб і яких видів він буває. А буває вона трьох видів. І перший їх це звичайна дріб, наприклад ½, 3/7,3/432 тощо. буд. Ці числа також можна записувати з допомогою горизонтальної черточки. І перше, і друге буде однаково правильно. Цифра зверху називається числовим, а знизу знаменником. Є навіть приказка для тих людей, хто постійно плутає ці дві назви. Вона звучить так: «Зззззапам'ятай! Зззззнаменник - внизззззу! ». Це допоможе не заплутатися. Звичайний дріб це лише два числа, які діляться один на одного. Рисочка в них і означає знак розподілу. Її можна замінити знаком двокрапка. Якщо стоїть питання «як дріб перевести до числа», це дуже просто. Слід лише чисельник поділити на знаменник. І все. Дріб переведений.

Другий вид дробів називається десятковим. Це ряд цифр із комою. Наприклад, 0,5, 3,5 і т. д. Назвали їх десятковими, тільки тому, що після заспіваної перша цифра позначає «десятки», друга в десять разів більша за «сотню» і так далі. А перші цифри до коми, називаються цілими. Наприклад, число 2,4 звучить так, дванадцять цілих та двісті тридцять чотири тисячних. Такі дроби з'являються в основному через те, що поділивши два числа без залишку не виходить. І більшість звичайних дробів, під час того як їх переводитимуть у числа, зрештою мають вигляд десяткового дробу. Наприклад, одна друга дорівнює нуль цілим п'яти десятим.

І останній третій вид. Це мішані числа. Приклад цього можна навести як 2½. Звучить так, дві цілих та одна друга. У старших класів такий вид дробів не використовуються. Їх, напевно, необхідно буде наводити або в звичайний вид дробу, або в десятковий. Зробити це так само легко. Просто ціле число потрібно помножити на знаменник і, отримане позначення, скласти з чисельним. Візьмемо наш приклад 2½. Два множиться на два, виходить чотири. Чотири плюс один, і п'ять. І дріб формою 2½ утворюється в 5/2. А п'ять, поділивши на два, можна отримати десятковий дріб. 2½ = 5/2 = 2,5. Вже стало зрозуміло, як переводити дроби до числа. Слід лише розділити чисельник на знаменник. Якщо числа більші можна скористатися калькулятором.

Якщо на ньому виходить не цілі числа і після коми йде дуже багато цифр, тоді це значення можна округлити. Округлюється все дуже просто. Спочатку слід визначитися, до якої цифри потрібно округлити. Слід розглянути приклад. Людині потрібно округлити число нуль цілих, дев'ять тисяч сімсот п'ятдесят шість десятитисячних чи цифровому значенні 0,6. Округлення потрібно зробити до сотих. Це означає, що зараз до семи сотих. Після цифри сім у дробі йде п'ять. Тепер потрібно використовувати правила округлення. Цифри більше п'яти округляються у більшу сторону, а менші – меншу. У прикладі у людини – п'ять, вона стоїть на прикордонні, але вважається, що округлення відбувається у більшу сторону. Значить, усі цифри після сімки прибираємо і до неї додаємо одиницю. Виходить 0,8.

Також виникають ситуації, коли людині необхідно швидко перевести звичайний дріб у число, а калькулятора поряд немає. Для цього варто застосувати поділ стовпчиком. Насамперед слід на листку написати поруч один з одним чисельник і знаменник. Між ними ставиться куточок поділу, він схожий на букву «Т», що тільки лежить на боці. Для прикладу можна взяти дріб десять шостих. І так, десять слід поділити на шість. Скільки шісток може уміститися у десятці, лише одна. Одиниця записується під куточком. Десять відібрати шість вийде чотири. Скільки шісток буде у четвірці, кілька. Значить, у відповіді після одиниці ставиться кома, а четвірка множиться на десять. У сорока шість шісток. У відповіді дописується шістка, а від сорока забирається тридцять шість. Виходить знову чотири.

У цьому прикладі відбулося зациклювання, якщо продовжити робити все точно також вийде відповідь 1,6(6) Цифру шість триває для нескінченності, але застосувавши правило округлення, можна привести одержання число до 1,7. Що набагато зручніше. З цього можна дійти невтішного висновку, що не всі звичайні дроби можна перевести в десяткові. У деяких відбувається зациклювання. Зате будь-який десятковий дріб можна перевести в простий. Тут допоможе елементарне правило, як чується, і пишеться. Наприклад, число 1,5 чується, як одна цілих двадцять п'ять сотих. Так і треба записати, одна ціла, двадцять п'ять поділити на сто. Одна ціла це сто, отже, простий дріб буде сто двадцять п'ять на сто (125/100). Все також легко і зрозуміло.

Ось і було розібрано основні правила і перетворення, які пов'язані з дробами. Усі вони нескладні, але їх слід знати. У повсякденне життя вже давно увійшли дроби, особливо десяткові. Це добре видно на цінниках у магазинах. Круглі ціни вже давно не хто не пише, а з дробами ціна видається візуально набагато дешевшою. Також одна з теорій говорить, що людство відвернулося від римських цифр і прийняла в обіг арабські, тільки тому, що в римських не було дробів. І багато вчених погоджуються з цим припущенням. Адже з дробами можна вести підрахунки точніше. А в наш час космічних технологій, точність у розрахунках потрібна як ніколи. Отже, вивчати дроби в школі з математики життєво необхідно для розуміння багатьох наук і технічних досягнень.

Десяткові числа, такі як 0,2; 1,05; 3,017 і т.п. як чуються, так і пишуться. Нуль цілих дві десятих, отримуємо дріб. Одна ціла п'ять сотих, отримуємо дріб. Три цілих сімнадцять тисячних, отримуємо дріб. Цифри до коми в десятковому числі це ціла частина дробу. Цифра після коми - чисельник майбутнього дробу. Якщо після коми однозначне число – у знаменнику буде 10, якщо двозначне – 100, тризначне – 1000 тощо. Деякі отримані дроби можна скоротити. У наших прикладах

Перетворення дробу на десяткове число

Це обернене до попереднього перетворення. Десятковий дріб чим характерний? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і таке інше. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, або

Якщо дріб, наприклад . В цьому випадку необхідно скористатися основною властивістю дробу і перетворити знаменник до 10 або 100, або 1000... У нашому прикладі, якщо домножити чисельник і знаменник на 4, отримаємо дріб, який можна записати у вигляді десяткового числа 0,12.

Деякі дроби простіше поділити, ніж перетворити знаменник. Наприклад,

Деякі дроби неможливо перетворити на десяткові числа!
Наприклад,

Перетворення змішаного дробу на неправильний

Змішаний дріб, наприклад, легко перетворити на неправильний. Для цього необхідно цілу частину помножити на знаменник (низ) та скласти з чисельником (верх), знаменник (низ) залишити без зміни. Тобто

При перетворенні змішаного дробу на неправильний, можна згадати, що можна використовувати додавання дробів

Перетворення неправильного дробу на змішану (виділення цілої частини)

Неправильний дріб можна перевести в змішану, виділивши цілу частину. Розглянемо приклад, . Визначаємо, скільки цілих разів "3" вміщується в "23". Або 23 ділимо на 3 на калькуляторі, ціле число до коми - шукане. Це "7". Далі визначаємо чисельник майбутнього дробу: отриману "7" множимо на знаменник "3" і з чисельника "23" віднімаємо отримане. Як би знаходимо зайве, що залишається від чисельника "23", якщо вилучити максимальну кількість "3". Знаменник залишаємо без зміни. Все зроблено, записуємо результат