Корінь із 25 у комплексних числах.

числами у тригонометричній формі.

Формула Муавра

Нехай z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) та z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Тригонометричну форму запису комплексного числа зручно використовувати для виконання дій множення, поділу, зведення в цілий ступінь та отримання кореня ступеня n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

При множенні двох комплексних чиселу тригонометричній формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. При розподіліїх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

Наслідком правила множення комплексного числа є правило зведення комплексного числа на ступінь.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Це співвідношення називається формулою Муавра.

Приклад 8.1 Знайти твір та приватне чисел:

і

Рішення

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Приклад 8.2 Записати в тригонометричній формі число

∙
-i) 7 .

Рішення

Позначимо
та z 2 =
- І.

r 1 = | z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arctg
;

z 1 =
;

r 2 = | z 2 | = √(√3) 2 + (-1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 · 2 7§ 9 Вилучення кореня з комплексного числаВизначення. Коренем n
-й ступеня з комплексного числа
= 0.

z (позначають

) називається комплексне число w таке, що w n = z. Якщо z = 0, то

Нехай z  0, z = r(cos + isin). Позначимо w = (cos + sin), тоді рівняння w n = z запишемо у наступному вигляді

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Звідси  n = r,

Таким чином, w k =

Серед цих значень рівно n різних.
Тому k = 0, 1, 2, …, n - 1.

На комплексній площині ці точки є вершинами правильного n-кутника, вписаного в коло радіусом.

із центром у точці О (рисунок 12).Малюнок 12
.

Приклад 9.1

Знайти всі значення

Рішення.
Уявімо це число в тригонометричній формі. Знайдемо його модуль та аргумент.

w k =
.

де k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

На комплексній площині ці точки є вершинами квадрата, вписаного в коло радіусом.

з центром на початку координат (рисунок 13).Малюнок 12
.

Приклад 9.1

Малюнок 13 Малюнок 14

Рішення.
Приклад 9.2

w k =
z = - 64 = 64 (cos + isin);
;

w 0 =
де k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

w 3 =

§ 10 Показова форма комплексного числа.

Формула Ейлера

Позначимо
= cos  + isin  і
= cos  - isin  . Ці співвідношення називаються .

формулами Ейлера
Функція

має звичайні властивості показової функції:

Нехай комплексне число z записане в тригонометричній формі z = r(cos + isin).

Використовуючи формулу Ейлера, можна записати:
.

z = r · Цей запис називаєтьсяпоказовою формою

комплексного числа. Використовуючи її, отримуємо правила множення, поділу, зведення у ступінь та вилучення кореня.
Якщо z 1 = r 1 ·
і z 2 = r 2 ·

?то
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

, де k = 0, 1, …, n - 1.Приклад 10.1

Записати в формі алгебри число
.

Приклад 9.1

z =Приклад 10.2

Приклад 9.1

Розв'язати рівняння z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
За будь-яких комплексних коефіцієнтів це рівняння має два корені z 1 і z 1 (можливо, збігаються). Це коріння може бути знайдено за тією ж формулою, що й у речовинному випадку. Так як

приймає два значення, що відрізняються тільки знаком, то ця формула має вигляд:
Оскільки –9 = 9 · е  i , то значеннями

будуть числа:
Тоді
.

Приклад 9.1

Розв'язати рівняння z 3+1 = 0; z 3 = - 1.
.

Шуканим корінням рівняння будуть значення

Рішення.
Для z = -1 маємо r = 1, arg (-1) = .

, k = 0, 1, 2

Вправи

г)

г) 7(cos0 + isin0).

11 Записати в алгебраїчній та геометричній формах числа:

12 Дані числа
.

Представивши їх у показовій формі, знайти

13 Використовуючи показову форму комплексного числа, виконайте дії:
а)

б)
в)

д)з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа 2 .

та натуральне число Комплексне число Z називається§ 9 Вилучення кореня з комплексного числа– корінням c Комплексне число § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = корінням.

, якщо § 9 Вилучення кореня з комплексного числа– Знайдемо всі значення кореня д)ого ступеня з комплексного числа корінням=| корінням|·(. Нехай cos корінням+ Arg· i cossinс), Комплексне число = | Комплексне числоа|·(з cos Комплексне число + Arg· i cos Комплексне число) os Комплексне число, де § 9 Вилучення кореня з комплексного числа- Знайдемо всі значення кореня д)корінь = корінням = | корінням|·(. Нехай cos корінням+ Arg· i cos. Тоді має бутис)
. Звідси слідує що § 9 Вилучення кореня з комплексного числа· cos Комплексне число = cosі
cos Комплексне число =
(з=0,1,…) k Комплексне число =
(. Нехай
+ Arg· i
), (з=0,1,…) . Отже,
, (з=0,1,…) . Легко побачити, що будь-яке значення
,(з = 0,1,…, § 9 Вилучення кореня з комплексного числа-1) відрізняється від одного з відповідних значень на кратне 2π (з = 0,1,…, § 9 Вилучення кореня з комплексного числа-1) .

. Тому ,

приклад..

Обчислимо корінь з (-1) |-1| = 1, , очевидно (-1) = π

arg. Нехай π + Arg· i π )

, -1 = 1 · (

= Arg

(K = 0, 1).

Ступінь із довільним раціональним показником д)Візьмемо довільне комплексне число § 9 Вилучення кореня з комплексного числа. Якщо д) § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = | корінням| § 9 Вилучення кореня з комплексного числа натуральне число, то|·(з · (ЗnArgArg· i · (З. Тоді має бутиз + § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = 0 ((6). Ця формула вірна і у разі)
ого ступеня з комплексного числа § 9 Вилучення кореня з комплексного числа < 0 с≠0 § 9 Вилучення кореня з комплексного числа Комплексне числоі із ≠ 0

д) § 9 Вилучення кореня з комплексного числа =
тодід)(cos nArgд)) = тодід)+i·sin nArgд)) + i·sin nArg § 9 Вилучення кореня з комплексного числа.

. Таким чином, формула (6) справедлива для будь-яких os Візьмемо раціональне число q натуральне число, ар

є цілим. Тоді під корінням ступенем r
.

будемо розуміти число ,

(з = 0, 1, …, Візьмемо раціональне число-1). Ми отримуємо, що Візьмемо раціональне числоцих значень

штук, якщо дріб не скоротний.

Комплексно-значна функція натурального аргументу називаються послідовністю комплексних чиселі позначається (з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) або д) 1 , з 2 , ..., з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа . д) § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = а § 9 Вилучення кореня з комплексного числа + b § 9 Вилучення кореня з комплексного числа · Arg (§ 9 Вилучення кореня з комплексного числа = 1,2, ...) комплексні числа.

д) 1 , з 2 , … - Члени послідовності; з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа - Загальний член

та натуральне число д) = a+ b· Arg Z межею послідовності комплексних чисел (корінням § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) os д) § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = а § 9 Вилучення кореня з комплексного числа + b § 9 Вилучення кореня з комплексного числа · Arg (§ 9 Вилучення кореня з комплексного числа = 1, 2, …) , де для будь-кого

, що за всіх § 9 Вилучення кореня з комплексного числа > Nвиконується нерівність
. Послідовність, що має кінцеву межу називається схожійпослідовністю.

Теорема.

Для того, щоб послідовність комплексних чисел (з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) (з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = а § 9 Вилучення кореня з комплексного числа + b § 9 Вилучення кореня з комплексного числа · Arg) сходилася до = a+ b· Argнеобхідно і достатньо, щоб виконувалася рівністьlim a § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = a, lim b § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = b.

Доведення.

Ми будемо доводити теорему виходячи з наступної очевидної подвійної нерівності

, де Комплексне число = x + y· Arg (2)

Необхідність.Нехай lim(з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) = с. Покажемо, що вірні рівності lim a § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = aі lim b § 9 Вилучення кореня з комплексного числа = b (3).

Очевидно (4)

Так як
, коли § 9 Вилучення кореня з комплексного числа → ∞ , то з лівої частини нерівності (4) випливає, що
. Звідси слідує що
, коли § 9 Вилучення кореня з комплексного числа → ∞ . тому виконуються рівність (3). Необхідність доведена.

Достатність.Нехай тепер виконуються рівність (3). З рівності (3) випливає, що
. Звідси слідує що
, коли § 9 Вилучення кореня з комплексного числа → ∞ тому через праву частину нерівності (4) буде
, коли § 9 Вилучення кореня з комплексного числа→∞ , значить lim(з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа )=с. Достатність доведено.

Отже, питання про збіжність послідовності комплексних чисел еквівалентний збіжності двох речових числових послідовностей, тому на послідовності комплексних чисел поширюються всі основні властивості меж речових числових послідовностей.

Наприклад, для послідовностей комплексних чисел справедливий критерій Коші: для того, щоб послідовність комплексних чисел (з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) сходилася, необхідно і достатньо, щоб для будь-кого

, що за будь-якого§ 9 Вилучення кореня з комплексного числа, m > Nвиконується нерівність
.

Теорема.

Нехай послідовність комплексних чисел (з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) та (z § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) сходяться відповідно до с іzтоді справедливо рівностіlim(з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа z § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) = корінням z, lim(з § 9 Вилучення кореня з комплексного числа · z § 9 Вилучення кореня з комплексного числа ) = корінням· z. Якщо достеменно відомо, щоzне дорівнює 0, то справедлива рівність
.