Логічні зв'язки. Висловлювання-прості та складові
ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ– символи логічних мов, використовувані утворити складних висловлювань (формул) з елементарних. Логічними зв'язками називають також союзи природної мови, що відповідають цим символам. Зазвичай використовуються такі логічні зв'язки, як кон'юнкція (союз «і», символічні позначення: &, ∧ та точка у вигляді знака множення, які часто опускають, записуючи кон'юнкцію Аі Уяк AB), диз'юнкція (нестрога спілка «або», позначається як «∨»), імплікація («якщо..., то», позначається за допомогою знака «⊃» та різного роду стрілок), заперечення («невірно, що... », позначається: , ~ або рисою над заперечним виразом). З перелічених заперечення є одномісною (унарною) зв'язкою. Інші є двомісними (бінарними). У принципі логічні зв'язки можуть бути як завгодно місцевими, але на практиці більш, ніж бінарні, використовуються дуже рідко. У класичній логіці ( Логіка , Логіка висловлювань ) будь-які багатомісні логічні зв'язки виразні через перелічені. Деякий практичний зміст дає використання тернарної логічної зв'язки, яка називається умовною диз'юнкцією, що пов'язує три висловлювання. А, Ві Зі означає, що « Ав разі У, і Зу разі не- B» або формально: ( B⊃A)&(B⊃C) (Сидоренко О.О.Пропозиційне літочислення з умовною диз'юнкцією. - У кн.: Методи логічного аналізу. М., 1977).
Класична логіка розглядає логічні зв'язки екстенсіонально (ігноруючи змістовний зміст висловлювань, що ними зв'язуються) як функції істинності, що визначаються істиннісними значеннями зв'язуваних ними висловлювань. При двох наявних у цій логіці істиннісних значеннях 1 (істинно) і 0 (хибно) висловлювання Аі Уможуть мати чотири можливі набори впорядкованих істиннісних значень:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозиціональна істинна функція ставить у відповідність кожному перерахованому набору одне із значень істинності – 1 або 0. Усього таких функцій 16. Кон'юнкція приписує виразу А&Узначення 1 тільки у випадку, коли як А, так і Уістинні, тобто. обидва мають значення 1, в інших випадках значення А&Уодно 0. Диз'юнкція Α ∨ В,навпаки, хибна тільки в одному випадку, коли хибні як А, так і Ст.Імплікація А⊃ Ує хибною тільки при істинному (антецеденті) Ата хибному (консеквенті) Ст.В інших випадках А⊃ Уприймає значення 1. З чотирьох одномісних функцій інтерес представляє лише заперечення, що змінює значення висловлювання протилежне: коли А- Істинно, A - хибно, і навпаки. Всі інші унарні та бінарні класичні функції можуть бути виражені через представлені. Коли прийнята у відповідній семантиці система логічних зв'язок дозволяє дати визначення решти, її називають функціонально повною. До повних систем у класичній логіці відносяться, зокрема, кон'юнкція та заперечення; диз'юнкція та заперечення; імплікація та заперечення. Кон'юнкція та диз'юнкція визначні одна через одну за рахунок еквівалентностей ( А&У)≡(А∨в)та (A∨B)≡( А&B), які називаються законами де Моргана, а також: (Α⊃Β)≡( Α ∨У), (А&У)≡(А⊃B), ( Α ∨У)≡((А⊃У)⊃A). Будь-яка еквівалентність виду A≡ Умає чинність тільки тоді, коли загальнозначуща (завжди істинна) кон'юнкція ( А⊃У)&(У⊃A).
Функції антидиз'юнкції та антикон'юнкції, визначальні відповідно як ( А∨в)і ( А&У), також представляють кожна окремо функціонально повну систему зв'язок. Ця остання обставина була відома вже Ч.Пірсу (Неопублікована за його життя робота 1880) і було перевідкрито X.Шеффером (H.M.Sheffer). Використовуючи антидиз'юнкцію як єдину логічну зв'язку, Шеффер у 1913 р. побудував повне обчислення висловлювань. Антидиз'юнкцію позначають А∣Уі називають штрихом Шеффера, читаючи цей вираз, як «не- Aі не- B». Ж.Ніко (J. G.P.Nicod) вжив те ж позначення для антикон'юнкції («Невірно, що одночасно Аі B») і за допомогою тільки цієї зв'язки в 1917 р. сформулював повне обчислення висловлювань з одного (всього!) аксіомою та одним правилом виведення. Т.ч., штрихом Шеффера називають по суті саму вертикальну межу, яка у різних авторів може позначати як антидиз'юнкцію, так і антикон'юнкцію.
Екстенсіональність логічних зв'язок надає їм однозначність, спрощує проблему побудови логічних обчислень, дає можливість вирішувати останні метатеоретичні проблеми несуперечності, розв'язності, повноти (див. Металологіка ). Проте в деяких випадках істинно-функціональне трактування зв'язок призводить до значної невідповідності з тим, як вони розуміються на природній мові. Так, зазначена істинна інтерпретація імплікації змушує визнавати вірними пропозиції виду «Якщо А,то B» навіть у тому випадку, коли між висловлюваннями Аі У(і, відповідно, подіями, про які в них йдеться) немає жодного реального зв'язку. Достатньо, щоб Абуло хибним або У- Істинним. Тому з двох пропозицій: «Якщо А,то У» і якщо В,то А», принаймні одне доводиться визнавати вірним, що погано узгоджується зі звичайним вживанням умовної зв'язки. Імплікацію в даному випадку спеціально називають «матеріальною», відрізняючи її тим самим від умовного союзу, який передбачає, що між антецедентом і консеквентом справжнього умовного висловлювання є дійсний зв'язок. При цьому матеріальна імплікація може чудово використовуватися в багатьох контекстах, наприклад, математичних, коли при цьому не забувають про її специфічні особливості. У деяких випадках саме контекст не дозволяє трактувати умовний союз як матеріальну імплікацію, припускаючи взаємозв'язок висловлювань. Для аналізу таких контекстів доводиться будувати спеціальні некласичні логіки , напр., релевантні (див. Релевантна логіка ), в мову яких замість матеріальної імплікації (або поряд з нею) вводяться інші імплікації, які розуміються інтенсійно (змістовно) та вірність яких не може бути обґрунтована істинно-функціонально. Інтенсійно можуть трактуватися інші логічні зв'язки.
Література:
1. Черч О.Введення у математичну логіку, т. 1. М., 1960;
2. Каррі Х.Підстави математичної логіки. М., 1969.
Є.А.Сидоренко
ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ
ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ
ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ – символи логічних мов, що використовуються для утворення складних висловлювань (формул) з елементарних. Логічними зв'язками називають також союзи природної мови, що відповідають цим символам. Зазвичай використовуються такі логічні зв'язки, як (союз "і", символічні позначення: &, л і точка у вигляді знака множення, які часто опускають, записуючи кон'юнкцію А і В як AB), (нестрога спілка "або", позначається як "v ”), (“якщо..., то”, позначається за допомогою знака заперечення (“невірно, що...”, позначається: -ι, ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ або рисою над заперечним виразом). З перелічених заперечення є одномісною (унарною) Інші є двомісними (бінарними) У принципі логічні зв'язки можуть бути як завгодно місцевими, але на практиці більш, ніж бінарні, використовуються дуже рідко. дає використання тернарної логічної зв'язки, званої умовною диз'юнкцією, що зв'язує три висловлювання А, В і С і означає, що "А у випадку В, і С у разі нв-?" або формально: (В з А)&(-, В е Про (Сидоренко Є. А. Пропозиційне з умовною диз'юнкцією. – У кн.: Методи логічного аналізу. М., 1977).
Класична розглядає логічні зв'язки екстенсіонально (ігноруючи змістовний зміст висловлювань, що ними зв'язуються) як функції істинності, що визначаються істиннісними значеннями зв'язуваних ними висловлювань. При двох істиннісних значних, що мають у цій логіці
нях 1 (істинно) і 0 (хибно) висловлювання А і В можуть мати чотири можливі набори впорядкованих істиннісних значень: , . Пропозиціональна істинна ставить у відповідність кожному перерахованому набору одне зі значень істинності - 1 або 0. Усгго таких функцій 16. Кон'юнкція приписує виразу А&.В 1 тільки у разі, коли як Л, так і В істинні, тобто обидва мають значення 1 , В інших випадках значення А&.В дорівнює 0. Диз'юнкція Α ν В, навпаки, хибна тільки в одному випадку, коли хибні як А, так і В. Імплікація А е В є хибною тільки при істинному (антецеденті) А і хибному (консеквенті ) У. В інших випадках А => В приймає значення 1. З чотирьох одномісних функцій представляє лише заперечення, що змінює значення висловлювання на протилежне: коли А - істинно, -А - хибно, і навпаки. Всі інші унарні та бінарні класичні функції можуть бути виражені через представлені. Коли прийнята у відповідній семантиці логічних зв'язок дозволяє дати решту, її називають функціонально повною. До повних систем у класичній логіці відносяться, зокрема, кон'юнкція та заперечення; диз'юнкція та заперечення; імплікація та заперечення. Кон'юнкція та диз'юнкція визначаються один через одного за рахунок еквівалентностей (А&В) = -i(-i/4v-i.ß) та (A v В) a -,(-Α&-ιΒ), іменованих законами де Моргана, а також: (A^B)s(-iA^ B), (A&B) s -,(A e -ιΒ), (A ν B) = ((A => B) зA). Будь-яка видуЛ = має силу лише тоді, коли загальнозначуща (завжди істинна) кон'юнкція (А =) В)&(В е А).
Функції антидиз'юнкції та антикон'юнкції, визначальні відповідно як -ι(Α ν В) і -(А&.В), також представляють кожна окремо функціонально повну систему зв'язок. Ця остання обставина була відома вже Ч. Пірсу (неопублікована за його життя робота 1880) і було перевідкрито X. Шеффером (H. M. Shefier). Використовуючи антидиз'юнкцію як єдину логічну зв'язку, Шеффер у 1913 р. побудував повне . Антидиз'юнкцію позначають АВ і називають штрихом Ше4)фера, читаючи вираз, як "не-Д і не-В". Ж. Ніко (J. G. P. Nicod) вжив те саме позначення для антикон'юнкції (“Невірно, що одночасно А і В”) і за допомогою тільки цієї зв'язки у 1917 сформулював повне обчислення висловлювань з однією (всього!) аксіомою та одним правилом виведення. Т. о., штрихом Шеффера називають по суті саму вертикальну межу, яка у різних авторів може позначати як антидиз'юнкцію, так і антикон'юнкцію.
Екстенсіональність логічних зв'язок надає їм однозначність, спрощує проблему побудови логічних обчислень, дає вирішувати останнім метатеоретичні проблеми несуперечності, розв'язності, повноти (див. Металологіка). Проте в деяких випадках істинно-функціональне трактування зв'язок призводить до значної невідповідності з тим, як вони розуміються на природній мові. Так, зазначена істиннісна імплікації змушує визнавати вірними пропозиції виду "Якщо А, то В" навіть у тому випадку, коли між висловлюваннями А і В (і, відповідно, подіями, про які в них йдеться) немає ніякого реального зв'язку. Достатньо, щоб А було хибним або В – істинним. Тому з двох пропозицій: "Якщо А, то В" і "Якщо В, то А", принаймні одне доводиться визнавати вірним, що погано узгоджується зі звичайним вживанням умовної зв'язки. Імплікацію в даному випадку спеціально називають "матеріальною", відрізняючи її тим самим від умовного союзу, який передбачає, що між антецедентом і консеквентом справжнього умовного висловлювання є дійсна . При цьому матеріальна імплікація може чудово використовуватися в багатьох контекстах, наприклад, математичних, коли при цьому не забувають про її специфічні особливості. У деяких випадках, однак, саме не дозволяє трактувати умовну спілку як матеріальну імплікацію, припускаючи висловлювань. Для аналізу таких контекстів доводиться будувати спеціальні , напр., релевантні (див. Релевантна логіка), в яких замість матеріальної імплікації (або поряд з нею) вводяться інші імплікації, які розуміються інтенсійно (змістовно) і вірність яких не може бути обґрунтована істинно-функціонально . Інтенсійно можуть трактуватися інші логічні зв'язки.
Чорч Л. Введення в математичну логіку, т. 1. M., 1960; КарріХ. Підстави математичної логіки. М., 1969.
Ε. О. Сидоренко
Нова філософська енциклопедія: У 4 тт. М.: Думка. За редакцією В. С. Стьопіна. 2001 .
Дивитися що таке "ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ" в інших словниках:
логічні зв'язки- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN structural constants … Довідник технічного перекладача
Логічні зв'язки, логічні оператори, функції, що перетворюють висловлювання або пропозиційні форми (тобто висловлювання логіки предикатів), що містять змінні і звертаються у висловлювання при… Велика Радянська Енциклопедія
У логіці логічними операціями називають дії, внаслідок яких породжуються нові поняття, можливо з використанням існуючих. У більш вузькому, формалізованому значенні, поняття логічної операції використовується в математичній логіці і освіті.
Логіч. оператори, логіч. зв'язки, функції, що перетворюють вирази логіч. обчислень (формальних логічних систем); поділяються на пропозиціональні (сен тенціональні) зв'язки, за допомогою яких утворюються вирази логіки висловлювань, і… … Філософська енциклопедія
Формалізації змістовних логіч. теорій; виведені об'єкти Л. п. інтерпретуються як судження, складені з найпростіших (що мають, взагалі кажучи, суб'єктно-предикатну структуру) за допомогою зв'язок і кванторів. Найчастіше… … Математична енциклопедія
Розділ логіки, в якому вивчаються істинні взаємозв'язки між висловлюваннями. У межах цього розділу висловлювання (пропозиції, пропозиції) розглядаються лише з т.зр. їх істинності чи хибності, безвідносно до їх внутрішньої суб'єктності. Філософська енциклопедія
- (Від грец. logos слово, поняття, міркування, розум), або Формальна логіка, наука про закони та операції правильного мислення. Відповідно до основного принципу Л., правильність міркування (висновку) визначається лише його логічною формою, або… Філософська енциклопедія
ЛОГІКА ВИКАЗІВ, або ПРОПОЗИЦІЙНА ЛОГІКА- розділ дедуктивної логіки, в якому питання про істинність (або хибність) висловлювань (тобто суджень, що розглядаються без їх суб'єктно-предикатної структури) у висновках розглядається на основі вивчення наступного засобу їх вираження. Сучасний філософський словник
Список специфічних символів, що використовуються в математиці, можна побачити в статті Таблиця математичних символів Математичні позначення («мова математики») складна графічна система позначень, що служить для викладу абстрактних… … Вікіпедія
символи логічних мов, що використовуються для створення складних висловлювань (формул) з елементарних. Логічними зв'язками називають також союзи природної мови, що відповідають цим символам. Зазвичай використовуються такі логічні зв'язки, як кон'юнкція (союз "і", символічні позначення: &, л і точка у вигляді знака множення, які часто опускають, записуючи кон'юнкцію А і В як AB), диз'юнкція (нестрога спілка "або", позначається як «v»), імплікація («якщо..., то», позначається за допомогою знака, .пропозиціональна істинна функція ставить у відповідність кожному перерахованому набору одне зі значень істинності - 1 або 0. Всгго таких функцій 16. Кон'юнкція приписує виразу А &. У значення 1 тільки у випадку, коли як Л, так і В істинні, тобто обидва мають значення 1, в інших випадках значення А&.В дорівнює 0. , так і В. Імплікація А е В є хибною тільки при істинному (антецеденті) А і хибному (консеквенті) В. В інших випадках А => В приймає значення 1. З чотирьох одномісних функцій інтерес представляє лише заперечення, що змінює значення висловлювання на протилежне : коли А - істинно, -А - хибно, і навпаки. Всі інші унарні та бінарні класичні функції можуть бути виражені через представлені. Коли прийнята у відповідній семантиці система логічних зв'язок дозволяє дати визначення решти, її називають функціонально повною. До повних систем у класичній логіці відносяться, зокрема, кон'юнкція та заперечення; диз'юнкція та заперечення; імплікація та заперечення. Кон'юнкція та диз'юнкція визначні один через одного за рахунок еквівалентностей (А&В) = -i(-i/4v-i.) та (A v В) a -,(-&-), іменованих законами де Моргана, а також: (A ^B)s(-iA^ В), (А&В) s -,(А е -), (В) = ((А => В) зА). Будь-яка еквівалентність виду Л = В має силу тільки тоді, коли загальнозначуща (завжди істинна) кон'юнкція (А =) В) & (Ве А).
Функції антидиз'юнкції та антикон'юнкції, визначальні відповідно як -(В) і -(А&.В), також представляють кожна окремо функціонально повну систему зв'язок. Ця остання обставина була відома вже Ч. Пірсу (неопублікована за його життя робота 1880) і було перевідкрито X. Шеффером (H. M. Shefier). Використовуючи антидиз'юнкцію як єдину логічну зв'язку, Шеффер у 1913 р. побудував повне обчислення висловлювань. Антидиз'юнкцію позначають АВ і називають штрихом Ше4)фера, читаючи даний вираз, як «не-Д і не-В». Ж. Ніко (J. G. P. Nicod) вжив те саме позначення для антикон'юнкції («Невірно, що одночасно А і В») і за допомогою тільки цієї зв'язки в 1917 сформулював повне обчислення висловлювань з однією (всього!) аксіомою та одним правилом виведення. Т. о., штрихом Шеффера називають по суті саму вертикальну межу, яка у різних авторів може позначати як антидиз'юнкцію, так і антикон'юнкцію.
Екстенсіональність логічних зв'язок надає їм однозначність, полегшує проблему побудови логічних обчислень, дає можливість вирішувати для останніх метатеоретичні проблеми несуперечності, розв'язності, повноти (див. «Металогіка»). Проте в деяких випадках істинно-функціональне трактування зв'язок призводить до значної невідповідності з тим, як вони розуміються на природній мові. Так, зазначена істинна інтерпретація імплікації змушує визнавати вірними пропозиції виду «Якщо А, то В» навіть у тому випадку, коли між висловлюваннями А і В (і, відповідно, подіями, про які в них йдеться) немає жодного реального зв'язку. Достатньо, щоб А було хибним або В – істинним. Тому з двох пропозицій: «Якщо А, то В» і «Якщо В, то А», принаймні одне доводиться визнавати вірним, що погано узгоджується зі звичайним вживанням умовної зв'язки. Імплікацію в даному випадку спеціально називають «матеріальною», відрізняючи її тим самим від умовного союзу, який передбачає, що між антецедентом і консеквентом справжнього умовного висловлювання є дійсний зв'язок. При цьому матеріальна імплікація може чудово використовуватися в багатьох контекстах, наприклад, математичних, коли при цьому не забувають про її специфічні особливості. У деяких випадках саме контекст не дозволяє трактувати умовний союз як матеріальну імплікацію, припускаючи взаємозв'язок висловлювань. Для аналізу таких контекстів доводиться будувати спеціальні некласичні логіки, напр., релевантні (див. Релевантна логіка), в мову яких замість матеріальної імплікації (або поряд з нею) вводяться інші імплікації, які розуміються інтенсивно (змістовно) і вірність яких не може бути обґрунтована істинно-функціонально. Інтенсійно можуть трактуватися інші логічні зв'язки.
Кон'юнктивне судження.
Кон'юнктивне судження- судження, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли істинні всі судження, що входять до нього.
Утворюється за допомогою логічного союзу кон'юнкції, що виражається граматичними союзами «і», «так», «але», «проте». Наприклад, "Світить, та не гріє".
Символічно позначається так: А?В, де А, В - змінні, що позначають прості судження, ?- символічний вираз логічного союзу кон'юнкції.
Визначенню кон'юнкції відповідає таблиця істинності:
Диз'юнктивні судження.
Є два види диз'юнктивних суджень: строга (виключна) диз'юнкція та нестрога (не виключна) диз'юнкція.
Сувора (виключна) диз'юнкція- Складне судження, що приймає логічне значення істини тоді і тільки тоді, коли істинно тільки одне з суджень, що входять до нього, або «яке хибно тоді, коли обидва висловлювання хибні». Наприклад, «Це число або кратно, або кратно п'яти».
Логічний союз диз'юнкція виражається у вигляді граматичного союзу «чи…чи».
Символічно записується А?В.
Логічне значення суворої диз'юнкції відповідає таблиці істинності:
Нестрога (не виключна) диз'юнкція- Складне судження, що приймає логічне значення істини тоді і тільки тоді, коли істинним є, принаймні, одне (але може бути і більше) з простих суджень, що входять до складного. Наприклад, "Письменники можуть бути або поетами, або прозаїками (або тим і іншим одночасно)".
Нестрога диз'юнкція виражається у вигляді граматичного союзу «або…або» в роздільно-сполучному значенні.
Символічно записується А ? В. Нестрогої диз'юнкції відповідає таблиця істинності:
Імплікативні (умовні) судження.
Імплікація- Складне судження, що приймає логічне значення помилковості тоді і тільки тоді, коли попереднє судження ( антецедент) істинно, а наступне ( консеквент) Помилково.
У природній мові імплікація виражається союзом «якщо..., то» у сенсі «напевно, що і не». Наприклад, "Якщо число ділиться на 9, то воно ділиться і на 3".
Символічно імплікація записується А> (якщо А, то В).
Логічне значення представлено у таблиці істинності:
Аналіз властивостей імплікації показує, що істинність антецедента є достатньою умовоюістинності консеквенту, але з навпаки. Достатнім для певного явища вважається така умова, наявність якого обов'язково викликає це. Наприклад, «бути березою»достатня умова, щоб включити її до класу дерев, тому що всі берези - дерева і жодна не береза не є деревом.
У той же час істинність консеквенту є необхідною умовоюістинність антецедента, але недостатня. Необхідною для явища вважається така умова, без якої воно (явище) немає. Наприклад, клас беріз включений до класу дерев, але не дорівнює йому. Є дерева, які не є березами. Однак умова «бути деревом»для берези є обов'язковим, тому що всі берези – дерева.
Парадокси матеріальної імплікації.
Так позначається смислове розбіжність операції матеріальної імплікації із її символічною формулою: А>В. Відповідно до матеріальної імплікації істинність А, для істинності формули А>В, необхідно, щоб і було істинно. І тут йдеться змістовному розумінні хибності і істинності висловлювання. Однак формула А>В істинна не тільки в зазначеному випадку, але і тоді, коли А - хибно, а В - істинно і тоді, коли вони обидва хибні. З цього факту випливає парадокс матеріальної імплікації: з помилкового висловлювання випливає будь-яке висловлювання, все що завгодно і справжнє висловлювання випливає з будь-якого висловлювання.
Судження еквівалентності.
Еквівалентність- Складне судження, яке приймає логічне значення істини тоді і тільки тоді, коли входять до нього судження мають однакове логічне значення, тобто одночасно або істинні, або хибні.
Логічний союз еквівалентності виражається граматичними спілками «тоді й тільки тоді, коли», «якщо й тільки якщо». Наприклад, «Якщо і якщо трикутник рівносторонній, він і рівнокутний».
Символічно еквівалентність записується АВабо АВ(«якщо і тільки якщо А, то»).
Логічне значення еквівалентності відповідає таблиці істинності:
Еквівалентне судження зі зв'язаними за змістом членами висловлює одночасно умову достатню і необхідну: (А> В)? (В> А).
Рівносильність виразів (АВ) та (А>В)?(В>А) може бути доведена за допомогою таблиці істинності.
Заперечення.
Заперечення- це логічна операція, за допомогою якої з одного висловлювання отримують нове, при цьому просте судження P перетворюється на складне, і якщо вихідне просте судження істинно, то нове складне судження хибно - «невірно, що P» або «висловлювання А хибно тоді, коли висловлення АЇ істинно».
Вираз одних логічних зв'язок у вигляді інших.
Розглянуті вище логічні спілки взаємозамінні та виразні через інші. Наприклад:
А>В = А?В - імплікація через диз'юнкцію;
А> В = В> А - імплікація через імплікацію;
А> B = А? В – імплікація через кон'юнкцію;
А?В = А? В – кон'юнкція через диз'юнкцію;
А?В = А? В – диз'юнкція через кон'юнкцію;
А?В = А? В – кон'юнкція через диз'юнкцію.
§ 4. Вираз логічних зв'язок (логічних постійних) у природній мові
У мисленні ми оперуємо як простими, а й складними судженнями, утвореними з простих у вигляді логічних зв'язок (чи операцій) - кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквіваленції, заперечення, які також називаються логічними константами, чи логічними постійними. Проаналізуємо, яким чином перелічені логічні зв'язки виражаються у природній (російській) мові.
Кон'юнкція (знак "л") виражається спілками "і", "а", "але", "так", "хоча", "який", "зате", "проте", "не тільки..., але і » та ін. У логіці висловлювань знак «л» поєднує прості висловлювання, утворюючи з них складні. У природній мові союз «і» та інші слова, що відповідають кон'юнкції, можуть поєднувати іменники, дієслова, прислівники, прикметники та інші слова. Наприклад, «У кошику у діда лежали підберезники та маслюки» (ab), «Цікава та красиво оформлена книга лежить на столі». Останній вислів не можна розбити на два простих, з'єднаних кон'юнкцією: «Цікава книга лежить на толі» і «Гарно оформлена книга лежить на столі», - оскільки складається враження, що на столі лежать дві книги, а не одна.
У логіці висловлювань діє закон комутативності кон'юнкції (ab)(ba). У природній російській такого закону немає, оскільки діє чинник часу. Там, де враховується послідовність у часі, вживання спілки "і" некомутативно. Тому не будуть еквівалентними, наприклад, такі два висловлювання: 1) «Причепили паровоз, і потяг рушив» і 2) «Потяг рушив, і причепили паровоз».
У природній мові кон'юнкція може бути виражена не тільки словами, а й розділовими знаками: комою, точкою з комою, тире. Наприклад, «блиснула блискавка, загримів грім, пішов дощ».
Про вираз кон'юнкції засобами природної мови пише С. Кліні у своїй книзі «Математична логіка». У розділі "Аналіз міркувань" він наводить (не вичерпний) список виразів природної мови, які можуть бути замінені символами "Л" або "&". Формула А^Ву природній мові може виражатися так:
"Не тільки А, але і Ст. Як А,так і Ст.
В,хоч і Л. Аразом з Ст.
В,незважаючи на А.А, в той час як В» 7 .
Вигадати приклади всіх цих структур надаємо читачеві.
У природній (російській) мові диз'юнкція (позначена ab і ab) виражається спілками: «або», «або», «чи... чи то» та ін. Наприклад, «Ввечері я піду в кіно або в бібліотеку»; «Ця тварина належить або до хребетних, або безхребетних»; «Доповідь буде чи то за творами Л. М. Толстого, чи то за творами Ф. М. Достоєвського».
Для обох видів диз'юнкції діє закон комутативності: (ab(ba) та (ab)(ba). У природній мові ця еквівалентність зберігається. Наприклад, судження «Я куплю олію чи хліб» еквівалентно судженню «Я куплю хліб або масло» С. Кліні показує, якими різноманітними способами можуть бути виражені в природній мові імплікація (AB) та еквівалентність ( A~B).
(Літера Аі Упозначені змінні висловлювання.)
Наведемо логічні схеми та відповідні їм приклади, що ілюструють різноманітні способи вираження імплікації А -> В(де А- антецедент, У- Ковсеквент).
1. Якщо А, то Ст.
Якщопостачальники вчасно доставлять деталі, тозавод виконає свій виробничий план.
2. Якщо А, то Ст.
Якщо скороприкладені сили знімаються, тостиснута пружина повертається до своєї первісної форми.
3. Коли А, має місце Ст.
Колинастає погана погода, має місцепідвищення числа серцево-судинних захворювань у людей.
4. Для досить А.
Длящоб гази розширилися, достатньоїх нагріти.
5. Для А необхідно Ст.
Длязбереження миру на Землі необхіднооб'єднати зусилля всіх держав у боротьбі за мир.
6. А, тільки якщо Ст.
Студенти цього курсу не приходили на суботник, тільки якщовони були хворі.
7. У. якщо А.
Ядозволю тобі піти погуляти, якщоти виконаєш усі домашні завдання.
Наведемо логічні схеми та відповідні їм приклади різноманітних способів вираження еквівалентності.
1. А якщо і тільки якщо В.
Іванов не закінчить свої експерименти до терміну, якщо і тільки якщойому не допоможуть працівники.
2. Якщо А, то У, і навпаки.
Якщостудент склав усі іспити та практику на «відмінно», товін отримує диплом з відзнакою, і навпаки.
3. А якщо В, і В, якщо А.
Багатокутник є вписаним у коло, якщойого вершини лежать на колі, івершини багатокутника лежать на колі, якщоцей багатокутник є вписаним у коло.
4. Для А необхідно і достатньо.
Длящоб число без залишку ділилося на 3, необхідно і достатньо,щоб сума цифр цього числа ділилася на 3.
5. А рівносильно В(Іноді).
Те, що площа правильного багатокутника дорівнює добутку напівпериметра на апофему, рівносильнотому, що площа правильного багатокутника дорівнює добутку периметра половину апофеми.
6. А тоді і лише тоді, коли Ст.
Фірма буде згодна прийняти пропозицію щодо купівлі товару тоді і лише тоді, колибуде знижено ціну цього товару на 15%.
З наведених вище схем та відповідних їм висловлювань з конкретним різноманітним змістом стає ясно, наскільки багатогранні в природній мові (зокрема, у російській) засоби вираження імплікації, еквівалентності та інших логічних зв'язок (логічних термінів). Це можна сказати і про інші природні мови 9 .
Імплікація (ab) не зовсім відповідає за змістом спілки «якщо... то» природної мови, оскільки в ній може бути відсутнім змістовний зв'язок між судженнями аі b. У логіці висловлювань законом є формула:(ab)(ab).
Але в природній мові справа інакша. Іноді спілка «якщо, то» висловлює не імплікацію, а кон'юнкцію. Наприклад, «Якщо вчора було похмуро, то сьогодні яскраво світить сонце». Ця складна думка виражається формулою ab. Окрім логічних зв'язок для вираження загальних та приватних суджень у логіці використовуються квантор спільності та квантор існування. Запис із квантором спільності VP() зазвичай читається так: «Всі х(з деякої області об'єктів) мають властивість Р», а запис із квантором існування З хР(х) читається так: «Існують такі х(в даній галузі), які мають властивість Р».Наприклад, 3x(x>100) читається як «Існують такі х,які більше 100», де під хмаються на увазі числа. Квантор спільності виражається словами: «все», «кожний», «кожний», «жоден» та ін. Квантор існування виражається словами: «деякі», «існують», «більшість», «меншість», «тільки деякі», "іноді", "той, який", "не всі", "багато", "немало", "небагато", "багато", "майже всі" та ін.
С. Клін пише про те, що, перекладаючи вирази звичайної мови за допомогою табличних пропозиціональних зв'язок, ми позбавляємося деяких відтінків сенсу, зате виграємо в точності 10 .
У практиці математичних та інших міркувань є поняття «необхідна умова» та «достатня умова». Умова називається необхідним,якщо воно випливає із ув'язнення (наслідки). Умова називається достатньою, якщо з неї випливає висновок (наслідок). В імплікації а ->b змінна ає основою. Вона називається антецедентом. Змінна b- Наслідком (висновком). Вона називається консеквентом.
Учням на уроках математики пропонуються завдання типу 1-4, що вимагають у кожному з наступних пропозицій замість крапки поставити слова: «необхідно» або «достатньо», або «необхідно і достатньо»:
1. Щоб сума двох цілих чисел була парним числом... щоб кожне доданок було парним.
2. Щоб число ділилося на 15 ... щоб воно ділилося на 5.
3. Для того, щоб твір (х- 3) (х+2) (х- 5) дорівнювало 0, ... щоб х= 3.
4. Для того щоб чотирикутник був прямокутником... щоб усі його кути дорівнювали 11 .
Хімічний склад клітини
Вуглець - характеристика елемента та хімічні властивості
Перевірна робота "основи вчення про біосферу"