Знаходження суми низки через інтегрування та диференціювання. Інтегрування та диференціювання статечних рядів

Ряди.

Основні визначення.

Визначення. Сума членів нескінченної числової послідовності називається числовим рядом.

При цьому числа називатимемо членами ряду, а u n- Спільним членом ряду.

Визначення. Суми , n = 1, 2, …називаються приватними (частковими) сумамиряду.

Таким чином, можна розглядати послідовності часткових сум ряду S 1 , S 2 , …, S n , …

Визначення. Ряд називається схожимякщо сходиться послідовність його приватних сум. Сума ряду, що сходить- Межа послідовності його приватних сум.

Визначення. Якщо послідовність приватних сум низки розходиться, тобто. не має межі, або має нескінченну межу, то ряд називається розбіжнимі йому не ставлять у відповідність жодної суми.

Властивості рядів.

1) Східність чи розбіжність ряду не порушиться якщо змінити, відкинути чи додати кінцеве число членів ряду.

2) Розглянемо два ряди і , де С - Постійне число.

Теорема. Якщо ряд сходиться та її сума дорівнює S, то ряд теж сходиться, та її сума дорівнює SS. (C ¹ 0)

3) Розглянемо два ряди та . Сумоюабо різницеюцих рядів буде називатися ряд , де елементи отримані в результаті складання (віднімання) вихідних елементів з однаковими номерами.

Теорема. Якщо ряди і сходяться та його суми рівні відповідно S і s, то ряд теж сходиться та її сума дорівнює S + s.

Різниця двох рядів, що сходяться також буде схожим рядом.

Сума ряду, що сходить і розходиться, буде розбіжним рядом.

Про суму двох рядів загального затвердження, що розходяться, зробити не можна.

Під час вивчення рядів вирішують переважно дві завдання: дослідження збіжність і перебування суми ряду.

Критерій Коші.

(Необхідні та достатні умови збіжності ряду)

Для того, щоб послідовність була схожою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого існував такий номер N, що при n > N і будь-якому p > 0, де р - ціле число, виконувалася б нерівність:

Доведення. (Необхідність)

Нехай тоді для будь-якого числа знайдеться номер N такий, що нерівність

Виконується за n>N. При n>N і будь-якому цілому p>0 виконується також нерівність. Враховуючи обидві нерівності, отримуємо:

Необхідність доведена. Доказ достатності не розглядатимемо.

Сформулюємо критерій Коші для низки.

Для того, щоб ряд був схожим, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого існував номер N такий, що при n>N і будь-якому p>0 виконувалася б нерівність

Проте, практично використовувати безпосередньо критерій Коші не дуже зручно. Тому зазвичай використовуються прості ознаки збіжності:

1) Якщо ряд сходиться, то необхідно, щоб спільний член u nпрагнув до нуля. Однак, ця умова не є достатньою. Можна говорити лише про те, що якщо загальний член не прагне нуля, то ряд точно розходиться. Наприклад, так званий гармонійний ряд є розбіжним, хоча його спільний член прагне до нуля.

приклад.Дослідити збіжність ряду

Знайдемо - необхідна ознака збіжності не виконується, отже, ряд розходиться.

2) Якщо ряд сходиться, то послідовність його приватних сум обмежена.

Однак, ця ознака також не є достатньою.

Наприклад, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +… розходиться, т.к. розходиться послідовність його приватних сум через те, що

Проте, у своїй послідовність приватних сум обмежена, т.к. за будь-якого n.

Ряди з невід'ємними членами.

Під час вивчення знакопостійних рядів обмежимося розглядом рядів із неотрицательными членами, т.к. при простому множенні на -1 із цих рядів можна отримати ряди з негативними членами.

Теорема. Для збіжності ряду з невід'ємними членами необхідно достатньо, щоб приватні суми ряду були обмежені.

Ознака порівняння рядів із невід'ємними членами.

Нехай дані два ряди і при u n , v n ³ 0.

Теорема. Якщо u n£ v nза будь-якого n, то зі збіжності ряду випливає збіжність ряду , а з розбіжності ряду слід розбіжність ряду.

Доведення. Позначимо через S nі s nприватні суми рядів та . Т.к. за умовою теореми ряд сходиться, його приватні суми обмежені, тобто. при всіх n s n< M, где М – некоторое число. Но т.к. u n£ v n, то S n£ s nто приватні суми ряду теж обмежені, а цього достатньо для збіжності.

приклад.

Т.к. , а гармонійний ряд розходиться, то розходиться і ряд.

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Т.к. , А ряд сходиться (як спадна геометрична прогресія), то ряд теж сходиться.

Також використовується така ознака збіжності:

Теорема. Якщо існує межа , де h – число, відмінне від нуля, то ряди і ведуть однаково у сенсі збіжності.

Ознака Даламбер.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

Якщо ряду з позитивними членами існує таке число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд сходиться, якщо для всіх досить великих n виконується умова

то ряд розходиться.

Гранична ознака Даламбер.

Гранична ознака Даламбера є наслідком наведеної вище ознаки Даламбера.

< 1 ряд сходится, а при r >1 – розходиться. Якщо r = 1, то питання про збіжності відповісти не можна.

приклад.Визначити збіжність ряду.

Висновок: ряд сходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду

Висновок: ряд сходиться.

Ознака Коші. (радикальна ознака)

Якщо ряду з неотрицательными членами існує таке число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд сходиться, якщо для всіх досить великих n виконується нерівність

то ряд розходиться.

Слідство. Якщо існує межа, то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд розходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду.

Висновок: ряд сходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду.

Тобто. ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність низки. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне нуля.

таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, отже ряд розходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Якщо j(х) – безперервна позитивна функція, що зменшується на проміжкуі те інтеграли і поводяться однаково у сенсі збіжності.

Знакозмінні ряди.

Знакорядні ряди.

Знак, що чергується, можна записати у вигляді:

Ознака Лейбниця.

Якщо в ряду, що чергається, абсолютні величини u i зменшуються і загальний член прагне до нуля , то ряд сходиться.

Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Розглянемо деякий знакозмінний ряд (з членами довільних знаків).

та ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (1):

Теорема. Зі збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

Доведення. Ряд (2) поруч із неотрицательными членами. Якщо ряд (2) сходиться, то за критерієм Коші для будь-якого e>0 існує число N, таке, що при n>N і будь-якому цілому p>0 вірна нерівність:

За якістю абсолютних величин:

Тобто за критерієм Коші зі збіжності ряду (2) слідує збіжність ряду (1).

Визначення. Ряд називається абсолютно схожимякщо сходиться ряд.

Очевидно, що для постійних рядів поняття збіжності і абсолютної збіжності збігаються.

Визначення. Ряд називається умовно схожимякщо він сходиться, а ряд розходиться.

Ознаки Даламбера та Коші для знакозмінних рядів.

Нехай - знакозмінний ряд.

Ознака Даламбер. Якщо існує межа, то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>

Ознака Коші. Якщо існує межа, то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд буде розбіжним. При r=1 ознака дає відповіді збіжності ряду.

Властивості рядів, що абсолютно сходяться.

1) Теорема. Для абсолютної збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб його можна було подати у вигляді різниці двох рядів, що сходяться, з невід'ємними членами.

Слідство. Умовно сходящийся ряд є різницею двох розбіжних рядів з невід'ємними членами, що прагнуть до нуля.

2) У ряді, що сходить, будь-яка угруповання членів ряду, що не змінює їх порядку, зберігає збіжність і величину ряду.

3) Якщо ряд сходить абсолютно, то ряд, отриманий з нього будь-якою перестановкою членів, також абсолютно сходить і має ту ж суму.

Перестановкою членів ряду, що умовно сходиться, можна отримати умовно сходящийся ряд, що має будь-яку наперед задану суму, і навіть розбіжний ряд.

4) Теорема. При будь-якому угрупованні членів абсолютно схожого ряду (при цьому число груп може бути як кінцевим, так і нескінченним і число членів у групі може бути як кінцевим, так і нескінченним) виходить ряд, що сходиться, сума якого дорівнює сумі вихідного ряду.

5) Якщо ряди і сходяться абсолютно та їх суми рівні відповідно Sі s, то ряд, складений з усіх творів виду взятих у будь-якому порядку, також сходиться абсолютно і його сума дорівнює S×s- Добутку сум перемножуваних рядів.

Якщо ж проводити перемноження рядів, що умовно сходяться, то в результаті можна отримати розбіжний ряд.

Функціональні послідовності.

Визначення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд називається функціональним.

Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше дослідження числових рядів. Один і той же функціональний ряд може при одних значеннях змінної хсходитися, а за інших – розходитися. Тому питання збіжності функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінної х, у яких ряд сходиться.

Сукупність таких значень називається областю збіжності.

Так як межею кожної функції, що входить в область збіжності ряду, є деяке число, межею функціональної послідовності буде деяка функція:

Визначення. Послідовність ( f n (x)} сходитьсядо функції f(x)на відрізку , якщо для будь-якого числа e>0 та будь-якої точки хз аналізованого відрізка існує номер N = N(e, x), такий, що нерівність

виконується при n>N.

При вибраному значенні e>0 кожній точці відрізка відповідає свій номер і, отже, номерів, що відповідають усім точкам відрізка, буде безліч. Якщо вибрати з усіх цих номерів найбільший, цей номер годиться всім точок відрізка , тобто. буде загальним для всіх точок.

Визначення. Послідовність ( f n (x)} поступово сходитьсядо функції f(x)на відрізку , якщо для будь-якого числа e>0 існує номер N = N(e), такий, що нерівність

виконується при n>N для всіх точок відрізка.

приклад.Розглянемо послідовність

Ця послідовність сходиться на всій числовій осі до функції f(x)=0, т.к.

Побудуємо графіки цієї послідовності:

Як видно, зі збільшенням числа nграфік послідовності наближається до осі х.

Функціональні лави.

Визначення.Приватними (частковими) сумамифункціонального ряду називаються функції

Визначення. Функціональний ряд називається схожиму точці ( х = х 0), якщо у цій точці сходиться послідовність його приватних сум. Межа послідовності називається сумоюряду в точці х 0.

Визначення. Сукупність усіх значень х, для яких сходиться ряд називається областю збіжностіряду.

Визначення. Ряд називається рівномірно схожимна відрізку , якщо рівномірно сходиться у цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряду.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряду)

Для рівномірної збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа e>0 існував такий номер N(e), що при n>N та будь-якому цілому p>0 нерівність

виконувалося б для всіх на відрізку.

Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейєрштраса)

(Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрас (1815 – 1897) – німецький математик)

Ряд сходиться рівномірно і до того ж абсолютно на відрізку , якщо модулі його членів тому ж відрізку вбираються у відповідних членів сходящегося числового низки з позитивними членами:

тобто. має місце нерівність:

Ще кажуть, що у цьому випадку функціональний ряд мажоруєтьсячисловим рядом.

2) Теорема про почленное інтегрування низки.

Поступово схожий на відрізку ряд із безперервними членами можна почленно інтегрувати у цьому відрізку, тобто. ряд, складений з інтегралів від його членів по відрізку, сходить до інтегралу від суми ряду по цьому відрізку.

3) Теорема про почленное диференціювання низки.

Якщо члени ряду схожого на відрізку є безперервні функції, що мають безперервні похідні, і ряд, складений з цих похідних сходить на цьому відрізку рівномірно, то і даний ряд сходить рівномірно і його можна диференціювати почленно.

На основі того, що сума ряду є деякою функцією від змінної х, можна проводити операцію уявлення який – або функції як ряду (розкладання функції до ряду), що має широке застосування при інтегруванні, диференціювання та інших процесах з функціями.

(Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)

Теорема. Якщо статечний ряд сходиться при x = x 1 , він сходиться і до того ж абсолютно всім .

Доведення. За умовою теореми, оскільки члени низки обмежені, то

де k- Деяке постійне число. Справедлива наступна нерівність:

З цієї нерівності видно, що за x чисельні величини членів нашого ряду будуть меншими (принаймні не більшими) відповідних членів ряду правої частини записаної вище нерівності, які утворюють геометричну прогресію. Знаменник цієї прогресії за умовою теореми менше одиниці, отже, ця прогресія є схожим рядом.

Тому на підставі ознаки порівняння робимо висновок, що ряд сходиться, а значить ряд

СТУПЕНІ РЯДИ Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеннбго ряду Рівномірна збіжність степеневого ряду і безперервність його суми Інтегрування статечних рядів Диференціювання степеневих рядів Умови розкладання функції в ряд Тейлора елементарних функцій Таблиця розкладів у степеневих рядах
Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеннбго ряду Ступіньним рядом називається функціональний ряд виду (про або виду (2) де коефіцієнти. - Постійні. Ряд (2) формальною заміною х - х<> х зводиться до ряду (1). Ступінний ряд (1) завжди сходить у точці х = 0, а ряд (2) - у точці х0, та їх сума в цих точках дорівнює со. приклад. Ряди є стеленими рядами. З'ясуємо вид області збіжності статечного ряду. Теорема 1 (Абель). Якщо статечний ряд сходиться при, то він сходиться абсолютно для всіх х таких, що якщо степеневий ряд розходиться при х = xi, то він розходиться при будь-якому х, для якого нехай степеневий ряд СХОДИТЬСЯ При. сходиться числовий ряд СТІПЕННІ РЯДИ Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеннбго ряду Рівномірна збіжність степеневого ряду і безперервність його суми Інтегрування статечних рядів Диференціювання степеневих рядів Умови розкладання функції в ряд Тейлора елементарних функцій Таблиця розкладів у степеневих рядах Звідси випливає, що отже, існує таке, що М всім п. Розглянемо ряд де і оцінимо його спільний член. Маємо дід = . Але ряд складений із членів геометричної прогресії зі знаменником q, де означає, сходиться. З ознаки порівняння ряд 2 |з„:гп| сходить у будь-якій точці х, для якої. Отже, статечний ряд абсолютно сходиться ДЛЯ Нехай тепер степеневий ряд точки О), які відокремлюють інтервали розбіжності від інтервалу збіжності. Має місце така теорема. Теорема 2. Нехай статечний ряд сходиться в точці х Ф 0. Тоді або цей ряд абсолютно сходиться в кожній точці числовий прямий, або існує число R > Про таке, що ряд сходиться абсолютно при і розходиться при розходиться. Абс. сходитьсяРасходится д Мал. 1 Визначення. Інтервалом збіжності статечного ряду називається інтервал (-R, Я), де R > 0, такий, що в кожній точці х € (-Д, R) ряд абсолютно збігається, а в точках х таких, що | я | > R, ряд розходиться. Число R називається радіусом збіжності статечного ряду. Зауваження. Що стосується кінців інтервалу збіжності (-R, Я), то можливі наступні три випадки: I) статечний ряд сходиться як у точці х = -R, так і в точці х = R, 2) статечний ряд розходиться в обох точках, 3) степеневий ряд сходиться в одному кінці інтервалу збіжності і розходиться в іншому. Зауваження. Для доказу формули (3) розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду Застосовуючи до цього ряду ознака Даламбера, знаходимо Звідси слід, що ряд (4) буде сходитися якщо і розходитися, якщо. степеневий ряд сходиться абсолютно для всіх таких, що і розходиться при. За визначенням радіуса збіжності отримуємо, що Радіус збіжності статечного ряду можна знаходити також за формулою, якщо існує кінцева межа Формулу (5) легко отримати, використовуючи ознаку Коші. Якщо статечний ряд сходиться тільки в точці х = 0, то кажуть, що його радіус збіжності R = 0 (це можливо, наприклад, при lim Ь^Д = оо або Якщо степеневий ряд сходиться у всіх точках числової осі, то вважають R = + оо (це має місце, наприклад, при lim п^р = 0 або областю збіжності статечного ряду може виявитися або інтервал (або відрізок [, або один з напівінтервалів (ж0 - R,x0 + Д) або [. Якщо R = + оо, то областю збіжності ряду буде вся числова вісь, тобто інтервал (-оо, +оо) Для пошуку області збіжності статечного ряду потрібно спочатку обчислити його радіус збіжності R (наприклад, по одній з наведених вище формул) і тим самим знайти інтервал збіжності точки О), які відокремлюють інтервали розбіжності від інтервалу збіжності.Має місце наступна теорема. Про таке, що ряд сходиться абсолютно при і розходиться при | ється. Абс. сходиться Розходиться Визначення. Інтервалом збіжності статечного ряду називається інтервал (-R, Я), де R > 0, такий, що в кожній точці х € (-Д, R) ряд абсолютно збігається, а в точках х таких, що | я | > R, ряд розходиться. Число R називається радіусом збіжності статечного ряду. Зауваження. Що стосується кінців інтервалу збіжності (-R, Я), то можливі наступні три випадки: I) статечний ряд сходиться як у точці х = -R, так і в точці х = R, 2) статечний ряд розходиться в обох точках, 3) степеневий ряд сходиться в одному кінці інтервалу збіжності і розходиться в іншому. Зауваження. Для доказу формули (3) розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду Застосовуючи до цього ряду ознака Даламбера, знаходимо Звідси слід, що ряд (4) буде сходитися , якщо \, і розходитися, якщо, тобто статечний ряд сходиться абсолютно для всіх таких, що і розходиться при \. За визначенням радіусу збіжності отримуємо, що R = £, тобто СТІПЕННІ РЯДИ Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеннбго ряду Рівномірна збіжність степеневого ряду і безперервність його суми Інтегрування статечних рядів Диференціювання степеневих рядів Умови розкладання функції в ряд Тейлора елементарних функцій Таблиця розкладів у степеневих рядах Радіус збіжності статечного ряду можна знаходити також за формулою, якщо існує кінцева межа Формулу (5) легко отримати, використовуючи ознаку Коші. Якщо статечний ряд сходиться тільки в точці х = 0, то кажуть, що його радіус збіжності R = 0 (це можливо, наприклад, при lim Ь^Д = оо або. Якщо степеневий ряд сходиться у всіх точках числової осі, то вважають R = +оо (це має місце, наприклад, при Області збіжності статечного ряду може виявитися або інтервал (або відрізок), або один з напівінтервалів (ж0 - R,x0 + Д) або [. Якщо R = +оо, то областю збіжності ряду буде вся числова вісь, тобто інтервал (-оо, +оо) Для пошуку області збіжності статечного ряду потрібно спочатку обчислити його радіус збіжності R (наприклад, по одній з наведених вище формул) і тим самим знайти інтервал збіжності в якому ряд абсолютно сходиться, потім - досліджувати.збіжність ряду в.кінцях інтервалу збіжності - в точках х = хо - R, х = xq + R. Приклад 1. Знайти область збіжності статечного ряду М 1) Для знаходження радіусу збіжності R даного ряду зручно застосувати формулу (3).Так як будемо мати Ряд сходиться абсолютно на інтервалі 2) Досліду єм збіжність ряду (6) в кінцях інтервалу збіжності. Поклавши х = -1, отримаємо числовий ряд розбіжність якого очевидна (не виконано необхідну ознаку збіжності: . При х - 1 отримаємо числовий ряд для якого не існує, а значить, цей ряд розходиться. Отже, область збіжності ряду (6) є інтервал Приклад 2. Знайти область збіжності ряду М 1) Радіус збіжності знаходимо за формулою (3). Маємо ряд (7) сходиться абсолютно на інтервалі, звідки отримаємо числовий ряд який розходиться (гармонічний ряд). При х = 0 матимемо числовий ряд схожий умовно. Таким чином, ряд (7) збігається в області Приклад 3. Знайти інтервал збіжності ряду Так як = , то для знаходження радіусу збіжності застосуємо формулу Це означає, що цей ряд збігається за всіх значень х, тобто. областю збіжності є інтервал Приклад 4. Знайти інтервал збіжності ряду, то отримаємо рівність R = 0 означає, що ряд (8) сходиться лише у точці. е. область збіжності даного статечного ряду складається з однієї точки §2. Рівномірна збіжність статечного ряду і безперервність його суми Теорема 1. Ступіньовий ряд сходиться абсолютно і рівномірно на будь-якому відрізку, що міститься в інтервалі збіжності ряду. Тоді для всіх, що задовольняють умові, і для будь-якого п =. матимемо. Але оскільки числовий ряд сходиться, то за ознакою Вейєрштрасса цей статечний ряд сходиться на відрізку абсолютно і рівномірно. Теорема 2. Сума статечного ряду безперервна в кожній точці його інтервалу збіжності (4 Будь-яку точку ж з інтервалу збіжності (-Д, R) можна укласти в деякий відрізок, на якому даний ряд сходиться рівномірно. Так як члени ряду безперервні, то його сума S(x) буде безперервною на відрізку [-а, а], а значить, і в точці х. Інтегрування статечних рядів Теорема 3 (про почленное інтегрування статечного ряду). ), R > О, причому радіус збіжності ряду, отриманого почленним інтегруванням, також дорівнює R. Зокрема, для будь-якого х з інтервалу (-R, R) справедлива формула Будь-яку точку х з інтервалу збіжності (-Д, R) можна укласти в Деякий відрізок [-а, а], де На цьому відрізку цей ряд буде сходитися рівномірно, а оскільки члени ряду безперервні, то його можна почленно інтегрувати, наприклад, в межах від 0 до ж. Знайдемо радіус збіжності R" отриманого ряду СТІПЕННІ Р ОТРУТИ Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеннбго ряду Рівномірна збіжність степеневого ряду і безперервність його суми Інтегрування статечних рядів Диференціювання степеневих рядів Умови розкладання функції в ряд Тейлора елементарних функцій Таблиця розкладів у степеневих рядах Отже, радіус збіжності статечного ряду при інтегруванні не змінюється. Зауваження. Твердження теореми залишається справедливим і за Я = +оо. §4. Диференціювання статечних рядів Теорема 4 (про почленное диференціювання статечного ряду). Ступіньний ряд можна диференціювати почленно в будь-якій точці х його інтервалу збіжності 4 Нехай R - радіус збіжності ряду a R" - радіус збіжності ряду Припустимо, що існує (кінцева або нескінченна) межа Знайдемо радіус В! ряду де Маємо Тим самим, радіуси збіжності рядів ( 1) і (2) рівні Позначимо суму ряду (2) через Ряди (1) і (2) рівномірно сходяться на будь-якому відрізку [-а, а|, де. При цьому всі члени ряду (2) безперервні і є похідними відповідних членів ряду (1) Тому, відповідно до теореми 5 глави XVIII, на відрізку [-а, а) виконується рівність.У силу довільності а остання рівність виконана і на інтервалі Слідспі.Степеневий ряд Визначення. розкладається в статечний ряд ]Г) СпХп на інтервалі, якщо на цьому інтервалі зазначений ряд сходиться і його сума дорівнює /(ж): Доведемо спочатку, що функція /(ж) не може мати двох різних розкладів у степеневий ряд виду Теорема 5. Якщо функція /(ж) на інтервалі (-R, R) розкладається в статечний ряд (1), то це розкладання єдине, тобто коефіцієнти ряду (1) за його сумою визначаються однозначно. Нехай функція в інтервалі розкладена в степеневий ряд, що сходиться Диференціюючи цей ряд почленно п разів, знайдемо При ж = 0 отримуємо звідки Таким чином, коефіцієнти статечного ряду (1) формулою (2) визначаються однозначно. Зауваження. Якщо функція /(х) розкладена в статечний ряд за ступенями різниці x-zq, то коефіцієнти з цього ряду визначаються формулами. Нехай функція / має похідні всіх порядків. є нескінченно диференційованою у точці жо. Складемо дня цієї функції формальний статечний ряд, обчисливши його коефіцієнти за формулою (3). §5. Визначення. Поряд Тейлора функції /(х) щодо точки х0 називається степеневою ряд виду (тут. Коефіцієнти цього ряду.. називаються коефіцієнтами Тейлора функції. При хо = 0 ряд Тейлора називають рядом Маклорена. З теореми 5 випливає наступне твердження. Теорема б. Якщо на інтервалі функція /(х) розкладається в статечний ряд то цей ряд є рядом Тейлора функції /(х) Приклад 1. Розглянемо функцію і знайдемо її похідні. де Pjn (i) - багаточлен ступеня 3п щодо j. Покажемо тепер, що в точці 2 = 0 дана функція також має похідні будь-якого порядку, причому всі вони дорівнюють нулю. Таким чином, задана функція має на числовій осі похідні всіх порядків.Побудуємо формальний ряд Тейлора вихідної функції щодо точки z0 = Маємо. сума цього ряду тотожно дорівнює нулю, тоді як сама функція f(x) тотожно дорівнює нулю не є. ^ Про цей приклад варто згадати при обговоренні комплексного аналізу (аналітичності): функція, зовні цілком пристойна, виявляє на справжній осі примхливий характер, що є наслідком неприємностей на уявній осі. Формально побудований у прикладі для заданої нескінченно диференційованої функції ряд збігається, але його сума не збігається зі значеннями цієї функції при х Ф 0. У зв'язку з цим виникає природне питання: яким умовам повинна задовольняти функція f(x) на інтервалі (ЖО - R, xo + R), щоб її можна було розкласти в ряд Тейлора, що сходить до неї? Умови розкладності функції в ряд Тейлора Для простоти будемо розглядати статечний ряд виду т. е. ряд Маклорена. Теорема 7. Для того, щоб функцію f(x) можна було розкласти в статечний ряд на інтервалі (-R, R), необхідно і достатньо, щоб на цьому інтервалі функція f(x) мала похідні всіх порядків і щоб у її формулі Тейлора залишковий член Rn(x) прагнув до нуля при всім м Необхідність. Нехай на інтервалі (функція f(x) розкладається в статечний ряд тобто ряд (2) сходиться і його сума дорівнює f(x). Тоді за теоремою 4 і наслідком з неї функція f(x) має на інтервалі (-R , R) похідні /(п^(х) всіх порядків. По теоремі 5 (формула (2)) коефіцієнти ряду (2) мають вигляд тобто ми можемо написати рівність В силу збіжності цього ряду на інтервалі (-R, R ) його залишок 0 прагне до нуля при п оо для всіх х Достатність. х € (-Д, R).Оскільки при п -» оо. Оскільки в квадратних дужках записана n-я часткова сума ряду Тейлора, то формула (4) означає, що ряд Тейлора функції f(x) сходить на інтервалі (-Д , R) та його сумою є функція f(x). можна було ра скласти в статечний ряд достатньо, щоб функція f(x) мала на цьому інтервалі похідні всіх порядків і щоб існувала постійна М > Про така, що. Нехай функція f(x) має інтервалі (-Д, R) похідні всіх порядків. Тоді їй можна формально написати ряд Тейлора Доведемо, що він сходить до функції f(x). Для цього достатньо показати, що залишковий член у формулі Тейлора (1) прагне нуля при п оо для всіх х € (-Д, R). Справді, враховуючи, що). Числовий ряд збігається з ознаки Даламбера: з необхідного ознаки збіжності. З нерівності (3) одержуємо! ця функція янної М, від § б. Ряди Тейлора елементарних функцій Розглянемо розкладання до ряду основних елементарних функцій. 6 Ця функція має похідні всіх порядків на інтервалі (- будь-яке число, причому Отже, показова функція ех розкладається в ряд Тейлора на будь-якому інтервалі (-а, а) і, тим самим, на всій осі Ох. Так, то отримуємо ряд Якщо у розкладанні (1) замінити ж на -а*, то будемо мати Дана функція має похідні будь-якого порядку, причому.Тим самим, по теоремі 8 функція sin ж розкладається в ряд Тейлора, що сходить до неї на інтервалі (-оо, +оо). Так як цей ряд має наступний вид Радіус збіжності ряду Аналогічно отримуємо, що - будь-яке дійсне число Ця функція задовольняє співвідношенню і умові Будемо шукати статечний ряд, сума якого 5(ж) задовольняє співвідношенню (4) і умові 5(0) = 1. Покладемо Звідси знаходимо Підставляючи співвідношення (5) і (6) у формулу (4), матимемо Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х у лівій та правій частинах рівності, отримаємо звідки знаходимо СТУПЕНІ РЯДИ Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеннбго ряду Рівномірна збіжність степеневого ряду і безперервність його суми Інтегрування статечних рядів Диференціювання степеневих рядів Умови розкладання функції в ряд Тейлора елементарних функцій Таблиця розкладів у степеневих рядах Підставляючи ці значення коефіцієнтів співвідношення (5), отримаємо ряд Знайдемо радіус збіжності ряду (7) у разі, коли а не є натуральним числом. Отже, ряд (7) сходиться при. е. на інтервалі Доведемо, що сума 5(ж) ряду (7) на інтервалі (-1,1) дорівнює (1 + ж) °. Для цього розглянемо ставлення Так як 5(х) задовольняє співвідношенню (то для похідної функції ф(х) отримуємо: для. Звідси випливає, що. Зокрема, при х = 0 маємо і значить, або Отриманий ряд називається біноміальним, а його коефіцієнти - біноміальними коефіцієнтами Зауваження: Якщо а - натуральне число (о = г), функція (1 + z)a буде багаточленом п-го ступеня, і Дп(х) = 0 для всіх п > а. два розкладання При а = -1 матимемо Замінивши ж на -ж в останній рівності, отримаємо отримання розкладання цієї функції в ряд Тейлора за ступенями ж проінтегруємо, енство (9) в межах про Рівність (11) справедливо в інтервалі. ж на -ж, отримаємо ряд Можна довести, що рівність (11) справедлива і для ж = 1: Таблиця розкладів у статечний ряд (ряд Маклорена) основних елементарних функцій. на прикладах, як це робиться Приклад 1. Розкласти функцію 4-х у статечній р отрута на околиці точки xq = 2, т. е. за ступенями різниці z -2. Перетворимо цю функцію так, щоб можна було використовувати ряд (10) для функції Маємо. Замінюючи у формулі (10) х на ^. отримаємо I I Це розкладання справедливе, коли виконано будь-яку з еквівалентних нерівностей Приклад 2. Розкласти за ступенями х функцію, використовуючи формулу (10). 4 Розкладаючи знаменник на множники, представимо цю раціональну функцію у вигляді різниці двох найпростіших дробів. Після простих перетворень отримаємо 1 До кожного доданку в правій частині рівності (13) застосовуємо формулу (10), в результаті чого отримаємо статечні ряди Ряд (14) сходиться для ряд (15) сходиться для 2. Обидва ряди (14) і (15) сходитимуться одночасно для \. Оскільки в інтервалі (-1,1) ряди (14) і (15) сходяться, їх можна почленно віднімати. В результаті ми отримаємо шуканий статечний ряд радіус збіжності якого дорівнює R = 1. Цей ряд сходиться абсолютно для прикладу 3. Розкласти в ряд Тейлора в околиці точки хо = 0 функцію arcsin х. 4 Відомо, що Застосуємо до функції (формулу (8). замінюючи в ній х на -х 2. В результаті для одержуємо інтефуючи обидві частини останньої рівності від нуля до х (почленное інтегрування законно, тому що степеневий ряд рівномірно сходиться на будь-якому відрізку з кінцями). У точках 0 і х, що лежить в інтервалі (-1,1)), знайдемо або Призначимо кілька прикладів. Приклад 4. Обчислити інтеграл (інтегральний синус) , Відомо, що першорядна для функції ^ не виражається через елементарні функції. t при t ф Про законно.Рівність (17) зберігається і якщо вважати, що при t = Про відношення - = 1. Тим самим, ряд (17) сходиться при всіх значеннях.Інтегруючи його почленно, отримаємо Отриманий ряд ний, так що похибка при заміні його суми частковою сумою оцінюється просто. Приклад 5. Обчислити інтеграл Тут первісна для підінтегральної функції також не є елементарною функцією. Для обчислення інтеграла замінимо у формулі Отримаємо Проінтегруємо обидві частини цієї рівності в межах від 0 до х: Цей ряд сходиться при будь-яких г (його радіус збіжності R = +оо) і є знаком черги при Вправи Знайдіть область збіжності статечних рядів: Розкладіть наступні функції в ряд Маклорея та вкажіть області збіжності отриманих рядів: Вказівка. Скористайтеся таблицею. Користуючись таблицею, розкладіть задані функції до ряду Тейлора за ступенями х - х0 та вкажіть інтервали збіжності отриманих рядів.

Елементи семантичної структури

Семантична структура речення.

(це питання – на самостійне вивчення!)

Цей тип аналізу пов'язує смислову організацію речення з його формальною організацією. Цей напрямок висунув поняття семантичної структури пропозиції (насамперед – Н.Ю. Шведова).

Структурна схема має власну семантику, що створюється формальними значеннями компонентів, правилами їх лексичного наповнення та ставленням компонентів друг до друга (в неоднокомпонентних схемах).

Мовне значення побудованої за тим чи іншим зразком конкретної пропозиції формується взаємною дією семантики цього зразка та лексичної семантики тих слів, які зайняли позиції його компонентів: Учень пише; дитина радіє за загальної семантиці МСС («ставлення між суб'єктом та її предикативним ознакою – дією чи процесуальним станом») у першому випадку представлено значення «ставлення між суб'єктом та її конкретною дією», у другому випадку – «ставлення між суб'єктом та її емоційним станом» .

Функціональні ряди виду де (коефіцієнти ряду) та (центр ряду) – постійні, змінна, називаються статечними рядами.Ясно, що якщо ми навчимося обчислювати область збіжності статечного ряду (з центром), то легко знайдемо і область збіжності вихідного ряду.

Теорема Абеля.Якщо статечний ряд сходиться в точці, то він сходиться абсолютно і в інтервалі. На будь-якому відрізку зазначений ряд сходиться рівномірно.

Доведення.Оскільки ряд сходиться, його спільний член тому послідовність обмежена, тобто. існує постійна така, що

Хай тепер. Тоді матимемо

Оскільки геометрична прогресія сходиться (), то по першій теоремі порівняння сходиться і ряд. Перша частина теореми доведена.

Так як по доведеному ряд сходиться і він мажорує при ряд, то по теоремі Вейерштрасса останній ряд сходиться рівномірно при Теорема повністю доведена.

З теореми Абеля випливає, що ми можемо розширювати інтервал до тих пір, поки настане момент, як у точці ряд буде розходитися (чи такий момент взагалі настане, тобто.). Тоді зазначений інтервал буде областю збіжності ряду Таким чином, будь-який статечний ряд має як область збіжності не довільну множину, а саме інтервал. Дамо більш точне визначення інтервалу збіжності.

Визначення 2.Число називається радіусом збіжностіряду, якщо всередині інтервалу цей ряд сходиться абсолютно, а поза відрізком він розходиться. При цьому інтервал називається інтервалом збіжностіряду.

Зауважимо, що при зазначений статечний ряд сходиться тільки в точці, а при він сходиться при всіх дійсних. Наступні приклади показують, що ці випадки не виключаються: як сходитися, і розходитися. Наприклад, ряд сходиться умовно у точці та розходиться у точці

З властивостей функціональних рядів, що рівномірно сходяться (теореми 1-3) легко виводяться такі властивості статечних рядів.

Теорема 4.Нехай – радіус збіжності статечного ряду. Тоді мають місце такі висловлювання:

1. Сума даного статечного ряду безперервна в інтервалі збіжності;

2. Якщо - радіус збіжності статечного ряду, то ряд з похідних буде мати той же радіус збіжності.

3. Ступіньовий ряд можна інтегрувати на будь-якому відрізку лежачому всередині його інтервалу збіжності, тобто.

ДоведенняНаприклад, перша властивість буде такою. Нехай довільна точка інтервалу збіжності . Оточимо цю точку симетричним відрізком По теоремі Абеля ряд сходить рівномірно на відрізку, тому його сума безперервна на зазначеному відрізку, а значить, безперервна, зокрема, і в точці Властивість 1 доведено. Аналогічно доводяться та інші характеристики нашої теореми.

Тепер займемося обчисленням радіусу збіжності статечного ряду за його коефіцієнтами.

Теорема 4 . Нехай виконано хоча б одну з таких умов:

а) існує (кінцева або нескінченна) межа

б) існує (кінцева чи нескінченна) межа (при цьому передбачається, існує номер такий, що).

Тоді число радіусу збіжності ряду.

Доведенняпроведемо для випадку а). Застосуємо до модульного ряду ознаку Коші: За вказаною ознакою ряд сходить абсолютно, якщо число тобто. Якщо ж тобто. якщо вказаний ряд розходиться. Отже, радіус збіжності низки. Теорему доведено.

Зауваження 1.Теорема 1-4 практично без зміни формулювань переносяться і на статечні ряди виду (з невеликою поправкою, що в цьому випадку областю збіжності є інтервал).

приклад 1.Знайти область збіжності ряду ( завдання 10, Т.Р.,Кузнєцов Л.А.)

Рішення.Застосуємо аналог а) теореми Коші: радіус збіжності цього ряду. Значить, ряд сходиться абсолютно в області

Досліджуємо збіжність низки кінцях інтервалу. Маємо

розходиться, т.к.

розходиться, т.к.

Отже, областю збіжності вихідного ряду є інтервал.

Визначення. Функціональний ряд виду

де … – дійсні числа, називається статечним рядом.

Областю абсолютної збіжності ряду є інтервал , де число R- Радіус збіжності.

Нехай статечний ряд має радіус збіжності R > 0. Тоді справедливі такі положення:

1. Сума ряду є безперервною функцією від xу всьому інтервалі збіжності.

2. Ряд рівномірно сходиться на будь-якому відрізку, де .

3. Ряд можна почленно інтегрувати за будь-яким відрізком, що лежить всередині інтервалу.

4. Ряд можна почленно диференціювати у будь-якій точці скільки завгодно разів.

Примітки:

1. При почленном інтегруванні чи диференціюванні статечного ряду виходять нові статечні ряди, у своїй їх радіус збіжності залишається той самий.

2. Радіус збіжності статечного ряду можна знайти за однією з формул:

, (10)

(11)

за умови, що ці межі існують, – коефіцієнт ряду.

Завдання 17.31

Знайти суму ряду .

Рішення:

I спосіб. Знайдемо інтервал збіжності ряду:

, , .

Спростимо раціональний дріб , .

Тоді ряд може бути представлений різницею двох рядів:

Схожість кожного з них залишається та ж (переконайтеся в цьому самостійно). Тому рівність має місце. Позначимо суми рядів відповідно і , а шукану суму – через , .

Знайдемо суму першого ряду:

Диференціюючи почленно ряд всередині інтервалу збіжності, отримаємо: ; є геометричною прогресією зі знаменником .

При прогресії сходиться, , , і сума дорівнює: ; . Тепер, інтегруючи на відрізку, що лежить всередині інтервалу збіжності, отримаємо:

.

Знайдемо суму другого ряду:

Виконаємо перетворення:

Позначимо суму ряду, що стоїть у дужках, через і продиференціюємо в інтервалі:

– це також геометрична прогресія.

, , ;

.

Отже, сума вихідного ряду дорівнює:

або
для .

II спосіб. Не повторюючи подробиць I способу, пов'язаних з інтервалом збіжності даного ряду, пропонуємо варіант II рішення задачі. Позначимо суму ряду через: .

Помножимо на цей ряд: . Продиференціюємо двічі отриманий ряд:

,

Являє собою геометричну прогресію зі знаменником тоді . Проінтегруємо на відрізку:

Інтегруючи частинами, отримаємо:

для .

Завдання 18.31

Знайти суму ряду .

Рішення:

Цей ряд сходиться в інтервалі (переконайтеся в цьому самостійно). Перепишемо його, подавши у вигляді суми трьох рядів:

Це можливо, тому що кожен з рядів має ту саму область збіжності - інтервал. Позначимо суми трьох рядів відповідно через , , , а суму – через .

як сума членів геометричної прогресії зі знаменником

Виконаємо перетворення:

Позначимо через суму ряду.

Інтегруючи почленно цей ряд на відрізку всередині інтервалу збіжності, отримаємо:

Щоб знайти, треба продиференціювати дріб:

.

Отже, .

Тепер знайдемо:

Винесемо за дужки:

Позначимо через суму ряду, що стоїть у дужках. Тоді

У цих дужках стоїть ряд, сума якого знайдена: . Отримуємо: .

Але , . Тоді сума вихідного ряду

Отже, для .

Ряд Тейлора

Визначення. Ряд

називається поруч Тейлора за ступенями для функції.

Функція може бути розкладена в ряд Тейлора, якщо в точці, що розглядається, вона має похідні всіх порядків і якщо залишковий член в точці при прагне до нуля. При ряді Тейлора називають іноді поруч Маклорена.

Теорема

Якщо функція розкладається в статечний ряд, то для неї цей ряд єдиний і є поруч Тейлора.

Примітка. Знаходячи послідовно похідні функції та його значення у точці , можна записати ряд Тейлора. Але при цьому дослідження залишкового члена становить великі труднощі. Тому часто йдуть іншим шляхом: користуються готовими розкладаннями основних елементарних функцій у статечні ряди в комбінаціях з правилами додавання, віднімання, множення рядів і теоремами про їх інтегрування та диференціювання, як це, наприклад, було показано в задачах 17.31 та 18.31.

Завдання 19.31

Розкласти функцію в ряд Тейлора за ступенями.

Рішення:

х 0 = 0. Скористаємось приміткою. Так як

то функція спрощується, якщо застосувати метод невизначених коефіцієнтів:

.

Сума членів геометричної прогресії зі знаменником дорівнює: . У нашому випадку . - Радіус збіжності цього ряду. Доданок ,

Складаючи ряди, отримаємо: або де - загальна область збіжності. Цілком лежить в області збіжності ряду.

Щоб обчислити даний інтеграл з точністю до 0,001, треба взяти в отриманому ряді два його члени (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Таким чином,

Запитання для самоперевірки

Числові ряди

1. Дайте визначення рядків, що сходяться і розходяться.

2. Сформулюйте необхідну ознаку збіжності ряду.

3. Сформулюйте достатні ознаки збіжності рядів із позитивними членами: порівняння рядів із позитивними членами; ознака Даламбер; радикальна ознака Коші, інтегральна ознака Коші.

4. Дайте визначення ряду, що абсолютно сходить. Сформулюйте властивості рядів, що абсолютно сходяться.

5. Сформулюйте ознаку Лейбніца.

Функціональні ряди

6. Дайте визначення області збіжності функціонального ряду.

7. Який ряд називається таким, що рівномірно сходить?

8. Сформулюйте ознаку Вейєрстраса.

9. Умови розкладності функції до ряду Тейлора.

10. Сформулюйте теореми про інтегрування та диференціювання статечних рядів.

11. Викладіть метод наближеного обчислення певних інтегралів за допомогою рядів.

1. Кудрявцев Л.Д. Стислий курс математичного аналізу. - М.: Наука, 1989. - 736 с.

2. Бугр Я.С. Диференціальне та інтегральне обчислення / Я.С. Бугров, С.М. Микільський. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

3. Шмельов П.А. Теорія рядів у завданнях та вправах. - М.: Вища школа, 1983. - 176 с.

4. Піскунов Н.С. Диференційне та інтегральне обчислення для втузів. Т. 2. - М.: Наука, 1985. - 576 с.

5. Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального та інтегрального обчислення. Т. 2. - М.: Фізматгіз, 1962. - 808 с.

6. Запорожець Г.І. Керівництво до вирішення задач з математичного аналізу. - М.: Вища школа, 1966. - 460 с.

7. Кузнєцов Л.А. Збірник завдань із вищої математики (ТР). - М.: Вища школа, 1983. - 174 с.

8. Данко П.Є. Вища математика у вправах та завданнях. Ч. 2/П.Є. Данко, О.Г. Попов, Т.Я. Кожевнікова. - М.: Вища школа, 1986. - 415 с.

9. Бронштейн І.М. Довідник з математики для інженерів та учнів втузів / І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

Навчальне видання

БородінМикола Павлович

ЖорноваВарвара Вікторівна

ШуметоваЛюдмила Вікторівна

ШоркінВолодимир Сергійович

РЯДИ

Навчально-методичний посібник

Редактор Т.Д. Васильєва

Технічний редактор Т.П. Прокудіна

Орловський державний технічний університет

Ліцензія ВД № 00670 від 05.01.2000

Підписано до друку 26.08.2004 р. Формат 60 x 84 1/16.

Друк офсетний. Уч.-вид. л. 1,9. Ум. піч. л. 2.4. Тираж 500 екз.

Замовлення №____

Надруковано з готового оригінал-макета

на поліграфічній базі ОрелДТУ,

302030, м. Орел, вул. Московська, 65.