Основне тригонометричне тотожність. Презентація до уроку з алгебри (9 клас) на тему: Презентація до уроку: "Основні тригонометричні тотожності

Тригонометричні функції- запит «sin» перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія

Tan

Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …

Косінус- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …

Котангенс- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …

Секанс- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …

Історія тригонометрії- Геодезичні виміри (XVII століття) … Вікіпедія

Формула тангенсу половинного кута- У тригонометрії, формула тангенсу половинного кута пов'язує тангенс половинного кута з тригонометричними функціями повного кута: Різні варіації цієї формули виглядають наступним чином… Вікіпедія

Тригонометрія- (Від грец. τρίγονο (трикутник) і грец. μετρειν (вимірювати), тобто вимір трикутників) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Даний термін вперше з'явився в 1595 р. як ... Вікіпедія

Рішення трикутників- (Лат. Solutio triangulorum) історичний термін, що означає рішення головної тригонометричної задачі: за відомими даними про трикутник (сторони, кути і т. д.) знайти інші його характеристики. Трикутник може розташовуватись на … … Вікіпедія

Книги

• Набір таблиць. Алгебра та початку аналізу. 10 клас. 17 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними порадами для вчителя. Навчальний альбом із 17 аркушів.… Купити за 3944 руб
• Таблиці інтегралів та інші математичні формули , Двайт Г.Б.

Це останній і найголовніший урок, необхідний вирішення завдань B11. Ми вже знаємо, як переводити кути з радіанної міри в градусну (див. урок « Радіанний і градусний захід кута»), а також вміємо визначати знак тригонометричної функції, орієнтуючись за координатними чвертями (див. урок « Знаки тригонометричних функцій »).

Справа залишилася за малим: обчислити значення самої функції - те саме число, що записується у відповідь. Тут на допомогу приходить основне тригонометричне тотожність.

Основне тригонометричне тотожність. Для будь-якого кута α правильне твердження:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ця формула пов'язує синус та косинус одного кута. Тепер, знаючи синус, ми легко знайдемо косинус – і навпаки. Достатньо витягти квадратний корінь:

Зверніть увагу на знак «±» перед корінням. Справа в тому, що з основного тригонометричного тотожності незрозуміло, яким був вихідний синус і косинус: позитивним чи негативним. Адже зведення у квадрат – парна функція, яка «спалює» всі мінуси (якщо вони були).

Саме тому у всіх завданнях В11, які зустрічаються в ЄДІ з математики, обов'язково є додаткові умови, які допомагають позбавитися невизначеності зі знаками. Зазвичай це вказівку на координатну чверть, якою можна визначити знак.

Уважний читач напевно запитає: «А як бути з тангенсом та котангенсом?» Безпосередньо обчислити ці функції з наведених вище формул не можна. Однак існують важливі наслідки з основної тригонометричної тотожності, які вже містять тангенси та котангенси. А саме:

Для будь-якого кута α можна переписати основне тригонометричне тотожність таким чином:

Ці рівняння легко виводяться з основної тотожності - достатньо розділити обидві сторони на cos 2 α (для отримання тангенсу) або на sin 2 α (для котангенсу).

Розглянемо це на конкретних прикладах. Нижче наведені справжні завдання B11, які взяті із пробних варіантів ЄДІ з математики 2012 року.

Нам відомий косинус, але невідомий синус. Основне тригонометричне тотожність (у «чистому» вигляді) пов'язує саме ці функції, тому працюватимемо з ним. Маємо:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Щоб розв'язати завдання залишилося знайти знак синуса. Оскільки кут α ∈ (π /2; π ), то градусною мірою це записується так: α ∈ (90°; 180°).

Отже, кут лежить у II координатної чверті - всі синуси там позитивні. Тому sin = 0,1.

Отже, нам відомий синус, а треба знайти косинус. Обидві ці функції є переважно тригонометричному тотожності. Підставляємо:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Залишилося розібратися зі знаком перед дробом. Що вибрати: плюс чи мінус? За умовою, кут α належить проміжку (π 3π /2). Переведемо кути з радіанної міри в градусну - отримаємо: α ∈ (180 °; 270 °).

Очевидно, це ІІІ координатна чверть, де всі косинуси негативні. Тому cos = −0,5.

Завдання. Знайдіть tg α якщо відомо наступне:

Тангенс і косинус пов'язані рівнянням, що випливає з основного тригонометричного тотожності:

Отримуємо: tg = ±3. Знак тангенсу визначаємо по куту α. Відомо, що α ∈ (3π /2; 2π). Переведемо кути з радіанної міри в градусну - отримаємо α ∈ (270 °; 360 °).

Очевидно, це IV координатна чверть, де всі тангенси є негативними. Тому tg = −3.

Завдання. Знайдіть cos α якщо відомо наступне:

Знову відомий синус і невідомий косинус. Запишемо основну тригонометричну тотожність:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак визначаємо по кутку. Маємо: α ∈ (3π /2; 2π). Переведемо кути з градусного заходу в радіану: α ∈ (270 °; 360 °) - це IV координатна чверть, косинуси там позитивні. Отже cos α = 0,6.

Завдання. Знайдіть sin α якщо відомо наступне:

Запишемо формулу, яка випливає з основного тригонометричного тотожності і безпосередньо пов'язує синус і котангенс:

Звідси отримуємо, що sin 2 = 1/25, тобто. sin α = ±1/5 = ±0,2. Відомо, що кут α ∈ (0; π /2). У градусній мірі це записується так: α ∈ (0 °; 90 °) - I координатна чверть.

Отже, кут знаходиться в I координатній чверті – всі тригонометричні функції там позитивні, тому sin α = 0,2.

У цій статті ми всебічно розглянемо. Основні тригонометричні тотожності являють собою рівності, що встановлюють зв'язок між синусом, косинус, тангенсом і котангенсом одного кута, і дозволяють знаходити будь-яку з цих тригонометричних функцій через відому іншу.

Відразу перерахуємо основні тригонометричні тотожності, які розберемо у цій статті. Запишемо їх у таблицю, а нижче дамо висновок цих формул і наведемо необхідні пояснення.

Навігація на сторінці.

Зв'язок між синусом і косинусом одного кута

Іноді говорять не про основні тригонометричні тотожності, перераховані в таблиці вище, а про одне єдине основному тригонометричному тотожностівиду . Пояснення цьому факту досить просте: рівності виходять з основного тригонометричного тотожності після розподілу обох його частин на і відповідно, а рівності і випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Докладніше про це поговоримо у наступних пунктах.

Тобто особливий інтерес представляє саме рівність , якій і дали назву основної тригонометричної тотожності.

Перш ніж довести основне тригонометричне тотожність, дамо його формулювання: сума квадратів синуса і косинуса одного кута тотожно дорівнює одиниці. Тепер доведемо його.

Основне тригонометричне тотожність дуже часто використовується при перетворення тригонометричних виразів. Воно дозволяє суму квадратів синуса та косинуса одного кута замінювати одиницею. Не менш часто основне тригонометричне тотожність використовується і у зворотному порядку: одиниця замінюється сумою квадратів синуса та косинуса будь-якого кута.

Тангенс та котангенс через синус та косинус

Тотожності, що зв'язують тангенс і котангенс з синусом і косінусом одного кута виду і відразу випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Справді, за визначенням синус є ордината y, косинус є абсциса x, тангенс є відношення ординати до абсциси, тобто, , а котангенс є ставлення абсциси до ординати, тобто, .

Завдяки такій очевидності тотожностей і часто визначення тангенсу та котангенсу дають не через відношення абсциси та ординати, а через відношення синуса та косинуса. Так тангенсом кута називають ставлення синуса до косинус цього кута, а котангенсом - відношення косинуса до синуса.

На закінчення цього пункту слід зазначити, що тотожність і мають місце всім таких кутів , у яких входять до них тригонометричні функції мають сенс. Так формула справедлива для будь-яких, відмінних від (інакше в знаменнику буде нуль, а розподіл на нуль ми не визначали), а формула - для всіх, відмінних від, де z-будь-яке.

Зв'язок між тангенсом та котангенсом

Ще більш очевидною тригонометричною тотожністю, ніж два попередні, є тотожність, що зв'язує тангенс і котангенс одного кута виду . Зрозуміло, що воно має місце для будь-яких кутів , відмінних від , інакше або тангенс, або котангенс не визначено.

Доказ формули дуже просто. За визначенням та , звідки . Можна було доказ провести і трохи інакше. Так як і , то .

Отже, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є .

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Нехай комусь мила англійська, Кому - то хімія важлива, Без математики ж усім нам Але ні туди і ні сюди Нам рівняння, як поеми А синуси підтримують дух Нам косинуси, ніби пісні, А формули тригонометрії Ласкають слух!

Тема уроку: “Основні тригонометричні тотожності. Вирішення задач". Знати: Вміти: Мета уроку:

ЗНАЮ! ВМІЮ! Вирішу! Я

Що називається одиничним колом? х у α R

Які напрями повороту одиничного радіусу відомі? х у α R

У яких одиницях вимірюється кут повороту одиничного радіусу? х у α R

Що таке кут в один радіан? Скільки приблизно градусів містить кут 1 радіан? х у α R

Сформулюйте правила переведення із градусної міри кута в радіальний захід і навпаки.

Сформулюйте правила переведення із градусної міри кута в радіальний захід і навпаки. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

Які тригонометричні функції ви знаєте?

Які тригонометричні функції ви знаєте? Від чого залежить значення тригонометричних функцій?

Кутом якої чверті є кут α якщо: α =15° α =190° α =100°

Кутом якої чверті є кут α якщо: α =-20° α =-110° α =289°

Робота у групах Правила роботи у групі: Група спільно обговорює та вирішує, висуває ідеї чи спростовує їх. Кожен член групи повинен працювати на повну міру своїх сил. Під час роботи з повагою ставтеся до товаришів: приймаючи чи відкидаючи ідею, робіть це чемно. Пам'ятайте, кожен має право на помилку. Пам'ятайте, що успіх групи залежить від того, наскільки кожен виявить свої переваги.

Робота у групах

0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Таблиця значень тригонометричної функції

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 через K 8 L 9 через і M 10 через і N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Критерії оцінювання: 10 завдань – оцінка «5». 8-9 завдань - оцінка «4». 5-7 завдань - оцінка «3». 1-4 завдань - оцінка «2». Встановити відповідність між лівою та правою частиною тотожності.

Критерії оцінювання: 10 завдань – оцінка «5». 8-9 завдань - оцінка «4». 5-7 завдань - оцінка «3». 1-4 завдань - оцінка «2». Встановити відповідність між лівою та правою частиною тотожності.

Основне тригонометричне тотожність «тригонометрична одиниця»

Основне тригонометричне тотожність «тригонометрична одиниця» Косинус квадрат Дуже радий. До нього їде брат Сінус квадрат! Коли вони зустрінуться Окружність здивуватись: Вийде ціла сім'я, Тобто одиниця!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) при α =90° 3. 1- sin 2 40 0 ​​4. 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α і с т П к у 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Отримайте ім'я математика, у книзі якого вперше зустрічається термін – «тригонометрія». 1 2 3 4 5 6 7 8 П і т і с к у с 2-2 cos(-60 0)

Пітіскус

Аль-Батуні Аль-Хорезмі

Бхаскара Насіреддін Тусі

Леонард Ейлер

За заданим значенням тригонометричної функції знайдіть значення іншої функції Чверть Дано: Знайти: Рішення: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

За заданим значенням тригонометричної функції знайдіть значення іншої функції Чверть Дано: Знайти: Рішення: I sinα= 0,6

За заданим значенням тригонометричної функції знайдіть значення іншої функції Чверть Дано: Знайти: Рішення: II cosα= sinα = =

За заданим значенням тригонометричної функції знайдіть значення іншої функції Чверть Дано: Знайти: Рішення: III tgα= ctgα ctgα = = =

За заданим значенням тригонометричної функції знайдіть значення іншої функції Чверть Дано: Знайти: Рішення: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

Застосування тригонометрії у житті людини.

Домашнє завдання Повідомлення: «Тригонометрія в житті людини» № 304 с.111

y=sinx Дякую за урок!

1 sin 240° 8 cos 290 ° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos (- 300 °) 14 tg Визначте знак виразу - - - - - - + + + + + + + +

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

У презентації представлені рішення ключових завдань шкільного курсу математики на знаходження всіх видів відстаней та кутів у просторі за алгоритмом, що дозволяє використовувати її як при вивченні...

Презентація до уроку: "Кут між площинами. Розв'язання задачі різними методами"

Дана презентація може використовуватися для наочності на уроках повторення, для підготовки до ЄДІ при вирішенні завдань типу С-2.