Для побудови зображень низки деталей необхідно вміти знаходити проекції окремих точок. Наприклад, важко викреслити вид зверху деталі, наведеної на рис. 139 не будуючи горизонтальних проекцій точок А, В, С, D, Е, F та ін.

Завдання знаходження проекцій точок по одній, заданої поверхні предмета, вирішується так. Спочатку знаходять проекції поверхні, де розташована точка. Потім, провівши лінію зв'язку проекції, де поверхня зображується лінією, знаходять другу проекцію точки. Третя проекція лежить на перетині ліній зв'язку.

Розглянемо приклад.

Дано три проекції деталі (рис. 140, а). Задана горизонтальна проекція точки А, що лежить на видимій поверхні. Потрібно знайти решту проекцій цієї точки.

Насамперед треба провести допоміжну пряму. Якщо дано два види, то місце допоміжної прямої на кресленні вибирають довільно, правіше за вид зверху, так щоб вид зліва опинився на потрібній відстані від головного виду (рис. 141).

Якщо три види вже збудовані (рис. 142, а), то місце допоміжної прямої довільно вибирати не можна; потрібно знайти точку, якою вона пройде. Для цього достатньо продовжити до взаємного перетину горизонтальну та профільну проекції осі симетрії та через отриману точку k (рис. 142 б) провести під кутом 45° відрізок прямої, який і буде допоміжною прямою.

Якщо осей симетрії немає, то продовжують до перетину в точці k 1 горизонтальну та профільну проекції будь-якої грані, що проеціюється у вигляді відрізків прямої (рис. 142 б).

Провівши допоміжну пряму, починають побудувати проекції точки (див. рис. 140, б).

Фронтальна а та профільна а проекції точки А повинні розташовуватися на відповідних проекціях поверхні, якій належить точка А. Знаходять ці проекції. На рис. 140 б вони виділені кольором. Проводять лінії зв'язку, як зазначено стрілками. У місцях перетину ліній зв'язку з проекціями поверхні знаходяться шукані проекції а" та а".

Побудова проекцій точок, С, D показано на рис. 140, лініями зв'язку зі стрілками. Задані кольорові проекції крапок. Лінії зв'язку проводять до проекції, на якій поверхня зображується у вигляді лінії, а не у вигляді фігури. Тому спочатку знаходять фронтальну проекцію з точки С. Профільна проекція з точки визначається перетином ліній зв'язку.

Якщо поверхня на жодній проекції не зображується лінією, то для побудови проекцій точок треба застосовувати допоміжну площину. Наприклад, дана фронтальна проекція точки d А, що лежить на поверхні конуса (рис. 143, а). Через точку паралельно підставі проводять допоміжну площину, яка перетне конус по колу; її фронтальна проекція - відрізок прямий, а горизонтальна - коло діаметром, що дорівнює довжині цього відрізка (рис. 143, б). Провівши до цього кола з точки а" лінію зв'язку, отримують горизонтальну проекцію а точки А.

Профільну проекцію а точки А знаходять звичайним способом на перетині ліній зв'язку.

Таким же прийомом можна знайти проекції точки, що лежить, наприклад, на поверхні піраміди або кулі. При перетині піраміди площиною, паралельною основі і проходить через задану точку, утворюється фігура, подібна до основи. На проекціях цієї фігури лежать проекції заданої точки.

Дайте відповідь на питання

1. Під яким кутом проводять допоміжну пряму?

2. Де проводять допоміжну пряму, якщо задані види спереду та зверху, а чи треба побудувати вид зліва?

3. Як визначити місце допоміжної прямої за наявності трьох видів?

4. У чому полягає спосіб побудови проекцій точки по одній заданій, якщо одна з поверхонь предмета зображується лінією?

5. Для яких геометричних тіл та у яких випадках проекції точки, заданої на їх поверхні, знаходять, користуючись допоміжною площиною?

Завдання до § 20

Вправа 68

Запишіть у робочому зошиті, яким проекціям точок, позначених на видах цифрами, відповідають точки, позначені на наочному зображенні літерами у прикладі, вказаному Вам викладачем (рис. 144, а-г).

Вправа 69

На рис. 145 а-б буквами позначено лише по одній проекції деяких з вершин. Знайдіть у прикладі, вказаному Вам викладачем, інші проекції цих вершин та позначте їх літерами. Побудуйте в одному з прикладів відсутні проекції точок, заданих на ребрах предмета (рис. 145, г і д). Виділіть кольором проекції ребер, на яких знаходяться точки. Завдання виконайте на прозорому папері, наклавши його на сторінку підручника. Перекреслювати рис. 145 не треба.

Вправа 70

Знайдіть недостатні проекції точок, заданих однією проекцією на видимих ​​поверхнях предмета (рис. 146). Позначте їх літерами. Задані проекції крапок виділіть кольором. Вирішити завдання допоможе наочне зображення. Завдання можна виконати як у робочому зошиті, так і на прозорому папері, наклавши його на сторінку підручника. У разі перекреслювати рис. 146 не треба.

Вправа 71

У прикладі, вказаному Вам викладачем, перекресліть три види (рис. 147). Побудуйте недостатні проекції точок, заданих на видимих ​​поверхнях предмета. Задані проекції крапок виділіть кольором. Позначте літерами усі проекції точок. Для побудови проекцій точок скористайтесь допоміжною прямою. Виконайте технічний малюнок та нанесіть на ньому задані точки.

Крапка, як математичне поняття, немає розмірів. Очевидно, якщо об'єкт проектування є нульмерним об'єктом, говорити про його проектування безглуздо.

Рис.9 Рис.10

У геометрії під точкою доцільно приймати фізичний об'єкт, що має лінійні виміри. Умовно за точку можна прийняти кульку з нескінченно малим радіусом. При такому трактуванні поняття точки можна говорити про її проекції.

При побудові ортогональних проекцій точки слід керуватися першою інваріантною властивістю ортогонального проектування: Ортогональна проекція точки є точка.

Положення точки у просторі визначається трьома координатами: X, Y, Z,показують величини відстаней, куди точка віддалена від площин проекцій. Щоб визначити ці відстані, достатньо визначити точки зустрічі цих прямих з площинами проекцій та виміряти відповідні величини, які вкажуть відповідно значення абсциси X, ординати Yта аплікати Zкрапки (рис. 10).

Проекцією точки є основа перпендикуляра, опущеного з точки відповідну площину проекцій. Горизонтальною проекцієюкрапки аназивають прямокутну проекцію точки на горизонтальній площині проекцій, фронтальною проекцією а/– відповідно на фронтальній площині проекцій та профільної а // -на профільній поверхні проекцій.

Прямі Аа, Аa /і Аa //називаються проецірующими прямими. При цьому пряму Аа,проекцію точку Ана горизонтальну площину проекцій, називають горизонтально-проекуючої прямої, Аa /і Аa //- відповідно: фронтальноі профільно-проекційними прямими.

Дві проецірующие прямі, що проходять через точку Авизначають площину, яку прийнято називати проеціювання.

При перетворенні просторового макета, фронтальна проекція точки А - а /залишається на місці як належна площині, яка не змінює свого становища при аналізованому перетворенні. Горизонтальна проекція – аразом з горизонтальною площиною проекції повернеться по напрямку руху годинникової стрілки і розташується на одному перепендикулярі до осі. Хіз фронтальною проекцією. Профільна проекція - a //буде обертатися разом із профільною площиною і до кінця перетворення займе положення, вказане на малюнку 10. При цьому - a //належатиме перпендикуляру до осі Z, проведеному з точки а/і буде видалена від осі Zна таку ж відстань, на яку горизонтальна проекція авіддалена від осі Х. Тому зв'язок між горизонтально та профільною проекціями точки може бути встановлений за допомогою двох ортогональних відрізків. аа yі а y a //і сполучає їх дуги кола з центром у точці перетину осей ( Про- початок координат). Зазначеним зв'язком користуються для знаходження недостатньої проекції (при двох заданих). Положення профільної (горизонтальної) проекції за заданими горизонтальною (профільною) та фронтальною проекціями може бути знайдено за допомогою прямої, проведеної під кутом 45 0 з початку координат до осі Y(цю бісектрису називають прямою k- Постійна Монжа). Перший із зазначених способів кращий, як більш точний.

З цього випливає:

1. Точка у просторі видалена:

від горизонтальної площини H Z,

від фронтальної площини Vна величину заданої координати Y,

від профільної площини Wна величину координати. X.

2. Дві проекції будь-якої точки належать одному перпендикуляру (однієї лінії зв'язку):

горизонтальна та фронтальна – перпендикуляру до осі X,

горизонтальна та профільна – перпендикуляру до осі Y,

фронтальна та профільна – перпендикуляру до осі Z.

3. Положення точки у просторі цілком визначається положенням її двох ортогональних проекцій. З цього випливає - по двох будь-яким заданим ортогональним проекціям точки завжди можна побудувати недостатню її третю проекцію.

Якщо точка має три певні координати, то таку точку називають точкою загального становища.Якщо у точки одна чи дві координати мають нульове значення, то таку точку називають точкою приватного становища.

Рис. 11 Мал. 12

На малюнку 11 дано просторове креслення точок приватного становища, малюнку 12 – комплексних креслення (епюр) цих точок. Крапка Аналежить фронтальній площині проекцій, точка У- горизонтальній площині проекцій, точка З– профільної площини проекцій та точка D- Осі абсцис ( Х).

Поверхні багатогранників, як відомо, обмежені плоскими фігурами. Отже, точки, задані лежить на поверхні багатогранника хоча б однієї проекцією, є у випадку певними точками. Те саме відноситься до поверхонь інших геометричних тіл: циліндра, конуса, кулі та тора, обмежених кривими поверхнями.

Умовимося зображати видимі точки, що лежать на поверхні тіла, кружальцями, невидимі точки — зачорненими кружальцями (крапками); видимі лінії зображатимемо суцільними, а невидимі — штриховими лініями.

Нехай задана горизонтальна проекція А точки А, що лежить на поверхні прямої трикутної призми (рис. 162, а).

TBegin-->TEnd-->

Як видно з креслення, передня і задня основи призми паралельні фронтальній площині проекцій П 2 і проектуються на неї без спотворення, нижня бічна грань призми паралельна горизонтальній площині проекцій П 1 і також проектується без спотворення. Бічні ребра призми є фронтально-проецирующими прямими, тому фронтальну площину проекцій П 2 вони проектуються як точок.

Оскільки проекція А1. зображена світлим кружком, то точка А - видима і, отже, знаходиться на правій бічній грані призми. Ця грань є фронтально-проецірующей площиною, і фронтальна проекція А2 точки повинна збігатися з фронтальною проекцією площини, що зображується прямою лінією.

Провівши постійну пряму k 123 знаходимо третю проекцію А 3 точки А. При проектуванні на профільну площину проекцій точка А буде невидимою, тому точка А 3 зображена зачорненим кружком. Завдання точки фронтальної проекцією 2 є невизначеним, так як воно не визначає відстані точки від передньої підстави призми.

Побудуємо ізометричну проекцію призми та точки А (рис. 162, б). Побудову зручно розпочати з передньої основи призми. Будуємо трикутник основи за розмірами, взятими з комплексного креслення; по осі у" відкладаємо розмір ребра призми. Аксонометричне зображення А" точки А будуємо за допомогою координатної ламаної, обведеної на обох кресленнях подвійною тонкою лінією.

Нехай задана фронтальна проекція 2 точки С, що лежить на поверхні правильної чотирикутної піраміди, заданої двома основними проекціями (рис. 163, а). Потрібно побудувати три проекції точки С.

З фронтальної проекції видно, що вершина піраміди знаходиться вище за квадратну основу піраміди. При цьому всі чотири бічні грані будуть видимими при проектуванні на горизонтальну площину проекцій П 1 . При проектуванні на фронтальну площину проекцій П 2 видимою буде передня грань піраміди. Оскільки проекція 2 зображена на кресленні світлим кружком, то точка З видима і належить передній грані піраміди. Для побудови горизонтальної проекції 1 проводимо через точку 2 допоміжну пряму D 2 Е 2 , паралельну лінії основи піраміди. Знаходимо її горизонтальну проекцію D 1 E 1 і на ній точку С 1. За наявності третьої проекції піраміди горизонтальну проекцію точки С 1 знаходимо більш просто: знайшовши профільну проекцію С 3 по двох проекціях будуємо третю за допомогою горизонтальної і горизонтально-вертикальної ліній зв'язку. Хід побудови показаний на кресленні стрілками.

TBegin-->
TEnd-->

Побудуємо диметричну проекцію піраміди та точки С (рис. 163, б). Будуємо основу піраміди; для цього через точку О, взяту на осі r, проводимо осі х і у; по осі х" відкладаємо дійсні розміри основи, а по осі у" - зменшені вдвічі. Через отримані точки проводимо прямі, паралельні до осей х" і у". По осі z" відкладаємо висоту піраміди; отриману точку з'єднуємо з точками основи, враховуючи видимість ребер. Для побудови точки З користуємося координатною ламаною, обведеною на кресленнях подвійною тонкою лінією. Для перевірки точності рішення проводимо через знайдену точку С пряму D"E", парале осі х". Її довжина повинна дорівнювати довжині прямої D 2 E 2 (або D 1 E 1).

ПРОЕЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ДВІ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

Утворення відрізка прямої лінії АА 1 можна як результат переміщення точки А у якій-небудь площині Н (рис. 84, а), а утворення площини - як переміщення відрізка прямої лінії АВ (рис. 84, б).

Крапка - основний геометричний елемент лінії та поверхні, тому вивчення прямокутного проектування предмета починається з побудови прямокутних проекцій точки.

У простір двогранного кута, утвореного двома перпендикулярними площинами – фронтальною (вертикальною) площиною проекцій V та горизонтальною площиною проекцій Н, помістимо точку А (рис. 85, а).

Лінія перетину площин проекцій - пряма, яка називається віссю проекцій і позначається літерою х.

Площина V тут зображено у вигляді прямокутника, а площина Н - у вигляді паралелограма. Похилий бік цього паралелограма зазвичай проводять під кутом 45° до його горизонтальної сторони. Довжина похилої сторони береться дорівнює 0,5 її дійсної довжини.

З точки А опускають перпендикуляри на площині V і Н. Точки а і перетину перпендикулярів з площинами проекцій V і Н є прямокутними проекціями точки А. Фігура Ааа х а в просторі - прямокутник. Сторона аах цього прямокутника на наочному зображенні зменшується вдвічі.

Сумісний площині Н з площиною V, обертаючи V навколо лінії перетину площин х. В результаті виходить комплексне креслення точки А (рис. 85, б)

Для спрощення комплексного креслення межі площин проекцій V та Н не вказують (рис. 85, в).

Перпендикуляри, проведені з точки А до площин проекцій, називаються проецірующими лініями, а підстави цих ліній - точки а і а" - називаються проекціями точки А: а" - фронтальна проекція точки А, а - горизонтальна проекція точки А.

Лінія а"а називається вертикальною лінією проекційного зв'язку.

Розташування проекції точки на комплексному кресленні залежить від цієї точки у просторі.

Якщо точка А лежить на горизонтальній площині проекцій Н (рис. 86, а), то її горизонтальна проекція а збігається із заданою точкою, а фронтальна проекція а розташовується на осі При розташуванні точки В на фронтальній площині проекцій V її фронтальна проекція збігається з цією точкою, а горизонтальна проекція лежить на осі х. Горизонтальна та фронтальна проекції заданої точки С, що лежить на осі х, збігаються з цією точкою Комплексне креслення точок А, В і С показано на рис.

ПРОЄЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

У тих випадках, коли по двох проекціях не можна уявити форму предмета, його проектують на три площині проекцій. В цьому випадку вводиться профільна площина проекцій W, перпендикулярна площин V і Н. Наочне зображення системи з трьох площин проекцій дано на рис. 87, а.

Ребра тригранного кута (перетин площин проекцій) називаються осями проекцій і позначаються x, y z. Перетин осей проекцій називається початком осей проекцій і позначається буквою О. Опустимо з точки А перпендикуляр на площину проекцій W і, відзначивши основу перпендикуляра буквою а, отримаємо профільну проекцію точки А.

Для отримання комплексного креслення точки А площини Н і W поєднують з площиною V, обертаючи навколо осей Ох і Oz. Комплексне креслення точки А показано на рис. 87, б і в.

Відрізки ліній, що проектують, від точки А до площин проекцій називаються координатами точки А і позначаються: х А, у А і z A .

Наприклад, координата z A точки А, що дорівнює відрізку а"а х (рис. 88, а і б), є відстань від точки А до горизонтальної площини проекцій Н. Координата у точки А, що дорівнює відрізку аа х, є відстань від точки А до фронтальної площини проекцій V. Координата х А, що дорівнює відрізку аа у - відстань від точки А до профільної площини проекцій W.

Таким чином, відстань між проекцією точки та віссю проекції визначають координати точки та є ключем до читання її комплексного креслення. За двома проекціями точки можна визначити всі три координати точки.

Якщо задані координати точки А (наприклад, х А = 20 мм, А = 22 мм і z A = 25 мм), то можна побудувати три проекції цієї точки.

Для цього від початку координат Про у напрямку осі Oz відкладають вгору координату z A і вниз координату у А. З кінців відкладених відрізків - точок a z і а у (рис. 88, а) - проводять прямі, паралельні осі Ох, і на них відкладають відрізки, рівні координаті х А. Отримані точки а" і а - фронтальна та горизонтальна проекції точки А.

По двох проекціях а і точки А побудувати її профільну проекцію можна трьома способами:

1) з початку координат Про проводять допоміжну дугу радіусом Оа у, що дорівнює координаті (рис. 87, б і в), з отриманої точки а у1 проводять пряму, паралельну осі Oz, і відкладають відрізок, рівний z A ;

2) з точки а у проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88 а), отримують точку а у1 і т. д.;

3) з початку координат проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88, б), отримують точку а у1 і т. д.

Розглянемо проекції точок на дві площини, для чого візьмемо дві перпендикулярні площини (рис. 4), які називатимемо горизонтальною фронтальною та площинами. Лінію перетину даних площин називають віссю проекцій. На розглянуті площини спроектуємо одну точку за допомогою плоскої проекції. Для цього необхідно опустити з цієї точки перпендикуляри Аа та A на розглянуті площини.

Проекцію на горизонтальну площину називають горизонтальною проекцієюкрапки А, а проекцію а?на фронтальну площину називають фронтальною проекцією.

Точки, які підлягають проеціювання, у накреслювальній геометрії прийнято позначати за допомогою великих латинських букв А, В, С. Для позначення горизонтальних проекцій точок застосовують малі літери а, b, с… Фронтальні проекції позначають малими літерами зі штрихом угорі а?, b?, з?…

Застосовується також позначення точок римськими цифрами I, II,… а їх проекцій – арабськими цифрами 1, 2… і 1?, 2?…

При повороті горизонтальної площини на 90° можна отримати креслення, в якому обидві площини знаходяться в одній площині (рис. 5). Ця картина називається епюром точки.

Через перпендикулярні прямі Ааі А?проведемо площину (рис. 4). Отримана площина є перпендикулярною до фронтальної та горизонтальної площин, тому що містить перпендикуляри до цих площин. Отже, дана площина перпендикулярна лінії перетину площин. Отримана пряма перетинає горизонтальну площину прямою аах, а фронтальну площину – за прямою а?ах. Прямі аах і а?ах є перпендикулярними осі перетину площин. Тобто Аааха?є прямокутником.

При поєднанні горизонтальної та фронтальної площин проекції аі а?лежатимуть на одному перпендикулярі до осі перетину площин, тому що при обертанні горизонтальної площини перпендикулярність відрізків аах і а?ах не порушиться.

Отримуємо, що на епюрі проекції аі а?деякої точки Азавжди лежать одному перпендикулярі до осі перетину площин.

Дві проекції а та а?деякі точки А можуть однозначно визначити її положення в просторі (рис. 4). Це підтверджується тим, що при побудові перпендикуляра з проекції до горизонтальної площини він пройде через точку А. Так само перпендикуляр з проекції а?до фронтальної площини пройде через точку А, тобто точка Азнаходиться одночасно на двох певних прямих. Точка А є їх точкою перетину, тобто є певною.

Розглянемо прямокутник Aaaх а?(рис. 5), котрому справедливі такі твердження:

1) Відстань точки Авід фронтальної площини дорівнює відстані її горизонтальної проекції як від осі перетину площин, тобто.

А? = аах;

2) відстань точки Авід горизонтальної площини проекцій дорівнює відстані її фронтальної проекції а?від осі перетину площин, тобто.

Аа = а?ах.

Інакше кажучи, навіть без самої точки на епюрі, використовуючи лише дві її проекції, можна дізнатися, на якій відстані від кожної з площин проекцій знаходиться ця точка.

Перетин двох площин проекцій поділяє простір на чотири частини, які називають чвертями(Рис. 6).

Вісь перетину площин ділить горизонтальну площину на дві чверті – передню та задню, а фронтальну площину – на верхню та нижню чверті. Верхню частину фронтальної площини та передню частину горизонтальної площини розглядають як межі першої чверті.

При отриманні епюра обертається горизонтальна площина та поєднується з фронтальною площиною (рис. 7). У цьому випадку передня частина горизонтальної площини збігається з нижньою частиною фронтальної площини, а задня частина горизонтальної площини з верхньою частиною фронтальної площини.

На рисунках 8-11 показані точки А, В, С, D, що розташовуються у різних чвертях простору. Точка А розташована у першій чверті, точка У – у другій, точка С – у третій і точка D – у четвертій.

При розташуванні точок у першій або четвертій чвертях їх горизонтальні проекціїзнаходяться на передній частині горизонтальної площини, а на епюрі вони ляжуть нижче за осі перетину площин. Коли точка розташована в другій або третій чверті, її горизонтальна проекція лежатиме на задній частині горизонтальної площини, а на епюрі буде перебувати вище осі перетину площин.

Фронтальні проекціїточок, які розташовані в першій або другій чвертях, лежатимуть на верхній частині фронтальної площини, а на епюрі будуть перебувати вище осі перетину площин. Коли точка розташована в третій або четвертій чверті, її фронтальна проекція нижче осі перетину площин.

Найчастіше при реальних побудовах постать мають у першій чверті простору.

У окремих випадках точка ( Е) може лежати на горизонтальній площині (рис. 12). У цьому випадку її горизонтальна проекція е і сама точка збігатимуться. Фронтальна проекція такої точки перебуватиме на осі перетину площин.

У разі, коли точка Долежить на фронтальній площині (рис. 13), її горизонтальна проекція kлежить на осі перетину площин, а фронтальна k?показує фактичне місцезнаходження цієї точки.

Для подібних точок ознакою того, що вона лежить на одній із площин проекцій, є те, що одна її проекція знаходиться на осі перетину площин.

Якщо точка лежить на осі перетину площин проекцій, вона та обидві її проекції збігаються.

Коли точка не лежить на площинах проекцій, вона називається точкою загального стану. Надалі, якщо немає особливих позначок, точка, що розглядається, є точкою загального положення.

2. Відсутність осі проекцій

Для пояснення отримання моделі проекцій точки на перпендикулярні площині проекцій (рис. 4) необхідно взяти шматок щільного паперу у вигляді подовженого прямокутника. Його треба зігнути між проекціями. Лінія згину зображуватиме вісь перетину площин. Якщо після цього зігнутий шматок паперу знову розправити, отримаємо епюр, подібний до того, що зображений на малюнку.

Поєднуючи дві площини проекцій з площиною креслення, можна не показувати лінію згину, тобто не проводити на епюрі вісь перетину площин.

При побудовах на епюрі завжди слід мати у своєму розпорядженні проекції аі а?точки А на одній вертикальній прямій (рис. 14), яка перпендикулярна до осі перетину площин. Тому, навіть якщо положення осі перетину площин залишається невизначеним, але її напрямок визначено, вісь перетину площин може перебувати на епюрі тільки перпендикулярно до прямої аа?.

Якщо епюрі точки немає осі проекцій, як у першому малюнку 14 а, можна уявити становище цієї точки у просторі. Для цього проведемо в будь-якому місці перпендикулярно до прямої аа?вісь проекції, як на другому малюнку (рис. 14) і зігнемо креслення по цій осі. Якщо відновити перпендикуляри у точках аі а?до їхнього перетину, можна отримати точку А. При зміні положення осі проекцій виходять різні положення точки щодо площин проекцій, але невизначеність положення осі проекцій не впливає на взаємне розташування кількох точок або фігур у просторі.

3. Проекції точки на три площини проекцій

Розглянемо профільну площину проекцій. Проекції на дві перпендикулярні площині зазвичай визначають положення фігури і дають можливість дізнатися про її справжні розміри і форму. Але трапляються випадки, коли двох проекцій виявляється недостатньо. Тоді застосовують побудову третьої проекції.

Третю площину проекції проводять так, щоб вона була перпендикулярна до обох площин проекцій (рис. 15). Третю площину прийнято називати профільний.

У таких побудовах загальну пряму горизонтальній та фронтальній площинах називають віссю х , загальну пряму горизонтальну та профільну площини – віссю у , а загальну пряму фронтальної та профільної площин – віссю z . Крапка Про, Що належить всім трьом площинам, називається точкою початку координат.

На малюнку 15а показано точку Ата три її проекції. Проекцію на профільну площину ( а??) називають профільною проекцієюі позначають а??.

Для отримання епюру точки А, що складається з трьох проекцій а, а а, необхідно розрізати тригранник, що утворюється всіма площинами, вздовж осі (рис. 15б) і поєднати всі ці площини з площиною фронтальної проекції. Горизонтальну площину необхідно обертати біля осі х, а профільну площину – біля осі zу напрямку, вказаному на малюнку 15 стрілкою.

На малюнку 16 зображено положення проекцій а, а?і а??крапки Аотримане в результаті поєднання всіх трьох площин з площиною креслення.

В результаті розрізу вісь у зустрічається на епюрі у двох різних місцях. На горизонтальній площині (рис. 16) вона приймає вертикальне положення (перпендикулярно до осі х), а на профільній площині – горизонтальне (перпендикулярно до осі z).

На малюнку 16 три проекції а, а?і а??точки А мають на епюрі строго певне положення та підпорядковані однозначним умовам:

аі а?завжди повинні розташовуватися на одній вертикальній прямій, перпендикулярній осі х;

а?і а??завжди повинні розташовуватися на одній горизонтальній прямій, перпендикулярній осі z;

3) при проведенні через горизонтальну проекцію а горизонтальної прямої, а через профільну проекцію а??- вертикальної прямої побудовані прямі обов'язково перетнуться на бісектрисі кута між осями проекцій, оскільки фігура Оау а 0 ан – квадрат.

За виконання побудови трьох проекцій точки потрібно перевіряти виконуваність всіх трьох умов кожної точки.

4. Координати точки

Положення точки у просторі може бути визначено за допомогою трьох чисел, які називають її координатами. Кожній координаті відповідає відстань точки від будь-якої площини проекцій.

Відстань точки, що визначається Адо профільної площини є координатою х, при цьому х = а?(Рис. 15), відстань до фронтальної площини - координатою у, причому у = а?, а відстань до горизонтальної площини – координатою z, при цьому z = aA.

На малюнку 15 точка А займає ширину прямокутного паралелепіпеда, і виміри цього паралелепіпеда відповідають координатам цієї точки, тобто кожна з координат представлена ​​на малюнку 15 чотири рази, тобто:

х = а? А = Оа х = а у а = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = x а? = а y а?

На епюрі (рис. 16) координати х та z зустрічаються по три рази:

х = а z а? = Оа x = а y а,

z = x а? = Oa z = а y а?

Усі відрізки, які відповідають координаті х(або z), є паралельними між собою. Координата удвічі представлена ​​віссю, розташованою вертикально:

y = Оа у = а х а

і двічі – розташованої горизонтально:

у = Оа у = а z а?

Ця різниця виникла через те, що вісь у присутня на епюрі у двох різних положеннях.

Слід врахувати, що положення кожної проекції визначається на епюрі лише двома координатами, а саме:

1) горизонтальною – координатами хі у,

2) фронтальної – координатами xі z,

3) профільний – координатами уі z.

Використовуючи координати х, уі zможна побудувати проекції точки на епюрі.

Якщо точка А визначається координатами, їх запис визначається так: А ( х; у; z).

При побудові проекцій точки Апотрібно перевіряти виконуваність наступних умов:

1) горизонтальна та фронтальна проекції аі а? х х;

2) фронтальна та профільна проекції а?і а?повинні розташовуватися на одному перпендикулярі до осі z, тому що мають загальну координату z;

3) горизонтальна проекція так само віддалена від осі х, як і профільна проекція авіддалена від осі z, так як проекції а? та а? мають загальну координату у.

Якщо точка лежить у будь-якій з площин проекцій, то одна з її координат дорівнює нулю.

Коли точка лежить на осі проекцій, дві її координати дорівнюють нулю.

Якщо точка лежить на початку координат, усі три її координати дорівнюють нулю.