Похідна функції. Детальна теорія з прикладами

Що таке похідна функція - це основне математичне поняття, що знаходиться на одному рівні з інтегралами при аналізі. Ця функція у певній точці дає характеристику швидкості змін функції у цій точці.
Такі поняття як диференціювання та інтегрування, перше розшифровується як дію пошуку похідної, друге навпаки, відновлює функцію відштовхуючись від цієї похідної.
Обчисленням похідної приділяється важлива частина в диференціальних розрахунках.
Для наочного прикладу зобразимо похідну на координатній площині.

у функції у=f(х) фіксуємо точки М у якій (х0; f(X0)) і N f (x0+?x) до кожної абсциси є збільшення у вигляді?x. Прирістом називається процес коли змінюється абсцис, тоді змінюється і ордината. Позначається як?
Знайдемо тангенс кута в трикутнику MPN, використовуючи для цього точки М і N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При ?x, що йде до 0. Перетинає МN все ближче до дотичної МТ і кут? буде? Отже, tg? максимальне значення для tg?.

tg? = lim від? x-0 tg? = lim від? x-0? у /? x

Таблиця похідних

Якщо промовляти формулювання кожного формули похідних. Таблицю буде легше запам'ятати.
1) Похідна від постійного значення дорівнює 0.
2) Х зі штрихом дорівнює одиниці.
3) Якщо є постійний множник, просто виносимо його за похідну.
4) Щоб знайти похідний ступінь, потрібно показник даного ступеня помножити на ступінь з такою самою основою, яка має показник на 1 менший.
5) Пошук кореня дорівнює одному, діленому 2 цих кореня.
6) Похідна одного, поділеного на Х дорівнює одному розділеному на Х зведений у квадрат, зі знаком мінус.
7) П синус дорівнює косинусу
8) П косинус дорівнює синусу зі знаком мінус.
9) П тангенс дорівнює одному, поділеному на косинус у квадраті.
10) П котангенс дорівнює одному зі знаком мінус, поділена на синус у квадраті.

У диференціюванні також існують правила, які також простіше вивчити промовляючи їх у слух.

1) Дуже просто, п. доданків дорівнює їх сумі.
2) Похідна в множенні дорівнює множенню першого значення друге, додаючи до себе множення другого значення перше.
3) Похідна у розподілі дорівнює множенню першого значення друге, забираючи від себе множення другого значення перше. Дроб поділу на друге значення у квадраті.
4) Формулювання є окремим випадком третьої формули.

У цьому уроці ми продовжуємо вивчати похідні функцій і переходимо до складнішої теми, а саме до похідних твору і приватного. Якщо ви дивилися попередній урок, то напевно зрозуміли, що ми розглядали лише найпростіші конструкції, а саме похідну степеневої функції, суму та різницю. Зокрема, ми дізналися, що похідна суми дорівнює їх сумі, а похідна різниці дорівнює відповідно їх різниці. На жаль, у випадку з похідними приватного та твору формули будуть набагато складнішими. Почнемо ми саме з формули похідної роботи функцій.

Похідні тригонометричних функцій

Спочатку дозволю собі невеликий ліричний відступ. Справа в тому, що крім стандартної статечної функції $y=((x)^(n))$, в цьому уроці будуть зустрічатися й інші функції, а саме, $y=\sin x$, а також $y=\ cos x$ та інша тригонометрія – $y=tgx$ і, зрозуміло, $y=ctgx$.

Якщо похідну статечної функції ми всі чудово знаємо, а саме $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, то, що стосується тригонометричних функцій , Треба згадати окремо. Давайте запишемо:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Але ці формули ви чудово знаєте, давайте підемо далі.

Що таке похідна робота?

Для початку найголовніше: якщо функція являє собою добуток двох інших функцій, наприклад, $f\cdot g$, то похідна цієї конструкції дорівнюватиме наступному виразу:

Як бачите, ця формула значно відрізняється і є більш складною, ніж формули, які ми розглядали раніше. Наприклад, похідна суми вважається елементарно -$((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, або похідна різниці, яка теж елементарно вважається - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Спробуємо застосувати першу формулу для обчислення похідних двох функцій, які нам дано в задачі. Почнемо з першого прикладу:

Очевидно, що як твор, точніше, як множник, виступає наступна конструкція: $((x)^(3))$, ми можемо розглядати як $f$, а $\left(x-5 \right)$ ми можемо розглядати як $g$. Тоді їхній твір якраз і буде твором двох функцій. Вирішуємо:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Тепер давайте уважно подивимося на кожну з наших доданків. Ми, що й у першому, й у другому доданку присутній ступінь $x$: у першому випадку це $((x)^(2))$, тоді як у другому — $((x)^(3))$. Давайте винесемо найменший ступінь за дужки, у дужці залишиться:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(align)\]

Все, ми знайшли відповідь.

Повертаємось до наших завдань та спробуємо вирішити:

Отже, переписуємо:

Знову ж таки зауважуємо, що йдеться про твори твору двох функцій: $x$, яку можна позначити за $f$, і $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, яку можна позначити за $g$.

Отже, маємо знову добуток двох функцій. Для знаходження похідної функції $f\left(x \right)$ знову скористаємося нашою формулою. Отримаємо:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\end(align)\]

Відповідь знайдено.

Навіщо розкладати похідні на множники?

Щойно ми використовували кілька дуже важливих математичних фактів, які власними силами не мають відношення до похідним, проте їх знання все подальше вивчення цієї теми просто немає сенсу.

По-перше, вирішуючи найперше завдання і, вже позбавившись усіх знаків похідних, ми навіщось почали розкладати цей вираз на множники.

По-друге, вирішуючи наступне завдання, ми кілька разів переходили від кореня до ступеня з раціональним показником і назад, при цьому використовуючи формулу 8-9 класу, яку варто було б повторити окремо.

Щодо розкладання на множники – навіщо взагалі потрібні всі ці додаткові зусилля та перетворення? Насправді, якщо завдання просто сказано «знайти похідну функції», ці додаткові дії не потрібні. Однак у реальних завданнях, які чекають на всілякі іспити і заліки, просто знайти похідну часто недостатньо. Справа в тому, що похідна є лише інструментом, за допомогою якого можна дізнатися, наприклад, зростання або зменшення функції, а для цього потрібно вирішувати рівняння, розкладати його на множники. І ось тут цей прийом буде дуже доречним. Та й взагалі, з функцією, розкладеною на множники, набагато зручніше та приємніше працювати надалі, якщо потрібні якісь перетворення. Тому правило № 1: якщо похідну можна розкласти на множники, саме так і варто чинити. І відразу правило № 2 (по суті, це матеріал 8-9-го класу): якщо завдання зустрічається корінь n-ного ступеня, причому, корінь явно більше двох, то цей корінь можна замінити звичайним ступенем з раціональним показником, причому у показнику з'явиться дріб, де n― той самий ступінь ― опиниться у знаменнику цього дробу.

Зрозуміло, якщо під коренем є якийсь ступінь (у нашому випадку це ступінь k), то вона нікуди не подіється, а просто виявляється в чисельнику цього самого ступеня.

А тепер, коли ви все це зрозуміли, повернімося до похідних твору і порахуємо ще кілька рівнянь.

Але перш ніж переходити безпосередньо до обчислень, хотів би нагадати такі закономірності:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Вважаємо перший приклад:

У нас знову добуток двох функцій: перша $f$, друга - $g$. Нагадаю формулу:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Давайте вирішимо:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\end(align)\]

Переходимо до другої функції:

Знову ж таки, $\left(3x-2 \right)$ ― це функція $f$, $\cos x$ ― це функція $g$. Разом похідна твори двох функцій дорівнюватиме:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Випишемо окремо:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\end(align)\]

На множники ми цього виразу не розкладаємо, тому що це ще не остаточна відповідь. Зараз нам належить вирішити другу частину. Виписуємо її:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\end(align)\]

А тепер повертаємось до нашого початкового завдання і збираємо все в єдину конструкцію:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\end(align)\]

Все це остаточна відповідь.

Переходимо до останнього прикладу – він буде найскладнішим та найоб'ємнішим за обчисленнями. Отже, приклад:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Вважаємо кожну частину окремо:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Повертаючись до вихідної функції, порахуємо її похідну загалом:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Ось, власне, і все, що я хотів розповісти про похідні твори. Як бачите, основна проблема формули полягає не в тому, щоб її завчити, а в тому, що виходить великий обсяг обчислень. Але це нормально, тому що зараз ми переходимо до похідної приватного, де нам доведеться дуже попрацювати.

Що є похідна приватного?

Отже, формула похідної частки. Мабуть, це найскладніша формула у шкільному курсі похідних. Припустимо, у нас є функція виду $\frac(f)(g)$, де $f$ і $g$ ― також функції, з яких можна зняти штрих. Тоді вона вважатиметься за такою формулою:

Чисельник чимось нагадує нам формулу похідної твори, проте між доданками стоїть знак «мінус» і ще у знаменнику додався квадрат вихідного знаменника. Давайте подивимося, як це працює на практиці:

Спробуємо вирішити:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Пропоную виписати кожну частину окремо та записати:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2))) right))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Переписуємо наш вираз:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(align)\]

Ми знайшли відповідь. Переходимо до другої функції:

Судячи з того, що в її чисельнику стоїть просто одиниця, тут обчислення будуть трохи простіше. Отже, запишемо:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Порахуємо кожну частину прикладу окремо:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Переписуємо наш вираз:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Ми знайшли відповідь. Як і передбачалося, обсяг обчислення виявився значно меншим, ніж для першої функції.

У чому різниця між позначеннями?

У уважних учнів напевно вже постало питання: чому в одних випадках ми позначаємо функцію як $f\left(x \right)$, а в інших випадках пишемо просто $y$? Насправді, з точки зору математики немає абсолютно жодної різниці – ви маєте право використовувати як перше позначення, так і друге, при цьому жодних штрафних санкцій на іспитах та заліках не буде. Для тих, кому все-таки цікаво, поясню, чому автори підручників і завдань в одних випадках пишуть $f\left(x \right)$, а в інших (набагато частіших) - просто $y$. Справа в тому, що записуючи функцію у вигляді, ми неявно натякаємо тому, хто читатиме наші викладки, що йдеться саме про алгебраїчну інтерпретацію функціональної залежності. Т. е. є якась змінна $x$, ми розглядаємо залежність від цієї змінної і позначаємо її $f\left(x \right)$. При цьому, побачивши ось таке позначення, той, хто читатиме ваші викладки, наприклад, перевіряючий, буде підсвідомо очікувати, що надалі на нього чекають лише алгебраїчні перетворення - жодних графіків і ніякої геометрії.

З іншого боку, використовуючи позначення виду, тобто, позначаючи змінну однією єдиною літерою, ми відразу даємо зрозуміти, що надалі нас цікавить саме геометрична інтерпретація функції, тобто нас цікавить, в першу чергу, її графік. Відповідно, зіткнувшись із записом виду, читач має право чекати графічних викладок, тобто графіків, побудов і т. д., але, в жодному разі, не аналітичних перетворень.

Ще хотів би звернути вашу увагу на одну особливість оформлення завдань, що ми сьогодні розглядаємо. Багато учнів вважають, що я наводжу надто докладні викладки, і багато з них можна було б пропустити або просто вирішити в умі. Однак саме такий докладний запис дозволить вам позбутися образливих помилок і значно збільшить відсоток правильно вирішених завдань, наприклад, у разі самостійної підготовки до контрольних чи іспитів. Тому якщо ви ще невпевнені у своїх силах, якщо ви тільки починаєте вивчати цю тему, не поспішайте - детально розписуйте кожен крок, виписуйте кожен множник, кожен штрих, і дуже скоро ви навчитеся вирішувати такі приклади краще, ніж багато шкільних вчителів. Сподіваюся, це зрозуміло. Давайте порахуємо ще кілька прикладів.

Декілька цікавих завдань

Цього разу, як бачимо, у складі похідних, що обчислюються, присутня тригонометрія. Тому нагадаю таке:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\end(align )\]

Звичайно, нам не обійтися і без похідної приватного, а саме:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Вважаємо першу функцію:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)((((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Ось ми і знайшли вирішення цього виразу.

Переходимо до другого прикладу:

Очевидно, що її похідна буде складнішою вже хоча б тому, що і в чисельнику, і в знаменнику цієї функції є тригонометрія. Вирішуємо:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Зауважимо, що у нас виникає похідна робота. У цьому випадку вона дорівнюватиме:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) right))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\end(align)\]

Повертаємось до наших обчислень. Записуємо:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

От і все! Ми порахували.

Як звести похідну до простої формули похідної твору?

І ось тут хотілося б зробити одне дуже важливе зауваження щодо саме тригонометричних функцій. Справа в тому, що наша вихідна конструкція містить у собі вираз виду $\frac(\sin x)(\cos x)$, яку легко можна замінити просто $tgx$. Таким чином, ми зведемо похідну до більш простої формули похідної твору. Ось давайте порахуємо цей приклад і порівняємо результати.

Отже, тепер нам потрібно врахувати таке:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Перепишемо нашу вихідну функцію $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ з урахуванням цього факту. Отримаємо:

Давайте порахуємо:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \&& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\end(align) \]

Тепер, якщо ми порівняємо отриманий результат з тим, що ми отримали раніше, при обчисленні по іншому шляху, то ми переконаємося, що отримали один і той самий вираз. Таким чином, яким би шляхом ми не йшли при обчисленні похідної, якщо все вірно пораховано, то відповідь буде одним і тим же.

Важливі нюанси під час вирішення завдань

На закінчення хотів би розповісти вам ще одну тонкість, пов'язану з обчисленням похідної приватного. Те, що я вам зараз розповім, не було у споконвічному сценарії відеоуроку. Однак за пару годин до зйомок я займався з одним із своїх учнів, і ми якраз розбирали тему похідних приватного. І, як з'ясувалося, цей момент багато учнів не розуміють. Отже, припустимо, нам потрібно порахувати зняти штрих наступної функції:

У принципі, нічого надприродного здавалося б у ній немає. Однак у процесі обчислення ми можемо допустити багато дурних та образливих помилок, які я хотів би зараз розібрати.

Отже, вважаємо цю похідну. Насамперед, зауважимо, що у нас присутній доданок $3((x)^(2))$, тому доречно згадати таку формулу:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Крім того, у нас присутній доданок $\frac(48)(x)$ ― з ним ми розбиратимемося через похідну приватного, а саме:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Отже, вирішуємо:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

З першим складником ніяких проблем, дивіться:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

А ось з першим доданком, $ frac (48) (x) $, потрібно попрацювати окремо. Справа в тому, що багато учнів плутають ситуацію, коли потрібно знайти $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$і коли потрібно знайти $((\left(\frac) (48) (x) \right))^(\prime ))$. Т. е., вони плутаються, коли константа стоїть у знаменнику, і коли константа стоїть у чисельнику, відповідно, коли змінна стоїть у чисельнику, чи знаменнику.

Для початку опрацюємо перший варіант:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

З іншого боку, якщо ми спробуємо аналогічно вчинити і з другим дробом, то отримаємо таке:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Однак той самий приклад можна було порахувати й інакше: на етапі, де ми переходили до похідної частки, можна розглянути $\frac(1)(x)$ як ступінь з негативним показником, тобто, ми отримаємо наступне:

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

І так, і так ми отримали ту саму відповідь.

Таким чином, ми ще раз переконалися у двох важливих фактах. По-перше, одну й ту саму похідну можна вважати абсолютно різними способами. Наприклад, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ можна розглядати і як похідну приватного, і як похідну статечної функції. При цьому якщо всі обчислення виконані правильно, то відповідь завжди вийде одним і тим самим. По-друге, при обчисленні похідних, що містять і змінну, і константу, принципово важливим є те, де знаходиться змінна у чисельнику або в знаменнику. У першому випадку, коли змінна знаходиться у чисельнику, ми отримуємо просту лінійну функцію, яка елементарно вважається. А у випадку, якщо змінна стоїть у знаменнику, то ми отримуємо складніший вираз із супутніми викладками, наведеними раніше.

На цьому урок можна вважати закінченим, тому якщо вам щось незрозуміло за похідними приватного чи твору, та й взагалі, якщо у вас є будь-які питання на цю тему, не соромтеся – заходьте на мій сайт, пишіть, телефонуйте, і я обов'язково постараюся вам допомогти.

Самі по собі похідні - тема аж ніяк не складна, але дуже об'ємна, і те, що ми зараз вивчаємо, буде використовуватися в майбутньому при вирішенні складніших завдань. Саме тому всі непорозуміння, пов'язані з обчисленнями похідних приватного чи твору, краще виявити негайно прямо зараз. Не коли вони являють собою величезний сніговий ком непорозуміння, а коли являють собою маленьку тенісну кульку, з якою легко розібратися.

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно визначені правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто
2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної у ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенсу
10. Похідна арксинусу
11. Похідна арккосинусу
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифму
15. Похідна логарифмічна функція
16. Похідна експоненти
17. Похідна показової функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми чи різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції

причому

тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.

Правило 2Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток

причому

тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Наслідок 2. Похідна твори декількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3Якщо функції

диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому

тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної твори і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - у статті"Виробничі твори та приватні функції".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".

Якщо ж перед Вами завдання начебто , то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

А перевірити розв'язання задачі на похідну можна на .

приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:

Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, , то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричні функції, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Перевірити рішення задачі на похідну можна на калькуляторі похідних онлайн .

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .

Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.

Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	Функція	Похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь із раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
Сінус	f(x) = sin x	cos x
Косінус	f(x) = cos x	− sin x(мінус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натуральний логарифм	f(x) = ln x	1/x
Довільний логарифм	f(x) = log a x	1/(x· ln a)
Показова функція	f(x) = e x	e x(нічого не змінилось)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, не особливо елементарні, але теж диференційовані за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми та різниці

Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Похідна робота

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)

У функції g(x) перший множник трохи складніше, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб досліджувати функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.

Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна із найскладніших формул — без пляшки не розберешся. Тому найкраще вивчати її на конкретних прикладах.

Завдання. Знайти похідні функції:

У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:

За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. Вона теж має похідну, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справа ще більш сумно, ніж з похідною приватного. Тому її також краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.

Відповідь:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. Як останній приклад повернемося до похідного ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дрібне число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємось до коріння: