Раціональні нерівності та його система. Дробові раціональні нерівності

>>Математика:Раціональні нерівності

Раціональне нерівність з одного змінної х - це нерівність виду - раціональні висловлювання, тобто. алгебраїчні вирази, складені з чисел і змінної х за допомогою операцій складання, віднімання, множення, поділу та зведення в натуральний ступінь. Зрозуміло, змінна може бути позначена будь-якою іншою літерою, але в математиці найчастіше перевага надається букві х.

При вирішенні раціональних нерівностей використовуються ті три правила, які були сформульовані вище в § 1. За допомогою цих правил зазвичай перетворять задану раціональну нерівність до виду / (ж) > 0, де / (х) - алгебраїчний дріб (або багаточлен). Далі розкладають чисельник і знаменник дробу f(х) на множники виду х - а (якщо, звичайно, це можливо) і застосовують метод інтервалів, який ми згадували вище (див. у попередньому параграфі приклад 3).

приклад 1.Розв'язати нерівність (х – 1) (х + 1) (х – 2) > 0.

Рішення.Розглянемо вираз f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Воно звертається до 0 у точках 1,-1,2; відзначимо ці точки на числовій прямій. Числова пряма розбивається вказаними точками на чотири проміжки (рис. 6), кожному з яких вираз f (x) зберігає постійний знак. Щоб у цьому переконатися, проведемо чотири міркування (для кожного із зазначених проміжків окремо).

Візьмемо будь-яку точку х із проміжку (2, Ця точка розташована на числовій прямій правіше точки -1, правіше точки 1 і правіше точки 2. Це означає, що х > -1, х >1, х > 2 (рис. 7). Але тоді x-1>0, х+1>0, х - 2 > 0, а значить, і f(х) > 0 (як добуток раціональна нерівність трьох позитивних чисел) Отже, на всьому проміжку виконується нерівність f(x ) > 0.

Візьмемо будь-яку точку х із інтервалу (1,2). Ця точка розташована на числовій прямій правіше точки-1, правіше точки 1, але лівіше точки 2. Значить, х > -1, х > 1, але х< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Візьмемо будь-яку точку x з інтервалу (-1,1). Ця точка розташована на числовій прямій правіше точки -1, лівіше точки 1 і лівіше точки 2. Значить, х >-1, але х< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, х -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (як добуток двох негативних та одного позитивного числа). Отже, на проміжку (-1,1) виконується нерівність f(x)>0.

Візьмемо, нарешті, будь-яку точку х із відкритого променя (-оо, -1). Ця точка розташована на числовій прямій ліворуч від точки -1, лівішою від точки 1 і лівішою від точки 2. Це означає, що x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Підведемо підсумки. Знаки виразу f(x) у виділених проміжках такі, як показано на рис. 11. Нас цікавлять ті з них, на яких виконується нерівність f(x) > 0. За допомогою геометричної моделі представленої на рис. 11, встановлюємо, що нерівність f(x) > 0 виконується на інтервалі (-1, 1) або на відкритому промені
Відповідь: -1 < х < 1; х > 2.

приклад 2.Розв'язати нерівність
Рішення.Як і в попередньому прикладі, почерпнемо необхідну інформацію з рис. 11, але з двома змінами порівняно з прикладом 1. По-перше, оскільки нас цікавить, при яких значеннях виконується нерівність f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки По-друге, нас влаштовують і ті точки, в яких виконується рівність f(x) = 0. Це точки -1, 1, 2, відзначимо їх на малюнку темними кружечками та включимо у відповідь. На рис. 12 представлена ​​геометрична модель відповіді, від якої неважко перейти до аналітичного запису.
Відповідь:
П р і м е р 3.Розв'язати нерівність
Рішення. Розкладемо на множники чисельник і знаменник дробу алгебри fх, що міститься в лівій частині нерівності. У чисельнику маємо х 2 - х = х(х - 1).

Щоб розкласти на множники квадратний тричлен х 2 - bх ~ 6, що міститься в знаменнику дробу, знайдемо його коріння. З рівняння х 2 - 5х - 6 = 0 знаходимо х 1 = -1, х 2 = 6. Значить, (Ми скористалися формулою розкладання на множники квадратного тричлена: ах 2 + bх + с = а (х - х 1 - х 2)).
Тим самим ми перетворили задану нерівність до виду

Розглянемо вираз:

Чисельник цього дробу звертається до 0 у точках 0 і 1, а обертається до 0 у точках -1 та 6. Зазначимо ці точки на числовій прямій (рис. 13). Числова пряма розбивається зазначеними точками п'ять проміжків, причому кожному проміжку вираз fх) зберігає постійний знак. Розмірковуючи так, як у прикладі 1, приходимо до висновку, що знаки виразу fх) у виділених проміжках такі, як показано на рис. 13. Нас цікавить, де виконується нерівність f(x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0твет: -1

приклад 4.Розв'язати нерівність

Рішення.При вирішенні раціональних нерівностей, як правило, вважають за краще залишати в правій частині нерівності лише число 0. Тому перетворимо нерівність до виду

Далі:

Як показує досвід, якщо в правій частині не (рівності міститься лише число 0, зручніше проводити міркування, коли в лівій його частині і чисельник і знаменник мають позитивний старший коефіцієнт. А що у нас? У нас у знаменнику дробу в цьому сенсі все в порядку (старший коефіцієнт, тобто коефіцієнт при х 2 дорівнює 6 - позитивне число), але в чисельнику не все в порядку - старший коефіцієнт (коефіцієнт при х) дорівнює -4 (негативне число).Помноживши обидві частини нерівності на -1 і змінивши у своїй знак нерівності на протилежний, отримаємо рівносильне йому нерівність

Розкладемо чисельник і знаменник алгебраїчного дробу на множники. У чисельнику все просто:
Щоб розкласти на множники дробу, що міститься в знаменнику, квадратний тричлен

(Ми знову скористалися формулою розкладання на множники квадратного тричлена).
Тим самим задану нерівність ми привели до вигляду

Розглянемо вираз

Чисельник цього дробу звертається до 0 у точці а знаменник - у точках Зазначимо ці точки на числовій прямій (рис. 14), яка розбивається зазначеними точками на чотири проміжки, причому на кожному проміжку вираз f(х) зберігає постійний знак (ці знаки вказані на 14). Нас цікавлять ті проміжки, на яких виконується нерівність fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

У всіх розглянутих прикладах ми перетворювали задану нерівність у рівносильну йому нерівність виду f(х) > 0 або f(x)<0,где
При цьому кількість множників у чисельнику та знаменнику дробу може бути будь-якою. Потім відзначали на числовій прямій точці а,Ь,с,д. та визначали знаки виразу f(х) на виділених проміжках. Помітили, що на правому з виділених проміжків виконується нерівність f(х) > 0, а далі за проміжками знаки виразу f(х) чергуються (див. рис. 16а). Це чергування зручно ілюструвати за допомогою хвилеподібної кривої, яка креслиться праворуч наліво та зверху донизу (рис. 166). На тих проміжках, де ця крива (її іноді називають кривою знаків) розташована вище за осі х, виконується нерівність f (х) > 0; де ця крива розташована нижче осі х, виконується нерівність f(х)< 0.

Приклад 5.Розв'язати нерівність

Рішення.Маємо

(обидві частини попередньої нерівності помножили на 6).
Щоб скористатися методом інтервалів, відзначимо на числовій прямій точці (у цих точках чисельник дробу, що міститься в лівій частині нерівності, перетворюється на нуль) і точки (у цих точках знаменник зазначеного дробу перетворюється на нуль). Зазвичай точки відзначають схематично, враховуючи порядок їхнього прямування (яке - правіше, яке - лівіше) і не особливо звертаючи уваги на дотримання масштабу. Зрозуміло, що Складніше ситуація з числами Перша прикидка показує, що і те й інше число трохи більше, ніж 2,6, звідки не можна зробити висновок про те, яке із зазначених чисел більше, а яке - менше. Припустимо (навгад), що тоді
Вийшла вірна нерівність, отже, наш здогад підтвердився: насправді
Отже,

Зазначимо зазначені 5 точок у вказаному порядку на числовій прямій (рис. 17а). Розставимо знаки виразу
на отриманих проміжках: на правому - знак +, а далі знаки чергуються (рис. 176). Накреслимо криву знаків і виділимо (штрихуванням) ті проміжки, на яких виконується нерівність f (x) > 0 (рис. 17в), що цікавить нас. Врахуємо, нарешті, що мова йдепро нестрогу нерівність f(x) > 0, отже, нас цікавлять і ті точки, в яких вираз f(x) звертається в нуль. Це - коріння чисельника дробу f(x), тобто. крапки відзначимо їх на рис. 17в темними кружечками (і, природно, включимо у відповідь). Ось тепер рис. 17в дає повну геометричну модель розв'язків заданої нерівності.

Приклади:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

При розв'язанні дрібних раціональних нерівностей використовується метод інтервалів. Тому якщо алгоритм, наведений нижче, викличе у вас труднощі, перегляньте статтю по .

Як вирішувати дробові раціональні нерівності:

Алгоритм розв'язання дробово-раціональних нерівностей.

Приклади:



Розставте знаки на інтервалах числової осі. Нагадаю правила розміщення знаків:

Визначаємо знак у крайньому правому інтервалі - беремо число з цього інтервалу і підставляємо його в нерівність замість ікса. Після цього визначаємо знаки у дужках та результат перемноження цих знаків;

Приклади:




Виділіть потрібні проміжки. Якщо є корінь, що окремо стоїть, то позначте його прапорцем, щоб не забути внести його у відповідь (див. приклад нижче).

Приклади:


Запишіть у відповідь виділені проміжки та коріння, позначені прапорцем (якщо вони є).

Приклади:
Відповідь: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)