Різниця де. Що таке різницю? Грамота за активну участь у роботі над підвищенням якості освіти спільно з проектом «Інфоурок»

Відсотки- одне з понять прикладної математики, які часто зустрічаються в повсякденному житті. Так часто можна прочитати або почути, що, наприклад, у виборах взяли участь 56,3% виборців, рейтинг переможця конкурсу дорівнює 74%, промислове виробництво збільшилося на 3,2%, банк нараховує 8% річних, молоко містить 1,5%. жиру, тканина містить 100% бавовни і т.д. Зрозуміло, що розуміння такої інформації необхідне у суспільстві.

Одним відсотком від будь-якої величини – грошової суми, числа учнів школи тощо. - називається одна сота її частина.
Позначається відсоток знаком %, таким чином,

1% - це 0,01, або \(\frac(1)(100) \) частина величини
Наведемо приклади: - 1% від мінімальноїзаробітної плати
2300 нар. (вересень 2007 р.) – це 2300/100 = 23 рубля;
- 1% від населення Росії, що дорівнює приблизно 145 млн. осіб (2007 р.), - це 1,45 млн. осіб;

- 3% концентрація розчину солі - це 3 г солі в 100 г розчину (нагадаємо, що концентрація розчину - це частина, яку становить маса розчиненої речовини від маси всього розчину).

Зрозуміло, що вся аналізована величина становить 100 сотих, або 100% від самої себе. Тому, наприклад, напис на етикетці "бавовна 100%" означає, що тканина складається з чистої бавовни, а стовідсоткова успішність означає, що в класі немає учнів, що не встигають.

Слово "відсоток" походить від латинського pro centum, що означає "від сотні" або "на 100". Це словосполучення можна зустріти і в сучасному мовленні. Наприклад, кажуть: "З кожних 100 учасників лотереї 7 учасників отримали призи". Якщо розуміти цей вислів буквально, то це твердження, зрозуміло, не так: ясно, що можна вибрати 100 осіб, які беруть участь у лотереї і не отримали призи. Насправді точний зміст цього виразу полягає в тому, що призи отримали 7% учасників лотереї, і саме таке розуміння відповідає походженню слова "відсоток": 7% - це 7 зі 100, 7 осіб із 100 осіб. Знак "%" набув поширення встоліття. У 1685 році в Парижі було видано книгу "Посібник з комерційної арифметики" Матьє де ла Порта. В одному місці йшлося про відсотки, які тоді позначали "cto" (скорочено від cento). Однак набірщик прийняв це "с/о" за дріб і надрукував "%". Так через помилку цей знак узвичаївся.

Будь-яке число відсотків можна записати у вигляді десяткового дробу, що виражає частину величини.

Щоб виразити відсотки числом, потрібно кількість відсотків поділити на 100.Наприклад:

\(58\% = \frac(58)(100) = 0,58; \;\;\;4,5\% = \frac(4,5)(100) = 0,045; \;\;\; 200% = \frac(200)(100) = 2 \)

Для зворотного переходу виконується зворотна дія. Таким чином, щоб виразити число у відсотках, треба його помножити на 100:

\(0,58 = (0,58 \cdot 100)\% = 58\% \) \(0,045 = (0,045 \cdot 100)\% = 4,5\% \)

У практичного життякорисно розуміти зв'язок між найпростішими значеннями відсотків та відповідними дробами: половина – 50%, чверть – 25%, три чверті – 75%, п'ята частина – 20%, три п'ятих – 60% тощо.

Корисно також розуміти різні формивирази однієї й тієї зміни величини, сформульовані без відсотків і з допомогою відсотків. Наприклад, у повідомленнях "Мінімальна заробітна плата підвищена з лютого на 50%" і "Мінімальна заробітна плата підвищена з лютого в 1,5 рази" йдеться про те саме. Так само збільшити в 2 рази - це означає збільшити на 100%, збільшити в 3 рази - це означає збільшити на 200%, зменшити в 2 рази - це означає зменшити на 50%.

Аналогічно
- збільшити на 300% - це означає збільшити у 4 рази,
- зменшити на 80% - це означає зменшити у 5 разів.

Завдання на відсотки

Оскільки відсотки можна виразити дробами, то завдання на відсотки є по суті тими самими завданнями на дроби. У найпростіших завданнях на відсотки деяка величина приймається за 100% ("ціле"), а її частина b виражається числом p%.

Залежно від цього, що невідомо - а, b чи р, виділяються три типи завдань відсотки. Ці завдання вирішуються так само, як і відповідні завдання на дроби, але перед їх розв'язанням число р% виражається дробом.

1. Знаходження відсотка від числа.
Щоб знайти \(\frac(p)(100) \) від a, треба a помножити на \(\frac(p)(100) \):

\(b = a \cdot \frac(p)(100) \)

Отже, щоб знайти р% від числа, треба це число помножити на дріб \(\frac(p)(100) \). Наприклад, 20% від 45 кг дорівнюють 45 0,2 = 9 кг, а 118% від x дорівнюють 1,18x

2. Знаходження числа за його відсотком.
Щоб знайти число з його частини b, вираженим дробом \(\frac(p)(100) , \;(p \neq 0) \), треба розділити на \(\frac(p)(100) \):
\(a = b: \frac(p)(100) \)

Таким чином, щоб знайти число з його частини, що становить р% цього числа, треба цю частину розділити на ((frac(p)(100))).Наприклад, якщо 8% довжини відрізка становлять 2,4 см, то довжина всього відрізка дорівнює 2,4: 0,08 = 240: 8 = 30 см.

3. Знаходження відсоткового відношеннядвох чисел.
Щоб знайти, скільки відсотків число b становить від а ((a \ neq 0) \), треба спочатку дізнатися, яку частину b становить від а, а потім цю частину виразити у відсотках:

\(p ​​= \frac(b)(a) \cdot 100\% \) Значить, щоб дізнатися, скільки відсотків перше число складає від другого, треба перше число поділити на друге і результат помножити на 100.
Наприклад, 9 г солі в розчині масою 180 г складають \(\frac(9 \cdot 100)(180) = 5\% \) розчину.

Частка двох чисел, виражена у відсотках, називається відсотковим ставленнямцих чисел. Тому останнє правило називають правилом знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Неважко помітити, що формули

\(b = a \cdot \frac(p)(100), \;\;a = b: \frac(p)(100), \;\;p = \frac(b)(a) \cdot 100 \% \;\; Тому першу формулу вважають основною і називають формулою відсотків.Формула відсотків поєднує всі три типи завдань на дроби, і, за бажання, можна ним користуватися, щоб знайти будь-яку з невідомих величин a, b і p.

Складові завдання на відсотки вирішуються аналогічно до завдань на дроби.

Просте відсоткове зростання

Коли людина не вносить своєчасну плату за квартиру, на неї накладається штраф, який називається "пеня" (від латинського рою - покарання). Так, якщо пеня становить 0,1% від суми квартплати за кожен день прострочення, то, наприклад, за 19 днів прострочення сума становитиме 1,9% від суми квартплати. Тому разом, скажімо, із 1000 р. квартплати людина має внести пеню 1000 0,019 = 19 р., а всього 1019 р.

Зрозуміло, що в різних містахі у різних людейквартплата, розмір пені та час прострочення різні. Тому є сенс скласти загальну формулу квартплати для неакуратних платників, що застосовується за будь-яких обставин.

Нехай S – щомісячна квартплата, пеня становить р% квартплати за кожен день прострочення, а n – число прострочених днів. Суму, яку має заплатити людина після n днів прострочення, позначимо S n .
Тоді за n днів прострочення пеня складе рn% від S, або \(\frac(pn)(100)S \), а всього доведеться заплатити \(S + \frac(pn)(100)S = \left(1+ \frac(pn)(100) \right) S \)
Таким чином:
\(S_n = \left(1+ \frac(pn)(100) \right) S \)

Ця формула описує багато конкретних ситуацій і має спеціальну назву: формула простого відсоткового зростання.

Аналогічна формула вийде, якщо деяка величина зменшується за даний періодчасу на кілька відсотків. Як і вище, неважко переконатися, що в цьому випадку
\(S_n = \left(1- \frac(pn)(100) \right) S \)

Ця формула також називається формулою простого відсоткового зростання,хоча задана величинанасправді зменшується. Зростання у разі " негативний " .

Складне відсоткове зростання

У банках Росії для деяких видів вкладів (так званих строкових вкладів, які не можна взяти раніше, ніж через визначений договором термін, наприклад, через рік) прийнято наступна системавиплати доходів: за перший рік перебування внесеної суми на рахунку дохід становить, наприклад, 10% від неї. Наприкінці року вкладник може забрати з банку вкладені гроші та зароблений дохід – "відсотки", як його зазвичай називають.

Якщо ж вкладник цього зробив, то відсотки приєднуються до початкового вкладу (капіталізуються), і у кінці наступного року 10% нараховуються банком вже у нову, збільшену суму. Інакше кажучи, за такої системи нараховуються "відсотки на відсотки", або, як їх зазвичай називають, складні відсотки.

Підрахуємо, скільки грошей отримає вкладник через 3 роки, якщо він поклав на терміновий рахунок до банку 1000 грн. і жодного разу протягом трьох років не братиме гроші з рахунку.

10% від 1000 грн. становлять 0,1 1000 = 100 р., отже, через рік на його рахунку буде
1000 + 100 = 1100 (р.)

10% від нової суми 1100 грн. становлять 0,1 1100 = 110 р., отже, через 2 роки на його рахунку буде
1100 + 110 = 1210 (р.)

10% від нової суми 1210 грн. становлять 0,1 1210 = 121 р., отже, через 3 роки на його рахунку буде
1210 + 121 = 1331 (р.)

Неважко уявити собі, що за такого безпосереднього, "лобового" підрахунку знадобилося б часу для знаходження суми вкладу через 20 років. Тим часом, підрахунок можна вести значно простіше.

А саме через рік початкова сума збільшиться на 10%, тобто складе 110% від початкової, або, іншими словами, збільшиться в 1,1 раза. Наступного року нова, вже збільшена сума теж збільшиться на ті самі 10%. Отже, через 2 роки початкова сума збільшиться у 1,1 1,1 = 1,1 2 разів.

Ще через один рік і ця сума збільшиться в 1,1 рази, тому початкова сума збільшиться в 1,1 1,1 2 = 1,1 3 разів. При такому способі міркувань отримуємо рішення нашого завдання значно простіше: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (р.)

Вирішимо тепер це завдання в загальному вигляді. Нехай банк нараховує дохід у розмірі р% річних, внесена сума дорівнює S р., а сума, яка буде на рахунку через n років, дорівнює S n р.

Розмір p% від S становить \(\frac(p)(100)S \) р., і за рік на рахунку виявиться сума
\(S_1 = S+ \frac(p)(100)S = \left(1+ \frac(p)(100) \right)S \)
тобто початкова сума збільшиться в (1 + \ frac (p) (100) \) раз.

За наступний ріксума S 1 збільшиться у стільки ж разів, і через два роки на рахунку буде сума
\(S_2 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)S_1 = \left(1+ \frac(p)(100) \right) \left(1+ \frac(p)(100) ) \right)S = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^2 S \)

Аналогічно \(S_3 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^3 S \) і т.д. Іншими словами, справедлива рівність
\(S_n = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^n S \)

Цю формулу називають формулою складного процентного зростання, або просто формулою складних процентів.

У цій статті ми опишемо, як знайти відсоток від числа, Частка одного числа від іншого. Десь класі у п'ятому, на цікавих урокахматематики діти починають вивчати таку тему як «відсотки». Тоді для любителів порахувати відкривається захоплюючий світпроцентних співвідношень та дробових чисел. Вчителі дають на вирішення поважну кількість цікавих, цікавих завдань визначення відсотків. Але в шкільні рокидіти думають, що їм не обов'язково знадобляться ці знання, а дарма! Адже ця тема завжди актуальна, тісно пов'язана з повсякденним життямі цілком може стати в нагоді в різних життєвих ситуаціях.

Для чого важливо вміти знаходити відсотки від чисел

Вміти прораховувати відсотки необхідно однозначно кожному. Ви запитаєте – чому? Просто будь-яка людина практично щодня стикається з цінами на товари та послуги у тих чи інших підприємствах та закладах. Майже кожен другий має кредит, розстрочку, у багатьох є ощадні вклади у банках і, можливо, навіть не в одному. Податки, страховка, покупки – у нашому світі майже скрізь задіяні відсотки. Ця тема стосується як фінансової, економічної, так і інших сфер нашого життя. Але при вирішенні дитячих завдань із підручників 5-6 класів немає стільки підводного каміння, як при розрахунку дорослого кредиту.

У шкільній програміє 3 закономірностідля вирішення завдань у відсотках:

перебування відсоткавід числа;

перебування відсоткового співвідношення чисел

перебування самого числа виходячи з його ж відсотка.

Не варто забувати про те, що обчислення відсотків часто використовуються в буденності. Прикладом цього є застосування їх у розрахунках бюджету вашої сім'ї. Багато сімей беруть кредити такі як: "Автокредит", "Споживчий кредит", "Кредит на освіту" і "Житловий кредит", що має так само інше, більш звичне нам назву - "Іпотека".

Як позначається відсоток від числа

Відомо, що відсоток позначається позначкою «%» . Використовують різні визначеннятерміну.

• Перше, відоме всім: відсоток, це одна сота частина числа.
• Друге - це плата, що стягується банком чи іншими особами, видають фінансові кошти кредит, їх користування. Це поняття дуже часто зустрічається людям у повсякденному житті.

Відсотка від числа – історія походження поняття

Мало хто думав, звідки взявся цей термін. Адже слово «відсоток» родом із Римської імперії. Слово "pro centum"мало про що вам може розповісти. Адже буквальне його позначення означає «зі ста» або «за сотню». Сама ідея висловлювати частини цілого в безлічі рівних часток народилася давним-давно ще в стародавньому Вавилоні. Тоді люди використовували шістдесяткові дроби при своїх розрахунках. Люди, що жили у Вавилоні, залишили нам «на згадку» реєстри, за якими розраховували відсотки для підрахунку суми боргу, що «набігла» за відсотками у позичальника.

Відсотки мали велику популярність ще в інших країнах Стародавності. Люди, які знають точну наукуматематику, в Індії вираховували відсотки за потрійним правилом, використовували при своїх розрахунках пропорції. Римляни ж, наприклад, були професіоналами цієї сфери, адже вони називали відсотком ті гроші, які неплатник змушений повернути тому, хто видав їх, причому за кожну сотню. Ще тоді Парламент Риму прийняв максимум допустимого відсотка, який брали з боржника, бо траплялися випадки, коли позикодавці надмірно намагалися отримати свої відсоткові гроші. І саме від Римлян поняття відсотків перейшло до всіх інших народів.

Кому потрібно знати – як рахувати відсотки?

• Бухгалтер.Йому просто потрібно знати, як рахувати відсотки. У будь-якій компанії, на будь-якій роботі, є людина, яка займається нарахуванням заробітної плати. Розраховує, віднімає, множить ваші кровні, зароблені чесною працею гроші. Хто це? Звісно бухгалтер. Наприклад, він займається вирахуванням відсотка від заробітної плати. Цим відсотком є ​​податок, який на Наразістановить 13% доходу.
• Банківський службовець.Йому теж просто необхідне знання відсотка. Для чого? Та тому, що саме цей співробітник займається кредитами, іпотеками, фінансовими вкладеннями. Він розраховує те, куди йдуть гроші людей. Надає інформацію про те, скільки людей переплатить чи отримає у процесі угоди з банком.
• Окуліст.Лікар, що оглядає очне дно, вивчає те, наскільки добре людина бачить. Він визначає зір. Він випише окуляри. Але із зором, як і з окулярами, не все так просто – усі ми індивідуальні, відповідно і зір у нас різний. У когось то +(-) 1, а у когось то +(-) 0,75. І окуліст як ніхто інший, розуміється на цьому. І зрозуміти йому це дає не лише освіту, а й знання відсоткового співвідношення.

Застосування знаходження відсотків у різних областях

Фінансове.

Тут все елементарно - це та сама сума, яку кредитопозичальник сплачує кредитору за те, що другий надав першому кошти у тимчасове користування. При цьому умови видачі обидві особи обмовляють попередньо та індивідуально, закріпивши фінансові відносини документально.Лексика бізнесу.

У бізнесі є таке поняття – «працювати за відсотки». Це означає те, що людина готова працювати і отримувати винагороду, яку обчислюють з прибутку та обороту підприємства.

Значення економіки. Деяку суму від прибутку, який «позикодавець» виплачує «кредитору» за грошовий капітал, взятий у позику. Джерелом відсотків є додаткова вартість, що формується під час використання його позичкового капіталу.

Відсоток позичковий. Це свого роду відрахування за тимчасове користування фінансами. Категорія, що функціонує у кредитних відносинах. Коротко - це відносини між позикодавцем та кредитозапозичальником, де кожен зацікавлений по своєму при знаходженні та отриманні відсотка. Не є кредитом, оскільки позичковий відсоток є лише вартістю прибутку від товару. Виходить, що сам відсоток – це просто відрахування прибутку із суми, яка знаходиться у розпорядженні позичальника.Відсоток депозитний.

Відрахування відсотків за збереження коштів у сховищах, яку банк чи інший кредитопозичальник бере. Є два учасники цих відносин. Перша особа (позикодавець) – клієнт банку, друга (кредитпозичальник) – сам банк.

Як знайти відсотки - формула знаходження відсотка від числа (2 формули з прикладами)

1. Перша формула, як можна порахувати відсоток від числа - потрібне число розділити на сто і помножити на ту кількість відсотків, яку необхідно.

X/100*Y=...
Де X - загальне число, з якого потрібно отримати відсоток, Y - потрібний відсоток від неї.

Приклад із життя:Вам потрібно переказати 300 рублів родичу на Камчатку. Ви скористалися платіжною системою"Жмотфінанс", в якій відсоток за переказ становить 16% від суми платежу. Таким чином, нам потрібно дізнатися, скільки буде 16 відсотків від числа 300. Ділимо 300 на 100 і множимо на 16. (300/100*16) = 48. Це і буде та сума, яку забере собі жадібна платіжна система.

2. І друга, більше проста формула- помножити число, з якого витягти (X) на 0,Y - де Y - це кількість шуканих відсотків, вийде потрібна сума відсотків.

X * 0, Y ... =
Де так само: X - загальна кількість, Y - потрібний відсоток від неї.

Приклад із життя:припустимо, ви знову звернулися до фірми «Жмотфінанс», яка за ті ж 16% готова здійснити переказ ваших коштів у будь-яку точку Росії. Але тепер вам потрібно відправити іншому родичу, який живе у Владивостоці і вже іншу суму – 500 руб. Значить, нам потрібно отримати відсоток від числа 500. Для цього просто множимо 500 на 0,16 (500 * 0,16) = 80. Грабіжницькі 80 рублів як відсотки за переказ йдуть у дохід цієї жадібної компанії.

Насамкінець пам'ятайте - алгебра, геометрія, фізика, хімія та багато інших наук знадобляться вам завжди. А вміння знайти відсоток від числа може навіть стати вигодою для вас у майбутньому. Числа та цифри грають найважливішу рольу майбутньому людину. А здатність знаходити в розумі відсотки від будь-якого числа може значно полегшити вам життя і допоможе уникнути безглуздих і незручних ситуаційу повсякденному побуті.

Відео про розрахунок частки

Відсотком називається одна сота частка чогось. З визначення випливає, що ціле приймається за 100 відсотків. Позначається відсоток значком "%".

Як розв'язувати задачі, в яких потрібно зробити розрахунок відсотків від числа? Відсоток від числа можна вирахувати як формулою, і на калькуляторі.

• Приклад завдання: Ціна кошика яблук – 160 рублів. Ціна кошика злив на 20% дорожча. На скільки рублів дорожчий кошик слив?
• Рішення: У цьому завданні від нас потрібно не що інше, як дізнатися скільки рублів становлять 20% відсотків від числа 160.

Формула обчислення відсотка:

1 спосіб

Так як 160 рублів - це 100%, то спочатку дізнаємося, чому дорівнюватиме 1%. А потім помножимо це число на потрібні нам 20%.

• 160 / 100 * 20 = 1,6 * 20 = 32

Відповідь: кошик злив дорожчий на 32 рублі.

2 спосіб

Другий спосіб - видозмінений варіант першого способу. Помножимо число, яке становить 100% на десятковий дріб. Дроб цей виходить при розподілі тієї кількості відсотків, які треба знайти, на 100. У нашому випадку:

• 20% / 100 = 0,2

Помножуємо 160 на 0,2 і отримуємо таку саму відповідь 32.

3 спосіб

3 спосіб – пропорція.

Складемо пропорцію виду:

• х = 20%
• 160 = 100%

Перемножуємо частини пропорції хрест на хрест і одержуємо рівняння:

• х = (160 * 20) / 100
• х = 32

Обчислення відсотка від числа на калькуляторі

Для того, щоб обчислити 20% від числа 160 на калькуляторі, потрібно:

1. Спочатку набрати на екрані число 160 – тобто наші 100%
2. Потім натиснути кнопку помножити "*"
3. множити будемо на кількість відсотків, які потрібно знайти тобто на 20. Натискаємо 20
4. Тепер тиснемо клавішу %
5. На екрані має висвітлитись відповідь: 32

Докладніше про алгоритми обчислення відсотків читайте у статті

Відсотки від чисел необхідно вираховувати не тільки під час вирішення завдань та рівнянь. Також це може знадобитися вам при здійсненні будь-яких покупок, отримання кредиту та інше. Тому вміти знайти відсоток від числа має абсолютно кожен незалежно від того, як він збирається вчитися. Але відразу слід зазначити, що знаходити відсотки дуже легко. Тут немає серйозної теорії.

Як знайти один відсоток?

Відсоток – це сота частина числа. Тобто, якщо ми розділимо якесь число на 100, то в нас вийде один відсоток цього числа.

Наприклад, нам необхідно знайти 1% від 200. Ми беремо 200, ділимо на 100 і отримуємо 2. Таким чином, 1% від 200 дорівнює двом.

Це правило діє для будь-яких чисел, як для цілих, так і для десяткових дробів. Головне зрозуміти цей принцип. І ви зможете працювати із відсотками.

Як знайти кілька відсотків від числа?

Для того, щоб знайти кілька відсотків, вам також потрібно розділити число на 100. Так ви отримаєте 1%. Потім ви повинні отримане значення помножити на ту кількість відсотків, яку ви шукаєте.

Наприклад, вам потрібно знайти 5% від 300. Ви берете 300 і ділите на 100. У вас виходить 3. Це один відсоток. А вам треба зрозуміти скільки буде 5%.

Отже, ви множите 3 на 5 і отримуєте 15. Ваше завдання вирішено.

Як знаходити відсотки на калькуляторі?

Варто зазначити, що в складних ситуаціяхвам можна скористатися будь-яким калькулятором. Там є спеціальна функція для обчислення відсотків.

Ви берете число відсотків, множите його на первинне число та натискаєте на знак «%». При цьому не варто натискати на «рівно» або інші клавіші.

Наприклад, вам необхідно знайти 9% від 851. Ви берете калькулятор і вводите 851*9%. Всі. У вас має з'явитися та відповідь, яка вам необхідна.

Небагато важливих фактів

Щоб краще працювати з такими діями, вам необхідно зрозуміти, що:

• Половина будь-якого числа – це 50%;
• Четверта частка - 25%;
• П'ята частина – 20%.
• Десята частка – відповідно 10%.

При цьому важливо знати, що 30% це не третина числа. Здається, що воно саме так, але ось тут якраз нестиковка.

Важливо відзначити, що вирішувати складні прикладиз відсотками необхідно за допомогою пропорцій та рівнянь, які детально прописані у курсі математики. Але якщо ви знатимете основні правила роботи з цими діями, то вам вже буде простіше.