Вирішити слау матричним методом онлайн. Правило Крамера

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А-1 називається зворотною матрицеюстосовно матриці А, якщо А*А -1 = Е, де Е — одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця- Така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута, - одиниці, а інші - нулі, наприклад:

зворотна матрицяможе існувати тільки для квадратних матрицьтобто. для тих матриць, у яких число рядків та стовпців збігаються.

Теорема умови існування зворотної матриці

Для того, щоб матриця мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Матриця А = (А1, А2, ... Аn) називається невиродженоюякщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці. Тому можна сказати, що для того, щоб існувала обернена матриця, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто. r = n.

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Записати до таблиці на вирішення систем рівнянь методом Гаусса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
2. Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
3. Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею вихідної таблиці А вийшла одинична матриця Е.
4. Записати зворотну матрицю А-1, яка знаходиться в останній таблиці під матрицею Е вихідної таблиці.

Приклад 1

Для матриці А знайти зворотну матрицю А-1

Рішення: Записуємо матрицю А і праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Е. Обчислення наведено у таблиці 31.1.

Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А та зворотної матриці А-1.

В результаті множення матриць вийшла поодинока матриця. Отже, обчислення зроблено правильно.

Відповідь:

Розв'язання матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються з допомогою множення рівняння зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння необхідно помножити це рівняння на ліворуч.

Отже, щоб знайти рішення рівняння потрібно знайти зворотну матрицю і помножити її на матрицю , що стоять у правій частині рівняння.

Аналогічно вирішуються інші рівняння.

Приклад 2

Розв'язати рівняння АХ = В, якщо

Рішення: Оскільки зворотна матриця дорівнює (див. приклад 1)

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими знаходять застосування також матричні методи. Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі. Такі методи застосовуються з метою аналізу складних та багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються за необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та його структурних підрозділів.

У процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

На першому етапіздійснюється формування системи економічних показників і на її основі складається матриця вихідних даних , яка є таблицею, в якій за її окремими рядками показуються номери систем (i = 1,2,...,,n), а за вертикальними графами - номери показників (j = 1,2,....,m).

На другому етапіпо кожній вертикальній графі виявляється найбільше з існуючих значень показників, яке приймається за одиницю.

Після цього всі суми, відображені в даній графі поділяють найбільше значення і формується матриця стандартизованих коефіцієнтів .

На третьому етапівсі складові матриці зводять у квадрат. Якщо вони мають різну значимість, то кожному показнику матриці надається певний ваговий коефіцієнт k. Розмір останнього визначається експертним шляхом.

На останньому, четвертому етапізнайдені величини рейтингових оцінок R jгрупуються у порядку їх збільшення чи зменшення.

Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, для порівняльного аналізу різних інвестиційних проектів, а також для оцінки інших економічних показників діяльності організацій.

Розглянемо систему лінійних рівнянь алгебри(СЛАУ) щодо nневідомих x 1 , x 2 , ..., x n :

Ця система в "згорнутому" вигляді може бути записана так:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Відповідно до правила множення матриць розглянута система лінійних рівнянь може бути записана в матричній формі Ax=b, де

, ,.

Матриця A, стовпцями якої є коефіцієнти за відповідних невідомих, а рядками - коефіцієнти за невідомих у відповідному рівнянні називається матрицею системи. Матриця-стовпець b, елементами якої є праві частини рівнянь системи, називається матрицею правої частини або просто правою частиною системи. Матриця-стовпець x , елементи якої - шукані невідомі, називається рішенням системи.

Система лінійних рівнянь алгебри, записана у вигляді Ax=b, є матричним рівнянням.

Якщо матриця системи невироджена, то вона має зворотна матриця і тоді рішення системи Ax=bдається формулою:

x=A -1 b.

прикладВирішити систему матричним способом.

Рішеннязнайдемо зворотну матрицю для матриці коефіцієнтів системи

Обчислимо визначник, розкладаючи по першому рядку:

Оскільки Δ ≠ 0 , то A -1 Існує.

Зворотна матриця знайдена правильно.

Знайдемо рішення системи

Отже, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Перевірка:

7. Теорема Кронекера-Капеллі про спільність системи лінійних рівнянь алгебри.

Система лінійних рівняньмає вигляд:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Тут а i j та b i (i = ; j = ) - задані, а x j - невідомі дійсні числа. Використовуючи поняття твору матриць, можна переписати систему (5.1) як:

де A = (а i j) - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих системах (5.1), яка називається матрицею системи, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - вектори-стовпці, складені відповідно з невідомих x j і з вільних членів b i .

Упорядкована сукупність nдійсних чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) називається рішенням системи(5.1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість відповідних змінних x 1 , x 2 ,..., x n кожне рівняння системи перетворюється на арифметичну тотожність; інакше кажучи, якщо існує вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такий, що AC  B.

Система (5.1) називається спільної,або можна розв'язати,якщо вона має принаймні одне рішення. Система називається несумісний,або нерозв'язноюякщо вона не має рішень.

,

утворена шляхом приписування праворуч до матриці A стовпця вільних членів, називається розширеною матрицею системи.

Питання про спільність системи (5.1) вирішується наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі . Система лінійних рівнянь спільна і тоді, коли ранги матриць A іA збігаються, тобто. r(A) = r(A) = r.

Для безлічі М рішень системи (5.1) є три можливості:

1) M =  (у цьому випадку система несумісна);

2) M складається з одного елемента, тобто. система має єдине рішення (у цьому випадку система називається певною);

3) M складається з більш ніж одного елемента (тоді система називається невизначеною). У третьому випадку система (5.1) має безліч рішень.

Система має єдине рішення у тому разі, коли r(A) = n. При цьому число рівнянь - не менше від числа невідомих (mn); якщо m>n, то m-n рівнянь є наслідками інших. Якщо 0

Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти розв'язувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамерівського типу:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n.

Системи (5.3) вирішуються одним із таких способів: 1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих; 2) за формулами Крамера; 3) матричним способом.

Приклад 2.12. Дослідити систему рівнянь та вирішити її, якщо вона спільна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 – 3x 2 – 6x 3 + 5x 4 = 0.

Рішення.Виписуємо розширену матрицю системи:

 .

Обчислимо ранг основної матриці системи. Очевидно, що, наприклад, мінор другого порядку в лівому верхньому кутку = 7 0; містять його мінори третього порядку дорівнюють нулю:

Отже, ранг основного матриці системи дорівнює 2, тобто. r(A) = 2. Для обчислення рангу розширеної матриці A розглянемо облямовуючий мінор

отже, ранг розширеної матриці r(A) = 3. Оскільки r(A)  r(A), то система несумісна.

Тема 2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Основні поняття.

Визначення 1. Системою mлінійних рівнянь з nневідомими називається система виду:

де і – числа.

Визначення 2. Рішенням системи (I) називається такий набір невідомих , у якому кожне рівняння цієї системи перетворюється на тотожність.

Визначення 3. Система (I) називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення і несуміснийякщо вона не має рішень. Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеноюв іншому випадку.

Визначення 4. Рівняння виду

називається нульовим, а рівняння виду

називається несумісним. Очевидно, що система рівнянь, що містить несумісне рівняння, є несумісною.

Визначення 5. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильнимиякщо кожне рішення однієї системи служить рішенням іншої і, навпаки, всяке рішення другої системи є рішенням першої.

Матричний запис системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему (I) (див. §1).

Позначимо:

Матриця коефіцієнтів при невідомих

Матриця – стовпець вільних членів

Матриця – стовпець невідомих

.

Визначення 1.Матриця називається основною матрицею системи(I), а матриця – розширеною матрицею системи (I).

За визначенням рівності матриць системі (I) відповідає матрична рівність:

.

Праву частину цієї рівності з визначення твору матриць ( див. визначення 3 § 5 глави 1) можна розкласти на множники:

, тобто.

Рівність (2) називається матричним записом системи (I).

Вирішення системи лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай у системі (I) (див. §1) m=n, тобто. кількість рівнянь дорівнює числу невідомих, і основна матриця системи невироджена, тобто. . Тоді система (I) §1 має єдине рішення

де Δ = det Aназивається головним визначником системи(I), Δ iвиходить із визначника Δ заміною i-го стовпця на стовпець із вільних членів системи (I)

Приклад. Вирішити систему методом Крамера:

.

За формулами (3) .

Обчислюємо визначники системи:

,

,

.

Щоб отримати визначник, ми замінили у визначнику перший стовпець на стовпець із вільних членів; замінюючи в визначнику другий стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо; аналогічно, замінюючи в визначнику третій стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо . Рішення системи:

Вирішення систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.

Нехай у системі(I) (див. §1) m=nі основна матриця системи невироджена. Запишемо систему (I) у матричному вигляді ( див. §2):

т.к. матриця Aневироджена, вона має зворотну матрицю ( див. теорему 1 §6 глави 1). Помножимо обидві частини рівності (2) на матрицю , тоді

За визначенням зворотної матриці. З рівності (3) маємо

Вирішити систему за допомогою зворотної матриці

.

Позначимо

У прикладі (§ 3) ми обчислили визначник , отже, матриця Aмає зворотну матрицю. Тоді в силу (4) , тобто.

. (5)

Знайдемо матрицю ( див. §6 глави 1)

, , ,

, , ,

,

.

Метод Гауса.

Нехай задана система лінійних рівнянь:

. (I)

Потрібно знайти всі рішення системи (I) або переконатися, що система несовместна.

Визначення 1.Назвемо елементарним перетворенням системи(I) будь-яка з трьох дій:

1) креслення нульового рівняння;

2) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число l;

3) зміна місцями доданків у рівняннях системи те щоб невідомі з однаковими номерами переважають у всіх рівняннях займали однакові місця, тобто. якщо, наприклад, у 1-му рівнянні ми змінили 2-е і 3-є доданки, тоді те саме потрібно зробити у всіх рівняннях системи.

Метод Гаусса полягає в тому, що система (I) за допомогою елементарних перетворень приводиться до рівносильної системи, розв'язання якої безпосередньо або встановлюється її нерозв'язність.

Як було описано в §2 система (I) однозначно визначається своєю розширеною матрицею і будь-яке елементарне перетворення системи (I) відповідає елементарному перетворенню розширеної матриці:

.

Перетворення 1) відповідає викресленню нульового рядка в матриці, перетворення 2) рівносильне доданню до відповідного рядка матриці іншого її рядка, помноженого на число l, перетворення 3) еквівалентно перестановці стовпців у матриці.

Легко бачити, що, навпаки, кожному елементарне перетворення матриці відповідає елементарне перетворення системи (I). В силу сказаного, замість операцій із системою (I) ми працюватимемо з розширеною матрицею цієї системи.

У матриці перший стовпець складається з коефіцієнтів при х 1, Другий стовпець - з коефіцієнтів при х 2і т.д. У разі перестановки стовпців слід враховувати, що ця умова порушується. Наприклад, якщо ми поміняємо перший і другий стовпці місцями, то тепер в першому стовпці будуть коефіцієнти при х 2, а у 2-му стовпці - коефіцієнти при х 1.

Розв'язуватимемо систему (I) методом Гауса.

1. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо такі є (тобто викреслимо в системі (I) усі нульові рівняння).

2. Перевіримо, чи є серед рядків матриці рядок, у якому всі елементи, крім останнього, дорівнюють нулю (назвемо такий рядок несумісним). Очевидно, що такому рядку відповідає несумісне рівняння в системі (I), отже система (I) рішень не має і на цьому процес закінчується.

3. Нехай матриця не містить несумісних рядків (система (I) не містить несумісних рівнянь). Якщо a 11 = 0, то знаходимо в 1-му рядку якийсь елемент (крім останнього) відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб у 1-му рядку на 1-му місці не було нуля. Тепер вважатимемо, що (тобто. поміняємо місцями відповідні доданки у рівняннях системи (I)).

4. Помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 2-м рядком, потім помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 3-м рядком і т.д. Очевидно, що цей процес еквівалентний виключенню невідомого x 1із усіх рівнянь системи (I), крім одного. У новій матриці отримуємо нулі в 1-му стовпці під елементом a 11:

.

5. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо вони є, перевіримо, чи немає несумісного рядка (якщо вона є, то система несумісна і на цьому рішення закінчується). Перевіримо, чи буде a 22 / = 0Якщо так, то знаходимо у другому рядку елемент, відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб . Далі множимо елементи 2-го рядка на і складаємо з відповідними елементами 3-го рядка, потім - елементи 2-го рядка і складаємо з відповідними елементами 4-го рядка і т.д., поки не отримаємо нулі під a 22 /

.

Зроблені дії еквівалентні виключенню невідомого х 2з усіх рівнянь системи (I), крім 1-го та 2-го. Так як число рядків звичайно, тому через кінцеве число кроків ми отримаємо, що система несумісна, або ми прийдемо до ступінчастої матриці ( див. визначення 2 §7 глави 1) :

,

Випишемо систему рівнянь, що відповідає матриці . Ця система рівносильна системі (I)

.

З останнього рівняння виражаємо; підставляємо в попереднє рівняння, знаходимо і т.д., доки не отримаємо .

Зауваження 1.Таким чином, при вирішенні системи (I) методом Гауса ми приходимо до одного з таких випадків.

1. Система (I) несумісна.

2. Система (I) має єдине рішення, якщо в матриці число рядків дорівнює числу невідомих ().

3. Система (I) має безліч рішень, якщо число рядків у матриці менше числа невідомих ().

Звідси має місце така теорема.

Теорема.Система лінійних рівнянь або несумісна, або має єдине рішення, або - безліч рішень.

приклади. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса або довести її несумісність:

б) ;

а) Перепишемо задану систему у вигляді:

.

Ми поміняли місцями перше і друге рівняння вихідної системи, щоб спростити обчислення (замість дробів ми за допомогою такої перестановки будемо оперувати тільки цілими числами).

Складаємо розширену матрицю:

.

Нульових рядків немає; несумісних рядків немає; виключимо перше невідоме з усіх рівнянь системи, крім одного. Для цього помножимо елементи 1-го рядка матриці на «-2» і складемо з відповідними елементами 2-го рядка, що рівнозначно множення 1-го рівняння на «-2» і додавання з 2-м рівнянням. Потім помножимо елементи 1-го рядка «-3» і складемо з відповідними елементами третього рядка, тобто. помножимо 2-е рівняння заданої системи на «-3» і складемо з 3-м рівнянням. Отримаємо

.

Матриці відповідає система рівнянь). - (Див. визначення 3§7 глави 1).

Рівняння взагалі, лінійні рівняння алгебри та їх системи, а також методи їх вирішення займають в математиці, як теоретичної, так і прикладної, особливе місце.

Це з тим обставиною, що переважна більшість фізичних, економічних, технічних і навіть педагогічних завдань може бути описані і вирішені з допомогою різноманітних рівнянь та його систем. Останнім часом особливу популярність серед дослідників, науковців та практиків набуло математичне моделювання практично у всіх предметних галузях, що пояснюється очевидними його перевагами перед іншими відомими та апробованими методами дослідження об'єктів різної природи, зокрема, так званих складних систем. Існує велике різноманіття різних визначень математичної моделі, даних вченими у різні часи, але з погляду, найвдаліше, це таке твердження. Математична модель – ідея, виражена рівнянням. Таким чином, уміння складати та вирішувати рівняння та їх системи – невід'ємна характеристика сучасного фахівця.

Для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри найчастіше використовуються методи: Крамера, Жордана-Гаусса і матричний метод.

Матричний метод рішення - метод рішення за допомогою зворотної матриці систем лінійних рівнянь алгебри з ненульовим визначником.

Якщо виписати коефіцієнти при невідомих величинах xi в матрицю A, невідомі величини зібрати у вектор стовпець X, а вільні члени у вектор стовпець B, то систему лінійних рівнянь алгебри можна записати у вигляді наступного матричного рівняння A · X = B, яке має єдине рішення тільки тоді, коли визначник матриці A не дорівнюватиме нулю. При цьому розв'язання системи рівнянь можна знайти наступним способом X = A-1 · B, де A-1 – зворотна матриця.

Матричний метод рішення полягає в наступному.

Нехай дана система лінійних рівнянь з nневідомими:

Її можна переписати в матричній формі: AX = B, де A- основна матриця системи, Bі X- стовпці вільних членів та рішень системи відповідно:

Помножимо це матричне рівняння зліва на A-1 - матрицю, зворотну до матриці A: A -1 (AX) = A -1 B

Так як A -1 A = E, отримуємо X= A -1 B. Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосування цього методу (як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь з числом рівнянь, рівним числу невідомих) є невиродженість матриці A. Необхідною та достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A: det A≠ 0.

Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0 , дійсно протилежне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто не нульове) рішення тільки якщо det A= 0. Така зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь зветься альтернативи Фредгольма.

приклад розв'язання неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри.

Переконаємося в тому, що визначник матриці, складений з коефіцієнтів при невідомих системах лінійних рівнянь алгебри не дорівнює нулю.

Наступним кроком буде обчислення додатків алгебри для елементів матриці, що складається з коефіцієнтів при невідомих. Вони знадобляться для знаходження зворотної матриці.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Матричний метод дозволяє знаходити рішення СЛАУ (система лінійних рівнянь алгебри) будь-якої складності. Весь процес рішення СЛАУ зводиться до двох основних дій:

Визначення зворотної матриці на основі головної матриці:

Розмноження отриманої зворотної матриці на вектор-стовпець рішень.

Допустимо, дано СЛАУ наступного виду:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Почнемо розв'язання даного рівняння з виписування матриці системи:

Матриця правої частини:

Визначимо зворотну матрицю. Знайти матрицю 2-го порядку можна так: 1 - сама матриця повинна бути невиродженою; 2 - її елементи, які знаходяться на головній діагоналі, міняємо місцями, а у елементів побічної діагоналі виконуємо зміну знака на протилежний, після чого виконуємо розподіл отриманих елементів на визначник матриці. Отримаємо:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 матриці вважаються рівними, якщо рівні відповідні їх елементи. У результаті маємо наступну відповідь рішення СЛАУ:

Де можна вирішити систему рівнянь матричним методом онлайн?

Вирішити систему рівнянь ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте.