Шестаков 1994 р. з 8 9 множення дробів. Розмноження простих і змішаних дробів з різними знаменниками

Розмноження звичайних дробів

Розглянемо приклад.

Нехай на тарілці лежить частина яблука $\frac(1)(3)$. Потрібно знайти $\frac(1)(2)$ частина від неї. Необхідна частина є результатом множення дробів $ frac (1) (3) $ і $ frac (1) (2) $. Результат множення двох звичайних дробів - це звичайний дріб.

Розмноження двох звичайних дробів

Правило множення звичайних дробів:

Результатом множення дробу на дріб є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників дробів, що множаться, а знаменник дорівнює добутку знаменників:

Приклад 1

Виконати множення звичайних дробів $\frac(3)(7)$ і $\frac(5)(11)$.

Рішення.

Скористаємося правилом множення звичайних дробів:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Відповідь:$\frac(15)(77)$

Якщо в результаті множення дробів виходить скоротитий або неправильний дріб, то потрібно його спростити.

Приклад 2

Виконати множення дробів $frac(3)(8)$ і $frac(1)(9)$.

Рішення.

Використовуємо правило множення звичайних дробів:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

В результаті отримали скоротитий дріб (за ознакою поділу на $3$. Чисельник і знаменник дробу розділимо на $3$, отримаємо:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Коротке рішення:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24) \]

Відповідь:$\frac(1)(24).$

При множенні дробів скорочувати чисельники та знаменники можна до знаходження їх твору. При цьому чисельник і знаменник дробу розкладається на прості множники, після чого скорочуються множники, що повторюються, і знаходиться результат.

Приклад 3

Обчислити добуток дробів $\frac(6)(75)$ і $\frac(15)(24)$.

Рішення.

Скористаємося формулою множення звичайних дробів:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Очевидно, що в чисельнику і знаменнику є числа, які можна попарно скоротити на числа $2$, $3$ і $5$. Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники і зробимо скорочення:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Відповідь:$\frac(1)(20).$

При множенні дробів можна застосовувати переміщувальний закон:

Розмноження звичайного дробу на натуральне число

Правило множення звичайного дробу на натуральне число:

Результатом множення дробу на натуральне число є дріб, у якого чисельник дорівнює добутку чисельника дробу, що множиться на натуральне число, а знаменник дорівнює знаменнику дробу, що множиться:

де $ \ frac (a) (b) $ - звичайний дріб, $ n $ - натуральне число.

Приклад 4

Виконати множення дробу $\frac(3)(17)$ на $4$.

Рішення.

Скористаємося правилом множення звичайного дробу на натуральне число:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Відповідь:$\frac(12)(17).$

Не слід забувати про перевірку результату множення на скоротність дробу або на неправильний дріб.

Приклад 5

Помножити дріб $\frac(7)(15)$ на $3$.

Рішення.

Скористаємося формулою множення дробу на натуральне число:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

За ознакою розподілу на число $3$) можна визначити, що отриманий дріб можна скоротити:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

В результаті отримали неправильний дріб. Виділимо цілу частину:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Коротке рішення:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Скоротити дроби також можна було заміною чисел у чисельнику та знаменнику на їх розкладання на прості множники. У такому разі рішення можна було записати так:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Відповідь:$1\frac(2)(5).$

При множенні дробу на натуральне число можна використовувати закон:

Розподіл звичайних дробів

Операція поділу є зворотною до множення і результатом її є дріб, на яку потрібно помножити відомий дріб, щоб отримати відомий добуток двох дробів.

Поділ двох звичайних дробів

Правило поділу звичайних дробів:Очевидно, що чисельник і знаменник отриманого дробу можна розкласти на прості множники і скоротити:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

В результаті отримали неправильний дріб, з якого виділимо цілу частину:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Відповідь:$1\frac(5)(9).$

Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів у 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, тому що в побуті часто потрібно розглядати або використовувати якийсь об'єкт не повністю, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми – частки. Частки - це рівні частини, куди розділений той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину чи ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини чи частки будь-якого заходу. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, у VIII столітті виникло саме слово «дроб» у російській мові.

Дробові вислови тривалий час вважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, у разі першопідручників з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося у розумінні людей.

Сучасному виду простих дробових залишків, частини яких розділені саме горизонтальною межею, вперше посприяв Фібоначчі – Леонардо Пізанський. Його праці датовані 1202 року. Але мета цієї статті – просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів із різними знаменниками.

Розмноження дробів з різними знаменниками

Спочатку варто визначити різновиди дробів:

правильні;
неправильні;
змішані.

Далі слід згадати, як відбувається множення дробових чисел із однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробовий вираз, чисельник якого є добутком чисельників, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменник є квадратом одного з існуючих спочатку.

При множенні простих дробів із різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Єдине відмінність у цьому, що освічене число під дробовою рисою буде добутком різних чисел і, природно, квадратом одного числового виразу його назвати неможливо.

Варто розглянути множення дробів із різними знаменниками на прикладах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

У прикладах застосовуються способи скорочення дробових виразів. Можна скорочувати лише числа чисельника з числами знаменника, поруч множники, що стоять, над дробовою рисою або під нею скорочувати не можна.

Поряд із простими дробовими числами, існує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа та дробової частини, тобто є сумою цих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Як відбувається перемноження

Пропонується кілька прикладів до розгляду.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цієї дії можна формулою:

a * b/c = a*b /c.

Власне, такий твір є сума однакових дробових залишків, а кількість доданків вказує це натуральне число. Окремий випадок:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Існує ще один варіант вирішення множення числа на дрібний залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:

d * e/f = e/f: d.

Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як кажуть, націло.

Перевести змішані числа в неправильні дроби та отримати добуток раніше описаним способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

У цьому прикладі бере участь спосіб подання змішаного дробу в неправильний, його також можна подати у вигляді загальної формули:

a bc = a * b + c/c, де знаменник нового дробу утворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при складанні його з чисельником вихідного дробового залишку, а знаменник залишається тим самим.

Цей процес працює і у зворотний бік. Для виділення цілої частини та дробового залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на його знаменник «куточком».

Розмноження неправильних дробіввиробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробовою рисою, при необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.

В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завдання у різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу за рахунок множення дробів з різними числами в знаменниках – так звані онлайн-калькулятори для розрахунку дробів. Вони здатні не тільки помножити, а й зробити всі інші найпростіші арифметичні операції зі звичайними дробами та змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичної дії та натискається "обчислити". Програма рахує автоматично.

Тема арифметичних процесів з дробовими числами актуальна протягом навчання школярів середньої та старшої ланки. У старших класах розглядають не прості види, а цілі дробові вирази, але знання правил щодо перетворення та розрахунків, отримані раніше, застосовуються у первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знання дають повну впевненість у вдалому вирішенні найскладніших завдань.

На закінчення має сенс навести слова Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої переваги, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості».

) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).

Формула множення дробів:

Наприклад:

Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше буде далі робити розрахунки.

Розподіл звичайного дробу на дріб.

Розподіл дробів за участю натурального числа.

Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:

Розмноження змішаних дробів.

Правила множення дробів (змішаних):

перетворюємо змішані дроби на неправильні;
перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
скорочуємо дріб;
якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.

Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно, спершу, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.

Другий спосіб множення дробу на натуральне число.

Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.

Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.

З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Багатоповерхові дроби.

У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:

Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:

Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.

Зверніть увагу, наприклад:

При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:

Практичні поради при множенні та розподілі дробів:

1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися в розрахунках в умі.

2. У завданнях з різними видами дробів – переходьте до виду звичайних дробів.

3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.

4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

Минулого разу ми навчилися складати та віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільного знаменника.

Тепер настав час розібратися з множенням та поділом. Хороша новина полягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли є два позитивні дроби без виділеної цілої частини.

Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.

Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.

Позначення:

З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, достатньо поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.

В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.

За визначенням маємо:

Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів

Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.

Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:

Плюс мінус дає мінус;
Мінус на мінус дає плюс.

Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробів, коли потрібно позбавитися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:

Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадку, один мінус може вижити – той, якому не знайшлося пари;
Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:

Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).

Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужках. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.

Скорочення дробів «на льоту»

Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

За визначенням маємо:

У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.

Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.

Однак ні в якому разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:

Так робити не можна!

Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості йдеться саме про множення чисел.

Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:

Правильне рішення:

Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.