Система рівнянь називається однорідною коли. Однорідні системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називаються однорідними :

Будь-яка однорідна система завжди спільна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним ) Рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.

Теорема 5.2.Однорідна система має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці менший за кількість її невідомих.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник основний матриці системи не дорівнює нулю.

Приклад 5.6.Визначити значення параметра l, за яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:

Рішення. Ця система матиме нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:

Отже, система нетривіальна, коли l=3 чи l=2. При l=3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи лише одне рівняння і вважаючи, що y=aі z=b, отримаємо x=b-a, тобто.

При l=2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи як базисний мінор:

отримаємо спрощену систему

Звідси знаходимо, що x=z/4, y=z/2. Вважаючи z=4a, отримаємо

Безліч всіх рішень однорідної системи має дуже важливе значення. лінійною властивістю : якщо стовпці X 1 та X 2 - рішення однорідної системи AX = 0, то всяка їхня лінійна комбінація a X 1 + b X 2 також буде вирішенням цієї системи. Справді, оскільки AX 1 = 0 і AX 2 = 0 , то A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, то цих рішень буде нескінченно багато.

Лінійно незалежні стовпці E 1 , E 2 , E k, що є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо загальне рішення цієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:

Якщо однорідна система має nзмінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r, то k = n-r.

Приклад 5.7.Знайти фундаментальну систему розв'язків наступної системи лінійних рівнянь:

Рішення. Знайдемо ранг основної матриці системи:

Таким чином, безліч рішень даної системи рівнянь утворює лінійний підпростір розмірності n - r= 5 - 2 = 3. Виберемо як базисний мінор

Тоді залишаючи тільки базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), отримаємо спрощену систему рівнянь:

Вважаючи, x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, знаходимо

Вважаючи a= 1, b = c= 0, отримаємо перше базисне рішення; вважаючи b= 1, a = c= 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c= 1, a = b= 0, отримаємо третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна система рішень набуде вигляду

З використанням фундаментальної системи загальне рішення однорідної системи можна записати як

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Зазначимо деякі властивості розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь AX=Bта їх взаємозв'язок відповідною однорідною системою рівнянь AX = 0.

Загальне рішення неоднорідної системидорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 та довільного приватного вирішення неоднорідної системи. Справді, нехай Y 0 довільне окреме рішення неоднорідної системи, тобто. AY 0 = B, і Y- загальне рішення неоднорідної системи, тобто. AY = B. Віднімаючи одну рівність з іншої, отримаємо
A(Y-Y 0) = 0, тобто. Y - Y 0 є загальне рішення відповідної однорідної системи AX=0. Отже, Y - Y 0 = X, або Y = Y 0 + X. Що й потрібно було довести.

Нехай неоднорідна система має вигляд AX = B 1 + B 2 . Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X 1 + X 2 , де AX 1 = B 1 та AX 2 = B 2 . Ця властивість виражає універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці ця властивість називається принципом суперпозиції, в електро- та радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, в теорії лінійних електричних ланцюгів струм у будь-якому контурі може бути отриманий як сума алгебри струмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.

Лінійне рівняння називається однорідним, якщо його вільний член дорівнює нулю, і неоднорідним інакше. Система, що складається з однорідних рівнянь, називається однорідною і має загальний вигляд:

Вочевидь, будь-яка однорідна система спільна і має нульове (тривіальне) рішення. Тому стосовно однорідним системам лінійних рівнянь часто доводиться шукати у відповідь питання існування ненульових рішень. Відповідь це питання можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема . Однорідна система лінійних рівнянь має ненульове рішення тоді і тільки тоді, коли її ранг менший за кількість невідомих .

Доведення: Допустимо, система, ранг якої дорівнює, має ненульове рішення. Очевидно, що не перевершує . У цьому випадку система має єдине рішення. Оскільки система однорідних лінійних рівнянь завжди має нульове рішення, саме нульове рішення і буде цим єдиним рішенням. Таким чином, ненульові рішення можливі лише за .

Наслідок 1 : Однорідна система рівнянь, у якій кількість рівнянь менша за кількість невідомих, завжди має ненульове рішення.

Доведення: Якщо в системи рівнянь, то ранг системи вбирається у числа рівнянь, тобто. . Отже, виконується умова і, отже, система має ненульове рішення.

Наслідок 2 : p align="justify"> Однорідна система рівнянь з невідомими має ненульове рішення тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

Доведення: Припустимо, система лінійних однорідних рівнянь, матриця якої з визначником має ненульове рішення. Тоді з доведеної теоремі , але це, що матриця вироджена, тобто. .

Теорема Кронекера-Капеллі: СЛУ спільна тоді і лише тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи. Система ур-ий називається спільної, якщо вона має хоча одне рішення.

Однорідна система лінійних рівнянь алгебри.

Система m лінійних ур-ій з n змінними називається системою лінійних однорідних рівнянь, якщо вільні члени рівні 0. Система лінійних однорідних ур-ий завжди спільна, т.к. вона завжди має принаймні нульове рішення. Система лінійних однорідних ур-ий має ненульове рішення і тоді, коли ранг її матриці коефіцієнтів при змінних менше числа змінних, тобто. при rang A (n. Будь-яка лін. комбінація

рішень системи лін. однорідний. ур-ий є рішенням цієї системи.

Система лін.незалежних рішень е1, е2, ..., еk називається фундаментальною, якщо кожне рішення системи є лінійною комбінацією рішень. Теорема: якщо ранг r матриці коефіцієнтів при змінних системах лінійних однорідних рівнянь менший від числа змінних n, то будь-яка фундаментальна система рішень системи складається з n-r рішень. Тому загальне рішення системи лин. однордн. ур-ий має вигляд: с1е1+с2е2+…+сkеk, де е1, е2,…, еk – будь-яка фундаментальна система рішень, с1, с2,…, сk – довільні числа і k=n-r. Загальне рішення системи m лінійних ур-ій з n змінними дорівнює сумі

загального рішення відповідної їй системи однорідної. лінійних ур-ій та довільного приватного вирішення цієї системи.

7.Лінійні простори. Підпростору. Базис, розмірність. Лінійна оболонка. Лінійний простір називається n-мірнимякщо в ньому існує система з лінійно незалежних векторів, а будь-яка система з більшої кількості векторів лінійно залежна. Число називається розмірністю (числом вимірів)лінійного простору і позначається. Іншими словами, розмірність простору – це максимальна кількість лінійно незалежних векторів цього простору. Якщо така кількість існує, то простір називається кінцевим. Якщо для будь-якого натурального числа п у просторі знайдеться система, що складається з лінійно незалежних векторів, такий простір називають нескінченномірним (записують: ). Далі, якщо не обумовлено неприємне, розглядатимуться кінцеві простори.

Базисом n-вимірного лінійного простору називається впорядкована сукупність лінійно незалежних векторів ( базисних векторів).

Теорема 8.1 про розкладання вектора за базисом. Якщо - базис n-вимірного лінійного простору, то будь-який вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
і до того ж єдиним чином, тобто. Коефіцієнти визначаються однозначно.Іншими словами, будь-який вектор простору може бути розкладений по базису і до того ж єдиним чином.

Справді, розмірність простору дорівнює . Система векторів лінійно незалежна (це базис). Після приєднання до базису будь-якого вектора отримуємо лінійно залежну систему (оскільки ця система складається з векторів n-мірного простору). За якістю 7 лінійно залежних та лінійно незалежних векторів отримуємо висновок теореми.

Розглянемо однорідну систему m лінійних рівнянь із n змінними:

(15)

Система однорідних лінійних рівнянь завжди спільна, т.к. вона має нульове (тривіальне) рішення (0,0,…,0).

Якщо системі (15) m=n і , то система має лише нульове рішення, що з теореми і формул Крамера.

Теорема 1. Однорідна система (15) має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг її матриці менший від числа змінних, тобто . r(A)< n.

Доведення. Існування нетривіального рішення системи (15) еквівалентно лінійної залежності стовпців матриці системи (тобто існують такі числа х 1, x 2, ..., x n, не всі рівні нулю, що справедливі рівності (15)).

По теоремі про базисному мінорі стовпці матриці лінійно залежні , коли всі стовпці цієї матриці є базисними, тобто. , коли порядок r базисного мінору матриці менший від числа n її стовпців. Ч.т.д.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальні рішення  коли |А|=0.

Теорема 2. Якщо стовпці х (1), х (2), ..., х (s) рішення однорідної системи АХ = 0, то будь-яка їхня лінійна комбінація так само є рішенням цієї системи.

Доведення. Розглянемо будь-яку комбінацію рішень:

Тоді АХ=А()===0. ч.т.д.

Наслідок 1.Якщо однорідна система має нетривіальне рішення, вона має нескінченно багато рішень.

Т.о. необхідно знайти такі рішення х (1), х (2), ..., х (s) системи Ах = 0, щоб будь-яке інше рішення цієї системи представлялося у вигляді їх лінійної комбінації і до того ж єдиним чином.

Визначення.Система k = n-r (n-кількість невідомих у системі, r = rg A) лінійно незалежних рішень х (1), х (2), ..., х (k) системи Ах = 0 називається фундаментальною системою рішеньцієї системи.

Теорема 3. Нехай дана однорідна система Ах = 0 з n невідомими і r = rg A. Тоді існує набір з k = n-r рішень х (1), х (2), ..., х (k) цієї системи, що утворюють фундаментальну систему рішень.

Доведення. Не обмежуючи спільності, можна вважати, що базисний мінор матриці розташований у верхньому лівому кутку. Тоді, за теоремою про базисний мінор, решта рядків матриці А є лінійними комбінаціями базисних рядків. Це означає, що й значення х 1 ,х 2 ,…,x n задовольняють першим r рівнянь тобто. рівнянням, які відповідають рядкам базисного мінору), то вони задовольняють і іншим рівнянням. Отже, безліч рішень системи не зміниться, якщо відкинути всі рівняння, починаючи з (r+1)-го. Отримаємо систему:

Перенесемо вільні невідомі х r +1 ,х r +2 ,…,x n у праву частину, а базисні х 1 ,х 2 ,…,x r залишимо у лівій:

(16)

Т.к. у цьому випадку все b i =0, то замість формул

c j = (M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), отримаємо:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Якщо задати вільним невідомим х r +1 ,х r +2 ,…,x n довільні значення, то щодо базисних невідомих отримаємо квадратну СЛАУ з невиродженою матрицею, яка має єдине рішення. Тобто будь-яке рішення однорідної СЛАУ однозначно визначається значеннями вільних невідомих х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Розглянемо такі k=n-r серій значень вільних невідомих:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Номер серії вказаний верхнім індексом у дужках, а серії значень виписані у вигляді стовпців. У кожній серії =1, якщоi=j та =0, якщоij.

i-ї серії значень вільних невідомих однозначно відповідають значення,, …, базових невідомих. Значення вільних і базисних невідомих разом дають рішення системи (17).

Покажемо, що шпальти е i =,i=1,2,…,k (18)

утворюють фундаментальну систему рішень.

Т.к. ці стовпці з побудови є рішеннями однорідної системи Ах=0 та його кількість одно k, залишається довести лінійну незалежність рішень (16). Нехай є лінійна комбінація рішень e 1 , e 2 ,…, e k(х (1) , х (2) , ..., х (k)), що дорівнює нульовому стовпцю:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 х (1) + 2 х(2) +…+ k х(k) = 0)

Тоді ліва частина цієї рівності є стовпцем, компоненти якого з номерами r+1,r+2,…,n дорівнюють нулю. Але (r+1)-я компоненти дорівнює  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Аналогічно, (r+2)-я компонента дорівнює  2 , ..., k-я компонента дорівнює  k . Тому  1 =  2 = …= k =0, що означає лінійну незалежність рішень e 1 , e 2 ,…, e k (х (1), х (2), ..., х (k)).Ч.т.д.

Побудована фундаментальна система рішень (18) називається нормальною. У силу формули (13) вона має такий вигляд:

(20)

Наслідок 2. Нехай e 1 , e 2 ,…, e k-Нормальна фундаментальна система рішень однорідної системи, тоді безліч всіх рішень можна описати формулою:

х=з 1 e 1 +з 2 e 2 +…+з k e k (21)

де з 1, з 2, ..., з k - Набувають довільні значення.

Доведення. По теоремі 2 стовпець (19) рішення однорідної системи Ах=0. Залишається довести, що будь-яке рішення цієї системи можна подати у вигляді (17). Розглянемо стовпець х= у r +1 e 1 +…+y n e k. Цей стовпець збігається зі стовпцем у елементах з номерами r+1,…,n і є рішенням (16). Тому стовпці хі узбігаються, т.к. рішення системи (16) визначаються однозначно набором значень її вільних невідомих x r +1 ,…,x n , а в стовпців уі хці набори збігаються. Отже, у=х= у r +1 e 1 +…+y n e k, тобто. Рішення ує лінійною комбінацією стовпців e 1 ,…, y n нормальної ФСР. Ч.т.д.

Доведене твердження справедливе як для нормальної ФСР, але й довільної ФСР однорідної СЛАУ.

Х =c 1 Х 1 + c 2 Х 2 +…+с n - r Х n - r - загальне рішеннясистеми лінійних однорідних рівнянь

Де Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r – будь-яка фундаментальна система рішень,

c 1 ,c 2 ,…,з n - r – довільні числа.

приклад. (С. 78)

Встановимо зв'язок між рішеннями неоднорідної СЛАУ (1) та відповідної їй однорідної СЛАУ (15)

Теорема 4. Сума будь-якого рішення неоднорідної системи (1) і відповідної однорідної системи (15) є рішенням системи (1).

Доведення. Якщо c 1 ,…,c n – рішення системи (1), а d 1 ,…,d n - рішення системи (15), то підставивши будь-яке (наприклад, в i-е) рівняння системи (1) на місце невідомих числа c 1 + d 1, ..., c n + d n, Отримаємо:

B i +0 = bi ч.т.д.

Теорема 5. Різниця двох довільних розв'язків неоднорідної системи (1) є рішенням однорідної системи (15).

Доведення. Якщо c 1 ,…,c n і c 1 ,…,c n – рішення системи (1), то підставивши у будь-яке (наприклад, у i-е) рівняння системи (1) на місце невідомих числа c 1 -с 1 ,…,c n -с n , отримаємо:

B i -bi =0 ч.т.д.

З доведених теорем випливає, що загальне розв'язання системи m лінійних однорідних рівнянь з n змінними дорівнює сумі загального рішення відповідної їй однорідних лінійних рівнянь (15) і довільного числа приватного рішення цієї системи (15).

Х неод. = Х заг. одн. +Х част. неодн. (22)

Як приватне рішення неоднорідної системи природно взяти те його рішення, яке виходить, якщо в формулах c j = j=1,2,…,r ((13) покласти рівними нулю усі числа c r +1 ,…,c n ,тобто.

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Складаючи це приватне рішення із загальним рішенням Х =c 1 Х 1 + c 2 Х 2 +…+с n - r Х n - rвідповідної однорідної системи, отримуємо:

Х неод. = Х 0 +С 1 Х 1 +С 2 Х 2 +…+С n - r Х n - r (24)

Розглянемо систему двох рівнянь із двома змінними:

в якій хоча б один із коеф. a ij 0.

Для рішення виключимо х 2 , помноживши перше рівняння на а 22 , а друге - на (-а 12) і склавши їх: Виключимо х 1 , помноживши перше рівняння на (-а 21), а друге - на а 11 і склавши їх: Вираз у дужках – визначник

Позначивши ,, тоді система набуде вигляду:, тобто, якщо, то система має єдине рішення:,.

Якщо Δ=0, а (або), система несумісна, т.к. наводиться до видуЯкщо Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, то система невизначена, т.к. наводиться до вигляду

Система mлінійних рівнянь c nневідомими називається системою лінійних одноріднихрівнянь, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю. Така система має вигляд:

де а ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - задані числа; х i- Невідомі.

Система лінійних однорідних рівнянь завжди спільна, оскільки r(А) = r(). Вона має, принаймні, нульове ( тривіальне) рішення (0; 0; …; 0).

Розглянемо за яких умов однорідні системи мають ненульові рішення.

Теорема 1.Система лінійних однорідних рівнянь має ненульові рішення тоді й лише тоді, коли ранг її основної матриці rменше числа невідомих n, тобто. r < n.

□ 1). Нехай система лінійних однорідних рівнянь має ненульове розв'язання. Так як ранг не може перевищувати розмір матриці, то, очевидно, r ≤ n. Нехай r = n. Тоді один із мінорів розміру n nвідмінний від нуля. Тому відповідна система лінійних рівнянь має єдине рішення: , , . Отже, інших, окрім тривіальних рішень немає. Отже, якщо є нетривіальне рішення, то r < n.

2). Нехай r < n. Тоді однорідна система, будучи спільною, є невизначеною. Отже, вона має безліч рішень, тобто. має й ненульові рішення. ■

Розглянемо однорідну систему nлінійних рівнянь c nневідомими:

(2)

Теорема 2.Однорідна система nлінійних рівнянь c nневідомими (2) має ненульові рішення і тоді, коли її визначник дорівнює нулю: = 0.

□ Якщо система (2) має ненульове рішення, то = 0. Бо система має тільки єдине нульове рішення. Якщо ж = 0, то ранг rосновний матриці системи менше від числа невідомих, тобто. r < n. І, отже, система має безліч рішень, тобто. має й ненульові рішення. ■

Позначимо рішення системи (1) х 1 = k 1 , х 2 = k 2 , …, х n = k nу вигляді рядка .

Рішення системи лінійних однорідних рівнянь мають такі властивості:

1. Якщо рядок - рішення системи (1), то рядок - рішення системи (1).

2. Якщо рядки і - рішення системи (1), то за будь-яких значень з 1 та з 2 їхня лінійна комбінація - теж рішення системи (1).

Перевірити справедливість зазначених властивостей можна безпосередньою підстановкою в рівняння системи.

Зі сформульованих властивостей випливає, що будь-яка лінійна комбінація рішень системи лінійних однорідних рівнянь також є рішенням цієї системи.

Система лінійно незалежних рішень е 1 , е 2 , …, е рназивається фундаментальної, якщо кожне рішення системи (1) є лінійною комбінацією цих рішень е 1 , е 2 , …, е р.

Теорема 3.Якщо ранг rматриці коефіцієнтів при змінних системах лінійних однорідних рівнянь (1) менше числа змінних n, то всяка фундаментальна система рішень системи (1) складається з n – rрішень.

Тому загальне рішеннясистеми лінійних однорідних рівнянь (1) має вигляд:

де е 1 , е 2 , …, е р– будь-яка фундаментальна система рішень системи (9), з 1 , з 2 , …, з р- довільні числа, р = n – r.

Теорема 4.Загальне рішення системи mлінійних рівнянь c nневідомими дорівнює сумі загального розв'язання відповідної їй системи лінійних однорідних рівнянь (1) та довільного приватного розв'язання цієї системи (1).

приклад.Вирішіть систему

Рішення.Для даної системи m = n= 3. Визначник

по теоремі 2 система має лише тривіальне рішення: x = y = z = 0.

приклад. 1) Знайдіть загальне та приватні рішення системи

2) Знайдіть фундаментальну систему рішень.

Рішення. 1) Для цієї системи m = n= 3. Визначник

за теоремою 2 система має ненульові рішення.

Оскільки в системі лише одне незалежне рівняння

x + y – 4z = 0,

то з нього висловимо x =4z- y. Звідки отримаємо безліч рішень: (4 z- y, y, z) - це і є загальне рішення системи.

При z= 1, y= -1, отримаємо одне окреме рішення: (5, -1, 1). Поклавши z= 3, y= 2, отримаємо друге окреме рішення: (10, 2, 3) і т.д.

2) У загальному рішенні (4 z- y, y, z) змінні yі zє вільними, а змінна х- Залежна від них. Для того, щоб знайти фундаментальну систему рішень, надамо вільним змінним значенням: спочатку y = 1, z= 0, потім y = 0, z= 1. Отримаємо приватні рішення (-1, 1, 0), (4, 0, 1), які утворюють фундаментальну систему рішень.

Ілюстрації:

Мал. 1 Класифікація систем лінійних рівнянь

Мал. 2 Дослідження систем лінійних рівнянь

Презентації:

· Рішення СЛАУ_матричний метод

· Рішення СЛАУ_метод Крамера

· Рішення СЛАУ_метод Гаусса

· Пакети вирішення математичних завдань Mathematica, MathCad: пошук аналітичного та числового рішення систем лінійних рівнянь

Контрольні питання:

1. Дайте визначення лінійного рівняння

2. Який вид має система mлінійних рівнянь з nневідомими?

3. Що називається розв'язуванням систем лінійних рівнянь?

4. Які системи називаються рівносильними?

5. Яка система називається несумісною?

6. Яка система називається спільною?

7. Яка система називається певною?

8. Яка система називається невизначеною

9. Перерахуйте елементарні перетворення систем лінійних рівнянь

10. Перерахуйте елементарні перетворення матриць

11. Сформулюйте теорему щодо застосування елементарних перетворень до системи лінійних рівнянь

12. Які системи можна вирішувати матричним способом?

13. Які системи можна розв'язувати методом Крамера?

14. Які системи можна вирішувати методом Гаусса?

15. Перерахуйте 3 можливі випадки, що виникають при вирішенні систем лінійних рівнянь методом Гаусса

16. Опишіть матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь

17. Опишіть метод Крамера розв'язання систем лінійних рівнянь

18. Опишіть метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь

19. Які системи можна вирішувати із застосуванням зворотної матриці?

20. Перерахуйте 3 можливі випадки, що виникають при вирішенні систем лінійних рівнянь методом Крамера

Література:

1. Вища математика для економістів: Підручник для вузів/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, І.М. Трішин, М.Н.Фрідман. За ред. Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНІТІ, 2005. - 471 с.

2. Загальний курс вищої математики економістів: Підручник. / За ред. В.І. Єрмакова. -М.: ІНФРА-М, 2006. - 655 с.

3. Збірник завдань з вищої математики для економістів: Навчальний посібник/Під ред.В.І. Єрмакова. М.: ІНФРА-М, 2006. - 574 с.

4. Гмурман В. Є. Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та магматичної статистики. - М: Вища школа, 2005. - 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теорія ймовірностей та математична статистика. - М: Вища школа, 2005.

6. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т.Я. Вища математика у вправах та завданнях. Ч. 1, 2. - М.: Онікс 21 століття: Світ та освіта, 2005. - 304 с. Ч. 1; - 416 с. ч. 2.

7. Математика економіки: Підручник: У 2-х год. / А.С. Солодовніков, В.А. Бабайцев, А.В. Браїлов, І.Г. Шандар. - М.: Фінанси та статистика, 2006.

8. Шипачов В.С. Вища математика: Підручник для студ. вузів - М.: Вища школа, 2007. - 479 с.

Подібна інформація.

6.3. ОДНОРОДНІ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Нехай тепер у системі (6.1).

Однорідна система завжди спільна. Рішення () називається нульовим, або тривіальним.

Однорідна система (6.1) має ненульове рішення тоді і лише тоді, коли її ранг ( ) менше числа невідомих. Зокрема, однорідна система, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих, має ненульове рішення тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

Бо цього разу всізамість формул (6.6) отримаємо наступні:

(6.7)

Формули (6.7) містять будь-яке рішення однорідної системи (6.1).

1. Сукупність всіх розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь (6.1) утворює лінійний простір.

2. Лінійний простірRвсіх розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь (6.1) зnневідомими та рангом основної матриці, рівнимr, має розмірністьn – r.

Будь-яка сукупність з (n – r) лінійно незалежних рішень однорідної системи (6.1) утворює базис у просторіRвсіх рішень. Вона називається фундаментальноїсукупністю розв'язків однорідної системи рівнянь (6.1). Особливо виділяють «нормальну»фундаментальну сукупність рішень однорідної системи (6.1):

(6.8)

За визначенням базису, будь-яке рішення Ходнорідної системи (6.1) представимо у вигляді

(6.9)

де - Довільні постійні.

Оскільки формула (6.9) містить будь-яке рішення однорідної системи (6.1), вона дає загальне рішенняцієї системи.

приклад.