Таким чином, довжина вектора розраховується, як квадратний корінь із суми квадратів його координат
. Аналогічно розраховується довжина-мірного вектора
. Якщо згадати, кожна координата вектора – це різницю між координатами кінця і початку, ми отримаємо формулу довжини відрізка, тобто. евклідова відстані між точками.

Скалярний твірдвох векторів на площині – це добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними:
. Можна довести, що скалярний твір двох векторів = (х 1, х 2) і = (y 1 , y 2) дорівнює сумі творів відповідних координат цих векторів:
= х 1 * y 1 + х 2 * y 2.

У n-мірному просторі скалярний добуток векторів X = (х 1, х 2, ..., х n) і Y = (y 1, y 2, ..., y n) визначається, як сума творів їх відповідних координат: X * Y = х 1 * y 1 + х 2 * y 2 + ... + х n * y n.

Операція множення векторів один на одного аналогічна множенню матриці-рядка на матрицю-стовпець. Наголосимо, що в результаті буде отримано число, а не вектор.

Скалярний добуток векторів має такі властивості (аксіоми):

1) Комутативне властивість: X * Y = Y * X.

2) Дистрибутивна щодо додавання властивість: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Для будь-якого дійсного числа 
.

4)
, якщо X-не нульовий вектор;
якщо X - нульовий вектор.

Лінійний векторний простір, в якому задано скалярний добуток векторів, що задовольняє чотирьом відповідним аксіомам, називається евклідовим лінійним векторнимпростором.

Легко помітити, що з множенні будь-якого вектора себе ми отримаємо квадрат його довжини . Тому по-іншому довжинувектор можна визначити, як квадратний корінь з його скалярного квадрата:.

Довжина вектора має такі властивості:

1) | X | = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, де– дійсне число;

3) | X * Y |  | X | * | Y | ( нерівність Коші-Буняківського);

4) |X+Y||X|+|Y| ( нерівність трикутника).

Кут між векторами в n-мірному просторі визначається, виходячи з поняття скалярного твору. Справді, якщо
, то
. Цей дріб не більше одиниці (відповідно до нерівності Коші-Буняковського), тому звідси можна знайти.

Два вектори називають ортогональнимиабо перпендикулярними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. З визначення скалярного твору випливає, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору. Якщо обидва ортогональні вектори ненульові, то обов'язковоcos= 0, тобто=/2 = 90 о.

Розглянемо ще раз рисунок 7.4. З малюнка видно, що косинус кута  нахилу вектора до горизонтальної осі можна розрахувати як
, а косинус кута нахилу вектора до вертикальної осі як
. Ці числа прийнято називати напрямними косинусами. Легко переконатися, що сума квадратів направляючих косінусів завжди дорівнює одиниці: cos 2  + cos 2  = 1. Аналогічно можна запровадити поняття напрямних косінусів і для просторів більшої розмірності.

Базис векторного простору

Для векторів можна визначити поняття лінійної комбінації,лінійної залежностіі незалежностіаналогічно до того, як ці поняття були введені для рядків матриці. Також справедливо, що якщо вектори лінійно залежні, то принаймні один із них можна лінійно виразити через інші (тобто він є їхньою лінійною комбінацією). Правильне і зворотне твердження: якщо з векторів є лінійної комбінацією інших, всі ці вектори разом лінійно залежні.

Зазначимо, якщо серед векторів a l , a 2 ,...a m є нульовий вектор, то ця сукупність векторів обов'язково лінійно залежна. Справді, ми отримаємо  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, якщо, наприклад, прирівняємо коефіцієнт j при нульовому векторі до одиниці, а всі інші коефіцієнти – до нуля. При цьому не всі коефіцієнти дорівнюватимуть нулю ( j ≠ 0).

Крім того, якщо якась частина векторів із сукупності векторів лінійно залежні, то всі ці вектори - лінійно залежні. Справді, якщо якісь вектори дають нульовий вектор у своїй лінійній комбінації з коефіцієнтами, які не є одночасно нульовими, то до цієї суми творів можна додати інші вектори, помножені на нульові коефіцієнти, і вона, як і раніше, буде нульовим вектором.

Як визначити, чи вектори є лінійно залежними?

Наприклад, візьмемо три вектори: а 1 = (1, 0, 1, 5), а 2 = (2, 1, 3, -2) та а 3 = (3, 1, 4, 3). Складемо з них матрицю, в якій вони будуть стовпцями:

Тоді питання лінійної залежності зведеться до визначення рангу цієї матриці. Якщо він виявиться рівним трьом, то всі три стовпці – лінійно незалежні, а якщо виявиться менше, то це буде говорити про лінійну залежність векторів.

Оскільки ранг дорівнює 2, вектори лінійно залежні.

Зазначимо, що розв'язання задачі можна було б розпочати і з міркувань, які ґрунтуються на визначенні лінійної незалежності. А саме, скласти векторне рівняння  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, яке набуде вид l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тоді ми отримаємо систему рівнянь:

Рішення цієї системи методом Гауса зведеться до отримання тієї ж ступеневої матриці, тільки в ній буде ще один стовпець - вільних членів. Вони всі дорівнюватимуть нулю, оскільки лінійні перетворення нулів не можуть призвести до іншого результату. Перетворена система рівнянь набуде вигляду:

Рішенням цієї системи буде (-с;-с; с), де с – довільне число; наприклад, (-1; -1; 1). Це означає, що якщо взяти  l = -1;  2 = -1 і  3 = 1, то  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, тобто. вектор насправді лінійно залежні.

З вирішеного прикладу стає ясно, що й узяти число векторів більше, ніж розмірність простору, всі вони обов'язково будуть лінійно залежні. Справді, якби в цьому прикладі ми взяли п'ять векторів, то отримали б матрицю 4 х 5, ранг якої не міг би виявитися більшим за чотири. Тобто. максимальна кількість лінійно незалежних стовпців все одно не була б більшою за чотири. Два, три чи чотири чотиривимірні вектори можуть виявитися лінійно незалежними, а п'ять і більше – не можуть. Отже, на площині можуть бути лінійно незалежними не більше двох векторів. Будь-які три вектори у двовимірному просторі – лінійно залежні. У тривимірному просторі будь-які чотири (або більше) вектори завжди лінійно залежні. І т.п.

Тому розмірністьпростору можна визначити, як максимальна кількість лінійно незалежних векторів, які можуть бути в ньому.

Сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору R називають базисомцього простору.

Теорема. Кожен вектор лінійного простору можна у вигляді лінійної комбінації векторів базису, і до того ж єдиним способом.

Доказ. Нехай вектори e l , e 2 , ... n утворюють базисn-мірного простору R. Доведемо, що будь-який вектор Х є лінійною комбінацією цих векторів. Оскільки разом із вектором Х число векторів стане (n +1), ці (n +1) векторів будуть лінійно залежні, тобто. існують числа l , 2 ,..., n ,, не рівні одночасно нулю, такі що

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

У цьому 0, т.к. в іншому випадку ми отримали б l e l + 2 e 2 + ... + n e n = 0, де не всі коефіцієнти l, 2, ..., n рівні нулю. Це означає, що вектори базису виявилися б лінійно залежними. Отже, можна розділити обидві частини першого рівняння на:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ,

де х j = -( j /),
.

Тепер доведемо, що таке уявлення у вигляді лінійної комбінації є єдиним. Припустимо неприємне, тобто. що існує інше уявлення:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Віднімемо з нього почленно отриманий вираз:

0 = (y l – х 1)e l + (y 2 – х 2)e 2 +...+ (y n – х n)e n

Так як вектори базису лінійно незалежні, отримаємо, що (y j - x j) = 0,
, тобто j = х j . Отже, вираз виявився тим самим. Теорему доведено.

Вираз Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n називають розкладаннямвектора Х за базисом e l , e 2 ,...e n , а числа х l , х 2 ,...х n - координатамивектора x щодо цього базису, або в цьому базисі.

Можна довести, що якщо n ненульових векторів n-вимірного евклідового простору попарно ортогональні, то вони утворюють базис. Справді, помножимо обидві частини рівності  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 на будь-який вектор е i . Отримаємо  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 для  i.

Вектори e l , e 2 ,...e n n-мірного евклідового простору утворюють ортонормований базис, якщо ці вектори попарно ортогональні і норма кожного їх дорівнює одиниці, тобто. якщо е i * e j = 0 приi≠jі | е i | = 1 для i.

Теорема (без підтвердження). У кожному n-мірному евклідовому просторі існує ортонормований базис.

Прикладом ортонормованого базису є система n одиничних векторів е i , у яких i-я компонента дорівнює одиниці, а інші компоненти дорівнюють нулю. Кожен такий вектор називається орт. Наприклад, вектори-орти (1, 0, 0), (0, 1, 0) і (0, 0, 1) утворюють базис тривимірного простору.

Лекція: Векторні координати; скалярний добуток векторів; кут між векторами

Координати вектора

Отже, як говорилося раніше, вектора – це спрямований відрізок, що має власний початок і поклала край. Якщо початок і кінець представлені деякими точками, значить на площині чи просторі вони мають свої координати.

Якщо ж кожна точка має свої координати, то ми можемо отримати і координати цілого вектора.

Припустимо, ми маємо деякий вектор, у якого початок і кінець вектора мають такі позначення та координати: A(A x ; Ay) та B(B x ; By)

Щоб отримати координати даного вектора, необхідно від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку:

Для визначення координати вектора у просторі слід скористатися такою формулою:

Скалярний добуток векторів

Існує два способи визначення поняття скалярного твору:

• Геометричний метод. Відповідно до нього, скалярний добуток дорівнює добутку величин даних модулів на косинус кута між ними.

• Алгебраїчне значення. З погляду алгебри, скалярне твір двох вектором – це певна величина, яка у результаті суми творів відповідних векторів.

Якщо вектори задані у просторі, слід скористатися аналогічною формулою:

Властивості:

• Якщо помножити два однакові вектори скалярно, їх скалярне твір буде негативним:

• Якщо ж скалярний добуток двох однакових векторів вийшов рівним нулю, то ці вектори вважаються нульовими:

• Якщо деякий вектор помножити на себе, то скалярний твір вийде рівним квадрату його модуля:

• Скалярний твір має комунікативну властивість, тобто від перестановки векторів скалярний твір не зміниться:

• Скалярний добуток ненульових векторів може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, якщо вектори перпендикулярні один одному:

• Для скалярного твору векторів справедливий переміщувальний закон у разі множення одного з векторів на число:

• При скалярному творі також можна використовувати дистрибутивну властивість множення:

Кут між векторами

У разі плоскої задачі скалярний добуток векторів a = (a x ; a y ) і b = (b x ; b y ) можна знайти скориставшись такою формулою:

a · b = a x · b x + a y · b y

Формула скалярного твору векторів для просторових завдань

У разі просторового завдання скалярний добуток векторів a = (a x ; a y ; a z ) і b = (b x ; b y ; b z ) можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z

Формула скалярного твору n-мірних векторів

У разі n-вимірного простору скалярний добуток векторів a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) і b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + a n · b n

Властивості скалярного твору векторів

1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більший або дорівнює нулю:

2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0<=>a = 0

3. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

4. Операція скалярного множення комунікативна:

5. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операція скалярного множення дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Приклади завдань обчислення скалярного твору векторів

Приклади обчислення скалярного добутку векторів для плоских завдань

Знайти скалярний добуток векторів a = (1; 2) та b = (4; 8).

Рішення: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Знайти скалярний добуток векторів a та b, якщо їх довжини |a| = 3, | b | = 6, а кут між векторами дорівнює 60?.

Рішення: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60 = 9.

Знайти скалярний добуток векторів p = a + 3b і q = 5a - 3b, якщо їх довжини | = 3, | b | = 2, а кут між векторами a і b дорівнює 60?.

Рішення:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60 - 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Приклад обчислення скалярного твору векторів для просторових завдань

Знайти скалярний добуток векторів a = (1; 2; -5) та b = (4; 8; 1).

Рішення: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Приклад обчислення скалярного твору для n-вимірних векторів

Знайти скалярний добуток векторів a = (1; 2; -5; 2) та b = (4; 8; 1; -2).

Рішення: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Векторним твором векторів та вектора називається третій вектор , Який визначається наступним чином:

2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1"")

3) вектори орієнтовані так само, як і базис всього простору (позитивно чи негативно).

Позначають: .

Фізичний зміст векторного твору

― момент сили щодо точки О; ― радіус ― вектор точки докладання сили, тоді

причому, якщо перенести в точку О, то трійка повинна бути орієнтована як вектора базису.

Скалярний добуток векторів

Продовжуємо розбиратися із векторами. На першому уроці Вектори для чайниківми розглянули поняття вектора, дії з векторами, координати вектора та найпростіші завдання із векторами. Якщо ви зайшли на цю сторінку вперше з пошуковика, настійно рекомендую прочитати вищезгадану вступну статтю, оскільки для засвоєння матеріалу необхідно орієнтуватися в термінах, позначеннях, що використовуються мною, володіти базовими знаннями про вектори і вміти вирішувати елементарні завдання. Цей урок є логічним продовженням теми, і на ньому я докладно розберу типові завдання, в яких використовується скалярний твір векторів. Це ДУЖЕ ВАЖЛИВЕ заняття. Намагайтеся не пропускати приклади, до них додається корисний бонус – практика допоможе вам закріпити пройдений матеріал і «набити руку» на вирішенні поширених завдань аналітичної геометрії.

Додавання векторів, множення вектора на число…. Було б наївним думати, що математики не вигадали щось ще. Крім уже розглянутих дій, існує низка інших операцій із векторами, а саме: скалярний добуток векторів, векторний добуток векторіві змішаний твір векторів. Скалярний твір векторів знайомий нам зі школи, два інших твори традиційно ставляться до курсу вищої математики. Теми нескладні, алгоритм вирішення багатьох завдань трафаретний і зрозумілий. Єдине. Інформації пристойно, тому небажано намагатися освоїти-вирішувати ВСЕ І ВІДРАЗУ. Особливо це стосується чайників, повірте, автор зовсім не хоче почувати себе Чікатіло від математики. Ну і не від математики, звичайно, теж =) Більше підготовлені студенти можуть використовувати матеріали вибірково, у певному сенсі, «добирати» знання, що бракують, для вас я буду невинним графом Дракулою =)

Прочинимо ж, нарешті, двері і захоплено подивимося, що відбувається, коли два вектори зустрічають один одного….

Визначення скалярного добутку векторів.
Властивості скалярного твору. Типові завдання

Поняття скалярного твору

Спочатку про кут між векторами. Думаю, всім інтуїтивно зрозуміло, що таке кут між векторами, але про всяк випадок трохи докладніше. Розглянемо вільні ненульові вектори та . Якщо відкласти ці вектори від довільної точки, то вийде картинка, яку багато хто вже представив уявно:

Зізнаюся, тут я описав ситуацію лише на рівні розуміння. Якщо необхідно суворе визначення кута між векторами, будь ласка, зверніться до підручника, для практичних завдань воно нам, в принципі, ні до чого. Також ТУТ І ДАЛІ я місцями ігноруватиму нульові вектори через їх малу практичну значущість. Застереження зробив спеціально для просунутих відвідувачів сайту, які можуть мені дорікнути за теоретичну неповноту деяких наступних тверджень.

може набувати значення від 0 до 180 градусів (від 0 до радіан) включно. Аналітично цей факт записується у вигляді подвійної нерівності: або (У радіанах).

У літературі значок кута часто пропускають і пишуть просто.

Визначення:Скалярним твором двох векторів і називається ЧИСЛО, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Ось це вже цілком суворе визначення.

Акцентуємо увагу на суттєвій інформації:

Позначення:скалярний твір позначається через або просто.

Результат операції є ЧИСЛОМ: Помножується вектор на вектор, а виходить число Справді, якщо довжини векторів – це числа, косинус кута – число, їхній твір теж буде числом.

Відразу пара прикладів розминки:

Приклад 1

Рішення:Використовуємо формулу . В даному випадку:

Відповідь:

Значення косинуса можна знайти в тригонометричної таблиці. Рекомендую її роздрукувати - знадобиться практично у всіх розділах вежі і знадобиться багато разів.

Чисто з математичної погляду скалярне твір безрозмірно, тобто результат, у разі , просто число і все. З точки зору завдань фізики скалярний твір завжди має певний фізичний зміст, тобто після результату потрібно вказати ту чи іншу фізичну одиницю. Канонічний приклад з обчислення роботи сили можна знайти в будь-якому підручнику (формула в точності є скалярним твіром). Робота сили вимірюється в Джоулях, тому і відповідь запишеться цілком конкретно, наприклад, .

Приклад 2

Знайти , якщо , а кут між векторами дорівнює.

Це приклад самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку.

Кут між векторами та значення скалярного твору

У Прикладі 1 скалярне твір вийшло позитивним, а Прикладі 2 – негативним. З'ясуймо, від чого залежить знак скалярного твору. Дивимося на формулу: . Довжини ненульових векторів завжди позитивні: тому знак може залежати тільки від значення косинуса.

Примітка: Для більш якісного розуміння наведеної нижче інформації краще вивчити графік косинуса в методичці Графіки та властивості функції. Подивіться, як поводиться косинус на відрізку.

Як уже зазначалося, кут між векторами може змінюватись у межах , і при цьому можливі такі випадки:

1) Якщо кутміж векторами гострий: (від 0 до 90 градусів), то , і скалярний твір буде позитивним співспрямовані, то кут між ними вважається нульовим, і скалярне твір також буде позитивним. Оскільки , формула спрощується: .

2) Якщо кутміж векторами тупий: (від 90 до 180 градусів), то , і, відповідно, скалярний твір негативно: . Особливий випадок: якщо вектори спрямовані протилежно, то кут між ними вважається розгорнутим: (180 градусів). Скалярне твір теж негативно, оскільки

Справедливі та зворотні твердження:

1) Якщо , то кут між цими векторами гострий. Як варіант вектори сонаправлены.

2) Якщо , то кут між цими векторами тупий. Як варіант вектори спрямовані протилежно.

Але особливий інтерес становить третій випадок:

3) Якщо кутміж векторами прямий: (90 градусів), то й скалярний добуток дорівнює нулю: . Назад теж вірно: якщо , то . Компактне твердження формулюється так: Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні.. Короткий математичний запис:

! Примітка : повторимо основи математичної логіки: двосторонній значок логічного слідства зазвичай читають «тоді й тільки тоді», «у тому й лише в тому випадку». Як бачите, стрілки направлені в обидві сторони – «з цього випливає це, і назад – з того, випливає це». У чому, до речі, на відміну від одностороннього значка слідування? Значок стверджує, тільки те, Що «з цього випливає це», і не факт, що протилежне справедливе. Наприклад: , але не кожен звір є пантерою, тому в цьому випадку не можна використовувати . У той же час замість значка можнавикористовувати односторонній значок. Наприклад, вирішуючи завдання, ми з'ясували, що й зробили висновок, що вектори ортогональні: – такий запис буде коректним, і навіть доречнішим, ніж .

Третій випадок має велику практичну значимістьоскільки дозволяє перевірити, ортогональні вектори чи ні. Це завдання ми вирішимо у другому розділі уроку.

Властивості скалярного твору

Повернемося до ситуації, коли два вектори співспрямовані. І тут кут з-поміж них дорівнює нулю, , і формула скалярного твори набуває вигляду: .

А що буде, якщо вектор помножити на себе? Зрозуміло, що вектор спрямований сам із собою, тому користуємося вищезгаданою спрощеною формулою:

Число називається скалярним квадратомвектора і позначаться як .

Таким чином, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату довжини даного вектора:

З цієї рівності можна отримати формулу для обчислення довжини вектора:

Поки що вона здається малозрозумілою, але завдання уроку все розставлять на свої місця. Для вирішення завдань нам також знадобляться властивості скалярного твору.

Для довільних векторів та будь-якого числа справедливі такі властивості:

1) - переміщувальний або комутативнийзакон скалярного твору

2) - Розподільчий або дистрибутивнийзакон скалярного твору Просто можна розкривати дужки.

3) - Сполучний або асоціативнийзакон скалярного твору Константу можна винести із скалярного твору.

Найчастіше, всілякі властивості (які ще й доводити треба!) сприймаються студентами як непотрібний мотлох, який лише необхідно визубрити і відразу після іспиту благополучно забути. Здавалося б, чого тут важливого, всі й так з першого класу знають, що з перестановки множників твір змінюється: . Повинен застерегти, що у вищій математиці з подібним підходом легко наламати дров. Так, наприклад, переміщувальна властивість не є справедливою для алгебраїчних матриць. Невірно воно і для векторного твору векторів. Тому, будь-які властивості, які вам зустрінуться в курсі вищої математики, як мінімум, краще вникати, щоб зрозуміти, що можна робити, а чого не можна.

Приклад 3

.

Рішення:Спочатку прояснимо ситуацію з вектором. Що це взагалі таке? Сума векторів і є цілком певний вектор, який і позначений через . Геометричну інтерпретацію дій із векторами можна знайти у статті Вектори для чайників. Та ж петрушка з вектором – це сума векторів та .

Отже, за умовою потрібно знайти скалярний твір. За ідеєю, потрібно застосувати робочу формулу Але біда в тому, що нам невідомі довжини векторів і кут між ними. Зате в умові дано аналогічні параметри для векторів, тому ми підемо іншим шляхом:

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів, вульгарну скоромовку можна знайти в статті Комплексні числаабо Інтегрування дробово-раціональної функції. Повторюватися вже не буду До речі, розкрити дужки нам дозволяє дистрибутивна властивість скалярного твору. Маємо право.

(3) У першому та останньому доданку компактно записуємо скалярні квадрати векторів: . У другому доданку використовуємо перестановочність скалярного произведения: .

(4) Наводимо такі доданки: .

(5) У першому доданку використовуємо формулу скалярного квадрата , яку недавно згадувалося. В останньому доданку, відповідно, працює та сама штука: . Другий доданок розкладаємо за стандартною формулою .

(6) Підставляємо ці умови , та УВАЖНО проводимо остаточні обчислення.

Відповідь:

Негативне значення скалярного твору констатує те що, що кут між векторами є тупим.

Завдання типове, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти скалярний добуток векторів і, якщо відомо, що .

Тепер ще одне поширене завдання, саме на нову формулу довжини вектора . Позначення тут трохи співпадатимуть, тому для ясності я перепишу її з іншою літерою:

Приклад 5

Знайти довжину вектора, якщо .

Рішеннябуде наступним:

(1) Поставляємо вираз вектора.

(2) Використовуємо формулу довжини: , при цьому як вектор «ве» у нас виступає ціле вираз .

(3) Використовуємо шкільну формулу квадрата суми. Зверніть увагу, як вона тут цікаво працює: - Це квадрат різниці, і, по суті, так воно і є. Бажаючі можуть переставити вектори місцями: – вийшло те саме з точністю до перестановки доданків.

(4) Подальше вже знайоме із двох попередніх завдань.

Відповідь:

Якщо йдеться про довжину, не забуваємо вказати розмірність - «одиниці».

Приклад 6

Знайти довжину вектора, якщо .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Продовжуємо вичавлювати корисні речі із скалярного твору. Знову подивимося на нашу формулу . За правилом пропорції скинемо довжини векторів у знаменник лівої частини:

А частини поміняємо місцями:

У чому зміст цієї формули? Якщо відомі довжини двох векторів та його скалярне твір, можна обчислити косинус кута між даними векторами, отже, і сам кут.

Скалярне твір – це число? Число. Довжини векторів – числа? Числа. Значить, дріб також є деяким числом . А якщо відомий косинус кута: , то за допомогою зворотної функції легко знайти і сам кут: .

Приклад 7

Знайти кут між векторами і якщо відомо, що .

Рішення:Використовуємо формулу:

На заключному етапі обчислень використано технічний прийом – усунення ірраціональності у знаменнику. З метою усунення ірраціональності я примножив чисельник і знаменник на .

Отже, якщо , то:

Значення зворотних тригонометричних функцій можна знайти за тригонометричної таблиці. Хоча трапляється це рідко. У завданнях аналітичної геометрії значно частіше з'являється якийсь неповороткий ведмідь на кшталт , і значення кута доводиться знаходити приблизно, використовуючи калькулятор. Власне, таку картину ми ще неодноразово побачимо.

Відповідь:

Знову, не забуваємо вказувати розмірність – радіани та градуси. Особисто я, щоб свідомо «зняти всі питання», волію вказувати і те, і те (якщо за умовою, звичайно, не потрібно подати відповідь тільки в радіанах або лише в градусах).

Тепер ви зможете самостійно впоратися із складнішим завданням:

Приклад 7*

Дані - довжини векторів, і кут між ними. Знайти кут між векторами .

Завдання навіть не так складне, як багатоходове.
Розберемо алгоритм розв'язання:

1) За умовою потрібно знайти кут між векторами і тому потрібно використовувати формулу .

2) Знаходимо скалярне твір (див. приклади № 3, 4).

3) Знаходимо довжину вектора та довжину вектора (див. Приклади № 5, 6).

4) Кінцівка рішення збігається з Прикладом № 7 - нам відоме число, а значить, легко знайти і сам кут:

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Другий розділ уроку присвячений тому ж скалярному твору. Координати. Буде навіть простіше, ніж у першій частині.

Скалярний добуток векторів,
заданих координатами в ортонормованому базисі

Відповідь:

Що й казати, мати справу з координатами значно приємніше.

Приклад 14

Знайти скалярний добуток векторів і , якщо

Це приклад самостійного рішення. Тут можна використовувати асоціативність операції, тобто не брати до уваги, а відразу винести трійку за межі скалярного твору і примножити на неї в останню чергу. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

На закінчення параграфа провокаційний приклад на обчислення довжини вектора:

Приклад 15

Знайти довжини векторів , якщо

Рішення:знову напрошується спосіб попереднього розділу: але існує й інша дорога:

Знайдемо вектор:

І його довжину за тривіальною формулою :

Скалярний твір тут взагалі не при справах!

Як не при справах воно і при обчисленні довжини вектора:
Стоп. А чи не скористатися очевидною властивістю довжини вектора? Що можна сказати про довжину вектора? Даний вектор довший за вектор у 5 разів. Напрямок протилежний, але це не відіграє ролі, адже розмова про довжину. Очевидно, що довжина вектора дорівнює добутку модулячисла на довжину вектора:
- Знак модуля «з'їдає» можливий мінус числа.

Таким чином:

Відповідь:

Формула косинуса кута між векторами, заданими координатами

Тепер у нас є повна інформація, щоб раніше виведену формулу косинуса кута між векторами виразити через координати векторів:

Косинус кута між векторами площини.та , заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:
.

Косинус кута між векторами простору, заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Приклад 16

Дано три вершини трикутника. Знайти (кут при вершині).

Рішення:За умовою креслення виконувати не потрібно, але все-таки:

Необхідний кут позначений зеленою дугою. Відразу згадуємо шкільне позначення кута: – особлива увага на середнюлітеру - це і є потрібна нам вершина кута. Для стислості можна було також записати просто.

З креслення цілком очевидно, що кут трикутника збігається з кутом між векторами і іншими словами: .

Проведений аналіз бажано навчитися виконувати подумки.

Знайдемо вектори:

Обчислимо скалярний твір:

І довжини векторів:

Косинус кута:

Саме такий порядок виконання завдання рекомендую чайникам. Більше підготовлені читачі можуть записувати обчислення «одним рядком»:

Ось і приклад поганого значення косинуса. Отримане значення не є остаточним, тому немає особливого сенсу позбавлятися ірраціональності у знаменнику.

Знайдемо сам кут:

Якщо подивитися на креслення, то результат цілком правдоподібний. Для перевірки кут можна також виміряти і транспортиром. Не пошкодіть покриття монітора =)

Відповідь:

У відповіді не забуваємо, що питалося про кут трикутника(а не про кут між векторами), не забуваємо вказати точну відповідь: і наближене значення кута: знайдене за допомогою калькулятора.

Ті, хто отримав задоволення від процесу, можуть обчислити кути і переконатися у справедливості канонічної рівності.

Приклад 17

У просторі заданий трикутник координатами своїх вершин. Знайти кут між сторонами та

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку

Невеликий заключний розділ буде присвячений проекціям, у яких теж «замішано» скалярний твір:

Вектор проекції на вектор. Вектор проекції на координатні осі.
Напрямні косинуси вектор

Розглянемо вектори та:

Спроектуємо вектор на вектор, для цього з початку та кінця вектора опустимо перпендикуляривектор (зелені пунктирні лінії). Уявіть, що вектор перпендикулярно падають промені світла. Тоді відрізок (червона лінія) буде «тінь» вектора. В даному випадку проекцією вектора на вектор є ДОВжина відрізка. Тобто ПРОЕКЦІЯ – ЦЕ ЧИСЛО.

Дане ЧИСЛО позначається так: «великим вектором» позначають вектор ЯКИЙпроектують, «маленьким підрядковим вектором» позначають вектор НАякий проектують.

Сам запис читається так: "проекція вектора "а" на вектор "бе"".

Що станеться, якщо вектор «бе» буде «надто коротким»? Проводимо пряму лінію, що містить вектор "бе". І вектор «а» проектуватиметься вже на напрям вектора «бе», Просто - на пряму, що містить вектор «бе». Те саме відбудеться, якщо вектор «а» відкласти в тридесятому царстві – він все одно легко спроектується на пряму, що містить вектор «бе».

Якщо кутміж векторами гострий(як на малюнку), то

Якщо вектори ортогональні, то (проекцією є точка, розміри якої вважаються нульовими).

Якщо кутміж векторами тупий(на малюнку подумки переставте стрілочку вектора), то (та сама довжина, але взята зі знаком мінус).

Відкладемо ці вектори від однієї точки:

Очевидно, що при переміщенні вектора його проекція не змінюється