Скільки цілих рішень має тригонометричну нерівність. Тригонометричні нерівності та методи їх вирішення

У цьому уроці ми вивчимо додавання та віднімання цілих чисел, а також правила для їх складання та віднімання.

Нагадаємо, що цілі числа - це все позитивні та негативні числа, а також число 0. Наприклад, наступні числає цілими:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Позитивні числа легко і . На жаль, цього не можна сказати про негативні числа, які бентежать багатьох новачків своїми мінусами перед кожною цифрою. Як показує практика, помилки зроблені через негативних чисел, засмучують учнів найбільше.

Зміст уроку

Приклади складання та віднімання цілих чисел

Перше чого слід навчитися, це складати і віднімати цілі числа за допомогою координатної прямої. Зовсім необов'язково малювати координатну пряму. Достатньо уявляти її у своїх думках і бачити, де розташовуються негативні числа, і де позитивні.

Розглянемо найпростіший вираз: 1 + 3. Значення даного виразу дорівнює 4:

Цей приклад можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де знаходиться число 1, потрібно зрушити праворуч на три кроки. У результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 4. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак плюса у виразі 1+3 вказує нам, що ми повинні рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 2.Знайдемо значення виразу 1-3.

Значення даного виразу дорівнює −2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується число 1, потрібно зрушити вліво на три кроки. Через війну ми опинимося у точці, де розташовується негативне число −2. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак мінуса у виразі 1 - 3 вказує нам, що ми повинні рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Взагалі, слід запам'ятати, що й здійснюється додавання, потрібно рухатися вправо у бік збільшення. Якщо ж здійснюється віднімання, потрібно рухатися вліво у бік зменшення.

приклад 3.Знайти значення виразу -2 + 4

Значення даного виразу дорівнює 2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити вправо на чотири кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться позитивне число 2.

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на чотири кроки, і опинилися в точці, де розташовується позитивне число 2.

Знак плюса у виразі −2 + 4 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 4.Знайти значення виразу −1 − 3

Значення даного виразу дорівнює −4

Цей приклад знову ж таки можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −1, потрібно зрушити вліво на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де розташовується від'ємне число -4

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −1 в лівий бікна три кроки і опинилися в точці, де розташовується від'ємне число −4.

Знак мінуса у виразі −1 − 3 вказує нам, що ми маємо рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Приклад 5.Знайти значення виразу -2 + 2

Значення даного виразу дорівнює 0

Цей приклад можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити праворуч на два кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 0

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на два кроки і опинилися в точці, де розташовується число 0.

Знак плюса у виразі −2 + 2 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

Правила складання та віднімання цілих чисел

Щоб скласти чи відняти цілі числа, зовсім необов'язково щоразу уявляти координатну пряму, тим більше малювати її. Найзручніше скористатися готовими правилами.

Застосовуючи правила, потрібно звертати увагу на знак операції та знаки чисел, які потрібно скласти або відняти. Від цього буде залежати, яке правило застосовувати.

приклад 1.Знайти значення виразу -2 + 5

Тут до негативного числа додається позитивне число. Іншими словами, здійснюється складання чисел з різними знаками. −2 це від'ємне число, а 5 – позитивне. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший модуль, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше.

Отже, подивимося який модуль більше:

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −2. Правило вимагає від більшого модуля відняти менший. Тому ми повинні відняти від 5 2, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше.

У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа буде відповідати. Тобто відповідь буде позитивною:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Зазвичай записують коротше: −2 + 5 = 3

приклад 2.Знайти значення виразу 3 + (−2)

Тут, як і в попередньому прикладі, здійснюється складання чисел з різними знаками. 3 це позитивне число, а −2 негативне. Зверніть увагу, що число −2 укладено у дужки, щоб зробити вираз зрозумілішим. Це вираз набагато простіше сприйняття, ніж вираз 3+−2.

Отже, застосуємо правило додавання чисел з різними знаками. Як і в минулому прикладі, з більшого модуля віднімаємо менший модуль і перед відповіддю ставимо знак того числа, модуль якого більше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 більший, ніж модуль числа −2, тому ми з 3 відняли 2 і перед отриманою відповіддю поставили знак того числа модуль, якого більше. У числа 3 модуль більший, тому знак цього числа поставлений у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Зазвичай записують коротше 3 + (−2) = 1

приклад 3.Знайти значення виразу 3 − 7

У цьому виразі з меншого числавіднімається більше. Для такого випадку застосовується таке правило:

Щоб від меншого числа відняти більше, потрібно з більшого числавідняти менше, і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

У цьому вся виразі є невелика загвоздка. Згадаймо, що знак рівності (=) ставиться між величинами та виразами тоді, коли вони рівні між собою.

Значення виразу 3 − 7 як ми довідалися −4. Це означає, що будь-які перетворення, які ми будемо здійснювати в даному виразі, повинні дорівнювати −4

Але ми бачимо, що на другому етапі розташовується вираз 7 - 3, який не дорівнює -4.

Щоб виправити цю ситуацію, вираз 7-3 потрібно взяти в дужки і перед цією дужкою поставити мінус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

У цьому випадку рівність дотримуватиметься на кожному етапі:

Після того, як вираз обчислений, дужки можна прибрати, що ми зробили.

Тому, щоб бути точнішим, рішення має виглядати так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Це правило можна записати за допомогою змінних. Виглядатиме воно наступним чином:

a − b = − (b − a)

Велика кількість дужок та знаків операцій можуть ускладнювати рішення, здавалося б зовсім просте завдання, тому доцільніше навчитися записувати такі приклади коротко, наприклад 3 − 7 = − 4.

Насправді додавання і віднімання цілих чисел зводиться лише до складання. Це означає, що якщо потрібно здійснити віднімання чисел, цю операцію можна замінити додаванням.

Отже, знайомимося з новим правилом:

Відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке протилежно віднімається.

Наприклад, розглянемо найпростіший вираз 5 − 3. початкових етапахвивчення математики ми ставили знак рівності та записували відповідь:

Але зараз ми прогресуємо у вивченні, тому треба пристосовуватись до нових правил. Нове правило говорить, що відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке буде віднімати.

На прикладі виразу 5-3 спробуємо зрозуміти це правило. Зменшуване в даному виразі це 5, а віднімається це 3. Правило каже, що для того, щоб з 5 відняти 3 потрібно до 5 додати таке число, яке буде протилежне 3. Протилежне для числа 3 це число -3. Записуємо новий вираз:

А як знаходити значення для таких виразів, ми вже знаємо. Це складання чисел із різними знаками, яке ми розглянули раніше. Щоб скласти числа з різними знаками, ми з більшого модуля віднімаємо менший модуль і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −3. Тому ми з 5 відняли 3 і отримали 2. У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа поставили у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Спочатку швидко замінювати віднімання додаванням вдається не всім. Це з тим, що позитивні числа записуються без знака плюс.

Наприклад, у виразі 3 - 1 знак мінуса, що вказує на віднімання, є знаком операції і не відноситься до одиниці. Одиниця в даному випадкує позитивним числом, і вона має свій знак плюса, але ми його не бачимо, оскільки плюс перед позитивними числами не записують.

А отже, для наочності цей вираз можна записати так:

(+3) − (+1)

Для зручності числа зі своїми знаками укладають у дужки. У такому разі замінити віднімання додаванням набагато простіше.

У виразі (+3) − (+1) це число, що вичитується (+1), а протилежне йому число це (-1).

Замінимо віднімання додаванням і замість віднімається (+1) записуємо протилежне йому число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Подальше обчислення не складе особливих труднощів.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На перший погляд здасться, який сенс у цих зайвих рухах тіла, якщо можна старим добрим методом поставити знак рівності і відразу записати відповідь 2. Насправді це правило ще не раз нас виручить.

Розв'яжемо попередній приклад 3 - 7, використовуючи правило віднімання. Спочатку наведемо вираз до зрозумілому вигляду, Розставивши кожному числу свої знаки.

Трійка має знак плюса, оскільки вона є позитивним числом. Мінус, що вказує на віднімання не відноситься до сімки. У сімки знак плюса, оскільки вона є позитивним числом:

Замінимо віднімання додаванням:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Подальше обчислення нескладно:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Приклад 7.Знайти значення виразу −4 − 5

Перед нами знову операція віднімання. Цю операцію слід замінити додаванням. До зменшуваного (-4) додамо число, протилежне віднімається (+5). Протилежне число для віднімання (+5) це число (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Ми дійшли ситуації, де потрібно скласти негативні числа. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

Отже, складемо модулі чисел, як від нас вимагає правило, і поставимо перед отриманою відповіддю мінус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запис із модулями необхідно укласти в дужки і перед цими дужками поставити мінус. Так ми забезпечимо мінус, який має стояти перед відповіддю:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Рішення для даного прикладуможна записати коротше:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

або ще коротше:

−4 − 5 = −9

Приклад 8.Знайти значення виразу −3 − 5 − 7 − 9

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду. Тут усі числа, крім числа −3, є позитивними, тому у них будуть знаки плюсу:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Замінимо віднімання додаваннями. Усі мінуси, крім мінуса, що стоїть перед трійкою, зміняться на плюси, і всі позитивні числа зміняться протилежні:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Тепер застосуємо правило складання негативних чисел. Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Рішення цього прикладу можна записати коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

або ще коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Приклад 9.Знайти значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Тут відразу дві операції: додавання та віднімання. Додавання залишаємо без зміни, а віднімання замінюємо додаванням:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Дотримуючись, виконаємо по черзі кожну дію, спираючись на раніше вивчені правила. Записи з модулями можна пропустити:

Перша дія:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Друга дія:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третя дія:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четверта дія:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким чином, значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7 дорівнює −15

Примітка. Наводити вираз до зрозумілого вигляду, укладаючи числа у дужки, зовсім необов'язково. Коли відбувається звикання до негативних чисел, цю дію можна пропустити, оскільки вона забирає час і може заплутати.

Отже, для складання та віднімання цілих чисел необхідно запам'ятати такі правила:

Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

У цій статті ми розберемося зі додаванням чисел з різними знаками. Тут ми наведемо правило додавання позитивного і негативного числа, і розглянемо приклади застосування цього правила при додаванні чисел з різними знаками.

Навігація на сторінці.

Правило складання чисел з різними знаками

Приклади складання чисел з різними знаками

Розглянемо приклади складання чисел з різними знакамиза правилом, розібраним у попередньому пункті. Почнемо із простого прикладу.

приклад.

Складіть числа −5 та 2 .

Рішення.

Нам потрібно скласти числа із різними знаками. Виконаємо всі кроки, вказані правилом складання позитивного та негативного числа.

Спочатку знаходимо модулі доданків, вони дорівнюють 5 і 2 відповідно.

Модуль числа −5 більший, ніж модуль числа 2 тому запам'ятовуємо знак мінус.

Залишилося поставити пам'ятний знак мінус перед отриманим числом, отримуємо −3 . На цьому складання чисел із різними знаками завершено.

Відповідь:

(−5)+2=−3 .

Щоб скласти раціональні числаз різними знаками, які є цілими, їх слід подати як звичайних дробів(можна працювати і з десятковими дробамиякщо це зручно). Розберемо цей момент під час вирішення наступного прикладу.

приклад.

Складіть позитивне число та від'ємне число −1,25 .

Рішення.

Представимо числа у вигляді звичайних дробів, для цього виконаємо перехід від змішаного числа до неправильного дробу: , і переведемо десятковий дріб у звичайний : .

Тепер можна скористатися правилом складання чисел із різними знаками.

Модулі чисел, що складаються, рівні 17/8 і 5/4 . Для зручності виконання подальших дій, наведемо дроби до спільного знаменника, в результаті маємо 17/8 та 10/8 .

Нині нам потрібно виконати порівняння звичайних дробів 17/8 та 10/8 . Так як 17> 10, то . Таким чином, доданок зі знаком плюс має більший модуль, тому запам'ятовуємо знак плюс.

Тепер з більшого модуля віднімаємо менший, тобто виконуємо віднімання дробів з однаковими знаменниками : .

Залишилося перед отриманим числом поставити запам'ятований знак плюс, отримуємо , але - це число 7/8 .

У цьому матеріалі ми розповімо, як правильно виконувати складання негативного та позитивного числа. Спочатку ми наведемо основне правило такого додавання, а потім покажемо, як воно застосовується під час вирішення завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основне правило складання позитивних та негативних чисел

Ми вже говорили раніше, що позитивну кількість можна як дохід, а негативне – як збиток. Щоб дізнатися величину доходу та витрати, треба дивитися на модулі цих чисел. Якщо в результаті виявиться, що наші витрати перевищують доходи, то після їхнього взаємного обліку ми залишимося повинні, а якщо навпаки, то залишимося в плюсі. Якщо ж витрати дорівнюють доходам, то ми матимемо нульовий залишок.

Використовуючи наведені вище міркування, можна вивести основне правило додавання чисел з різними знаками.

Визначення 1

Для складання позитивного числа з негативним необхідно знайти їх модулі та здійснити порівняння. Якщо значення виявляться рівні, то ми маємо два доданки, які є протилежними числами, та їх сума буде нульовою. Якщо ж вони не рівні, нам треба врахувати, що результат матиме той самий знак, що й більше.

Таким чином, додавання в даному випадку зводиться до віднімання з більшого числа меншого. Результат цієї дії може бути різним: ми можемо отримати як позитивне, і негативне число. Нульовий результат також можливий.

Це правило поширюється на цілі, раціональні та дійсні числа.

Завдання на додавання позитивного числа з негативним

Розберемо, як застосовувати практично правило, озвучене вище. Візьмемо спочатку простий приклад.

Приклад 1

Обчисліть суму 2 + (-5) .

Рішення

Виконаємо послідовно кроки, які ми дослідили до цього. Знайдемо для початку модулі вихідних чисел, які дорівнюватимуть 2 і 5 . Більший модуль – 5, тому запам'ятовуємо мінус. Далі віднімаємо з більшого модуля менший і отримуємо: 5 − 2 = 3 .

Відповідь: (− 5) + 2 = − 3 .

Якщо в умовах завдання стоять раціональні числа з різними знаками, які не є при цьому цілими, то для зручності розрахунків потрібно подати їх у вигляді десяткових чи звичайних дробів. Візьмемо таке завдання та вирішимо його.

Приклад 2

Обчисліть скільки буде 2 1 8 + (- 1 , 25) .

Рішення

Насамперед перекладемо змішане числоу звичайний дріб. Якщо ви не пам'ятаєте, як це робиться, перечитайте статтю.

Десятковий дріб ми також представимо у вигляді звичайної: - 1, 25 = - 125 100 = - 5 4 .

Після цього вже можна переходити до обчислення модулів та підрахунку результату. Знайдемо модулі: вони дорівнюватимуть 17 8 і 5 4 відповідно. Дріби, що вийшло, приведемо до спільному знаменникуі отримаємо 17 8 та 10 8 .

Наступним кроком буде порівняння звичайних дробів. Оскільки чисельник першого дробу більший, то 17 8 > 10 8 . Якщо доданок зі знаком плюс у нас більше, то треба запам'ятати, що результат буде позитивним.

17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8

Ми вже зазначали раніше, що результат у нас буде зі знаком плюс: +7 8 . Так як плюс писати необов'язково, під час запису відповіді обійдемося без нього.

Запишемо весь хід рішення:

2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8

Відповідь: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .

Приклад 3

Знайдіть, до чого дорівнює сума 14 і - 14 .

Рішення

Ми маємо два однакові доданки з різними знаками. Значить, ці числа є протилежними один одному, отже їх сума дорівнюватиме 0 .

Відповідь: 14 + - 14 = 0

Наприкінці статті додамо, що результат складання дійсних негативних чисел із позитивними найчастіше краще записувати у вигляді числового виразуз корінням, ступенями або логарифмами, а не у вигляді нескінченної десяткового дробу. Так, якщо ми складемо числа n і - 3, то відповідь дорівнює n - 3 . Вважати остаточний результатпотрібно далеко не завжди, і можна обійтися приблизними розрахунками. Докладніше про це ми напишемо у статті про основні дії з дійсними числами.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter