Чи існує зворотна матриця. Вища математика

Продовжуємо розмову про дії з матрицями. А саме – під час вивчення даної лекції ви навчитеся знаходити зворотну матрицю. Навчіться. Навіть якщо з математикою важко.

Що таке зворотна матриця? Тут можна провести аналогію зі зворотними числами: розглянемо, наприклад, оптимістичне число 5 та зворотне число . Добуток цих чисел дорівнює одиниці: . З матрицями все схоже! Добуток матриці на зворотну їй матрицю дорівнює - одиничної матриціяка є матричним аналогом числової одиниці. Однак про все по порядку - спочатку вирішимо важливе практичне питання, а саме, навчимося цю зворотну матрицю знаходити.

Що необхідно знати та вміти для знаходження зворотної матриці? Ви повинні вміти вирішувати визначники. Ви повинні розуміти, що таке матрицята вміти виконувати деякі дії з ними.

Існує два основні методи знаходження зворотної матриці:
за допомогою алгебраїчних доповненьі за допомогою елементарних перетворень.

Сьогодні ми вивчимо перший, простіший спосіб.

Почнемо з найжахливішого та незрозумілого. Розглянемо квадратнуматрицю. Зворотну матрицю можна знайти за такою формулою:

Де - визначник матриці - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

Поняття зворотної матриці існує лише для квадратних матриць, матриць "два на два", "три на три" і т.д.

Позначення: Як ви вже, напевно, помітили, зворотна матриця позначається надрядковим індексом

Почнемо з найпростішого випадку - матриці "два на два". Найчастіше, звичайно, потрібно «три на три», але, настійно рекомендую вивчити просте завдання, щоб засвоїти загальний принцип рішення.

Приклад:

Знайти зворотну матрицю для матриці

Вирішуємо. Послідовність дій зручно розкласти за пунктами.

1) Спочатку знаходимо визначник матриці.

Якщо з розумінням цього дійства погано, ознайомтеся з матеріалом Як визначити обчислювач?

Важливо!Якщо визначник матриці дорівнює НУЛЮ– зворотної матриці НЕ ІСНУЄ.

У аналізованому прикладі, як з'ясувалося, отже, все гаразд.

2) Знаходимо матрицю мінорів.

Для вирішення нашого завдання не обов'язково знати, що таке мінор, проте бажано ознайомитися зі статтею Як визначити обчислювач.

Матриця мінорів має такі самі розміри, як і матриця, тобто в даному випадку.
Справа за малим, залишилося знайти чотири числа і поставити їх замість зірочок.

Повертаємось до нашої матриці
Спочатку розглянемо лівий верхній елемент:

Як знайти його мінор?
А робиться це так: ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому знаходиться даний елемент:

Що залишилося і є мінором цього елемента, яке записуємо в нашу матрицю мінорів:

Розглядаємо наступний елемент матриці:

Подумки викреслюємо рядок і стовпець, у якому стоїть цей елемент:

Те, що залишилося, є мінор даного елемента, який записуємо в нашу матрицю:

Аналогічно розглядаємо елементи другого рядка та знаходимо їх мінори:


Готово.

Це просто. У матриці мінорів потрібно ЗМІНИТИ ЗНАКИу двох чисел:

Саме ці цифри, які я обвів у гурток!

- матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.

І лише...

4) Знаходимо транспоновану матрицю додатків алгебри.

– транспонована матриця додатків алгебри відповідних елементів матриці .

5) Відповідь.

Згадуємо нашу формулу
Все знайдено!

Таким чином, зворотна матриця:

Відповідь краще залишити у такому вигляді. НЕ ПОТРІБНОділити кожен елемент матриці на 2, тому що вийдуть дробові числа. Докладніше цей нюанс розглянуто в тій же статті Дії з матрицями.

Як перевірити рішення?

Необхідно здійснити матричне множення або

Перевірка:

Отримано вже згадану одинична матриця- це матриця з одиницями на головної діагоналіта нулями в інших місцях.

Таким чином, зворотну матрицю знайдено правильно.

Якщо провести дію, то в результаті також вийде одинична матриця. Це один з небагатьох випадків, коли множення матриць перестановочно, більш детальну інформацію можна знайти у статті Властивості операцій над матрицями. Матричні вирази. Також зауважте, що під час перевірки константа (дроб) виноситься вперед і обробляється наприкінці – після матричного множення. Це стандартний прийом.

Переходимо до найпоширенішого на практиці випадку – матриці «три на три»:

Приклад:

Знайти зворотну матрицю для матриці

Алгоритм такий самий, як і для випадку «два на два».

Зворотну матрицю знайдемо за формулою: де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

1) Знаходимо визначник матриці.

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Також не забуваємо, що , отже, все нормально - зворотна матриця існує.

2) Знаходимо матрицю мінорів.

Матриця мінорів має розмірність «три на три» , і нам потрібно знайти дев'ять чисел.

Я докладно розгляну пару мінорів:

Розглянемо наступний елемент матриці:

ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому знаходиться даний елемент:

Чотири числа, що залишилися, записуємо в визначник «два на два»

Цей визначник «два на два» та є мінором даного елемента. Його потрібно обчислити:


Все, мінор знайдено, записуємо його в нашу матрицю мінорів:

Як ви, напевно, здогадалися, необхідно вирахувати дев'ять визначників «два на два». Процес, звичайно, моторошний, але випадок не найважчий, буває гіршим.

Ну і для закріплення – знаходження ще одного мінору у картинках:

Інші мінори спробуйте вирахувати самостійно.

Остаточний результат:
- матриця мінорів відповідних елементів матриці.

Те, що всі мінори вийшли негативними – чиста випадковість.

3) Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень.

У матриці мінорів необхідно ЗМІНИТИ ЗНАКИсуворо у таких елементів:

В даному випадку:

Знаходження зворотної матриці для матриці «чотири на чотири» не розглядаємо, оскільки таке завдання може дати лише викладач-садист (щоб студент вирахував один визначник «чотири на чотири» та 16 визначників «три на три»). У моїй практиці зустрівся лише один такий випадок, і замовник контрольної роботи заплатив за мої муки досить дорого.

У ряді підручників, методик можна зустріти дещо інший підхід до знаходження зворотної матриці, проте я рекомендую користуватися саме вищевикладеним алгоритмом рішення. Чому? Тому що ймовірність заплутатися в обчисленнях і знаках набагато менше.

Знаходження зворотної матриці.

У цій статті розберемося з поняттям зворотної матриці, її властивостями та способами знаходження. Детально зупинимося на рішенні прикладів, у яких потрібно побудувати зворотну матрицю для заданої.

Навігація на сторінці.

Зворотна матриця – визначення.

Знаходження зворотної матриці за допомогою матриці з додатків алгебри.

Властивості зворотної матриці.

Знаходження зворотної матриці методом Гаусса-Жордана.

Знаходження елементів зворотної матриці за допомогою розв'язання відповідних систем лінійних рівнянь алгебри.

Зворотна матриця – визначення.

Поняття зворотної матриці вводиться лише квадратних матриць, визначник яких відмінний від нуля, тобто для невироджених квадратних матриць.

Визначення.

Матрицяназивається зворотною для матриці, визначник якої відмінний від нуля , якщо справедливі рівність , де E- Поодинока матриця порядку nна n.

Знаходження зворотної матриці за допомогою матриці з додатків алгебри.

Як знайти зворотну матрицю для цієї?

По-перше, нам знадобляться поняття транспонованої матриці, мінору матриці та алгебраїчного доповнення елемента матриці.

Визначення.

Мінорk-ого порядкуматриці Aпорядку mна n- Це визначник матриці порядку kна kяка виходить з елементів матриці А, що знаходяться у вибраних kрядках та kстовпці. ( kне перевищує найменшого з чисел mабо n).

Мінор (n-1)-огопорядку, що складається з елементів усіх рядків, крім i-ий, і всіх стовпців, крім j-огоквадратної матриці Апорядку nна nпозначимо як .

Іншими словами, мінор виходить із квадратної матриці Апорядку nна nвикреслюванням елементів i-ийрядки та j-огостовпця.

Для прикладу запишемо, мінор Другогопорядку, який виходить з матриці вибором елементів її другого, третього рядків та першого, третього стовпців . Також покажемо мінор, який виходить із матриці викресленням другого рядка та третього стовпця . Проілюструємо побудову цих мінорів: і .

Визначення.

Алгебраїчним доповненнямелемента квадратної матриці називають мінор (n-1)-огопорядку, який виходить із матриці А, викресленням елементів її i-ийрядки та j-огостовпця, помножений на .

Алгебраїчне доповнення елемента позначається як . Таким чином, .

Наприклад, для матриці Алгебраїчне доповнення елемента є.

По-друге, нам знадобляться дві властивості визначника, які ми розібрали у розділі обчислення визначника матриці:

На підставі цих властивостей визначника, визначення операції множення матриці на числоі поняття зворотної матриці справедлива рівність , де - транспонована матриця, елементами якої є додатки алгебри .

Матриця дійсно є зворотною для матриці А, оскільки виконуються рівності . Покажемо це

Складемо алгоритм знаходження зворотної матриціз використанням рівності .

Розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці з прикладу.

приклад.

Дана матриця . Знайдіть зворотну матрицю.

Рішення.

Обчислимо визначник матриці А, Розклавши його за елементами третього стовпця:

Визначник відмінний від нуля, тому матриця Аоборотна.

Знайдемо матрицю з додатків алгебри:

Тому

Виконаємо транспонування матриці з додатків алгебри:

Тепер знаходимо зворотну матрицю як :

Перевіряємо отриманий результат:

Рівності виконуються, отже, зворотна матриця знайдена правильно.

Властивості зворотної матриці.

Поняття зворотної матриці, рівність , визначення операцій над матрицями та властивості визначника матриці дозволяють обґрунтувати наступні властивості зворотної матриці:

Знаходження елементів зворотної матриці за допомогою розв'язання відповідних систем лінійних рівнянь алгебри.

Розглянемо ще один спосіб знаходження зворотної матриці для квадратної матриці Апорядку nна n.

Цей метод заснований на вирішенні nсистем лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь з nневідомими. Невідомими змінними цих системах рівнянь є елементи зворотної матриці.

Ідея дуже проста. Позначимо зворотну матрицю як X, тобто, . Так як за визначенням зворотної матриці, то

Прирівнюючи відповідні елементи по стовпцям, отримаємо nсистем лінійних рівнянь

Вирішуємо їх у будь-який спосіб і зі знайдених значень складаємо зворотну матрицю.

Розберемо цей спосіб з прикладу.

приклад.

Дана матриця . Знайдіть зворотну матрицю.

Рішення.

Приймемо . Рівність дає нам три системи лінійних неоднорідних рівнянь алгебри:

Не розписуватимемо рішення цих систем, при необхідності звертайтеся до розділу вирішення систем лінійних рівнянь алгебри.

З першої системи рівнянь маємо, з другої -, з третьої -. Отже, потрібна зворотна матриця має вигляд . Рекомендуємо перевірити, щоб переконатися в правильності результату.

Підведемо підсумок.

Ми розглянули поняття зворотної матриці, її властивості та три методи її знаходження.

Приклад рішень методом зворотної матриці

Завдання 1.Вирішити СЛАУ методом зворотної матриці. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + х 4 = 4

Початок форми

Кінець форми

Рішення. Запишемо матрицю у вигляді: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Головний визначник Мінор для (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 ( 3 2-6 2) = -3 Мінор для (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Мінор для (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Мінор для (4,1): = 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Визначник мінору ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонована матрицяАлгебраїчні доповнення ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4)-5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Зворотна матриця Вектор результатів X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

Див. також рішень СЛАУ методом зворотної матриці online. Для цього введіть свої дані та отримайте рішення з докладними коментарями.

Завдання 2. Систему рівнянь записати в матричній формі та вирішити її за допомогою зворотної матриці. Зробити перевірку одержаного рішення. Рішення:xml:xls

Приклад 2. Записати систему рівнянь у матричній формі та вирішити за допомогою зворотної матриці. Рішення:xml:xls

приклад. Дано систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими. Потрібно: 1) знайти її рішення за допомогою формул Крамера; 2) записати систему в матричній формі та вирішити її засобами матричного обчислення. Методичні рекомендації. Після рішення методом Крамера знайдіть кнопку "Рішення методом зворотної матриці для вихідних даних". Ви отримаєте відповідне рішення. Таким чином, дані знову заповнювати не доведеться. Рішення. Позначимо через А - матрицю коефіцієнтів за невідомих; X - матрицю-стовпець невідомих; B - матрицю-стовпець вільних членів:

Вектор B: B T =(4,-3,-3) З урахуванням цих позначень дана система рівнянь набуває наступної матричної форми: А*Х = B. Якщо матриця А - невироджена (її визначник відмінний від нуля, то вона має зворотну матрицю А -1 . Помноживши обидві частини рівняння на А -1 отримаємо: А -1 * А * Х = А -1 * B, А -1 * А = Е. матричним записом розв'язання системи лінійних рівнянь. Для знаходження рішення системи рівнянь необхідно обчислити обернену матрицю А-1. Система матиме рішення, якщо визначник матриці A відмінний від нуля. Знайдемо головний визначник. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Отже, визначник 14 ≠ 0, тому продовжуємо Рішення. Для цього знайдемо зворотну матрицю через додатки алгебри. Нехай маємо невироджену матрицю А:

Обчислюємо додатки алгебри.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Перевірка. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Відповідь: -1,1,2.

Щоб знайти зворотну матрицю онлайн, вам потрібно вказати розмір самої матриці. Для цього клацніть на іконки «+» або «-» доти, доки значення кількості стовпців та рядків вас не влаштує. Далі введіть у поля потрібні елементи. Нижче знаходиться кнопка "Обчислити" - натиснувши її, ви отримаєте на екрані відповідь з докладним рішенням.

У лінійній алгебрі часто доводиться стикатися з процесом обчислення зворотної матриці. Вона існує лише невиражених матриць і квадратних матриць за умови відмінного від нуля детермінанта. В принципі, розрахувати її не є особливою складністю, особливо якщо ви маєте справу з невеликою матрицею. Але якщо потрібні складніші розрахунки або ретельна перевірка свого рішення, краще скористайтеся даним онлайн калькулятором. З його допомогою ви оперативно та з високою точністю вирішите зворотну матрицю.

За допомогою даного онлайн калькулятора ви зможете значно полегшити собі завдання щодо розрахунків. Крім того, він допомагає закріпити матеріал, отриманий теоретично – це своєрідний тренажер для мозку. Не варто розглядати його як заміну обчисленням вручну, він може дати вам набагато більше, полегшивши розуміння самого алгоритму. До того ж, зайва перевіряння себе ніколи не завадить.

Матриця $A^(-1)$ називається зворотної по відношенню до квадратної матриці $A$, якщо виконано умову $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, де $E $ - Поодинока матриця, порядок якої дорівнює порядку матриці $ A $.

Невироджена матриця - матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Відповідно, вироджена матриця - та, у якої дорівнює нулю визначник.

Зворотна матриця $A^(-1)$ існує і тоді, коли матриця $A$ – невироджена. Якщо зворотна матриця $A^(-1)$ існує, вона єдина.

Є кілька способів знаходження зворотної матриці, і ми розглянемо два їх. На цій сторінці буде розглянуто метод приєднаної матриці, який належить стандартним у більшості курсів вищої математики. Другий спосіб знаходження зворотної матриці (метод елементарних перетворень), який передбачає використання методу Гаусса або Гаусса-Жордана, розглянутий у другій частині .

Метод приєднаної (союзної) матриці

Нехай задано матрицю $A_(n\times n)$. Для того щоб знайти зворотну матрицю $A^(-1)$, потрібно здійснити три кроки:

1. Знайти визначник матриці $A$ і переконатися, що $Delta Aneq 0$, тобто. що матриця А – невироджена.
2. Скласти алгебраїчні доповнення $A_(ij)$ кожного елемента матриці $A$ і записати матрицю $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ зі знайдених додатків алгебри.
3. Записати зворотну матрицю з урахуванням формули $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицю $(A^(*))^T$ найчастіше називають приєднаної (взаємної, союзної) до матриці $A$.

Якщо рішення відбувається вручну, перший спосіб хороший лише для матриць порівняно невеликих порядків: другого (), третього (), четвертого (). Щоб знайти зворотну матрицю для матриці вищого ладу, використовуються інші методи. Наприклад, метод Гауса, який розглянуто у другій частині.

Приклад №1

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \ 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Так як всі елементи четвертого стовпця дорівнюють нулю, то $ Delta A = 0 $ (тобто матриця $ A $ є виродженою). Оскільки $\Delta A=0$, зворотної матриці до матриці $A$ немає.

Приклад №2

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Використовуємо метод приєднаної матриці. Спочатку знайдемо визначник заданої матриці $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\dot 9=-103. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\end(aligned)

Складаємо матрицю з додатків алгебри: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонуємо отриману матрицю: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (отримана матриця часто називається приєднаною чи союзною матрицею до матриці $A$). Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, маємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Отже, зворотну матрицю знайдено: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\9/103 & 5/103 \end(array)\right) $. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A^(-1)\cdot A=E$. Щоб поменше працювати з дробами, підставлятимемо матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, а у вигляді $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Приклад №3

Знайти зворотну матрицю для матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 -4 & 9 & 4 \0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Почнемо з обчислення визначника матриці $A$. Отже, визначник матриці $A$ такий:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36 +56-12 = 26. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри кожного елемента заданої матриці:

Складаємо матрицю з додатків алгебри і транспонуємо її:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, отримаємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Отже, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A\cdot A^(-1)=E$. Щоб поменше працювати з дробами, будемо підставляти матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, а у вигляді $\frac(1)(26)\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Перевірку пройдено успішно, зворотна матриця $A^(-1)$ знайдена правильно.

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Приклад №4

Знайти матрицю, зворотну матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \7 & 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Для матриці четвертого порядку знаходження зворотної матриці за допомогою додатків алгебри дещо важко. Проте такі приклади у контрольних роботах зустрічаються.

Щоб знайти зворотну матрицю, спочатку потрібно обчислити визначник матриці $A$. Найкраще в цій ситуації це зробити за допомогою розкладання визначника по рядку (стовпцю). Вибираємо будь-який рядок або стовпець і знаходимо додатки алгебри кожного елемента обраного рядка або стовпця.

Подібні на зворотні за багатьма властивостями.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Як знаходити зворотну матрицю - bezbotvy

✪ Зворотна матриця (2 способи знаходження)

✪ Зворотня матриця #1

✪ 2015-01-28. Зворотня матриця 3x3

✪ 2015-01-27. Зворотня матриця 2х2

Субтитри

Властивості зворотної матриці

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), де det (\displaystyle \ \det )позначає визначник.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))для двох квадратних оборотних матриць A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), де (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))позначає транспоновану матрицю.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))для будь-якого коефіцієнта k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Якщо необхідно вирішити систему лінійних рівнянь , (b - ненульовий вектор) де x (\displaystyle x)- Шуканий вектор, і якщо A − 1 (\displaystyle A^(-1))існує, то x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В іншому випадку або розмірність простору рішень більша за нуль, або їх немає зовсім.

Способи знаходження зворотної матриці

Якщо матриця оборотна, то для знаходження зворотної матриці можна скористатися одним із наступних способів:

Точні (прямі) методи

Метод Гауса-Жордана

Візьмемо дві матриці: саму Aта одиничну E. Наведемо матрицю Aдо одиничної матриці методом Гаусса-Жордана застосовуючи перетворення по рядках (можна також застосовувати перетворення і по стовпцях, але не в перемішування). Після застосування кожної операції до першої матриці застосуємо ту саму операцію до другої. Коли приведення першої матриці до одиничного вигляду буде завершено, друга матриця виявиться рівною. A −1.

При використанні методу Гауса перша матриця збільшуватиметься зліва на одну з елементарних матриць Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекцію або діагональну матрицю з одиницями на головній діагоналі, крім однієї позиції):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 – a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 – a m + 1 m / a m m … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Друга матриця після застосування всіх операцій дорівнюватиме Λ (\displaystyle \Lambda )тобто буде шуканою. Складність алгоритму - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

За допомогою матриці додатків алгебри

Матриця, обернена матриці A (\displaystyle A), представна у вигляді

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

де adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- приєднана матриця;

Складність алгоритму залежить від складності алгоритму розрахунку визначника O det і дорівнює O(n²) · O det.

Використання LU/LUP-розкладання

Матричне рівняння A X = I n (\displaystyle AX = I_(n))для зворотної матриці X (\displaystyle X)можна розглядати як сукупність n (\displaystyle n)систем виду A x = b (\displaystyle Ax = b). Позначимо i (\displaystyle i)-ий стовпець матриці X (\displaystyle X)через X i (\displaystyle X_(i)); тоді A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1, …, n (\displaystyle i = 1, \ ldots, n),оскільки i (\displaystyle i)-м стовпцем матриці I n (\displaystyle I_(n))є одиничний вектор e i (\displaystyle e_(i)). іншими словами, перебування зворотної матриці зводиться до розв'язання n рівнянь з однією матрицею та різними правими частинами. Після виконання LUP-розкладання (час O(n³)) на розв'язання кожного з n рівнянь потрібен час O(n²), так що і ця частина роботи потребує часу O(n³).

Якщо матриця A невироджена, то можна розрахувати LUP-разложение P A = L U (\displaystyle PA = LU). Нехай P A = B (\displaystyle PA = B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тоді із властивостей зворотної матриці можна записати: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Якщо помножити цю рівність на U і L можна отримати дві рівності виду U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))і DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Перша з цих рівностей є системою з n² лінійних рівнянь для n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))з яких відомі праві частини (з властивостей трикутних матриць). Друге представляє також систему з n² лінійних рівнянь для n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))з яких відомі праві частини (також із властивостей трикутних матриць). Разом вони є системою з n² рівностей. За допомогою цих рівностей можна реккурентно визначити всі n² елементів матриці D. Тоді з рівності (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. отримуємо рівність A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

У разі використання LU-розкладання не потрібно перестановки стовпців матриці D, але рішення може розійтися навіть якщо матриця A невироджена.

Складність алгоритму – O(n³).

Ітераційні методи

Методи Шульця

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Оцінка похибки

Вибір початкового наближення

Проблема вибору початкового наближення в аналізованих тут процесах ітераційного звернення матриць не дозволяє ставитися до них як до самостійних універсальних методів, що конкурують із прямими методами обігу, заснованими, наприклад, на LU-розкладанні матриць. Є деякі рекомендації щодо вибору U 0 (\displaystyle U_(0)), що забезпечують виконання умови ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральний радіус матриці менше одиниці), що є необхідним та достатнім для збіжності процесу. Однак при цьому, по-перше, потрібно знати зверху оцінку спектра матриці, що звертається, A або матриці AT (\displaystyle AA^(T))(а саме, якщо A - симетрична позитивно визначена матриця та ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), то можна взяти U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), де; якщо ж A - довільна невироджена матриця та ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), то вважають U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), де також α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); можна звичайно спростити ситуацію і, скориставшись тим, що ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), покласти U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). По-друге, за такого завдання початкової матриці немає гарантії, що ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)буде малою (можливо, навіть виявиться ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), і високий порядок швидкості збіжності виявиться далеко ще не відразу.

Приклади

Матриця 2х2

A − 1 = [ a b c d ]− 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\c&d\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\-c&\,a\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\-c&\,a\\end(bmatrix)).) Звернення матриці 2х2 можливе лише за умови, що.