Таблиця первісних функцій та інтегралів. Інтеграли для чайників: як вирішувати, правила обчислення, пояснення

У більш ранньому матеріалі було розглянуто питання знаходження похідної та були показані її різні застосування: обчислення кутового коефіцієнта щодо графіка, вирішення завдань на оптимізацію, дослідження функцій на монотонність та екстремуми. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Малюнок 1.

Також було розглянуто завдання знаходження миттєвої швидкості $v(t)$ за допомогою похідної по заздалегідь відомому пройденому шляху, що виражається функцією $s(t)$.

Малюнок 2.

Дуже часто зустрічається і зворотне завдання, коли потрібно знайти шлях $s(t)$, пройдений точкою за час $t$, знаючи швидкість руху точки $v(t)$. Якщо згадати, миттєва швидкість $v(t)$ перебуває, як похідна від функції шляху $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Значить, щоб вирішити обернену задачу, тобто обчислити шлях, потрібно знайти функцію, похідна якої дорівнюватиме функції швидкості. Але ми знаємо, що похідна шляху і є швидкість, тобто: $ s '(t) = v (t) $. Швидкість дорівнює добутку прискорення тимчасово: $v=at$. Неважко визначити, що потрібна функція шляху матиме вигляд: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Але це зовсім повне рішення. Повне рішення матиме вигляд: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $, де $ C $ - деяка константа. Чому саме так буде розказано далі. А поки перевіримо правильність знайденого рішення: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = at = v ( t) $.

Варто зауважити, що знаходження шляху за швидкістю є фізичним змістом первісної.

Отримана функція $s(t)$ називається первинної функції $v(t)$. Досить цікава і незвичайна назва, чи не так. У ньому криється великий сенс, який пояснює суть даного поняття та веде до його розуміння. Можна зауважити, що в ньому укладено два слова «перший» та «образ». Вони самі за себе говорять. Тобто це та функція, яка є вихідною для похідної. А ми по цій похідній шукаємо ту функцію, яка була на початку, була «першою», «перше», тобто первісною. Її іноді також називають примітивною функцією чи антипохідною.

Як нам відомо, процес перебування похідної називається диференціюванням. А процес знаходження первинної називається інтегруванням. Операція інтегрування є зворотною для операції диференціювання. Правильне і зворотне твердження.

Визначення.Первоподібною для функції $f(x)$ на певному інтервалі називається така функція $F(x)$, похідна якої дорівнює цій функції $f(x)$ для всіх $x$ із зазначеного інтервалу: $F'(x)=f (x) $.

У когось може виникнути питання: звідки у визначенні взялися $F(x)$ і $f(x)$, якщо спочатку йшлося про $s(t)$ і $v(t)$. Річ у тім, що $s(t)$ і $v(t)$ – окремі випадки позначення функцій, мають у разі конкретний зміст, тобто це функція часу і швидкість швидкості відповідно. Те саме і зі змінною $t$ - вона позначає час. А $f$ і $x$ – традиційний варіант загального позначення функції та змінної відповідно. Варто звернути особливу увагу на позначення первісної $F(x)$. По-перше, $F$ - велика. Первинні позначаються великими літерами. По-друге, літери збігаються: $F$ та $f$. Тобто, для функції $g(x)$ первісна буде позначатись $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Незалежно від позначень правила знаходження первинної функції завжди однакові.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Довести, що функція $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ є першорядною функцією $f(x)=\cos5x$.

Для доказу скористаємося визначенням, а точніше тим фактом, що $F'(x)=f(x)$, і знайдемо похідну функції $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Отже $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ є первісною $f(x)=\cos5x$. Що й потрібно було довести.

приклад 2.Знайти, яким функціям відповідають такі первісні: $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Щоб знайти потрібні функції, обчислимо їх похідні:
а) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
б) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

приклад 3.Якою буде первісна для $ f (x) = 0 $?
Скористаємося визначенням. Подумаємо, яка функція може мати похідну, що дорівнює $0$. Згадуючи таблицю похідних, отримуємо, що будь-яка постійна матиме таку похідну. Отримуємо, що шукана нами первісна: $ F (x) = C $.

Отримане рішення можна пояснити геометрично та фізично. Геометрично воно означає, що до графіка $y=F(x)$ горизонтальна у кожному точці цього графіка і, отже, збігається з віссю $Ox$. Фізично пояснюється тим, що точка, що має швидкість, що дорівнює нулю, залишається на місці, тобто пройдений нею шлях незмінний. Тому можна сформулювати наступну теорему.

Теорема. (Ознака сталості функцій). Якщо деякому проміжку $F’(x) = 0$, то функція $F(x)$ у цьому проміжку постійна.

приклад 4.Визначити, першорядними яких функцій є функції а) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; б) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; в) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; г) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, де $a$ - деяке число.
Використовуючи визначення первісної, робимо висновок, що для вирішення цього завдання нам потрібно обчислити похідні даних першорядних функцій. При обчисленні пам'ятаємо, що похідна постійної, тобто будь-якого числа, дорівнює нулю.
а) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
б) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
в) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
г) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Що ми бачимо? Декілька різних функцій є первісними однієї й тієї функції. Це говорить про те, що у будь-якої функції існує безліч первісних, і вони мають вигляд $F(x) + C$, де $C$ – довільна константа. Тобто операція інтегрування є багатозначною на відміну операції диференціювання. Сформулюємо виходячи з цього теорему, описує основне властивість первообразных.

Теорема. (Основна властивість первісних). Нехай функції $F_1$ і $F_2$ є первинними функціями $f(x)$ на деякому проміжку. Тоді для всіх значень цього проміжку справедлива наступна рівність: $F_2=F_1+C$, де $C$ – деяка константа.

Факт наявності нескінченної множини первісних можна інтерпретувати геометрично. За допомогою паралельного перенесення вздовж осі $Oy$ можна отримати один з одного графіки двох будь-яких первісних $f(x)$. У цьому полягає геометричний зміст первісної.

Дуже важливо звернути увагу на те, що вибором константи $C$ можна домогтися проходження графіка первісної через певну точку.

Малюнок 3.

Приклад 5.Знайти первісну для функції $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, графік якої проходить через точку $(3; 1)$.
Знайдемо спочатку все первісні для $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Далі знайдемо таке число C, у якому графік $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ проходить через точку $(3; 1)$. Для цього підставимо координати точки рівняння графіка і вирішимо його щодо $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Отримали графік $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, який відповідає первісній $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Таблиця первісних

Таблицю формул для знаходження первісних можна скласти, використовуючи формули знаходження похідних.

Таблиця первісних

Функції	Первинні
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Перевірити правильність складання таблиці можна в такий спосіб: кожному за безлічі первісних, що у правому стовпці знайти похідну, у результаті вийдуть відповідні функції, які у лівому стовпці.

Деякі правила знаходження первісних

Як відомо, багато функцій мають складніший вигляд, ніж зазначені у таблиці первообразных, і можуть бути будь-яке довільне поєднання сум і творів функцій з цієї таблиці. І тут постає питання, як обчислювати первісні подібні функції. Наприклад, з таблиці знаємо, як обчислити первісні $x^3$, $\sin x$ і $10$. А як, наприклад, обчислити первісну $x^3-10\sin x$? Забігаючи вперед, варто відзначити, що вона дорівнюватиме $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Якщо $F(x)$ первісна для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первісна дорівнюватиме $ F(x)+G(x)$.
2. Якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$ і $a$ – константа, то для $af(x)$ первісною буде $aF(x)$.
3. Якщо для $f(x)$ первісною є $F(x)$, $a$ і $b$ – константи, то $\frac(1)(a) F(ax+b)$ первісна для $f (ax + b) $.
Використовуючи отримані правила, ми можемо розширити таблицю первісних.

Функції	Первинні
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Приклад 5.Знайти первісні для:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

в) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x +15) $;

г) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

а) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x ^ 8 + C $;

б) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

г) $ frac (2) (3) x sqrt (x) - \ frac (3) (2) x sqrt (x) + C $.

Інтегрування – це одна з основних операцій у матаналізі. Таблиці відомих первісних можуть бути корисні, але зараз вони після появи систем комп'ютерної алгебри втрачають свою значущість. Нижче знаходиться список найбільш первісних, що зустрічаються.

Таблиця основних інтегралів

Інший, компактний варіант

Таблиця інтегралів від тригонометричних функцій

Від раціональних функцій

Від ірраціональних функцій

Інтеграли від трансцендентних функцій

"C" – довільна константа інтегрування, яка визначається, якщо відоме значення інтеграла в будь-якій точці. Кожна функція має безліч первісних.

Більшість школярів і студентів мають проблеми з обчисленням інтегралів. На цій сторінці зібрані таблиці інтеграліввід тригонометричних, раціональних, ірраціональних та трансцендентних функцій, які допоможуть у вирішенні. Ще вам допоможе таблиця похідних.

Відео - як знаходити інтеграли

Якщо вам не зовсім зрозуміла дана тема, перегляньте відео, в якому все докладно пояснюється.

Первісна функція та невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме, відновлення функції за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​в такий спосіб функція F(x) називається первісноїдля функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) на деякому проміжку Xякщо для всіх значень xз цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), тобто дана функція f(x) є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) = sin x є первісною для функції f(x) = cos x на всій числовій прямій, тому що при будь-якому значенні ікса (sin x)" = (cos x) .

Визначення 2. Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

,

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) – підінтегральною функцією, а f(x)dx - Підінтегральний вираз.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна для f(x) , то

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - Довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функцій як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційні дерев'яні двері). Її функція – "бути дверима". А з чого зроблено двері? Із дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральних функцій "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може позначати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблені з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів та відповідних їм первісних ("бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" та ін.) аналогічна до таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде наведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, у тому числі " зроблені " ці функції. У частині завдань перебування невизначеного інтеграла дані такі подинтегральные функції, які без особливих умов може бути проінтегровані безпосередньо, тобто за таблицею невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральну функцію потрібно попередньо перетворити те щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми маємо враховувати довільну постійну (константу) C, а щоб не писати список первісної з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою Cнаприклад, так: 5 x³+С . Отже, довільна стала (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³+4 або 5 x³+3 і при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа перетворюються на нуль.

Поставимо завдання інтегрування: для цієї функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якоїдорівнює f(x).

приклад 1.Знайти безліч первісних функцій

Рішення. Для цієї функції першорядною є функція

Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо похідна F(x) дорівнює f(x), або, що те саме, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, тобто.

(2)

Отже, функція - первісна для функції . Однак вона не є єдиною первісною для . Ними служать також функції

де З- Довільна постійна. У цьому вся можна переконатися диференціюванням.

Таким чином, якщо для функції існує одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійне доданок. Усі первісні функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає із наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на деякому проміжку Х, то будь-яка інша первісна для f(x) на тому ж проміжку може бути представлена ​​у вигляді F(x) + C, де З- Довільна постійна.

У наступному прикладі вже звертаємося до таблиці інтегралів, яка буде дана в параграфі 3, після властивостей невизначеного інтегралу. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб було зрозуміло суть вищевикладеного. А після таблиці та властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повноті.

приклад 2.Знайти безліч первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безліч первісних функцій, у тому числі " зроблені " дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки що просто прийміть, що є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n= 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n= 1/3, маємо

3) Оскільки

то за формулою (7) при n= -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f, а її твір на диференціал dx. Це робиться насамперед для того, щоб вказати, за якою змінною шукається первісна. Наприклад,

, ;

тут обох випадках подинтегральная функція дорівнює , та її невизначені інтеграли у розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція сприймається як функція від змінної x, а у другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегрування цієї функції.

Геометричний зміст невизначеного інтегралу

Нехай потрібно знайти криву y=F(x)і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній точці є задана функція f(x)абсциси цієї точки.

Відповідно до геометричного змісту похідної, тангенс кута нахилу дотичної в даній точці кривої y=F(x)дорівнює значенню похідної F"(x). Отже, потрібно знайти таку функцію F(x), для котрої F"(x)=f(x). Необхідна в завданні функція F(x)є первісною від f(x). Умову задачі задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y=F(x)- одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням вздовж осі Ой.

Назвемо графік первісної функції від f(x)інтегральної кривої. Якщо F"(x)=f(x), то графік функції y=F(x)є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений насінням усіх інтегральних кривих як на малюнку нижче. Відстань кожної кривої від початку координат визначається довільною постійною (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтегралу

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, яке диференціал – підинтегральному вираженню.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціалу функції f(x) дорівнює функції f(x) з точністю до постійного доданку , тобто.

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник у підінтегральному вираженні можна виносити за знак невизначеного інтегралу , тобто.

На цій сторінці ви знайдете:

1. Власне, таблицю первісних - її можна завантажити у форматі PDF та роздрукувати;

2. Відео, присвячене тому, як цією таблицею користуватися;

3. Купу прикладів обчислення первісної з різних підручників та контрольних робіт.

У самому відео ми розберемо безліч завдань, де потрібно порахувати першорядні функцій, часто досить складних, але головне — статечних. Усі функції, зведені в таблицю, запропоновану вище, необхідно знати напам'ять, подібно до похідних. Без них неможливе подальше вивчення інтегралів та їх застосування для вирішення практичних завдань.

Сьогодні ми продовжуємо займатися першорядними і переходимо до більш складної теми. Якщо минулого разу ми розглядали первісні лише від статечних функцій і трохи складніших конструкцій, то сьогодні ми розберемо тригонометрію та багато іншого.

Як я говорив на минулому занятті, первісні на відміну від похідних ніколи не вирішуються «напролом» за допомогою будь-яких стандартних правил. Понад те, погана новина у тому, що на відміну похідної, первообразная взагалі може вважатися. Якщо ми напишемо зовсім випадкову функцію і спробуємо знайти її похідну, то це з дуже великою ймовірністю у нас вийде, а ось первісна практично ніколи в цьому випадку не вважатиметься. Але є й хороша новина: існує досить великий клас функцій, які називають елементарними, первісні від яких дуже легко вважаються. А всі інші складніші конструкції, які дають на всіляких контрольних, самостійних та іспитах, насправді складаються з цих елементарних функцій шляхом складання, віднімання та інших нескладних дій. Першорядні такі функції давно пораховані і зведені в спеціальні таблиці. Саме з такими функціями та таблицями ми сьогодні працюватимемо.

Але почнемо ми, як завжди, з повторення: пригадаємо, що таке первообразна, чому їх нескінченно багато і як визначити їхній загальний вигляд. Для цього я підібрав два прості завдання.

Рішення легких прикладів

Приклад №1

Відразу зауважимо, що $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ і взагалі наявність $\text( )\!\!\pi\!\!\ text( )$ відразу натякає нам, що шукана первісна функції пов'язані з тригонометрією. І, дійсно, якщо ми подивимося в таблицю, то виявимо, що $ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ - не що інше як $ text (arctg) x $. Так і запишемо:

Для того, щоб знайти, необхідно записати наступне:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C]

Приклад №2

Тут також йдеться про тригонометричні функції. Якщо ми подивимося в таблицю, то дійсно так і вийде:

Нам потрібно серед усієї множини первісних знайти ту, яка проходить через вказану точку:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Давайте остаточно запишемо:

Отак усе просто. Єдина проблема полягає в тому, щоб вважати первісні простих функцій, потрібно вивчити таблицю первісних. Однак після вивчення похідних таблиці для вас, я думаю, це не буде проблемою.

Розв'язання задач, що містять показову функцію

Для початку запишемо такі формули:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Погляньмо, як це все працює на практиці.

Приклад №1

Якщо ми подивимося на вміст дужок, то зауважимо, що в таблиці первісних немає такого виразу, щоб $((e)^(x))$ стояло у квадраті, тому цей квадрат необхідно розкрити. Для цього скористаємося формулами скороченого множення:

Давайте знайдемо першорядну для кожного з доданків:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

А тепер зберемо всі складові в єдиний вираз і отримаємо загальну первісну:

Приклад №2

Цього разу ступінь вже більший, тому формула скороченого множення буде досить складною. Отже розкриємо дужки:

Тепер від цієї конструкції спробуємо взяти первісну від нашої формули:

Як бачите, у первинних показових функціях немає нічого складного і надприродного. Всі один вважаються через таблиці, проте уважні учні напевно помітять, що первісна $((e)^(2x))$ набагато ближче просто до $((e)^(x))$ ніж до $((a)^(x )) $. Так, можливо, існує якесь більш спеціальне правило, що дозволяє, знаючи первісну $((e)^(x))$, знайти $((e)^(2x))$? Так, таке правило існує. І, більше, воно є невід'ємною частиною роботи з таблицею первісних. Його ми зараз розберемо на прикладі тих самих виразів, з якими ми щойно працювали.

Правила роботи з таблицею первісних

Ще раз випишемо нашу функцію:

У попередньому випадку ми використовували для вирішення таку формулу:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Але зараз зробимо трохи інакше: пригадаємо, на якому знов $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Як уже й казав, тому що похідна $((e)^(x))$ — це не що інше як $((e)^(x))$, тому її першорядна дорівнюватиме тому ж самому $((e) ^(x))$. Але проблема в тому, що у нас $((e)^(2x))$ і $((e)^(-2x))$. Зараз спробуємо знайти похідну $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Давайте ще раз перепишемо нашу конструкцію:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2) \right))^(\prime ))\]

А це означає, що при знаходженні первісної $((e)^(2x))$ ми отримаємо наступне:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Як бачите, ми отримали той самий результат, що й раніше, проте не скористалися формулою для знаходження $((a)^(x))$. Зараз це може здатися дурістю: навіщо ускладнювати обчислення, коли є стандартна формула? Проте у складніших висловлюваннях ви переконаєтеся, що це прийом дуже ефективний, тобто. використання похідних для знаходження первісних.

Давайте як розминку аналогічним способом знайдемо первісну від $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime ))\]

При обчисленні наша конструкція запишеться так:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Ми отримали той самий результат, але пішли при цьому іншим шляхом. Саме цей шлях, який зараз здається нам трохи складнішим, надалі виявиться більш ефективним для обчислення складніших первісних та використання таблиць.

Зверніть увагу! Це дуже важливий момент: первісні як і похідні можна вважати безліччю різних способів. Однак якщо всі обчислення та викладки будуть рівні, то відповідь вийде одним і тим же. Ми переконалися в цьому щойно на прикладі $((e)^(-2x))$ — з одного боку ми порахували цю первісну «напролом», скориставшись визначенням і порахувавши її за допомогою перетворень, з іншого боку, ми згадали, що $ ((e)^(-2x))$ може бути представлено як $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ і вже потім скористалися первісною для функції $( (a)^(x))$. Тим не менш, після всіх перетворень результат вийшов одним і тим самим, як і передбачалося.

А тепер, коли ми все це зрозуміли, настав час перейти до чогось більшого. Зараз ми розберемо дві простенькі конструкцій, проте прийом, який буде закладений при їх вирішенні, є більш потужним та корисним інструментом, ніж просте «бігання» між сусідніми первісними з таблиці.

Розв'язання задач: знаходимо первісну функцію

Приклад №1

Давайте суму, яка коштує в чисельники, розклади на три окремі дроби:

Це досить природний та зрозумілий перехід — у більшості учнів проблем із ним не виникає. Перепишемо наш вираз так:

А тепер згадаємо таку формулу:

У нашому випадку ми отримаємо таке:

Щоб позбавитися всіх цих триповерхових дробів, пропоную вчинити таким чином:

Приклад №2

На відміну від попереднього дробу у знаменнику стоїть не твір, а сума. У цьому випадку ми вже не можемо розділити наш дріб на суму кількох простих дробів, а потрібно якимось чином постаратися зробити так, щоб у чисельнику стояло приблизно такий самий вираз як у знаменнику. У цьому випадку зробити це досить просто:

Такий запис, який мовою математики називається «додавання нуля», дозволить нам знову розділити дріб на два шматочки:

Тепер знайдемо те, що шукали:

Ось і всі обчислення. Незважаючи на велику складність, ніж у попередній задачі, обсяг обчислень вийшов навіть меншим.

Нюанси рішення

І ось у цьому криється основна складність роботи з табличними первісними, особливо це помітно на другому завданні. Справа в тому, що для того, щоб виділити якісь елементи, які легко вважаються через таблицю, нам потрібно знати, що конкретно ми шукаємо, і саме в пошуку цих елементів і полягає все обчислення первісних.

Інакше кажучи, недостатньо просто зазубрити таблицю первісних — треба вміти бачити щось, чого ще немає, але що мав на увазі автор і укладач цього завдання. Саме тому багато математиків, вчителів та професорів постійно сперечаються: «А що таке взяття першорядних чи інтегрування — це просто інструмент чи це справжнє мистецтво?». Насправді, особисто на мій погляд, інтегрування — це не мистецтво — в ньому немає нічого піднесеного, це просто практика і ще раз практика. І щоб попрактикуватися, давайте вирішимо ще три серйозніші приклади.

Тренуємося в інтегруванні на практиці

Завдання №1

Запишемо такі формули:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Давайте запишемо таке:

Завдання №2

Перепишемо так:

Разом перша буде дорівнювати:

Завдання №3

Складність цього завдання у тому, що на відміну попередніх функцій зверху взагалі відсутня якась змінна $x$, тобто. нам незрозуміло, що додавати, віднімати, щоб отримати хоч щось схоже на те, що стоїть знизу. Однак, насправді, цей вираз вважається навіть простіше, ніж будь-який вираз із попередніх конструкцій, тому що цю функцію можна переписати так:

Можливо, ви зараз запитаєте: чому ці функції рівні? Давайте перевіримо:

Ще перепишемо:

Трохи перетворимо наш вираз:

І коли я все це пояснюю своїм учням, практично завжди виникає та сама проблема: з першою функцією все більш-менш зрозуміло, з другою теж при везенні чи практиці можна розібратися, але яку альтернативну свідомість треба мати, щоб вирішити третій приклад? Насправді не лякайтеся. Той прийом, який ми використовували при обчисленні останньої первісної, називається «розкладання функції на найпростіші», і це дуже серйозний прийом, і йому буде присвячено окремий відеоурок.

А поки що пропоную повернутися до того, що ми щойно вивчили, а саме, до показових функцій і дещо ускладнити завдання з їх змістом.

Більш складні завдання на вирішення первинних показових функцій

Завдання №1

Зауважимо таке:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Щоб знайти первісної цього виразу, досить просто скористатися стандартною формулою - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

У нашому випадку первісна буде така:

Зрозуміло, на тлі тієї конструкції, яку ми вирішували щойно, ця виглядає більш простою.

Завдання №2

Знову ж таки, неважко помітити, що цю функцію нескладно розділити на два окремих доданків — два окремі дроби. Перепишемо:

Залишилося знайти первісну від кожного від цих доданків за формулою:

Незважаючи на велику складність показових функцій у порівнянні зі статечними, загальний обсяг обчислень і викладок вийшов набагато простіше.

Звичайно, для знаючих учнів те, що ми тільки-но розібрали (особливо на тлі того, що ми розібрали до цього), може здатися елементарними виразами. Однак вибираючи саме ці дві задачі для сьогоднішнього відеоуроку, я не ставив собі за мету розповісти вам ще один складний і наворочений прийом — все, що я хотів вам показати, так це те, що не варто боятися використовувати стандартні прийоми алгебри для перетворення вихідних функцій.

Використання «секретного» прийому

На закінчення хотілося б розібрати ще один цікавий прийом, який, з одного боку виходить за межі того, що ми сьогодні переважно розбирали, але, з іншого боку, він, по-перше, зовсім не складний, тобто. його можуть освоїти навіть учні-початківці, а, по-друге, він часто зустрічається на всіляких контрольних і самостійних роботах, тобто. знання його буде дуже корисно на додаток до знання таблиці первісних.

Завдання №1

Очевидно, що перед нами щось дуже схоже на статечну функцію. Як нам вчинити у цьому випадку? Давайте замислимося: $x-5$ відрізняється від $x$ не так вже й сильно - просто додали $-5$. Запишемо так:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

Давайте спробуємо знайти похідну від $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Звідси випливає:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5))))(5) \ right))^(\prime ))\]

У таблиці немає такого значення, тому ми зараз самі вивели цю формулу, використовуючи стандартну формулу первісної для статечної функції. Давайте так і запишемо відповідь:

Завдання №2

Багатьом учням, які подивляться на перше рішення, може здатися, що все дуже просто: достатньо замінити в статечній функції $x$ лінійним виразом, і все стане на свої місця. На жаль, все не так просто, і зараз ми переконаємося в цьому.

За аналогією з першим виразом запишемо наступне:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Повертаючись до нашої похідної, ми можемо записати:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10))))--30) \right))^(\prime ))\]

Звідси відразу випливає:

Нюанси рішення

Зверніть увагу: якщо минулого разу насправді нічого не змінилося, то в другому випадку замість $-10$ з'явилося $-30$. На що відрізняється $-10$ та $-30$? Вочевидь, що у множник $-3$. Запитання: звідки він узявся? Придивившись, можна побачити, що вона взялася в результаті обчислень похідної складної функції - той коефіцієнт, який стояв при $x$, з'являється в першорядній внизу. Це дуже важливе правило, яке я спочатку взагалі не планував розбирати в сьогоднішньому відеоуроці, але без нього виклад табличних первісних було б неповним.

Тож давайте ще раз. Нехай є наша основна статечна функція:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

А тепер замість $x$ давайте підставимо вираз $kx+b$. Що тоді станеться? Нам потрібно знайти таке:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+) 1 \right)\cdot k)\]

На якій підставі це ми стверджуємо? Дуже просто. Давайте знайдемо похідну написаної вище конструкції:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Це той самий вираз, який спочатку був. Таким чином, ця формула теж вірна, і нею можна доповнити таблицю первісних, а краще просто запам'ятати всю таблицю.

Висновки із «секретного: прийому:

• Обидві функції, які ми щойно розглянули, насправді, можуть бути зведені до первісних, зазначених у таблиці, шляхом розкриття ступенів, але якщо з четвертим ступенем ми ще більш-менш якось упораємося, то ось дев'ятий ступінь я б взагалі не ризикнув розкривати.
• Якби ми розкрили ступеня, то ми отримали б такий обсяг обчислень, що просте завдання зайняло б у нас неадекватно велику кількість часу.
• Саме тому такі завдання, усередині яких стоять лінійні вирази, не потрібно вирішувати «напролом». Як тільки ви зустрічаєте первісну, яка відрізняється від тієї, що в таблиці, лише наявністю виразу $kx+b$ всередині, відразу згадуйте написану вище формулу, підставляйте її у вашу табличну первісну, і все у вас вийде набагато швидше та простіше.

Звичайно, через складність і серйозність цього прийому ми ще неодноразово повернемося до його розгляду в майбутніх відеоуроках, але на сьогодні у мене все. Сподіваюся, цей урок справді допоможе тим учням, які хочуть розібратися у першорядних та в інтегруванні.

Визначення 1

Первісна $F(x)$ для функції $y=f(x)$ на відрізку $$ - це функція , яка є диференційованою у кожній точці цього відрізка і її похідної виконується таку рівність:

Визначення 2

Сукупність всіх первісних заданої функції $ y = f (x) $, визначеної на деякому відрізку, називається невизначеним інтегралом від заданої функції $ y = f (x) $. Невизначений інтеграл позначається символом $\int f(x)dx$.

З таблиці похідних та визначення 2 отримуємо таблицю основних інтегралів.

Приклад 1

Перевірити справедливість формули 7 з таблиці інтегралів:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) = tgx]

Приклад 2

Перевірити справедливість формули 8 з таблиці інтегралів:

\[\int ctgxdx =\ln |sin x|+C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $ln |sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 3

Перевірити справедливість формули 11" з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Продиференціюємо праву частину: $ frac (1) (a) arctg frac (x) (a) + C $.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 4

Перевірити справедливість формули 12 з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C, \, \, C = const.

Продиференціюємо праву частину: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 5

Перевірити справедливість формули 13" з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2) ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 6

Перевірити справедливість формули 14 з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C, \, \, C = const.

Продиференціюємо праву частину: $ + l |

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 7

Знайти інтеграл:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Скористаємося теоремою про інтеграл суми:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Скористаємося теоремою про винесення постійного множника за знак інтеграла:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

За таблицею інтегралів:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

При обчисленні першого інтеграла скористаємося правилом 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Отже,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]