Топологія тіла топологія рук. "гумова геометрія" або топологія очима учня

Цей урок стане хорошим стартом для тих, хто хоче навчитися моделювати першокласних персонажів. Знаменитий у своєму колі Jahirul Amin розповість про важливість правильної топології, рівномірної сітки, важливість чотирикутних полігонів та багато іншого.

Перед тим, як занурюватися в 3D-вир, пропоную влаштувати короткий лікнеп і поплескатися на мілководді. Нижче ми торкнемося основ полігонального моделювання, без знання яких безглуздо рухатися далі.

Вступ

Коли геометрія стає підмогою моделера або аніматора, ідеальне компонування сітки (вона ж меш) стоїть на першому місці. Після цього в гру має вступити хороша топологія, яка знижує кількість дефектів при анімації персонажа. Іншими словами, правильно (і вчасно) створений полігон збереже не те, що годинник – дні вашого життя.

3-х кутник vs 4-х кутник vs N-кутник

Отже, у чому різниця між 3-, 4- і N-вугільними полігонами? Відповідь очевидна: у першого 3 сторони, у другого – 4, у третього – будь-яка їхня кількість, більша за 4-х. Якщо ви моделюєте допустимий персонаж для подальшої його анімації, то рекомендують використовувати тільки чотирикутники. Процес деформування та розподілу чотирикутних полігонів проходить набагато простіше, до того ж, ви зіткнетеся з меншим спотворенням текстури.

Трикутники рекомендується ховати від своїх та чужих очей. Наприклад, у місцях пахв або в пахвинній ділянці персонажа. У свою чергу, на багатокутники накладено негласну заборону — їх не повинно бути. Вони провокують спотворення і завдають чимало клопоту, коли справа доходить до ригінгу та редагування груп вершин (воно ж «weight-painting»).

Нарешті, модель, яка складається переважно з чотирикутних полігонів, буде легко експортувати в інші програми моделювання, такі як або Mudbox.

Радості чотирьох та трикутних полігонів та жах N-кутника

Контури особи, що за визначенням нагадують N-кутник, потрібно максимально наблизити до чотирикутного формату. Мало того - розташування полігонів має бути настільки рівномірним, наскільки це в принципі можливо. Ось, до чого закликає однойменна геометрія. Дотримання цих правил полегшить проходження стадії ригінгу та допоможе при деформуванні персонажа у процесі анімації. Крім того, зменшиться масштаб спотворень, пов'язаний із застосуванням текстур, хоча тут не варто забувати про важливість самої UV розгортки.

Для виконання описаного завдання Maya передбачений інструмент Sculpt Geometry.

Інструмент Sculpt Geometry у Maya допоможе «розгладити» сітку моделі

Відповідає за плавність переходу кожного окремо взятого еджа (воно Edge Flow). Звучить, може, просто, але на практиці це дуже підступна штука.

Якщо ви поставили собі за мету створити реалістичного персонажа, перед початком роботи рекомендується вивчити основи анатомії. Наслідуючи будову людського тіла і природний рух м'язів, аніматор, зрештою, отримує наближену до оригіналу копію. Особливо чітко це простежується у процесі деформації. Радимо почати з процесу утворення зморшок та розтягування шкіри.

Для стилізованих та мультиплікаційних персонажів Edge Flow має значно менше значення. Але все ж таки я настійно рекомендую отримати хоча б базове уявлення анатомії людини.

Щоб форма вийшла реалістичною, створіть хорошу топологію та обов'язково враховуйте плавність напрямку сітки (еджей, полігонів).

Вона ж – небагатоподібність (non-manifold). Означає, що тривимірний об'єкт неможливо розрізати та перетворити на плоский.

Приклад: створіть куб, виділіть будь-яке ребро (край) та видавіть його Edit Mesh > Extrude. Перед вами небагатоподібний об'єкт. (Приклад нижче зліва) Якби куб був виготовлений з паперу, то при розгортанні ви отримали б хрестоподібну фігуру з порушеними пропорціями. Використання подібного об'єкта у булієвих операціях (Boolean operation) практично неможливе.
Щоб виправити ситуацію, скористайтеся інструментом Cleanup.

Порушення топології геометрії може створити не один десяток проблем. Будьте пильні та періодично оглядайте фігуру під різними кутами.

У кожної петлі (ребра еджа) має бути мета

Як правило, моделювання починається з примітивної фігури (наприклад, з куба), будова якої згодом ускладнюється шляхом додавання петлею ребрів (edge loops).

Важливо, щоб кожен новий елемент було створено з конкретною метою. Бувають ситуації, в яких «менше» і «краще». Розуміння принципів оптимізації моделі приходить лише з досвідом, так що не турбуйтеся і продовжуйте працювати.

Не ускладнюйте собі життя: деталізація має бути доцільною

Все, що ми намагаємося зробити на екрані, є відображенням навколишнього світу в різних його формах та проявах. Саме тому так важливо час від часу вставати із-за столу. Важливо як для розробників, а й у аніматорів, ригерів, постановників світла тощо.

Придивіться до поверхні, її структури та тіні. Як вона відбиває світло? Як відбувається процес деформації? Відповідь на ці та інші питання допоможе вам прийняти правильне рішення під час моделювання будь-якого об'єкта.

Тема розмови: ТОПОЛОГІЯ.

Топологія (від др.-грец. τόπος - місце і λόγος - слово, вчення) - розділ математики, що вивчає в найзагальнішому вигляді явище безперервності, зокрема властивості простору, які залишаються незмінними при безперервних деформаціях, наприклад, зв'язність, орієнтованість. На відміну від геометрії, у топології не розглядаються метричні властивості об'єктів (наприклад, відстань між парою точок). Наприклад, з погляду топології, гуртка і бублик (повноторій) не відрізняються.

Але це в математиці. А як справи з персонажами. Сформулюю своїми словами.
Топологія – це здатність сітки коректно реагувати на деформації. Будь то анімація, стиск, розтяг або інші види деформації. Досягається це шляхом грамотної побудови полігональної сітки персонажа. Є деякі правила для цього. З деякими з них можна ознайомитись.

Також існує поняття РЕ-ТОПОЛОГІЯ. Зміна топологічної сітки із максимальним збереженням форми об'єкта. Метою ретопології є виправлення попередньої (невірної) топології та/або зменшення кількості полігонів.

Майже всі сучасні пакети 3д графіки мають інструменти для ретопології. Я особисто випробував:
1. Maya – як стандартні засоби так і плагіни.
2. Max - стандартні засоби (жах), плагіни та скрипти (wrapit сподобався. але знову ж таки не те трохи)
3. Zbrush - туго і незручно.
4. Topogun - нарешті знайшов те, що сподобалося... якби не зустрів
5. 3DCoat.... ось тут я зрозумів, що це поки що найзручніше для ретопології та UV розгорток... хоча розібратися було для початку складно.. але коли зрозумів принцип програми - все.. тепер ретопологія тільки в ньому. (Не вважайте за рекламу.)

Ну і раз пішла така пиятика, викладу пару моїх зображень на тему топології.
Голова та обличчя

знайшов таки старий рендер цієї голови.

топологія обличчя людиноподібного персонажа. з нього можна зробити як жінку, так і дитину... не кажучи вже про чоловіка.
і ось доказ. зроблено швидко, але наочно.
отже. чоловік, ельфійка, істота, жінка, і дівчинка років 15 років.
Я не стверджую, що це єдина грамотна топологія, і що треба робити ТІЛЬКИ ТАК.
у деяких студіях персонажів моделюють із заплющеними очима. Це дозволяє позбавитися деяких проблем при закритті ока, і уникнення деформацій століття при деформації щоки.

кисть руки.

звертаю увагу, що тут є вертекси до яких підходить 6 їджей... але в цих місцях проблем не буває тому що деформації мінімальні. Природно що з цієї кисті можна зробити руку і жінки і чоловіка і дитини ... та кого завгодно.
Череп.

череп чоловічий. у чоловічого та жіночого черепа багато відмінностей.

полягають відмінності в наступному:
Чоловічий та жіночий черепи мають ряд відмінностей. А саме:
1. Чоловічий череп масивніший за жіночий і має скоріше квадратну форму. Череп жінки злегка загострений до маківки і більш округлий.
2. Верхній край очниці трохи загострений у жіночого черепа, тоді як у чоловічого має більш плавний вигин
3. В результаті еволюції м'язи обличчя набули сильнішого розвитку. Отже, і місце кріплення м'язів до черепа набагато помітніше у чоловіків. Адже воїну та мисливцеві потрібні потужні щелепи для бою та боротьби.
4. Сильна нижня щелепа чоловіка має квадратну форму, а й у жінок форма округла.
5. Глибина черепа чоловіків більша ніж у жінок. Це забезпечує відносну безпеку.
6. Надбрівні дуги на чоловічому черепі виступають помітно більше. Вони оберігають очі від прямого сонячного проміння.
7. Ікла у чоловіків значно більші, ніж у жінок. Воїн і мисливець змушений був, є в похідних умовах, а отже активно пережовувати їжу і робити це досить швидко.
Рука та тіло.
Якщо тіло жіноче або без явно вираженої мускулатури, то на лупи м'язи, що формують, можна не звертати уваги. Це стосується рук. Звертаю увагу на полігони білого кольору. вони йдуть з-під грудного м'яза і огинають дельтоподібну.

Цією статтею я починаю серію уроків з органічного 3D-моделювання. Ця стаття про принципи моделювання, тобто. абсолютно не залежить від особливостей вашого (будь-якого) 3D-пакета. У серії статей будуть розглянуті такі теми:

форма,
пропорції,
полюси,
топологія
і багато іншого.

Існує величезна кількість методів моделювання і всі з них мають свої переваги та недоліки, так що немає такої штуки як "Найкращий метод моделювання".

Причина, чому я пішов саме шляхом форми- вона працює. А ще я завжди хотів стати скульптором. Перед тим як заглибитись у деталі, я люблю накидати чорнову форму. Саме завдяки цьому я досяг так багато і тому вирішив написати цю статтю, щоб допомогти початківцям в органічному 3D моделюванні і показати їм форму, перш ніж вони почнуть щось робити.

Насамперед я почав з форми голови і нарвався на розчарування, оскільки я намагався її зробити без будь-якої довідкової інформації (без референсів- від англійської reference), тільки використовуючи свою уяву. Замість того, щоб накидати чорнову форму, мій мозок був зайнятий такими питаннями як: "Як багато розрізів потрібно? Чому? Де і Коли?".

Я переживав не лише з приводу голови, а й з приводу очей, носа та рота (а я до них ще навіть не дістався). Мій мозок був спантеличений і я був у повному нерозумінні як створити цю голову ... до одного дня, коли я примудрився накидати базову голову з боксу і побачити ... побачити момент істини! Я був так збуджений, що вирішив повторити це знов! А потім ще й ще, доки мені це набридло і я не вимотався.

Озираючись назад, це видається таким елементарним і простим. Все, що було потрібно – це створити бокс і зробити пару зрізів та правок!

Однак, якщо це так просто, то чому я так довго страждав над цим? Чи можемо ми робити це без таких проблем, які я відчув? Що ж, моя відповідь – ТАК! Але тільки якщо ви маєте для цього потрібний склад розуму. Наприклад, я не мав, коли тільки починав.

Що я зрозумів зараз, то це те, що коли ми вивчаємо 3D-моделювання, то ми якраз взагалі не вчимо 3D! Що ми справді робимо, то це шукаємо відповідний "склад розуму". Отже, коли ви відчуваєте труднощі в якійсь справі – це не означає, що у вас не вистачає навичок чи знання. Це все тому, що у вас немає потрібного розуму, щоб зробити те, що ви намагаєтеся зробити.

Як тільки ви перебудували свій розум, ваш розум візьме гору і ви почнете робити речі природно. Тому це перша річ, яку ми маємо спробувати перебудувати – склад розуму.

Склад розуму

Малювання профілю (контуру): з'єднання точок

Цей маленький приклад допоможе вам перебудувати склад розуму.

Спочатку просто подивіться це зображення. Тепер ми намалюємо профіль за допомогою точок та з'єднаємо їх. Якби у вас було тільки дві точки (на лобі та підборідді), щоб з'єднати їх. Як би це ви зробили? Відповідь: від лоба до підборіддя, оскільки іншого шляху просто немає.

Однак, якщо ви збільшите кількість точок, то вони не лише дозволять вам надати форму профілю більше точно, але й дозволять це зробити багатьма способами, а це вже призводить до формуванню стилю(художнього).

Це дуже важливо пам'ятати, коли вам потрібно зробити розрізи або знати де їх завершити.

Ключовий Розріз (КР) та Заповнюючий Розріз (ЗР).

Спочатку мені було дуже важко зрозуміти, де і скільки я маю зробити розрізів при створенні тієї чи іншої форми. Тому я шукав аналогію до цього процесу. Цією аналогією виявилася Анімація.

В анімації є концепція Ключових кадрів(КК). Якщо коротко, то це характерні позиперсонажа у певний момент часу. Ця концепція також включає в себе Проміжні кадри(ПрК), якими заповнюють часові інтервали міжКлючовими кадрами.

Не лише прискорює процес, а й робить його простіше . Чим більше у вас проміжних кадрів (заповнюючих розрізів), тим гладкішим і точнішим буде рух.

Якщо ви аніматор, то у вашій владі контролювати кількість ПРК. Це дуже схоже на різання полігонів у 3D.

Малювання великої кількості ПрК та управління ними всіма – це дуже стомлююча робота. Те саме стосується переміщення великої кількості вершин у 3D – це дуже трудомістко.

Ідея, що лежить за КР – це суглоби. Коли модельєр накидає чорнову форму, то обов'язково починається з КР, які завжди виглядають грубо. Якщо редактор, який ви використовуєте, підтримує кістки, скористайтеся ними, щоб зрозуміти це. Згинайте/скручуйте кістки у суглобах, щоб побачити вашу грубу форму в позах.

Після того, як всі КР готові, у вас є два варіанти:

Згладити модель.
Іноді я створюю КР, а потім просто дозволяю коду, що відповідає за розбиття моделі на більшу кількість полігонів (subdivision – розбиття), домалювати замість мене усі ЗР. Недоліком є те, що це не виглядає реалістично. Тому наступним кроком є використання м'якого виділення, щоб підправити форму. Іноді це дозволяє заощадити купу часу (але це залежить від того, що ви моделюєте).
Додати ЗР вручну.
У більшості випадків я віддаю перевагу ручній роботі, оскільки так я можу контролювати кількість ЗР та їх місцезнаходження.

Звертаю вашу увагу, що ця концепція з ключовими та заповнювальними розрізами годиться не тільки для створення форм, але і для деталізації вашого міша. КР та ЗР, створені за допомогою розбиття, це один із способів оптимізування міша (ягідниці, стегна тощо). Також, іноді Заповнюючий Розріз може стати Ключовим Розрізом залежно від того, як подивитися. Ви – творець, тому все у вашій владі.

Важливо ще те, що ця концепція також добре працює для топології/лупів (Ключові та Заповнюючі Лупи).

Основний та Заповнювальний – це дуже цікава концепція, оскільки її можна застосувати майже до всього! Наступного разу, коли ви дивитися на сітку топології, спробуйте знайти Ключовий Луп, оскільки кожна голова має хоча б один такий.

Виходячи з того, що я бачив, існують такі топології голови:

C-луп
X-луп
Е-луп
І купа інших

Про все це я розповім пізніше, а зараз сфокусуємось на формі.

Округлення

Це найчастіша помилка всіх новачків. Вони створюють ключові розрізи, а потім заповнюють між ними і все це залишають без жодних змін. Якщо ви не округлятимете ваші ЗР, то результат буде квадратним (неприродним, неорганічним) і доведеться потім добре попітніти, щоб це виправити. Якщо ви, щоразу при створенні чергового Заповнюючого Розрізу, ви його правильно підганятимете під форму, то позбавите себе від постійних переробок міша.

Дотримання ліній форми (ліній тіла, плавність ліній).

Інша часта помилка – це НЕ дотримання плавних ліній об'єкта. Пам'ятайте, що це органічне моделювання, тому намагайтеся органічно думати. Коли ви накидаєте такі частини тіла як хвіст або тіло, яке згинається, спробуйте уявити циліндр, що згинається. І створюйте блоки відповідним чином.

Страх, поспіх та сумніви

Це психічний рівень проблеми, коли ви тільки починаєте 3D-моделювання.

Щоразу, коли ви щось робите вперше, ви маєте великі труднощі. Суть у тому, що не треба здаватись! Через це проходять усі. Рідко можна зустріти людину, яка пройшла цей початковий етап і не розповідає, як вона страждала.

Тому ось моя порада: легше, пригальмуйте, тут нема куди поспішати. Спробуйте витратити місяць чи два на ігри з формою. Почніть із таких об'єктів, які дозволять вам наробити купу помилок, наприклад, із істот. І просто практикуйтеся. Якщо вийшло гівняно – видаліть та почніть спочатку.

Спочатку у вас все буде виходити повільно, але в міру того як ви робитимете схожі завдання, ваша швидкість постійно зростатиме. Саме для цього нам і потрібна практика, щоб робити все краще та швидше.

Коли ви створюєте модель вперше – це може бути дуже кумедним процесом. Все через "погляд на ціле".

Візьмемо, наприклад, людську постать. Скажімо, ви почали з тулуба та екструдом (extrude) витягуєте його. Якщо у вас ще немає ніг і рук/голови, все це виглядає дуже комічно. Щоб "це" виглядало як людина, ви повинні доробити всі частини тіла, що залишилися.

Тож не потрібно втрачати інтерес через страшний результат, не маючи всіх частин на місці. Вам просто необхідно доекструдити всі частини тіла і розташувати їх у правильних місцях, тільки тоді це почне виглядати як людська фігура.

Практикуйтесь

Суб'єкт моделювання

Спочатку давайте поговоримо про суб'єкт моделювання.

Якщо ви займаєтеся моделюванням персонажів, то ви явно почнете з голови і спускатиметеся вниз. Спрощена голова, тулуб, а потім руки та ноги. Через кілька тижнів ви зрозумієте, що голова це найпростіша частина тіла, оскільки це лише один блок, цілком видимий з однієї точки. І все, що вам потрібно для моделювання, це наближати (zoom) і віддаляти її (голову).

Інші частини тіла (руки, ноги) будуть викликати більше складнощів, оскільки необхідно, щоб ви обертали (rotate) і масштабували (zoom) модель у вікні проекції. А оскільки ви новачок у 3D, то велика ймовірність, що ви не звикли за повною програмою використовувати обертання, обліт (spin), панорамування (pan) та масштабування у вікнах проекцій.

Спочатку, щоб уникнути непотрібних труднощів, використовуйте референси. І вже коли наб'єте руку, спробуйте моделювати пам'ять.

Створити вперше руку по пам'яті – це тяжко. Тому спершу використовуйте довідкові зображення/фотографії, а пізніше – пам'ять.

Навіщо взагалі робити з пам'яті? Так просто щоб перевірити, чи покращилося ваше розуміння форми руки (або іншого об'єкта, що ви створюєте).

Якщо ви моделюєте різних істот, то тут така сама ситуація. Починайте з голови, далі тіло, а потім все нижче. Не обмежуйте себе, моделюючи лише якусь одну частину. Стрибайте з однієї частини на іншу (я, наприклад, так роблю), так у вас (завдяки зміні виду діяльності) постійно підтримуватиметься інтерес до цього процесу.

Видавлювання (Extrude).

Перед тим як ви приступите до екструду таких частин як руки та ноги, ви повинні знати, що існує лише два шляхи це зробити. Це з тим, як змоделювати кут.

Метод А, звичайно ж, швидший, але ви все одно, рано чи пізно, ви прийдете до методу Б. Ви також можете перетворити А на Б за допомогою методу розполюсування (про це пізніше). Також зверніть увагу на лінію форми (червона).

Я бачив багато різновидів методу А для створення реалістичні людської руки. У той час як метод Б підходить для нереалістичних персонажів, наприклад, мультяшних та подібних.

Якщо вам складно повертати кожного разу, коли ви екструдуєте, то використовуйте метод А. Але це не має особливого значення (який метод оберіть) оскільки ви можете конвертувати одну топологію в іншу по ходу роботи.

На цьому перша частина статті закінчується. Можете ставити запитання якщо щось неясно.

Наводжу на завершення кілька найкращих.

Це мій переклад відмінної серії постів від SomeArtist на subdivisionmodeling.com (які були видалені, оскільки форум припинив своє існування).

Підпишіться на оновлення блогу(Ось).

P.S.Варвар-черепаха на великій картинці зроблений американцем Jesse Sandifer. Моделювання було виконано повністю в Mudboxпотім вся сцена була зібрана в 3ds Maxта візуалізована силами VRay. Photoshopвикористовувався для текстурування та постобробки. Інші види персонажа, а також обговорення роботи

Математичні структури та моделювання 2000, вип. 6, с. 107-114

УДК 530.12:531.18

ЧАС І ТОПОЛОГІЯ ЛЮДСЬКОГО ТІЛА

The Philosopher Kant визнали, що час ведеться за piori, i.e. is defined for person from birth. Has it relation with the topology and geometry of human body? У Minkowsky проміжок часу чотиримісний топологія людського тіла є тривіальним і неповносправним до R = x B, де BcRl Така топологія дозволяє відчути sensations, мабуть, будь-який пункт body. Якщо у нього є інші чотири-dimensional топологія, яка не є diffeomorphic до R, вони існують повний знімок пам'яті в ефект, щоб захистити сенсаційно. Hence, інша топологія фізичних засобів не має часу в той спосіб, на який ми збираємося.

Ця стаття написана з метою всебічного дослідження наслідків теорії абсолютного простору-часу. Відомо, що матеріальне тіло описується теоретично відносності сукупністю світових ліній, але фізика не цікавиться людським тілом. Постараємося з'ясувати, як співвідноситься псевдоевклідова геометрія простору-часу з чотиривимірною топологією тіла, яке може мати живий організм в абсолютному світі подій Мінковського.

1. Ілюзія часу

Життя людини відбувається у часі. Події, що з нами відбуваються, ми впорядковуємо, датуючи їх. Нам досконало відомо, що минуле в нашому житті - це те, що незворотно пішло, а майбутнє, яке нас чекає, невідоме, оскільки ще не настало. Але ми знаємо, що попереду нас чекає смерть.

При народженні людина отримує тіло. З погляду математики життя - це чотиривимірна область R, що має топологічну структуру, диффео-морфну D1 хВ, де D1 - одновимірний диск, відрізок часу, який судилося людині прожити, а його тіло в тривимірному просторі, топологія якого спрощено представлена на рис. 1. Сучасна теорія простору і часу передбачає, що Світ подій є так званим чотиривимірним псевдоевклідовим простором V4, названим простором-часом. Подія - це точка у просторі-часі V4. Життєвий шлях елементарного матеріального об'єкта є кривою, світовою лінією, у світі подій V4. Тому життя людини як сукупність всіх подій, що відбуваються в його житті, - це гладке вкладення h: D1 х В -> V4. Світова лінія

E-mail: [email protected]Омський державний університет

Топологія- Досить гарне, звучне слово, дуже популярне в деяких нематематичних колах, зацікавило мене ще в 9 класі. Точної думки звичайно ж я не мав, проте, підозрював, що все зав'язано на геометрії.

Слова і текст підбиралися таким чином, щоб усе було інтуїтивно ясно. Як наслідок – повна відсутність математичної грамоти.

Що таке топологія ? Відразу скажу, що є принаймні два терміни «Топологія» - один із них просто позначає деяку математичну структуру, другий - несе за собою цілу науку. Ця наука полягає у вивчення властивостей предмета, які не зміняться при його деформації.

Наочний приклад 1. Чашка бублик.

Ми бачимо, що гурток безперервними деформаціями переходить у бублик (у простолюді «двовимірний тор»). Було помічено, що топологія вивчає те, що залишається незмінним при таких деформаціях. У разі незмінним залишається кількість «дірок» у предметі - вона одна. Поки залишимо як є, трохи пізніше розберемося напевно)

Наочний приклад 2. Топологічна людина.

Безперервними деформаціями людина може розплутати пальці - факт. Не одразу очевидно, але можна здогадатися. А якщо ж наша топологічна людина завбачливо одягла годинник на одну руку, то наше завдання стане нездійсненним.

Давайте внесемо ясності

Отже, сподіваюся парочка прикладів привнесла деяку наочність до того, що відбувається.
Спробуємо формалізувати це все по-дитячому.
Вважатимемо що ми працюємо з пластиліновими фігурками, і пластилін можемо розтягувати, стискати, при цьому заборонені склеювання різних точок та розриви. Гомеоморфними називаються фігури, які перекладаються одна в одну безперервними деформаціями, описаними трохи раніше.

Дуже корисний випадок – сфера з ручками. У сфери може бути 0 ручок - тоді це просто сфера, може бути одна - тоді це бублик (у народі «двовимірний тор») і т.д.
То чому ж сфера з ручками – відокремлюється серед інших фігур? Все дуже просто - будь-яка фігура гомеоморфна у сфері з деякою кількістю ручок. Тобто, по суті, у нас більше нічого немає О_о Будь-який об'ємний предмет влаштований як сфера з деякою кількістю ручок. Будь то чашка, ложка, виделка (ложка = вилка!), комп'ютерна миша, людина.

Ось така досить змістовна теорема доведена. Чи не нами і не зараз. Точніше вона доведена для більш загальної ситуації. Поясню: ми обмежувалися розглядом фігур зліплених із пластиліну і без порожнин. Це спричиняє такі неприємності:
1) ми ніяк не можемо отримати неорієнтовану поверхню (Пляшка Клейна, Стрічка Мёбіуса, проектна площина),
2) обмежуємося двомірними поверхнями (н/п: сфера - двомірна поверхня),
3) не можемо отримати поверхні, фігури, що простягаються на нескінченність (можна звичайно таке уявити, але ніякого пластиліну не вистачить).