Тригонометричні формули як вирішувати. Захист персональної інформації

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Збір та використання персональної інформації

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Не секрет, що успіх чи невдача у процесі вирішення практично будь-якого завдання, в основному залежить від правильності визначення типу заданого рівняння, а також від правильності відтворення послідовності всіх етапів його розв'язання. Однак у випадку з тригонометричними рівняннями визначити факт того, що рівняння саме тригонометричне, зовсім нескладно. А ось у процесі визначення послідовності дій, які мають привести нас до правильної відповіді, можна зіткнутися з певними складнощами. Давайте розберемося, як вирішувати тригонометричні рівняння правильно від початку.

Розв'язання тригонометричних рівнянь

Щоб вирішити тригонометричне рівняння, потрібно спробувати виконати такі моменты:

Наводимо всі функції, які входять до нашого рівняння до «однакових кутів»;
Потрібно довести задане рівняння до «однакових функцій»;
Розкладаємо ліву частину заданого рівняння на множники чи інші необхідні складові.

Методи

Метод 1. Вирішувати такі рівняння необхідно у два етапи. Перший-перетворюємо рівняння для того, щоб отримати його найпростіший (спрощений) вигляд. Рівняння Cosx = a, Sinx = a і подібні називаються найпростішими тригонометричними рівняннями. Другий етап- вирішуємо отримане найпростіше рівняння. Слід зазначити, що найпростіше рівняння можна вирішити методом алгебри, який добре відомий нам зі шкільного курсу алгебри. Його також називають методом заміни підстановки та змінної. За допомогою формул приведення спочатку потрібно перетворити, потім зробити заміну і після цього знайти коріння.

Далі потрібно розкласти наше рівняння на можливі множники, для цього необхідно перенести всі члени вліво, а потім можна розкладати на множники. Тепер потрібно привести дане рівняння до однорідного, у якому всі члени дорівнюють одного ступеня, а косинус і синус мають той самий кут.

Перед тим, як вирішувати тригонометричні рівняння, потрібно перенести його члени в ліву частину, забравши з правої, а потім виносимо всі спільні знаменники за дужки. Прирівнюємо наші дужки та множники до нуля. Наші прирівняні дужки є однорідним рівнянням зі зменшеним ступенем, яке потрібно розділити на sin (cos) у старшому ступені. Тепер вирішуємо рівняння алгебри, яке було отримано, у співвідношенні до tan.

Метод 2. Ще одним методом, за допомогою якого можна вирішити тригонометричне рівняння є перехід до половинного кута. Наприклад, розв'язуємо рівняння: 3sinx-5cosx=7.

Нам потрібно перейти до половинного кута, у нашому випадку це: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos²(x /2).А після цього, зводимо всі члени в одну частину (для зручності краще вибрати праву) і приступаємо до вирішення рівняння.

За потреби можна вводити допоміжний кут. Це робиться у випадку, коли потрібно замінити ціле значення sin(a) або cos(a) і знак «a» якраз і є допоміжним кутом.

Твір у суму

Як розв'язувати тригонометричні рівняння, використовуючи твір у суму? Метод відомий як перетворення твору на суму також може бути використаний у вирішенні таких рівнянь. У цьому випадку необхідно використовувати відповідні рівняння формули.

Наприклад, ми маємо рівняння: 2sinx * sin3x= сos4x

Нам потрібно вирішити це завдання шляхом перетворення лівої частини на суму, а саме:

сos 4x -cos8x = cos4x,

х = p/16 + pk/8.

Якщо наведені вище методи не підходять, і Ви все ще не знаєте, як вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння, можна скористатися ще одним методом - універсальна підстановка. З його допомогою можна перетворити вираз і зробити заміну. Наприклад: Cos(x/2)=u. Тепер можна розв'язувати рівняння з наявним параметром u. А отримавши потрібний результат, не забуваємо перевести це значення у протилежне.

Багато "досвідчених" учнів радять звернутися за рішенням рівнянь до людей в онлайн-режимі. Як вирішити тригонометричне рівняння онлайн, спитайте Ви. Для онлайн вирішення завдання, Ви можете звернутися на форуми відповідної тематики, де Вам можуть допомогти порадою або у вирішенні задачі. Але найкраще, все ж таки спробувати обійтися власними силами.

Навички та вміння у вирішенні тригонометричних рівнянь є дуже важливими та корисними. Їх розвиток вимагатиме від Вас чималих зусиль. З розв'язанням таких рівнянь пов'язані багато завдань фізики, стереометрії тощо. А сам процес вирішення подібних завдань передбачає наявність умінь і знань, які можна придбати під час вивчення елементів тригонометрії.

Вчимо тригонометричні формули

У процесі вирішення рівняння Ви можете зіткнутися з використанням будь-якої формули з тригонометрії. Можна, звичайно, почати шукати її у своїх підручниках та шпаргалках. А якщо ці формули відкладені у Вас у голові, ви не тільки заощадите свої нерви, а й значно полегшите собі завдання, не витрачаючи часу на пошук потрібної інформації. Таким чином, Ви матимете можливість для продумування найбільш раціонального шляху вирішення поставленого завдання.

Тригонометричні рівняння – тема не найпростіша. Аж надто вони різноманітні.) Наприклад, такі:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

І тому подібне...

Але в цих (і всіх інших) тригонометричних монстрів є дві загальні та обов'язкові ознаки. Перший - ви не повірите - в рівняннях присутні тригонометричні функції. Другий: всі вирази з іксом знаходяться всередині цих функцій.І лише там! Якщо ікс з'явиться десь зовні,наприклад, sin2x + 3x = 3,це вже буде рівняння змішаного типу. Такі рівняння потребують індивідуального підходу. Тут ми їх не розглядатимемо.

Злі рівняння в цьому уроці ми теж вирішувати не будемо.) Тут ми розбиратимемося з найпростішими тригонометричними рівняннями.Чому? Та тому, що рішення будь-якихТригонометричних рівнянь складається з двох етапів. На першому етапі зле рівняння шляхом різних перетворень зводиться до простого. З другого краю - вирішується це найпростіше рівняння. Інакше ніяк.

Так що якщо на другому етапі у вас проблеми - перший етап особливого сенсу не має.)

Як виглядають елементарні тригонометричні рівняння?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Тут а позначає будь-яке число. Будь-яке.

До речі, всередині функції може бути не чистий ікс, а якийсь вираз, типу:

cos(3x+π /3) = 1/2

і тому подібне. Це ускладнює життя, але на методі розв'язання тригонометричного рівняння ніяк не позначається.

Як розв'язувати тригонометричні рівняння?

Тригонометричні рівняння можна вирішувати двома шляхами. Перший шлях: з використанням логіки та тригонометричного кола. Цей шлях ми розглянемо тут. Другий шлях – з використанням пам'яті та формул – розглянемо у наступному уроці.

Перший шлях зрозумілий, надійний, і його важко забути.) Він хороший для розв'язання і тригонометричних рівнянь, і нерівностей, і будь-яких хитрих нестандартних прикладів. Логіка сильніша за пам'ять!)

Вирішуємо рівняння за допомогою тригонометричного кола.

Включаємо елементарну логіку та вміння користуватися тригонометричним колом. Чи не вмієте!? Однак... Важко вам у тригонометрії доведеться...) Але не біда. Загляньте в уроки "Тригонометричне коло...... Що це таке?" та "Відлік кутів на тригонометричному колі". Там просто все. На відміну від підручників...)

Ах, ви в курсі!? І навіть освоїли "Практичну роботу з тригонометричним колом"!? Прийміть вітання. Ця тема буде вам близька і зрозуміла.) Що особливо тішить, тригонометричному колу байдуже, яке рівняння ви вирішуєте. Синус, косинус, тангенс, котангенс - йому все одно. Принцип рішення один.

Ось і беремо будь-яке елементарне тригонометричне рівняння. Хоча б це:

cosx = 0,5

Потрібно знайти ікс. Якщо говорити людською мовою, потрібно знайти кут (ікс), косинус якого дорівнює 0,5.

Як ми використовували коло раніше? Ми малювали на ньому куток. У градусах чи радіанах. І відразу бачили тригонометричні функції цього кута. Зараз вчинимо навпаки. Намалюємо на колі косинус, що дорівнює 0,5 і відразу побачимо кут. Залишиться тільки записати відповідь.) Так-так!

Малюємо коло і відзначаємо косинус, що дорівнює 0,5. На осі косинусів, зрозуміло. Ось так:

Тепер намалюємо кут, який дає нам косинус. Наведіть курсор мишки на малюнок (або торкніться картинки на планшеті), та побачитецей самий кут х.

Косинус якого кута дорівнює 0,5?

х = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Дехто скептично хмикне, так... Мовляв, чи варто було коло городити, коли і так все ясно... Можна, звичайно, хмикати...) Але річ у тому, що це помилкова відповідь. Точніше, недостатній. Знавці кола розуміють, що тут ще ціла купа кутів, які теж дають косинус, що дорівнює 0,5.

Якщо провернути рухливий бік ОА на повний обіг, точка А потрапить у вихідне становище. З тим же косинус, рівним 0,5. Тобто. кут змінитьсяна 360° або 2π радіан, а косинус – ні.Новий кут 60 ° + 360 ° = 420 ° також буде рішенням нашого рівняння, т.к.

Таких повних обертів можна накрутити безліч… І всі ці нові кути будуть рішеннями нашого тригонометричного рівняння. І їх треба якось записати у відповідь. Всі.Інакше рішення не вважається, так...)

Математика вміє це робити просто та елегантно. В одній короткій відповіді записувати нескінченна безлічрішень. Ось як це виглядає для нашого рівняння:

х = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Розшифрую. Все-таки писати осмисленоприємніше, ніж тупо малювати якісь загадкові літери, правда?)

π /3 - це той самий кут, який ми побачилина колі та визначилиза таблицею косінусів.

2π - Це один повний оборот у радіанах.

n - кількість повних, тобто. цілихоборотів. Зрозуміло, що n може бути 0, ±1, ±2, ±3.... і так далі. Що й вказано коротким записом:

n ∈ Z

n належить ( ∈ ) безлічі цілих чисел ( Z ). До речі, замість літери n цілком можуть вживатися літери k, m, t і т.д.

Цей запис означає, що ви можете взяти будь-яке ціле n . Хоч -3, хоч 0, хоч +55. Яке бажаєте. Якщо підставіть це число в запис відповіді, отримайте конкретний кут, який обов'язково буде вирішенням нашого суворого рівняння.

Або, іншими словами, х = π /3 - це єдиний корінь із нескінченної множини. Щоб отримати все інше коріння, достатньо до π /3 додати будь-яку кількість повних оборотів ( n ) у радіанах. Тобто. 2π n радіан.

Всі? Ні. Я спеціально насолоду розтягую. Щоб запам'яталося краще.) Ми отримали лише частину відповідей до нашого рівняння. Цю першу частину рішення я запишу ось як:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не один корінь, це ціла серія коренів, записана у короткій формі.

Але є ще кути, які теж дають косинус, що дорівнює 0,5!

Повернемося до нашої картинки, якою записували відповідь. Ось вона:

Наводимо мишку на картинку та бачимоще один кут, який також дає косинус 0,5.Як ви вважаєте, чому він дорівнює? Трикутнички однакові... Так! Він дорівнює куту х , Тільки відкладений у негативному напрямку. Це кут -х. Але ікс ми вже вирахували. π /3 або 60 °. Отже, можна сміливо записати:

х 2 = - π /3

Ну і, зрозуміло, додаємо всі кути, які виходять через повні оберти:

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ось тепер все.) По тригонометричному колі ми побачили(хто розуміє, звичайно) Усекути, що дають косинус, рівний 0,5. І записали ці кути у короткій математичній формі. У відповіді вийшло дві нескінченні серії коренів:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Це правильна відповідь.

Сподіваюся, загальний принцип розв'язання тригонометричних рівняньза допомогою кола зрозумілий. Зазначаємо на колі косинус (синус, тангенс, котангенс) із заданого рівняння, малюємо відповідні йому кути та записуємо відповідь.Звичайно, треба збагнути, що за кути ми побачилина колі. Іноді це не так очевидно. Ну так я й казав, що тут логіка потрібна.)

Наприклад розберемо ще одне тригонометричне рівняння:

Прошу врахувати, що число 0,5 - це не єдине можливе число в рівняннях!) Просто мені його писати зручніше, ніж коріння та дроби.

Працюємо за загальним принципом. Малюємо коло, відзначаємо (на осі синусів, звичайно!) 0,5. Малюємо відразу всі кути, що відповідають цьому синусу. Отримаємо таку картину:

Спочатку знаємося з кутом х у першій чверті. Згадуємо таблицю синусів та визначаємо величину цього кута. Справа нехитра:

х = π /6

Згадуємо про повні оберти і з чистою совістю записуємо першу серію відповідей:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половина справи зроблено. А ось тепер треба визначити другий кут...Це хитріші, ніж у косинусах, так... Але логіка нас врятує! Як визначити другий кут через х? Та легко! Трикутнички на картинці однакові, і червоний кут х дорівнює куту х . Тільки відрахований він від кута в негативному напрямку. Тому і червоний.) А нам відповіді потрібен кут, відрахований правильно, від позитивної півосі ОХ, тобто. від кута 0 градусів.

Наводимо курсор на малюнок і все бачимо. Перший кут я прибрав, щоб не ускладнював картинку. Цікавий нас кут (намальований зеленим) дорівнюватиме:

π - х

Ікс ми знаємо, це π /6 . Отже, другий кут буде:

π - π /6 = 5π /6

Знову згадуємо про добавку повних обертів та записуємо другу серію відповідей:

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

От і все. Повноцінна відповідь складається з двох серій коріння:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Рівняння з тангенсом і котангенсом можна легко вирішувати за тим самим загальним принципом розв'язання тригонометричних рівнянь. Якщо, звичайно, знаєте, як намалювати тангенс та котангенс на тригонометричному колі.

У наведених вище прикладах я використовував табличне значення синуса та косинуса: 0,5. Тобто. одне з тих значень, які учень знати зобов'язаний.А тепер розширимо наші можливості на всі інші значення.Вирішувати, так вирішувати!)

Отже, нехай нам треба вирішити таке тригонометричне рівняння:

Такого значення косинуса у коротких таблицях немає. Холоднокровно ігноруємо цей страшний факт. Малюємо коло, відзначаємо на осі косінусів 2/3 і малюємо відповідні кути. Отримуємо таку картинку.

Розбираємось, для початку, з кутом у першій чверті. Знати б, чому дорівнює ікс, одразу відповідь записали б! Не знаємо... Провал!? Спокій! Математика своїх у біді не кидає! Вона на цей випадок вигадала арккосинуси. Не в курсі? Даремно. З'ясуйте, Це набагато простіше, ніж ви думаєте. За цим посиланням жодного складного заклинання щодо "зворотних тригонометричних функцій" немає... Зайве це в цій темі.

Якщо ви знаєте, досить сказати собі: "Ікс - це кут, косинус якого дорівнює 2/3". І відразу, чисто за визначенням арккосинусу, можна записати:

Згадуємо про додаткові звороти та спокійно записуємо першу серію коренів нашого тригонометричного рівняння:

х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Фактично автоматично записується і друга серія коренів, для другого кута. Все те саме, тільки ікс (arccos 2/3) буде з мінусом:

х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

І всі справи! Це правильна відповідь. Навіть простіше, ніж із табличними значеннями. До речі, найуважніші помітять, що ця картинка з рішенням через арккосинус нічим, по суті, не відрізняється від картинки рівняння cosx = 0,5.

Саме так! Загальний принцип на те й загальний! Я спеціально намалював дві майже однакові картинки. Коло показує нам кут х за його косинус. Табличний це косинус, чи ні – колу невідомо. Що це за кут, π /3, або арккосинус який - це вже вирішувати.

З синусом та сама пісня. Наприклад:

Знову малюємо коло, відзначаємо синус, що дорівнює 1/3, малюємо кути. Виходить така картина:

І знову картинка майже та сама, що й для рівняння sinx = 0,5.Знову починаємо з кута у першій чверті. Чому дорівнює ікс, якщо його синус дорівнює 1/3? Не питання!

Ось і готова перша пачка коренів:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Розбираємось з другим кутом. У прикладі з табличним значенням 0,5 він дорівнював:

π - х

Так і тут він буде такий самий! Тільки ікс інший, arcsin 1/3. Ну і що!? Можна сміливо записувати другу пачку коренів:

х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Це абсолютно правильна відповідь. Хоча й не дуже звично. Зате зрозуміло, сподіваюся.)

Ось так вирішуються тригонометричні рівняння за допомогою кола. Цей шлях наочний і зрозумілий. Саме він рятує у тригонометричних рівняннях з відбором коренів на заданому інтервалі, у тригонометричних нерівностях – ті взагалі вирішуються практично завжди по колу. Коротше, в будь-яких завданнях, які трохи складніші за стандартні.

Чи застосуємо знання на практиці?)

Розв'язати тригонометричні рівняння:

Спочатку простіше, прямо з цього уроку.

Тепер складніше.

Підказка: тут доведеться поміркувати над колом. Особисто.)

А тепер зовні прості... Їх ще окремими випадками називають.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Підказка: тут треба збагнути по колу, де дві серії відповідей, а де одна... І як замість двох серій відповідей записати одну. Та так, щоб жоден корінь із нескінченної кількості не загубився!)

Ну і зовсім прості):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Підказка: тут треба знати, що таке арксінус, арккосинус? Що таке Арктангенс, Арккотангенс? Найпростіші визначення. Зате згадувати жодних табличних значень не треба!)

Відповіді, зрозуміло, безладно):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Чи не все виходить? Буває. Прочитайте урок ще раз. Тільки вдумливо(є таке застаріле слово...) І за посиланнями походьте. Основні посилання - про світ. Без нього в тригонометрії – як дорогу переходити із зав'язаними очима. Іноді виходить.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Концепція розв'язання тригонометричних рівнянь.

Для розв'язання тригонометричного рівняння перетворіть його на одне або кілька основних тригонометричних рівнянь. Рішення тригонометричного рівняння зрештою зводиться до вирішення чотирьох основних тригонометричних рівнянь.

Розв'язання основних тригонометричних рівнянь.

Існують 4 види основних тригонометричних рівнянь:
sin x = a; cos x = a
tg x = a; ctg x = a
Розв'язання основних тригонометричних рівнянь передбачає розгляд різних положень «х» на одиничному колі, а також використання таблиці перетворення (або калькулятора).
Приклад 1. Sin x = 0,866. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = π/3. Одиничне коло дає ще одну відповідь: 2π/3. Запам'ятайте, що всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються. Наприклад, періодичність sin x та cos x дорівнює 2πn, а періодичність tg x та ctg x дорівнює πn. Тому відповідь записується так:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Приклад 2. х = -1/2. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = 2π/3. Поодиноке коло дає ще одну відповідь: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
Приклад 3. tg(x - π/4) = 0.
Відповідь: х = π/4 + πn.
Приклад 4. ctg 2x = 1732.
Відповідь: х = π/12 + πn.

Перетворення, що використовуються під час вирішення тригонометричних рівнянь.

Для перетворення тригонометричних рівнянь використовуються перетворення алгебри (розкладання на множники, приведення однорідних членів і т.д.) і тригонометричні тотожності.
Приклад 5. Використовуючи тригонометричні тотожності, рівняння sin x + sin 2x + sin 3x = 0 перетворюється на рівняння 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким чином, потрібно вирішити наступні основні тригонометричні рівняння: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Знаходження кутів за відомими значеннями функцій.
- Перед вивченням методів розв'язання тригонометричних рівнянь необхідно навчитися знаходити кути за відомими значеннями функцій. Це можна зробити за допомогою таблиці перетворення чи калькулятора.
- Приклад: х = 0,732. Калькулятор дасть відповідь x = 42,95 градусів. Одиничне коло дасть додаткові кути, косинус яких також дорівнює 0,732.
Відкладіть рішення на одиничному колі.
- Ви можете відкласти рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі. Рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі є вершинами правильного багатокутника.
- Приклад: Рішення x = π/3 + πn/2 на одиничному колі є вершинами квадрата.
- Приклад: Рішення x = π/4 + πn/3 на одиничному колі є вершинами правильного шестикутника.
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
- Якщо це тригонометричне рівняння містить лише одну тригонометричну функцію, розв'яжіть це рівняння як основне тригонометричне рівняння. Якщо це рівняння включає дві або більше тригонометричні функції, то існують 2 методи розв'язання такого рівняння (залежно від можливості його перетворення).
  - Метод 1.
- Перетворіть це рівняння на рівняння виду: f(x)*g(x)*h(x) = 0, де f(x), g(x), h(x) - основні тригонометричні рівняння.
- Приклад 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Рішення. Використовуючи формулу подвійного кута sin 2x = 2*sin х*соs х, замініть sin 2x.
- 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: соs х = 0 і (sin х + 1) = 0.
- Приклад 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть це рівняння на рівняння виду: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2cos x + 1) = 0.
- Приклад 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння на рівняння виду: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2sin x + 1) = 0.
  - Метод 2.
- Перетворіть це тригонометричне рівняння на рівняння, що містить лише одну тригонометричну функцію. Потім замініть цю тригонометричну функцію на деяку невідому, наприклад, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t і т.д.).
- Приклад 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Рішення. У цьому рівнянні замініть (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (відповідно до тотожності). Перетворене рівняння має вигляд:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замініть sin x на t. Тепер рівняння має вигляд: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Це квадратне рівняння, що має два корені: t1 = -1 та t2 = 9/5. Другий корінь t2 не задовольняє області значень функції (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Приклад 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Рішення. Замініть tg x на t. Перепишіть вихідне рівняння у такому вигляді: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Тепер знайдіть t, а потім знайдіть х для t = tg х.