Тип завдання: 18

Умова

При яких значеннях параметра a нерівність

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1виконується за всіх значеннях x ?

Показати рішення

Рішення

Ця нерівність рівносильна подвійній нерівності 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Нехай \sin x=t тоді отримаємо нерівність:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , яке має виконуватися за всіх значень -1 \leq t \leq 1 . Якщо a = 0, то нерівність (*) виконується для будь-якого t in [-1; 1].

Нехай a \neq 0 . Функція f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t зростає на проміжку [-1;1] , оскільки похідна f"(t)=3t^(2)+4at +5a^(2) > 0 при всіх значеннях t \in \mathbb(R) та a \neq 0 (дискримінант D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Нерівність (*) виконуватиметься для t \in [-1;1] за умов

\begin(cases) f(-1) > -4, f(1) \leq 1, \a aneq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \1+2a+5a^(2) \leq 1, \a aneq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5) \leq a< 0 .

Отже, умова виконується при -frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Відповідь

\left [-\frac(2)(5); 0 \right ]

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2016. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 18
Тема: Нерівності з параметром

Умова

Знайдіть усі значення параметра a , при кожному з яких нерівність

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

має єдине рішення.

Показати рішення

Рішення

Нерівність рівносильна сукупності систем нерівностей

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

У системі координат Oxa побудуємо графіки функцій a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Отриманої сукупності задовольняють точки, укладені між графіками функцій a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2xна проміжку x\in (заштрихована область).

За графіком визначаємо: вихідна нерівність має єдине рішення при a = -4 і a = 5, так як у заштрихованій області буде єдина точка з ординатою a, що дорівнює -4 і дорівнює 5.

Серія «Вчимося вирішувати завдання з параметром»

IV. Квадратні рівняння та нерівності з параметром

IV.1. Основні поняття

Визначення. Функцію виду (1), де , , – дані функції параметра а, що розглядаються на перетині їх областей визначення, назвемо квадратичною функцією з параметром а.

приклади.

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .

Визначення. Підобластю визначення квадратичної функції (1) з параметром абудемо розуміти безліч пар значень хі авиду ( х; а), при кожній з яких вираз не втрачає сенсу.

Встановимо області визначення функцій 1-10.

1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

Якщо параметр приймає одне з числових значень , то функція (1) набуде вигляду однієї з функцій з числовими коефіцієнтами:

; ; ;
; ; ; ,

де k, b, c– дійсні числа.

Звернемо увагу на те, що при деяких значеннях параметра квадратична функція з параметром набуває вигляду або квадратичної функції без параметра, або - лінійної.

Так як квадратична функція з параметром найчастіше «породжує» сімейство квадратичних або лінійних функцій з числовими коефіцієнтами, то говорячи про графіки квадратичної функції з параметром, ми матимемо на увазі безліч графіків цього сімейства.

Визначення. аназивається рівняння виду (1) де , , – дані функції від параметра а, що розглядаються на перетині їхніх областей визначення.

Зокрема, деякі з коефіцієнтів чи вільний член можуть бути числами.

приклади.

, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
. (5)

Використовуючи визначення квадратичної функції з параметром, можна дати визначення квадратного рівняння з параметром.

Визначення. Квадратним рівнянням із параметром аназивається рівняння виду , де - квадратична функція з параметром а.

Якщо , то рівняння (1) є квадратним у сенсі, тобто. другого ступеня.
Якщо ж , то рівняння (1) стає лінійним.

За всіх допустимих значень параметра а, при яких і за відомими формулами отримуємо вирази коренів рівняння (1) через параметр.

Ті значення а, при яких слід розглядати окремо як особливі випадки.
Так, наприклад, рівняння (5) при набуде вигляду , звідки .

IV.2. Квадратні рівняння з параметром

№1. Розв'яжіть рівняння.

- Рівняння-слідство. Отримаємо: , .

У системі координат ( аОх) Завершуємо рішення. (Мал. 1)

Відповідь: 1. Якщо , то .

2. Якщо, то.

3. Якщо , , то , .

№2. Знайдіть значення параметра а, При якому рівняння має єдиний корінь. Якщо таких значень кілька, у відповіді запишіть їхню суму.

Це рівняння зводиться до рівносильної системи:

Наведемо її до вигляду: і вирішимо графічно в системі координат ( хОа). (Мал. 2).

Рівняння має єдиний корінь при , і .

№3. Знайдіть усі значення хтакі, що за будь-якого значення параметра а, Що не належить проміжку (0; 2], вираз не дорівнює виразу. (ЄДІ-2007).

Переформулюємо завдання: «Знайдіть усі значення хтакі, що за будь-якого значення параметра рівняння не має коріння».
Висловимо ачерез х:

1) Нехай. Тоді. Тому рівняння має коріння. Отже, не задовольняє умову.
2) Нехай. Тоді. Скористаємося системою координат ( хОа). (Мал. 3).

Умови задовольняють.

№4. Скільки коренів залежно від параметра амає рівняння?

Розкриємо модуль:

У системі координат ( хОу) побудуємо графік функції

і кілька прямих пучка паралельних прямих, що задаються рівнянням. (Мал. 4).

Відповідь: 1. Якщо , то коріння немає.

2. Якщо , то один корінь.

3. Якщо , то два корені.

IV.3. Квадратні нерівності з параметром

№5. Розв'яжіть нерівність .

1 спосіб.

Врахуємо, що . Тоді - вирішення цієї нерівності за будь-якого b.(Мал. 5).

Якщо, то переходимо до нерівності, безліч розв'язків якої зобразимо в системі координат ( bOx). (Мал. 6).

Сумісний рис. 5 та 6.

А тепер за рис. 7, розтинаючи його вертикальними прямими, легко отримати відповідь.

Відповідь: 1. Якщо , то .
2. Якщо, то.
3. Якщо , то

2 спосіб.

Розв'яжемо нерівність графічним методом у системі координат ( хОb):

. (Мал. 8).

Розглянемо два випадки.

1). Тоді нерівність набуде вигляду, звідки.
2), тоді.

Графік функції та частина площини, що містить точки, координати яких задовольняють нерівності , зображені малюнку 8.

1. Якщо , то .
2. Якщо, то. 3. Якщо, то.

3 спосіб.

Наведемо тепер графічне рішення у системі координат ( хОу). Для цього розкриємо модуль:

Розглянемо функцію .

Коріння квадратного тричлена .

Порівняємо і .

1), звідки.

Отримуємо сукупність. (Мал. 9)

2) , звідки. (Мал. 10).

Тоді тобто. .

3) , звідки. (Мал. 11).

Тоді тобто. .

Відповідь: 1. Якщо , то .

2. Якщо, то.
3. Якщо, то.

№6. Знайдіть усі значення параметра а, для яких найменше значення функції більше 2.

Достатньо знайти всі значення параметра а, для кожного з яких для будь-кого вірна нерівність . Перепишемо нерівність у вигляді ., ;

Нерівність

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x), (1)

де a, b, c, …,- Параметри, а x - дійсна змінна величина, називається нерівністю з одним невідомим, що містить параметри.

Будь-яка система значень параметрів а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , при деякій функції

(a, b, c, …,, x) та

(a, b, c, …,, x

мають сенс у ділянці дійсних чисел, називається системою допустимих значень параметрів.

називається допустимим значенням х, якщо

(a, b, c, …,, x) та

(a, b, c, …,, x

приймають дійсні значення за будь-якої допустимої системи значень параметрів.

Багато всіх допустимих значень х називається областю визначення нерівності (1).

Число х 0 називається приватним рішенням нерівності (1), якщо нерівність

(a, b, c, …,, x 0 )>(a, b, c, …, x 0 )

Правильно за будь-якої системі допустимих значень параметрів.

Сукупність усіх окремих рішень нерівності (1) називається загальним рішенням цієї нерівності.

Вирішити нерівність (1) - означає вказати, за яких значеннях параметрів існує загальне рішення і яке воно.

Дві нерівності

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) та (1)

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) (2)

називаються рівносильними, якщо вони мають однакові загальні рішення при тому самому безлічі систем допустимих значень параметрів.

Алгоритм рішення.

Знаходимо область визначення даної нерівності.

Зводимо нерівність до рівняння.

Висловлюємо як функцію від х.

У системі координат хОа будуємо графіки функцій а = (х) тих значень х, які входять у область визначення даного нерівності.

Знаходимо безліч точок, що задовольняють цій нерівності.

Досліджуємо вплив параметра на результат.

знайдемо абсциси точок перетину графіків.

задаємо пряму а = соnst і зрушуватимемо її від - до +

Записуємо відповідь.

Це лише один з алгоритмів розв'язання нерівностей з параметрами, з використанням системи координат хОа. Можливі інші методи рішення, з використанням стандартної системи координат хОy.

3. Приклади

I. Для всіх допустимих значень параметра вирішити нерівність

В області визначення параметра а, визначеного системою нерівностей

ця нерівність рівносильна системі нерівностей

Якщо рішення вихідної нерівності заповнюють відрізок.

Відповідь:, .

ІІ. При яких значеннях параметра має рішення система

Знайдемо коріння тричлена лівої частини нерівності -

Прямі, задані рівностями (*), розбивають координатну площину аОх на чотири області, у кожній з яких квадратний тричлен

зберігає постійний знак. Рівняння (2) задає коло радіусу 2 з центром на початку координат. Тоді рішенням вихідної системи буде перетин заштрихований

ної області з колом, де, а значення і знаходяться із системи

а значення і знаходяться із системи

Вирішуючи ці системи, отримуємо, що

ІІІ. Вирішити нерівність залежно від значень параметра а.

Знаходимо область допустимих значень -

Побудуємо графік функції у системі координат хОу.

при нерівність рішень немає.

для вирішення х задовольняє співвідношенню, де

Вирішення нерівностей з параметром.

Нерівності, які мають вигляд ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются лінійними нерівностями.

Принципи розв'язання лінійних нерівностей з параметром дуже схожі з принципами розв'язання лінійних рівнянь із параметром.

приклад 1.

Вирішити нерівність 5х - а > ax + 3.

Рішення.

Для початку перетворимо вихідну нерівність:

5х – ах > a + 3, винесемо за дужки х у лівій частині нерівності:

(5 – а)х > a + 3. Тепер розглянемо можливі випадки для параметра а:

Якщо a> 5, то x< (а + 3) / (5 – а).

Якщо а = 5, то рішень немає.

Якщо а< 5, то x >(а + 3) / (5 – а).

Дане рішення і буде відповідати нерівності.

приклад 2.

Розв'язати нерівність х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а за а ≠ 1.

Рішення.

Перетворимо вихідну нерівність:

х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножимо на (-1) обидві частини нерівності, отримаємо:

ах/(а – 1) ≥ а/3. Досліджуємо можливі випадки для параметра:

1 випадок. Нехай a/(а – 1) > 0 чи а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тоді x ≥ (а – 1)/3.

2 випадок. Нехай a / (а - 1) = 0, тобто. а = 0. Тоді x – будь-яке дійсне число.

3 випадок. Нехай a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Відповідь: х € [(а - 1) / 3; +∞) при € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при € (0; 1);
х € R при а = 0.

приклад 3.

Розв'язати нерівність |1 + x| ≤ аx щодо х.

Рішення.

З умови випливає, права частина нерівності ах мусить бути негативна, тобто. ах ≥ 0. За правилом розкриття модуля з нерівності |1 + x| ≤ аx маємо подвійну нерівність

Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишемо результат у вигляді системи:

(аx ≥ 1 + x;
(-ах ≤ 1 + x.

Перетворимо до виду:

((а – 1)x ≥ 1;
((а + 1)х ≥ -1.

Досліджуємо отриману систему на інтервалах та в точках (Рис. 1):

При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].

При -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

За а = 0 x = -1.

При 0< а ≤ 1 решений нет.

Графічний метод розв'язання нерівностей

Побудова графіків значно полегшує розв'язання рівнянь, що містять параметр. Використання графічного методу під час вирішення нерівностей з параметром ще наочніше і доцільніше.

Графічне вирішення нерівностей виду f(x) ≥ g(x) означає знаходження значень змінної х, при яких графік функції f(x) лежить вище за графік функції g(x). Для цього завжди необхідно знайти точки перетину графіків (якщо вони є).

приклад 1.

Вирішити нерівність | x + 5 |< bx.

Рішення.

Будуємо графіки функцій у = | x + 5 | і у = bx (Рис. 2). Розв'язанням нерівності будуть значення змінної х, у яких графік функції у = |x + 5| перебуватиме нижче графіка функції у = bx.

На малюнку видно:

1) За b > 1 прямі перетинаються. Абсцис точки перетину графіків цих функцій є рішення рівняння х + 5 = bx, звідки х = 5/(b – 1). Графік у = bx перебуває вище при х з інтервалу (5/(b – 1); +∞), отже це безліч і є розв'язання нерівності.

2) Аналогічно знаходимо, що за -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графіки не перетинаються, а значить, і розв'язків у нерівності немає.

Відповідь: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1< b < 0;
рішень немає при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) за b > 1.

приклад 2.

Розв'язати нерівність а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).

Рішення.

1) Знайдемо «контрольні» значення параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.

2) Вирішимо цю нерівність на кожному підмножині дійсних чисел: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, тоді дана нерівність набуде вигляду 0х 0 - рішень немає;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тоді ця нерівність має вигляд 0 · х > 4 – рішень немає;

e) a > 0, з цієї нерівності випливає, що х > (a + 4)/a.

приклад 3.

Вирішити нерівність | 2 - | x | |< a – x.

Рішення.

Будуємо графік функції у = | 2 - | x | | (Рис. 3)і розглядаємо всі можливі випадки розташування прямої у = -x + а.

Відповідь: рішень у нерівності немає при а ≤ -2;
x € (-∞; (а - 2) / 2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.

При розв'язанні різних завдань, рівнянь і нерівностей з параметрами відкривається значна кількість евристичних прийомів, які потім успішно можуть бути застосовані в будь-яких інших розділах математики.

Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення та математичної культури. Саме тому, опанувавши методи розв'язання задач з параметрами, ви успішно впораєтеся і з іншими завданнями.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати нерівності?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Попередній перегляд:

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ МОСКІВСЬКОЇ ОБЛАСТІ

ГОУ НУО професійне училище № 37

ПРОЕКТ:

КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ І НЕРАВЕНСТВ З ПАРАМЕТРАМИ»

Виконала –

Мацук Галина Миколаївна,

Викладач математики ГОУ НУО

професійного училища №37 МО.

Г.Ногінськ, 2011

1. Вступ

4. Методика розв'язання квадратних рівнянь за початкових умов.

6. Методика розв'язання квадратних нерівностей із параметрами у загальному вигляді.

7. Методика розв'язання квадратних нерівностей за початкових умов.

8.Висновок.

9. Література.

1. Введення.

Основне завдання навчання математики у професійному училищі полягає у забезпеченні міцного та свідомого оволодіння учнями системою математичних знань та умінь, необхідних у повсякденному житті та трудовій діяльності, достатніх для вивчення суміжних дисциплін та продовження освіти, а також у професійній діяльності, яка потребує достатньої високої математичної культури.

Профільоване навчання математики здійснюється через вирішення завдань прикладного характеру, пов'язаних з професіями з металообробки, електромонтажних робіт, деревообробки. Для життя в суспільстві важливим є формування математичного стилю спілкування, що проявляється у певних розумових навичках. Завдання з параметрами мають діагностичну та прогностичну цінність. З їхньою допомогою можна перевірити знання основних розділів елементарної математики, рівень логічного мислення, початкові навички дослідницької роботи.

Навчання завданням з параметрами вимагає від великих розумових і вольових зусиль, що навчаються, розвиненої уваги, виховання таких якостей, як активність, творча ініціатива, колективно-пізнавальна праця. Завдання з параметрами орієнтовані для вивчення під час узагальнюючого повторення на 2 курсі в період підготовки до підсумкової державної атестації та на 3 курсі на додаткових заняттях при підготовці учнів, які виявили бажання складати випускні іспити у формі ЄДІ.

Основним напрямом модернізації математичної освіти є відпрацювання механізмів підсумкової атестації через запровадження ЄДІ. У завданнях з математики останніми роками вводяться завдання із параметрами. Обов'язковими є такі завдання на вступних іспитах до вузів. Поява таких завдань дуже актуальна, оскільки за їх допомогою перевіряється техніка володіння формулами елементарної математики, методами розв'язання рівнянь та нерівностей, уміння вибудовувати логічний ланцюжок міркувань, рівень логічного мислення абітурієнта. Аналіз попередніх результатів ЄДІ за кілька попередніх років показує, що випускники насилу вирішують такі завдання, а багато хто навіть не приступає до них. Більшість або не справляються з такими завданнями, або наводять громіздкі викладки. Причиною цього є відсутність системи завдань з цієї теми у шкільних підручниках. У зв'язку з цим виникла необхідність у проведенні у випускних групах при підготовці до іспитів спеціальних тем щодо вирішення завдань з параметрами та завдань прикладного характеру, пов'язаних із професійною спрямованістю.

Вивчення даних тем призначено для учнів 3 курсу, які хочуть навчитися способам вирішення завдань підвищеного рівня складності з алгебри та початків аналізу. Вирішення таких завдань викликає у них значні труднощі. Це пов'язано з тим, що кожне рівняння або нерівність з параметрами є цілим класом звичайних рівнянь і нерівностей, для кожного з яких має бути отримане рішення.

У процесі вирішення завдань з параметрами в арсенал прийомів та методів людського мислення природним чином включаються індукція та дедукція, узагальнення та конкретизація, аналіз, класифікація та систематизація, аналогія. Так як у навчальному плані у професійних училищах передбачено проведення консультацій з математики, які є в розкладі навчальних занять, то для учнів, які мають достатню математичну підготовку, виявляють інтерес до предмета, що вивчається, мають подальшу мету вступ до вузу, доцільно використовувати зазначений годинник для вирішення завдань з параметрами для підготовки до олімпіад, математичних конкурсів, різноманітних іспитів, зокрема ЄДІ. Особливо актуальним є вирішення таких завдань для прикладного та практичного характеру, яке допоможе при проведенні різних досліджень.

2. Цілі, основні завдання, методи, технології, вимоги до знань.

Цілі проекту:

• Формування умінь і навичок щодо вирішення завдань з параметрами, що зводяться до дослідження квадратних рівнянь та нерівностей.
• Формування інтересу до предмета, розвиток математичних здібностей, підготовка до ЄДІ.
• Розширення математичних уявлень про прийоми та методи розв'язання рівнянь та нерівностей.
• Розвиток логічного мислення та навичок дослідницької діяльності.
• Залучення до творчої, дослідницької та пізнавальної діяльності.
• Забезпечення умов самостійної творчої роботи.
• Виховання у розумових і вольових зусиль, що навчаються, розвиненої уваги, активності, творчої ініціативи, умінь колективно-пізнавальної праці.

Основні завдання проекту:

• Надати учням можливість реалізувати свій інтерес до математики та індивідуальні можливості для його освоєння.
• Сприяти засвоєнню фактичних знань та умінь.
• Показати практичну значимість завдань із параметрами у сфері прикладного дослідження.
• Навчити способів розв'язання стандартних та нестандартних рівнянь та нерівностей.
• Поглибити знання з математики, які передбачають формування сталого інтересу до предмета.
• Виявити та розвинути математичні здібності учнів.
• Забезпечити підготовку до вступу до вузів.
• Забезпечити підготовку до професійної діяльності, яка потребує високої математичної культури.
• Організувати дослідницьку та проектну діяльність, що сприяє розвитку інтелектуальних та комунікативних якостей.

Методи, що використовуються під час проведення занять:

• Лекція – передачі теоретичного матеріалу, що супроводжується розмовою з учнями.
• Семінари – для закріплення матеріалу для обговорення теорії.
• Практикуми – на вирішення математичних завдань.
• Дискусії для аргументації варіантів своїх рішень.
• Різні форми групової та індивідуальної діяльності.
• Дослідницька діяльність, що організується через: роботу з дидактичним матеріалом, підготовку повідомлень, захист рефератів та творчих робіт.
• Лекції – презентації з використанням комп'ютера та проектора.

Використовувані технології:

• Лекційно-семінарська система навчання.
• Інформаційно-комунікаційні технології.
• Дослідницький метод у навчанні, спрямований на розвиток розумових здібностей.
• Проблемне навчання, яка передбачає мотивацію до дослідження шляхом постановки проблеми, обговорення різних варіантів проблеми.
• Технологія діяльнісного методу, що допомагає вивчити пізнавальні інтереси учнів.

Вимоги до знань учнів.

В результаті вивчення різних способів розв'язання квадратних рівнянь та нерівностей з параметрами учні повинні набути вміння:

• Міцно засвоїти поняття параметра у квадратному рівнянні та квадратній нерівності;
• Вміти розв'язувати квадратні рівняння з параметрами.
• Вміти розв'язувати квадратні нерівності з параметрами.
• Знаходити коріння квадратичної функції.
• Будувати графіки квадратичних функцій.
• Дослідити квадратичний тричлен.
• Застосовувати раціональні прийоми тотожних перетворень.
• Використовувати найбільш вживані евристичні прийоми.
• Вміти застосовувати отримані знання під час роботи на персональному комп'ютері.

Форми контролю.

• Уроки – самооцінки та оцінки товаришів.
• Презентація навчальних проектів.
• Тестування.
• Рейтинг – таблиця.
• Домашні завдання зі збірок ЄДІ минулих років.
• Контрольні роботи.

3. Методика розв'язання квадратних рівнянь із параметрами у загальному вигляді.

Не треба боятися завдань із параметрами. Насамперед при розв'язанні рівнянь і нерівностей з параметрами треба зробити те, що робиться при розв'язанні будь-якого рівняння і нерівності – привести задані рівняння або нерівності до більш простого вигляду, якщо це можливо: розкласти раціональний вираз на множники, скоротити, винести множник за дужки і т.д. .д. Зустрічаються завдання, які можна розділити на два великі класи.

До першого класу можна віднести приклади, у яких треба розв'язати рівняння чи нерівність за всіх можливих значеннях параметра.

До другого класу віднесемо приклади, у яких треба знайти в повному обсязі можливі рішення, лише ті їх, які задовольняють деяким додатковим умовам. Клас таких завдань невичерпний.

Найбільш зрозумілий для учнів спосіб вирішення таких завдань полягає в тому, що спочатку знаходять усі рішення, а потім відбирають ті, що задовольняють додаткові умови.

При вирішенні завдань з параметрами іноді зручно будувати графіки у звичайній площині (х,у), інколи ж краще розглянути графіки у площині (х,а), де х – незалежна змінна, а «а» – параметр. Це насамперед можливо у задачі, де доводиться будувати знайомі елементарні графіки: прямі, параболи, кола тощо. Крім того, ескізи графіків іноді допомагають наочно побачити і «хід» рішення.

При розв'язанні рівнянь f(х,а) = 0 і нерівностей f(х,а) ›0 треба пам'ятати, що в першу чергу розглядають рішення при тих значеннях параметра, при яких звертається в нуль коефіцієнт при старшому ступені x квадратного тричлена f(х , а), знижуючи цим ступінь. Квадратне рівняння А(а) х 2 + В(а) х + С(а) = 0 при А(а) = 0 перетворюється на лінійне, якщо при цьому В(а) ≠ 0, а методи розв'язання квадратних та лінійних рівнянь різні.

Згадаймо основні формули для роботи з квадратними рівняннями.

Рівняння виду ах 2 + вх + с = 0, де х  R – невідомі, а, в, с – вирази, що залежать тільки від параметрів, причому а ≠ 0 називається квадратним рівнянням, а D = b 2 - 4ас називається дискримінантом квадратного тричлена.

Якщо D

Якщо D > 0, то рівняння має два різні корені

х 1 = , х 2 = і тоді ах 2 + вх + с = а (х - х 1) (х - х 2).

Це коріння через коефіцієнти рівняння пов'язані формулами Вієта

Якщо D = 0, то рівняння має два збігаються корені х 1 = х 2 = , і тоді ах 2 + вх + с = а (х - х 1) 2 . І тут кажуть, що рівняння має одне рішення.

Коли, тобто. = 2к, коріння квадратного рівняння визначається за формулою х 1,2 = ,

Для вирішення наведеного квадратного рівняння х 2 + pх + q = 0

Використовується формула х 1,2 = - , а також формули Вієта

приклади. Розв'язати рівняння:

Приклад 1.

Рішення:

При а ≠ - 1, х ≠ 2 отримуємо х 2 + 2ах - 3в + 4 = 0 і коріння

х 1 = - а - , х 2 = -а + , що існують при

А 2 + 2а - 4  0, тобто. при

Тепер перевіримо, чи немає таких, при яких або х 1 , або х 2 дорівнює 2. Підставимо до квадратного рівняння х = 2, при цьому отримаємо а = - 8.

Другий корінь у такому разі дорівнює(Теорема Вієта) і при а = - 8 дорівнює 14.

Відповідь: при а = – 8 єдине рішення х = 14;

Якщо а  (- ∞; - 8)  (- 8; - 4)  (1; + ∞) – два корені х 1 і х 2;

Якщо а = - Єдине рішення х =відповідно;

Якщо а  (- 4; 1), то х   .

Іноді рівняння із дробовими членами наводяться до квадратних. Розглянемо наступне рівняння.

Приклад 2. - =

Рішення: При а = 0 воно немає сенсу, значення x має задовольняти умовам: х -1, х  -2. Помноживши всі члени рівняння на а (х + 1) (х + 2) 0,

Отримаємо х 2 – 2(а – 1)х + а 2 - 2а - 3 = 0, рівносильне даному. Його коріння:

х 1 = а + 1, х 2 = - 3. Виділимо з цього коріння сторонні, тобто. ті, які рівні – 1 та – 2:

Х 1 = а + 1 = - 1, а = - 2, але при а = - 2 х 2 = - 5;

Х 1 = а + 1 = - 2, а = - 3, але при а = - 3 х 2 = - 6;

Х 2 = а - 3 = - 1, а = 2, але при а = 2 х 1 = 3;

Х 2 = а - 3 = - 2, а = 1, але при а = 1 х 1 = 2.

Відповідь: при а ≠ 0, а ≠ 2, а ≠ - 3, а ≠ 1 х 1 = а + 1, х 2 = а – 3;

При а = - 2 х = - 5; при а = – 3 х = – 6.

4.Методика розв'язання квадратних рівнянь за початкових умов.

Умови параметричних квадратних рівнянь різноманітні. Наприклад, потрібно знайти значення параметра у якому коріння: позитивні, негативні, мають різні знаки, більше чи менше якогось числа тощо. Для їх вирішення слід використовувати властивості коренів квадратного рівняння ах 2+вх+с=0.

Якщо D > 0, а > 0, то рівняння має два дійсні різні корені, знаки яких при с > 0 однакові і протилежні знаку коефіцієнта, а при с

Якщо D = 0, а > 0, то рівняння має дійсне і рівне між собою коріння, знак якого протилежний знаку коефіцієнта в.

Якщо D 0 то рівняння не має дійсних коренів.

Аналогічно можна встановити властивості коренів квадратного рівняння

1. Якщо квадратному рівнянні поміняти місцями коефіцієнти і с, то отримаємо рівняння, коріння якого зворотні корінням даного.
2. Якщо квадратному рівнянні поміняти знак коефіцієнта в, то отримаємо рівняння, коріння якого протилежні корінням даного.
3. Якщо у квадратному рівнянні коефіцієнти а і с мають різні знаки, воно має дійсне коріння.
4. Якщо а > 0 і D = 0, то ліва частина квадратного рівняння є повним квадратом, і навпаки, якщо ліва частина рівняння є повним квадратом, то а > 0 і D = 0.
5. Якщо всі коефіцієнти рівняння раціональні і дискримінант виражає повний квадрат, коріння рівняння раціональні.
6. Якщо розглядається розташування коріння щодо нуля, то застосовуємо теорему Вієта.

Відбір коренів квадратного тричлена за умовами та розташування нулів квадратичної функції на числовій прямій.

Нехай f(х) = ах 2 + вх + с, а  0, коріння х 1 х 2 ,  ˂  .

	Розташування коренів на числовій прямій.	Необхідна та достатня умова.
	х 1 , х 2 	а f ( ) > 0, D  0, х 0 
	х 1 , х 2 > 	а f ( ) > 0, D  0, х 0 > 
	х 1  2	а f ( )
	 1 ,х 2  .	а f ( ) > 0, D  0, а f ( ) > 0  0  .
	 1  2	а f ( ) > 0, а f ( )
	х 1  2 	а f ( )  ) > 0
	х 1   2	а f ( )  )

приклад 3. Встановити, за яких значень а рівняння

х 2 - 2 (а - 1) х + 2а + 1 = 0

• не має коріння:

необхідна та достатня умова D

D = (а - 1) 2 - 2а - 1 = а 2 - 4а

• має коріння:

D  0, D = (а – 1) 2 – 2а – 1  0, а 

• має один корінь:

• має два корені:

D> 0, тобто. а 

• має позитивне коріння:

2(а – 1) > 0   а  4

Якщо питання буде «має два позитивні корені», то в системі слід замінити D> 0;

• має негативне коріння:

2(а – 1)  

• має коріння різного знака, тобто. один позитивний, а інший негативний:

  а ;

Умова використовувати не обов'язково, достатньо х 1 х 2

• має один з коренів, рівний 0:

необхідну умову – рівність нулю вільного члена рівняння, тобто. 2а + 1 = 0, а = -1/2.

Знак другого кореня визначається або підстановкою у вихідне рівняння а = -1/2, або, простіше, за теоремою Вієта х 1 + х 2 = 2 (а - 1), і після підстановки а = -1/2 отримуємо х 2 = - 3, тобто. при а = -1/2 два корені: х 1 = 0, х 2 = - 3.

Приклад 4 . При яких значеннях параметра а рівняння

(а - 2) х 2 - 4ах +3 -2а = 0 має єдине рішення, що задовольняє нерівності х

Рішення.

Дискримінант 2 – (а – 2) (3 – 2а)

4а 2 – 3а + 6 + 2а 2 – 4а = 6а 2 – 7а + 6

Так як 49 - 144 = - 95 і перший коефіцієнт 6то 6а 2 – 7а + 6 за всіх х  R.

Тоді х 1,2 =.

За умовою задачі х2, тоді отримаємо нерівність

Маємо:

вірно за всіх а  R.

6а 2 - 7а + 6 6а 2 - 7а - 10 2

А 1,2 = 1/12 (7 17), а 1 = 2, а 2 = - 5/6.

Отже, -5/6

Відповідь: -

5. Параметр як рівноправна змінна.

У всіх розібраних завданняхпараметр розглядався як фіксоване, але невідоме число. Тим часом з формальної точки зору параметр - це змінна, причому "рівноправна" з іншими, присутніми в прикладі. Наприклад, при такому погляді на параметр форми f (х; а) задають функції не з однієї (як раніше), а з двома змінними. Подібна інтерпретація, природно формує ще один тип (а точніше метод вирішення, що визначає цей тип) завдань із параметрами. Покажемо аналітичне рішення такого типу.

Приклад 5. На площині ху вкажіть усі точки, через які не проходить жодна з кривих сімейства у = х 2 - 4рх + 2р 2 - 3, де р - Параметр.

Рішення: Якщо (х 0; у 0 ) – точка, якою не проходить жодна з кривих заданого сімейства, то координати цієї точки не задовольняють вихідного рівняння. Отже, завдання звелося до того, щоб знайти залежність між х і у, за якої дане в умові рівняння не мало б розв'язків. Потрібну залежність нескладно отримати, зосередивши увагу не так на змінних х і у, але в параметрі р. І тут виникає продуктивна ідея: розглянути це рівняння як квадратне щодо р. Маємо

2р 2 - 4рх + х 2 – у – 3 = 0. Дискримінант= 8х 2 + 8у + 24 має бути негативним. Звідси отримуємо у ˂ - х 2 - 3, отже, шукана множина - це всі точки координатної площини, що лежать «під» параболою у = - х 2 – 3.

Відповідь: у 2 – 3

6. Методика розв'язання квадратних нерівностей із параметрами

Загалом.

Квадратними (суворими та нестрогими) називаються нерівності виду

Допустимими є значення параметрів, у яких а,в,с – дійсні. Квадратні нерівності зручно вирішувати або аналітичним способом, або графічним. Оскільки графіком квадратичної функції є парабола, то при а > 0 гілки параболи спрямовані вгору, при а

Різне положення параболи f(х) = ах 2 + вх + с, а  0 при а> 0 показано на рис.1

а) в) с)

а) Якщо f(х) > 0 та D  R;

б) Якщо f(х) > 0 та D = 0, то х ;

в) Якщо f(х) > 0 та D > 0, то х (-  ; х 1 )  (х 2 ; +  ).

Аналогічно розглядаються положення параболи при

Наприклад, один із трьох випадків, коли

при а 0 і f (х) > 0 х (х 1; х 2);

при а 0 і f (х)  (- ; х 1)  (х 2; + ).

Як приклад розглянемо розв'язання нерівності.

Приклад 6. Розв'язати нерівність х 2 + 2х + а> 0.

Нехай D – дискримінант тричлена х 2 + 2х + а > 0. При D = 0, при а = 1, нерівність набуде вигляду:

(х + 1) 2 > 0

Воно вірне за будь-яких дійсних значеннях х, крім х = - 1.

За D > 0, тобто. при х, Тричлен х 2 + 2х + а має два корені: - 1 –і

1 + і розв'язанням нерівності служить проміжок

(-  ; - 1 – )  (- 1 + ; +  )

Цю нерівність легко вирішити графічно. Для цього представимо його у вигляді

Х 2 + 2х > - а

і побудуємо графік функції у = х 2+2х

Абсциси точок перетину цього графіка з прямою у = - а і є корінням рівняння х 2 + 2х = - а.

Відповідь:

при -> - 1, тобто. при а, х  (-  ; х 1 )  (х 2 ;+  );

при - а = - 1, тобто. при а = 1, х - будь-яке дійсне число, крім - 1;

при - а , тобто при а> 1, х - будь-яке дійсне число.

Приклад 7 . Вирішити нерівність сх 2 - 2 (с - 1) х + (с + 2)

При с = 0 воно набуває вигляду: 2х + 2рішенням буде х

Введемо позначення f(х) = сх 2 - 2 (с - 1) х + (с + 2)де з ≠ 0.

У цьому випадку нерівність f(х)

Нехай і D – дискримінант f(х). 0,25 D = 1 - 4с.

Якщо D> 0, тобто. якщо з> 0,25, то знак f (х) збігається зі знаком з будь-яких дійсних значеннях х, тобто. f(х)> 0 за будь-яких х  R, отже, при с > 0,25 нерівність f(х)

Якщо D = 0, тобто. з = 0,25, то f(х) = (0,25 х + 1,5) 2, тобто. f(х)  0 за будь-якого

Х  R. Отже, при с = 0,25 нерівність f(х)

Розглянемо випадок D  0). f(х) = 0 при двох дійсних значеннях х:

х 1 = (с - 1 -) і х 2 = (с - 1 +).

Тут можуть бути два випадки:

Розв'язати нерівність f(х)

f(х) збігається зі знаком с. Щоб відповісти на це питання, зауважимо, що – , тобто. с – 1 – ˂ с – 1 + ,але з (з – 1 – ) (з - 1 + ) і тому рішенням нерівності буде:

(-  ; (с – 1 – ))  ( (с – 1 + ); +  ).

Тепер для розв'язання нерівності достатньо вказати значення с, при яких знак f (х) протилежний знаку с. Оскільки при 0 1 2 , то х  (х 1; х 2).

Відповідь: при с = 0 х  R;

При з  (-  ; х 2 )  (х 1 ; +  );

При 0  (х 1; х 2);

При  0,25 рішень немає.

Погляд на параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відображення у графічних методах розв'язання та квадратних нерівностей. Насправді, оскільки параметр «рівний у правах» зі змінною, то йому природно можна «виділити» і свою координатну вісь. Таким чином виникає координатна площина (х; а). Така незначна деталь, як відмова від традиційного вибору букв х і у для позначення осей, визначає один з найефективніших методів розв'язання задач з параметрами.

Зручно, коли в задачі фігурує один параметр а та одна змінна х. Сам процес вирішення схематично виглядає так. Спочатку будується графічний образ, потім, перетинаючи отриманий графік прямими, перпендикулярними до параметрічної осі, «знімаємо» потрібну інформацію.

Відмова від традиційного вибору літер х і у для позначення осей, визначає один з найефективніших методів розв'язання задач з параметрами – «метод областей»

1. Методика розв'язання квадратних нерівностей за початкових умов.

Розглянемо аналітичне рішення квадратної нерівності з параметрами, результати розв'язання якого розглядаються на числовій прямій.

Приклад 8.

Знайдіть усі значення х, для кожного з яких нерівність

(2-х)а 2 +(х 2 -2х+3)а-3х≥0

виконується для будь-якого значення а, що належить проміжку [-3; 0].

Рішення. Перетворимо ліву частину даної нерівності так:

(2-x)а 2 + (x 2 -2x+3)а-3х = ах 2 - а 2 х - 2ах + 2а 2 + 3а - 3x =

Ах (х - а) -2а (х - а) - 3 (х-а) = (x - а) (аx - 2а - 3).

Ця нерівність набуде вигляду: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.

Якщо а = 0, отримуємо - Зх ≥ 0 x ≤ 0.

Якщо а ≠ 0, то -3 а

Оскільки а 0, то розв'язанням цієї нерівності буде проміжок числової осі, розташований між корінням рівняння, що відповідає нерівності.

З'ясуємо взаємне розташування чисела і , враховуючи при цьому умову - 3 ≤ а

3 ≤a

A = -1.

Представимо у всіх розглянутих випадках розв'язання даної нерівності залежно від значень параметра:

Отримаємо, що тільки х = -1 є розв'язанням даної нерівності за будь-якого значення параметра а .

Відповідь: -1

8. Висновок.

Чому мною було обрано проект на тему «Розробка методичних рекомендацій розв'язання квадратних рівнянь та нерівностей із параметрами»? Так як при розв'язанні будь-яких тригонометричних, показових, логарифмічних рівнянь, нерівностей, систем найчастіше приходимо до розгляду іноді лінійних, а найчастіше квадратних рівнянь і нерівностей. При розв'язанні найскладніших завдань із параметрами більшість завдань зводиться за допомогою рівносильних перетворень до вибору рішень типу: а (х – а) (х – с) > 0 (

Ми розглянули теоретичні основи для вирішення квадратних рівнянь та нерівностей із параметрами. Згадали необхідні формули та перетворення, розглянули різні розташування графіків квадратичної функції залежно від значення дискримінанта, від знака при старшому коефіцієнті, від розташування коренів, вершин параболи. Виявили схему рішення та вибору результатів, склали таблицю.

У проекті показано аналітичні та графічні методи розв'язання квадратних рівнянь та нерівностей. Учням у професійному училищі необхідно зорове сприйняття матеріалу для кращого засвоєння матеріалу. Показано, як можна змінити змінну х і прийняти параметр як рівноправну величину.

Для наочного засвоєння цієї теми розглянуто рішення 8 завдань із параметрами, по 1 – 2 кожному за розділу. У прикладі № 1 розглянуто кількість рішень при різних значеннях параметра, у прикладі № 3 проводиться розбір рішення квадратного рівняння за різних початкових умовах. Для розв'язання квадратних нерівностей зроблено графічну ілюстрацію. У прикладі №5 застосовується метод заміни параметра як рівноправної величини. У проект включено розгляд прикладу № 8 із завдань, включених до розділу С, для інтенсивної підготовки до здачі ЄДІ.

Для якісної підготовки завдань, що навчаються, з параметрами рекомендується в повному обсязі використовувати мультимедійні технології, а саме: використовувати для лекцій презентації, електронні підручники та книги, власні розробки з медіатеки. Дуже ефективними є бінарні уроки математика + інформатика. Незамінним помічником викладачеві та учню є Інтернет. У презентації необхідні імпортовані об'єкти із існуючих освітніх ресурсів. Найбільш зручним та прийнятним у роботі є ЦОР «Використання Microsoft Office у школі».

Розробка методичних рекомендацій з цієї тематики полегшить роботу молодих викладачів, які прийшли працювати в училищі, поповнить портфоліо викладача, послужить зразком для спеціальних предметів, зразки рішень допоможуть учням впоратися зі складними завданнями.

9. Література

1.Горнштейн П.І., Полонський В.Б., ЯкірМ.С. Завдання із параметрами. "Ілекса", "Гімназія", Москва - Харків, 2002.

2.Балаян Е.М. Збірник завдань з математики для підготовки до ЄДІ та олімпіад. 9-11 класи. "Фенікс", Ростов-на Дону, 2010.

3. Ястребінецький Г.А. Завдання із параметрами. М., «Освіта», 1986.

4.Колеснікова С.І. Математика. Вирішення складних завдань Єдиного державного іспиту. М. "Айріс - прес", 2005.

5. Родіонов Є.М., Синякова С.Л. Математика. Посібник для вступників до вузів. Навчальний центр "Орієнтир" МДТУ ім. н.е. Баумана, М., 2004.

6. Сканаві М.І. Збірник завдань з математики для вступників до вузів: У 2 кн. Кн.1, М., 2009.