Види векторів. Вектори

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

приклад. Нехай у двомірному просторі початок вектора має координати. A(12,6) , а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

Довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) вектора та позначається | a|. Вектор довжини, що дорівнює одиниці, називається одиничним вектором. Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектор, протилежнимвектору.

Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. На малюнку Мал. 3 червоні вектори колінеарні, т.к. вони лажать однією прямий, а сині вектори коллинеарны, т.к. вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарних вектори називаються однаково спрямованимиякщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектори називаються протилежно спрямованимиякщо їх кінці лежать по різні боки від прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарні вектори лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори спрямовані протилежно.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають рівні модулі та однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 Вектори рівні т.к. їх модулі рівні та мають однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарнимиякщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

У nмірному векторному просторі розглянемо багато всіх векторів, початкова точка яких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати у такому вигляді:

(1)

де x 1 , x 2 , ..., x nкоординати кінцевої точки вектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядок, а вектор, записаний у вигляді

(2)

називається вектор-стовпчик.

Число nназивається розмірністю (порядком) вектор. Якщо то вектор називається нульовим вектором(т.к. початкова точка вектора ). Два вектори xі yрівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх елементи.

При вивченні різних розділів фізики, механіки та технічних наук зустрічаються величини, що повністю визначаються завданням їх числових значень. Такі величини називаються скалярнимиабо, коротше, скалярами.

Скалярними величинами є довжина, площа, об'єм, маса, температура тіла та ін. Крім скалярних величин, у різних завданнях зустрічаються величини, для визначення яких, крім числового значення, необхідно знати також їх напрямок. Такі величини називаються векторними. Фізичними прикладами векторних величин можуть бути зміщення матеріальної точки, що рухається в просторі, швидкість і прискорення цієї точки, а також сила, що діє на неї.

Векторні величини відображаються за допомогою векторів.

Визначення вектора. Вектор називається спрямований відрізок прямий, що має певну довжину.

Вектор характеризується двома точками. Одна точка – це точка початку вектора, інша точка – точка кінця вектора. Якщо позначити початок вектора крапкою А , а кінець вектора крапкою У , то сам вектор позначається. Вектор можна позначати і однією малою латинською літерою з межею над нею (наприклад, ).

Графічно вектор позначається відрізком зі стрілкою на кінці.

Початок вектору називають точкою його застосування.Якщо точка Ає початком вектора , то ми говоритимемо, що вектор прикладено в точці А.

Вектор характеризується двома величинами: довжиною та напрямком.

Довжина вектора – відстань між точками початку A та кінця B. Інша назва довжини вектора – модуль вектора і позначається символом . Модуль вектора позначається Вектор , довжина якого дорівнює 1 називається одиничним вектором. Тобто умова для одиничного вектора

Вектор із нульовою довжиною називається нульовим вектором (позначається ). Очевидно, що у нульового вектора збігаються точки початку та кінця. Нульовий вектор немає певного напрями.

Визначення колінеарних векторів. Вектори і розташовані на одній прямій або на паралельних прямих називаються колінеарними .

Зауважимо, що колінеарні вектори можуть мати різну довжину та різний напрямок.

Визначення рівних векторів.Два вектори і називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину та однаковий напрямок.

У цьому випадку пишуть:

Зауваження. З визначення рівності векторів слід, що вектор можна паралельно переносити, поміщаючи його початок будь-яку точку простору (зокрема, площині).

Усі нульові вектори вважаються рівними.

Визначення протилежних векторів.Два вектори і називаються протилежними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину, але протилежний напрямок.

У цьому випадку пишуть:

Інакше кажучи, вектор, протилежний вектору , позначається як .

Сторінка 1 з 2

Запитання 1.Що таке вектор? Як позначаються вектори?
Відповідь.Вектором ми називатимемо спрямований відрізок (рис. 211). Напрямок вектора визначається зазначенням його початку та кінця. На кресленні напрямок вектора відзначається стрілкою. Для позначення векторів користуватимемося малими латинськими літерами a, b, c, ... . Можна також позначити вектор вказівкою початку і кінця. У цьому початок вектора ставиться першому місці. Замість слова "вектор" над буквеним позначенням вектора іноді ставиться стрілка чи риса. Вектор малюнку 211 можна позначити так:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) або \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Запитання 2.Які вектори називаються однаково спрямованими (протилежно спрямованими)?
Відповідь.Вектори \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) називаються однаково спрямованими, якщо напівпрямі AB і CD однаково спрямовані.
Вектори \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) називаються протилежно спрямованими, якщо напівпрямі AB і CD протилежно спрямовані.
На малюнку 212 вектори \(\overline(a)\) і \(\overline(b)\) однаково спрямовані, а вектори \(\overline(a)\) і \(\overline(c)\) протилежно спрямовані.

Запитання 3.Що таке абсолютна величина вектора?
Відповідь.Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображує вектор. Абсолютна величина вектора \(\overline(a)\) позначається |\(\overline(a)\)|.

Запитання 4.Що таке нульовий вектор?
Відповідь.Початок вектора може збігатися з кінцем. Такий вектор називатимемо нульовим вектором. Нульовий вектор позначається нулем з рисочкою (\(\overline(0)\)). Про спрямування нульового вектора не говорять. Абсолютна величина нульового вектора вважається рівною нулю.

Запитання 5.Які вектори називаються рівними?
Відповідь.Два вектори називаються рівними, якщо вони поєднуються паралельним перенесенням. Це означає, що існує паралельне перенесення, яке переводить початок і кінець одного вектора відповідно на початок і кінець іншого вектора.

Запитання 6.Доведіть, що рівні вектори однаково спрямовані та рівні за абсолютною величиною. І назад: однаково спрямовані вектори, рівні за абсолютною величиною, рівні.
Відповідь.При паралельному перенесенні вектор зберігає свій напрямок, а також абсолютну величину. Значить, рівні вектори спрямовані однаково і по абсолютній величині.
Нехай \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) – однаково спрямовані вектори, рівні за абсолютною величиною (рис. 213). Паралельне перенесення, що переводить точку C в точку A, поєднує напівпряму CD з напівпрямою AB, оскільки вони однаково спрямовані. Оскільки відрізки AB і CD рівні, то цьому крапка D поєднується з точкою B, тобто. паралельне перенесення переводить вектор \(\overline(CD)\) у вектор \(\overline(AB)\). Отже, вектори \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) рівні, що й потрібно було довести.

Запитання 7.Доведіть, що від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному вектору, і лише один.
Відповідь.Нехай CD - пряма, а вектор \ (\ overline (CD) \) - частина прямої CD. Нехай AB - пряма, в яку переходить пряма CD при паралельному перенесенні, \(\overline(AB)\) - вектор, в який при паралельному перенесенні переходить вектор \(\overline(CD)\), а значить, вектори \(\ overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) рівні, а прямі AB і CD паралельні (див. рис. 213). Як ми знаємо, через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній (аксіома паралельних прямих). Отже, через точку A можна провести одну пряму, паралельну до прямої CD. Так як вектор \(\overline(AB)\) - частина прямої AB, то через точку A можна провести один вектор \(\overline(AB)\), рівний вектору \(\overline(CD)\).

Запитання 8.Що таке координати вектора? Чому дорівнює абсолютна величина вектора з координатами a1, a2?
Відповідь.Нехай вектор \(\overline(a)\) має початком точку A 1 (x 1 ; y 1), а кінцем точку A 2 (x 2 ; y 2). Координатами вектора \(\overline(a)\) називатимемо числа a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Координати вектора будемо ставити поруч із буквеним позначенням вектора, в даному випадку \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) або просто \((\overline(a 1 ; a 2 ))\). Координати нульового вектора дорівнюють нулю.
З формули, що виражає відстань між двома точками через їх координати, випливає, що абсолютна величина вектора з координатами a 1 a 2 дорівнює \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).

Запитання 9.Доведіть, що рівні вектори мають відповідно рівні координати, а вектори відповідно рівними координатами рівні.
Відповідь.Нехай A 1 (x 1 ; y 1) і A 2 (x 2 ; y 2) - початок і кінець вектора \ (\ overline (a) \). Так як рівний йому вектор \(\overline(a")\) виходить з вектора \(\overline(a)\) паралельним переносом, то його початком і кінцем будуть відповідно A" 1 (x 1 + c; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​+ d). Звідси видно, що обидва вектори \(\overline(a)\) і \(\overline(a")\) мають одні й ті ж координати: x 2 - x 1, y 2 - y 1 .
Доведемо тепер зворотне твердження. Нехай відповідні координати векторів \(\overline(A 1 A 2 )\) і \(\overline(A" 1 A" 2 )\) рівні. Доведемо, що вектори є рівними.
Нехай x" 1 та y" 1 - координати точки A" 1 , а x" 2 , y" 2 - координати точки A" 2 . За умовою теореми x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1 , y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1 . Звідси x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1 , y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1 . Паралельне перенесення, задане формулами

x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,

переводить точку A 1 до точки A" 1 , а точку A 2 в точку A" 2 , тобто. вектори \(\overline(A 1 A 2 )\) і \(\overline(A" 1 A" 2 )\) рівні, що і потрібно довести.

Запитання 10.Дайте визначення суми векторів.
Відповідь.Сумою векторів \(\overline(a)\) і \(\overline(b)\) з координатами a 1 , a 2 і b 1 , b 2 називається вектор \(\overline(c)\) з координатами a 1 + b 1 , a 2 + ba 2 , тобто.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).