Усі ірраціональні числа. Що таке раціональні та ірраціональні числа

Раціональним називається число, яке можна представити у вигляді дробу , де . Q-множина всіх раціональних чисел.

Раціональні числа поділяються на: позитивні, негативні та нуль.

Кожному раціональному числу можна поставити у відповідність єдину точку координатної прямої. Відношенню "лівіше" для точок відповідає відношення "менше" для координат цих точок. Можна помітити, що всяке негативне число менше нуля і будь-якого позитивного числа; із двох негативних чисел менше те, модуль якого більший. Так, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Будь-яке раціонально число можна уявити десятковим періодичним дробом. Наприклад, .

Алгоритми дій над раціональними числами випливають із правил знаків відповідних дій над нулем та позитивними дробами. Q виконується розподіл, крім розподілу на нуль.

Будь-яке лінійне рівняння, тобто. рівняння виду ax+b=0, де , можна на множині Q, але не будь-яке квадратне рівняння виду , Розв'язно в раціональних числах. Не кожна точка координатної прямої має раціональну точку. Ще наприкінці VI ст. н. е. у школі Піфагора було доведено, що діагональ квадрата не можна порівняти з його висотою, що рівносильно твердженню: «Рівняння не має раціонального коріння». Все перераховане призвело до необхідності розширення множини Q, було запроваджено поняття ірраціонального числа. Позначимо безліч ірраціональних чисел буквою J .

На координатній прямій ірраціональні координати маю всі точки, які не мають раціональних координат. , де r-множин дійсних чисел. Універсальним способом завдання дійсних чисел є десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби задають раціональні числа, а неперіодичні – ірраціональні числа. Так, 2,03(52) – раціональне число, 2,03003000300003… (період кожної наступної цифрою «3» записується однією нуль більше) – ірраціональне число.

Множини Qі R мають властивості позитивності: між будь-якими двома раціональними числами існує раціональне число, наприклад, есої a

Для будь-якого ірраціонального числа α можна вказати раціональне наближення як із недоліком, так і з надлишком з будь-якою точністю: a< α

Операція вилучення кореня з деяких раціональних чисел призводить до ірраціональних чисел. Вилучення кореня натурального ступеня – алгебраїчна операція, тобто. її введення пов'язане з розв'язанням алгебраїчного рівняння виду . Якщо nнепарне, тобто. n=2k+1, де , то рівняння має єдиний корінь. Якщо nпартове, n=2k, де при а=0 рівняння має єдиний корінь х=0, при a<0 корней нет, при a>0 має два корені, які протилежні один одному. Вилучення кореня – операція зворотної операції, зведення в натуральний ступінь.

Арифметичним коренем (для стислості коренем) n-го ступеня з невід'ємного числа а називається невід'ємне число b яке є коренем рівняння . Корінь n-ого ступеня з числа а позначається символом . При n=2 ступінь кореня 2 не вказується: .

Наприклад, , т.к. 2 2 = 4 і 2> 0; , т.к. 3 3 =27 та 3>0; немає т.к. -4<0.

При n=2kі a>0 корені рівняння (1) записуються так і . Наприклад, коріння рівняння х 2 =4 дорівнюють 2 і -2.

При n непарному рівняння (1) має єдиний корінь для будь-якого . Якщо a≥0, то корінь цього рівняння. Якщо a<0, то –а>0 і – корінь рівняння. Так, рівняння х3 = 27 має корінь.

Натуральні числа

Натуральні числа визначення – це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів та багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яким є найменше натуральне число? Одиниця – це найменше натуральне число.
Яким є найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральним числом. Отже, додавання натуральних чисел a і b:

Добуток натуральних чисел є натуральним числом. Отже, добуток натуральних чисел a і b:

с – це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше віднімається, то різниця натуральних чисел є натуральним числом, інакше - ні.

Частина натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a та b

де з - натуральне число, це означає, що a ділиться на b націло. У цьому прикладі a - подільне, b - дільник, c - приватне.

Дільник натурального числа - це натуральне число, яке перше число ділиться націло.

Кожне натуральне число поділяється на одиницю та на себе.

Прості натуральні числа поділяються лише на одиницю та на себе. Тут мається на увазі діляться повністю. Наприклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться лише з одиницю і він. Це найпростіші натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більші за одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складених чисел:

Одиницю не вважають складовим числом.

Безліч натуральних чисел становлять одиниця, прості числа та складові числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N.

Властивості додавання та множення натуральних чисел:

переміщувальна властивість додавання

сполучна властивість додавання

(a + b) + c = a + (b + c);

переміщувальна властивість множення

сполучна властивість множення

(ab) c = a (bc);

розподільна властивість множення

A(b+c) = ab+ac;

Цілі числа

Цілі числа – це натуральні числа, нуль та числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним – це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;...

Безліч цілих чисел позначається латинською літерою Z.

Раціональні числа

Раціональні числа - це цілі числа та дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді періодичного дробу. Приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

З прикладів видно, будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді дробу m/n, де m ціле число, натуральне число. Подаємо у вигляді такого дробу число 3,(6) з попереднього прикладу.

Розуміння чисел, особливо натуральних чисел, одна із найстаріших математичних " умінь " . Багато цивілізації, навіть сучасні, приписували числам деякі містичні властивості через їхню величезну важливість в описі природи. Хоча сучасна наука і математика не підтверджують ці "чарівні" властивості, значення теорії чисел є незаперечним.

Історично спочатку з'явилося безліч натуральних чисел, потім незабаром до них додалися дроби та позитивні ірраціональні числа. Нуль та негативні числа були введені після цих підмножин безлічі дійсних чисел. Останнє безліч, безліч комплексних чисел, з'явилося лише з розвитком сучасної науки.

У сучасній математиці числа вводять над історичному порядку, хоча у досить близькому щодо нього.

Натуральні числа $\mathbb(N)$

Безліч натуральних чисел часто позначається як $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, і часто його доповнюють нулем, позначаючи $\mathbb(N)_0$.

У $\mathbb(N)$ визначено операції додавання (+) і множення ($\cdot$) з наступними властивостями для будь-яких $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ безліч $\mathbb(N)$ замкнуто щодо операцій складання та множення
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативність
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)$ асоціативність
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивність
5. $a\cdot 1=a$ є нейтральним елементом для множення

Оскільки безліч $\mathbb(N)$ містить нейтральний елемент для множення, але не для додавання, додавання нуля до цієї множини забезпечує включення до нього нейтрального елемента для додавання.

Крім цих двох операцій, на безлічі $\mathbb(N)$ визначено відносини "менше" ($

1. $a b$ трихотомія
2. якщо $a\leq b$ і $b\leq a$, то $a=b$ антисиметрія
3. якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивність
4. якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Цілі числа $\mathbb(Z)$

Приклади цілих чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Рішення рівняння $a+x=b$, де $a$ і $b$ - відомі натуральні числа, а $x$ - невідоме натуральне число, вимагає введення нової операції - віднімання(-). Якщо існує натуральне число $x$, що задовольняє цього рівняння, $x=b-a$. Однак це конкретне рівняння не обов'язково має рішення на множині $\mathbb(N)$, тому практичні міркування вимагають розширення множини натуральних чисел таким чином, щоб включити рішення такого рівняння. Це призводить до введення безлічі цілих чисел: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

Оскільки $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логічно припустити, що введені раніше операції $+$ і $\cdot$ і відносини $ 1. $0+a=a+0=a$ існує нейтральний елемент для додавання
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ існує протилежне число $-a$ для $a$

Властивість 5.
5. якщо $0\leq a$ і $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Безліч $\mathbb(Z) $ замкнуте також і щодо операції віднімання, тобто $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Раціональні числа $\mathbb(Q)$

Приклади раціональних чисел:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Тепер розглянемо рівняння виду $a \ cdot x = b $, де $ a $ і $ b $ - відомі цілі числа, а $ x $ - невідоме. Щоб рішення було можливим, необхідно ввести операцію поділу ($:$), і рішення набуває вигляду $x=b:a$, тобто $x=\frac(b)(a)$. Знову виникає проблема, що $x$ який завжди належить $\mathbb(Z)$, тому безліч цілих чисел необхідно розширити. Таким чином вводиться безліч раціональних чисел $\mathbb(Q)$ з елементами $\frac(p)(q)$, де $p\in \mathbb(Z)$ і $q\in \mathbb(N)$. Безліч $\mathbb(Z)$ є підмножиною, в якому кожен елемент $q=1$, отже $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ і операції додавання та множення поширюються і на це безліч за такими правилами, які зберігають усі вищеперелічені властивості і на множині $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Поділ вводиться таким чином:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

На множині $\mathbb(Q)$ рівняння $a\cdot x=b$ має єдине рішення для кожного $a\neq 0$ (розподіл на нуль не визначено). Це означає, що існує зворотний елемент $\frac(1)(a)$ or $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a) \ cdot a = a) $

Порядок множини $\mathbb(Q)$ можна розширити таким чином:
$\frac(p_1)(q_1)

Безліч $\mathbb(Q)$ має одну важливу властивість: між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, отже, не існує двох сусідніх раціональних чисел, на відміну від множин натуральних і цілих чисел.

Ірраціональні числа $\mathbb(I)$

Приклади ірраціональних чисел:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Зважаючи на те, що між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, легко можна зробити помилковий висновок, що безліч раціональних чисел настільки щільне, що немає необхідності в його подальшому розширенні. Навіть Піфагор свого часу зробив таку помилку. Проте, його сучасники спростували цей висновок щодо рішень рівняння $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на безлічі раціональних чисел. Для розв'язання такого рівняння необхідно запровадити поняття квадратного кореня, і тоді розв'язання цього рівняння має вигляд $x=\sqrt(2)$. Рівняння типу $x^2=a$, де $a$ - відоме раціональне число, а $x$ - невідоме, який завжди має рішення безлічі раціональних чисел, і знову виникає у розширенні множини. Виникає безліч ірраціональних чисел, і такі числа як $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... належать цій множині.

Дійсні числа $\mathbb(R)$

Об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел є безліч дійсних чисел. Оскільки $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, знову логічно припустити, що введені арифметичні операції та відносини зберігають свої властивості на новій множині. Формальне підтвердження цього дуже складно, тому вищезгадані властивості арифметичних операцій та відносини на безлічі дійсних чисел вводяться як аксіоми. В алгебрі такий об'єкт називається полем, тому кажуть, що множина дійсних чисел є впорядкованим полем.

Для того, щоб визначення безлічі дійсних чисел було повним, необхідно ввести додаткову аксіому, що розрізняє безлічі $\mathbb(Q)$ і $\mathbb(R)$. Припустимо, що $S$ - непусте підмножина безлічі дійсних чисел. Елемент $b\in \mathbb(R)$ називається верхньою межею множини $S$, якщо $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тоді кажуть, що множина $S$ обмежена зверху. Найменша верхня межа множини $S$ називається супремум і позначається $\sup S$. Аналогічно вводяться поняття нижньої межі, множини, обмеженої знизу, та інфінуму $\inf S$ . Тепер недостатня аксіома формулюється так:

Будь-яке непусте і обмежене зверху підмножина безлічі дійсних чисел має супремум.
Також можна довести, що поле дійсних чисел, визначене вищезазначеним чином, є єдиним.

Комплексні числа$\mathbb(C)$

Приклади комплексних чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ де $i = \sqrt(-1)$ або $i^2 = -1$

Безліч комплексних чисел є всі впорядковані пари дійсних чисел, тобто $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, на якому операції складання та множення визначені наступним чином:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Існує кілька форм запису комплексних чисел, у тому числі найпоширеніша має вигляд $z=a+ib$, де $(a,b)$ - пара дійсних чисел, а число $i=(0,1)$ називається уявною одиницею.

Легко показати, що $i^2=-1$. Розширення безлічі $\mathbb(R)$ на безліч $\mathbb(C)$ дозволяє визначити квадратний корінь з негативних чисел, що і спричинило введення безлічі комплексних чисел. Також легко показати, що підмножина безлічі $\mathbb(C)$, задана як $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, задовольняє всім аксіомам для дійсних чисел, отже $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, або $R\subset\mathbb(C)$.

Алгебраїчна структура множини $\mathbb(C)$ щодо операцій складання та множення має наступні властивості:
1. комутативність складання та множення
2. асоціативність складання та множення
3. $0+i0$ - нейтральний елемент для складання
4. $1+i0$ - нейтральний елемент для множення
5. множення дистрибутивно по відношенню до додавання
6. існує єдиний зворотний елемент як до складання, так множення.

Матеріал цієї статті є початковою інформацією про ірраціональні числа. Спочатку ми дамо визначення ірраціональних чисел і роз'яснимо його. Далі наведемо приклади ірраціональних чисел. Нарешті, розглянемо деякі підходи до з'ясування, чи задане число є ірраціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади ірраціональних чисел

Під час вивчення десяткових дробів ми окремо розглянули нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Такі дроби виникають при десятковому вимірі довжин відрізків, несумірних з одиничним відрізком. Також ми відзначили, що нескінченні неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (дивіться переведення звичайних дробів у десяткові і назад), отже, ці числа не є раціональними числами, вони представляють так звані ірраціональні числа.

Так ми підійшли до визначення ірраціональних чисел.

Визначення.

Числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними числами.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади ірраціональних чисел. Наприклад, нескінченний неперіодичний десятковий дріб 4,10110011100011110000… (кількість одиниць і нулів щоразу збільшується на одну) є ірраціональним числом. Наведемо ще приклад ірраціонального числа: −22,353335333335… (кількість трійок, що розділяють вісімки, щоразу збільшується на дві).

Слід зазначити, що ірраціональні числа досить рідко зустрічаються у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Зазвичай вони зустрічаються у вигляді , і т.п., а також у вигляді спеціально введених букв. Найвідомішими прикладами ірраціональних чисел у такому записі є арифметичний квадратний корінь із двох , число «пі» π=3,141592…, число e=2,718281… та золоте число.

Ірраціональні числа також можна визначити через дійсні числа, які поєднують раціональні та ірраціональні числа.

Визначення.

Ірраціональні числа– це дійсні числа, які є раціональними.

Чи є це число ірраціональним?

Коли число задано над вигляді десяткового дробу, а вигляді деякого , кореня, логарифма тощо., відповісти питанням, чи є воно ірраціональним, у часто досить складно.

Безперечно, при відповіді на поставлене питання дуже корисно знати, які числа не є ірраціональними. З визначення ірраціональних чисел випливає, що ірраціональними числами є раціональні числа. Таким чином, ірраціональними числами НЕ є:

кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби.

Також не є ірраціональним числом будь-яка композиція раціональних чисел, пов'язаних знаками арифметичних операцій (+, −, ·, :). Це тим, що сума, різницю, добуток і частки двох раціональних чисел є раціональним числом. Наприклад, значення виразів є раціональними числами. Тут же зауважимо, що якщо в подібних виразах серед раціональних чисел міститься одне ірраціональне число, то значення всього виразу буде ірраціональним числом. Наприклад, у виразі число - ірраціональне, а інші числа раціональні, отже - ірраціональне число. Якби було раціональним числом, то з цього випливала б раціональність числа, а воно не є раціональним.

Якщо вираз, яким задано число, містить кілька ірраціональних чисел, знаки кореня, логарифми, тригонометричні функції, числа π, e тощо, то потрібно проводити доказ ірраціональності або раціональності заданого числа в кожному конкретному випадку. Однак існує низка вже отриманих результатів, якими можна скористатися. Перелічимо основні їх.

Доведено, що корінь ступеня k із цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під коренем є k-им ступенем іншого цілого числа, в інших випадках такий корінь задає ірраціональне число. Наприклад, числа і - ірраціональні, тому що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 7 і не існує цілого числа, зведення якого в п'яту ступінь дає число 15 . А числа і є ірраціональними, оскільки і .

Що стосується логарифмів, то довести їхню ірраціональність іноді вдається методом від протилежного. Наприклад доведемо, що log 2 3 є ірраціональним числом.

Припустимо, що log 2 3 раціональне число, а чи не ірраціональне, тобто його можна у вигляді звичайного дробу m/n . і дозволяють записати наступний ланцюжок рівностей: . Остання рівність неможлива, тому що в його лівій частині непарне число, а правої частини – парне. Так ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення виявилося неправильним, і цим доведено, що log 2 3 - ірраціональне число.

Зауважимо, що lna за будь-якого позитивного і відмінному від одиниці раціональному a є ірраціональним числом. Наприклад, і – ірраціональні числа.

Також доведено, що число e a при будь-якому відмінному від нуля раціональному a є ірраціональним, і що π z при будь-якому відмінному від нуля цілому z є ірраціональним. Наприклад, числа – ірраціональні.

Ірраціональними числами також є тригонометричні функції sin, cos, tg і ctg при будь-якому раціональному і відмінному від нуля значенні аргументу. Наприклад, sin1 , tg(−4) , cos5,7 є ірраціональними числами.

Існують і інші доведені результати, на які ми обмежимося вже перерахованими. Слід також сказати, що за доказі озвучених вище результатів застосовується теорія, пов'язана з алгебраїчними числамиі трансцендентними числами.

Насамкінець зазначимо, що не варто робити поспішних висновків щодо ірраціональності заданих чисел. Наприклад, здається очевидним, що ірраціональне число в ірраціональному ступені є ірраціональне число. Однак, це не завжди так. Як підтвердження озвученого факту наведемо ступінь. Відомо, що ірраціональне число, а також доведено, що ірраціональне число, але раціональне число. Також можна навести приклади ірраціональних чисел, сума, різницю, твір та приватне яких є раціональні числа. Більше того, раціональність чи ірраціональність чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e та багатьох інших досі не доведена.

Список літератури.

Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.