Випуклі багатокутники. Визначення опуклого багатокутника

У 8 класі під час уроків геометрії у школі учні вперше знайомляться з поняттям опуклого багатокутника. Незабаром вони дізнаються, що ця фігура має дуже цікаву властивість. Якою б складною вона не була, сума всіх внутрішніх та зовнішніх кутів опуклого багатокутника набуває строго певного значення. У цій статті репетитор з математики та фізики розповідає про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника.

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника

Як довести цю формулу?

Перш ніж перейти до доказу цього твердження, пригадаємо, який багатокутник називається опуклим. Випуклим називається такий багатокутник, який повністю знаходиться по одну сторону від прямої, що містить будь-яку його сторону. Наприклад, такий, який зображений на цьому малюнку:

Якщо ж багатокутник не задовольняє зазначену умову, він називається неопуклим. Наприклад, такий:

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює , де кількість сторін багатокутника.

Доказ цього факту ґрунтується на добре відомій усім школярам теоремі про суму кутів у трикутнику. Впевнений, що й вам ця теорема знайома. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює.

Ідея полягає в тому, щоб розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників. Зробити це можна у різний спосіб. Залежно від того, який спосіб ми виберемо, докази трохи відрізнятимуться.

1. Розіб'ємо опуклий багатокутник на трикутники всіма можливими діагоналями, проведеними з якоїсь вершини. Легко зрозуміти, що тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутника:

Причому сума всіх кутів всіх трикутників, що вийшли, дорівнює сумі кутів нашого n-кутника. Адже кожен кут у трикутниках, що виходять, є частковим якогось кута в нашому опуклому багатокутнику. Тобто шукана сума дорівнює.

2. Можна також вибрати точку всередині опуклого багатокутника та з'єднати її з усіма вершинами. Тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутників:

Причому сума кутів нашого багатокутника в цьому випадку дорівнюватиме сумі всіх кутів усіх цих трикутників за вирахуванням центрального кута, який дорівнює . Тобто шукана сума знову ж таки дорівнює.

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника

Поставимо тепер питання: «Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника?» Відповісти це питання можна так. Кожен зовнішній кут є суміжним із відповідним внутрішнім. Тому він дорівнює:

Тоді сума всіх зовнішніх кутів дорівнює. Тобто вона дорівнює.

Тобто виходить дуже кумедний результат. Якщо відкласти послідовно один за одним усі зовнішні кути будь-якого опуклого n-кутника, то в результаті заповниться рівно вся площина.

Цей цікавий факт можна проілюструвати в такий спосіб. Давайте пропорційно зменшувати всі сторони якогось опуклого багатокутника до тих пір, поки він не зіллється в крапку. Після того, як це станеться, всі зовнішні кути виявляться відкладеними один від одного і заповнять таким чином всю площину.

Цікавий факт, чи не так? І таких фактів у геометрії дуже багато. Тож навчайте геометрію, дорогі школярі!

Матеріал про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника, підготував , Сергій Валерійович

Нехай – даний опуклий багатокутник і n > 3. Тоді проведемо з однієї вершини до протилежних вершин n-3 діагоналі: . Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на n - 2 трикутника: . Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів у кожному трикутнику дорівнює 180 °, а число цих трикутників є n-2. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Теорему доведено.

Зауваження

Для неопуклого n-кутника сума кутів також дорівнює 180 ° (n-2). Доказ аналогічний, але використовує на додаток лему про те, що будь-який багатокутник може бути розрізаний діагоналями на трикутники.

Примітки

Теорема про суму кутів багатокутника для багатокутників на сфері не виконується (а також на будь-якій іншій спотвореній площині, крім деяких випадків). Детальніше дивіться неевклідові геометрії.

Див. також

Wikimedia Foundation.

2010 .

Дивитись що таке "Теорема про суму кутів багатокутника" в інших словниках:

Трикутник Теорема про суму кутів трикутника класична теорема евклідової геометрії. Стверджує, що … Вікіпедія

- … Вікіпедія

Теорема Бойяї Гервіна стверджує, що будь-які два рівновеликі багатокутники рівноскладені. Формальніше: Нехай і суть два багатокутники з однаковою площею. Тоді їх можна розрізати відповідно на багатокутники і, отже, для … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Трикутник (значення). Трикутник (в евклідовому просторі) це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, … … Вікіпедія

Клас: 9

Мета: Вивести формулу для знаходження суми кутів опуклого багатокутника;

дослідити питання сумі зовнішніх кутів багатокутника, взятих по одному при кожній вершині;
формувати позитивну мотивацію до пізнавальної діяльності;
розвивати логічне мислення;
розвивати увагу, спостережливість, уміння аналізувати креслення;
формувати вміння застосовувати отримані знання на вирішення завдань;
розвивати комунікативну культуру учнів.

Хід уроку

Великий російський вчений, гордість Землі Руської,

Михайло Васильович Ломоносов, сказав: “Неусипна праця перешкоди долає”. Я сподіваюся, що сьогодні на уроці наша з вами праця допоможе нам подолати всі перешкоди.

1. Актуалізація опорних знань. (Фронтальне опитування.)

презентація. (Слайди 2–4)

– Сформулюйте визначення багатокутника, назвіть основні елементи.
– Визначення опуклого багатокутника.
– Наведіть приклади відомих вам чотирикутників, які опуклі багатокутники.
- Чи можна вважати трикутник опуклим багатокутником?
- Що таке зовнішній кут опуклого багатокутника?

2. Постановка проблеми (вихід тему уроку).

Усна фронтальна робота.

Знайдіть суму кутів даних багатокутників (Слайди 5–6)

- Трикутника; прямокутника:
- Трапеції; довільного семикутника.

У разі утруднення вчитель ставить запитання:

– Сформулюйте визначення трапеції.
– Назвіть основи трапеції.
- Що можна сказати про пару кутів А і Д, якою властивістю вони мають?
- Чи можна ще назвати на кресленні пару внутрішніх односторонніх уловів?
- Чи змогли ви знайти суму кутів семикутника? Яке виникає запитання? (Чи існує формула для знаходження суми кутів довільного багатокутника?)

Отже, ясно, що наших знань на сьогодні не достатньо для вирішення цього завдання.

Як можна сформулювати тему нашого уроку? - Сума кутівопуклого багатокутника.

3. Рішення проблеми. Щоб відповісти на поставлене запитання, проведемо невелике дослідження.

Ми вже знаємо теорему про суму кутів трикутника. Чи можемо ми її якимось чином застосувати?

– Що для цього треба зробити? (Розбити багатокутник на трикутники.)

– А як багатокутник можна розбити на трикутники? Подумайте над цим, обговоріть та запропонуйте свої найвдаліші варіанти.

Йде робота у групах, кожна група працює за окремим комп'ютером, де встановлено програма “Geo Gebra”.

Після закінчення роботи вчитель виводить на екран результати роботи груп. (Слайд 7)

– Давайте проаналізуємо запропоновані варіанти та спробуємо обрати найоптимальніший для нашого дослідження.

Визначимося з критеріями відбору: що хочемо отримати в результаті розбиття? (Сума всіх кутів побудованих трикутників повинна дорівнювати сумі кутів багатокутника.)

– Які варіанти можна одразу відкинути? Чому?

(Варіант 1, оскільки сума кутів усіх трикутників не дорівнює сумі кутів багатокутника.)

– Який варіант годиться найбільше? Чому? (Варіант 3.)

Як одержали цей варіант? (Провели діагоналі з однієї вершини багатокутника

креслення	n – кількість вершин багатокутника	Кількість діагоналей, проведених із однієї вершини	Кількість отриманих трикутників
	4
	5
	6
	7
	n

– Спробуємо встановити залежність між кількістю вершин багатокутника, кількістю діагоналей, які можна провести з однієї вершини та кількістю трикутників, які при цьому отримують.

Кожна група отримує таблицю, яку мають заповнити у процесі дослідження.

Після обговорення у групах діти формулюють отримані висновки:
з однієї вершини n-кутника можна провести n – 3 діагоналі, (оскільки діагональ не можна провести до самої обраної вершини і до двох сусідніх). При цьому отримаємо n – 2 трикутники.

Отже, сума кутів опуклого багатокутника дорівнює 1800 (n-2).

– Повернемося до запропонованих варіантів розбиття багатокутника на трикутники.

Чи можна використовувати для доказу цієї теореми варіант, запропонований малюнку 4?

– Скільки трикутників виходить за такого розбиття? ( пштук)
– Наскільки відрізняється сума кутів усіх трикутників від суми кутів багатокутника? (на 360 0)
– Як можна порахувати суму кутів багатокутника в цьому випадку?

(180п– 360 = 180п - 180х2 = 180 (п -2)) (Слайд 8)

– Чи задовольняє головну вимогу, яку ми висунули до розбиття, варіант, запропонований на малюнку 2? (Так.)

– Чому не доцільне його використання для знаходження суми кутів багатокутника? (Важче підрахувати кількість одержуваних трикутників.)

Ну а тепер повернемося до завдання, яке ми не змогли вирішити на початку уроку.

(Діти усно вважають суму кутів семикутника і ще дві аналогічні вправи.) (Слайд 9 та 10)

4. Застосування отриманих знань .

Ми вивели формулу знаходження суми внутрішніх кутів опуклого багатокутника. А тепер поговоримо про суму зовнішніх кутів багатокутника, взятих по одній при кожній вершині.

Отже, завдання: що більше: сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у опуклого шестикутника чи трикутника? (Слайд 11)

Діти висловлюють свої припущення. Вчитель пропонує провести дослідження на вирішення цього питання.

Кожна група отримує завдання самостійного рішення.

Група 1.

1) Знайдіть суму зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у правильного трикутника.
2) - У трикутника, градусні величини кутів якого рівні відповідно 700, 800 і 300.

Група 2.

1) Знайдіть суму зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, біля прямокутника.
2) – У чотирикутника, внутрішні кути якого рівні відповідно 70 0 , 80 0 та 120 0 та 90 0 .

Група 3.

1) Знайдіть суму зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у правильного шестикутника.
2) - У шестикутника, внутрішні кути якого рівні відповідно 170 0, 80 0 і 130 0, 100 0, 70 0, 170 0.

Після закінчення роботи діти повідомляють свої результати, вчитель заносить їх до таблиці та демонструє на екрані. (Слайд 12)

Отже, який висновок можна зробити з результатів? (Сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у будь-якого багатокутника дорівнює 360 0.)

А тепер давайте спробуємо довести цей факт для будь-якого н-кутника.

Якщо виникають проблеми, колективно обговорюється план докази:

1. Визначити внутрішні кути багатокутника через α, β, γ тощо.
2. Виразити через введені позначення градусні заходи зовнішніх кутів
3. Скласти вираз для знаходження суми зовнішніх кутів багатокутника
4. Перетворити отриманий вираз, використовувати отриману формулу для суми внутрішніх кутів багатокутника.

Доказ записується на дошці:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360

5. Закріплення вивченого матеріалу. Вирішення задач.

Завдання 1. Чи існує опуклий багатокутник із такими внутрішніми кутами: 45 0 , 68 0 , 73 0 та 56 0 ? Поясніть свою відповідь.

Проведемо доказ протилежного. Якщо у опуклого багатокутника чотири гострі внутрішні кути то серед його зовнішніх кутів чотирьох тупих, звідки випливає, що сума всіх зовнішніх кутів багатокутника більша за 4*90 0 = 360 0 . Маємо протиріччя. Твердження доведено.

У опуклому багатокутнику три кути по 80 градусів, а решта – 150 градусів. Скільки кутів у опуклому багатокутнику?

Так як: для опуклого n-кутника сума кутів дорівнює 180 ° (n - 2) , то 180(n - 2) = 3 * 80 + x * 150, де 3 кута по 80 градусів нам дано за умовою завдання, а кількість інших кутів нам поки невідомо, значить, позначимо їх кількість через x.

Однак із запису в лівій частині ми визначили кількість кутів багатокутника як n, оскільки їх величини трьох кутів ми знаємо за умовою завдання, то очевидно, що x=n-3.

Таким чином, рівняння виглядатиме так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Вирішуємо отримане рівняння

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Відповідь: 5 вершин.

6. Підбиття підсумків уроку.

Отже, давайте підіб'ємо підсумки. Сформулюйте свої питання для хлопців із іншої групи за матеріалами сьогодення.

Яке питання ви вважаєте найвдалішим?

Обговоріть ступінь участі кожного члена групи у колективній роботі, назвіть найактивніших.

Чия робота в групі була найрезультативнішою?

7. Домашнє завдання:

1. Завдання.

У багатокутнику три кути по 113 градусів, а решта рівні між собою та їх градусний захід – ціле число. Знайти кількість вершин багатокутника.

2. п.114 стор.169-171, Погорєлов А.В. "Геометрія 7-9".

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Геометрична фігура, складена з відрізків AB,BC,CD,..,EF,FA таким чином, що суміжні відрізки не лежать на одній прямій, а несуміжні відрізки не мають спільних точок, називається багатокутником. Кінці даних відрізків, точки A, B, C, D, …, E, F називаються вершинамибагатокутника, а самі відрізки AB,BC,CD,.., EF, FA - сторонамибагатокутник.

Багатокутник називається опуклим, якщо він по одну сторону від кожної прямої, яка проходить через дві його суміжні вершини. На малюнку нижче представлений опуклий багатокутник:

А наступний малюнок ілюструє неопуклий багатокутник:

Кутом опуклого багатокутника при даній вершині називатиметься кут, утворений сторонами цього багатокутника, що сходяться в даній вершині. Зовнішнім кутом опуклого багатокутника у певній вершині називається кут суміжний із внутрішнім кутом багатокутника при даній вершині.

Теорема: Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180* (n-2)

Доказ: розглянемо опуклий n-кутник. Щоб знайти суму всіх внутрішніх кутів з'єднаємо одну з вершин багатокутника з іншими вершинами.

В результаті отримаємо (n-2) трикутника. Відомо, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів. Оскільки їх кількість у багатокутнику (n-2), то сума кутів багатокутника дорівнює 180˚ *(n-2). Це потрібно було довести.

Завдання:

Знайти суму кутів опуклого a) п'ятикутник б) шестикутника в) десятикутника.

Скористаємося формулою для обчислення суми кутів опуклого n-кутника.

а) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

б) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

в) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Відповідь: а) 540?. б) 720˚. в) 1440?.