Цікава математика. Середнє значення

Середнім арифметичним називають суму чисел, поділену на кількість цих чисел. А знайти середнє арифметичне дуже просто.

Як випливає з визначення, ми повинні взяти числа, скласти їх і розділити на їх кількість.

Наведемо приклад: дається числа 1, 3, 5, 7 і треба знайти середнє арифметичне цих чисел.

• спочатку складаємо ці числа (1+3+5+7) та отримуємо 16
• отриманий результат нам треба розділити на 4 (кількість): 16/4 і отримуємо результат 4.

Отже, середнє арифметичне чисел 1, 3, 5 та 7 – це 4.

Середнє арифметичне – середнє значення серед заданих показників.

Воно перебуває шляхом розподілу суми всіх показників з їхньої кількість.

Наприклад, у мене є 5 яблук вагою 200, 250, 180, 220 та 230 грам.

Середню вагу 1 яблука знаходимо так:

• шукаємо загальну вагу всіх яблук (суму всіх показників) - він дорівнює 1080 грамів,
• ділимо загальну вагу на кількість яблук 1080:5 = 216 г. Це і є середнє арифметичне.

Це найчастіше застосовуваний у статистиці показник.

Середнє арифметичне число, це числа складені разом і поділені на їх кількість, отримана відповідь і є середньоарифметичним числом.

Наприклад: Катя поклала у скарбничку 50 рублів, Максим 100 рублів, а Сашко поклав у скарбничку 150 рублів. 50 + 100 + 150 = 300 рублів у скарбничці, тепер ділимо цю суму на три (три особи поклали гроші). Отже 300: 3 = 100 рублів. Ці 100 рублів і буде середньо арифметично, кожен із них поклав у скарбничку.

Є такий простий приклад: одна людина їсть м'ясо, інша людина їсть капусту, а середньо арифметично обидва їдять голубці.

Так само розраховують середню зарплату...

Середнє арифметичне - це сума всіх значень та поділена на їх кількість.

Наприклад, числа 2, 3 , 5, 6 . Потрібно їх скласти 2+3+5+6=16

16 ділимо на 4 і отримуємо відповідь 4 .

4 і є середнє арифметичне цих чисел.

Середнє арифметичне кількох чисел це сума цих чисел, поділена на їх кількість.

x ср середнє арифметичне

S сума чисел

n кількість чисел.

Наприклад, нам потрібно знайти середнє арифметичне чисел 3, 4, 5 та 6.

Для цього нам потрібно їх скласти та отриману суму розділити на 4:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Пам'ятаю як підсумкову контрольну математику здавав

Так там треба було середнє арифметичне знайти.

Добре, що добрі люди підказали, що робити, інакше біда.

Наприклад, у нас 4 числа.

Складаємо числа і ділимо їх кількість (у разі 4)

Наприклад, цифри 2,6,1,1. Складаємо 2+6+1+1 та ділимо на 4 = 2.5

Як бачите, нічого складного. Отже, середня арифметична - це середнє значення всіх чисел.

Це ми знаємо зі шкільної лави. У кого був хороший вчитель з математики, то запам'ятати цю нехитру дію можна було з першого разу.

При знаходженні середнього арифметичного необхідно скласти всі наявні числа і поділити їх кількість.

Наприклад, я купила в магазині 1 кг яблук, 2 кг бананів, 3 кг апельсинів та 1 кг ківі. Скільки кілограмів у середньому купила фруктів.

7/4 = 1,8 кілограмів. Це буде середньоарифметичним значенням.

Середнє арифметичне – це середнє число між кількома числами.

Наприклад, між числами 2 і 4 середнє число 3.

Формула знаходження середнього арифметичного така:

Потрібно скласти усі числа та поділити на кількість цих чисел:

Наприклад, у нас 3 числа: 2, 5 і 8.

Знаходимо середнє арифметичне:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

Область застосування середнього арифметичного досить широка.

Наприклад, знаючи координати двох точок відрізка знайти координати середини цього відрізка.

Наприклад координати відрізка: (X1, Y1, Z1)-(X2, Y2, Z2).

Позначимо середину цього відрізку координатами X3, Y3, Z3.

Окремо знаходимо середину кожної координати:

Середньоарифметичне-це середнє значення із заданих...

Тобто. по простому маємо кількість паличок різної довжини і хочемо дізнатися їхнє середнє значення.

Логічно, що для цього ми їх зводимо разом, отримуючи довгу палицю, а потім ділимо її на необхідну кількість частин.

Ось і виходить середньоарифметичне.

Ось так і виводиться формула: Sa=(S(1)+..S(n))/n.

Арифметика вважається елементарним розділом математики і вивчає прості дії з числами. Тому і середнє арифметичне також дуже просто. Почнемо з визначення. Середнє арифметичне - це величина, яка показує яке число найближче до істини за кількох послідовних однотипних діях. Наприклад при бігу на сто метрів людина щоразу показує різний час, але середня величина буде в межах 12 секунд. Знаходження середнього арифметичного таким чином зводиться у послідовному підсумовуванні всіх чисел певного ряду (результатів забігів) та розподіл цієї суми на кількість цих забігів (спроб, чисел). У вигляді формули це виглядає так:

Sариф = (Х1+Х2+..+Хn)/n

Мені як математику цікаві питання з даного предмета.

Почну з історії питання. Над середніми величинами замислювалися з давніх часів. Середнє арифметичне, середнє геометоїчне, середнє гармонійне. Ці поняття запропоновані у Стародавній Греції піфагорійцями.

А тепер питання, що нас цікавить. Що ж розуміється під середнім арифметичним кількох чисел:

Отже, для знаходження середнього арифметичного чисел потрібно додати всі числа та розділити отриману суму на кількість доданків.

Має місце формула:

приклад.Знайти середнє арифметичне чисел: 100, 175, 325.

Скористаємося формулою знаходження середнього арифметичного трьох чисел (тобто замість n буде 3; потрібно скласти всі 3 числа та розділити отриману суму на їх кількість, тобто на 3). Маємо: х=(100+175+325)/3=600/3=200.

Троє дітей пішли до лісу за ягодами. Старша дочка знайшла 18 ягід, середня – 15, а молодший брат – 3 ягоди (див. рис. 1). Принесли ягоди мамі, яка вирішила поділити ягоди порівну. Скільки ягід отримав кожен із дітей?

Мал. 1. Ілюстрація до завдання

Рішення

(яг.) – всього зібрали діти

2) Розділимо загальну кількість ягід на кількість дітей:

(яг.) дісталося кожній дитині

Відповідь: кожна дитина отримає по 12 ягід

У задачі 1 отримане відповіді число - це середнє арифметичне.

Середнім арифметичнимкількох чисел називається частка від поділу суми цих чисел на їх кількість.

Приклад 1

Ми маємо два числа: 10 і 12. Знайти їхнє середнє арифметичне.

Рішення

1) Визначимо суму цих чисел: .

2) Кількість цих чисел дорівнює 2, отже, середнє арифметичне цих чисел дорівнює: .

Відповідь: середнє арифметичне чисел 10 і 12 - це число 11

Приклад 2

Ми маємо п'ять чисел: 1, 2, 3, 4 та 5. Знайти їх середнє арифметичне.

Рішення

1) Сума цих чисел дорівнює: .

2) За визначенням середнє арифметичне - це окреме від поділу суми чисел з їхньої кількість. Ми маємо п'ять чисел, тому середнє арифметичне дорівнює:

Відповідь: середнє арифметичне даних за умови чисел дорівнює 3.

Крім того, що його постійно пропонують знайти на уроках, знаходження середнього арифметичного дуже корисне і у повсякденному житті. Наприклад, припустимо, що ми хочемо поїхати на відпочинок до Греції. Для вибору відповідного одягу ми дивимося, яка температура в цій країні зараз. Однак ми не дізнаємось про загальну картину погоди. Тому необхідно дізнатися температуру повітря в Греції, наприклад, за тиждень, і знайти середнє арифметичне цих температур.

Приклад 3

Температура у Греції за тиждень: понеділок – ; вівторок -; середовище -; четвер -; п'ятниця -; субота -; неділя - . Порахувати середню температуру протягом тижня.

Рішення

1) Обчислимо суму температур: .

2) Розділимо отриману суму кількість днів: .

Відповідь: середня температура протягом тижня близько .

Вміння знаходити середнє арифметичне також може знадобитися для визначення середнього віку гравців футбольної команди, тобто для того, щоб встановити, досвідчена команда чи ні. Необхідно підсумувати вік усіх гравців і поділити їх кількість.

Завдання 2

Купець продавав яблука. Спершу він продавав їх за ціною 85 рублів за 1 кг. Так він продав 12 кг. Потім він знизив ціну до 65 рублів і продав 4 кг яблук, що залишилися. Якою була середня ціна за яблука?

Рішення

1) Порахуємо, скільки грошей заробив купець. 12 кілограм він продав за ціною 85 рублів за 1 кг: (Руб.).

4 кілограми він продав за ціною 65 рублів за 1 кг: (руб.).

Отже, загальна сума зароблених грошей дорівнює: (Руб.).

2) Загальна вага проданих яблук дорівнює: .

3) Розділимо отриману суму грошей на загальну вагу проданих яблук та отримаємо середню ціну за 1 кг яблук: (руб.).

Відповідь: середня ціна 1 кг проданих яблук - 80 рублів.

Середнє арифметичне допомагає оцінити дані загалом, не беручи кожне значення окремо.

Однак не завжди можна користуватися поняттям середнє арифметичне.

Приклад 4

Стрілець зробив два постріли по мішені (див. рис. 2): вперше він потрапив на метр вище мішені, а вдруге - на метр нижче. Середнє арифметичне покаже, що він потрапив точно в центр, хоча він промахнувся обидва рази.

Мал. 2. Ілюстрація наприклад

На цьому уроці ми познайомилися із поняттям середнє арифметичне. Ми дізналися визначення цього поняття, навчилися обчислювати середнє арифметичне кількох чисел. Також ми дізналися практичне застосування цього поняття.

1. Н.Я. Віленкін. Математика: навч. для 5 кл. загальнообр. учр. - вид. 17-те. - М.: Мнемозіна, 2005.
)
2. У Ігоря було із собою 45 рублів, у Андрія – 28, а у Дениса – 17.
3. На всі свої гроші вони купили 3 квитки у кіно. Скільки коштував один квиток?

Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична.

Середня арифметична проста

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції на одного працюючого — це така величина обсягу продукції, яка припадала б на кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаково розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична— дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.
Знайти середню заробітну плату

Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6 = 3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:Зважена середня арифметична

.

Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяць

Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної плати на загальну кількість робітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду

Приклад 3При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу, як напівсуму верхньої та нижньої меж, а потім середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

При розрахунку середніх як терези можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частина):

Середня арифметична має цілу низку властивостей, які більш повно розкривають її сутність і спрощують розрахунок:

1. Твір середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто.

2.Середня арифметична суми величин, що варіюють, дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:

3.Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю:

4.Сума квадратів відхилень варіантів від середньої менше, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини, тобто.

Тема середнього арифметичного та середнього геометричного входить до програми математики 6-7 класів. Оскільки параграф досить простий для розуміння, його швидко минають, і до завершення навчального року школярі його забувають. Але знання у базовій статистиці потрібні для складання ЄДІ, а також для міжнародних іспитів SAT. Та й для повсякденного життя розвинене аналітичне мислення ніколи не завадить.

Як обчислити середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

Припустимо, є ряд чисел: 11, 4 і 3. Середнім арифметичним називається сума всіх чисел, поділена на кількість даних чисел. Тобто у разі чисел 11, 4, 3, відповідь буде 6. Як виходить 6?

Рішення: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

У знаменнику має стояти число, яке дорівнює кількості чисел, середнє яких потрібно знайти. Сума ділиться на 3, тому що доданків три.

Тепер треба розібратися із середнім геометричним. Припустимо, є ряд чисел: 4, 2 та 8.

Середнім геометричним чисел називається добуток всіх даних чисел, що знаходиться під коренем зі ступенем, що дорівнює кількості даних чисел. Тобто у випадку чисел 4, 2 і 8 відповіддю буде 4.

Рішення: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обох випадках вийшли цілі відповіді, тому що для прикладу було взято спеціальні числа. Так відбувається не завжди. Найчастіше відповідь доводиться округляти чи залишати під коренем. Наприклад, для чисел 11, 7 і 20 середнє арифметичне ≈ 12,67, а середнє геометричне - ∛1540. А для чисел 6 та 5 відповіді, відповідно, будуть 5,5 та √30.

Чи може так статися, що середнє арифметичне дорівнюватиме середньому геометричному?

Звісно, ​​може. Але лише у двох випадках. Якщо є ряд чисел, що складається лише з одиниць, або з нулів. Примітно також те, що відповідь не залежить від їхньої кількості.

Доказ із одиницями: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (середнє арифметичне).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (середнє геометричне).

Доказ із нулями: (0 + 0) / 2=0 (середнє арифметичне).

√(0 × 0) = 0 (середнє геометричне).

Іншого варіанту немає і не може.

Приклад 2. На курси англійської мови у понеділок прийшло 15 осіб, у вівторок – 10, у середу – 12, у четвер – 11, у п'ятницю – 7, у суботу – 14, у неділю – 8. Знайти середню відвідуваність курсів за тиждень.
Рішення:Знайдемо середнє арифметичне:

Приклад 3. Гонщик їхала дві години зі швидкістю 120 км/год та годину зі швидкістю 90 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля під час перегонів.
Рішення:Знайдемо середнє арифметичне швидкостей автомобіля за кожну годину шляху:

Приклад 4. Середнє арифметичне 3 чисел дорівнює 6, а середнє арифметичне 7 інших чисел дорівнює 3. Чому дорівнює середнє арифметичне цих десяти чисел?
Рішення:Так як середнє арифметичне 3-х чисел дорівнює 6 то їх сума дорівнює 6 · 3 = 18, аналогічно сума 7-ми чисел, що залишилися, дорівнює 7 · 3 = 21.
Значить сума всіх 10-ти чисел буде 18 + 21 = 39, а середнє арифметичне дорівнює