Сферична тригонометрія

математична дисципліна, що вивчає залежності між кутами та сторонами сферичних трикутників (див. Сферична геометрія). Нехай А, В, С -кути та а, b, с -протилежні їм сторони сферичного трикутника ABC(Див. Мал. ). Кути та сторони сферичного трикутника пов'язані наступними основними формулами С. т.:

cos а= cos b cos з+ sin b sin з cos А, (2)

cos A = - cos B cos З+ sin B sin З cos a, (2 1)

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos з cos А, (3)

sin А cos b= cos B sin C+ sin B cos З cos a; (3 1)

у цих формулах сторони а, b, свимірюються відповідними центральними кутами, довжини цих сторін рівні відповідно aR, bR, cR,де R -радіус сфери. Змінюючи позначення кутів (і сторін) за правилом кругової перестановки: А→У→З→А(а→b→з→а), можна написати інші формули С. т., аналогічні до зазначених. Формули С. т. дозволяють за будь-яким трьома елементами сферичного трикутника визначити три інші (вирішити трикутник).

Для прямокутних сферичних трикутників ( А= 90 °, а -гіпотенуза, b, с -катети) формули С. т. спрощуються, наприклад:

sin b= sin a sin У, (1")

cos a = cos b cos c, (2")

sin a cos B = cos b sin c. (3")

Для отримання формул, що зв'язують елементи прямокутного сферичного трикутника, можна користуватися наступним мнемонічним правилом (правилом Непера): якщо замінити катети прямокутного сферичного трикутника їх доповненнями та розташувати елементи трикутника (за винятком прямого кута) А) по колу в тому порядку, в якому вони знаходяться в трикутнику (тобто: В, а, С, 90 ° - b, 90° - с), то косинус кожного елемента дорівнює добутку синусів неприлеглих елементів, наприклад,

cos а= sin (90 ° - з) sin (90 ° - b)

або, після перетворення,

cos а = cos b cos з(Формула 2 ").

При вирішенні завдань зручні такі формули Деламбра, що пов'язують усі шість елементів сферичного трикутника:

При вирішенні багатьох завдань сферичної астрономії, залежно від необхідної точності, часто виявляється достатнім використання наближених формул: для малих сферичних трикутників (тобто таких, сторони яких малі, порівняно з радіусом сфери), можна користуватися формулами плоскої тригонометрії; для вузьких сферичних трикутників (тобто таких, у яких одна сторона, наприклад а,мала в порівнянні з іншими) застосовують такі формули:

(3’’)

або більш точні формули:

С. т. виникла значно раніше за плоску тригонометрію. Властивості прямокутних сферичних трикутників, що виражаються формулами (1")-(3"), та різні випадки їх вирішення були відомі ще грецьким вченим Менелаю (1 ст.) та Птолемею (2 ст.). Рішення косокутних сферичних трикутників грецькі вчені зводили до розв'язання прямокутних. Азербайджанський вчений Насіреддін Туей (13 ст) систематично розглянув усі випадки вирішення косокутних сферичних трикутників, вперше вказавши рішення у двох найважчих випадках. Основні формули косокутних сферичних трикутників були знайдені арабським ученим Абу-ль-Вефа (10 ст.) [Формула (1)], німецьким математиком І. Регіомонтаном (середина 15 ст.) [Формули типу (2)], французьким математиком Ф. Вієтом (2-я половина 16 ст.) [Формули типу (2 1)] та Л. Ейлером (Росія, 18 ст.) [Формули типу (3) і (3 1)]. Ейлер (1753 і 1779) дав всю систему формул С. т. Окремі зручні для практики формули С. т. були встановлені шотландським математиком Дж. Непером (кінець 16 – початок 17 ст.), англійським математиком Г. Брігсом (кінець 16 – початок 17 ст.), Російським астрономом А. І. Лекселем (2-я половина 18 ст.), Французьким астрономом Ж. Деламбром (кінець 18 - початок 19 ст.) та ін.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Сферична тригонометрія" в інших словниках:

Сферична тригонометрія - розділ тригонометрії, в якому вивчаються залежності між величинами кутів і довжинами сторін сферичних трикутників. Застосовується для вирішення різних геодезичних та астрономічних завдань. Зміст 1 Історія … Вікіпедія

Область математики, в якій вивчаються залежності між сторонами та кутами сферичних трикутників (тобто трикутників на поверхні сфери), що утворюються при перетині трьох великих кіл. Сферична тригонометрія тісно пов'язана з ... Великий Енциклопедичний словник

Досліджує властивості трикутників., накреслених на сферичн. поверхні, що утворюються на кулі дугами кіл. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Павленков Ф., 1907. Словник іноземних слів російської мови

Область математики, в якій вивчаються залежності між сторонами та кутами сферичних трикутників (тобто трикутників на поверхні сфери), що утворюються при перетині трьох великих кіл. Сферична тригонометрія тісно пов'язана з ... Енциклопедичний словник

Математич. дисципліна, що вивчає залежності між кутами та сторонами сферичних трикутників (див. Сферична геометрія). Нехай А, В, С кути та а, b, з протилежні їм сторони сферичного трикутника ABC. Кути і сторони сферич. трикутника … Математична енциклопедія

Область математики, в якій вивчаються залежності між сторонами і кутами сферич. трикутників (тобто трикутників лежить на поверхні сфери) , що утворюються при перетині трьох великих кіл. С. т. тісно пов'язана зі сферич. астрономією … Природознавство. Енциклопедичний словник

Сферичний трикутник Ексцес сферичного трикутника, або сферичний надлишок величина в сф … Вікіпедія

Теорема Лежандра у сферичній тригонометрії дозволяє спростити рішення сферичного трикутника, якщо відомо, що його сторони досить малі в порівнянні з радіусом сфери, на якій він розташований. Формулювання … Вікіпедія

Прямокутний сферичний трикутник з гіпотенузою c, катетами a і b і прямим кутом C.

Велике коло завжди поділяє сферу на дві рівні половини. Центр великого кола збігається з центром сфери ... Вікіпедія

Книги

• Сферична тригонометрія, Степанов Н.М. , курс сферичної тригонометрії Н. Н. Степанова являє собою навчальний посібник для студентів: астрономів, геодезистів, топографів, маркшейдерів; одночасно воно може служити і цілям. Категорія: Математика Видавець: ЇЇ Медіа, Виробник: ЇЇ Медіа,
• Сферична тригонометрія, Степанов Н.М. , курс сферичної тригонометрії Н. Н. Степанова являє собою навчальний посібник для студентів: астрономів, геодезистів, топографів, маркшейдерів; одночасно воно може служити і цілям.

4)Формула косинуса сторони.

Системи координат

Система координат – комплекс визначень, що реалізує метод координат, тобто спосіб визначати положення точки чи тіла за допомогою чисел чи інших символів. Сукупність чисел, визначальний положення конкретної точки, називається координатами цієї точки. На площині положення точки найчастіше визначається відстанями від двох прямих (координатних осей), що перетинаються в одній точці (початку координат) під прямим кутом; одна з координат називається ординатою, а інша – абсцисою. У просторі за системою Декарта положення точки визначається відстанями від трьох площин координат, що перетинаються в одній точці під прямими кутами один до одного, або сферичними координатами, де початок координат знаходиться в центрі сфери. (Наприклад, океану). Дивись географічні координати. В астрономії координати – величини, за допомогою яких визначається положення зірки, наприклад, пряме сходження та відмінювання. Небесні координати – числа, за допомогою яких визначають положення світил та допоміжних точок на небесній сфері. У астрономії використовують різні системи небесних координат. Кожна з них по суті є системою полярних координат на сфері з відповідним чином обраним полюсом. Систему небесних координат задають великим колом небесної сфери (або його полюсом, що знаходиться на 90° від будь-якої точки цього кола) із зазначенням на ньому початкової точки відліку однієї з координат. Залежно від вибору цього кола системи небесних координат називалася горизонтальною, екваторіальною, екліптичною та галактичною. Найбільш використовувана система координат - прямокутна система координат (також відома як декартова система координат). Координати на площині та в просторі можна вводити нескінченним числом різних способів. Вирішуючи ту чи іншу математичну або фізичну задачу методом координат, можна використовувати різні координатні системи, вибираючи ту з них, в якій завдання вирішується простіше чи зручніше у даному конкретному випадку.

11) Радіуси кривизни паралелі, меридіана та нормального перерізу.

Через довільну точку на поверхні земного еліпсоїда можна провести безліч вертикальних площин, які утворюють з поверхнею еліпсоїда нормальні перерізи. Два з них: меридіанний і перпендикулярний йому переріз першого вертикалу - звуться головних нормальних перерізів. Кривизна поверхні земного еліпсоїда у різних її точках різна. Більше того, в одній точці всі нормальні перерізи мають різну кривизну. Радіуси кривизни основних нормальних перерізів у цій точці є екстремальними, т. е. найбільшими і найменшими серед решти радіусів кривизни нормальних перерізів. Величини радіусів кривизни меридіана М і першого вертикалу N в даній широті визначаються за формулами: M = a (1-e²) ​​/ (1 - e² * sin² φ) 3/2 ; N = a / (1 - e² * sin² φ) ½

Радіус кривизни r довільної паралелі еліпсоїда пов'язаний з радіусом кривизни перерізу першого вертикалу співвідношенням r = N cos φ. Величини радіусів кривизни головних перерізів еліпсоїда М і N характеризують його форму поблизу даної точки. Для довільної точки поверхні еліпсоїда відношення радіусів

M / N = 1 - e² / 1 - e² * sin² φ

12)Довжина дуг паралелі та меридіанів.

L = 2pR = 2. 3,14 6371» 40000 км.

Визначивши довжину великого кола, можна знайти довжину дуги меридіана (екватора) в 1° або 1¢:1° дуги меридіана (екватора) = L/360°= 111 км,1¢ дуги меридіана (екватора) 111/60¢ = 1,853 км.Довжина кожної паралелі менша за довжину екватора і залежить від широти місця.

Вона дорівнює L пар = L екв соsj пар.Положення точки на поверхні земного еліпсоїда може бути визначено геодезичними координатами - геодезичною широтою та геодезичною довготою. Для визначення положення точки на поверхні геоїду використовуються астрономічні координати, які отримують шляхом математичної обробки результатів астрономічних вимірів. Однак у ряді випадків, коли не потрібно враховувати різниці геодезичних та астрономічних координат, для визначення положення точки в літаководі користуються поняттям географічні координати. Географічною широтою j називається кут між площиною екватора і нормаллю до поверхні еліпсоїда в даній точці. Широта вимірюється від площини екватора до полюсів від 0 до 90 ° на північ або південь. Північна широта вважається позитивною, південна – негативною.

13) Перетворення координат.

Перетворенням системи координат називається перехід від однієї системи координат на іншу. При такій заміні треба встановити формули, що дозволяють за відомими координатами точки в одній системі координат визначити її координати в іншій.

Головною метою перетворення координат є визначення такої координатної системи, в якій рівняння цієї лінії стає найпростішим. Вдалим розташуванням координатних осей можна домогтися того, щоб рівняння кривої набуло найпростішого вигляду. Це має значення для дослідження властивостей кривої.

14) Геодезична лінія. Пряме та зворотне геодезичне завдання.

Геодезична лінія, крива, головні нормалі всіх точок якої збігаються з нормалями поверхні, де та розташована. Найкоротша відстань між двома точками по поверхні - Г. лінія, але не завжди назад. Геодезична задача, пов'язана з визначенням взаємного положення точок земної поверхні і поділяється на пряме та зворотне завдання. Прямий Р. з. називають обчислення геодезичних координат - широти та довготи деякої точки, що лежить на земному еліпсоїді, за координатами ін. точки і за довжиною та азимутом геодезичної лінії, що з'єднує ці точки. Зворотна Р. з. полягає у визначенні за геодезичними координатами двох точок на земному еліпсоїді довжини та азимуту геодезичної лінії між цими точками

15) Зближення меридіанів.меридіанів в деякій точці земного еліпсоїда - кут g s між дотичної до меридіана цієї точки і дотичної до еліпсоїда, проведеної в тій же точці паралельно площині деякого початкового меридіана. С. м. g s є функцією різниці довгот l зазначених меридіанів, широти точки і параметрів еліпсоїда. Приблизно С. м. виражається формулою g s = lsin Ст С. м. на площині геодезичної проекції, або картографічної проекції (або гауссово С. м.) - це кут g, який утворює торкається зображення якого-небудь меридіана з першою координатною віссю (абсцис) даної проекції, що є зазвичай зображенням середнього (осьового) меридіана території, що відображається.

16) Загальний принцип зображення поверхонь розгортанням.

Розгортанням однієї поверхні на іншу за допомогою згинання називається таке перетворення першої поверхні, при якому зберігаються елементи її внутрішньої геометрії. ПЛОЩІ, ГАУССОВА кривизна поверхні, а так св-во найкоротших ліній залишатися найкоротшими. Радіуси кривизни гол. нормальних перерізів називаються гол. радіусами кривизни в даній точці поверхні.

Елементи сферичної тригонометрії

Сферична тригонометрія займається вивченням співвідношень між сторонами та кутами сферичних трикутників (наприклад, на поверхні Землі та на небесній сфері). Сферичні трикутники. На поверхні кулі найкоротша відстань між двома точками вимірюється вздовж кола великого кола, тобто кола, площина якого проходить через центр кулі. Вершини сферичного трикутника є точками перетину трьох променів, що виходять із центру кулі та сферичної поверхні. Сторонами a, b, c сферичного трикутника називають ті кути між променями, які менше 180 (якщо один із цих кутів дорівнює 180, то сферичний трикутник вироджується в півколо великого кола). Кожній стороні трикутника відповідає дуга великого кола на поверхні кулі (див. рисунок).

Кути A, B, C сферичного трикутника, що протилежать сторонам a, b, c відповідно, являють собою, за визначенням, менші, ніж 180, кути між дугами великих кіл, відповідними сторонам трикутника, або кути між площинами, що визначаються цими променями. поверхні кулі є неевклідовою; у кожному сферичному трикутнику сума сторін укладена між 0 і 360, сума кутів укладена між 180 і 540. У кожному сферичному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут. Сума будь-яких двох сторін більша за третю сторону, сума будь-яких двох кутів менша, ніж 180 плюс третій кут.Сферичний трикутник єдиним чином визначається (з точністю до перетворення симетрії):1) трьома сторонами; 2) трьома кутами; ними кутом, 4) стороною та двома прилеглими до неї кутами.

4)Формула косинуса сторони.

Формула косинуса сторони пов'язує три сторони та один із кутів сферичного трикутника. Зручна для знаходження невідомого кута або сторони, що протилежить цьому куту, і читається наступним чином: «у сферичному трикутнику косинус сторони дорівнює добутку косінусів двох інших сторін плюс добуток синусів цих сторін на косинус кута між ними»

Для частини наших клієнтів купівля ювелірних виробів на замовлення – вигідне вкладення у сімейний капітал, стабільне майбутнє дітей та онуків. Для інших клієнтів, особливо прекрасних дам, ексклюзивні прикраси – це ще один спосіб підкреслити свій стиль, красу та завидний суспільний статус. Для чоловіків – варіант продемонструвати обраниці любов та увагу.

Г.П. МатвієвськаСферика та сферична тригонометрія в давнину та на середньовічному сході / Розвиток методів астрономічних досліджень. Вип.8, Москва-Ленінград, 1979

Г.П. Матвієвська

Сферика та сферична тригонометрія в давнину та на середньовічному сході

1. У давнину й у середні віки потреби астрономії служили найважливішим стимулом розвитку багатьох галузей, математики і передусім сферичної тригонометрії, яка була математичний апарат на вирішення конкретних астрономічних завдань. У міру розвитку астрономії, ускладнення її проблем та підвищення вимог до точності обчислень цей апарат поступово вдосконалювався та відповідно збагачувався вміст сферичної тригонометрії. Вона викладалася й у астрономічних трактатах - як вступний розділ астрономії, - й у спеціальних математичних працях.

Особливого значення для історії сферичної тригонометрії мають давньогрецькі твори про сферику - науку, яка включала елементи астрономії, геометрії на сфері та тригонометрії. Вже до IV ст. до зв. е. вона набула повного розвитку і розглядалася як допоміжна астрономічна дисципліна. Найбільш ранні відомі зараз праці у сфері були написані в період IV ст. до зв. е. - І ст. н. е. такими видатними вченими давнини, як Аутолік, Евклід, Теодосій, Гіпсікл, Менелай.

Ці твори дозволяють наочно познайомитися з початковим етапом розвитку сферичної тригонометрії.

Всі результати, отримані греками в галузі астрономії та тригонометрії, були, як відомо, узагальнені у ІІ. у праці Птолемея, під назвою «Математичні збори в 13 книгах». Пізніше, ймовірно, у III ст., він був названий «великою» книгою, звідки в середні віки і сталася загальноприйнятою назва «Альмагест»: так вимовлялося латинською слово «ал-маджісті» - арабізована форма від «мегісте» (сама велика).

На противагу «великій» книзі Птолемея твори його попередників, необхідних астрономічних обчислень і об'єднані в пізно-елліністичний період (не пізніше IV ст.) в одну збірку, отримали назву «Малої астрономії». Їх слід було вивчати після «Початку» Евкліда, щоб можна було зрозуміти «Альмагест». В арабській літературі тому вони фігурують за назвою «середніх книг» (кутуб ал-мутавасіта).

До цієї збірки відносяться праці Евкліда «Дані», «Оптика», «Феномени» та псевдоевклідова «Катоптрика», твори Архімеда («Про кулю і циліндр», «Вимір кола», «Лемми»), Аристарха («Про величини та відстані»). Сонця і Місяця»), Гіпсікла («Про сходження сузір'їв по екліптиці»), Аутоліка («Про сферу, що рухається», «Про схід і захід нерухомих зірок»), Теодосія («Сферика», «Про дні і ночі», «Про житлах») та Менелая («Сферика»). Твір Менелая було додано до «Малої астрономії», можливо, пізніше.

Арабський переклад «середніх» книжок і, зокрема, творів про сферику виник серед перших перекладів праць класиків грецької науки. Пізніше вони неодноразово коментувалися. Серед перекладачів і коментаторів можна назвати таких видатних вчених, як Коста ібн Лука (IX ст.), ал-Махані (IX ст.), Сабіт ібн Корра (X ст.), Ібн Ірак (X-XI ст.), Насір пекло -Дін ат-Тусі (XIII ст.) та ін.

До грецької «Малої астрономії» східні вчені додали пізніше твори «Про вимір фігур» Бану Муса, «Дані» та «Книгу про повного чотиристоронника» Сабіта ібн Корри», «Трактат про повного чотиристоронника» Насір ад-Діна ат-Тусі.

Необхідність глибокого знайомства з «середніми» книгами добре зізнавалася східними математиками та астрономами та підкреслювалася навіть у XVII ст. у широко відомої бібліографічної енциклопедії Хаджжі Халіфи «Зняття покривала з назв книг та наук». Текст цих трактатів, а також коментарів до них зберігся у численних арабських рукописах. До них належить, наприклад, рукописний збірник, що не вивчався ще ніким, що зберігається в Державній Публічній бібліотеці ім. M. Є. Салтикова-Щедріна в Ленінграді (збори Ханикова, № 144).

Ще в 1902 р. відомий історик математики А. Бйорнбо з жалем зазначав, що надто мало приділяється уваги тій галузі античної науки, яку можна визначити, як "введення в астрономію" і яка відображена в "середніх" книгах. Особливо він наполягав на необхідності повноцінного критичного видання тексту творів і поставив у зв'язку з цим питання вивчення їх арабських версій. Велика заслуга у дослідженні «малої астрономії» належить самому А. Бйорнбо, і навіть Ф. Гульчу, І.Л. Гейбергу, П. Таннері, А. Чваліне, Ж. Можене та ін. Однак і досі у зазначеному напрямі зроблено ще далеко не все. Це стосується особливо «середніх» книг у арабській інтерпретації.

Вчені східного середньовіччя нерідко робили суттєві доповнення до грецьких праць, пропонували свої власні докази теорем, а іноді вносили в античну теорію нові ідеї. З цієї точки зору великої уваги заслуговують арабські версії праць, присвячених сфериці. Особливо важливим є вивчення коментарів до твору Менелая, складених Абу Насром ібн Іраком і Насір ад-Діном ат-Тусі, які відіграли значну роль в історії сферичної тригонометрії.

2. Найбільш давніми з творів, що дійшли до нас, про сферику - і, взагалі, з математичних творів греків - є трактати Аутоліка з Пітани (бл. 310 р. до н. е..) «Про сферу, що обертається» і «Про сходи і заходи». Обидва вони стосуються питань геометрії на сфері щодо астрономії.

Аутолік вивчає сферу, що обертається навколо осі, та кругові перерізи на ній: великі кола, що проходять через обидва полюси, малі кола, отримані при перерізі сфери площинами, перпендикулярними до осі, та великі кола, що проходять похило до неї. Рух точок цих кіл розглядається стосовно деякої фіксованої січної площини, що проходить через центр. Легко побачити тут модель небесної сфери з небесними меридіанами, паралелями, екватором, екліптикою та горизонтом. Виклад, однак, ведеться суто геометричною мовою, і астрономічні терміни не застосовуються.

У творі «Про сферу, що рухається», що містить 12 пропозицій, Аутолік вводить поняття рівномірного руху («точка рухається рівномірно, якщо за рівні часи вона проходить рівні, шляхи») і застосовує це поняття до сфери, що обертається. Він показує перш за все, що точки її поверхні, що не лежать на осі, при рівномірному обертанні описують паралельні кола з тими ж полюсами, що й у сфери, і з площинами, перпендикулярними до осі (пропозиція 1). Далі доведено, що за рівний час всі точки поверхні описують подібні дуги (пропозиція 2) і назад, тобто якщо дві дуги паралельних кіл пройдені за рівний час, то вони подібні (пропозиція 3).

Ввівши поняття горизонту - великого кола, яке відокремлює видиму для спостерігача, що знаходиться в центрі сфери, частину цієї сфери від невидимої, - Аутолік розглядає рух точок поверхні по відношенню до нього. Досліджуються різні можливі положення горизонту, коли він перпендикулярний до осі, проходить через полюси та нахилений до осі. У першому випадку (який має місце на земному полюсі) жодна точка поверхні сфери при рівномірному обертанні не буде висхідною або західною; всі точки видимої частини завжди залишаються видимими, проте крапки невидимої частини - невидимими (пропозиція 4).

У другому випадку, що має місце на екваторі землі, всі точки поверхні сфери сягають і заходять, перебуваючи однаковий час над горизонтом та під ним (пропозиція 5).

Нарешті, в останньому - загальному випадку горизонт стосується двох рівних паралельних кіл, з яких лежить у видимого полюса завжди бачимо, а інший завжди невидимий (пропозиція 6). Точки поверхні, що знаходяться між цими колами сходять і заходять, причому завжди проходять через ті самі точки горизонту, рухаючись по колах, перпендикулярним до осі і похилим до горизонту під одним і тим же кутом (пропозиція 7). Кожне велике коло, фіксоване на поверхні сфери, що стосується тих же паралельних кіл, що й обрій, при обертанні сфери збігатиметься з горизонтом (пропозиція 8). Крім того, встановлено, що якщо горизонт розташований похило до осі, то з двох точок, що сходять одночасно, заходить пізніше та, яка ближче до видимого полюса: якщо ж дві точки заходять одночасно, то розташована ближче до видимого полюса сходить раніше.

Показавши далі, що у разі, коли горизонт розташований похило до осі, велике коло, що проходить через полюси сфери (тобто меридіан), за час її обороту двічі виявиться перпендикулярним до горизонту (пропозиція 10), Аутолік формулює та доводить теорему (пропозиція 11), у якій сутнісно розглядається екліптика. Йдеться про те, як схід і захід точок, що лежать на цьому великому колі, залежить від його положення щодо горизонту. Доведено, що якщо обидва вони нахилені до осі, причому екліптика стосується двох паралельних між собою і перпендикулярних до осі кіл на сфері, більших за ті, яких стосується обрій, то точки екліптики завжди будуть мати свої сходи і заходи на відрізку горизонту, що лежить між паралельними колами, що стосуються екліптики.

В останній пропозиції стверджується: якщо фіксоване коло на поверхні сфери завжди ділить навпіл інше коло, що обертається разом зі сферою, причому обидва не перпендикулярні до осі і не проходять через полюси, то вони є великими колами.

Трактат Аутоліка «Про сходи та заходи», що складається з двох книг, базується на розглянутому творі. У ньому описано рух нерухомих зірок (книга 1), причому особлива увага приділяється дванадцяти сузір'ям, розташованим на; екліптики (книга II). З'ясовується, коли сходять і заходять зірки, що мають різне становище на небесній сфері, і за яких обставин вони є видимими чи невидимими.

Твори Аутолика про сферику, що мали характер елементарних підручників, не втрачали актуальності ні в давнину, ні в середні віки. Зміст трактату «Про сферу, що рухається» виклав у 6-ій книзі своїх «Математичних зборів» Папп Олександрійський (III ст. н. е.). Про значимість ролі Аутоліка у розвитку науки писали у VI ст. Сімплікій та Іоанн Філопон. Грецький текст обох його творів повністю зберігся донині.

Арабською мовою праці Аутолика були переведені в IX-початку X ст. серед перших грецьких творів, викликали інтерес східних учених. Переклад трактату «Про сферу, що рухається» з грецького оригіналу здійснив відомий перекладач Ісхак ібн Хунайн (пом. 910/911 рр.). Його сучасник астроном, філософ і лікар Куста ібн Лука ал-Баалбакі (пом. 912 р.) переклав трактат «Про схід і заходи». Ці переклади тоді були переглянуті знаменитим математиком і астрономом Сабітом ібн Коррой (пом. 901 р.). Пізніше, у XIII ст. твори Аутоліка прокоментував видатний учений, глава Марагінської обсерваторії Насір ад-Дін ат-Тусі (1201 – 1274).

У Європі арабські версії праць Аутоліка стали відомі у XII ст. До цього часу відноситься латинський переклад трактату «Про сферу, що рухається», виконаний найбільшим середньовічним перекладачем Герардо Кремонським (1114-1187 рр.).

Грецький текст творів Аутолика, що зберігся у кількох рукописах X-XV ст., привернув увагу вчених у XVI в., як у Європі під впливом ідей гуманізму почалося уважне вивчення античної наукової спадщини. Вперше латинська; переклад обох трактатів з грецького оригіналу був опублікований в енциклопедії італійського просвітителя Георгія Бали (G. Valla, бл. 1447-1500) у 1501 р., а потім - у збірці стародавніх творів про сферику, який видав у 1558 р. у Мессіно (F. Maurolico, 1494-1575).

Активна робота з видання математичних та астрономічних праць давніх авторів велася у цей період у Франції, де її було розпочато з ініціативи одного з відомих діячів французького Відродження, пристрасного пропагандиста античної науки П. Рамуса (P. Ramus, Pierre de la Ramée, 1515-1572) ); Йому було присвячене перше грецьке видання творів Аутоліка, здійснене Конрадом Дасіподієм (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600); воно відбулося 1572 р. у Страсбурзі разом із латинським перекладом. Інший учень Рамуса П. Форкадель (Pierre Forcadel, бл. 1520-1574) видав 1572 р. французький переклад обох трактатів Аутоліка.

У 1587-1588 р.р. з'явилося ще одне латинське видання, виконане І. Ауріа (I. Auria) за декількома грецькими рукописами з бібліотеки Ватикану, а в 1644 р. М. Мерсенн (М. Мегsenn, 1588-1648) опублікував у скороченому вигляді латинський переклад творів Аутоліка в числі інших грецьких праць з математики та астрономії.

Повне критичне видання грецького тексту трактатів Аутоліка разом із латинським перекладом було здійснено 1855 р. Ф. Гульчем. Воно стало основою німецького перекладу А. Чваліни, що вийшов 1931 р.

Нарешті, нове видання грецького тексту, засноване на досконалому вивченні всіх рукописів, що збереглися, зробив Ж. Можене в 1950 р.; тексту надіслано ґрунтовне дослідження історії європейських видань праць Аутоліка. У 1971 р. у Бейруті було опубліковано англійський переклад цього тексту, який викликав, однак, серйозну критику О. Нейгебауера.

Твори Аутоліка привертають увагу багатьох істориків астрономії та математики. Вивчається як теорія Аутоліка, і текст його творів. Показано, наприклад, що дві книги, що становлять «Про схід і заходи», є, ймовірно, двома версіями того самого твору.

Найменш вивченими досі залишаються арабські версії трактатів Аутоліка, які входили до числа «середніх книг», хоча існують у численних рукописах, які у різних бібліотеках Європи та Азії.

3. У другій половині IV ст. до зв. е.., з'явилося ще одне твір про сферику, близьке за змістом до праць Аутолика і написане його молодшим сучасником Евклідом, прославленим автором «Почав». У цьому трактаті, під назвою «Феномени», Евклід багато в чому повторює попередника, але зв'язок сферики з практичною астрономією виражений у нього набагато виразніше.

"Феномени" Евкліда складаються з 18 пропозицій. У першому сформульовано твердження, що лежить в основі геоцентричної системи світу, про те, що Земля приймається за центр всесвіту. Оскільки положення спостерігача на земній поверхні слід вважати довільним, то з цього твердження випливає, що до всього всесвіту Земля розглядається, як точка, в якій розташований спостерігач.

Повторивши в 2-му і 3-му реченнях сьому теорему Аутоліка з трактату «Про сферу, що рухається» Евклід переходить до вивчення сходів і заходів знаків зодіаку - 12 сузір'їв, розташованих на екліптиці, тобто кожної з дванадцяти дуг, екліптики, рівних ° і умовно відповідних цим сузір'ям. Він доводить (пропозиція 4), що й екліптика не перетинається з найбільшим із завжди видимих ​​кіл на небесній сфері, т. е. якщо широта місця спостереження менше 66°, то сузір'я, висхідні першими, заходять також першими; якщо ж вона перетинається з ним, тобто якщо широта місця спостереження більше 66 °, то сузір'я, розташовані на північ, сходять раніше і заходять пізніше, ніж ті, що знаходяться на південь (пропозиція 5). Таким чином, особливості сходу та заходу сузір'я залежать від широти місця спостереження, тобто від величини кута між віссю світу та горизонтом.

Показавши далі, що сходи і заходи зірок, розташованих на протилежних кінцях діаметра екліптики, протилежні один одному (пропозиція 6) Евклід роз'яснює одинадцяту теорему з трактату «Про сферу, що рухається» Аутолика: зірки, розташовані на екліптиці, при своїх сходах і заходах перетинають , укладену між тропіками, причому це перетин відбувається у постійних точках (пропозиція 7).

Потім він доводить, що рівні між собою дуги знаків зодіаку сягають і заходять на нерівних дугах горизонту, тим більших, чим ближче до точок рівнодення вони розташовані; при цьому дуги, однаково віддалені від екватора, сягають і заходять на рівних дугах горизонту (пропозиція 8).

Наступні теореми стосуються тривалості сходів та заходів різних знаків зодіаку. Спочатку встановлено, що час, необхідний сходу половини екліптики, буде різним залежно від положення вихідної точки відліку (пропозиція 9). Це відповідає твердженню про різну тривалість дня і ночі у різні сезони року, коли Сонце знаходиться у різних знаках зодіаку. Потім розглядається час, необхідний сходу і заходу рівних і протилежних знаків зодіаку.

Вирішення питань, порушених Евклідом, було надзвичайно важливим для древніх астрономів, оскільки воно стосувалося методів визначення години дня і ночі, встановлення календаря тощо.

4. Отже, у розглянутих творах Аутолика і Евкліда викладалися основи давньогрецької сферики - як теоретичної, і практичної. Однак обидва автори дотримувалися якогось більш раннього зразка, оскільки навели низку пропозицій щодо сфери без доказу, вважаючи, мабуть, їх відомими. Можливо, що автором такої загальновизнаної на той час праці про сферику був великий математик і астроном Євдокс Кнідський (бл. 408-355 рр. до н. е.).

Про цей втрачений твор зараз судять по «Сфериці» Теодосія, написаної пізніше, але, безсумнівно, повторює його зміст.

5. Щодо часу життя та біографії Теодосія існують різні думки, що спираються на часто суперечливі повідомлення стародавніх істориків, які помилково об'єднували в одній особі кількох діячів, які мали це ім'я. В даний час встановлено, що автор «Сферики» походив з Бітінії, а не з Тріполі, як вважалося раніше і було вказано в назві багатьох видань його праць. Жив він, ймовірно, у другій половині II ст. до зв. е., хоча його зазвичай називали сучасником Цицерона (бл. 50 р. до н. е.).

Крім «Сферики», в грецькому оригіналі збереглися ще два твори Теодосія, які також входили до числа «середніх книг». Найбільший трактат "Про житла" включає 12 пропозицій і присвячений опису зоряного неба з погляду спостерігачів, що знаходяться на різних географічних широтах. У другому трактаті, під назвою «Про дні і ночи» і що складається з двох книг, розглядається дуга екліптики, яку проходить сонце за один день, і досліджуються умови, необхідні, наприклад, для того, щоб при рівноденнях день і ніч дійсно дорівнювали одна одній.

Ці твори вивчалися і коментувалися багатьма арабськими вченими, а Європі привернули увагу XVI в., коли було виявлено їхні грецькі рукописи. Перший видав у латинському перекладі в 1558 р. Ф. Мавролико разом із низкою інших творів про сферику , та був у 1572 р. До Дасиподий опублікував грецькі і латинські формулювання теорем з цього трактату у згадуваній вище книзі. У тому ж 1572 вийшов французький переклад твору Теодосія у версії Дасіподія, виконаний П. Форкаделем. Наступні латинські видання були здійснені в 1587 (І. Ауріа) і в 1644 (М, Мерсен). Повний грецький текст трактату «Про житла» разом із латинським перекладом було опубліковано лише 1927 р. Р. Фехтом. У тому ж виданні вперше відтворюється також оригінальний текст твору «Про дні та ночі» та його латинський переклад. Раніше воно було відоме завдяки опублікованим у 1572 р. К. Дасіподієм формулюванням пропозицій грецькою та латинською мовами та повному латинському перекладу у виданні І. Ауріа.

Найбільшу славу з праць Теодосія здобула його «Сферика», яка займає важливе місце в історії астрономії, сферичної тригонометрії та неевклідової геометрії.

Теодосій докладно вивчає властивості ліній лежить на поверхні сфери, одержуваних під час перерізу її різними площинами. Слід наголосити, що сферичний трикутник у нього ще не фігурує. Твір побудований на зразок «Початок» Евкліда і складається з трьох книг. Перша книга, що включає 23 пропозиції, починається із шести визначень. Сфера визначається як «тілесна фігура, обмежена однією поверхнею, так що всі прямі лінії, що падають на неї з однієї точки, що лежить усередині фігури, рівні між собою», тобто аналогічно тому, як визначено коло в «Початках» (книга I, 15-е визначення); Цікаво відзначити, що сам Евклід у книзі XI «Початок» визначає сферу інакше – як тіло, утворене обертанням півкола навколо нерухомого діаметра (книга XI, 14-те визначення). Далі дано визначення центру сфери, її осі та полюсів. Полюс кола, проведеного у сфері, визначається як. така точка на поверхні сфери, що всі прямі, проведені через неї до кола кола, рівні між собою. Нарешті, шосте визначення стосується кіл на сфері, рівновіддалених від її центру: згідно з Теодосієм, це такі кола, що перпендикуляри, проведені з центру сфери до їх площин, рівні між собою.

Пропозиції книги 1 є досить елементарними: доведено; зокрема, що будь-який переріз сфери площиною є коло, що пряма, проведена з центру сфери до центру кругового перерізу, перпендикулярна площині цього перерізу, що сфера та площина мають одну точку торкання тощо.

Друга книга «Сферики» Теодосія починається визначенням двох кіл на сфері, що стосуються один одного, і містить 23 пропозиції про властивості кіл, похилих один до одного.

Третя книга складається з 14 пропозицій, складніших, ніж попередні, і які стосуються систем паралельних і пересічних кіл у сфері. Тут з'ясовується службова роль сферики стосовно астрономії, хоча всі теореми сформульовані і доведені чисто геометрично.

«Сферику» Теодосія уважно вивчали і в давнину і в середні віки. Її коментував Папп Олександрійський (III ст.) у 6-й книзі своїх «Математичних зборів». У VI ст. Іоанн Філопон, розглядаючи твори про сфери Евкліда, Аутоліка і Теодосія, зазначає, що останній дає найбільш загальний абстрактний виклад предмета, повністю відволікаючись від реальних астрономічних об'єктів. Аутолік, на його думку, розглядає більш окремий випадок, оскільки «навіть якщо автор не має на увазі жодного конкретного об'єкта, то завдяки об'єднанню сферичної фігури та руху він наближається до реальності». Найбільш спеціальне питання трактується у «Феноменах» Евкліда, оскільки об'єкти, вивчені астрономією - небо, сонце, зірки, планети - цілком реальні.

Арабською мовою «Сферику» Теодосія вперше переклав у IX ст. Куста ібн Лука ал-Баалбакі; його переклад, доведений до 5-го речення II книги, був завершений Сабітом ібн Коррою ал-Харрані.

Існують численні коментарі до цього, як і до інших творів Теодосія, складені східними вченими XIII-XV ст. , серед яких можна назвати таких великих математиків і астрономів, як Насір ад-Дін ат-Тусі (1201 - 1274), Йахья ібн Мухаммед ібн Абі Шукр Ма"руф ібн Ахмад Такі ад-Дін (1525/1526-1585) та ін.

Обробка "Сферики" Теодосія, що належить представнику знаменитої Марагінської наукової школи XIII ст. Мухи ад-Діну ал-Магрібі, була досліджена і частково перекладена французькою мовою Б. Kappa де Во. У цьому трактаті привертає увагу астрономічна термінологія, яка застосовується при викладі і доказі теорем Теодосія. Таким чином, тут ще виразніше, ніж у грецькому оригіналі виступає зв'язок сферики з астрономією, що пояснює її актуальність для східної науки.

У Європі «Сферика» Теодосія стала відома в XII ст., коли з'явилися два латинські переклади цього твору з його арабської версії. Вони були виконані видатними перекладачами, які працювали в Іспанії, Герардо Кремонським та Платоном з Тіволі. Переклад останнього був опублікований 1518 р. у Венеції, згодом перевиданий 1529 р. в редакції І. Фогеліна (I. Voegelin, пом. 1549 р.), а 1558 р. - згадуваній книзі Ф. Мавролико.

Грецький текст «Сферики» вперше видав 1558 р. Ж. Пена разом із латинським перекладом. Це видання дозволило з'ясувати відмінність арабської версії твору Теодосія від оригіналу та встановити, які доповнення та зміни у доказі теорем внесли східні вчені. Однак грецький рукопис, яким користувався Піна, страждав багатьма недоліками. Тому в 1707 р. в Оксфорді І. Хант (I. Hunt) зробив нове покращене видання, внісши деякі виправлення з інших рукописів. Згодом грецький текст твору (також з латинським перекладом) перевидавався ще двічі: у 1862 р. Е. Ніцце та в 1927 р. І. Гейбергом.

Починаючи з 2-ї половини XVI ст., стали з'являтися скорочені та адаптовані видання «Сферики» латинською мовою, в яких теореми роз'яснювалися за допомогою нових математичних понять та з використанням сферичної тригонометрії. У 1586 р. у Римі вийшло видання X. Клавія (Ch. Clavius), а в XVII ст. за ним було кілька інших, у тому числі видання М. Мерсенна (1644 р.) та І. Барроу (1675 р.). символіка.

У 1826 р. "Сферика" була опублікована в німецькому перекладі Е. Ніцце. Друге німецьке видання твору здійснив 1931 р. А. Чваліна (разом із трактатами Аутоліка). Перший французький переклад «Сферики», виконаний Д. Генріоном (D. Henrion), вийшов 1615 р., наступний, що належить Ж.Б. Дюгамелю (J. Ст Du Hamel), - в 1660 р.; нарешті, 1927 р. з'явився сучасний переклад П. Вер Ееке (P. Ver Eecke).

Дослідженню тексту та змісту «Сферики» Теодосія присвячені роботи багатьох істориків математики (А. Нокк, І. Гейберг, Ф. Гульч, П. Таннері, А. Б'єрнбо та ін.) Вивчалися, зокрема, численні схолії до цього твору, складені у III-VII ст. і збережені в грецьких рукописах пізнішого часу, розглядалося взаємини між «Сферикою» Теодосія та «Феноменами» Евкліда та іншими працями древніх авторів. Результати цих досліджень дозволили з'ясувати низку питань, що стосуються історії математики та астрономії, а також біографій Евкліда, Аутоліка, Теодосія та деяких коментаторів їх творів.

6. До грецьких праць про сферу за змістом близький невеликий твір Гіпсікла з Олександрії (жил між 200 і 100 рр. до н. е..), під назвою «Про сходження сузір'їв по екліптиці» («Анафорік»). Гіпсикл відомий насамперед як автор трактату про правильні багатогранники, включеного до «Початку» Евкліда як XIV книги; інше його твір-про багатокутні числа, - яке не збереглося, цитується в «Арифметиці» Діофанта.

У трактаті «Про сходження сузір'їв на екліптиці», що складається з шести пропозицій, вирішується завдання про визначення часу, який потрібний для сходу або заходу кожного знака зодіаку, що займає 1/12 частину екліптики, або «градуса», тобто 1/30 частини екліптики. Вона грала важливу роль в астрологічних міркуваннях і користувалася тому великою популярністю в давнину та в середні віки. Завдання можна розв'язати засобами сферичної тригонометрії, але Гіпсікл, який не мав ще таких засобів, вирішив її приблизно, застосовуючи відомі йому теореми про багатокутні числа. У цьому творі вперше зустрічається підрозділ кола на 360 частин, чого не було у його попередників і, зокрема, у Аутоліка.

Трактат Гіпсікла ставився до «середніх книг» і був перекладений арабською мовою в IX ст. Існує чимало рукописів цього перекладу, проте він довго залишався не дослідженим і точно не було встановлено, виконав його Куста ібн Лука, ал-Кінді або Ісхак ібн Хунайн. На латинь арабську версію твору переклав у XII ст. Герардо Кремонський.

Критичне видання грецького оригіналу та латинського перекладу Герардо Кремонського здійснив у 1888 р. К. Маніціус. Друге видання, що вийшло 1966 р., включає грецький текст, схолії та переклад В. Де Фалко, арабський текст та німецький переклад М. Краузе, а також вступну статтю О. Нейгебауера.

7. З усіх давніх творів про сферику найбільшу роль історії науки зіграла «Сферика» Менелая, працював у Олександрії I в. н. е. і узагальнив усі результати, які були отримані у цій галузі до нього. У його творі не лише викладено геометрію на сфері, але вперше введено сферичний трикутник, послідовно доведено теореми, що служили базою сферичної тригонометрії, та створено теоретичну основу для тригонометричних обчислень.

Відомості про життя Менела вкрай убогі. Відомо, що у 98 р. він проводив астрономічні спостереження у Римі. «Сферика», його основний твір, у грецькому оригіналі не збереглася і відома лише за середньовічними арабськими перекладами.

"Сферика" складається з трьох книг і побудована за зразком "Початок" Евкліда. Насамперед вводяться визначення основних понять, зокрема поняття сферичного трикутника, яке зустрічається у ранніх грецьких працях. Значна частина твору присвячена дослідженню властивостей цієї постаті.

За доказом пропозицій про властивості ліній та фігур на сфері він спирається на визначення та теореми із «Сферики» Теодосія. У 2-й книзі ці теореми, а також пропозиції, сформульовані в астрономічній формі у «Феноменах» Евкліда та «Анафориці» Гіпсікла, систематизовані та забезпечені новими суворими доказами.

Особливо важливу роль в історії тригонометрії відіграла 1-а пропозиція книги III, відома під назвою «теореми Менелая» (а також «теореми про повного чотиристоронника», «правила шести величин», «теореми про трансверсали»). За словами А. Браунмюля, вона стала «фундаментом всієї сферичної тригонометрії греків».

Теорема Менела для плоского випадку формулюється наступним чином: нехай дані прямі AB, AC, BE і CD, що взаємно перетинаються, утворюють фігуру ACGB (рис.1); тоді мають місце співвідношення:

СЕ / АЕ = СG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Для сферичного випадку в теоремі фігурують, як було заведено в грецькій тригонометрії, хорди подвоєних дуг. Якщо дана фігура ACGB (рис. 2), утворена дугами великих кіл на поверхні сфери, то справедливі співвідношення:

хорда (2СЕ) / хорда (2АЕ) = хорда (2CG) / хорда (2DG) * хорда (2DB) / хорда (2АВ)

хорда (2АС) / хорда (2АЕ) = хорда (2CD) / хорда (2DG) * хорда (2GB) / хорда (2ВЕ)

Менелай довів також кілька інших теорем, що мають основне значення у розвиток сферичної тригонометрії. До них відноситься так зване «правило чотирьох величин» (2-а пропозиція книги III); якщо дані два сферичні трикутники ABC і DEG (рис. 3), у яких відповідно рівні (або складають у сумі 180°) кути А і D, С і G, то

хорда (2АВ) / хорда (2ВС) = хорда (2DE) / хорда (2EG)

Третя пропозиція III книги «Сферики» Менелая, яка згодом отримала назву «правила тангенсів», говорить; що якщо дано два прямокутні сферичні трикутники ABC і DEG (рис. 4), у яких

хорда (2АВ) / хорда (2АС) = хорда (2ED) / хорда (2GD) * хорда (2ВН) / хорда (2ЕТ)

ЛІТЕРАТУРА

1. Гейберг І.Л. Природознавство та математика у класичній старовині. Переклад із ньому. С.П. Кондратьєва за ред. з передисл. А.П. Юшкевича, М-Л., ОНТІ, 1936.

2. Sarton G. Пристосування давніх і медичних наук протягом Renaissance, Philadelphia, 1953.

3 Steinschneider M. Die "Mittleren" Bücher der Araber та його Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studien über Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik та Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l'édition critique des traités de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex traditione Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. ІІІ. Ex traditione eiusdem. Maurolyci, Sphàericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Theodosii. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxi trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Messanae, 1558.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicae synopsis, Parisiis, 1644.

9. Autо1yсi. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, верба cum scholiis antiquis про libris manuscriptis edidit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Euclidis. Opera Omnia. Ed. J. L. Heiberg та H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Leipzig, 1916.

11. Tannery P. Recherches sur l'histoire sur l'astronomie ancienne, Paris, 1893.

12. Carra de Vaux B. Notice sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sfériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8-е sér., t. 17, 1894, 287-295.

13. Theodosius Tripolites. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N. F., Bd 19, No 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, v. V. De Falco und M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, No 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den Islamischen Mathematikern, Berlin, 1936.

Примітки

Примірник цього рідкісного видання є у Бібліотеці ім. В.І. Леніна.

Примірник є у Бібліотеці АН СРСР.

СФЕРИЧНА ТРИГОНОМЕТРІЯ

тригонометрія, математична дисципліна, що вивчає залежності між кутами та сторонами сферичних трикутників (див. Сферична геометрія). Нехай А, В, С - кути і а, b, с - протилежні їм сторони сферичного трикутника ABC (див. рис.). Кути та сторони сферичного трикутника пов'язані наступними основними формулами С. т.:

cos а cos b cos + sin b sin з cos А, (2)

cos A - cos B cos З + sin B sin З cos a, (21)

sin a cos B cos b sin c - sin b cos з cos А(3)

sin А cos b cos B sin C + sin B cos З cos a ;(31)

у цих формулах сторони а, b, вимірюються відповідними центральними кутами, довжини цих сторін рівні відповідно aR, bR, cR, де R - радіус сфери. Змінюючи позначення кутів (і сторін) за правилом кругової перестановки: А - В - С - А (а - b - с - а) можна написати інші формули С. т., аналогічні зазначеним. Формули С. т. дозволяють за будь-яким трьома елементами сферичного трикутника визначити три інші (вирішити трикутник).

Для прямокутних сферичних трикутників (А 90|, а - гіпотенуза, b, с - катети) формули С. т. спрощуються, наприклад:

sin b sin a sin (1")

cos a cos b cos (2")

sin a cos b cos b sin c .(3")

Для отримання формул, що зв'язують елементи прямокутного сферичного трикутника, можна користуватися наступним мнемонічним правилом (правилом Непера): якщо замінити катети прямокутного сферичного трикутника їх доповненнями і розмістити елементи трикутника (виключаючи прямий кут А) по колу в тому порядку, в якому вони знаходяться в (тобто наступним чином: В, а, С, 90| - b, 90| - с), то косинус кожного елемента дорівнює добутку синусів неприлеглих елементів, наприклад,

cos а sin (90 | - с) sin (90 | - b)

або, після перетворення,

cos а cos b cos (формула 2").

При вирішенні завдань зручні такі формули Деламбра, що пов'язують усі шість елементів сферичного трикутника:

При вирішенні багатьох завдань сферичної астрономії, залежно від необхідної точності, часто виявляється достатнім використання наближених формул: для малих сферичних трикутників (тобто таких, сторони яких малі, порівняно з радіусом сфери), можна користуватися формулами плоскої тригонометрії; для вузьких сферичних трикутників (тобто таких, у яких одна сторона, наприклад, мала в порівнянні з іншими) застосовують такі формули:

або більш точні формули:

С. т. виникла значно раніше за плоску тригонометрію. Властивості прямокутних сферичних трикутників, що виражаються формулами (1")-(3"), та різні випадки їх вирішення були відомі ще грецьким вченим Менелаю (1 ст.) та Птолемею (2 ст.). Рішення косокутних сферичних трикутників грецькі вчені зводили до розв'язання прямокутних. Азербайджанський вчений Насіреддін Туей (13 ст) систематично розглянув усі випадки вирішення косокутних сферичних трикутників, вперше вказавши рішення у двох найважчих випадках. Основні формули косокутних сферичних трикутників були знайдені арабським ученим Абу-ль-Вефа (10 ст.) [Формула (1)], німецьким математиком І. Регіомонтаном (середина 15 ст.) [Формули типу (2)], французьким математиком Ф. Вієтом (2-я половина 16 ст.) [Формули типу (21)] та Л. Ейлером (Росія, 18 ст.) [Формули типу (3) і (31)]. Ейлер (1753 і 1779) дав всю систему формул С. т. Окремі зручні для практики формули С. т. були встановлені шотландським математиком Дж. Непером (кінець 16 – початок 17 ст.), англійським математиком Г. Брігсом (кінець 16 – початок 17 ст.), Російським астрономом А. І. Лекселем (2-я половина 18 ст.), Французьким астрономом Ж. Деламбром (кінець 18 - початок 19 ст.) та ін.

Літ. див. при ст. Сферична геометрія.

Велика радянська енциклопедія, БСЕ. 2012

Дивіться ще тлумачення, синоніми, значення слова і що таке СФЕРИЧНА ТРИГОНОМЕТРІЯ в російській мові в словниках, енциклопедіях та довідниках:

• СФЕРИЧНА ТРИГОНОМЕТРІЯ
  
• СФЕРИЧНА ТРИГОНОМЕТРІЯ
  область математики, в якій вивчаються залежності між сторонами та кутами сферичних трикутників (тобто трикутників на поверхні сфери), що утворюються при …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Великому енциклопедичному словнику:
  (Від грец. Trigonon - трикутник і метрія) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ
  (Від грец. Trigonon - трикутники - метрія), розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона.
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Сучасному енциклопедичному словнику:
  
• ТРИГОНОМЕТРІЯ
  (від грецького trigonon - трикутник і метрія), розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Окремі …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Енциклопедичному словничку:
  і, багато. ні, ж. Розділ математики, що вивчає співвідношення між сторонами та кутами трикутника. Тригонометричний - відноситься до тригонометрії. | | Порівн. Алгебра, …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Енциклопедичному словнику:
  , -і, ж. Розділ математики, що вивчає співвідношення між сторонами та кутами трикутника. II дод. тригонометричний, -а, …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ
  ТРИГОНОМЕТРІЯ (від грец. Trigonon - трикутник і метрія), розділ математики, в якому вивчаються тригонометрич. функції та їх застосування до …
• СФЕРИЧНА у Великому російському енциклопедичному словнику:
  СФЕРІЧНА ТРИГОНОМЕТРІЯ, область математики, в якій вивчаються залежності між сторонами і кутами сферич. трикутників (тобто трикутників на поверхні сфери), що утворюються …
• СФЕРИЧНА у Великому російському енциклопедичному словнику:
  СФЕРІЧНА ГЕОМЕТРІЯ, область математики, в якій вивчаються геом. фігури у сфері. Розвиток С.р. в антич. давнину було пов'язано із завданнями …
• СФЕРИЧНА у Великому російському енциклопедичному словнику:
  СФЕРІЧНА АСТРОНОМІЯ, розділ астрономії, що розробляє матем. методи вирішення завдань, пов'язаних з вивченням видимого розташування та руху косміч. тіл (зірок, Сонця, …
• СФЕРИЧНА у Великому російському енциклопедичному словнику:
  СФЕРІЧНА АБЕРРАЦІЯ, спотворення зображення оптич. системах, що з тим, що світлові промені від точкового джерела, розташованого оптич. осі, …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ* в Енциклопедії Брокгауза та Єфрона.
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Повній акцентуйованій парадигмі щодо Залізняка:
  тригономе"трія, тригономе"трії, тригономе"трії, тригономе"трій, тригономе"трії, тригономе"тріям, тригономе"трію, тригономе"трії, тригономе"трією, тригономе"трією, тригономе"тріями, тригономе"трії, …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Новому словнику іноземних слів:
  (Гр. Trigonon трикутник + ...метрія) розділ математики, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування до вирішення завдань, гл. обр. геометричних; …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Словнику іноземних виразів:
  [Гр. trigonon трикутник + ...метрія] розділ математики, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування до розв'язання задач, гол. обр. геометричних; т. …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Новому тлумачно-словотвірному словнику російської Єфремової:
  
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Повному орфографічному словнику російської:
  тригонометрія, …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Орфографічному словнику:
  тригонометрію, …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Словнику російської Ожегова:
  розділ математики, що вивчає співвідношення між сторонами та кутами …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Словнику Даля:
  грец. математика трикутників; наука обчислюватиме за допомогою побудови трикутників. -трична зйомка та тріангуляція, зйомка місцевості по …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Сучасному тлумачному словнику, Вікіпедія:
  (Від грец. Trigonon - трикутник і …метрія), розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Тлумачному словнику російської Ушакова:
  тригонометрії, мн. ні, ж. (Від грец. Trigonos - трикутник і metroo - мірю) (мат.). Відділ геометрії про співвідношення між сторонами.
• ТРИГОНОМЕТРІЯ в Тлумачному словнику Єфремової:
  тригонометрія ж. Розділ математики, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування до вирішення …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Новому словнику російської Єфремової:
  ж. Розділ математики, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування до вирішення …
• ТРИГОНОМЕТРІЯ у Великому сучасному тлумачному словнику російської мови:
  ж. Розділ математики, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування до вирішення …
• СФЕРИЧНА ГЕОМЕТРІЯ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
  Геометрія, математична дисципліна, що вивчає геометричні образи, що знаходяться на сфері, подібно до того, як планиметрія вивчає геометричні образи, що знаходяться на площині. Будь-яка …
• Бонсай в Ілюстрованій енциклопедії кольорів:
  Стилі бонсай У природі зовнішній вигляд дерев формується залежно від їхнього місця зростання і під впливом природних факторів. Стовбур …
• КУЛЯ в Ілюстрованій енциклопедії зброї:
  СФЕРИЧНА - див.
• ПОДДУГА у Тлумачному будівельно-архітектурному словнику:
  - сферична поверхня, розташована над карнизом у приміщенні. Паддуга створює перехід від площини стіни до поверхні.
• АНЧОУСИ в Енциклопедії Біологія:
  , Рід сім сім. анчоусових отр. сільдеподібних. 8 видів, поширені у прибережних морських водах тропічної та помірної зони обох півкуль. …
• ЧУМАКОВ ФЕДОР ІВАНОВИЧ
  Чумаков (Федор Іванович) – професор прикладної математики в Московському університеті (1782 – 1837). Син ротмістра, він був прийнятий до …
• САВИЧ ОЛЕКСІЙ МИКОЛАЄВИЧ в Короткій біографічній енциклопедії:
  Савич (Олексій Миколайович, 1810 – 1883) – відомий російський астроном, член Академії Наук (з 1862 року); 1829 року закінчив …
• ЗЕЛЕНЕ НАСІННЯ ІЛЛІЧ в Короткій біографічній енциклопедії:
  Зелена (Семен Ілліч) - адмірал (1810 - 1892). Виховувався у морському корпусі. Астрономічну освіту свою закінчив у Юр'єві, під орудою …
• ТРИКУТНИК (У ГЕОМЕТРІЇ) у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
  прямолінійний, частина площини, обмежена трьома відрізками прямих (сторони Т.), що мають попарно по одному загальному кінцю (вершини Т.). Т., у якого …
• СФЕРИЧНИЙ ТРИКУТНИК у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
  трикутник, геометрична фігура, утворена дугами трьох великих кіл, що з'єднують попарно три якісь точки на сфері. Про властивості С. т. та …
• СФЕРА (МАТЕМ.) у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
  (математичний), замкнута поверхня, всі точки якої однаково віддалені від однієї точки (центру С.). Відрізок, що з'єднує центр С. з якоюсь її …
• СУПЕР-ШМІДТ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
  (Нім. Super-Schmidt-Spiegel), система дзеркально-лінзового телескопа, в якій сферична аберація увігнутого сферичного дзеркала виправляється складним поєднанням корекційної платівки Шмідта (див. …

Сферична Тригонометрія в Енциклопедичному словнику:
Сферична тригонометрія - область математики, в якій вивчаютьсязалежності між сторонами та кутами сферичних трикутників (тобто трикутників на поверхні сфери), що утворюються при перетині тривеликих кіл. Сферична тригонометрія тісно пов'язана зі сферичною астрономією.

Визначення «Сферична Тригонометрія» за БСЕ:
Сферична тригонометрія – математична дисципліна, що вивчає залежності між кутами та сторонами сферичних трикутників (див. Сферична геометрія). Нехай A, B, C - кути та a, b, c - протилежні їм сторони сферичного трикутника ABC (див. рис.). Кути та сторони сферичного трикутника пов'язані наступними основними формулами С. т.:

sin a sin A = sin b sin B = sin c sin C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

у цих формулах сторони a, b, c вимірюються відповідними центральними кутами, довжини цих сторін рівні відповідно aR, bR, cR де R - радіус сфери. Змінюючи позначення кутів (і сторін) за правилом кругової перестановки:
A → B → C → A (a → b → c → a) можна написати інші формули С. т., аналогічні зазначеним. Формули С. т. дозволяють за будь-яким трьома елементами сферичного трикутника визначити три інші (вирішити трикутник).
Для прямокутних сферичних трикутників (A = 90°, a – гіпотенуза, b, c – катети) формули С. т. спрощуються, наприклад:

sin b = sin a sin В,	(1′)
cos a = cos b cos c,	(2′)
sin a cos B = cos b sin c.	(3′)

Для отримання формул, що зв'язують елементи прямокутного сферичного трикутника, можна користуватися наступним мнемонічним правилом (правилом Непера): якщо замінити катети прямокутного сферичного трикутника їх доповненнями і розташувати елементи трикутника (виключаючи прямий кут A) по колу в тому порядку, в якому вони знаходяться в (тобто наступним чином:, a, C, 90° - b, 90° - c), то косинус кожного елемента дорівнює добутку синусів неприлеглих елементів, наприклад,
cos a = sin (90 ° - с) sin (90 ° - b)
або, після перетворення,
cos а = cos b cos (формула 2′).
При вирішенні завдань зручні такі формули Деламбра, що пов'язують усі шість елементів сферичного трикутника:
sin 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2(b+c)

sin 1⁄2a sin 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
При вирішенні багатьох завдань сферичної астрономії, залежно від необхідної точності, часто виявляється достатнім використання наближених формул: для малих сферичних трикутників (тобто таких, сторони яких малі, порівняно з радіусом сфери), можна користуватися формулами плоскої тригонометрії; для вузьких сферичних трикутників (тобто таких, у яких одна сторона, наприклад, мала в порівнянні з іншими) застосовують такі формули:

(1′″)

a cos B ≈ c−b

+

aІ 2

sinI B tg c

.

(3′″)

С. т. виникла значно раніше за плоску тригонометрію. Властивості прямокутних сферичних трикутників, що виражаються формулами (1)-(3), та різні випадки їх вирішення були відомі ще грецьким вченим Менелаю (1 ст) та Птолемею (2 ст). Рішення косокутних сферичних трикутників грецькі вчені зводили до розв'язання прямокутних. Азербайджанський вчений Насіреддін Туей (13 ст) систематично розглянув усі випадки вирішення косокутних сферичних трикутників, вперше вказавши рішення у двох найважчих випадках. Основні формули косокутних сферичних трикутників були знайдені арабським ученим Абу-ль-Вефа (10 ст.) [Формула (1)], німецьким математиком І. Регіомонтаном (середина 15 ст.) [Формули типу (2)], французьким математиком Ф. Вієтом (2-я половина 16 ст.) [Формули типу (21)] та Л. Ейлером (Росія, 18 ст.) [Формули типу (3) і (31)]. Ейлер (1753 і 1779) дав всю систему формул С. т. Окремі зручні для практики формули С. т. були встановлені шотландським математиком Дж. Непером (кінець 16 – початок 17 ст.), англійським математиком Г. Брігсом (кінець 16 – початок 17 ст.), Російським астрономом А. І. Лекселем (2-я половина 18 ст.), Французьким астрономом Ж. Деламбром (кінець 18 - початок 19 ст.) та ін.
Літ. див. при ст. Сферична геометрія.
Мал. до ст. Сферична тригонометрія.