Cấp số cộng của công thức tìm d. Làm việc độc lập theo cặp

Cấp tiến số học và hình học

Thông tin lý thuyết

Thông tin lý thuyết

	Cấp số cộng	Cấp số nhân
Sự định nghĩa	Cấp số cộng MỘT là một dãy trong đó mỗi phần tử, bắt đầu từ phần tử thứ hai, bằng phần tử trước đó được cộng vào cùng một số d (d- sự khác biệt về tiến triển)	Cấp số nhân b n là một dãy các số khác 0, mỗi số hạng của nó bắt đầu từ số thứ hai bằng số hạng trước đó nhân với cùng một số q (q- mẫu số của sự tiến triển)
Công thức lặp lại	Đối với bất kỳ tự nhiên N một n + 1 = một n + d	Đối với bất kỳ tự nhiên N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Công thức số hạng thứ n	một n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Đặc tính đặc trưng
Tổng của n số hạng đầu tiên

Ví dụ về nhiệm vụ có nhận xét

Bài tập 1

Trong cấp số cộng ( MỘT) một 1 = -6, một 2

Theo công thức số hạng thứ n:

một 22 = một 1+ d (22 - 1) = một 1+ 21 ngày

Theo điều kiện:

một 1= -6 thì một 22= -6 + 21d.

Cần tìm sự khác biệt của tiến trình:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

một 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Trả lời : một 22 = -48.

Nhiệm vụ 2

Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân: -3; 6;....

Phương pháp thứ nhất (sử dụng công thức số hạng n)

Theo công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Bởi vì b 1 = -3,

Cách 2 (dùng công thức truy hồi)

Vì mẫu số của cấp số cộng là -2 (q = -2), nên:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

B 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Trả lời : b 5 = -48.

Nhiệm vụ 3

Trong cấp số cộng ( a n ) a 74 = 34; một 76= 156. Tìm số hạng thứ bảy mươi lăm của cấp số này.

Đối với một cấp số cộng, tính chất đặc trưng có dạng .

Vì thế:

.

Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:

Trả lời: 95.

Nhiệm vụ 4

Trong cấp số cộng ( một n ) một n= 3n - 4. Tìm tổng của mười bảy số hạng đầu tiên.

Để tìm tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, hai công thức được sử dụng:

.

Cái nào ở trong trong trường hợp này sử dụng thuận tiện hơn?

Theo điều kiện, công thức cho số hạng thứ n của cấp số ban đầu đã biết ( MỘT) MỘT= 3n - 4. Tìm được ngay và một 1, Và số 16 mà không tìm thấy d. Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng công thức đầu tiên.

Đáp án: 368.

Nhiệm vụ 5

Trong cấp số cộng ( MỘT) một 1 = -6; một 2= -8. Tìm số hạng thứ hai mươi hai của cấp số nhân.

Theo công thức số hạng thứ n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = một 1+ 21đ.

Theo điều kiện, nếu một 1= -6 thì một 22= -6 + 21d . Cần tìm sự khác biệt của tiến trình:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

một 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Trả lời : một 22 = -48.

Nhiệm vụ 6

Một số số hạng liên tiếp của cấp số nhân được viết:

Tìm số hạng của cấp số có nhãn x.

Khi giải ta sẽ sử dụng công thức tính số hạng thứ n b n = b 1 ∙ q n - 1 cho sự tiến triển hình học. Thuật ngữ đầu tiên của sự tiến triển. Để tìm mẫu số của cấp số q, bạn cần lấy bất kỳ số hạng nào của cấp số đã cho và chia cho số hạng trước đó. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi có thể lấy và chia cho. Chúng ta thu được q = 3. Thay vì n, chúng ta thay 3 vào công thức, vì cần phải tìm số hạng thứ ba của một cấp số nhân cho trước.

Thay thế các giá trị tìm được vào công thức, chúng ta nhận được:

.

Trả lời : .

Nhiệm vụ 7

Từ cấp số cộng, được cho bởi công thức số hạng thứ n, chọn số hạng thỏa mãn điều kiện một 27 > 9:

Vì điều kiện đã cho phải được thỏa mãn đối với số hạng thứ 27 của cấp số nhân, nên chúng ta thay thế 27 thay cho n trong mỗi cấp số trong bốn cấp số nhân. Ở cấp độ thứ 4, chúng ta nhận được:

.

Trả lời: 4.

Nhiệm vụ 8

Trong tiến trình số học một 1= 3, d = -1,5. Chỉ định giá trị cao nhất n mà bất đẳng thức đúng MỘT > -6.

Trước khi chúng ta bắt đầu quyết định các bài toán cấp số cộng, hãy xem dãy số là gì, vì cấp số cộng là trương hợp đặc biệt dãy số.

Dãy số là bộ số, mỗi phần tử có cái riêng của nó số seri . Các phần tử của tập hợp này được gọi là thành viên của dãy. Số sê-ri của phần tử trình tự được biểu thị bằng chỉ mục:

Phần tử đầu tiên của chuỗi;

Phần tử thứ năm của dãy;

- phần tử “thứ n” của dãy, tức là phần tử “đứng trong hàng đợi” ở số n.

Có một mối quan hệ giữa giá trị của phần tử thứ tự và số thứ tự của nó. Do đó, chúng ta có thể coi dãy là một hàm có đối số là số thứ tự của phần tử của dãy. Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng trình tự là một hàm của đối số tự nhiên:

Trình tự có thể được thiết lập theo ba cách:

1 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng bảng. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần đặt giá trị của từng thành viên trong chuỗi.

Ví dụ: Ai đó đã quyết định quản lý thời gian cá nhân và bắt đầu bằng việc đếm xem anh ta dành bao nhiêu thời gian cho VKontakte trong tuần. Bằng cách ghi lại thời gian vào bảng, anh ta sẽ nhận được một chuỗi gồm bảy yếu tố:

Dòng đầu tiên của bảng cho biết số ngày trong tuần, dòng thứ hai - thời gian tính bằng phút. Chúng tôi thấy rằng, tức là vào Thứ Hai, Ai đó đã dành 125 phút trên VKontakte, tức là vào Thứ Năm - 248 phút, và tức là vào Thứ Sáu chỉ là 15 phút.

2 . Trình tự có thể được xác định bằng cách sử dụng công thức số hạng thứ n.

Trong trường hợp này, sự phụ thuộc của giá trị của một phần tử chuỗi vào số của nó được thể hiện trực tiếp dưới dạng công thức.

Ví dụ, nếu , thì

Để tìm giá trị của một phần tử trong dãy bằng một số cho trước, chúng ta thay số phần tử đó vào công thức của số hạng thứ n.

Chúng ta làm tương tự nếu cần tìm giá trị của hàm nếu biết giá trị của đối số. Chúng ta thay thế giá trị của đối số vào phương trình hàm:

Nếu, ví dụ, , Cái đó

Hãy để tôi lưu ý một lần nữa rằng theo trình tự, không giống như tùy ý hàm số, đối số chỉ có thể là số tự nhiên.

3 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng công thức biểu thị sự phụ thuộc của giá trị của số thành viên chuỗi n vào giá trị của các thành viên trước đó. Trong trường hợp này, việc chúng ta chỉ biết số thành viên của dãy để tìm giá trị của nó là chưa đủ. Chúng ta cần chỉ định thành viên đầu tiên hoặc một số thành viên đầu tiên của chuỗi.

Ví dụ, hãy xem xét trình tự ,

Chúng ta có thể tìm thấy giá trị của các thành viên trong dãy theo thứ tự, bắt đầu từ phần thứ ba:

Nghĩa là, mỗi lần, để tìm giá trị của số hạng thứ n của dãy, chúng ta quay lại hai số hạng trước. Phương pháp xác định trình tự này được gọi là tái diễn, từ từ Latinh tái diễn- sự trở lại.

Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa một cấp số cộng. Cấp số cộng là trường hợp đặc biệt đơn giản của dãy số.

Cấp số cộng là một dãy số, mỗi phần tử của nó, bắt đầu từ số thứ hai, bằng dãy số trước đó được cộng vào cùng một số.

Số đó được gọi là sự khác biệt của cấp số cộng. Hiệu của một cấp số cộng có thể dương, âm hoặc bằng 0.

Nếu tiêu đề="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} tăng dần.

Ví dụ: 2; 5; số 8; mười một;...

Nếu , thì mỗi số hạng của cấp số cộng nhỏ hơn số hạng trước đó và cấp số cộng là giảm dần.

Ví dụ: 2; -1; -4; -7;...

Nếu , thì tất cả các số hạng của cấp số đều bằng cùng một số và cấp số nhân là đứng im.

Ví dụ: 2;2;2;2;...

Thuộc tính chính của cấp số cộng:

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh.

Chúng ta thấy rằng

, và cùng một lúc

Cộng hai đẳng thức này, ta được:

.

Hãy chia cả hai vế của đẳng thức cho 2:

Vì vậy, mỗi thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ thành phần thứ hai, bằng trung bình số học của hai thành phần lân cận:

Hơn nữa, kể từ khi

, và cùng một lúc

, Cái đó

, và do đó

Mỗi số hạng của cấp số cộng, bắt đầu bằng title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Công thức của số hạng thứ.

Chúng ta thấy rằng các số hạng của cấp số cộng thỏa mãn các quan hệ sau:

và cuối cùng

Chúng tôi có công thức của số hạng thứ n.

QUAN TRỌNG! Bất kỳ phần tử nào của một cấp số cộng đều có thể được biểu diễn thông qua và. Biết số hạng đầu tiên và sự khác biệt của cấp số cộng, bạn có thể tìm thấy bất kỳ số hạng nào của nó.

Tổng n số hạng của một cấp số cộng.

Trong một cấp số cộng tùy ý, tổng các số hạng cách đều các số hạng cực trị bằng nhau:

Xét một cấp số cộng với n số hạng. Đặt tổng n số hạng của tiến trình này bằng .

Trước tiên, hãy sắp xếp các số hạng của cấp số theo thứ tự số tăng dần và sau đó theo thứ tự giảm dần:

Hãy cộng theo cặp:

Tổng trong mỗi ngoặc là , số cặp là n.

Chúng tôi nhận được:

Vì thế, tổng n số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm bằng cách sử dụng các công thức:

Hãy xem xét giải các bài toán cấp số cộng.

1 . Trình tự được cho bởi công thức của số hạng thứ n: . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số cộng.

Hãy chứng minh rằng hiệu giữa hai số hạng liền kề của dãy bằng nhau.

Chúng tôi thấy rằng sự khác biệt giữa hai thành viên liền kề của chuỗi không phụ thuộc vào số lượng của chúng và là một hằng số. Do đó, theo định nghĩa, dãy số này là một cấp số cộng.

2 . Cho cấp số cộng -31; -27;...

a) Tìm 31 số hạng của cấp số nhân.

b) Xác định xem số 41 có được đưa vào cấp số này hay không.

MỘT) Chúng ta thấy rằng ;

Hãy viết công thức của số hạng thứ n cho cấp số nhân của chúng ta.

Nói chung

Trong trường hợp của chúng ta , Đó là lý do tại sao

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số trước đó một lượng bằng nhau.

Chủ đề này thường có vẻ phức tạp và khó hiểu. chỉ số chữ cái nhiệm kỳ thứ n cấp số cộng, sự khác biệt cấp số nhân - tất cả những điều này có phần khó hiểu, vâng... Hãy cùng tìm hiểu ý nghĩa của cấp số cộng và mọi thứ sẽ trở nên tốt hơn ngay lập tức.)

Khái niệm cấp số cộng.

Cấp số cộng là một khái niệm rất đơn giản và rõ ràng. Bạn có nghi ngờ gì không? Vô ích.) Hãy tự mình xem.

Tôi sẽ viết một dãy số còn dang dở:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bạn có thể mở rộng loạt bài này? Những con số nào sẽ đến tiếp theo, sau số năm? Mọi người... à..., tóm lại là mọi người sẽ nhận ra rằng những con số 6, 7, 8, 9, v.v. sẽ đến tiếp theo.

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ. Tôi đưa cho bạn một dãy số còn dang dở:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Bạn sẽ có thể nắm bắt được mẫu, mở rộng chuỗi và đặt tên thứ bảy số lượng hàng?

Nếu bạn nhận ra con số này là 20 thì xin chúc mừng! Bạn không chỉ cảm thấy những điểm chính của tiến trình số học, mà còn sử dụng thành công chúng trong kinh doanh! Nếu bạn chưa tìm ra, hãy đọc tiếp.

Bây giờ hãy dịch những điểm chính từ cảm giác sang toán học.)

Điểm mấu chốt đầu tiên.

Cấp số cộng liên quan đến dãy số.Điều này ban đầu gây nhầm lẫn. Chúng ta đã quen với việc giải phương trình, vẽ đồ thị và tất cả những thứ đó... Nhưng ở đây chúng ta mở rộng chuỗi, tìm số của chuỗi...

Được rồi. Chỉ là lũy tiến là sự làm quen đầu tiên với một nhánh mới của toán học. Phần này được gọi là "Chuỗi" và hoạt động cụ thể với chuỗi số và biểu thức. Hãy làm quen với nó.)

Điểm mấu chốt thứ hai.

Trong một cấp số cộng, số nào cũng khác số trước với số tiền như nhau.

Trong ví dụ đầu tiên, sự khác biệt này là một. Dù bạn lấy số nào thì nó cũng nhiều hơn số trước một đơn vị. Trong thứ hai - ba. Bất kỳ số nào nhiều hơn ba so với số trước đó. Thực ra, chính khoảnh khắc này đã cho chúng ta cơ hội nắm bắt được quy luật và tính toán những con số tiếp theo.

Điểm mấu chốt thứ ba.

Khoảnh khắc này không có gì nổi bật, vâng... Nhưng nó rất, rất quan trọng. Anh ta đây rồi: mỗi số tiến triểnđứng ở vị trí của nó. Có con số đầu tiên, có con số thứ bảy, có con số bốn mươi lăm, v.v. Nếu bạn trộn chúng một cách ngẫu nhiên, họa tiết sẽ biến mất. Cấp số cộng cũng sẽ biến mất. Những gì còn lại chỉ là một dãy số.

Đó là toàn bộ vấn đề.

Tất nhiên, trong chủ đề mới các thuật ngữ và chỉ định mới xuất hiện. Bạn cần phải biết họ. Nếu không bạn sẽ không hiểu nhiệm vụ. Ví dụ: bạn sẽ phải quyết định một số việc như:

Viết sáu số hạng đầu tiên của cấp số cộng (an), nếu a 2 = 5, d = -2,5.

Truyền cảm hứng?) Các chữ cái, một số chỉ mục... Và nhân tiện, nhiệm vụ này không thể đơn giản hơn. Bạn chỉ cần hiểu ý nghĩa của các thuật ngữ và chỉ định. Bây giờ chúng ta sẽ nắm vững vấn đề này và quay trở lại nhiệm vụ.

Điều khoản và chỉ định.

Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số khác với số trước với số tiền như nhau.

Đại lượng này được gọi là . Chúng ta hãy xem xét khái niệm này chi tiết hơn.

Sự khác biệt cấp tiến số học.

Sự khác biệt tiến triển số học là số tiền mà bất kỳ số lũy tiến nào hơn cái trước đó.

Một tâm điểm. Hãy chú ý đến lời nói "hơn". Về mặt toán học, điều này có nghĩa là mỗi số lũy tiến là bằng cách thêm sự khác biệt của cấp số cộng với số trước đó.

Để tính toán, hãy nói thứ hai số của chuỗi, bạn cần phải Đầu tiên con số thêm vào chính sự khác biệt này của một cấp số cộng. Để tính toán thứ năm- sự khác biệt là cần thiết thêm vàoĐẾN thứ tư, tốt, v.v.

Sự khác biệt tiến triển số học Có lẽ tích cực, thì mỗi số trong chuỗi sẽ trở thành số thực nhiều hơn cái trước. Sự tiến triển này được gọi là tăng dần. Ví dụ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ở đây mỗi số được lấy bằng cách thêm số dương, +5 so với trước đó.

Sự khác biệt có thể là tiêu cực, thì mỗi số trong dãy sẽ là ít hơn lần trước. Sự tiến triển này được gọi là (bạn sẽ không tin đâu!) giảm dần.

Ví dụ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ở đây mỗi số cũng thu được bằng cách thêmđến cái trước, nhưng đã số âm, -5.

Nhân tiện, khi làm việc với cấp số nhân, sẽ rất hữu ích nếu xác định ngay bản chất của nó - liệu nó đang tăng hay giảm. Điều này giúp ích rất nhiều cho việc đưa ra quyết định, phát hiện sai sót của bạn và sửa chữa chúng trước khi quá muộn.

Sự khác biệt tiến triển số học thường được ký hiệu bằng chữ cái d.

Làm thế nào để tìm thấy d? Rất đơn giản. Cần phải trừ bất kỳ số nào trong chuỗi trước con số. Trừ. Nhân tiện, kết quả của phép trừ được gọi là "sự khác biệt".)

Chúng ta hãy định nghĩa, ví dụ, dđể tăng tiến trình số học:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Chúng tôi lấy bất kỳ số nào trong chuỗi mà chúng tôi muốn, ví dụ: 11. Chúng tôi trừ nó số trước, những thứ kia. số 8:

Đây là câu trả lời chính xác. Đối với cấp số cộng này, sự khác biệt là ba.

Bạn có thể lấy nó bất kỳ số tiến triển nào, bởi vì cho một sự tiến triển cụ thể d-luôn luôn giống nhau.Ít nhất là ở đâu đó ở đầu hàng, ít nhất là ở giữa, ít nhất là ở bất kỳ đâu. Bạn không thể chỉ lấy số đầu tiên. Đơn giản vì ngay con số đầu tiên không có cái nào trước đó)

Nhân tiện, biết rằng d=3, việc tìm số thứ bảy của cấp số này rất đơn giản. Hãy cộng 3 vào số thứ năm - chúng ta có số thứ sáu, nó sẽ là 17. Hãy cộng ba vào số thứ sáu, chúng ta có số thứ bảy - hai mươi.

Hãy xác định d cho cấp số cộng giảm dần:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tôi nhắc bạn rằng, bất kể dấu hiệu nào, để xác định d cần từ bất kỳ số nào lấy đi cái trước đó. Chọn bất kỳ số lũy tiến nào, ví dụ -7. Con số trước đó của anh ấy là -2. Sau đó:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Hiệu của một cấp số cộng có thể là bất kỳ số nào: số nguyên, phân số, số vô tỷ, bất kỳ số nào.

Các thuật ngữ và chỉ định khác.

Mỗi số trong dãy được gọi là thành viên của một cấp số cộng.

Mỗi thành viên của sự tiến bộ có số riêng của nó. Các con số đều theo thứ tự chặt chẽ, không hề có thủ đoạn nào. Thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư, v.v. Ví dụ, trong lũy ​​tiến 2, 5, 8, 11, 14, ... hai là số hạng đầu tiên, năm là số hạng thứ hai, mười một là số hạng thứ tư, à, bạn hiểu rồi...) Xin hãy hiểu rõ - bản thân những con số có thể hoàn toàn là bất cứ thứ gì, toàn bộ, phân số, số âm, bất cứ thứ gì, nhưng đánh số các con số- theo đúng thứ tự!

Cách viết tiến trình trong nhìn chung? Không có gì! Mỗi số trong một dãy được viết dưới dạng một chữ cái. Để biểu thị một cấp số cộng, chữ cái thường được sử dụng Một. Số thành viên được biểu thị bằng chỉ số ở phía dưới bên phải. Chúng tôi viết các thuật ngữ được phân tách bằng dấu phẩy (hoặc dấu chấm phẩy), như thế này:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,....

một 1- đây là số đầu tiên, số 3- thứ ba, v.v. Không có gì lạ mắt. Loạt bài này có thể được viết ngắn gọn như thế này: (MỘT).

Diễn biến xảy ra hữu hạn và vô hạn.

Tối thượng sự tiến triển có số lượng thành viên hạn chế. Năm, ba mươi tám, sao cũng được. Nhưng - số cuối cùng.

vô hạn sự tiến triển - có số lượng thành viên vô hạn, như bạn có thể đoán.)

Viết ra tiến triển hữu hạn bạn có thể xem qua một loạt bài như thế này, tất cả các thuật ngữ và dấu chấm ở cuối:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Hoặc như thế này nếu có nhiều thành viên:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

TRONG ghi chú ngắn bạn sẽ phải cho biết thêm số lượng thành viên. Ví dụ (dành cho 20 thành viên), như thế này:

(một n), n = 20

Một cấp số vô hạn có thể được nhận biết bằng dấu chấm lửng ở cuối hàng, như trong các ví dụ trong bài học này.

Bây giờ bạn có thể giải quyết các nhiệm vụ. Các nhiệm vụ rất đơn giản, hoàn toàn là để hiểu ý nghĩa của cấp số cộng.

Ví dụ về các nhiệm vụ về cấp số cộng.

Chúng ta hãy xem xét nhiệm vụ được đưa ra ở trên một cách chi tiết:

1. Viết sáu số hạng đầu tiên của cấp số cộng (an), nếu a 2 = 5, d = -2,5.

Chúng tôi dịch nhiệm vụ sang ngôn ngữ dễ hiểu. Một cấp số cộng vô hạn được đưa ra. Số thứ hai của tiến trình này đã được biết: một 2 = 5. Sự khác biệt tiến triển được biết đến: d = -2,5. Chúng ta cần tìm số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ tư, thứ năm và thứ sáu của cấp số nhân này.

Để rõ ràng, tôi sẽ viết ra một chuỗi theo điều kiện của bài toán. Sáu số hạng đầu tiên, trong đó số hạng thứ hai là năm:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

số 3 = một 2 + d

Thay thế vào biểu thức một 2 = 5 Và d = -2,5. Đừng quên điểm trừ!

số 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Số hạng thứ ba hóa ra nhỏ hơn số hạng thứ hai. Mọi thứ đều hợp lý. Nếu số này lớn hơn số trước tiêu cực giá trị, có nghĩa là số đó sẽ nhỏ hơn số trước đó. Sự tiến triển đang giảm dần. Được rồi, hãy tính đến nó.) Chúng tôi đếm số hạng thứ tư trong loạt bài của chúng tôi:

số 4 = số 3 + d

số 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

số 5 = số 4 + d

số 5=0+(-2,5)= - 2,5

số 6 = số 5 + d

số 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Vì vậy, các điều khoản từ thứ ba đến thứ sáu đã được tính toán. Kết quả là dãy sau:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Vẫn còn phải tìm số hạng đầu tiên một 1 theo thứ hai nổi tiếng. Đây là một bước theo hướng khác, về bên trái.) Vì vậy, sự khác biệt của cấp số cộng d không nên thêm vào một 2, MỘT mua mang về:

một 1 = một 2 - d

một 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Đó là nó. Đáp án bài tập:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Nhân tiện, tôi muốn lưu ý rằng chúng tôi đã giải quyết được nhiệm vụ này tái diễnđường. Từ khủng khiếp này chỉ có nghĩa là tìm kiếm một thành viên của sự tiến bộ theo số trước đó (liền kề). Chúng ta sẽ xem xét các cách khác để thực hiện tiến trình bên dưới.

Một kết luận quan trọng có thể được rút ra từ nhiệm vụ đơn giản này.

Nhớ:

Nếu chúng ta biết ít nhất một số hạng và sự khác biệt của một cấp số cộng, chúng ta có thể tìm thấy bất kỳ số hạng nào của cấp số này.

Bạn có nhớ? Kết luận đơn giản này cho phép bạn giải quyết hầu hết các vấn đề khóa học về chủ đề này Mọi công việc đều xoay quanh ba chính thông số: thành viên của một cấp số cộng, hiệu của một cấp số, số thành viên của cấp số cộng. Tất cả.

Tất nhiên, tất cả đại số trước đó không bị hủy bỏ.) Bất đẳng thức, phương trình và những thứ khác gắn liền với cấp số cộng. Nhưng theo sự tiến triển của chính nó- mọi thứ đều xoay quanh ba thông số.

Ví dụ: hãy xem xét một số nhiệm vụ phổ biến về chủ đề này.

2. Viết cấp số cộng hữu hạn dưới dạng một chuỗi nếu n=5, d = 0,4 và a 1 = 3,6.

Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Mọi thứ đã được đưa ra rồi. Bạn cần nhớ cách đếm các phần tử của một cấp số cộng, đếm và viết chúng ra giấy. Không nên bỏ sót các từ trong điều kiện của nhiệm vụ: “cuối cùng” và “ n=5". Vì vậy, không tính cho đến khi bạn xanh mặt hoàn toàn.) Chỉ có 5 (năm) thành viên trong tiến trình này:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

số 4 = số 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

số 5 = số 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Nó vẫn còn để viết ra câu trả lời:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Một nhiệm vụ khác:

3. Xác định xem số 7 có phải là thành viên của cấp số cộng (an n) hay không, nếu a 1 = 4,1; d = 1,2.

Ừm... Ai biết được? Làm thế nào để xác định một cái gì đó?

Làm thế nào-làm thế nào... Viết ra tiến trình dưới dạng một chuỗi và xem liệu có số bảy ở đó hay không! Chúng tôi đếm:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

số 4 = số 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Bây giờ có thể thấy rõ rằng chúng ta chỉ mới bảy tuổi Trượt qua trong khoảng từ 6,5 đến 7,7! Số bảy không nằm trong dãy số của chúng ta, và do đó, số bảy sẽ không nằm trong cấp số đã cho.

Trả lời: không.

Đây là một vấn đề dựa trên quyền chọn thực GIA:

4. Viết ra một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng:

...; 15; X; 9; 6; ...

Đây là một bộ truyện được viết không có kết thúc và bắt đầu. Không có số thành viên, không có sự khác biệt d. Được rồi. Để giải bài toán, chỉ cần hiểu ý nghĩa của cấp số cộng là đủ. Hãy nhìn và xem những gì có thể để biết từ loạt bài này? Ba thông số chính là gì?

Số thành viên? Không có một con số nào ở đây.

Nhưng có ba con số và - chú ý! - từ "nhất quán" trong điều kiện. Điều này có nghĩa là các con số được sắp xếp theo đúng thứ tự, không có khoảng trống. Có hai người ở hàng này phải không? láng giềng số đã biết? Vâng tôi có! Đây là 9 và 6. Vì vậy, chúng ta có thể tính được sự khác biệt của cấp số cộng! Trừ từ sáu trước số, tức là chín:

Chỉ còn lại những chuyện vặt vãnh. Số nào sẽ là số trước đó của X? Mười lăm. Điều này có nghĩa là X có thể dễ dàng tìm thấy phép cộng đơn giản. Cộng hiệu của cấp số cộng với 15:

Đó là tất cả. Trả lời: x=12

Chúng tôi tự giải quyết các vấn đề sau. Lưu ý: những vấn đề này không dựa trên công thức. Hoàn toàn là để hiểu ý nghĩa của một cấp số cộng.) Chúng ta chỉ cần viết ra một dãy số và chữ cái, nhìn và tìm ra.

5. Tìm cái đầu tiên thuật ngữ tích cực cấp số cộng nếu a 5 = -3; d = 1,1.

6. Biết rằng số 5,5 là thành viên của cấp số cộng (an), trong đó a 1 = 1,6; d = 1,3. Xác định số n của thành viên này.

7. Biết rằng trong cấp số cộng a 2 = 4; 5 = 15,1. Tìm số 3 .

8. Viết ra một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Tìm số hạng của cấp số được biểu thị bằng chữ x.

9. Tàu bắt đầu di chuyển từ ga, tăng tốc đều 30 mét một phút. Tốc độ của tàu sẽ là bao nhiêu trong năm phút? Hãy đưa ra câu trả lời của bạn bằng km/giờ.

10. Biết rằng trong cấp số cộng a 2 = 5; 6 = -5. Tìm số 1.

Đáp án (lộn xộn): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Mọi thứ đã làm ra? Tuyệt vời! Bạn có thể nắm vững tiến trình số học để biết thêm cấp độ cao, ở các bài học sau.

Không phải mọi thứ đều ổn sao? Không có gì. Trong Mục Đặc biệt 555, tất cả những vấn đề này được chia nhỏ ra từng phần.) Và tất nhiên, một vấn đề đơn giản được mô tả kỹ thuật thực hành, ngay lập tức nêu bật giải pháp cho những nhiệm vụ đó một cách rõ ràng, rõ ràng, trong nháy mắt!

Nhân tiện, trong câu đố về con tàu có hai vấn đề mà mọi người thường vấp phải. Một là hoàn toàn về mặt tiến triển, và thứ hai là tổng quát cho bất kỳ vấn đề nào trong toán học và vật lý nữa. Đây là một bản dịch của các kích thước từ cái này sang cái khác. Nó cho thấy những vấn đề này nên được giải quyết như thế nào.

Trong bài học này, chúng ta đã xem xét ý nghĩa cơ bản của cấp số cộng và các tham số chính của nó. Điều này là đủ để giải quyết hầu hết các vấn đề về chủ đề này. Thêm vào d vào những con số, viết một chuỗi, mọi chuyện sẽ được giải quyết.

Giải pháp ngón tay hoạt động hiệu quả đối với các đoạn hàng rất ngắn, như trong các ví dụ trong bài học này. Nếu chuỗi dài hơn thì việc tính toán sẽ trở nên phức tạp hơn. Ví dụ: nếu ở vấn đề 9 trong câu hỏi, chúng ta thay thế "năm phút" TRÊN "ba mươi lăm phút" vấn đề sẽ trở nên tồi tệ hơn đáng kể.)

Và cũng có những nhiệm vụ về bản chất thì đơn giản nhưng lại vô lý về mặt tính toán, ví dụ:

Một cấp số cộng (an) được đưa ra. Tìm 121 nếu a 1 = 3 và d=1/6.

Vậy thì sao, chúng ta sẽ cộng 1/6 rất nhiều lần?! Bạn có thể tự sát!?

Bạn có thể.) Nếu bạn không biết công thức đơn giản, cho phép bạn giải quyết các nhiệm vụ như vậy trong một phút. Công thức này sẽ có ở bài học tiếp theo. Và vấn đề này được giải quyết ở đó. Trong một phút.)

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Tổng của một cấp số cộng.

Tổng của một cấp số cộng là một điều đơn giản. Cả về ý nghĩa và công thức. Nhưng có tất cả các loại nhiệm vụ về chủ đề này. Từ cơ bản đến khá chắc chắn.

Đầu tiên chúng ta hãy hiểu ý nghĩa và công thức tính số tiền. Và sau đó chúng ta sẽ quyết định. Vì niềm vui của riêng bạn.) Ý nghĩa của số tiền cũng đơn giản như một tiếng kêu. Để tìm tổng của một cấp số cộng, bạn chỉ cần cộng cẩn thận tất cả các số hạng của nó. Nếu những thuật ngữ này ít, bạn có thể thêm mà không cần bất kỳ công thức nào. Nhưng nếu có nhiều, hoặc nhiều... phép cộng sẽ gây khó chịu.) Trong trường hợp này, công thức sẽ có ích.

Công thức tính số tiền rất đơn giản:

Chúng ta hãy tìm hiểu những loại chữ cái được bao gồm trong công thức. Điều này sẽ làm sáng tỏ mọi thứ rất nhiều.

Sn - tổng của một cấp số cộng. Kết quả phép cộng mọi người các thành viên, với Đầu tiên Qua cuối cùng. Nó quan trọng. Họ cộng lại chính xác Tất cả thành viên liên tiếp, không bỏ qua hoặc bỏ qua. Và chính xác là bắt đầu từ Đầu tiên. Trong các bài toán như tìm tổng của số hạng thứ ba và số thứ tám, hoặc tổng của số hạng thứ năm đến số thứ hai mươi, việc áp dụng trực tiếp công thức sẽ không thành công.)

một 1 - Đầu tiên thành viên của sự tiến bộ. Mọi thứ đều rõ ràng ở đây, thật đơn giản Đầu tiên số lượng hàng.

MỘT- cuối cùng thành viên của sự tiến bộ. Số cuối cùng của chuỗi. Cái tên không mấy quen thuộc nhưng khi áp dụng vào số lượng thì lại rất phù hợp. Sau đó, bạn sẽ thấy cho chính mình.

N - số của thành viên cuối cùng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng trong công thức con số này trùng với số số hạng được thêm vào.

Hãy xác định khái niệm cuối cùng thành viên MỘT. Câu hỏi hóc búa: thành viên nào sẽ là Cái cuối cùng nếu được bất tận cấp số cộng?)

Để trả lời một cách tự tin, bạn cần hiểu ý nghĩa cơ bản của cấp số cộng và... đọc kỹ bài tập!)

Trong nhiệm vụ tìm tổng của một cấp số cộng, số hạng cuối cùng luôn xuất hiện (trực tiếp hoặc gián tiếp), điều cần hạn chế. Mặt khác, số tiền cụ thể cuối cùng đơn giản là không tồn tại.Đối với lời giải, việc đưa ra cấp số nhân nào không quan trọng: hữu hạn hay vô hạn. Không quan trọng nó được đưa ra như thế nào: một chuỗi số hoặc công thức cho số hạng thứ n.

Điều quan trọng nhất là phải hiểu rằng công thức hoạt động từ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đến số hạng có số N. Trên thực tế, tên đầy đủ của công thức trông như thế này: tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. Số lượng những thành viên đầu tiên này, tức là. N, chỉ được xác định bởi nhiệm vụ. Trong một nhiệm vụ, tất cả thông tin có giá trị này thường được mã hóa, vâng... Nhưng đừng bận tâm, trong các ví dụ bên dưới, chúng tôi tiết lộ những bí mật này.)

Ví dụ về các nhiệm vụ tính tổng của một cấp số cộng.

Đầu tiên, thông tin hữu ích:

Khó khăn chính trong các nhiệm vụ liên quan đến tổng của cấp số cộng nằm ở việc xác định chính xác các phần tử của công thức.

Người viết nhiệm vụ mã hóa chính những yếu tố này bằng trí tưởng tượng vô biên.) Điều chính ở đây là đừng sợ hãi. Hiểu được bản chất của các yếu tố, chỉ cần giải mã chúng là đủ. Hãy xem xét một vài ví dụ chi tiết. Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ dựa trên GIA thực.

1. Cấp số cộng được cho bởi điều kiện: a n = 2n-3,5. Tìm tổng của 10 số hạng đầu tiên của nó.

Làm tốt lắm. Dễ thôi.) Để xác định số tiền bằng công thức, chúng ta cần biết những gì? Thành viên đầu tiên một 1, học kỳ trước MỘT, vâng số của thành viên cuối cùng N.

Tôi có thể lấy số của thành viên cuối cùng ở đâu? N? Có, ngay đó, với điều kiện! Nó nói: tìm tổng 10 thành viên đầu tiên. Vâng, nó sẽ là số mấy? cuối cùng, thành viên thứ mười?) Bạn sẽ không tin đâu, số của anh ấy là thứ mười!) Do đó, thay vì MỘT Chúng ta sẽ thay vào công thức số 10, và thay vào đó N- mười. Tôi nhắc lại, số lượng thành viên cuối cùng trùng với số lượng thành viên.

Nó vẫn còn để xác định một 1 Và số 10. Điều này có thể dễ dàng tính toán bằng cách sử dụng công thức cho số hạng thứ n được đưa ra trong báo cáo bài toán. Bạn không biết cách thực hiện việc này? Học bài trước, không có bài này thì không có cách nào.

một 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

số 10=2·10 - 3,5 =16,5

Sn = S 10.

Chúng ta đã tìm ra ý nghĩa của tất cả các phần tử trong công thức tính tổng của một cấp số cộng. Tất cả những gì còn lại là thay thế chúng và đếm:

Đó là nó. Trả lời: 75.

Một nhiệm vụ khác dựa trên GIA. Phức tạp hơn một chút:

2. Cho một cấp số cộng (an), hiệu của nó là 3,7; a 1 = 2,3. Tìm tổng của 15 số hạng đầu tiên của nó.

Ta viết ngay công thức tính tổng:

Công thức này cho phép chúng ta tìm giá trị của bất kỳ số hạng nào bằng số của nó. Chúng tôi tìm kiếm một sự thay thế đơn giản:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Vẫn còn phải thay thế tất cả các phần tử vào công thức để tính tổng của một cấp số cộng và tính ra câu trả lời:

Trả lời: 423.

Nhân tiện, nếu trong công thức tính tổng thay vì MỘT Chúng ta chỉ cần thay thế công thức cho số hạng thứ n và nhận được:

Chúng ta hãy trình bày những công thức tương tự và thu được một công thức mới tính tổng các số hạng của một cấp số cộng:

Như bạn có thể thấy, số hạng thứ n không bắt buộc ở đây MỘT. Trong một số bài toán, công thức này giúp ích rất nhiều, vâng... Bạn có thể nhớ công thức này. Có thể trong ngay bây giờ thật dễ dàng để hiển thị nó, như ở đây. Sau cùng, bạn luôn cần phải nhớ công thức tính tổng và công thức tính số hạng thứ n.)

Bây giờ nhiệm vụ ở dạng mã hóa ngắn):

3. Tìm tổng của tất cả các số dương số có hai chữ số, bội số của ba.

Ồ! Không phải thành viên đầu tiên, cũng không phải thành viên cuối cùng, cũng không phải sự tiến triển nào cả... Làm sao để sống!?

Bạn sẽ phải suy nghĩ bằng cái đầu của mình và rút ra tất cả các phần tử của tổng cấp số cộng từ điều kiện. Chúng ta biết số có hai chữ số là gì. Chúng bao gồm hai số.) Số có hai chữ số sẽ là gì? Đầu tiên? có lẽ là 10.) A thứ cuối cùng số có hai chữ số? 99, tất nhiên! Những số có ba chữ số sẽ theo anh ta...

Bội số của ba... Hm... Đây là những số chia hết cho ba, đây! Mười không chia hết cho ba, 11 không chia hết... 12... chia hết! Vì vậy, một cái gì đó đang nổi lên. Bạn đã có thể viết ra một chuỗi theo điều kiện của bài toán:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Chuỗi này có phải là một cấp số cộng không? Chắc chắn! Mỗi thuật ngữ khác với thuật ngữ trước đúng ba. Nếu bạn thêm 2 hoặc 4 vào một thuật ngữ, giả sử kết quả là số mới không còn chia hết cho 3. Bạn có thể xác định ngay sự khác biệt của cấp số cộng: d = 3. Nó sẽ có ích!)

Vì vậy, chúng ta có thể viết ra một số tham số tiến trình một cách an toàn:

Con số sẽ là bao nhiêu? N thành viên cuối cùng? Ai nghĩ rằng 99 thì nhầm to rồi... Các con số luôn xếp thành một hàng, nhưng các thành viên của chúng ta lại nhảy lên trên ba. Chúng không khớp.

Có hai giải pháp ở đây. Một cách dành cho những người siêu chăm chỉ. Bạn có thể viết tiến trình, toàn bộ dãy số và dùng ngón tay đếm số thành viên.) Cách thứ hai dành cho người suy nghĩ chín chắn. Bạn cần nhớ công thức của số hạng thứ n. Nếu áp dụng công thức vào bài toán của mình, chúng ta sẽ thấy rằng 99 là số hạng thứ ba mươi của cấp số nhân. Những thứ kia. n = 30.

Chúng ta hãy xem công thức tính tổng của một cấp số cộng:

Chúng tôi nhìn và vui mừng.) Chúng tôi rút ra từ báo cáo vấn đề mọi thứ cần thiết để tính số tiền:

một 1= 12.

30= 99.

Sn = S 30.

Tất cả những gì còn lại là số học cơ bản. Chúng tôi thay thế các số vào công thức và tính toán:

Đáp số: 1665

Một loại câu đố phổ biến khác:

4. Cho một cấp số cộng:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Tìm tổng các số hạng từ 20 đến 34.

Chúng ta nhìn vào công thức tính số tiền và... chúng ta cảm thấy khó chịu.) Để tôi nhắc bạn, công thức tính số tiền từ đầu tiên thành viên. Và trong bài toán bạn cần tính tổng kể từ thế kỷ XX... Công thức sẽ không hoạt động.

Tất nhiên, bạn có thể viết toàn bộ tiến trình thành một chuỗi và thêm các số hạng từ 20 đến 34. Nhưng... bằng cách nào đó, nó thật ngu ngốc và mất nhiều thời gian, phải không?)

Có một giải pháp thanh lịch hơn. Hãy chia loạt bài của chúng tôi thành hai phần. Phần đầu tiên sẽ là từ nhiệm kỳ đầu tiên đến nhiệm kỳ thứ mười chín. Phần thứ hai - từ hai mươi đến ba mươi bốn. Rõ ràng là nếu chúng ta tính tổng các số hạng của phần đầu tiên S 1-19, hãy cộng nó với tổng các số hạng của phần thứ hai S 20-34, chúng ta nhận được tổng lũy ​​tiến từ số hạng đầu tiên đến số hạng thứ ba mươi tư S 1-34. Như thế này:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Từ đó chúng ta có thể thấy rằng tìm tổng S 20-34 Có thể phép trừ đơn giản

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Cả hai số tiền ở phía bên phải đều được xem xét từ đầu tiên thành viên, tức là khá áp dụng cho họ công thức chuẩn lượng. Bắt đầu nào?

Chúng tôi trích xuất các tham số tiến trình từ báo cáo vấn đề:

d = 1,5.

một 1= -21,5.

Để tính tổng của 19 và 34 số hạng đầu tiên, chúng ta sẽ cần số hạng thứ 19 và 34. Chúng tôi tính toán chúng bằng cách sử dụng công thức cho số hạng thứ n, như trong bài toán 2:

một 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

một 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Không còn gì khác. Từ tổng 34 số hạng trừ đi tổng 19 số hạng:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Đáp số: 262,5

Một lưu ý quan trọng! Có một thủ thuật rất hữu ích để giải quyết vấn đề này. Thay vì tính toán trực tiếp những gì bạn cần (S 20-34), chúng tôi đã đếm điều gì đó dường như không cần thiết - S 1-19. Và rồi họ xác định S 20-34, loại bỏ những thứ không cần thiết khỏi kết quả hoàn chỉnh. Kiểu “làm nũng bằng tai” này thường giúp bạn thoát khỏi những rắc rối nguy hiểm.)

Trong bài học này, chúng ta đã xem xét các vấn đề mà chỉ cần hiểu ý nghĩa của tổng của một cấp số cộng là đủ. Chà, bạn cần biết một vài công thức.)

Lời khuyên thiết thực:

Khi giải bất kỳ bài toán nào liên quan đến tổng của một cấp số cộng, tôi khuyên bạn nên viết ngay hai công thức chính của chủ đề này.

Công thức số hạng thứ n:

Những công thức này sẽ ngay lập tức cho bạn biết những gì cần tìm và suy nghĩ theo hướng nào để giải quyết vấn đề. Giúp.

Và bây giờ là nhiệm vụ cho giải pháp độc lập.

5. Tìm tổng của tất cả các số có hai chữ số không chia hết cho ba.

Hay nhỉ?) Gợi ý được ẩn trong phần ghi chú của bài toán 4. Chà, bài toán 3 sẽ có ích.

6. Cấp số cộng được cho bởi điều kiện: a 1 = -5,5; một n+1 = một n +0,5. Tìm tổng của 24 số hạng đầu tiên của nó.

Bất thường?) Cái này công thức truy hồi. Bạn có thể đọc về nó trong bài học trước. Đừng bỏ qua liên kết, những vấn đề như vậy thường được tìm thấy ở Viện Hàn lâm Khoa học Bang.

7. Vasya đã tiết kiệm tiền cho kỳ nghỉ. Lên tới 4550 rúp! Và tôi quyết định cho người tôi yêu (chính mình) một vài ngày hạnh phúc). Hãy sống đẹp mà không phủ nhận bản thân bất cứ điều gì. Hãy chi 500 rúp vào ngày đầu tiên và vào mỗi ngày tiếp theo, hãy chi nhiều hơn ngày trước 50 rúp! Cho đến khi hết tiền. Vasya đã có bao nhiêu ngày hạnh phúc?

Có khó không?) Công thức bổ sung từ bài 2 sẽ giúp ích.

Câu trả lời (lộn xộn): 7, 3240, 6.

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Nếu với mọi số tự nhiên N cuộc thi đấu số thực MỘT , sau đó họ nói rằng nó được đưa ra dãy số :

Một 1 , Một 2 , Một 3 , . . . , MỘT , . . . .

Vì vậy, dãy số là một hàm của đối số tự nhiên.

Con số Một 1 gọi điện số hạng đầu tiên của dãy , con số Một 2 — số hạng thứ hai của dãy , con số Một 3 — ngày thứ ba và như thế. Con số MỘT gọi điện nhiệm kỳ thứ n trình tự , và một số tự nhiên N — số của anh ấy .

Từ hai thành viên liền kề MỘT Và MỘT +1 thành viên chuỗi MỘT +1 gọi điện tiếp theo (đối với MỘT ), MỘT MỘT — trước (đối với MỘT +1 ).

Để xác định một dãy, bạn cần chỉ định một phương thức cho phép bạn tìm một thành viên của dãy với số bất kỳ.

Thông thường trình tự được xác định bằng cách sử dụng công thức số hạng thứ n , tức là một công thức cho phép bạn xác định một thành viên của dãy bằng số của nó.

Ví dụ,

chuỗi tích cực những số lẻ có thể được đưa ra bởi công thức

MỘT= 2N- 1,

và trình tự luân phiên 1 Và -1 - công thức

b N = (-1)N +1 . ◄

Trình tự có thể được xác định công thức hồi quy, nghĩa là, một công thức biểu thị bất kỳ thành viên nào của chuỗi, bắt đầu bằng một số, thông qua (một hoặc nhiều) thành viên trước đó.

Ví dụ,

Nếu như Một 1 = 1 , MỘT MỘT +1 = MỘT + 5

Một 1 = 1,

Một 2 = Một 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

Một 3 = Một 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

Một 4 = Một 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

Một 5 = Một 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Nếu như một 1= 1, một 2 = 1, MỘT +2 = MỘT + MỘT +1 , thì bảy số hạng đầu tiên của dãy số được xác lập như sau:

một 1 = 1,

một 2 = 1,

số 3 = một 1 + một 2 = 1 + 1 = 2,

số 4 = một 2 + số 3 = 1 + 2 = 3,

số 5 = số 3 + số 4 = 2 + 3 = 5,

Một 6 = Một 4 + Một 5 = 3 + 5 = 8,

Một 7 = Một 5 + Một 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Trình tự có thể được cuối cùng Và bất tận .

Trình tự được gọi là tối thượng , nếu nó có số lượng thành viên hữu hạn. Trình tự được gọi là bất tận , nếu nó có vô số thành viên.

Ví dụ,

dãy số tự nhiên có hai chữ số:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

cuối cùng.

Dãy số nguyên tố:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bất tận. ◄

Trình tự được gọi là tăng dần , nếu mỗi thành viên của nó, bắt đầu từ thành viên thứ hai, lớn hơn thành viên trước.

Trình tự được gọi là giảm dần , nếu mỗi thành viên của nó, bắt đầu từ thành viên thứ hai, nhỏ hơn thành viên trước.

Ví dụ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - trình tự tăng dần;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - dãy giảm dần. ◄

Dãy số có các phần tử không giảm khi số lượng tăng hoặc ngược lại không tăng được gọi là dãy trình tự đơn điệu .

Đặc biệt, trình tự đơn điệu là trình tự tăng và trình tự giảm.

Cấp số cộng

Cấp số cộng là một chuỗi trong đó mỗi thành viên, bắt đầu từ thành viên thứ hai, bằng thành viên trước đó, được thêm vào cùng một số.

Một 1 , Một 2 , Một 3 , . . . , MỘT, . . .

là một cấp số cộng nếu với bất kỳ số tự nhiên N điều kiện được đáp ứng:

MỘT +1 = MỘT + d,

Ở đâu d - một số nhất định.

Do đó, sự khác biệt giữa số hạng tiếp theo và số hạng trước của một cấp số cộng đã cho luôn không đổi:

một 2 - Một 1 = số 3 - Một 2 = . . . = MỘT +1 - MỘT = d.

Con số d gọi điện sự khác biệt của cấp số cộng.

Để xác định một cấp số cộng, chỉ cần chỉ ra số hạng đầu tiên và hiệu của nó là đủ.

Ví dụ,

Nếu như Một 1 = 3, d = 4 , thì ta tìm được 5 số hạng đầu tiên của dãy như sau:

một 1 =3,

một 2 = một 1 + d = 3 + 4 = 7,

số 3 = một 2 + d= 7 + 4 = 11,

số 4 = số 3 + d= 11 + 4 = 15,

Một 5 = Một 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Đối với một cấp số cộng với số hạng đầu tiên Một 1 và sự khác biệt d cô ấy N

MỘT = một 1 + (N- 1)d.

Ví dụ,

tìm số hạng thứ ba mươi của cấp số cộng

1, 4, 7, 10, . . .

một 1 =1, d = 3,

30 = một 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

một n-1 = một 1 + (N- 2)d,

MỘT= một 1 + (N- 1)d,

MỘT +1 = Một 1 + thứ,

thì rõ ràng là

MỘT=	một n-1 + một n+1
	2

Mỗi thành viên của một cấp số cộng, bắt đầu từ thành viên thứ hai, bằng trung bình số học của thành viên trước và thành viên tiếp theo.

các số a, b và c là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nào đó khi và chỉ khi một trong số chúng bằng trung bình số học của hai số còn lại.

Ví dụ,

MỘT = 2N- 7 , là một cấp số cộng.

Hãy sử dụng tuyên bố trên. Chúng ta có:

MỘT = 2N- 7,

một n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

một n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Kể từ đây,

một n+1 + một n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = MỘT,
2		2

◄

Lưu ý rằng N Số hạng thứ của một cấp số cộng có thể được tìm thấy không chỉ thông qua Một 1 , mà còn bất kỳ trước đó một k

MỘT = một k + (N- k)d.

Ví dụ,

Vì Một 5 có thể được viết ra

số 5 = một 1 + 4d,

số 5 = một 2 + 3d,

số 5 = số 3 + 2d,

số 5 = số 4 + d. ◄

MỘT = một n-k + kd,

MỘT = một n+k - kd,

thì rõ ràng là

MỘT=	Một n-k + một n+k
	2

bất kỳ thành viên nào của cấp số cộng, bắt đầu từ cấp số cộng thứ hai, bằng một nửa tổng của các thành viên cách đều nhau của cấp số cộng này.

Ngoài ra, đối với bất kỳ cấp số cộng nào, đẳng thức sau đây đúng:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Ví dụ,

trong tiến trình số học

1) Một 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (Một 9 + Một 11 )/2;

2) 28 = số 10 = số 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) số 10= 28 = (19 + 37)/2 = (một 7 + một 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, bởi vì

một 2 + một 12= 4 + 34 = 38,

một 5 + một 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ MỘT,

Đầu tiên N Các số hạng của một cấp số cộng bằng tích của một nửa tổng các số hạng cực trị và số số hạng:

Đặc biệt, từ đây, nếu bạn cần tính tổng các số hạng

một k, một k +1 , . . . , MỘT,

thì công thức trước đó vẫn giữ nguyên cấu trúc của nó:

Ví dụ,

trong tiến trình số học 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Nếu cho trước một cấp số cộng thì các đại lượng Một 1 , MỘT, d, N VàS N được kết nối bởi hai công thức:

Vì vậy, nếu ý nghĩa của ba của các đại lượng này cho trước thì giá trị tương ứng của hai đại lượng còn lại được xác định từ các công thức này, tổ hợp thành hệ hai phương trình có hai ẩn số.

Một cấp số cộng là một dãy đơn điệu. Trong đó:

• Nếu như d > 0 , thì nó đang tăng lên;
• Nếu như d < 0 , thì nó đang giảm dần;
• Nếu như d = 0 , thì dãy sẽ đứng yên.

Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy trong đó mỗi phần tử, bắt đầu từ phần tử thứ hai, bằng phần tử trước đó nhân với cùng một số.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

là một cấp số nhân nếu với mọi số tự nhiên N điều kiện được đáp ứng:

b n +1 = b n · q,

Ở đâu q ≠ 0 - một số nhất định.

Do đó, tỷ số của số hạng tiếp theo của một cấp số nhân nhất định với số hạng trước đó là một số không đổi:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Con số q gọi điện mẫu số của cấp số nhân.

Để xác định một cấp số nhân, chỉ cần chỉ ra số hạng đầu tiên và mẫu số của nó là đủ.

Ví dụ,

Nếu như b 1 = 1, q = -3 , thì ta tìm được 5 số hạng đầu tiên của dãy như sau:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

B 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 và mẫu số q cô ấy N Số hạng thứ có thể được tìm thấy bằng công thức:

b n = b 1 · qn -1 .

Ví dụ,

tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

thì rõ ràng là

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

mỗi thành viên của cấp số nhân, bắt đầu từ thành viên thứ hai, bằng giá trị trung bình hình học (tỷ lệ) của thành viên trước và thành viên tiếp theo.

Vì điều ngược lại cũng đúng nên phát biểu sau đây đúng:

các số a, b và c là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nào đó khi và chỉ khi bình phương của một trong số chúng tương đương với sản phẩm hai số còn lại, nghĩa là một trong các số là trung bình hình học của hai số còn lại.

Ví dụ,

Hãy chứng minh rằng dãy được cho bởi công thức b n= -3 2 N , là một cấp tiến hình học. Hãy sử dụng tuyên bố trên. Chúng ta có:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Kể từ đây,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

chứng tỏ phát biểu mong muốn. ◄

Lưu ý rằng N Số hạng thứ của cấp số nhân có thể được tìm thấy không chỉ thông qua b 1 , mà còn bất kỳ thành viên nào trước đó b k , chỉ cần sử dụng công thức là đủ

b n = b k · qn - k.

Ví dụ,

Vì b 5 có thể được viết ra

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = B 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

thì rõ ràng là

b n 2 = b n - k· b n + k

Bình phương của bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân, bắt đầu từ số hạng thứ hai, bằng tích của các số hạng cách đều nhau của cấp số nhân này.

Ngoài ra, đối với bất kỳ cấp số nhân nào, đẳng thức đều đúng:

b m· b n= b k· b tôi,

tôi+ N= k+ tôi.

Ví dụ,

trong tiến trình hình học

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , bởi vì

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Đầu tiên N các thành viên của một cấp số nhân có mẫu số q ≠ 0 được tính theo công thức:

Và khi q = 1 - theo công thức

Sn= nb 1

Lưu ý rằng nếu bạn cần tính tổng các số hạng

b k, b k +1 , . . . , b n,

thì công thức được sử dụng:

Sn- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Ví dụ,

trong tiến trình hình học 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Nếu được cấp số nhân, thì số lượng b 1 , b n, q, N Và Sn được kết nối bởi hai công thức:

Do đó, nếu cho giá trị của ba đại lượng bất kỳ trong số này thì giá trị tương ứng của hai đại lượng còn lại được xác định từ các công thức này, kết hợp thành hệ hai phương trình có hai ẩn số.

Đối với một tiến trình hình học với số hạng đầu tiên b 1 và mẫu số q những điều sau đây diễn ra tính chất đơn điệu :

• tiến triển ngày càng tăng nếu đáp ứng một trong các điều kiện sau:

b 1 > 0 Và q> 1;

b 1 < 0 Và 0 < q< 1;

• Sự tiến triển sẽ giảm nếu một trong các điều kiện sau được đáp ứng:

b 1 > 0 Và 0 < q< 1;

b 1 < 0 Và q> 1.

Nếu như q< 0 , thì cấp số nhân xen kẽ: các số hạng có số lẻ có cùng dấu với số hạng đầu tiên và các số hạng có số chẵn có dấu ngược lại. Rõ ràng là một cấp số nhân xen kẽ không hề đơn điệu.

Sản phẩm đầu tiên N các thành viên của một cấp số nhân có thể được tính bằng công thức:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Ví dụ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Tiến trình hình học giảm vô hạn

Tiến trình hình học giảm vô hạn được gọi là cấp số nhân vô hạn có mô đun mẫu số nhỏ hơn 1 , đó là

|q| < 1 .

Lưu ý rằng cấp số nhân giảm vô hạn có thể không phải là một dãy giảm. Nó phù hợp với dịp này

1 < q< 0 .

Với mẫu số như vậy, trình tự sẽ xen kẽ. Ví dụ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Tổng của cấp số nhân giảm vô hạn gọi tên số mà tổng của số đầu tiên tiến tới không giới hạn N thành viên của một tiến trình với số lượng tăng lên không giới hạn N . Con số này luôn hữu hạn và được biểu thị bằng công thức

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Ví dụ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Mối quan hệ giữa cấp số cộng và cấp số nhân

Cấp số cộng và cấp số hình học có liên quan chặt chẽ với nhau. Chúng ta hãy xem xét chỉ hai ví dụ.

Một 1 , Một 2 , Một 3 , . . . d , Cái đó

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Ví dụ,

1, 3, 5, . . . - tiến trình số học với sự khác biệt 2 Và

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - tiến triển hình học với mẫu số 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - tiến triển hình học với mẫu số q , Cái đó

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - tiến trình số học với sự khác biệt đăng nhập mộtq .

Ví dụ,

2, 12, 72, . . . - tiến triển hình học với mẫu số 6 Và

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - tiến trình số học với sự khác biệt lg 6 . ◄