Kết quả cơ bản là định nghĩa cổ điển của xác suất. Những sai lầm điển hình trong việc giải quyết các vấn đề cho định nghĩa xác suất cổ điển

Nguyên tắc cơ bản của lý thuyết xác suất

Kế hoạch:

1. Sự kiện ngẫu nhiên

2. Định nghĩa cổ điển về xác suất

3. Tính xác suất biến cố và tổ hợp

4. Xác suất hình học

thông tin lý thuyết

Những sự kiện ngẫu nhiên.

hiện tượng ngẫu nhiên- một hiện tượng, kết quả của nó được xác định rõ ràng. Khái niệm này có thể được hiểu theo nghĩa khá rộng. Cụ thể: mọi thứ trong tự nhiên đều hoàn toàn ngẫu nhiên, sự xuất hiện và ra đời của bất kỳ cá nhân nào là hiện tượng ngẫu nhiên, việc chọn hàng hóa trong cửa hàng cũng là hiện tượng ngẫu nhiên, đạt điểm trong kỳ thi là hiện tượng ngẫu nhiên, ốm đau và hồi phục là ngẫu nhiên hiện tượng, v.v.

Ví dụ về hiện tượng ngẫu nhiên:

~ Việc bắn được thực hiện từ súng đặt ở một góc nhất định so với đường chân trời. Bắn trúng mục tiêu là ngẫu nhiên, nhưng trúng đạn ở một "ngã ba" nhất định là một khuôn mẫu. Bạn có thể chỉ định khoảng cách gần hơn và xa hơn mà đạn sẽ không bay. Nhận một số "phân tán ngã ba của vỏ"

~ Cùng một cơ thể được cân nhắc nhiều lần. Nói một cách chính xác, mỗi lần sẽ thu được kết quả khác nhau, mặc dù khác nhau một lượng nhỏ không đáng kể, nhưng khác nhau.

~ Một máy bay bay dọc theo cùng một tuyến đường có một hành lang bay nhất định mà máy bay có thể điều động, nhưng nó sẽ không bao giờ có cùng một tuyến đường

~ Một vận động viên sẽ không bao giờ có thể chạy cùng một khoảng cách với cùng một thời gian. Kết quả của anh ấy cũng sẽ nằm trong một phạm vi số nhất định.

Kinh nghiệm, thử nghiệm, quan sát là những bài kiểm tra

Sự thử nghiệm- quan sát hoặc hoàn thành một tập hợp các điều kiện nhất định được thực hiện lặp đi lặp lại và lặp lại thường xuyên theo trình tự, thời lượng giống nhau, trong khi quan sát các tham số giống hệt nhau khác.

Hãy xem xét hiệu suất của một vận động viên khi bắn vào mục tiêu. Để nó được sản xuất, cần phải đáp ứng các điều kiện như chuẩn bị cho vận động viên, nạp vũ khí, ngắm bắn, v.v. "Trúng" và "trượt" là các sự kiện do một lần bắn.

Sự kiện- Kết quả thử nghiệm định tính.

Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra Các sự kiện được biểu thị bằng các chữ cái Latinh in hoa. Ví dụ : D="Người bắn trúng đích". S="Bóng trắng đã rút". K="Vé số ngẫu nhiên không trúng.".

Tung đồng xu là một bài kiểm tra. Sự sụp đổ của "quốc huy" của cô ấy là một sự kiện, sự sụp đổ của "số" của cô ấy là sự kiện thứ hai.

Bất kỳ thử nghiệm nào cũng liên quan đến sự xuất hiện của một số sự kiện. Một số trong số chúng có thể cần thiết tại một thời điểm nhất định bởi nhà nghiên cứu, trong khi những người khác có thể không cần thiết.

Sự kiện được gọi là ngẫu nhiên, nếu theo việc thực hiện một tập hợp các điều kiện nhất định S nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Trong phần tiếp theo, thay vì nói "tập hợp các điều kiện S được đáp ứng", chúng tôi sẽ nói ngắn gọn: "thử nghiệm đã được thực hiện." Do đó, sự kiện sẽ được coi là kết quả của phép thử.

~ Người bắn bắn vào mục tiêu được chia thành bốn khu vực. Bắn là một thử nghiệm. Đánh vào một khu vực nhất định của mục tiêu là một sự kiện.

~ Có những quả bóng màu trong bình. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ chiếc bình. Loại bỏ một quả bóng từ một chiếc bình là một bài kiểm tra. Sự xuất hiện của một quả bóng có màu nhất định là một sự kiện.

Các loại sự kiện ngẫu nhiên

1. Các sự kiện được cho là không tương thích nếu sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của các sự kiện khác trong cùng một thử nghiệm.

~ Một bộ phận được lấy ngẫu nhiên từ hộp có các bộ phận. Sự xuất hiện của một phần tiêu chuẩn loại trừ sự xuất hiện của một phần không chuẩn. Sự kiện € một phần tiêu chuẩn xuất hiện" và với một phần không chuẩn xuất hiện" - không tương thích.

~ Một đồng xu được tung ra. Sự xuất hiện của "huy hiệu" không bao gồm sự xuất hiện của dòng chữ. Các sự kiện "xuất hiện huy hiệu" và "dòng chữ xuất hiện" không tương thích.

Một số sự kiện hình thức nhóm đầy đủ, nếu ít nhất một trong số chúng xuất hiện do kết quả của bài kiểm tra. Nói cách khác, sự xuất hiện của ít nhất một trong các biến cố của nhóm hoàn chỉnh là biến cố xác định.

Cụ thể, nếu các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh không tương thích theo cặp, thì một và chỉ một trong số các sự kiện này sẽ xuất hiện do kết quả của phép thử. Trường hợp đặc biệt này được chúng tôi quan tâm nhiều nhất, vì nó được sử dụng bên dưới.

~ Hai vé xổ số tiền và quần áo đã được mua. Một và chỉ một trong các sự kiện sau đây phải xảy ra:

1. "tiền thắng rơi vào vé thứ nhất và không rơi vào vé thứ hai",

2. "tiền thắng không rơi vào vé thứ nhất mà rơi vào vé thứ hai",

3. "tiền thắng rơi vào cả hai vé",

4. "Cả hai vé đều không thắng."

Những sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo cặp,

~ Người bắn đã bắn vào mục tiêu. Một trong hai biến cố sau chắc chắn xảy ra: trúng, trượt. Hai sự kiện rời rạc này cũng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

2. Sự kiện được gọi đều có thể nếu có lý do để tin rằng cái này không khả thi hơn cái kia.

~ Sự xuất hiện của "quốc huy" và sự xuất hiện của dòng chữ khi tung đồng xu là những sự kiện có thể xảy ra như nhau. Thật vậy, người ta cho rằng đồng xu được làm bằng vật liệu đồng nhất, có dạng hình trụ đều và sự hiện diện của đồng xu không ảnh hưởng đến việc mất mặt này hay mặt kia của đồng xu.

~ Sự xuất hiện của một hoặc một số điểm khác trên một con xúc xắc được tung ra là một sự kiện có thể xảy ra như nhau. Thật vậy, người ta cho rằng khuôn được làm bằng vật liệu đồng nhất, có hình dạng của một khối đa diện đều và sự hiện diện của các điểm không ảnh hưởng đến việc mất bất kỳ mặt nào.

3. Sự kiện được gọi là thật, nếu nó không thể xảy ra

4. Sự kiện được gọi là không đáng tin cậy nếu nó không thể xảy ra.

5. Sự kiện được gọi là đối diệnđối với một số sự kiện nếu nó bao gồm sự không xảy ra của sự kiện đã cho. Các sự kiện đối lập không tương thích, nhưng một trong số chúng nhất thiết phải xảy ra. Các sự kiện đối lập thường được gọi là phủ định, tức là một dấu gạch ngang được viết phía trên chữ cái. Các biến cố đối nhau: A và Ā; U và Ū, v.v. .

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Xác suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.

Có một số định nghĩa về khái niệm này. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa được gọi là cổ điển. Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra những nhược điểm của định nghĩa này và đưa ra những định nghĩa khác giúp khắc phục những thiếu sót của định nghĩa cổ điển.

Xét tình huống: Một hộp chứa 6 quả bóng giống nhau, 2 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu trắng. Rõ ràng, khả năng rút ngẫu nhiên một quả bóng màu (tức là đỏ hoặc xanh) từ một chiếc bình lớn hơn khả năng rút được một quả bóng trắng. Khả năng này có thể được đặc trưng bởi một con số, được gọi là xác suất của một sự kiện (sự xuất hiện của một quả bóng màu).

xác suất- một con số đặc trưng cho mức độ khả năng xảy ra của sự kiện.

Trong tình huống đang xem xét, chúng tôi biểu thị:

Biến cố A = "Lấy ra một quả bóng màu".

Mỗi kết quả có thể xảy ra của bài kiểm tra (bài kiểm tra bao gồm việc lấy một quả bóng ra khỏi bình) được gọi là kết quả và sự kiện cơ bản (có thể). Kết quả sơ cấp có thể được biểu thị bằng các chữ cái có chỉ số bên dưới, ví dụ: k 1 , k 2 .

Trong ví dụ của chúng tôi, có 6 quả bóng, vì vậy có 6 kết quả có thể xảy ra: một quả bóng trắng xuất hiện; một quả bóng màu đỏ xuất hiện; một quả bóng màu xanh xuất hiện, v.v. Dễ dàng nhận thấy rằng những kết quả này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo cặp (nhất thiết chỉ có một quả bóng xuất hiện) và chúng có khả năng xảy ra như nhau (quả bóng được lấy ra một cách ngẫu nhiên, các quả bóng giống nhau và được trộn lẫn hoàn toàn).

Kết quả cơ bản, trong đó sự kiện quan tâm đến chúng tôi xảy ra, chúng tôi sẽ gọi kết quả thuận lợi sự kiện này. Trong ví dụ của chúng tôi, sự kiện được ưu tiên MỘT(sự xuất hiện của một quả bóng màu) 5 kết quả sau:

Như vậy sự kiện MỘTđược quan sát nếu một điều xảy ra trong bài kiểm tra, bất kể điều gì, trong số các kết quả cơ bản có lợi MỘT.Đây là sự xuất hiện của bất kỳ quả bóng màu nào, trong đó có 5 miếng trong hộp

Trong ví dụ được xem xét về kết quả cơ bản 6; trong đó 5 ủng hộ sự kiện MỘT. Kể từ đây, P(A)= 5/6. Con số này đưa ra định lượng về mức độ khả năng xuất hiện của một quả bóng màu.

Định nghĩa xác suất:

Xác suất của biến cố A là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho sự kiện này với tổng số tất cả các kết quả cơ bản không tương thích có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

P(A)=m/n hoặc P(A)=m: n, trong đó:

m là số kết quả cơ bản có lợi MỘT;

P- số lượng tất cả các kết quả sơ cấp có thể có của phép thử.

Ở đây giả định rằng các kết quả cơ bản là không tương thích, có thể xảy ra như nhau và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Các tính chất sau tuân theo định nghĩa xác suất:

1. Xác suất của một sự kiện nhất định là bằng một.

Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy, thì mỗi kết quả cơ bản của bài kiểm tra sẽ ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m = n do đó p=1

2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.

Thật vậy, nếu sự kiện là không thể xảy ra, thì không có kết quả cơ bản nào của phép thử ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m=0, do đó p=0.

3.Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1. 0t< n.

Trong các chủ đề tiếp theo, các định lý sẽ được đưa ra cho phép, từ xác suất đã biết của một số biến cố, tìm ra xác suất của các biến cố khác.

Đo đạc. Có 6 nữ sinh và 4 nam sinh trong nhóm học sinh. Xác suất mà một sinh viên được chọn ngẫu nhiên sẽ là một cô gái là gì? nó sẽ là một chàng trai trẻ?

p dev = 6/10 = 0,6 p jun = 4/10 = 0,4

Khái niệm "xác suất" trong các khóa học nghiêm ngặt hiện đại về lý thuyết xác suất được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp. Chúng ta hãy xem xét một số cách tiếp cận này.

Giả sử rằng kết quả của phép thử xảy ra một và chỉ một trong các sự kiện sau: Wi(i=1, 2, ....n). Sự kiện Wi, được gọi là các sự kiện cơ bản (kết quả cơ bản). VỀ suy ra rằng các sự kiện cơ bản không tương thích theo cặp. Tập hợp tất cả các biến cố cơ bản có thể xuất hiện trong một phép thử được gọi là không gian sự kiện cơ bảnΩ (chữ Hy Lạp viết hoa omega), và bản thân các sự kiện cơ bản - điểm trong không gian này..

Sự kiện MỘTđược xác định với một tập hợp con (của không gian Ω) có các phần tử là các kết quả cơ bản có lợi cho MỘT; sự kiện TRONG là một tập hợp con Ω có các phần tử là các kết quả có lợi cho TRONG, v.v… Như vậy, tập hợp tất cả các biến cố có thể xảy ra trong phép thử là tập hợp tất cả các tập con của Ω, Ω tự nó xảy ra với bất kỳ kết quả nào của phép thử, do đó Ω là biến cố nào đó; một tập hợp con trống của không gian Ω là một biến cố không thể xảy ra (nó không xảy ra đối với bất kỳ kết quả nào của phép thử).

Các biến cố cơ bản được phân biệt với tất cả các biến cố theo chủ đề, "mỗi biến cố chỉ chứa một phần tử Ω

Đối với mọi kết quả cơ bản Wi phù hợp với một số dương số Pi là xác suất của kết quả này, và tổng của tất cả số Pi bằng 1 hoặc với dấu của tổng, dữ kiện này sẽ được viết dưới dạng biểu thức:

Theo định nghĩa, xác suất P(A) sự kiện MỘT bằng tổng xác suất của các kết quả cơ bản có lợi cho MỘT. Do đó, xác suất của một sự kiện nhất định bằng một, không thể - bằng 0, tùy ý - nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Chúng ta hãy xem xét một trường hợp cụ thể quan trọng, khi tất cả các kết quả đều có xác suất như nhau Số kết quả bằng n, tổng xác suất của tất cả các kết quả bằng 1; do đó xác suất của mỗi kết quả là 1/n. Hãy để sự kiện MỘTủng hộ m kết quả.

xác suất sự kiện MỘT bằng tổng xác suất của các kết quả có lợi cho MỘT:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Định nghĩa cổ điển của xác suất thu được.

Ở đó vẫn còn tiên đề tiếp cận khái niệm “xác suất”. Trong hệ tiên đề đề xuất. Kolmogorov A.N., các khái niệm không xác định là sự kiện và xác suất cơ bản. Việc xây dựng một lý thuyết xác suất hoàn chỉnh về mặt logic dựa trên định nghĩa tiên đề của một sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của nó.

Dưới đây là các tiên đề xác định xác suất:

1. Mọi sự kiện MỘTđược gán một số thực không âm P(A). Con số này được gọi là xác suất của biến cố. MỘT.

2. Xác suất của một sự kiện nhất định bằng một:

3. Xác suất xảy ra ít nhất một trong các sự kiện xung khắc theo cặp bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

Dựa trên các tiên đề này, các tính chất của xác suất đối với mối quan hệ giữa chúng được rút ra dưới dạng các định lý.

xác suất sự kiện là tỷ lệ giữa số lượng các kết quả cơ bản có lợi cho một sự kiện nhất định với số lượng tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau của trải nghiệm mà sự kiện này có thể xảy ra. Xác suất của một biến cố A được ký hiệu là P(A) (ở đây P là chữ cái đầu tiên của từ tiếng Pháp probabilite - xác suất). Theo định nghĩa
(1.2.1)
đâu là số kết quả cơ bản ủng hộ sự kiện A; - số lượng tất cả các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau của kinh nghiệm, tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện.
Định nghĩa xác suất này được gọi là cổ điển. Nó phát sinh ở giai đoạn đầu của sự phát triển của lý thuyết xác suất.

Xác suất của một sự kiện có các thuộc tính sau:
1. Xác suất của một biến cố nào đó bằng một. Hãy chỉ định một sự kiện nhất định bằng chữ cái . Đối với một sự kiện nhất định, do đó
(1.2.2)
2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra bằng không. Chúng tôi biểu thị sự kiện không thể bằng chữ cái . Đối với một sự kiện không thể, do đó
(1.2.3)
3. Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên được biểu thị bằng một số dương nhỏ hơn một. Vì các bất đẳng thức , hoặc thỏa mãn đối với một biến cố ngẫu nhiên, nên
(1.2.4)
4. Xác suất của một biến cố thỏa mãn bất đẳng thức
(1.2.5)
Điều này xuất phát từ quan hệ (1.2.2) -(1.2.4).

ví dụ 1 Một hộp đựng 10 quả bóng có cùng kích thước và trọng lượng, trong đó có 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Một quả bóng được rút ra từ chiếc bình. Xác suất mà quả bóng rút ra có màu xanh là gì?

Giải pháp. Biến cố “quả bóng được rút ra có màu xanh” sẽ được ký hiệu bằng chữ A. Phép thử này có 10 kết quả cơ bản có khả năng xảy ra như nhau, trong đó có 6 biến cố A. Theo công thức (1.2.1), ta có được

ví dụ 2 Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 30 được viết trên các thẻ giống hệt nhau và được đặt trong một chiếc bình. Sau khi trộn kỹ các thẻ, một thẻ sẽ được lấy ra khỏi bình. Xác suất để con số trên tấm thẻ được rút là bội số của 5 là bao nhiêu?

Giải pháp. Kí hiệu A là biến cố “số trên quân bài lấy là bội số của 5”. Trong phép thử này, có 30 kết quả sơ cấp có thể xảy ra như nhau, trong đó có 6 kết quả nghiêng về biến cố A (các số 5, 10, 15, 20, 25, 30). Kể từ đây,

ví dụ 3 Gieo hai con xúc xắc, tính tổng số điểm của các mặt trên. Tìm xác suất của biến cố B có tổng các mặt trên của hình lập phương là 9 điểm.

Giải pháp. Có 6 2 = 36 kết quả sơ cấp có thể xảy ra như nhau trong phép thử này. Biến cố B được ưu tiên bởi 4 kết cục: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) nên

Ví dụ 4. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 10. Xác suất để số đó là số nguyên tố là bao nhiêu?

Giải pháp. Biểu thị bằng chữ C sự kiện "số được chọn là số nguyên tố". Trong trường hợp này, n = 10, m = 4 (số nguyên tố 2, 3, 5, 7). Do đó, xác suất mong muốn

Ví dụ 5 Hai đồng xu đối xứng được tung lên. Xác suất để cả hai đồng xu đều có chữ số ở hai mặt trên cùng là bao nhiêu?

Giải pháp. Hãy biểu thị bằng chữ D sự kiện "có một con số ở mặt trên của mỗi đồng xu". Có 4 kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau trong bài kiểm tra này: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Ký hiệu (G, C) có nghĩa là trên đồng xu đầu tiên có huy hiệu, trên đồng xu thứ hai - một số). Sự kiện D được ưu tiên bởi một kết quả cơ bản (C, C). Vì m = 1, n = 4 nên

Ví dụ 6 Xác suất mà các chữ số trong một số có hai chữ số được chọn ngẫu nhiên giống nhau là gì?

Giải pháp. Các số có hai chữ số là các số từ 10 đến 99; có tất cả 90 số như vậy trong đó có 9 số có các chữ số giống nhau (đó là các số 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Vì trong trường hợp này m = 9, n = 90, nên
,
trong đó A là sự kiện "số có cùng chữ số".

Ví dụ 7 Từ các chữ cái của từ sự khác biệt một chữ cái được chọn ngẫu nhiên. Xác suất để chữ cái này là: a) một nguyên âm b) một phụ âm c) một chữ cái h?

Giải pháp. Có 12 chữ cái trong phân biệt từ, trong đó 5 là nguyên âm và 7 là phụ âm. Bức thư h từ này không. Hãy biểu thị các sự kiện: A - "nguyên âm", B - "phụ âm", C - "chữ cái h". Số lượng kết quả cơ bản thuận lợi: - cho sự kiện A, - cho sự kiện B, - cho sự kiện C. Vì n \u003d 12, sau đó
, Và .

Ví dụ 8 Tung hai con xúc xắc, ghi số điểm trên mặt trên của mỗi con xúc xắc. Tìm xác suất để cả hai con súc sắc có số điểm bằng nhau.

Giải pháp. Hãy ký hiệu biến cố này bằng chữ A. Biến cố A có 6 kết quả cơ bản: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Tổng cộng có các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm đầy đủ các sự kiện, trong trường hợp này là n=6 2 =36. Vậy xác suất mong muốn

Ví dụ 9 Cuốn sách có 300 trang. Xác suất mà một trang được mở ngẫu nhiên sẽ có số thứ tự là bội số của 5?

Giải pháp. Từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng sẽ có n = 300 tất cả các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các biến cố. Thật vậy, một số là bội số của 5 có dạng 5k, trong đó k là số tự nhiên và , từ đâu . Kể từ đây,
, trong đó A - sự kiện "trang" có số thứ tự là bội số của 5".

Ví dụ 10. Gieo hai con xúc xắc, tính tổng số điểm của các mặt trên. Điều gì có nhiều khả năng nhận được tổng cộng 7 hoặc 8?

Giải pháp. Hãy chỉ định các sự kiện: A - "7 điểm rơi ra", B - "8 điểm rơi ra". Sự kiện A được ưu tiên bởi 6 kết quả cơ bản: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) và sự kiện B - bởi 5 kết quả: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Có n = 6 2 = 36 tất cả các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau. Và .

Vì vậy, P(A)>P(B), nghĩa là, việc giành được tổng cộng 7 điểm là một biến cố có nhiều khả năng xảy ra hơn là đạt được tổng cộng 8 điểm.

nhiệm vụ

1. Người ta chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên không quá 30, xác suất để số đó là bội của 3 là bao nhiêu?
2. Trong bình Mộtđỏ và b quả bóng màu xanh có cùng kích thước và trọng lượng. Xác suất để một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ chiếc bình này có màu xanh lam là bao nhiêu?
3. Người ta chọn ngẫu nhiên một số không quá 30. Xác suất để số này là ước của zo là bao nhiêu?
4. Trong bình MỘT màu xanh và b quả bóng màu đỏ có cùng kích thước và trọng lượng. Một quả bóng được rút ra từ chiếc bình này và đặt sang một bên. Quả bóng này màu đỏ. Sau đó, một quả bóng khác được rút ra từ chiếc bình. Tính xác suất để viên bi thứ hai cũng màu đỏ.
5. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên không quá 50, xác suất để số đó là số nguyên tố là bao nhiêu?
6. Tung ba con súc sắc, tính tổng điểm các mặt trên. Điều gì có nhiều khả năng hơn - để có được tổng cộng 9 hoặc 10 điểm?
7. Tung ba con xúc xắc, tính tổng số điểm bị rơi. Điều gì có nhiều khả năng nhận được tổng điểm 11 (sự kiện A) hoặc 12 điểm (sự kiện B)?

câu trả lời

1. 1/3. 2 . b/(Một+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(Một+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - xác suất đạt được tổng cộng 9 điểm; p 2 \u003d 27/216 - xác suất nhận được tổng cộng 10 điểm; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

câu hỏi

1. Thế nào gọi là xác suất của một biến cố?
2. Xác suất của một sự kiện nào đó là gì?
3. Xác suất của biến cố không thể xảy ra là bao nhiêu?
4. Giới hạn xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là gì?
5. Giới hạn xác suất của bất kỳ sự kiện nào là gì?
6. Định nghĩa xác suất nào được gọi là cổ điển?

Trong nền kinh tế, cũng như trong các lĩnh vực hoạt động khác của con người hoặc trong tự nhiên, chúng ta liên tục phải đối phó với các sự kiện không thể dự đoán chính xác. Do đó, khối lượng bán hàng hóa phụ thuộc vào nhu cầu, có thể thay đổi đáng kể và vào một số yếu tố khác gần như không thể tính đến. Do đó, trong tổ chức sản xuất và bán hàng, người ta phải dự đoán kết quả của các hoạt động đó trên cơ sở kinh nghiệm trước đây của chính mình hoặc kinh nghiệm tương tự của người khác hoặc trực giác, phần lớn cũng dựa trên dữ liệu thử nghiệm.

Để bằng cách nào đó đánh giá sự kiện đang được xem xét, cần phải tính đến hoặc tổ chức đặc biệt các điều kiện mà sự kiện này được ghi lại.

Việc thực hiện một số điều kiện hoặc hành động để xác định sự kiện được đề cập được gọi là kinh nghiệm hoặc cuộc thí nghiệm.

Sự kiện được gọi là ngẫu nhiên nếu, do kết quả của thí nghiệm, nó có thể xảy ra hoặc không.

Sự kiện được gọi là thật, nếu nó nhất thiết xuất hiện như là kết quả của trải nghiệm này, và không thể nào nếu nó không thể xuất hiện trong trải nghiệm này.

Ví dụ, tuyết rơi ở Moscow vào ngày 30 tháng 11 là một sự kiện ngẫu nhiên. Mặt trời mọc hàng ngày có thể được coi là một sự kiện nhất định. Tuyết rơi ở xích đạo có thể được coi là một sự kiện không thể xảy ra.

Một trong những vấn đề chính của lý thuyết xác suất là vấn đề xác định thước đo định lượng về khả năng xảy ra một sự kiện.

đại số của các sự kiện

Các sự kiện được gọi là không tương thích nếu chúng không thể được quan sát cùng nhau trong cùng một trải nghiệm. Do đó, sự hiện diện của hai và ba chiếc xe trong một cửa hàng để bán cùng một lúc là hai sự kiện không tương thích.

Tổng sự kiện là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong những sự kiện này

Một ví dụ về tổng các sự kiện là sự hiện diện của ít nhất một trong hai sản phẩm trong một cửa hàng.

công việc các sự kiện được gọi là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện đồng thời của tất cả các sự kiện này

Một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của hai hàng hóa cùng lúc trong cửa hàng là sản phẩm của các sự kiện: - sự xuất hiện của một sản phẩm, - sự xuất hiện của một sản phẩm khác.

Các sự kiện tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh nếu ít nhất một trong số chúng nhất thiết phải xảy ra trong trải nghiệm.

Ví dụ. Cảng có hai bến cho tàu. Ba sự kiện có thể được xem xét: - không có tàu tại bến, - có sự hiện diện của một tàu tại một trong các bến, - có hai tàu tại hai bến. Ba sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện.

Đối diện hai sự kiện duy nhất có thể tạo thành một nhóm hoàn chỉnh được gọi.

Nếu một trong các biến cố ngược dấu được kí hiệu là , thì biến cố ngược dấu thường được kí hiệu là .

Định nghĩa cổ điển và thống kê về xác suất của một sự kiện

Mỗi kết quả kiểm tra (thí nghiệm) có thể xảy ra như nhau được gọi là kết quả sơ cấp. Chúng thường được biểu thị bằng các chữ cái. Ví dụ, một con xúc xắc được tung ra. Có thể có sáu kết quả cơ bản theo số điểm trên các mặt.

Từ các kết quả cơ bản, bạn có thể soạn một sự kiện phức tạp hơn. Vì vậy, sự kiện có số điểm chẵn được xác định bởi ba kết quả: 2, 4, 6.

Một thước đo định lượng về khả năng xảy ra sự kiện đang được xem xét là xác suất.

Hai định nghĩa về xác suất của một sự kiện được sử dụng rộng rãi nhất: cổ điển Và thống kê.

Định nghĩa cổ điển về xác suất có liên quan đến khái niệm về một kết quả thuận lợi.

Exodus được gọi là thuận lợi sự kiện này, nếu sự xuất hiện của nó kéo theo sự xuất hiện của sự kiện này.

Trong ví dụ đã cho, sự kiện đang xét là một số điểm chẵn trên cạnh bị loại bỏ, có ba kết quả thuận lợi. Trong trường hợp này, tổng thể
số lượng các kết quả có thể. Vì vậy, ở đây bạn có thể sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện.

định nghĩa cổ điển bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả có thể xảy ra

ở đâu là xác suất của sự kiện , là số kết quả thuận lợi cho sự kiện, là tổng số kết quả có thể xảy ra.

Trong ví dụ được xem xét

Định nghĩa thống kê về xác suất gắn liền với khái niệm về tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện trong các thí nghiệm.

Tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện được tính theo công thức

ở đâu là số lần xuất hiện của một sự kiện trong một loạt các thử nghiệm (thử nghiệm).

định nghĩa thống kê. Xác suất của một sự kiện là con số mà tần số tương đối được ổn định (được thiết lập) với số lượng thí nghiệm tăng không giới hạn.

Trong các bài toán thực tế, tần suất tương đối của một số lượng đủ lớn các phép thử được coi là xác suất của một sự kiện.

Từ các định nghĩa về xác suất của một biến cố, có thể thấy rằng bất đẳng thức luôn đúng

Để xác định xác suất của một biến cố dựa vào công thức (1.1), người ta thường dùng công thức tổ hợp để tìm số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra.

lý thuyết ngắn gọn

Để so sánh định lượng các sự kiện theo mức độ khả năng xảy ra của chúng, một phép đo số được đưa ra, được gọi là xác suất của một sự kiện. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên một con số được gọi là biểu thức của thước đo khả năng xảy ra khách quan của một sự kiện.

Các giá trị xác định mức độ quan trọng của các cơ sở khách quan để tính vào sự xuất hiện của một sự kiện được đặc trưng bởi xác suất của sự kiện. Cần phải nhấn mạnh rằng xác suất là một đại lượng khách quan tồn tại độc lập với người nhận thức và được quy định bởi tổng thể các điều kiện góp phần vào sự xuất hiện của một sự kiện.

Những giải thích mà chúng tôi đã đưa ra cho khái niệm xác suất không phải là một định nghĩa toán học, vì chúng không định nghĩa khái niệm này một cách định lượng. Có một số định nghĩa về xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên, được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán cụ thể (cổ điển, tiên đề, thống kê, v.v.).

Định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện làm giảm khái niệm này thành một khái niệm cơ bản hơn về các sự kiện có thể xảy ra như nhau, không còn tùy thuộc vào định nghĩa và được giả định là rõ ràng bằng trực giác. Ví dụ, nếu một con xúc xắc là một khối lập phương đồng nhất, thì sự xuất hiện của bất kỳ mặt nào của khối lập phương này sẽ là những biến cố có thể xảy ra như nhau.

Hãy để một sự kiện nhất định được chia thành các trường hợp có thể xảy ra như nhau, tổng của chúng mang lại cho sự kiện. Đó là, các trường hợp từ , mà nó chia tay, được gọi là thuận lợi cho sự kiện, vì sự xuất hiện của một trong số chúng đảm bảo sự tấn công.

Xác suất của một sự kiện sẽ được biểu thị bằng ký hiệu .

Xác suất của một sự kiện bằng tỷ lệ giữa số trường hợp có lợi cho nó, trên tổng số trường hợp duy nhất, có thể xảy ra như nhau và không tương thích, với số, tức là

Đây là định nghĩa cổ điển của xác suất. Do đó, để tìm xác suất của một sự kiện, sau khi xem xét các kết quả khác nhau của phép thử, cần phải tìm một tập hợp các trường hợp duy nhất có thể, có thể như nhau và xung khắc, tính tổng số n của chúng, số trường hợp m sao cho thích sự kiện này, rồi thực hiện phép tính theo công thức trên.

Xác suất của một sự kiện bằng tỷ số giữa số kết quả của kinh nghiệm có lợi cho sự kiện đó trên tổng số kết quả của kinh nghiệm được gọi là xác suất cổ điển sự kiện ngẫu nhiên.

Các tính chất sau của xác suất suy ra từ định nghĩa:

Tính chất 1. Xác suất của một biến cố nào đó bằng một.

Tính chất 2. Xác suất của sự kiện không thể xảy ra bằng không.

Tính chất 3. Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Tính chất 4. Xác suất xuất hiện các biến cố tạo thành một nhóm hoàn chỉnh bằng một.

Tính chất 5. Xác suất xuất hiện biến cố ngược lại được định nghĩa giống như xác suất xuất hiện biến cố A.

Số lần xuất hiện có lợi cho sự xuất hiện của sự kiện ngược lại. Do đó, xác suất xảy ra biến cố ngược lại bằng hiệu giữa 1 và xác suất xảy ra biến cố A:

Một lợi thế quan trọng của định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện là với sự trợ giúp của nó, xác suất của một sự kiện có thể được xác định mà không cần dùng đến kinh nghiệm mà dựa trên cơ sở suy luận logic.

Khi một tập hợp các điều kiện được đáp ứng, một sự kiện nhất định sẽ xảy ra và điều không thể chắc chắn sẽ không xảy ra. Trong số các sự kiện, khi một tập hợp các điều kiện được tạo ra, có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra, thì sự xuất hiện của một số sự kiện có thể được tính đến với nhiều lý do hơn, sự xuất hiện của những sự kiện khác có ít lý do hơn. Ví dụ, nếu có nhiều bóng trắng trong bình hơn bóng đen, thì có nhiều lý do để hy vọng về sự xuất hiện của một quả bóng trắng khi lấy ngẫu nhiên ra khỏi bình hơn là sự xuất hiện của một quả bóng đen.

Ví dụ giải quyết vấn đề

ví dụ 1

Một hộp chứa 8 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen và 7 quả cầu đỏ. 3 quả bóng được rút ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau: - lấy được ít nhất 1 bi đỏ, - có ít nhất 2 bi cùng màu, - có ít nhất 1 bi đỏ và 1 bi trắng.

Giải pháp của vấn đề

Chúng tôi tìm thấy tổng số kết quả kiểm tra là số lượng kết hợp của 19 (8 + 4 + 7) phần tử của 3 mỗi phần tử:

Tìm xác suất của biến cố– rút được ít nhất 1 bi đỏ (1,2 hoặc 3 bi đỏ)

Xác suất bắt buộc:

Hãy để sự kiện- có ít nhất 2 bi cùng màu (2 hoặc 3 bi trắng, 2 hoặc 3 bi đen và 2 hoặc 3 bi đỏ)

Số kết quả ủng hộ sự kiện:

Xác suất bắt buộc:

Hãy để sự kiện- Có ít nhất 1 bi đỏ và 1 bi trắng

(1 đỏ, 1 trắng, 1 đen hoặc 1 đỏ, 2 trắng hoặc 2 đỏ, 1 trắng)

Số kết quả ủng hộ sự kiện:

Xác suất bắt buộc:

Trả lời: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(Đ)=0,6068

ví dụ 2

Hai con xúc xắc được tung ra. Tìm xác suất để tổng số điểm ít nhất là 5.

Giải pháp

Đặt biến cố là tổng các điểm không nhỏ hơn 5

Hãy sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất:

Tổng số kết quả thử nghiệm có thể

Số lượng thử nghiệm có lợi cho sự kiện mà chúng tôi quan tâm

Trên mặt thả xúc xắc thứ nhất có thể xuất hiện một điểm, hai điểm..., sáu điểm. tương tự, sáu kết quả có thể xảy ra trên lần tung xúc xắc thứ hai. Mỗi kết quả của lần chết đầu tiên có thể được kết hợp với từng kết quả của lần thứ hai. Do đó, tổng số kết quả cơ bản có thể có của phép thử bằng với số lần sắp xếp có lặp lại (lựa chọn có sắp xếp 2 phần tử từ bộ tập 6):

Tìm xác suất của biến cố ngược lại - tổng điểm nhỏ hơn 5

Các kết hợp điểm rơi sau đây sẽ có lợi cho sự kiện:

№

xương thứ nhất

xương thứ 2

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Định nghĩa hình học của xác suất được trình bày và giải pháp cho vấn đề gặp gỡ nổi tiếng được đưa ra.

Ban đầu, chỉ là một tập hợp thông tin và quan sát thực nghiệm về trò chơi súc sắc, lý thuyết xác suất đã trở thành một khoa học vững chắc. Fermat và Pascal là những người đầu tiên cung cấp cho nó một khung toán học.

Từ những suy ngẫm về cái vĩnh cửu đến lý thuyết xác suất

Hai cá nhân mà lý thuyết xác suất mắc nợ nhiều công thức cơ bản, Blaise Pascal và Thomas Bayes, được biết đến như những người sùng đạo sâu sắc, người sau là một mục sư Trưởng lão. Rõ ràng, mong muốn của hai nhà khoa học này là chứng minh sự sai lầm của quan điểm về một Vận may nào đó, mang lại may mắn cho những người yêu thích của cô ấy, đã thúc đẩy nghiên cứu trong lĩnh vực này. Xét cho cùng, trên thực tế, bất kỳ trò chơi may rủi nào, với thắng thua, chỉ là một bản giao hưởng của các nguyên tắc toán học.

Nhờ sự kích động của Chevalier de Mere, một tay cờ bạc không kém và cũng là một người không thờ ơ với khoa học, Pascal buộc phải tìm cách tính xác suất. De Mere quan tâm đến câu hỏi này: "Bạn cần tung hai con xúc xắc theo cặp bao nhiêu lần để xác suất được 12 điểm vượt quá 50%?". Câu hỏi thứ hai khiến quý ông vô cùng quan tâm: "Làm thế nào để chia tiền cược giữa những người tham gia trò chơi chưa hoàn thành?" Tất nhiên, Pascal đã trả lời thành công cả hai câu hỏi của de Mere, người vô tình trở thành người khởi xướng sự phát triển của lý thuyết xác suất. Điều thú vị là con người của de Mere vẫn được biết đến trong lĩnh vực này chứ không phải trong văn học.

Trước đây, chưa có nhà toán học nào cố gắng tính xác suất của các sự kiện, vì người ta tin rằng đây chỉ là một giải pháp phỏng đoán. Blaise Pascal đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất của một sự kiện và chỉ ra rằng đây là một con số cụ thể có thể chứng minh bằng toán học. Lý thuyết xác suất đã trở thành cơ sở cho thống kê và được sử dụng rộng rãi trong khoa học hiện đại.

ngẫu nhiên là gì

Nếu chúng ta xem xét một phép thử có thể được lặp lại vô số lần, thì chúng ta có thể định nghĩa một biến cố ngẫu nhiên. Đây là một trong những kết quả có thể xảy ra của trải nghiệm.

Kinh nghiệm là việc thực hiện các hành động cụ thể trong điều kiện không đổi.

Để có thể làm việc với kết quả của kinh nghiệm, các sự kiện thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C, D, E ...

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên

Để có thể tiến hành phần toán học của xác suất, cần phải xác định tất cả các thành phần của nó.

Xác suất của một sự kiện là thước đo bằng số về khả năng xảy ra một số sự kiện (A hoặc B) do trải nghiệm. Xác suất được ký hiệu là P(A) hoặc P(B).

Lý thuyết xác suất là:

• đáng tin cậy sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra do kết quả của thí nghiệm Р(Ω) = 1;
• không thể nào sự kiện không bao giờ có thể xảy ra Р(Ø) = 0;
• ngẫu nhiên biến cố nằm giữa chắc chắn và không thể xảy ra, tức là xác suất xảy ra của nó là có thể xảy ra nhưng không đảm bảo (xác suất của biến cố ngẫu nhiên luôn nằm trong khoảng 0≤P(A)≤1).

Mối quan hệ giữa các sự kiện

Cả một và tổng các sự kiện A + B đều được xem xét khi sự kiện được tính trong quá trình triển khai ít nhất một trong các thành phần A hoặc B hoặc cả hai - A và B.

Trong mối quan hệ với nhau, các sự kiện có thể là:

• Như nhau có thể.
• tương thích.
• không tương thích.
• Ngược lại (loại trừ lẫn nhau).
• Sự phụ thuộc.

Nếu hai biến cố có thể xảy ra với xác suất bằng nhau thì chúng đều có thể.

Nếu sự xuất hiện của biến cố A không triệt tiêu xác suất xuất hiện của biến cố B, thì chúng tương thích.

Nếu các biến cố A và B không bao giờ xảy ra đồng thời trong cùng một thí nghiệm thì chúng được gọi là không tương thích. Tung đồng xu là một ví dụ điển hình: mặt sấp sẽ tự động không xuất hiện mặt ngửa.

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích như vậy bao gồm tổng các xác suất của từng sự kiện:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Nếu sự xuất hiện của một sự kiện làm cho sự xuất hiện của sự kiện khác không thể xảy ra, thì chúng được gọi là ngược lại. Sau đó, một trong số chúng được chỉ định là A và cái còn lại - Ā (đọc là "không phải A"). Sự kiện A xảy ra có nghĩa là Ā không xảy ra. Hai sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh với tổng xác suất bằng 1.

Các sự kiện phụ thuộc có ảnh hưởng lẫn nhau, làm giảm hoặc tăng xác suất của nhau.

Mối quan hệ giữa các sự kiện. ví dụ

Việc hiểu các nguyên tắc của lý thuyết xác suất và sự kết hợp của các sự kiện bằng cách sử dụng các ví dụ sẽ dễ dàng hơn nhiều.

Thí nghiệm sẽ được thực hiện là kéo các quả bóng ra khỏi hộp và kết quả của mỗi thí nghiệm là một kết quả cơ bản.

Một sự kiện là một trong những kết quả có thể xảy ra của một trải nghiệm - một quả bóng đỏ, một quả bóng xanh, một quả bóng có số sáu, v.v.

Bài kiểm tra số 1. Có 6 quả bóng, trong đó có 3 quả màu xanh đánh số lẻ, 3 quả màu đỏ đánh số chẵn.

Bài kiểm tra số 2. Có 6 quả bóng màu xanh đánh số từ 1 đến 6.

Dựa trên ví dụ này, chúng ta có thể đặt tên cho các kết hợp:

• Sự kiện đáng tin cậy. bằng tiếng Tây Ban Nha Thứ 2, sự kiện "lấy được quả bóng màu xanh" là đáng tin cậy, vì xác suất xảy ra của nó là 1, vì tất cả các quả bóng đều màu xanh và không thể bỏ lỡ. Trong khi đó, sự kiện "lấy được quả bóng với số 1" là ngẫu nhiên.
• Sự kiện bất khả thi. bằng tiếng Tây Ban Nha Số 1 với các quả bóng màu xanh và đỏ, sự kiện "lấy được quả bóng màu tím" là không thể xảy ra vì xác suất xảy ra của nó bằng 0.
• Sự kiện tương đương bằng tiếng Tây Ban Nha 1 thì các biến cố “lấy được bi số 2” và “lấy được bi số 3” có xác suất xảy ra bằng nhau, các biến cố “lấy được bi số chẵn” và “lấy được bi số 2 ” có xác suất khác nhau.
• Các sự kiện tương thích Nhận được sáu trong quá trình tung xúc xắc hai lần liên tiếp là các sự kiện tương thích.
• Các sự kiện không tương thích Trong cùng một tiếng Tây Ban Nha Sự kiện số 1 "lấy bóng đỏ" và "lấy bóng số lẻ" không thể kết hợp trong cùng một trải nghiệm.
• sự kiện ngược lại. Ví dụ nổi bật nhất của việc này là tung đồng xu, trong đó việc rút mặt ngửa cũng giống như không rút mặt sấp và tổng xác suất của chúng luôn là 1 (nhóm đầy đủ).
• sự kiện phụ thuộc. Vì vậy, trong tiếng Tây Ban Nha Số 1, bạn có thể đặt cho mình mục tiêu lấy được quả bóng đỏ hai lần liên tiếp. Trích xuất hay không trích xuất lần đầu tiên ảnh hưởng đến xác suất trích xuất lần thứ hai.

Có thể thấy rằng sự kiện đầu tiên ảnh hưởng đáng kể đến xác suất của sự kiện thứ hai (40% và 60%).

Công thức xác suất sự kiện

Quá trình chuyển đổi từ bói toán sang dữ liệu chính xác xảy ra bằng cách chuyển chủ đề sang mặt phẳng toán học. Nghĩa là, các phán đoán về một sự kiện ngẫu nhiên như "xác suất cao" hoặc "xác suất tối thiểu" có thể được chuyển thành dữ liệu số cụ thể. Đã được phép đánh giá, so sánh và đưa tài liệu đó vào các tính toán phức tạp hơn.

Từ quan điểm tính toán, định nghĩa xác suất của một sự kiện là tỷ lệ giữa số lượng kết quả tích cực cơ bản với số lượng tất cả các kết quả có thể có của kinh nghiệm đối với một sự kiện cụ thể. Xác suất được ký hiệu là P (A), trong đó P có nghĩa là từ "xác suất", được dịch từ tiếng Pháp là "xác suất".

Vì vậy, công thức cho xác suất của một sự kiện là:

Trong đó m là số kết quả thuận lợi cho sự kiện A, n là tổng của tất cả các kết quả có thể xảy ra cho trải nghiệm này. Xác suất của một sự kiện luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Tính toán xác suất của một sự kiện. Ví dụ

Hãy học tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng, được mô tả trước đó: 3 quả bóng màu xanh có số 1/3/5 và 3 quả bóng màu đỏ có số 2/4/6.

Dựa trên thử nghiệm này, một số nhiệm vụ khác nhau có thể được xem xét:

• A - bóng đỏ rơi. Có 3 quả bóng đỏ và tổng cộng có 6 biến thể. Đây là ví dụ đơn giản nhất, trong đó xác suất của một biến cố là P(A)=3/6=0,5.
• B - giảm một số chẵn. Có tổng cộng 3 (2,4,6) số chẵn và tổng số các tùy chọn số có thể có là 6. Xác suất của sự kiện này là P(B)=3/6=0,5.
• C - mất một số lớn hơn 2. Có 4 phương án như vậy (3,4,5,6) trong tổng số các kết quả có thể xảy ra là 6. Xác suất của biến cố C là P(C)=4/6= 0,67.

Như có thể thấy từ các tính toán, sự kiện C có xác suất cao hơn, vì số lượng kết quả tích cực có thể xảy ra cao hơn ở A và B.

sự kiện không tương thích

Những sự kiện như vậy không thể xuất hiện đồng thời trong cùng một trải nghiệm. Như trong tiếng Tây Ban Nha Số 1, không thể có được một quả bóng màu xanh và màu đỏ cùng một lúc. Đó là, bạn có thể nhận được một quả bóng màu xanh hoặc màu đỏ. Tương tự như vậy, một số chẵn và một số lẻ không thể xuất hiện đồng thời trong một con súc sắc.

Xác suất của hai biến cố được coi là xác suất của tổng hoặc tích của chúng. Tổng của các sự kiện như vậy A + B được coi là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của một sự kiện A hoặc B và tích của AB của chúng - trong sự xuất hiện của cả hai. Ví dụ, sự xuất hiện của hai con sáu cùng một lúc trên mặt của hai con xúc xắc trong một lần ném.

Tổng của một số sự kiện là một sự kiện ngụ ý sự xuất hiện của ít nhất một trong số chúng. Sản phẩm của một số sự kiện là sự xuất hiện chung của tất cả chúng.

Trong lý thuyết xác suất, theo quy luật, việc sử dụng phép hợp "và" biểu thị tổng, phép hợp "hoặc" - phép nhân. Các công thức có ví dụ sẽ giúp bạn hiểu logic của phép cộng và phép nhân trong lý thuyết xác suất.

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích

Nếu xác suất của các sự kiện không tương thích được xem xét, thì xác suất của tổng các sự kiện bằng tổng xác suất của chúng:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ví dụ: chúng tôi tính xác suất bằng tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng màu xanh và đỏ sẽ đánh rơi một số từ 1 đến 4. Chúng tôi sẽ tính toán không phải bằng một hành động mà bằng tổng xác suất của các thành phần cơ bản. Vì vậy, trong một thí nghiệm như vậy chỉ có 6 quả bóng hoặc 6 trong số tất cả các kết quả có thể xảy ra. Các số thỏa mãn điều kiện là 2 và 3. Xác suất ra được số 2 là 1/6, xác suất ra được số 3 cũng là 1/6. Xác suất để được số từ 1 đến 4 là:

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích của một nhóm hoàn chỉnh là 1.

Vì vậy, nếu trong thí nghiệm với một khối lập phương, chúng ta cộng các xác suất để nhận được tất cả các số, thì kết quả là chúng ta sẽ nhận được một.

Điều này cũng đúng đối với các biến cố ngược chiều, ví dụ, trong thí nghiệm với một đồng xu, trong đó một trong các mặt của nó là biến cố A và mặt kia là biến cố ngược lại Ā, như đã biết,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Xác suất tạo ra các sự kiện không tương thích

Phép nhân xác suất được sử dụng khi xem xét sự xuất hiện của hai hoặc nhiều sự kiện xung khắc trong một lần quan sát. Xác suất để các sự kiện A và B xuất hiện trong đó cùng một lúc bằng tích các xác suất của chúng, hoặc:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Ví dụ, xác suất mà trong Số 1 là kết quả của hai lần thử, một quả bóng màu xanh sẽ xuất hiện hai lần, bằng

Nghĩa là, xác suất của một sự kiện xảy ra khi, do kết quả của hai lần thử lấy các quả bóng, chỉ các quả bóng màu xanh sẽ được lấy ra, là 25%. Rất dễ dàng để thực hiện các thí nghiệm thực tế về vấn đề này và xem liệu đây có phải là trường hợp thực tế hay không.

sự kiện chung

Các sự kiện được coi là chung khi sự xuất hiện của một trong số chúng có thể trùng với sự xuất hiện của sự kiện kia. Mặc dù thực tế là chúng liên kết với nhau, xác suất của các sự kiện độc lập vẫn được xem xét. Ví dụ: tung hai con xúc xắc có thể cho kết quả khi cả hai con đều có số 6. Mặc dù các sự kiện trùng khớp và xuất hiện đồng thời nhưng chúng độc lập với nhau - chỉ một con sáu có thể rơi ra, con xúc xắc thứ hai không có. ảnh hưởng lên nó.

Xác suất của các sự kiện chung được coi là xác suất của tổng của chúng.

Xác suất của tổng các sự kiện chung. Ví dụ

Xác suất của tổng các sự kiện A và B, liên quan đến nhau trong mối quan hệ với nhau, bằng tổng xác suất của sự kiện trừ đi xác suất của sản phẩm của chúng (nghĩa là sự thực hiện chung của chúng):

khớp R. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Giả sử rằng xác suất bắn trúng mục tiêu bằng một lần bắn là 0,4. Sau đó, sự kiện A - bắn trúng mục tiêu trong lần thử đầu tiên, B - trong lần thứ hai. Những sự kiện này là chung, vì có thể bắn trúng mục tiêu cả từ phát thứ nhất và từ phát thứ hai. Nhưng các sự kiện không phụ thuộc. Xác suất của sự kiện bắn trúng mục tiêu bằng hai phát (ít nhất một) là bao nhiêu? Theo công thức:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Đáp án cho câu hỏi là: "Xác suất bắn trúng mục tiêu bằng hai lần bắn là 64%".

Công thức tính xác suất của một biến cố này cũng có thể được áp dụng cho các biến cố xung khắc, trong đó xác suất xảy ra đồng thời của một biến cố P(AB) = 0. Điều này có nghĩa là xác suất của tổng các biến cố xung khắc có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của công thức đề xuất.

Hình học xác suất cho rõ ràng

Thật thú vị, xác suất của tổng các sự kiện chung có thể được biểu diễn dưới dạng hai khu vực A và B giao nhau. Như bạn có thể thấy từ hình ảnh, diện tích liên kết của chúng bằng tổng diện tích trừ đi diện tích giao điểm của chúng. Giải thích hình học này làm cho công thức có vẻ phi logic trở nên dễ hiểu hơn. Lưu ý rằng các giải pháp hình học không phải là hiếm trong lý thuyết xác suất.

Định nghĩa về xác suất của tổng của một tập hợp (hơn hai) sự kiện chung là khá rườm rà. Để tính toán nó, bạn cần sử dụng các công thức được cung cấp cho những trường hợp này.

sự kiện phụ thuộc

Các sự kiện phụ thuộc được gọi nếu sự xuất hiện của một (A) trong số chúng ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của (B) kia. Hơn nữa, ảnh hưởng của cả việc xảy ra và không xảy ra sự kiện A đều được tính đến. Mặc dù các sự kiện được gọi là phụ thuộc theo định nghĩa, nhưng chỉ một trong số chúng là phụ thuộc (B). Xác suất thông thường được ký hiệu là P(B) hoặc xác suất của các sự kiện độc lập. Trong trường hợp người phụ thuộc, một khái niệm mới được đưa ra - xác suất có điều kiện P A (B), là xác suất của sự kiện phụ thuộc B với điều kiện là sự kiện A (giả thuyết) đã xảy ra mà nó phụ thuộc vào.

Nhưng sự kiện A cũng là ngẫu nhiên nên nó cũng có xác suất phải và có thể tính đến trong các phép tính. Ví dụ sau sẽ chỉ ra cách làm việc với các sự kiện phụ thuộc và một giả thuyết.

Ví dụ về tính xác suất của các sự kiện phụ thuộc

Một ví dụ điển hình để tính các sự kiện phụ thuộc là một cỗ bài tiêu chuẩn.

Trong ví dụ về bộ bài 36 lá, hãy xem xét các sự kiện phụ thuộc. Cần xác định xác suất để lá bài thứ hai được rút ra từ bộ bài sẽ là bộ kim cương, nếu lá bài đầu tiên được rút ra là:

1. Lục lạc.
2. Một bộ đồ khác.

Rõ ràng, xác suất của sự kiện B thứ hai phụ thuộc vào sự kiện A đầu tiên. Vì vậy, nếu lựa chọn đầu tiên là đúng, đó là 1 thẻ (35) và 1 viên kim cương (8) ít hơn trong bộ bài, thì xác suất của sự kiện B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Nếu phương án thứ hai là đúng, thì có 35 lá bài trong bộ bài và tổng số trống lục lạc (9) vẫn được giữ nguyên, thì xác suất của biến cố sau là B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Có thể thấy rằng nếu sự kiện A có điều kiện là quân bài đầu tiên là một viên kim cương, thì xác suất của sự kiện B sẽ giảm và ngược lại.

Nhân các sự kiện phụ thuộc

Dựa vào chương trước, chúng ta chấp nhận sự kiện đầu tiên (A) là một sự thật, nhưng về bản chất, nó có tính chất ngẫu nhiên. Xác suất của sự kiện này, cụ thể là lấy được một trống lục lạc từ một cỗ bài, bằng:

P(A) = 9/36=1/4

Vì lý thuyết không tự tồn tại mà được kêu gọi để phục vụ các mục đích thực tế, nên công bằng mà nói, hầu hết các trường hợp đều cần đến xác suất tạo ra các sự kiện phụ thuộc.

Theo định lý về tích xác suất của các sự kiện phụ thuộc, xác suất xảy ra các sự kiện phụ thuộc chung A và B bằng xác suất của một sự kiện A, nhân với xác suất có điều kiện của sự kiện B (tùy thuộc vào A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Sau đó, trong ví dụ với một cỗ bài, xác suất rút được hai lá bài có bộ kim cương là:

9/36*8/35=0,0571 hay 5,7%

Và xác suất lấy ra không phải kim cương lúc đầu, rồi sau đó là kim cương, bằng:

27/36*9/35=0,19 hoặc 19%

Có thể thấy rằng xác suất xảy ra sự kiện B lớn hơn, với điều kiện là một quân bài của một bộ đồ không phải là một viên kim cương được rút trước. Kết quả này khá logic và dễ hiểu.

Tổng xác suất của một sự kiện

Khi một vấn đề với xác suất có điều kiện trở nên nhiều mặt, nó không thể được tính toán bằng các phương pháp thông thường. Khi có nhiều hơn hai giả thuyết, cụ thể là A1, A2, ..., A n, .. tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố với điều kiện:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Vậy công thức tính tổng xác suất của biến cố B với nhóm đầy đủ các biến cố ngẫu nhiên A1, A2, ..., A n là:

Một cái nhìn về tương lai

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là cần thiết trong nhiều lĩnh vực khoa học: kinh tế lượng, thống kê, vật lý, v.v. Vì một số quy trình không thể được mô tả một cách xác định, vì bản thân chúng là xác suất, nên cần có các phương pháp làm việc đặc biệt. Xác suất của một lý thuyết sự kiện có thể được sử dụng trong bất kỳ lĩnh vực công nghệ nào như một cách để xác định khả năng xảy ra lỗi hoặc trục trặc.

Có thể nói rằng, bằng cách thừa nhận xác suất, chúng ta phần nào tiến một bước về mặt lý thuyết vào tương lai, nhìn nó qua lăng kính của các công thức.