Chúng ta đừng nghĩ về sự cao cả trong một thời gian dài - chúng ta hãy bắt đầu ngay với một định nghĩa.

- đây là khi n thí nghiệm độc lập cùng loại được thực hiện, trong mỗi thí nghiệm có thể xuất hiện một sự kiện A mà chúng ta quan tâm và xác suất của sự kiện này P (A) \ u003d p được biết đến. Yêu cầu xác định xác suất để sự kiện A xảy ra đúng k lần trong n lần thử nghiệm.

Các nhiệm vụ được giải quyết theo sơ đồ Bernoulli vô cùng đa dạng: từ những nhiệm vụ đơn giản (chẳng hạn như “tìm xác suất người bắn trúng 1 lần trong số 10”) đến những nhiệm vụ rất khắc nghiệt (ví dụ: nhiệm vụ theo tỷ lệ phần trăm hoặc đang chơi bài). Trong thực tế, sơ đồ này thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến kiểm soát chất lượng sản phẩm và độ tin cậy của các cơ chế khác nhau, tất cả các đặc tính của chúng phải được biết trước khi bắt đầu công việc.

Hãy quay trở lại định nghĩa. Vì chúng tôi đang nói chuyện trên các thử nghiệm độc lập và trong mỗi thử nghiệm, xác suất của sự kiện A là như nhau, chỉ có hai kết quả có thể xảy ra:

1. A là lần xuất hiện biến cố A với xác suất p;
2. "not A" - sự kiện A không xuất hiện, xảy ra với xác suất q = 1 - p.

Điều kiện quan trọng nhất mà sơ đồ Bernoulli mất đi ý nghĩa của nó là tính không đổi. Bất kể chúng ta tiến hành bao nhiêu thí nghiệm, chúng ta đều quan tâm đến cùng một sự kiện A, xảy ra với cùng một xác suất p.

Ngẫu nhiên, không phải tất cả các vấn đề trong lý thuyết xác suất đều có thể được rút gọn thành các điều kiện không đổi. Bất kỳ gia sư có thẩm quyền sẽ cho bạn biết về điều này. toán học cao hơn. Ngay cả một việc đơn giản như lấy các quả bóng màu ra khỏi hộp cũng không phải là một thí nghiệm với các điều kiện không đổi. Họ lấy ra một quả bóng khác - tỷ lệ màu sắc trong hộp đã thay đổi. Do đó, các xác suất cũng đã thay đổi.

Nếu các điều kiện không đổi, người ta có thể xác định chính xác xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong số n có thể. Chúng tôi hình thành dữ kiện này dưới dạng một định lý:

Cho xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi thí nghiệm là không đổi và bằng p. Khi đó xác suất để trong n lần thử nghiệm độc lập, sự kiện A xuất hiện đúng k lần được tính theo công thức:

trong đó C n k là số tổ hợp, q = 1 - p.

Công thức này được gọi là: Có một điều thú vị là các vấn đề dưới đây hoàn toàn được giải quyết mà không cần sử dụng công thức này. Ví dụ, bạn có thể áp dụng các công thức cộng xác suất. Tuy nhiên, số lượng tính toán sẽ đơn giản là không thực tế.

Một nhiệm vụ. Xác suất sinh ra phế phẩm của máy là 0,2. Xác định xác suất để trong một lô gồm mười bộ phận được sản xuất trên một máy đã cho có đúng k không có khuyết tật. Giải bài toán cho k = 0, 1, 10.

Theo điều kiện, ta quan tâm đến trường hợp A xuất xưởng sản phẩm không có khuyết tật, xảy ra mọi lúc với xác suất p = 1 - 0,2 = 0,8. Chúng ta cần xác định xác suất để sự kiện này xảy ra k lần. Sự kiện A đối lập với sự kiện "không phải A", tức là sản xuất một sản phẩm bị lỗi.

Như vậy, ta có: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Vì vậy, chúng tôi tìm xác suất để tất cả các bộ phận trong lô bị lỗi (k = 0), chỉ một bộ phận bị lỗi (k = 1) và không có bộ phận nào bị lỗi (k = 10):

Một nhiệm vụ. Đồng xu được tung 6 lần. Việc mất quốc huy và đuôi đều có thể xảy ra. Tìm xác suất để:

1. quốc huy sẽ rụng ba lần;
2. quốc huy sẽ rụng một lần;
3. quốc huy sẽ xuất hiện ít nhất hai lần.

Vì vậy, chúng tôi quan tâm đến sự kiện A, khi quốc huy rơi ra. Xác suất của biến cố này là p = 0,5. Sự kiện A bị ngược lại bởi sự kiện “không phải A”, khi nó xuất hiện các đầu đuôi, xảy ra với xác suất q = 1 - 0,5 = 0,5. Cần xác định xác suất để quốc huy rơi ra k lần.

Như vậy, ta có: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Hãy để chúng tôi xác định xác suất để quốc huy rơi ra ba lần, tức là k = 3:

Bây giờ, hãy xác định xác suất để quốc huy chỉ rơi ra một lần, tức là k = 1:

Vẫn còn để xác định với xác suất quốc huy sẽ rơi ra ít nhất hai lần. Điều khó khăn chính là trong cụm từ "không kém". Hóa ra là bất kỳ k nào, ngoại trừ 0 và 1, sẽ phù hợp với chúng ta, tức là bạn cần tìm giá trị của tổng X \ u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Lưu ý rằng tổng này cũng bằng (1 - P 6 (0) - P 6 (1)), tức là đủ tất cả tùy chọn"Cắt bỏ" những trường hợp quốc huy rơi ra 1 lần (k = 1) hoặc hoàn toàn không rơi ra (k = 0). Vì P 6 (1) chúng ta đã biết nên vẫn phải tìm P 6 (0):

Một nhiệm vụ. Xác suất để một TV có các khuyết tật tiềm ẩn là 0,2. Kho nhận được 20 TV. Sự kiện nào có khả năng xảy ra cao hơn: rằng có hai TV bị lỗi ẩn trong lô hoặc ba chiếc này?

Sự kiện quan tâm A là sự hiện diện của một khiếm khuyết tiềm ẩn. Tổng số TV n = 20, xác suất để khuyết tật p = 0,2. Theo đó, xác suất để được một chiếc TV không bị khuyết tật ẩn là q = 1 - 0,2 = 0,8.

Chúng ta nhận được các điều kiện bắt đầu cho lược đồ Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Hãy tìm xác suất để có được hai TV "bị lỗi" (k = 2) và ba (k = 3):

\ [\ begin (array) (l) (P_ (20)) \ left (2 \ right) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Rõ ràng, P 20 (3)> P 20 (2), tức là xác suất nhận được ba TV có khuyết tật tiềm ẩn nhiều hơn khả năng chỉ nhận được hai TV như vậy. Hơn nữa, sự khác biệt không phải là yếu kém.

Một lưu ý nhỏ về giai thừa. Nhiều người cảm thấy mơ hồ khó chịu khi nhìn thấy mục nhập "0!" (đọc "giai thừa không"). Vì vậy, 0! = 1 theo định nghĩa.

Tái bút: Và xác suất lớn nhất trong nhiệm vụ cuối cùng là lấy được bốn chiếc TV có khuyết tật ẩn. Làm phép toán và xem cho chính mình.

Xem thêm:

Cảm ơn bạn đã đọc và chia sẻ với những người khác

Khi giải quyết các vấn đề xác suất, người ta thường gặp các tình huống trong đó cùng một phiên tòa được lặp lại nhiều lần và kết quả của mỗi phiên tòa độc lập với kết quả của những phiên tòa khác. Thí nghiệm này còn được gọi là sơ đồ các bài kiểm tra độc lập lặp đi lặp lại hoặc Đề án Bernoulli.

Ví dụ về kiểm tra lại:

1) chiết xuất nhiều lần một quả bóng từ bình, với điều kiện quả bóng được lấy ra sau khi đăng ký màu sắc của nó được đưa trở lại bình;

2) lặp lại bởi một người bắn các phát bắn vào cùng một mục tiêu, miễn là xác suất trúng đích thành công của mỗi phát bắn là như nhau (vai trò của bắn không được tính đến).

Vì vậy, hãy để kết quả của bài kiểm tra có thể hai kết quả: một sự kiện sẽ xuất hiện NHƯNG, hoặc sự kiện ngược lại của nó. Hãy thực hiện n thử nghiệm Bernoulli. Điều này có nghĩa là tất cả n thử nghiệm là độc lập; xác suất xuất hiện của sự kiện $ A $ trong mỗi phép thử riêng lẻ hoặc đơn lẻ là không đổi và không thay đổi từ thử nghiệm này sang thử nghiệm khác (tức là các thử nghiệm được thực hiện trong cùng các điều kiện). Hãy để chúng tôi biểu thị xác suất xảy ra sự kiện $ A $ trong một thử nghiệm duy nhất bằng chữ cái $ p $, tức là $ p = P (A) $, và xác suất sự kiện ngược lại(sự kiện $ А $ không xảy ra) - với chữ cái $ q = P (\ overline (A)) = 1-p $.

Sau đó, xác suất mà sự kiện NHƯNG sẽ xuất hiện trong những N kiểm tra chính xác k lần, bày tỏ Công thức Bernoulli

$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^ (n-k), \ quad q = 1-p. $$

Sự phân bố số lần thành công (lần xuất hiện của một sự kiện) được gọi là phân phối nhị thức.

Máy tính trực tuyến cho công thức Bernoulli

Một số dạng bài toán phổ biến nhất sử dụng công thức Bernoulli được phân tích trong các bài báo và được cung cấp một máy tính trực tuyến, bạn có thể truy cập chúng bằng cách sử dụng các liên kết:

Ví dụ về các giải pháp cho các vấn đề về công thức Bernoulli

Thí dụ. Một bình đựng 20 viên bi trắng và 10 bi đen. 4 viên bi được lấy ra, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại bình trước khi người tiếp theo được rút ra và các bóng trong bình được trộn lẫn.

Công thức Bernoulli. Giải quyết vấn đề

Tìm xác suất để 2 trong 4 bi rút ra có màu trắng.

Dung dịch. Biến cố NHƯNG- có một quả bóng màu trắng. Sau đó, các xác suất
, .
Theo công thức Bernoulli, xác suất yêu cầu là
.

Thí dụ. Xác định xác suất để một gia đình có 5 người con, có không quá 3 bạn gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Dung dịch. Xác suất sinh con gái
, sau đó .

Hãy tìm xác suất để trong một gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái:

, ,

, .

Do đó, xác suất mong muốn

.

Thí dụ. Trong số các bộ phận do công nhân gia công, có trung bình 4% không đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để hai trong số 30 bộ phận được lấy để kiểm tra không đạt tiêu chuẩn.

Dung dịch.Ở đây, kinh nghiệm nằm ở việc kiểm tra chất lượng của từng bộ phận trong số 30 bộ phận.

Sự kiện A là “sự xuất hiện của một bộ phận không chuẩn”, khi đó, xác suất của nó là. Từ đây, theo công thức Bernoulli, chúng ta thấy
.

Thí dụ. Với mỗi lần bắn cá nhân từ súng, xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,9. Tìm xác suất để trong 20 lần bắn có số lần bắn thành công ít nhất là 16 và nhiều nhất là 19.

Dung dịch. Chúng tôi tính toán theo công thức Bernoulli:

Thí dụ. Các thử nghiệm độc lập tiếp tục cho đến khi sự kiện NHƯNG sẽ không xảy ra k Một lần. Tìm xác suất để điều đó xảy ra N thử nghiệm (n ³ k), nếu trong mỗi thử nghiệm.

Dung dịch. Biến cố TẠI- một cách chính xác N kiểm tra trước k-sự xuất hiện của sự kiện NHƯNG là sản phẩm của hai sự kiện sau:

D-in N bài kiểm tra thứ NHƯNGđã xảy ra;

C - đầu tiên (n – 1) bài kiểm tra thứ NHƯNGđã xuất hiện (k-1) Một lần.

Định lý nhân và công thức Bernoulli đưa ra xác suất cần thiết:

Cần lưu ý rằng việc sử dụng luật nhị thức thường đi kèm với những khó khăn về tính toán. Do đó, với giá trị ngày càng tăng N và m nó trở nên thích hợp để sử dụng các công thức gần đúng (Poisson, Moivre-Laplace), sẽ được thảo luận trong các phần sau.

Video hướng dẫn công thức Bernoulli

Đối với những người dễ hình dung hơn trong phần giải thích video tuần tự, một video dài 15 phút:

Công thức xác suất tổng: Lý thuyết và ví dụ về giải quyết vấn đề

Công thức xác suất tổng và xác suất có điều kiện của các sự kiện

Công thức xác suất đầy đủ là hệ quả của các quy tắc cơ bản của lý thuyết xác suất - quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Công thức xác suất tổng cho phép bạn tìm xác suất của một sự kiện Một, điều này chỉ có thể xảy ra với mỗi N các sự kiện loại trừ lẫn nhau tạo thành một hệ thống hoàn chỉnh nếu xác suất của chúng được biết, và xác suất có điều kiện sự phát triển Mộtđối với mỗi sự kiện của hệ thống bằng.

Các sự kiện còn được gọi là giả thuyết, chúng loại trừ lẫn nhau. Do đó, trong tài liệu, bạn cũng có thể tìm thấy tên gọi của chúng không phải bằng chữ cái B, nhưng với một lá thư H(giả thiết).

Để giải quyết vấn đề với các điều kiện như vậy, cần phải xem xét 3, 4, 5 hoặc trong trường hợp chung N khả năng xảy ra một sự kiện Một với mọi sự kiện.

Sử dụng các định lý cộng và nhân xác suất, chúng ta thu được tổng các tích của xác suất của mỗi sự kiện của hệ bằng xác suất có điều kiện sự phát triển Một cho mỗi sự kiện trong hệ thống.

21 Thử nghiệm của Bernoulli. Công thức Bernoulli

Đó là, xác suất của một sự kiện Một có thể được tính bằng công thức

hoặc nói chung

,

được gọi là công thức tổng xác suất .

Công thức xác suất tổng: các ví dụ về giải quyết vấn đề

ví dụ 1 Có ba lọ giống hệt nhau: trong cái thứ nhất có 2 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen, trong chiếc thứ hai có 4 quả bóng màu trắng và một chiếc màu đen, ở chiếc thứ ba có ba quả bóng màu trắng. Ai đó ngẫu nhiên đến gần một trong các lọ và lấy một quả bóng ra khỏi nó. Lợi dụng công thức tổng xác suất, tìm xác suất để quả bóng có màu trắng.

Dung dịch. Biến cố Một- vẻ bề ngoài Quả bóng trắng. Chúng tôi đưa ra ba giả thuyết:

- bình đầu tiên được chọn;

- bình thứ hai được chọn;

- chiếc bình thứ ba được chọn.

Xác suất sự kiện có điều kiện Một cho mỗi giả thuyết:

, , .

Kết quả là chúng tôi áp dụng công thức xác suất tổng - xác suất bắt buộc:

.

Ví dụ 2Ở nhà máy thứ nhất, cứ 100 bóng đèn thì có trung bình 90 bóng đèn tiêu chuẩn được sản xuất, ở nhà máy thứ hai - 95, nhà máy thứ ba - 85 và sản lượng của các nhà máy này lần lượt là 50%, 30% và 20% của tất cả các bóng điện cung cấp cho các cửa hàng của một khu vực nhất định. Tìm xác suất để mua được một bóng đèn tiêu chuẩn.

Dung dịch. Hãy để chúng tôi biểu thị xác suất có được một bóng đèn tiêu chuẩn là Một, và các sự kiện mà bóng đèn đã mua được sản xuất lần lượt tại các nhà máy thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Theo điều kiện, xác suất của những sự kiện này được biết đến:, và xác suất có điều kiện của sự kiện Một liên quan đến từng người trong số họ: , , . Đây là các xác suất để có được một bóng đèn tiêu chuẩn, với điều kiện nó được sản xuất tại nhà máy thứ nhất, thứ hai và thứ ba, tương ứng.

Biến cố Một sẽ xảy ra nếu một sự kiện xảy ra hoặc K- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy đầu tiên và là tiêu chuẩn, hoặc một sự kiện L- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy thứ hai và là tiêu chuẩn, hoặc một sự kiện M- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy thứ 3 và đạt tiêu chuẩn.

Các khả năng xảy ra sự kiện khác Một không. Do đó, sự kiện Một là tổng các sự kiện K, L và M không tương thích. Áp dụng định lý cộng xác suất, chúng ta biểu diễn xác suất của một sự kiện Một như

và bằng định lý nhân xác suất, chúng ta nhận được

đó là, trương hợp đặc biệt tổng công thức xác suất.

Thay xác suất vào vế trái của công thức, chúng ta thu được xác suất của biến cố Một:

Bạn không có thời gian để đi sâu tìm hiểu giải pháp? Bạn có thể đặt hàng một công việc!

Ví dụ 3 Máy bay đang hạ cánh xuống sân bay. Nếu thời tiết cho phép, phi công hạ cánh máy bay, ngoài các dụng cụ, còn có quan sát bằng mắt. Trong trường hợp này, xác suất hạ cánh thành công là. Nếu sân bay u ám với những đám mây thấp, thì phi công hạ cánh máy bay, chỉ định hướng bằng các thiết bị. Trong trường hợp này, xác suất hạ cánh thành công là; .

Các thiết bị cung cấp hạ cánh mù có độ tin cậy (xác suất hoạt động không xảy ra lỗi) P. Trong điều kiện có mây mù thấp và các thiết bị hạ cánh mù không thành công, xác suất hạ cánh thành công là; . Thống kê cho thấy rằng trong k% đổ bộ, sân bay bị bao phủ bởi những đám mây thấp. Tìm thấy xác suất đầy đủ của sự kiệnMột- hạ cánh an toàn của máy bay.

Dung dịch. Các giả thuyết:

- không có mây thấp;

- Có mây mù che phủ thấp.

Xác suất của các giả thuyết (sự kiện) này:

;

Xác suất có điều kiện.

Xác suất có điều kiện lại được tìm thấy bằng công thức xác suất tổng với các giả thuyết

- thiết bị hạ cánh mù đang hoạt động;

- thiết bị hạ cánh mù không thành công.

Xác suất của các giả thuyết này là:

Theo công thức xác suất tổng

Ví dụ 4 Thiết bị có thể hoạt động ở hai chế độ: bình thường và bất thường. Chế độ bình thường được quan sát thấy trong 80% tất cả các trường hợp hoạt động của thiết bị và bất thường - trong 20% ​​trường hợp. Xác suất hỏng hóc thiết bị thời gian nhất định t bằng 0,1; trong 0,7 bất thường. Tìm thấy xác suất đầy đủ lỗi thiết bị trong thời gian t.

Dung dịch. Chúng tôi lại biểu thị xác suất hỏng hóc thiết bị là Một. Vì vậy, liên quan đến hoạt động của thiết bị trong mỗi chế độ (sự kiện), xác suất được biết theo điều kiện: đối với chế độ bình thường là 80% (), đối với chế độ bất thường - 20% (). Xác suất sự kiện Một(nghĩa là, sự hỏng hóc của thiết bị) tùy thuộc vào sự kiện đầu tiên (chế độ bình thường) là 0,1 (); tùy thuộc vào sự kiện thứ hai (chế độ bất thường) - 0,7 ( ). Chúng tôi thay thế các giá trị này vào công thức xác suất tổng (nghĩa là tổng các tích của xác suất của mỗi sự kiện của hệ thống và xác suất có điều kiện của sự kiện Mộtđối với từng sự kiện của hệ thống) và chúng tôi có kết quả theo yêu cầu.

1

1. Bogolyubov A.N. Toán học. Cơ học: một hướng dẫn tiểu sử. - Kyiv: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Phân tích, đánh giá mức độ ưu tiên của các phần của các ngành toán học của sinh viên các chuyên ngành kinh tế đại học nông nghiệp// Bản tin của khu liên hợp công nghiệp nông nghiệp Stavropol. - 2013. - Số 1 (9). - Tr 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Triển vọng ứng dụng phương pháp toán học Trong nghiên cứu kinh tế// Khoa học nông nghiệp, sáng tạo, tăng trưởng. - 2013. - S. 255-257.

Trong toán học, khá thường xuyên có những vấn đề trong đó có một số lượng lớn sự lặp lại của cùng một điều kiện, thử nghiệm hoặc thử nghiệm. Kết quả của mỗi lần kiểm tra sẽ được coi là một kết quả hoàn toàn khác với lần trước. Sự phụ thuộc vào kết quả cũng sẽ không được quan sát. Theo kết quả kiểm tra, có thể phân biệt một số khả năng xảy ra các hệ quả cơ bản: sự xuất hiện của một sự kiện (A) hoặc sự xuất hiện của một sự kiện bổ sung cho A.

Sau đó, hãy thử giả sử rằng xác suất xuất hiện của sự kiện Р (А) là thường xuyên và bằng р (0<р<1).

Ví dụ về một thử thách như vậy có thể là một số lượng lớn các nhiệm vụ, chẳng hạn như tung đồng xu, lấy quả bóng đen và trắng từ một chiếc túi tối hoặc sinh ra những con thỏ đen và trắng.

Một thử nghiệm như vậy được gọi là một cấu hình thử nghiệm độc lập lặp lại hoặc một lược đồ Bernoulli.

Jacob Bernoulli sinh ra trong một gia đình làm nghề dược. Người cha đã cố gắng hướng dẫn con trai mình theo con đường y học, nhưng J. Bernoulli đã tự mình hứng thú với toán học, và sau này nó trở thành nghề nghiệp của ông. Anh sở hữu nhiều danh hiệu khác nhau trong các công trình về các chủ đề lý thuyết xác suất và số, chuỗi và phép tính vi phân. Sau khi nghiên cứu lý thuyết xác suất từ ​​một trong những công trình của Huygens "Về các phép tính trong cờ bạc", Jacob bắt đầu quan tâm đến điều này. Trong cuốn sách này, thậm chí không có định nghĩa rõ ràng về khái niệm "xác suất". Chính J. Bernoulli là người đã đưa hầu hết các khái niệm hiện đại của lý thuyết xác suất vào toán học. Bernoulli cũng là người đầu tiên phát biểu phiên bản của mình về quy luật số lớn. Tên của Jacob được mang bởi nhiều công trình, định lý và lược đồ khác nhau: "Số Bernoulli", "Đa thức Bernoulli", "Phương trình vi phân Bernoulli", "Phân phối Bernoulli" và "Phương trình Bernoulli".

Hãy quay lại với sự lặp lại. Như đã đề cập ở trên, do kết quả của các thử nghiệm khác nhau, có thể có hai kết quả: hoặc sự kiện A sẽ xuất hiện, hoặc sự kiện ngược lại với sự kiện này. Bản thân lược đồ Bernoulli biểu thị việc tạo ra số thứ n các thử nghiệm miễn phí điển hình và trong mỗi thử nghiệm này, sự kiện A mà chúng ta cần có thể xuất hiện (xác suất của sự kiện này đã biết: P (A) \ u003d p), xác suất của sự kiện ngược lại với sự kiện A được biểu thị bằng q \ u003d P (A) = 1-p. Yêu cầu xác định xác suất để khi kiểm tra một ẩn số thì biến cố A xảy ra đúng k lần.

Điều quan trọng cần nhớ là điều kiện chính khi giải các bài toán bằng lược đồ Bernoulli là hằng số. Không có nó, kế hoạch mất tất cả ý nghĩa.

Sơ đồ này có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề có nhiều mức độ phức tạp khác nhau: từ đơn giản (cùng một đồng tiền) đến phức tạp (lãi suất). Tuy nhiên, sơ đồ Bernoulli thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến việc kiểm soát các thuộc tính của các sản phẩm khác nhau và sự tin tưởng vào nhiều cơ chế khác nhau. Chỉ để giải quyết vấn đề, trước khi bắt đầu công việc, tất cả các điều kiện và giá trị \ u200b \ u200b phải được biết trước.

Không phải tất cả các vấn đề trong lý thuyết xác suất đều giảm thành hằng số trong các điều kiện. Ngay cả khi chúng ta lấy các quả bóng đen và trắng trong một chiếc túi tối màu làm ví dụ: khi một quả bóng được rút ra, tỷ lệ số lượng và màu sắc của các quả bóng trong túi đã thay đổi, điều đó có nghĩa là xác suất chính nó đã thay đổi.

Tuy nhiên, nếu các điều kiện của chúng ta không đổi, thì chúng ta có thể xác định chính xác xác suất yêu cầu từ chúng ta rằng sự kiện A sẽ xảy ra đúng k lần trong số n có thể.

Thực tế này đã được Jacob Bernoulli tổng hợp thành một định lý, mà sau này được biết đến với tên của ông. "Định lý Bernoulli" là một trong những định lý chính trong lý thuyết xác suất. Nó được xuất bản lần đầu tiên trong tác phẩm của J. Bernoulli "Nghệ thuật của những giả định". Định lý này là gì? “Nếu xác suất p để xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử là không đổi, thì xác suất Pk, n để biến cố xảy ra k lần trong n lần thử độc lập với nhau bằng :, trong đó q = 1-p . ”

Trong phần chứng minh tính hiệu quả của công thức, các nhiệm vụ có thể được đưa ra.

Nhiệm vụ 1:

Hết n lọ thủy tinh mỗi tháng bảo quản, k bị vỡ. Lấy ngẫu nhiên m lon. Tìm xác suất để trong số các lọ này có l không bị vỡ. n = 250, k = 10, m = 8, l = 4.

Giải pháp: Chúng tôi có một lược đồ Bernoulli với các giá trị:

p = 10/250 = 0,04 (xác suất ngân hàng bị vỡ);

n = 8 (số lần thử nghiệm);

k = 8-4 = 4 (số lọ bị vỡ).

Chúng tôi sử dụng công thức Bernoulli

Được:

Trả lời: 0,0141

Nhiệm vụ 2:

Xác suất để trong quá trình sản xuất có một sản phẩm bị lỗi là 0,2. Tìm xác suất để trong số 10 sản phẩm được sản xuất tại cơ sở sản xuất này, có đúng k phải ở tình trạng tốt. Chạy giải cho k = 0, 1, 10.

Chúng ta quan tâm đến sự kiện A - sản xuất các bộ phận có thể sử dụng được, xảy ra mỗi giờ một lần với xác suất p = 1-0,2 = 0,8. Chúng ta cần tìm xác suất để biến cố đã cho xảy ra k lần. Sự kiện A đối lập với sự kiện "không phải A", tức là sản xuất một sản phẩm bị lỗi.

Do đó, ta có: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Kết quả là ta tìm được xác suất để trong số 10 sản phẩm sản xuất ra thì có tất cả các sản phẩm đều bị lỗi (k = 0), có một sản phẩm ở tình trạng tốt (k = 1), không có sản phẩm nào bị lỗi (k = 10) :

Kết lại, tôi muốn lưu ý rằng trong thời hiện đại, nhiều nhà khoa học đang cố gắng chứng minh rằng "công thức Bernoulli" không tuân thủ các quy luật tự nhiên và rằng các vấn đề có thể được giải quyết mà không cần áp dụng nó vào sử dụng. Tất nhiên, điều này là có thể, hầu hết các bài toán trong lý thuyết xác suất có thể được thực hiện mà không có công thức Bernoulli, điều chính là không để bị nhầm lẫn trong một khối lượng lớn các con số.

Liên kết thư mục

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. CÔNG THỨC CỦA BERNULLI TRONG LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG TĂNG CƯỜNG // Bản tin Khoa học Sinh viên Quốc tế. - 2015. - Số 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (ngày truy cập: 03/12/2019). Chúng tôi mang đến cho bạn sự chú ý của các tạp chí do nhà xuất bản "Học viện Lịch sử Tự nhiên" xuất bản

Thống kê giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề, ví dụ: khi không thể xây dựng mô hình xác định, khi có quá nhiều yếu tố hoặc khi chúng ta cần ước tính khả năng xảy ra của một mô hình được xây dựng có tính đến dữ liệu có sẵn. Mối quan hệ với số liệu thống kê là không rõ ràng. Người ta tin rằng có ba loại nói dối: dối trá, dối trá trắng trợn và thống kê. Mặt khác, nhiều "người dùng" thống kê tin tưởng quá nhiều, không hiểu hết cách thức hoạt động của nó: ví dụ, áp dụng một phép thử cho bất kỳ dữ liệu nào mà không kiểm tra tính chuẩn mực của nó. Những sơ suất như vậy có thể tạo ra những lỗi nghiêm trọng và biến những người “hâm mộ” bài kiểm tra thành những kẻ ghét bỏ số liệu thống kê. Hãy thử đặt dòng điện qua i và tìm ra mô hình biến ngẫu nhiên nào nên được sử dụng để mô tả các hiện tượng nhất định và loại mối quan hệ di truyền nào tồn tại giữa chúng.

Trước hết, tài liệu này sẽ được các sinh viên nghiên cứu lý thuyết xác suất và thống kê quan tâm, mặc dù các chuyên gia “trưởng thành” sẽ có thể sử dụng nó như một tài liệu tham khảo. Trong một trong các tác phẩm sau, tôi sẽ đưa ra một ví dụ về việc sử dụng số liệu thống kê để xây dựng một bài kiểm tra đánh giá tầm quan trọng của các chỉ số của chiến lược giao dịch hối đoái.

Công việc sẽ xem xét:

Vào cuối bài báo sẽ được đưa ra để phản ánh. Tôi sẽ chia sẻ suy nghĩ của tôi về điều này trong bài viết tiếp theo của tôi.

Một số phân phối liên tục đã cho là trường hợp đặc biệt.

Bản phân phối rời rạc

Phân bố rời rạc được sử dụng để mô tả các sự kiện có các đặc điểm không phân biệt được xác định tại các điểm cô lập. Nói một cách đơn giản, đối với các sự kiện mà kết quả của nó có thể được quy cho một số loại rời rạc: thành công hay thất bại, một số nguyên (ví dụ: trò chơi roulette, xúc xắc), đầu hoặc đuôi, v.v.

Phân phối rời rạc được mô tả bằng xác suất xuất hiện của mỗi kết quả có thể xảy ra của một sự kiện. Đối với bất kỳ phân phối nào (kể cả liên tục), khái niệm kỳ vọng và phương sai được xác định cho các sự kiện rời rạc. Tuy nhiên, cần hiểu rằng kỳ vọng cho một sự kiện ngẫu nhiên rời rạc nói chung là không thể thực hiện được như kết quả của một sự kiện ngẫu nhiên đơn lẻ, mà là một giá trị mà trung bình cộng của các kết quả của các sự kiện sẽ có xu hướng tăng lên khi số lượng của chúng tăng lên.

Trong mô hình hóa các sự kiện ngẫu nhiên rời rạc, tổ hợp đóng một vai trò quan trọng, vì xác suất của một kết quả sự kiện có thể được định nghĩa là tỷ lệ giữa số lượng kết hợp cho kết quả mong muốn trên tổng số kết hợp. Ví dụ: có 3 quả bóng trắng và 7 quả bóng đen trong rổ. Khi chúng ta chọn 1 quả bóng từ rổ, chúng ta có thể thực hiện theo 10 cách khác nhau (tổng số cách kết hợp), nhưng chỉ có 3 cách trong đó quả bóng trắng sẽ được chọn (3 cách kết hợp đưa ra kết quả theo yêu cầu). Như vậy, xác suất để chọn được bi trắng là: ().

Cũng cần phân biệt giữa các mẫu có thay thế và không có thay thế. Ví dụ, để mô tả xác suất chọn hai quả bóng trắng, điều quan trọng là phải xác định xem quả bóng đầu tiên có được trở lại rổ hay không. Nếu không, thì chúng ta đang xử lý một mẫu không có thay thế () và xác suất sẽ như sau: - xác suất chọn được một quả bóng trắng từ mẫu ban đầu nhân với xác suất chọn lại một quả bóng trắng từ những quả bóng còn lại trong rổ . Nếu quả bóng đầu tiên được trả về rổ, thì đây là lần tìm nạp trả về (). Trong trường hợp này, xác suất chọn được hai bi trắng là.

Nếu chúng ta chính thức hóa một chút ví dụ về rổ như sau: để kết quả của một sự kiện nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 với xác suất và tương ứng, thì phân phối xác suất đạt được từng kết quả được đề xuất sẽ được gọi là phân phối Bernoulli :

Theo truyền thống, một kết quả có giá trị 1 được gọi là "thành công", và kết quả có giá trị 0 được gọi là "thất bại". Rõ ràng là có được kết quả "thành công hay thất bại" xảy ra với xác suất.

Kỳ vọng và phương sai của phân phối Bernoulli:

Số lần thành công trong các thử nghiệm, kết quả được phân bổ theo xác suất thành công (ví dụ với việc trả bóng vào rổ), được mô tả bằng phân phối nhị thức:

Theo một cách khác, chúng ta có thể nói rằng phân phối nhị thức mô tả tổng các biến ngẫu nhiên độc lập có thể được phân phối với xác suất thành công.
Kỳ vọng và phương sai:

Phân phối nhị thức chỉ hợp lệ cho việc lấy mẫu quay lại, nghĩa là khi xác suất thành công không đổi trong toàn bộ chuỗi thử nghiệm.

Nếu các đại lượng và có phân phối nhị thức với các tham số và tương ứng, thì tổng của chúng cũng sẽ được phân phối theo phương thức nhị thức với các tham số.

Hãy tưởng tượng một tình huống mà chúng ta lấy quả bóng từ rổ và trả chúng lại cho đến khi một quả bóng màu trắng được rút ra. Số lượng các hoạt động như vậy được mô tả bằng một phân bố hình học. Nói cách khác: phân bố hình học mô tả số lần thử cho đến lần thành công đầu tiên dựa trên xác suất thành công trong mỗi lần thử. Nếu số lần thử nghiệm thành công xảy ra được ngụ ý, thì phân bố hình học sẽ được mô tả bằng công thức sau:

Kỳ vọng và phương sai của phân bố hình học:

Phân bố hình học có liên quan về mặt di truyền với phân bố, nó mô tả một biến ngẫu nhiên liên tục: thời điểm trước sự kiện, với cường độ không đổi của các sự kiện. Sự phân bố hình học cũng là một trường hợp đặc biệt.

Phân phối Pascal là một tổng quát của phân phối: nó mô tả sự phân bố của số lần thất bại trong các thử nghiệm độc lập, kết quả của chúng được phân phối theo xác suất thành công trước tổng số lần thành công. Đối với, chúng tôi có được một phân phối cho số lượng.

số lượng kết hợp từ đến là ở đâu.

Kỳ vọng và phương sai của phân phối nhị thức âm:

Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập được phân phối theo Pascal cũng được phân phối theo Pascal: cho nó có phân phối, và -. Hãy cũng độc lập, khi đó tổng của chúng sẽ có phân phối

Cho đến nay, chúng tôi đã xem xét các ví dụ về các mẫu tái sử dụng, nghĩa là xác suất của một kết quả không thay đổi từ thử nghiệm này sang thử nghiệm khác.

Bây giờ hãy xem xét một tình huống không có sự thay thế và mô tả xác suất của số lượng mẫu thành công từ tổng thể với số lần thành công và thất bại được xác định trước (số lượng bóng trắng và đen được xác định trước trong rổ, quân bài tẩy trong bộ bài, các bộ phận bị lỗi trong trò chơi, v.v.).

Hãy để tập hợp tổng thể chứa các đối tượng, trong đó được gắn nhãn là "1" và "0". Chúng tôi sẽ coi việc lựa chọn một đối tượng có nhãn "1" là thành công và với nhãn "0" là thất bại. Hãy thực hiện n thử nghiệm và các đối tượng được chọn sẽ không còn tham gia vào các thử nghiệm tiếp theo. Xác suất thành công sẽ tuân theo phân phối siêu đại:

số lượng kết hợp từ đến là ở đâu.

Kỳ vọng và phương sai:

Phân phối Poisson

(lấy từ đây)

Phân phối Poisson khác đáng kể với các phân bố được xem xét ở trên trong lĩnh vực “chủ đề” của nó: bây giờ nó không phải là xác suất của một kết quả thử nghiệm cụ thể được xem xét, mà là cường độ của các sự kiện, tức là số lượng sự kiện trung bình trên một đơn vị thời gian.

Phân phối Poisson mô tả xác suất xuất hiện của các sự kiện độc lập theo thời gian với cường độ trung bình của các sự kiện:

Kỳ vọng và phương sai của phân phối Poisson:

Phương sai và giá trị trung bình của phân phối Poisson giống hệt nhau.

Phân phối Poisson kết hợp với, mô tả khoảng thời gian giữa sự khởi đầu của các sự kiện độc lập, tạo thành cơ sở toán học của lý thuyết về độ tin cậy.

Mật độ xác suất của tích của các biến ngẫu nhiên x và y () có phân phối và có thể được tính như sau:

Một số phân phối dưới đây là các trường hợp đặc biệt của phân phối Pearson, đến lượt nó là một nghiệm cho phương trình:

ở đâu và là các tham số phân phối. Có 12 kiểu phân phối Pearson, tùy thuộc vào giá trị của các tham số.

Các phân phối sẽ được thảo luận trong phần này có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Các kết nối này được thể hiện ở chỗ một số phân phối là trường hợp đặc biệt của các phân phối khác, hoặc mô tả các phép biến đổi của các biến ngẫu nhiên với các phân phối khác.

Sơ đồ dưới đây cho thấy các mối quan hệ giữa một số phân phối liên tục sẽ được thảo luận trong bài báo này. Trong biểu đồ, các mũi tên liền thể hiện sự biến đổi của các biến ngẫu nhiên (đầu mũi tên biểu thị phân phối ban đầu, cuối mũi tên - kết quả) và các mũi tên chấm biểu thị quan hệ tổng quát hóa (đầu mũi tên biểu thị phân phối, là một trường hợp đặc biệt của phân phối được biểu thị bằng phần cuối của mũi tên). Đối với các trường hợp đặc biệt của phân phối Pearson phía trên các mũi tên chấm, loại phân phối Pearson tương ứng được chỉ định.

Tổng quan về phân phối sau đây bao gồm nhiều trường hợp xảy ra trong phân tích dữ liệu và mô hình hóa quy trình, mặc dù tất nhiên, nó không chứa hoàn toàn tất cả các phân phối mà khoa học đã biết.

Phân phối chuẩn (phân phối Gaussian)

(lấy từ đây)

Mật độ xác suất của một phân phối chuẩn với các tham số và được mô tả bởi hàm Gauss:

Nếu và, thì phân phối như vậy được gọi là chuẩn.

Kỳ vọng và phương sai của phân phối chuẩn:

Miền định nghĩa của phân phối chuẩn là tập hợp các số thực.

Phân phối chuẩn là phân phối loại VI.

Tổng bình phương của các giá trị chuẩn độc lập có, và tỷ lệ của các giá trị Gaussian độc lập được phân phối trên.

Phân phối chuẩn chia hết vô hạn: tổng của các đại lượng có phân phối chuẩn và với các tham số và tương ứng cũng có phân phối chuẩn với các tham số, trong đó và.

Giếng phân phối chuẩn mô hình hóa các đại lượng mô tả các hiện tượng tự nhiên, tiếng ồn có tính chất nhiệt động lực học và sai số đo lường.

Ngoài ra, theo định lý giới hạn trung tâm, tổng của một số lượng lớn các số hạng độc lập có cùng bậc sẽ hội tụ về một phân phối chuẩn, không phụ thuộc vào phân phối của các số hạng. Do tính chất này, phân phối chuẩn phổ biến trong phân tích thống kê, nhiều phép thử thống kê được thiết kế cho dữ liệu phân phối chuẩn.

Phép thử z dựa trên tính chia hết vô hạn của phân phối chuẩn. Phép thử này được sử dụng để kiểm tra xem kỳ vọng của một mẫu các biến phân phối chuẩn có bằng một giá trị nào đó hay không. Giá trị phương sai phải là đã biết. Nếu giá trị của phương sai là không xác định và được tính toán dựa trên mẫu đã phân tích, thì kiểm định t dựa trên.

Để chúng ta có một mẫu gồm n giá trị phân phối chuẩn độc lập từ tổng thể chung với độ lệch chuẩn, hãy giả thuyết điều đó. Khi đó giá trị sẽ có phân phối chuẩn chuẩn. Bằng cách so sánh giá trị z thu được với các lượng tử của phân phối chuẩn, người ta có thể chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết với mức ý nghĩa yêu cầu.

Do sự phổ biến của phân bố Gauss, nhiều nhà nghiên cứu không hiểu rõ về thống kê đã quên kiểm tra dữ liệu về tính chuẩn, hoặc đánh giá biểu đồ mật độ phân bố "bằng mắt", mù quáng tin rằng họ đang xử lý dữ liệu Gauss. Theo đó, hãy mạnh dạn áp dụng các bài kiểm tra được thiết kế cho một phân phối chuẩn và nhận được kết quả hoàn toàn không chính xác. Có lẽ, đây là nơi xuất phát tin đồn về thống kê là kiểu nói dối khủng khiếp nhất.

Hãy xem xét một ví dụ: chúng ta cần đo điện trở của một bộ điện trở có giá trị nhất định. Điện trở có bản chất vật lý, hợp lý khi cho rằng sự phân bố của sai lệch điện trở so với giá trị danh nghĩa sẽ là bình thường. Chúng tôi đo lường, chúng tôi nhận được một hàm mật độ xác suất hình chuông cho các giá trị đo được với một chế độ trong vùng lân cận của đánh giá điện trở. Đây có phải là phân phối chuẩn không? Nếu có, thì chúng tôi sẽ tìm kiếm các điện trở bị lỗi bằng cách sử dụng hoặc kiểm tra z nếu chúng tôi biết trước phương sai phân phối. Tôi nghĩ rằng nhiều người sẽ làm như vậy.

Nhưng chúng ta hãy xem xét kỹ hơn công nghệ đo điện trở: điện trở được định nghĩa là tỷ số giữa điện áp đặt vào dòng điện. Chúng tôi đo dòng điện và điện áp bằng các dụng cụ, do đó, chúng có sai số phân bố bình thường. Tức là, các giá trị đo được của dòng điện và điện áp là phân phối chuẩn biến ngẫu nhiên với các kỳ vọng toán học tương ứng với các giá trị thực của các đại lượng đo được. Và điều này có nghĩa là các giá trị điện trở thu được được phân bố dọc, và không theo Gauss.

Phân phối mô tả tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên, mỗi biến ngẫu nhiên được phân phối theo luật chuẩn tắc chuẩn:

Số bậc tự do ở đâu ,.

Kỳ vọng và phương sai của phân phối:

Miền định nghĩa là tập hợp các số tự nhiên không âm. là một phân phối có thể chia hết vô hạn. Nếu và - được phân phối trên và có bậc tự do tương ứng, thì tổng của chúng cũng sẽ được phân phối trên và có bậc tự do.

Đó là một trường hợp đặc biệt (và do đó là một phân phối loại III) và một sự tổng quát hóa. Tỷ lệ số lượng phân phối trên phân phối trên.

Kiểm tra độ phù hợp của Pearson dựa trên sự phân phối. Tiêu chí này có thể được sử dụng để kiểm tra xem một mẫu biến ngẫu nhiên có thuộc một phân phối lý thuyết nhất định hay không.

Giả sử chúng ta có một mẫu của một số biến ngẫu nhiên. Dựa trên mẫu này, chúng tôi tính toán xác suất mà các giá trị sẽ rơi vào khoảng (). Cũng giả định về biểu thức phân tích của phân phối, theo đó, xác suất rơi vào các khoảng đã chọn sẽ là. Khi đó các đại lượng sẽ được phân phối theo quy luật thông thường.

Chúng tôi đưa đến phân phối chuẩn chuẩn:,
ở đâu và .

Các đại lượng thu được có phân phối chuẩn với các tham số (0, 1), và do đó, tổng bình phương của chúng được phân phối theo bậc tự do. Sự giảm mức độ tự do có liên quan đến một hạn chế bổ sung đối với tổng xác suất của các giá trị rơi vào khoảng thời gian: nó phải bằng 1.

Bằng cách so sánh giá trị với các lượng tử của phân bố, người ta có thể chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết về phân bố lý thuyết của dữ liệu với mức ý nghĩa yêu cầu.

Phân phối Student được sử dụng để thực hiện kiểm định t: kiểm tra sự bằng nhau của giá trị kỳ vọng của một mẫu biến ngẫu nhiên có phân phối với một giá trị nhất định hoặc sự bằng nhau của các giá trị kỳ vọng của hai mẫu có cùng phương sai ( sự bình đẳng của các phương sai phải được kiểm tra). Phân phối t của Student mô tả tỷ lệ của một biến ngẫu nhiên có phân phối với một giá trị được phân phối trên.

Cho và là các biến ngẫu nhiên độc lập với bậc tự do và tương ứng. Khi đó đại lượng sẽ có phân phối Fisher với bậc tự do, và đại lượng sẽ có phân phối Fisher với bậc tự do.
Phân phối Fisher được xác định cho các đối số thực không âm và có mật độ xác suất:


Kỳ vọng và phương sai của phân phối Fisher:

Kỳ vọng được xác định cho và phương sai được xác định cho.

Một số kiểm định thống kê dựa trên phân phối Fisher, chẳng hạn như đánh giá ý nghĩa của các tham số hồi quy, kiểm định phương sai thay đổi và kiểm định tính bình đẳng của các phương sai mẫu (kiểm định f, được phân biệt với chính xác Thử nghiệm Fisher).

F-test: cho phép có hai mẫu độc lập và khối lượng dữ liệu được phân phối và tương ứng. Chúng ta hãy đưa ra một giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai mẫu và kiểm tra nó một cách thống kê.

Hãy tính giá trị. Nó sẽ có phân phối Fisher với bậc tự do.

Bằng cách so sánh giá trị với các lượng tử của phân phối Fisher tương ứng, chúng ta có thể chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết rằng các phương sai mẫu bằng với mức ý nghĩa yêu cầu.

Phân phối theo cấp số nhân (hàm mũ) và phân phối Laplace (cấp số nhân đôi, cấp số nhân đôi)

(lấy từ đây)

Phân phối hàm mũ mô tả khoảng thời gian giữa các sự kiện độc lập xảy ra ở cường độ trung bình. Số lần xuất hiện của một sự kiện như vậy trong một khoảng thời gian nhất định được mô tả bằng sự rời rạc. Phân phối hàm mũ cùng với việc hình thành cơ sở toán học của lý thuyết độ tin cậy.

Ngoài lý thuyết về độ tin cậy, phân phối hàm mũ được sử dụng trong mô tả các hiện tượng xã hội, trong kinh tế học, trong lý thuyết về xếp hàng, trong hậu cần vận tải - bất cứ nơi nào cần mô hình hóa dòng sự kiện.

Phân phối hàm mũ là một trường hợp đặc biệt (với n = 2), và do đó. Vì đại lượng phân bố theo hàm mũ là đại lượng chi bình phương có 2 bậc tự do, nên nó có thể được hiểu là tổng bình phương của hai đại lượng độc lập có phân bố chuẩn.

Ngoài ra, phân phối theo cấp số nhân là một trường hợp trung thực

Định nghĩa các bài kiểm tra độc lập lặp lại. Bernoulli công thức tính xác suất và số có thể xảy ra nhất. Công thức tiệm cận của công thức Bernoulli (cục bộ và tích phân, định lý Laplace). Sử dụng định lý tích phân. Công thức Poisson, cho các sự kiện ngẫu nhiên không chắc chắn.

Các bài kiểm tra độc lập lặp đi lặp lại

Trong thực tế, người ta phải giải quyết các công việc như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng các thử nghiệm lặp đi lặp lại nhiều lần, do kết quả của mỗi sự kiện A có thể xuất hiện hoặc không. Đồng thời, kết quả được quan tâm không phải là kết quả của từng "thử nghiệm riêng lẻ, mà là tổng số lần xuất hiện của biến cố A là kết quả của một số thử nghiệm nhất định. Trong các bài toán này, người ta phải xác định được xác suất trong số m bất kỳ lần xuất hiện của sự kiện A là kết quả của n lần thử nghiệm. Hãy xem xét trường hợp khi các phép thử là độc lập và xác suất xuất hiện của sự kiện A trong mỗi lần thử nghiệm là không đổi. Các phép thử như vậy được gọi là độc lập lặp đi lặp lại.

Một ví dụ về thử nghiệm độc lập là thử nghiệm tính phù hợp của các sản phẩm được lấy từ một trong số các lô. Nếu các lô này có tỷ lệ phần trăm khuyết tật như nhau, thì xác suất để sản phẩm được chọn bị lỗi trong mỗi trường hợp là một số không đổi.

Công thức Bernoulli

Hãy sử dụng khái niệm sự kiện khó khăn, có nghĩa là sự kết hợp của một số sự kiện cơ bản, bao gồm sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của sự kiện A trong phép thử thứ i. Cho n phép thử độc lập được tiến hành, trong mỗi sự kiện A có thể xuất hiện với xác suất p hoặc không xuất hiện với xác suất q = 1-p. Hãy xem xét sự kiện B_m, bao gồm thực tế là sự kiện A trong n lần thử này sẽ xảy ra đúng m lần và do đó, sẽ không xảy ra đúng (n-m) lần. Chứng tỏ A_i ~ (i = 1,2, \ ldots, (n)) sự xuất hiện của sự kiện A, a \ overline (A) _i - không xảy ra sự kiện A trong thử nghiệm thứ i. Do các điều kiện thử nghiệm không đổi, chúng tôi có

Sự kiện A có thể xuất hiện m lần theo các chuỗi hoặc kết hợp khác nhau, xen kẽ với sự kiện ngược lại \ overline (A). Số tổ hợp có thể có của loại này bằng số tổ hợp của n phần tử theo m, tức là C_n ^ m. Do đó, sự kiện B_m có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các sự kiện phức tạp không tương thích với nhau và số hạng bằng C_n ^ m:

B_m = A_1A_2 \ cdots (A_m) \ overline (A) _ (m + 1) \ cdots \ overline (A) _n + \ cdots + \ overline (A) _1 \ overline (A) _2 \ cdots \ overline (A) _ ( n-m) A_ (n-m + 1) \ cdots (A_n),

trong đó sự kiện A xảy ra trong mỗi sản phẩm m lần và \ overline (A) - (n-m) lần.

Xác suất của mỗi sự kiện phức hợp có trong công thức (3.1), theo định lý nhân xác suất cho các sự kiện độc lập, bằng p ^ (m) q ^ (n-m). Vì tổng số các sự kiện như vậy bằng C_n ^ m, do đó, sử dụng định lý cộng xác suất cho các sự kiện không tương thích, chúng ta thu được xác suất của sự kiện B_m (chúng tôi ký hiệu là P_ (m, n))

P_ (m, n) = C_n ^ mp ^ (m) q ^ (n-m) \ quad \ text (hoặc) \ quad P_ (m, n) = \ frac (n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Công thức (3.2) được gọi là Công thức Bernoulli, và các thử nghiệm lặp lại thỏa mãn điều kiện độc lập và ổn định của các xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi thử nghiệm được gọi là Thử nghiệm Bernoulli, hoặc kế hoạch Bernoulli.

Ví dụ 1. Xác suất vượt ra ngoài trường dung sai khi gia công các chi tiết trên máy tiện là 0,07. Xác định xác suất để trong số năm bộ phận được chọn ngẫu nhiên trong ca, một trong các kích thước đường kính không tương ứng với dung sai quy định.

Dung dịch. Điều kiện của bài toán thỏa mãn các yêu cầu của sơ đồ Bernoulli. Do đó, giả sử n = 5, \, m = 1, \, p = 0, \! 07, theo công thức (3.2) chúng ta thu được

P_ (1,5) = C_5 ^ 1 (0, \! 07) ^ (1) (0, \! 93) ^ (5-1) \ khoảng 0, \! 262.

Ví dụ 2. Các quan sát cho thấy ở một số khu vực vào tháng 9 có 12 ngày mưa. Xác suất để trong 8 ngày lấy ngẫu nhiên trong tháng này, 3 ngày có mưa là bao nhiêu?

Dung dịch.

P_ (3; 8) = C_8 ^ 3 (\ left (\ frac (12) (30) \ right) \^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Số lần xuất hiện sự kiện có khả năng xảy ra cao nhất

Xuất hiện nhiều khả năng sự kiện A trong n phép thử độc lập là một số m_0 mà xác suất tương ứng với số này lớn hơn hoặc ít nhất không nhỏ hơn xác suất của mỗi số có thể xảy ra khác của sự kiện A. Để xác định số có khả năng xảy ra cao nhất, không cần tính các xác suất của số lần xuất hiện biến cố, chỉ cần biết số lần thử n và xác suất xuất hiện của biến cố A trong một lần thử riêng là đủ. Gọi P_ (m_0, n) biểu thị xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra nhất m_0. Sử dụng công thức (3.2), chúng tôi viết

P_ (m_0, n) = C_n ^ (m_0) p ^ (m_0) q ^ (n-m_0) = \ frac (n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Theo định nghĩa của số có khả năng xảy ra cao nhất, xác suất của sự kiện A xảy ra lần lượt là m_0 + 1 và m_0-1, ít nhất không được vượt quá xác suất P_ (m_0, n), tức là

P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0 + 1, n)); \ quad P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0-1, n))

Thay giá trị P_ (m_0, n) và các biểu thức cho các xác suất P_ (m_0 + 1, n) và P_ (m_0-1, n) vào các bất đẳng thức, chúng ta thu được

Giải các bất phương trình này cho m_0, chúng ta thu được

M_0 \ geqslant (np-q), \ quad m_0 \ leqslant (np + p)

Kết hợp các bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta nhận được một bất đẳng thức kép, được sử dụng để xác định số có khả năng xảy ra nhất:

Np-q \ leqslant (m_0) \ leqslant (np + p).

Vì độ dài của khoảng được xác định bởi bất đẳng thức (3.4) bằng một, tức là

(np + p) - (np-q) = p + q = 1,

và một sự kiện có thể xảy ra trong n lần thử nghiệm chỉ với một số nguyên lần, khi đó cần lưu ý rằng:

1) nếu np-q là một số nguyên thì có hai giá trị của số có xác suất lớn nhất, đó là: m_0 = np-q và m "_0 = np-q + 1 = np + p;

2) nếu np-q là số phân số, thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất, đó là: số nguyên duy nhất giữa số phân số thu được từ bất đẳng thức (3.4);

3) nếu np là một số nguyên, thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất, đó là: m_0 = np.

Đối với các giá trị lớn của n, sẽ không thuận tiện khi sử dụng công thức (3.3) để tính xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra cao nhất. Nếu trong đẳng thức (3.3), chúng ta thay thế công thức Stirling

N! \ Khoảng (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n))),

hợp lệ với n đủ lớn và lấy số có khả năng xảy ra cao nhất m_0 = np, sau đó chúng ta thu được công thức tính gần đúng xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra nhất:

P_ (m_0, n) \ khoảng \ frac (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n)) \, p ^ (np) q ^ (nq)) ((np) ^ (np) e ^ (- np) \ sqrt (2 \ pi (np)) \, (nq) ^ (nq) e ^ (- nq) \ sqrt (2 \ pi (nq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi (npq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sqrt (npq)).

Ví dụ 2. Được biết, \ frac (1) (15) một số sản phẩm do nhà máy cung cấp cho cơ sở kinh doanh không đáp ứng tất cả các yêu cầu của tiêu chuẩn. Một lô sản phẩm với số lượng 250 cái đã được giao tận nơi. Tìm số sản phẩm đáp ứng yêu cầu của tiêu chuẩn có xác suất cao nhất và tính xác suất để lô này chứa số sản phẩm có khả năng xảy ra nhiều nhất.

Dung dịch. Theo điều kiện n = 250, \, q = \ frac (1) (15), \, p = 1- \ frac (1) (15) = \ frac (14) (15). Theo bất đẳng thức (3.4), ta có

250 \ cdot \ frac (14) (15) - \ frac (1) (15) \ leqslant (m_0) \ leqslant250 \ cdot \ frac (14) (15) + \ frac (1) (15)

ở đâu 233, \! 26 \ leqslant (m_0) \ leqslant234, \! 26. Do đó, số lượng sản phẩm đáp ứng các yêu cầu của tiêu chuẩn nhiều nhất trong một lô là 250 chiếc. bằng 234. Thay dữ liệu vào công thức (3.5), chúng tôi tính được xác suất để có số mặt hàng có khả năng xảy ra nhiều nhất trong lô:

P_ (234.250) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi \ cdot250 \ cdot \ frac (14) (15) \ cdot \ frac (1) (15))) \ khoảng0, \! 101

Định lý Laplace cục bộ

Sử dụng công thức Bernoulli cho các giá trị lớn của n là rất khó. Ví dụ, nếu n = 50, \, m = 30, \, p = 0, \! 1, sau đó để tìm xác suất P_ (30,50) cần tính giá trị của biểu thức

P_ (30,50) = \ frac (50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Đương nhiên, câu hỏi được đặt ra: có thể tính xác suất lãi mà không sử dụng công thức Bernoulli không? Nó chỉ ra bạn có thể. Định lý Laplace cục bộ đưa ra một công thức tiệm cận cho phép bạn tìm gần đúng xác suất xuất hiện của các sự kiện chính xác m lần trong n lần thử nghiệm, nếu số lần thử nghiệm đủ lớn.

Định lý 3.1. Nếu xác suất p xuất hiện của biến cố A trong mỗi lần thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, thì xác suất P_ (m, n) để biến cố A xuất hiện trong n lần thử nghiệm chính xác m lần là xấp xỉ bằng nhau (càng chính xác thì n lớn hơn) đến giá trị của hàm

Y = \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \ frac (e ^ (- x ^ 2/2)) (\ sqrt (2 \ pi)) = \ frac (\ varphi (x)) (\ sqrt (npq)) tại .

Có các bảng chứa các giá trị hàm \ varphi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \, e ^ (- x ^ 2/2)), tương ứng với các giá trị dương của đối số x. Đối với các giá trị đối số phủ định, các bảng giống nhau được sử dụng, vì hàm \ varphi (x) là chẵn, tức là \ varphi (-x) = \ varphi (x).

Vì vậy, xấp xỉ xác suất sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử nghiệm đúng m lần,

P_ (m, n) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \, \ varphi (x),ở đâu x = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)).

Ví dụ 3. Tìm xác suất để biến cố A xảy ra đúng 80 lần trong 400 lần thử nếu xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi lần thử là 0,2.

Dung dịch. Theo điều kiện n = 400, \, m = 80, \, p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8. Chúng tôi sử dụng công thức Laplace tiệm cận:

P_ (80.400) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) \, \ varphi (x) = \ frac (1) (8) \, \ varphi (x).

Hãy tính giá trị x được xác định bởi dữ liệu bài toán:

X = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (80-400 \ cdot0, \! 2) (8) = 0.

Theo table adj, 1 chúng tôi tìm thấy \ varphi (0) = 0, \! 3989. Xác suất mong muốn

P_ (80,100) = \ frac (1) (8) \ cdot0, \! 3989 = 0, \! 04986.

Công thức Bernoulli dẫn đến kết quả gần như tương tự (các phép tính bị bỏ qua do tính rườm rà của chúng):

P_ (80,100) = 0, \! 0498.

Định lý tích phân Laplace

Giả sử rằng n thử nghiệm độc lập được tiến hành, trong mỗi thử nghiệm xác suất xảy ra biến cố A là không đổi và bằng p. Cần tính xác suất P _ ((m_1, m_2), n) sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử nghiệm ít nhất m_1 và nhiều nhất m_2 lần (để ngắn gọn, chúng ta sẽ nói "từ m_1 đến m_2 lần"). Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định lý tích phân Laplace.

Định lý 3.2. Nếu xác suất p của sự kiện A xuất hiện trong mỗi thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, thì xấp xỉ xác suất P _ ((m_1, m_2), n) sự kiện A sẽ xuất hiện trong các thử nghiệm từ m_1 đến m_2 lần,

P _ ((m_1, m_2), n) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ giới hạn_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2) \, dx,ở đâu .

Khi giải các bài toán yêu cầu áp dụng định lý tích phân Laplace, các bảng đặc biệt được sử dụng, vì tích phân không xác định \ int (e ^ (- x ^ 2/2) \, dx) không được thể hiện dưới dạng các chức năng cơ bản. Bảng tích phân \ Phi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limit_ (0) ^ (x) e ^ (- z ^ 2/2) \, dzđược đưa ra trong ứng dụng. 2, trong đó các giá trị của hàm \ Phi (x) được cung cấp cho các giá trị dương của x, cho x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 có thể lấy \ Phi (x) = 0, \! 5.

Vì vậy, xấp xỉ xác suất sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử nghiệm độc lập từ m_1 đến m_2 lần,

P _ ((m_1, m_2), n) \ khoảng \ Phi (x "") - \ Phi (x "),ở đâu x "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)); ~ x" "= \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)).

Ví dụ 4. Xác suất một bộ phận được sản xuất vi phạm tiêu chuẩn, p = 0, \! 2. Tìm xác suất để trong 400 bộ phận không đạt tiêu chuẩn được chọn ngẫu nhiên sẽ có từ 70 đến 100 bộ phận.

Dung dịch. Theo điều kiện p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8, \, n = 400, \, m_1 = 70, \, m_2 = 100. Hãy sử dụng định lý tích phân Laplace:

P _ ((70,100), 400) \ khoảng \ Phi (x "") - \ Phi (x ").

Hãy để chúng tôi tính toán các giới hạn của tích hợp:

thấp hơn

X "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (70-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) = -1, \! 25,

phía trên

X "" = \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (100-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8) ) = 2, \! 5,

Theo cách này

P _ ((70,100), 400) \ khoảng \ Phi (2, \! 5) - \ Phi (-1, \! 25) = \ Phi (2, \! 5) + \ Phi (1, \! 25) .

Theo ứng dụng bảng. 2 tìm thấy

\ Phi (2, \! 5) = 0, \! 4938; ~~~~~ \ Phi (1, \! 25) = 0, \! 3944.

Xác suất mong muốn

P _ ((70,100), 400) = 0, \! 4938 + 0, \! 3944 = 0, \! 8882.

Ứng dụng của định lý tích phân Laplace

Nếu số m (số lần xuất hiện của sự kiện A trong n lần thử nghiệm độc lập) sẽ thay đổi từ m_1 thành m_2, thì phân số \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) sẽ thay đổi từ \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = x " trước \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = x "". Do đó, định lý tích phân Laplace cũng có thể được viết như sau:

P \ left \ (x "\ leqslant \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) \ leqslant (x" ") \ right \) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limit_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2) \, dx.

Chúng ta hãy đặt nhiệm vụ để tìm xác suất độ lệch của tần số tương đối \ frac (m) (n) so với xác suất không đổi p trong giá trị tuyệt đối không vượt quá số cho trước \ varepsilon> 0. Nói cách khác, chúng ta tìm thấy xác suất của sự bất bình đẳng \ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon, giống nhau - \ varepsilon \ leqslant \ frac (m) (n) -p \ leqslant \ varepsilon. Xác suất này sẽ được ký hiệu như sau: P \ left \ (\ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon \ right \). Tính đến công thức (3.6), đối với xác suất này, chúng ta thu được

P \ left \ (\ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon \ right \) \ xấp xỉ2 \ Phi \ left (\ varepsilon \, \ sqrt (\ frac (n) (pq ))\bên phải).

Ví dụ 5. Xác suất bộ phận đó không chuẩn, p = 0, \! 1. Tìm xác suất để trong số 400 bộ phận được chọn ngẫu nhiên, tần suất xuất hiện tương đối của các bộ phận không chuẩn sai lệch với xác suất p = 0, \! 1 về giá trị tuyệt đối không quá 0,03.

Dung dịch. Theo điều kiện n = 400, \, p = 0, \! 1, \, q = 0, \! 9, \, \ varepsilon = 0, \! 03. Chúng ta cần tìm xác suất P \ left \ (\ left | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ right | \ leqslant0, \! 03 \ right \). Sử dụng công thức (3.7), chúng ta thu được

P \ left \ (\ left | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ right | \ leqslant0, \! 03 \ right \) \ khoảng 2 \ Phi \ left (0, \! 03 \ sqrt ( \ frac (400) (0, \! 1 \ cdot0, \! 9)) \ right) = 2 \ Phi (2)

Theo ứng dụng bảng. 2 chúng tôi tìm thấy \ Phi (2) = 0, \! 4772, do đó 2 \ Phi (2) = 0, \! 9544. Vì vậy, xác suất mong muốn xấp xỉ bằng 0,9544. Ý nghĩa của kết quả thu được như sau: nếu chúng ta lấy một số lượng đủ lớn mẫu gồm 400 phần mỗi mẫu, thì khoảng 95,44% trong số các mẫu này độ lệch của tần số tương đối so với xác suất không đổi p = 0, \! 1 in giá trị tuyệt đối sẽ không vượt quá 0,03.

Công thức Poisson cho các sự kiện không mong muốn

Nếu xác suất p của sự xuất hiện của một sự kiện trong một thử nghiệm riêng biệt gần bằng 0, thì ngay cả đối với số lượng lớn thử nghiệm n, nhưng với giá trị nhỏ của tích np, xác suất P_ (m, n) thu được bởi công thức Laplace là không đủ chính xác và cần có một công thức gần đúng khác.

Định lý 3.3. Nếu xác suất p để xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử là không đổi nhưng nhỏ, số lần thử độc lập n đủ lớn, nhưng giá trị của tích np = \ lambda vẫn nhỏ (không quá 10), thì xác suất sự kiện A xảy ra m lần trong các thử nghiệm này,

P_ (m, n) \ xấp xỉ \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda}. !}

Để đơn giản hóa các phép tính bằng công thức Poisson, một bảng giá trị của hàm Poisson đã được biên soạn \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda} !}(xem phụ lục 3).

Ví dụ 6. Cho xác suất sản xuất một bộ phận phi tiêu chuẩn là 0,004. Tìm xác suất để trong 1000 bộ phận có 5 bộ phận không đạt tiêu chuẩn.

Dung dịch. Nơi đây n = 1000, p = 0,004, ~ \ lambda = np = 1000 \ cdot0, \! 004 = 4. Cả ba số đều thỏa mãn các yêu cầu của Định lý 3.3, do đó, để tìm xác suất của biến cố mong muốn P_ (5,1000), chúng ta sử dụng công thức Poisson. Theo bảng giá trị của hàm Poisson (ứng dụng. 3) với \ lambda = 4; m = 5, chúng ta nhận được P_ (5,1000) \ xấp xỉ 0, \! 1563.

Hãy tìm xác suất của sự kiện tương tự bằng công thức Laplace. Để làm điều này, trước tiên chúng ta tính giá trị x tương ứng với m = 5:

X = \ frac (5-1000 \ cdot0, \! 004) (\ sqrt (1000 \ cdot0, \! 004 \ cdot0, \! 996)) \ xấp xỉ \ frac (1) (1, \! 996) \ khoảng0 , \! 501.

Do đó, theo công thức Laplace, xác suất mong muốn

P_ (5,1000) \ khoảng \ frac (\ varphi (0, \! 501)) (1, \! 996) \ khoảng \ frac (0, \! 3519) (1, \! 996) \ khoảng0, \ ! 1763

và theo công thức Bernoulli, giá trị chính xác của nó

P_ (5,1000) = C_ (1000) ^ (5) \ cdot0, \! 004 ^ 5 \ cdot0, \! 996 ^ (995) \ khoảng 0, \! 1552.

Bằng cách này, sai số tương đối tính xác suất P_ (5,1000) bằng công thức Laplace gần đúng là

\ frac (0, \! 1763-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ khoảng 0, \! 196 hoặc 13, \! 6 \%

và theo công thức Poisson -

\ frac (0, \! 1563-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ khoảng 0, \! 007 hoặc 0, \! 7 \%

Tức là ít hơn nhiều lần.
Bỏ qua phần tiếp theo
Biến ngẫu nhiên một chiều Javascript bị tắt trong trình duyệt của bạn.
Các điều khiển ActiveX phải được kích hoạt để thực hiện các phép tính!

Các thử nghiệm độc lập lặp đi lặp lại được gọi là thử nghiệm Bernoulli nếu mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra và xác suất của các kết quả vẫn như nhau đối với tất cả các thử nghiệm.

Thông thường hai kết quả này được gọi là "thành công" (S) hoặc "thất bại" (F) và các xác suất tương ứng được ký hiệu là P và q. Rõ ràng là P 0, q³ 0 và P+q=1.

Không gian biến cố sơ cấp của mỗi phép thử gồm hai biến cố Y và H.

Không gian của các sự kiện sơ cấp N Thử nghiệm Bernoulli Ω chứa 2 N sự kiện cơ bản, là chuỗi (chuỗi) của N ký hiệu Y và H. Mỗi sự kiện cơ bản là một trong những kết quả có thể có của chuỗi N Thử nghiệm Bernoulli. Vì các phép thử là độc lập, do đó, theo định lý nhân, các xác suất được nhân lên, nghĩa là, xác suất của bất kỳ dãy cụ thể nào là sản phẩm thu được bằng cách thay các ký hiệu U và H bằng P và q tương ứng, đó là, ví dụ: R( ) = (U U N U N ... N U) = p p q p q ... q q p .

Lưu ý rằng kết quả của phép thử Bernoulli thường được biểu thị bằng 1 và 0, sau đó sự kiện sơ cấp theo thứ tự N Kiểm tra Bernoulli - có một chuỗi bao gồm số không và số một. Ví dụ:  = (1, 0, 0, ..., 1, 1, 0).

Thử nghiệm Bernoulli là sơ đồ quan trọng nhất được xem xét trong lý thuyết xác suất. Đề án này được đặt theo tên của nhà toán học Thụy Sĩ J. Bernoulli (1654-1705), người đã nghiên cứu sâu về mô hình này trong các công trình của mình.

Vấn đề chính mà chúng ta sẽ quan tâm ở đây là: xác suất của sự kiện trong N Thử nghiệm Bernoulli đã xảy ra m thành công?

Nếu các điều kiện này được đáp ứng, xác suất mà trong các thử nghiệm độc lập, một sự kiện sẽ được quan sát chính xác m thời gian (bất kể thí nghiệm nào), được xác định bởi Công thức Bernoulli:

(21.1)

ở đâu - xác suất xảy ra trong mọi bài kiểm tra, và
là xác suất mà trong một trải nghiệm nhất định, một sự kiện Đã không xảy ra.

Nếu chúng ta xem xét P N (m) như một chức năng m, sau đó nó xác định một phân phối xác suất, được gọi là nhị thức. Hãy cùng khám phá mối quan hệ này P N (m) từ m, 0£ m£ N.

Sự phát triển B m ( m = 0, 1, ..., N) bao gồm nhiều số khác nhau sự kiện xảy ra NHƯNG Trong N kiểm tra, không tương thích và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Do đó,
.

Hãy xem xét tỷ lệ:

=
=
=
.

Do đó nó theo sau đó P N (m + 1)>P N (m), nếu (N- m) p> (m + 1) q, I E. hàm số P N (m) tăng nếu m< np- q. Tương tự như vậy, P N (m + 1)< P N (m), nếu (N- m) p< (m + 1) q, I E. P N (m) giảm nếu m> np- q.

Do đó có một số m 0, tại đó P N (m)đạt giá trị cao nhất của nó. Hãy tìm m 0 .

Theo ý nghĩa của con số m 0 chúng tôi có P N (m 0)³ P N (m 0 -1) và P N (m 0) ³ P N (m 0 +1), do đó

, (21.2)

. (21.3)

Giải các bất đẳng thức (21.2) và (21.3) đối với m 0, chúng tôi nhận được:

P/ m 0 ³ q/(N- m 0 +1) Þ m 0 £ np+ P,

q/(N- m 0 ) ³ P/(m 0 +1) Þ m 0 ³ np- q.

Vì vậy, con số mong muốn m 0 thỏa mãn các bất đẳng thức

np- q£ m 0 £ np + p. (21.4)

Tại vì P+q= 1 thì độ dài của khoảng xác định bởi bất đẳng thức (21.4) bằng một và có ít nhất một số nguyên m 0 thỏa mãn các bất đẳng thức (21.4):

1) nếu np - q là một số nguyên, sau đó có hai giá trị m 0, cụ thể là: m 0 = np - q và m 0 = np - q + 1 = np + P;

2) nếu np - q- phân số, sau đó có một số m 0, cụ thể là số nguyên duy nhất giữa các số phân số thu được từ bất đẳng thức (21.4);

3) nếu np là một số nguyên, sau đó có một số m 0, cụ thể là m 0 = np.

Con số m 0 được gọi là giá trị (số) có khả năng xảy ra cao nhất hoặc có thể xảy ra nhất của sự kiện Một trong một loạt N các bài kiểm tra độc lập.