Đồ thị hàm số có thể có bao nhiêu đường tiệm cận?

Không, một, hai, ba ... hoặc một số vô hạn. Chúng tôi sẽ không đi xa để lấy ví dụ, chúng tôi sẽ nhớ lại các hàm cơ bản. Parabol, parabol lập phương, sin không có tiệm cận nào cả. biểu đồ hàm mũ, hàm logarit có một tiệm cận duy nhất. Arctang, arccotangent có hai trong số chúng và tiếp tuyến, cotang có vô số. Không có gì lạ khi đồ thị có cả tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Cường điệu, sẽ luôn yêu em.

Ý nghĩa của việc tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số?

Điều này có nghĩa là tìm ra phương trình của chúng và vẽ các đoạn thẳng nếu điều kiện của bài toán yêu cầu. Quá trình này liên quan đến việc tìm kiếm các giới hạn của chức năng.

Các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Theo quy luật, tiệm cận đứng của đồ thị là điểm gián đoạn vô hạn của hàm số. Thật đơn giản: nếu một hàm bị phá vỡ vô hạn tại một điểm, thì một đường thẳng, được cho bởi phương trình là tiệm cận đứng của đồ thị.

Lưu ý: lưu ý rằng ký hiệu được sử dụng để chỉ hai hoàn toàn khái niệm khác nhau. Điểm được ngụ ý hoặc phương trình của một đường thẳng - phụ thuộc vào ngữ cảnh.

Như vậy, để thiết lập sự có mặt của một tiệm cận đứng tại một điểm, chỉ cần chứng minh rằng ít nhất một trong các giới hạn một bên là vô hạn. Thông thường, đây là điểm mà mẫu số của hàm bằng không. Về bản chất, chúng ta đã tìm thấy các tiệm cận đứng trong ví dụ gần đây bài học về tính liên tục của hàm số. Nhưng trong một số trường hợp chỉ có một giới hạn một phía, và nếu nó là vô hạn, thì một lần nữa - hãy yêu và ủng hộ tiệm cận đứng. Minh họa đơn giản nhất: và trục y.

Nó cũng theo sau từ trên sự thật hiển nhiên: nếu hàm liên tục trên thì không có tiệm cận đứng. Vì lý do nào đó, một hình parabol đã xuất hiện trong đầu tôi. Thật vậy, bạn có thể “gắn” một đường thẳng ở đâu? ... vâng ... tôi hiểu ... những người theo bác Freud túm tụm lại trong cơn cuồng loạn =)

Mệnh đề ngược lại trong trường hợp chung không chính xác: ví dụ: hàm không được xác định trên toàn bộ dòng số, nhưng nó hoàn toàn không có các tiệm cận.

Các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

xiên (như trương hợp đặc biệt- tiệm cận ngang) có thể được vẽ nếu đối số hàm có xu hướng "cộng vô cực" hoặc "trừ vô cực". Do đó, đồ thị hàm số không thể có nhiều hơn 2 tiệm cận xiên. Ví dụ: đồ thị của hàm mũ có một tiệm cận ngang duy nhất tại và đồ thị của arctang tại có hai tiệm cận như vậy và các tiệm cận khác nhau.

Sự định nghĩa . Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là đường thẳng có đặc tính là khoảng cách từ điểm của đồ thị hàm số đến đường thẳng này có xu hướng bằng 0 với khoảng cách không giới hạn từ gốc của điểm đồ thị.

Theo các phương pháp tìm kiếm chúng, ba loại tiệm cận được phân biệt: dọc, ngang, xiên.

Rõ ràng, những cái nằm ngang là những trường hợp đặc biệt của những cái nghiêng (đối với ).

Việc tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào các mệnh đề sau.

Định lý 1 . Để hàm được xác định ít nhất trong một số bán lân cận của điểm và để ít nhất một trong các giới hạn một bên của nó là vô hạn tại điểm này, tức là bình đẳng. Khi đó đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó, cần tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại các điểm gián đoạn của hàm số hoặc tại các điểm cuối của miền xác định của nó (nếu đây là các số hữu hạn).

Định lý 2 . Để hàm số xác định cho giá trị đối số đủ lớn về giá trị tuyệt đối thì hàm số có giới hạn hữu hạn . Khi đó đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Nó có thể xảy ra rằng , một , và là hữu hạn số thì đồ thị có hai tiệm cận ngang khác nhau: tiệm cận trái và tiệm cận phải. Nếu chỉ có một trong các giới hạn hữu hạn hoặc tồn tại thì đồ thị có một tiệm cận ngang thuận tay trái hoặc một tiệm cận ngang thuận tay phải.

Định lý 3 . Để hàm số xác định cho giá trị đối số đủ lớn về giá trị tuyệt đối và tồn tại giới hạn hữu hạnvà . Khi đó đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lưu ý rằng nếu ít nhất một trong các giới hạn này là vô hạn, thì không có tiệm cận xiên.

Tiệm cận xiên, giống như tiệm cận ngang, có thể là một phía.

Thí dụ. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số.

Dung dịch.

Hàm được xác định với . Hãy tìm giới hạn một phía của nó tại các điểm.

Tại vì và (không tìm được hai giới hạn một phía còn lại), khi đó các đường thẳng này là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

tính toán

(áp dụng quy tắc L'Hopital) = .

Vậy đường thẳng là một tiệm cận ngang.

Vì đường tiệm cận ngang tồn tại, nên chúng tôi không còn tìm kiếm các đường tiệm cận xiên nữa (chúng không tồn tại).

Câu trả lời: Đồ thị có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Nghiên cứu chức năng chungy = f (x ).

Phạm vi chức năng. Tìm tên miền của nó Đ.(f) . Nếu nó không quá khó, thì cũng rất hữu ích khi tìm phạm vi e(f) . (Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, câu hỏi tìm e(f) bị trì hoãn cho đến khi tìm thấy cực trị của hàm.)

Các tính chất đặc biệt của hàm. Tim ra Thuộc tính chung chức năng: chẵn, lẻ, định kỳ, v.v. Không phải hàm nào cũng có các tính chất như chẵn hoặc lẻ. Một hàm chắc chắn không chẵn cũng không lẻ nếu miền xác định của nó không đối xứng qua điểm 0 trên trục Con bò. Theo cách tương tự, đối với bất kỳ hàm tuần hoàn nào, miền định nghĩa bao gồm toàn bộ trục thực hoặc hợp của các hệ khoảng lặp lại định kỳ.

Các asymptotes dọc. Tìm hiểu cách hoạt động của hàm khi đối số tiếp cận các điểm biên của miền xác định Đ.(f) nếu có các điểm biên như vậy. Trong trường hợp này, các đường tiệm cận dọc có thể xuất hiện. Nếu hàm có các điểm gián đoạn mà tại đó nó không được xác định, thì các điểm này cũng được kiểm tra sự hiện diện của các tiệm cận đứng của hàm.

Các tiệm cận xiên và ngang. Nếu phạm vi Đ.(f) bao gồm các tia có dạng (a;+) hoặc (−;b), thì chúng ta có thể cố gắng tìm các tiệm cận xiên (hoặc các tiệm cận ngang) tại x+ hoặc x−, tương ứng, tức là tìm limxf(x). tiệm cận xiên : y = kx + b, trong đó k=limx+xf(x) và b=limx+(f(x)−x). tiệm cận ngang : y = b, trong đó limxf(x)=b.

Tìm giao điểm của đồ thị với các trục. Tìm giao điểm của đồ thị với trục Oy. Để làm điều này, bạn cần tính giá trị f(0). Tìm giao điểm của đồ thị với trục Con bò, tại sao phải tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0 (hoặc đảm bảo không có nghiệm nào). Phương trình thường chỉ có thể được giải gần đúng, nhưng việc tách các nghiệm giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của đồ thị. Tiếp theo, bạn cần xác định dấu của hàm trên các khoảng giữa các nghiệm và điểm gãy.

Tìm giao điểm của đồ thị với đường tiệm cận. Trong một số trường hợp, có thể cần phải tìm các điểm đặc trưng của biểu đồ chưa được đề cập trong các đoạn trước. Ví dụ: nếu hàm có một tiệm cận xiên, thì bạn có thể thử tìm xem có bất kỳ giao điểm nào của đồ thị với tiệm cận này hay không.

Tìm các khoảng lồi và lõm. Điều này được thực hiện bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm cấp hai f(x). Tìm các điểm uốn tại giao điểm của các khoảng lồi và lõm. Tính giá trị của hàm số tại các điểm uốn. Nếu hàm số có các điểm liên tục khác (khác với điểm biến đổi) tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0 hoặc không tồn tại, thì tại những điểm này, việc tính giá trị của hàm số cũng rất hữu ích. Tìm được f(x) , ta giải bất phương trình f(x)0. Trên mỗi khoảng nghiệm, hàm sẽ lồi xuống dưới. Giải bất đẳng thức ngược f(x)0, ta tìm được các khoảng mà trên đó hàm số lồi lên (tức là lõm). Chúng ta định nghĩa các điểm uốn là những điểm mà tại đó hàm thay đổi hướng lồi (và liên tục).

Đó là cách nó được diễn đạt nhiệm vụ điển hình và nó liên quan đến việc tìm TẤT CẢ các đường tiệm cận của đồ thị (dọc, xiên/ngang). Mặc dù, để chính xác hơn trong việc xây dựng câu hỏi, chúng ta đang nói về một nghiên cứu về sự hiện diện của các tiệm cận (xét cho cùng, có thể không có bất kỳ tiệm cận nào).

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản:

ví dụ 1

Dung dịch Thật thuận tiện để chia nó thành hai điểm:

1) Trước tiên, chúng tôi kiểm tra xem có tiệm cận đứng hay không. Mẫu số biến mất tại , và ngay lập tức rõ ràng là tại thời điểm này hàm bị ảnh hưởng khoảng cách vô tận, và đường thẳng cho bởi phương trình là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số . Nhưng trước khi đưa ra kết luận như vậy, cần phải tìm giới hạn một phía:

Tôi nhắc bạn về kỹ thuật tính toán mà tôi cũng đã đề cập trong bài báo tính liên tục của chức năng. điểm dừng. Trong biểu thức dưới dấu giới hạn, thay vì "x", chúng tôi thay thế . Không có gì thú vị trong tử số:
.

Nhưng ở mẫu số hóa ra vô cùng nhỏ một số âm :
, nó quyết định số phận của giới hạn.

Giới hạn bên trái là vô hạn, và về nguyên tắc, có thể đưa ra phán quyết về sự hiện diện của một tiệm cận đứng. Nhưng giới hạn một phía không chỉ cần thiết cho điều này - chúng GIÚP HIỂU THẾ NÀOđồ thị của chức năng được xác định vị trí và vẽ nó ĐÚNG. Do đó, chúng ta cũng phải tính giới hạn bên phải:

Sự kết luận: giới hạn một phía là vô hạn, nghĩa là đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại .

giới hạn đầu tiên có hạn, có nghĩa là cần phải “tiếp tục cuộc trò chuyện” và tìm giới hạn thứ hai:

Giới hạn thứ hai cũng vậy có hạn.

Vì vậy, tiệm cận của chúng tôi là:

Sự kết luận: đường thẳng cho bởi phương trình là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại .

Để tìm đường tiệm cận ngang Bạn có thể sử dụng công thức đơn giản hóa:

Nếu có giới hạn hữu hạn thì đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại .

Dễ thấy rằng tử số và mẫu số của hàm số một thứ tự tăng trưởng, có nghĩa là giới hạn mong muốn sẽ là hữu hạn:

Câu trả lời:

Theo điều kiện, không nhất thiết phải hoàn thành bản vẽ, nhưng nếu hoàn toàn nghiên cứu chức năng, sau đó trên bản nháp, chúng tôi ngay lập tức tạo một bản phác thảo:

Dựa trên ba giới hạn tìm được, hãy cố gắng độc lập tìm ra cách có thể xác định vị trí của đồ thị hàm số. Khá khó khăn? Tìm các điểm 5-6-7-8 và đánh dấu chúng trên hình vẽ. Tuy nhiên, đồ thị của chức năng này được xây dựng bằng cách sử dụng biến đổi biểu đồ chức năng cơ bản , và bạn đọc nào đã xem kỹ Ví dụ 21 của bài viết này sẽ dễ dàng đoán được nó là loại đường cong gì.

ví dụ 2

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Tôi xin nhắc bạn rằng quá trình này được chia thành hai điểm một cách thuận tiện - tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Trong giải pháp mẫu, tiệm cận ngang được tìm thấy bằng sơ đồ đơn giản hóa.

Trong thực tế, các hàm phân số hữu tỷ thường gặp nhất và sau khi đào tạo về hyperbolas, chúng tôi sẽ làm phức tạp nhiệm vụ:

ví dụ 3

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch: Một, hai và xong:

1) Các đường tiệm cận đứng được tìm thấy tại các điểm gián đoạn vô hạn, vì vậy bạn cần kiểm tra xem mẫu số có bằng 0 không. chúng tôi sẽ quyết định phương trình bậc hai :

Biệt thức là dương, vì vậy phương trình có hai nghiệm thực và công việc được thêm vào đáng kể =)

Để tiếp tục tìm giới hạn một phía tam thức vuông thuận tiện để thừa số:
(đối với ký hiệu thu gọn, "trừ" đã được giới thiệu trong dấu ngoặc đầu tiên). Đối với lưới an toàn, chúng tôi sẽ thực hiện kiểm tra, tinh thần hoặc trên bản nháp, mở các dấu ngoặc.

Hãy viết lại hàm dưới dạng

Tìm giới hạn một phía tại điểm :

Và ở điểm:

Như vậy, các đường thẳng là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đang xét.

2) Nếu bạn nhìn vào chức năng , thì rõ ràng là giới hạn sẽ hữu hạn và chúng ta có một tiệm cận ngang. Hãy thể hiện nó một cách ngắn gọn:

Như vậy, đường thẳng (abscissa) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này.

Câu trả lời:

Các giới hạn và tiệm cận được tìm thấy cung cấp rất nhiều thông tin về đồ thị của hàm. Cố gắng tưởng tượng bản vẽ trong đầu, có tính đến các sự kiện sau:

Phác thảo phiên bản biểu đồ của bạn trên bản nháp.

Tất nhiên, các giới hạn được tìm thấy không xác định rõ ràng loại biểu đồ và bạn có thể mắc lỗi, nhưng bản thân bài tập sẽ giúp ích vô giá trong quá trình học đầy đủ chức năng. Hình đúng nằm ở cuối bài.

Ví dụ 4

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 5

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Đây là những nhiệm vụ cho quyết định độc lập. Cả hai đồ thị lại có các tiệm cận ngang, được phát hiện ngay lập tức bởi các tính năng sau: trong Ví dụ 4 thứ tự tăng trưởng mẫu số lớn hơn thứ tự tăng của tử số và trong ví dụ 5 tử số và mẫu số một thứ tự tăng trưởng. Trong giải pháp mẫu, chức năng đầu tiên được điều tra về sự hiện diện của các tiệm cận xiên một cách đầy đủ và chức năng thứ hai - thông qua giới hạn .

Theo ấn tượng chủ quan của tôi, các tiệm cận ngang phổ biến hơn đáng kể so với những tiệm cận "thực sự nghiêng". Trường hợp chung được chờ đợi từ lâu:

Ví dụ 6

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch: kinh điển của thể loại:

1) Vì mẫu số dương nên hàm số tiếp diễn trên toàn bộ trục số và không có tiệm cận đứng. …Liệu nó có tốt không? Không phải từ đúng - xuất sắc! Mục số 1 đã đóng.

2) Kiểm tra sự có mặt của các tiệm cận xiên:

giới hạn đầu tiên có hạn, vì vậy chúng ta hãy tiếp tục. Trong quá trình tính toán giới hạn thứ hai để loại bỏ sự không chắc chắn "vô cực trừ vô cực" ta đưa biểu thức về mẫu số chung:

Giới hạn thứ hai cũng vậy có hạn, do đó, đồ thị hàm số đang xét có một tiệm cận xiên:

Sự kết luận:

Như vậy, đối với đồ thị hàm số gần vô tận tiếp cận một đường thẳng:

Lưu ý rằng nó cắt đường tiệm cận xiên của nó tại gốc tọa độ và các giao điểm như vậy hoàn toàn có thể chấp nhận được - điều quan trọng là "mọi thứ đều bình thường" ở vô cực (thực ra, đó là nơi thảo luận về các tiệm cận).

Ví dụ 7

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch: không có gì nhiều để bình luận, vì vậy tôi sẽ đưa ra một ví dụ gần đúng về giải pháp cuối cùng:

1) Các tiệm cận đứng. Hãy cùng khám phá điểm.

Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị tại .

2) Các tiệm cận xiên:

Đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị tại .

Câu trả lời:

Các giới hạn và tiệm cận một bên được tìm thấy cho phép chúng ta giả định chắc chắn đồ thị của hàm này trông như thế nào. Vẽ đúng cuối bài.

Ví dụ 8

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập, để thuận tiện cho việc tính toán một số giới hạn, bạn có thể chia tử số cho mẫu số theo số hạng. Và một lần nữa, phân tích kết quả, hãy thử vẽ đồ thị của hàm này.

Rõ ràng, chủ sở hữu của các tiệm cận xiên "thực" là đồ thị của những hàm hữu tỉ phân số, có lũy thừa cao nhất của tử số một lần nữa bậc cao nhất của mẫu số. Nếu nhiều hơn, sẽ không có tiệm cận xiên (ví dụ: ).

Nhưng những điều kỳ diệu khác xảy ra trong cuộc sống:

Ví dụ 9

Dung dịch: hàm số tiếp diễn trên toàn bộ dòng số, có nghĩa là không có tiệm cận đứng. Nhưng cũng có thể có những con dốc. Chung ta kiểm tra:

Tôi nhớ làm thế nào tôi bắt gặp một chức năng tương tự ở trường đại học và đơn giản là không thể tin rằng nó có một tiệm cận xiên. Cho đến khi tôi tính giới hạn thứ hai:

Nói một cách chính xác, có hai điều không chắc chắn ở đây: và , nhưng bằng cách này hay cách khác, bạn cần sử dụng phương pháp giải, được thảo luận trong Ví dụ 5-6 của bài viết về giới hạn tăng độ phức tạp . Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để sử dụng công thức:

Câu trả lời:

Có lẽ tiệm cận xiên phổ biến nhất.

Cho đến bây giờ, vô cực đã được "cắt bằng cùng một bàn chải", nhưng điều đó xảy ra là đồ thị của hàm hai khác nhau tiệm cận xiên cho và cho :

Ví dụ 10

Xét đồ thị hàm số có tiệm cận

Dung dịch: biểu thức gốc là dương, có nghĩa là miền- bất kỳ số thực nào và không thể có que thẳng đứng.

Hãy kiểm tra xem có tồn tại các đường tiệm cận xiên không.

Nếu "x" có xu hướng "âm vô cực", thì:
(khi thêm "X" dưới Căn bậc hai bạn cần thêm dấu trừ để không làm mất mẫu số âm)

Có vẻ khác thường, nhưng ở đây sự không chắc chắn là "vô cực trừ vô cực." Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liền kề:

Như vậy, đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị tại .

Với "cộng vô cực", mọi thứ trở nên tầm thường hơn:

Và đường thẳng - tại .

Câu trả lời:

Nếu một ;
, nếu .

tôi không thể cưỡng lại hình ảnh đồ họa:


Đây là một trong những nhánh cường điệu .

Không có gì lạ khi sự hiện diện tiềm ẩn của các đường tiệm cận ban đầu bị hạn chế phạm vi chức năng:

Ví dụ 11

Xét đồ thị hàm số có tiệm cận

Dung dịch: hiển nhiên là , do đó, ta chỉ xét nửa mặt phẳng bên phải, nơi có đồ thị của hàm số.

1) Chức năng tiếp diễn trên khoảng , có nghĩa là nếu tồn tại tiệm cận đứng thì nó chỉ có thể là trục y. Chúng tôi nghiên cứu hành vi của chức năng gần điểm bên phải:

Ghi chú, KHÔNG có sự mơ hồ nào ở đây(về những trường hợp như vậy, sự chú ý đã được tập trung ở đầu bài viết phương pháp giải giới hạn).

Do đó, đường thẳng (trục y) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại .

2) Việc nghiên cứu tiệm cận xiên có thể được thực hiện theo sơ đồ đầy đủ, nhưng trong bài viết Quy tắc Lopital chúng tôi phát hiện ra rằng hàm tuyến tính hơn bậc cao tăng trưởng hơn logarit, do đó: (xem ví dụ 1 cùng bài).

Kết luận: trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại .

Câu trả lời:

Nếu một ;
, nếu .

Vẽ cho rõ ràng:

Thật thú vị, một chức năng có vẻ giống nhau hoàn toàn không có tiệm cận (những ai muốn có thể kiểm tra điều này).

Hai ví dụ tự học cuối cùng:

Ví dụ 12

Xét đồ thị hàm số có tiệm cận

Để kiểm tra các tiệm cận đứng, trước tiên chúng ta cần tìm phạm vi chức năng, sau đó tính toán một cặp giới hạn một bên tại các điểm "đáng ngờ". Các tiệm cận xiên cũng không bị loại trừ, vì hàm được xác định là vô cực "cộng" và "trừ".

Ví dụ 13

Xét đồ thị hàm số có tiệm cận

Và ở đây chỉ có thể có các đường tiệm cận xiên, và các hướng nên được xem xét riêng.

Tôi hy vọng bạn tìm thấy tiệm cận đúng =)

Chúc bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2:Dung dịch :
. Hãy tìm giới hạn một bên:

Dài là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại .
2) Đường tiệm cận xiên.

Dài .
Câu trả lời:

Đang vẽ đến Ví dụ 3:

Ví dụ 4:Dung dịch :
1) Các tiệm cận đứng. Hàm bị phá vỡ vô hạn tại một điểm . Hãy tính giới hạn một bên:

Ghi chú: một số âm vô hạn trong bằng cấp chẵn bằng vô hạn số dương: .

Dài là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2) Đường tiệm cận xiên.


Dài (abscissa) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại .
Câu trả lời:

Trong nhiều trường hợp, việc vẽ một hàm sẽ dễ dàng hơn nếu trước tiên bạn vẽ các tiệm cận của đường cong.

Định nghĩa 1. Các đường tiệm cận được gọi là các đường mà đồ thị của hàm tiệm cận gần như mong muốn khi biến có xu hướng cộng hoặc trừ vô cực.

Định nghĩa 2. Đường thẳng được gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu khoảng cách từ điểm biến thiên mđồ thị của hàm cho đến đường thẳng này có xu hướng bằng 0 khi điểm di chuyển ra xa vô tận m từ gốc tọa độ dọc theo nhánh bất kỳ của đồ thị hàm số.

Có ba loại tiệm cận: dọc, ngang và xiên.

Các asymptotes dọc

Sự định nghĩa. Dài x = một Là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu điểm x = một Là điểm phá vỡ của loại thứ hai cho tính năng này.

Suy ra từ định nghĩa là đường thẳng x = một là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được đáp ứng:

Đồng thời, chức năng f(x) có thể không được xác định ở tất cả, tương ứng, cho x ≥ một và x ≤ một .

Bình luận:

ví dụ 1đồ thị hàm số y=ln x có một tiệm cận đứng x= 0 (tức là trùng với trục Oy) trên biên của miền xác định, vì giới hạn của hàm khi x có xu hướng tiến về 0 ở bên phải bằng âm vô cực:

(hình trên).

của riêng bạn và sau đó xem các giải pháp

ví dụ 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .

ví dụ 3 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

tiệm cận ngang

Nếu (giới hạn của hàm số khi đối số có xu hướng cộng hoặc trừ vô cực bằng một giá trị nào đó b), sau đó y = b – tiệm cận ngang quanh co y = f(x ) (phải khi x có xu hướng cộng vô cực, trái khi x có xu hướng trừ vô cực và hai phía nếu các giới hạn khi x có xu hướng cộng hoặc trừ vô cực bằng nhau).

Ví dụ 5đồ thị hàm số

tại một> 1 có tiệm cận ngang trái y= 0 (tức là trùng với trục Con bò), vì giới hạn của hàm khi "x" có xu hướng âm vô cực bằng 0:

Đường cong không có tiệm cận ngang phải, vì giới hạn của hàm khi x có xu hướng cộng với vô cực thì bằng vô cực:

tiệm cận xiên

Các tiệm cận đứng và ngang mà chúng ta đã xem xét ở trên song song với các trục tọa độ, do đó, để dựng chúng, chúng ta chỉ cần một số nhất định - một điểm trên trục hoành hoặc trục tọa độ mà tiệm cận đi qua. Cần nhiều hơn cho tiệm cận xiên - độ dốc k, biểu thị góc nghiêng của đường thẳng và giao tuyến b, cho biết đường thẳng nằm trên hoặc dưới gốc tọa độ bao nhiêu. Những người không có thời gian để quên hình học giải tích, và từ nó - các phương trình của một đường thẳng, sẽ nhận thấy rằng đối với một tiệm cận xiên, họ tìm thấy phương trình độ dốc. Sự tồn tại của một tiệm cận xiên được xác định bởi định lý sau đây, trên cơ sở đó tìm được các hệ số vừa nêu.

định lý.Để tạo một đường cong y = f(x) có một tiệm cận y = kx + b , điều cần và đủ là tồn tại giới hạn hữu hạn k và b của hàm đang được xem xét vì biến có xu hướng xđến cộng vô cực và trừ vô cực:

(1)

(2)

Do đó các số tìm được k và b và là các hệ số của tiệm cận xiên.

Trong trường hợp đầu tiên (khi x có xu hướng cộng với vô cực), tiệm cận xiên bên phải thu được, trong trường hợp thứ hai (khi x có xu hướng âm vô cùng), nó ở bên trái. Đường tiệm cận xiên bên phải được thể hiện trong Hình. từ phía dưới.

Khi tìm phương trình của tiệm cận xiên, cần tính đến xu hướng của x vừa cộng vô cực vừa trừ vô cực. Đối với một số hàm, ví dụ, đối với phân số hữu tỷ, các giới hạn này trùng nhau, nhưng đối với nhiều hàm, các giới hạn này khác nhau và chỉ một trong số chúng có thể tồn tại.

Khi các giới hạn trùng với x có xu hướng cộng vô cực và trừ vô cực thì đường thẳng y = kx + b là tiệm cận hai bên của đường cong.

Nếu ít nhất một trong các giới hạn xác định tiệm cận y = kx + b , không tồn tại thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên (nhưng có thể có tiệm cận đứng).

Dễ thấy rằng đường tiệm cận ngang y = b là một trường hợp đặc biệt của xiên y = kx + b tại k = 0 .

Do đó, nếu một đường cong có tiệm cận ngang theo bất kỳ phương nào thì không có tiệm cận xiên theo phương đó và ngược lại.

Ví dụ 6 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch. Hàm được xác định trên toàn bộ trục số ngoại trừ x= 0 , tức là

Vì vậy, tại điểm phá vỡ x= 0 đường cong có thể có tiệm cận đứng. Thật vậy, giới hạn của hàm khi x có xu hướng tiến về 0 từ bên trái cộng với vô cực:

Do đó, x= 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này.

Đồ thị của hàm số này không có tiệm cận ngang, vì giới hạn của hàm số khi x có xu hướng dương vô cực thì bằng dương vô cực:

Hãy để chúng tôi tìm hiểu sự hiện diện của một tiệm cận xiên:

Có giới hạn hữu hạn k= 2 và b= 0 . Dài y = 2x là tiệm cận xiên hai bên của đồ thị hàm số này (hình bên trong ví dụ).

Ví dụ 7 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch. Chức năng có một điểm ngắt x= −1 . Hãy để chúng tôi tính toán các giới hạn một phía và xác định loại gián đoạn:

Sự kết luận: x= −1 là điểm gián đoạn loại hai nên đường thẳng x= −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này.

Tìm các tiệm cận xiên. Tại vì hàm đã cho- phân số hợp lý, các giới hạn tại và tại sẽ trùng khớp. Do đó, chúng tôi tìm thấy các hệ số để thay thế đường thẳng - tiệm cận xiên vào phương trình:

Thay thế các hệ số tìm thấy vào phương trình của một đường thẳng với yếu tố độ dốc, ta thu được phương trình của tiệm cận xiên:

y = −3x + 5 .

Trên hình là đồ thị của hàm số màu đỏ tía, và các đường tiệm cận có màu đen.

Ví dụ 8 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch. Vì hàm số này liên tục nên đồ thị của nó không có tiệm cận đứng. Chúng tôi đang tìm kiếm các tiệm cận xiên:

.

Vậy đồ thị hàm số này có tiệm cận y= 0 tại và không có tiệm cận tại .

Ví dụ 9 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch. Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm các tiệm cận đứng. Để làm được điều này, ta tìm miền xác định của hàm. Hàm được xác định khi bất đẳng thức giữ và . dấu biến x khớp với dấu hiệu. Vì vậy, xem xét bất đẳng thức tương đương. Từ đó, chúng ta có được phạm vi của chức năng: . Đường tiệm cận đứng chỉ có thể nằm trên biên của miền xác định của hàm số. Nhưng mà x= 0 không thể là tiệm cận đứng vì hàm số được xác định cho x = 0 .

Xét giới hạn bên phải tại (không tồn tại giới hạn bên trái):

.

chấm x= 2 là điểm gián đoạn loại 2 nên đường thẳng x= 2 - tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này.

Chúng tôi đang tìm kiếm các tiệm cận xiên:

Vì thế, y = x+ 1 - tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này tại . Chúng tôi đang tìm kiếm một tiệm cận xiên cho:

Vì thế, y = −x − 1 - tiệm cận xiên tại .

Ví dụ 10 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Dung dịch. Hàm có phạm vi . Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này chỉ có thể nằm trên biên của miền xác định nên ta sẽ tìm giới hạn một phía của hàm số tại .

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y \u003d f (x) được gọi là một dòng có thuộc tính là khoảng cách từ điểm (x, f (x)) đến dòng này có xu hướng bằng 0 với việc loại bỏ không giới hạn điểm biểu đồ khỏi gốc tọa độ.

Hình 3.10. được ví dụ đồ họa theo chiều dọc, nằm ngang và xiên tiệm cận.

Việc tìm các tiệm cận của đồ thị dựa vào ba định lý sau.

Định lý tiệm cận đứng. Đặt hàm y \u003d f (x) được xác định trong một vùng lân cận nào đó của điểm x 0 (có thể loại trừ chính điểm này) và ít nhất một trong các giới hạn một bên của hàm bằng vô cực, tức là Khi đó đường thẳng x \u003d x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y \u003d f (x).

Rõ ràng, đường thẳng x \u003d x 0 không thể là tiệm cận đứng nếu hàm số liên tục tại điểm x 0, vì trong trường hợp này . Do đó, nên tìm các tiệm cận đứng tại các điểm gián đoạn của một hàm hoặc tại các điểm cuối của miền xác định của nó.

Định lý về đường tiệm cận ngang. Giả sử hàm số y \u003d f (x) xác định với x đủ lớn và có giới hạn hữu hạn của hàm số . Khi đó đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bình luận. Nếu chỉ một trong các giới hạn là hữu hạn thì hàm số có tương ứng là bên trái hoặc bên phải tiệm cận ngang.

Trong trường hợp đó, hàm có thể có một tiệm cận xiên.

Định lý tiệm cận xiên. Cho hàm số y = f(x) xác định với x đủ lớn và có giới hạn hữu hạn . Khi đó đường thẳng y = kx + b là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Không có bằng chứng.

Tiệm cận xiên, cũng như tiệm cận ngang, có thể thuận tay phải hoặc thuận tay trái nếu cơ sở của các giới hạn tương ứng là vô cực của một dấu hiệu nhất định.

Việc nghiên cứu các hàm số và xây dựng đồ thị của chúng thường bao gồm các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát hàm số chẵn lẻ.

3. Tìm các tiệm cận đứng bằng cách kiểm tra các điểm gián đoạn và hành vi của hàm số trên các biên của miền xác định, nếu chúng hữu hạn.

4. Tìm các tiệm cận ngang hoặc xiên bằng cách khảo sát hành vi của hàm số tại vô cực.

5. Tìm cực trị và các khoảng đơn điệu của hàm số.

6. Tìm các khoảng lồi của hàm số và các điểm uốn.

7. Tìm các giao điểm với các trục tọa độ và có thể thêm một số điểm tinh chỉnh đồ thị.

vi phân hàm

Có thể chứng minh rằng nếu một hàm có giới hạn đối với một số cơ số bằng số cuối cùng, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của số này và một giá trị vô cùng nhỏ có cùng cơ số (và ngược lại): .

Hãy áp dụng định lý này cho một hàm khả vi: .

Do đó, số gia của hàm Dy bao gồm hai số hạng: 1) tuyến tính đối với Dx, tức là f`(x)Dx; 2) phi tuyến tính đối với Dx, tức là a(Dx)Dx. Đồng thời, kể từ khi , số hạng thứ hai này là một số hạng cực nhỏ bậc cao hơn Dx (vì Dx có xu hướng tiến tới 0, nên nó có xu hướng tiến tới 0 thậm chí còn nhanh hơn).

sự khác biệt hàm được gọi là chính, tuyến tính đối với phần Dx của phần tăng của hàm, bằng với sản phẩmđạo hàm gia tăng của biến độc lập dy = f `(x)Dх.

Tìm vi phân của hàm y = x.

Vì dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, nên dx = Dx, tức là vi phân của một biến độc lập bằng với số gia của biến đó.

Do đó, công thức tính vi phân của một hàm có thể được viết là dy = f `(x)dх. Đó là lý do tại sao một trong những ký hiệu của đạo hàm là phân số dy/dх.

ý nghĩa hình học vi phân minh họa
hình 3.11. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) điểm tùy ý M(x, y). Hãy cho đối số x một số gia Dx. Khi đó hàm y = f(x) sẽ nhận được một số gia Dy = f(x + Dх) - f(x). Hãy vẽ một tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M tạo với chiều dương của trục x một góc a, tức là f `(x) = tg a. Từ tam giác vuông MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Do đó, vi phân của hàm số là số gia theo tung độ của tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm số tại một điểm cho trước khi x tăng thêm Dx.

Tính chất của vi phân về cơ bản giống như tính chất của đạo hàm:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Tuy nhiên, có tài sản quan trọng vi phân của một hàm mà đạo hàm của nó không có là bất biến dạng vi phân.

Từ định nghĩa của vi phân cho hàm y = f(x), vi phân là dy = f`(x)dх. Nếu hàm y này phức tạp, tức là y = f(u), trong đó u = j(x), thì y = f và f `(x) = f `(u)*u`. Khi đó dy = f`(u)*u`dx. Nhưng đối với chức năng
u = j(x) vi phân du = u`dx. Do đó dy = f `(u)*du.

So sánh các đẳng thức dy = f `(x)dх và dy = f `(u)*du, ta đảm bảo rằng công thức vi phân không thay đổi nếu thay vì hàm của biến độc lập x ta xét hàm của biến biến phụ thuộc u. Tính chất này của vi phân được gọi là tính bất biến (invariance) của dạng (hay công thức) của vi phân.

Tuy nhiên, vẫn có sự khác biệt trong hai công thức này: trong công thức đầu tiên, vi phân của biến độc lập bằng với số gia của biến này, tức là dx = Dx, trong khi ở lần thứ hai, vi phân của hàm du chỉ có phần tuyến tính gia số của hàm này Du và chỉ dành cho Dх du nhỏ » Du.