Hiện tại, trong TheBat (không rõ vì lý do gì), cơ sở dữ liệu chứng chỉ tích hợp cho SSL đã ngừng hoạt động chính xác.

Khi kiểm tra bài đăng, một lỗi bật lên:

Chứng chỉ CA không xác định
Máy chủ không xuất trình chứng chỉ gốc trong phiên và không tìm thấy chứng chỉ gốc tương ứng trong sổ địa chỉ.
Kết nối này không thể là bí mật. Xin vui lòng
liên hệ với quản trị viên máy chủ của bạn.

Và nó được cung cấp một lựa chọn câu trả lời - CÓ / KHÔNG. Và vì vậy mỗi khi bạn bắn thư.

Dung dịch

Trong trường hợp này, bạn cần thay thế tiêu chuẩn triển khai S/MIME và TLS bằng Microsoft CryptoAPI trong TheBat!

Vì tôi cần hợp nhất tất cả các tệp thành một nên trước tiên, tôi đã chuyển đổi tất cả các tệp doc thành một tệp pdf duy nhất (sử dụng chương trình Acrobat), sau đó chuyển tệp đó sang fb2 thông qua một trình chuyển đổi trực tuyến. Bạn cũng có thể chuyển đổi các tập tin riêng lẻ. Các định dạng hoàn toàn có thể là bất kỳ (nguồn) và doc, jpg và thậm chí cả kho lưu trữ zip!

Tên của trang web tương ứng với bản chất :) Photoshop trực tuyến.

Cập nhật tháng 5 năm 2015

Tôi đã tìm thấy một trang web tuyệt vời khác! Thậm chí còn thuận tiện và chức năng hơn để tạo ảnh ghép hoàn toàn tùy ý! Trang web này là http://www.fotor.com/ru/collage/. Sử dụng trên sức khỏe. Và tôi sẽ tự mình sử dụng nó.

Đối mặt với cuộc sống với việc sửa chữa bếp điện. Tôi đã làm rất nhiều thứ, đã học được rất nhiều, nhưng không hiểu sao tôi lại ít liên quan đến gạch. Cần phải thay thế các tiếp điểm trên bộ điều chỉnh và đầu đốt. Câu hỏi đặt ra - làm thế nào để xác định đường kính của đầu đốt trên bếp điện?

Câu trả lời hóa ra rất đơn giản. Không cần phải đo bất cứ thứ gì, bạn có thể bình tĩnh xác định bằng mắt kích thước bạn cần.

Đầu đốt nhỏ nhất là 145 milimét (14,5 cm)

Đầu đốt vừa là 180 milimét (18 cm).

Và cuối cùng nhất đầu đốt lớn là 225 milimét (22,5 xentimét).

Nó là đủ để xác định kích thước bằng mắt và hiểu bạn cần một đầu đốt có đường kính bao nhiêu. Khi tôi chưa biết điều này, tôi đã bay bổng với những kích thước này, tôi không biết cách đo, điều hướng cạnh nào, v.v. Bây giờ tôi khôn ngoan :) Tôi hy vọng nó cũng giúp được bạn!

Trong cuộc sống của tôi, tôi đã phải đối mặt với một vấn đề như vậy. Tôi nghĩ rằng tôi không phải là người duy nhất.

Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của phép tính vi phân là phát triển các ví dụ chung về nghiên cứu hành vi của các hàm.

Nếu hàm y \u003d f (x) liên tục trên khoảng và đạo hàm của nó dương hoặc bằng 0 trên khoảng (a, b), thì y \u003d f (x) tăng thêm (f "(x) 0). Nếu hàm y \u003d f (x) liên tục trên đoạn , và đạo hàm của nó âm hoặc bằng 0 trên khoảng (a,b) thì y=f(x) giảm đi (f"( x)0)

Các khoảng mà hàm số không giảm hoặc không tăng gọi là các khoảng tính đơn điệu của hàm số. Tính chất đơn điệu của một hàm số chỉ có thể thay đổi tại những điểm thuộc miền xác định của hàm số mà tại đó dấu của đạo hàm cấp một thay đổi. Các điểm tại đó đạo hàm bậc nhất của một hàm biến mất hoặc bị phá vỡ được gọi là các điểm tới hạn.

Định lý 1 (điều kiện đủ thứ nhất để tồn tại một cực trị).

Cho hàm số y=f(x) xác định tại điểm x 0 và tồn tại một lân cận δ>0 sao cho hàm số liên tục trên đoạn , khả vi trên khoảng (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , và đạo hàm của nó giữ nguyên dấu không đổi trên mỗi khoảng này. Khi đó, nếu trên x 0 -δ, x 0) và (x 0, x 0 + δ) dấu của đạo hàm khác nhau thì x 0 là điểm cực trị và nếu chúng trùng nhau thì x 0 không phải là điểm cực trị . Hơn nữa, nếu khi đi qua điểm x0 thì đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ (bên trái x 0 thực hiện f”(x) > 0 thì x 0 là điểm cực đại; nếu đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng (bên phải của x 0 được thực hiện bởi f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Các điểm cực đại và cực tiểu gọi là các điểm cực trị của hàm số, còn các cực đại và cực tiểu của hàm số gọi là các giá trị cực trị của nó.

Định lý 2 (tiêu chí cần cho một cực trị địa phương).

Nếu hàm y=f(x) có cực trị tại x=x 0 hiện tại, thì f'(x 0)=0 hoặc f'(x 0) không tồn tại.
Tại các điểm cực trị của hàm số khả vi, tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó song song với trục Ox.

Thuật toán nghiên cứu một hàm đối với một cực trị:

1) Tìm đạo hàm của hàm số.
2) Tìm các điểm tới hạn, tức là điểm tại đó hàm số liên tục và đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3) Xét lân cận của mỗi điểm, và kiểm tra dấu của đạo hàm bên trái và bên phải của điểm này.
4) Xác định tọa độ các điểm cực trị, đối với giá trị các điểm tới hạn này, thế vào hàm này. Sử dụng đủ điều kiện cực trị, rút ​​ra kết luận thích hợp.

Ví dụ 18. Khảo sát hàm số y=x 3 -9x 2 +24x

Dung dịch.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Lấy đạo hàm bằng 0, ta tìm được x 1 = 2, x 2 = 4. Trong trường hợp này, đạo hàm được xác định ở mọi nơi; do đó ngoài hai điểm tìm được không còn điểm tới hạn nào khác.
3) Dấu của đạo hàm y”=3(x-2)(x-4) đổi dấu theo từng khoảng như hình 1. Khi đi qua điểm x=2 thì đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ, và khi đi qua điểm x=4 - từ điểm trừ đến điểm cộng.
4) Tại điểm x=2 hàm số có cực đại y max =20 và tại điểm x=4 - cực tiểu y min =16.

Định lý 3. (Điều kiện đủ thứ 2 để tồn tại cực trị).

Cho f "(x 0) và f "" (x 0) tồn tại tại điểm x 0. Khi đó nếu f "" (x 0) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu, còn nếu f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Trên đoạn, hàm y \u003d f (x) có thể đạt giá trị nhỏ nhất (ít nhất) hoặc lớn nhất (nhiều nhất) tại các điểm tới hạn của hàm nằm trong khoảng (a; b) hoặc tại các điểm cuối của phân khúc.

Thuật toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục y=f(x) trên đoạn :

1) Tìm f”(x).
2) Tìm các điểm tại đó f "(x) = 0 hoặc f" (x) - không tồn tại và chọn từ chúng những điểm nằm bên trong đoạn thẳng.
3) Tính giá trị của hàm y \u003d f (x) tại các điểm thu được trong đoạn 2), cũng như tại các điểm cuối của đoạn và chọn điểm lớn nhất và nhỏ nhất trong số chúng: chúng lần lượt là điểm lớn nhất ( cho lớn nhất) và giá trị nhỏ nhất của hàm số (cho nhỏ nhất) trên khoảng .

Ví dụ 19. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số liên tục y=x 3 -3x 2 -45+225 trên đoạn .

1) Ta có y"=3x 2 -6x-45 trên đoạn
2) Đạo hàm y" tồn tại với mọi x. Hãy tìm các điểm tại đó y"=0; chúng tôi nhận được:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Tính giá trị của hàm số tại các điểm x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Chỉ có điểm x=5 thuộc đoạn thẳng. Giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được của hàm số là 225 và nhỏ nhất là số 50. Vậy lúc max = 225, lúc max = 50.

Khảo sát hàm lồi

Hình bên là đồ thị của hai hàm số. Cái đầu tiên trong số chúng được quay với phần phình lên, cái thứ hai - với phần phình xuống.

Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn và khả vi trên khoảng (a;b), được gọi là lồi lên (xuống) trên đoạn này, nếu với axb, đồ thị của nó không cao hơn (không thấp hơn) tiếp tuyến được vẽ tại bất kỳ điểm M 0 (x 0 ;f(x 0)), trong đó axb.

Định lý 4. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai tại điểm x bất kỳ trong đoạn thẳng và liên tục tại hai điểm cuối của đoạn thẳng này. Khi đó nếu bất đẳng thức f""(x)0 thỏa mãn trên khoảng (a;b) thì hàm số lồi xuống trên đoạn ; nếu bất đẳng thức f""(x)0 thỏa mãn trên khoảng (а;b) thì hàm số lồi lên trên .

Định lý 5. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) và đổi dấu khi đi qua điểm x 0 , thì M(x 0 ;f(x 0)) là một điểm uốn.

Quy tắc tìm điểm uốn:

1) Tìm những điểm tại đó f""(x) không tồn tại hoặc không tồn tại.
2) Kiểm tra dấu f""(x) ở bên trái và bên phải của mỗi điểm được tìm thấy ở bước đầu tiên.
3) Dựa vào Định lý 4, hãy rút ra kết luận.

Ví dụ 20. Tìm điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị hàm số y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Ta có f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Rõ ràng, f"(x)=0 với x 1 =0, x 2 =1. Đạo hàm khi đi qua điểm x=0 thì đổi dấu từ âm sang cộng và khi đi qua điểm x=1 thì không đổi dấu. Điều này có nghĩa là x=0 là điểm cực tiểu (y min =12) và không có điểm cực trị tại điểm x=1. Tiếp theo, chúng tôi tìm thấy . Đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại các điểm x 1 =1, x 2 =1/3. Dấu của đạo hàm cấp hai biến đổi như sau: Trên tia (-∞;) ta có f""(x)>0, trên khoảng (;1) ta có f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Do đó x= là điểm uốn của đồ thị hàm số (chuyển từ lồi xuống đến lồi lên) và x=1 cũng là điểm uốn (chuyển từ lồi lên sang lồi xuống). Nếu x= thì y= ; nếu thì x=1, y=13.

Thuật toán tìm tiệm cận của đồ thị

I. Nếu y=f(x) là x → a , thì x=a là một tiệm cận đứng.
II. Nếu y=f(x) khi x → ∞ hoặc x → -∞ thì y=A là tiệm cận ngang.
III. Để tìm đường tiệm cận xiên, ta sử dụng thuật toán sau:
1) Tính . Nếu tồn tại giới hạn và bằng b thì y=b là tiệm cận ngang; nếu , sau đó chuyển sang bước thứ hai.
2) Tính . Nếu giới hạn này không tồn tại, thì không có tiệm cận; nếu nó tồn tại và bằng k thì chuyển sang bước thứ ba.
3) Tính . Nếu giới hạn này không tồn tại, thì không có tiệm cận; nếu nó tồn tại và bằng b thì chuyển sang bước thứ tư.
4) Viết phương trình đường tiệm cận xiên y=kx+b.

Ví dụ 21: Tìm đường tiệm cận của hàm số

1)
2)
3)
4) Phương trình tiệm cận xiên có dạng

Sơ đồ nghiên cứu hàm số và cách xây dựng đồ thị của nó

I. Tìm miền xác định của hàm số.
II. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.
III. Tìm tiệm cận.
IV. Tìm các điểm cực trị có thể.
V. Tìm điểm tới hạn.
VI. Sử dụng hình vẽ phụ, khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất và bậc hai. Xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số, tìm hướng lồi của đồ thị, các điểm cực trị, điểm uốn.
VII. Vẽ một biểu đồ, lưu ý đến cuộc học hỏi được thực hiện ở đoạn 1-6.

Ví dụ 22: Vẽ đồ thị hàm số theo sơ đồ trên

Dung dịch.
I. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực, trừ x=1.
II. Vì phương trình x 2 +1=0 vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có giao điểm với trục Ox mà cắt trục Oy tại điểm (0; -1).
III. Hãy để chúng tôi làm rõ câu hỏi về sự tồn tại của tiệm cận. Chúng tôi điều tra hành vi của hàm gần điểm gián đoạn x=1. Vì y → ∞ với x → -∞, y → +∞ với x → 1+ nên đường thẳng x=1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Nếu x → +∞(x → -∞) thì y → +∞(y → -∞); do đó đồ thị không có tiệm cận ngang. Hơn nữa, từ sự tồn tại của giới hạn

Giải phương trình x 2 -2x-1=0, ta được hai điểm thuộc một cực trị khả dĩ:
x 1 =1-√2 và x 2 =1+√2

V. Để tìm các điểm tới hạn, ta tính đạo hàm cấp hai:

Vì f""(x) không biến nên không có điểm tới hạn.
VI. Ta khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất và bậc hai. Các điểm cực trị có thể xét: x 1 =1-√2 và x 2 =1+√2, chia khoảng tồn tại của hàm số thành các khoảng (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) và (1+√2;+∞).

Trong mỗi khoảng này, đạo hàm giữ nguyên dấu của nó: ở lần thứ nhất - cộng, ở lần thứ hai - trừ, ở lần thứ ba - cộng. Dãy các dấu của đạo hàm bậc nhất sẽ được viết như sau: +, -, +.
Ta nhận được rằng hàm trên (-∞;1-√2) tăng, trên (1-√2;1+√2) nó giảm và trên (1+√2;+∞) nó lại tăng. Điểm cực trị: cực đại tại x=1-√2, hơn nữa f(1-√2)=2-2√2 cực tiểu tại x=1+√2, hơn nữa f(1+√2)=2+2√2. Trên (-∞;1) đồ thị lồi lên trên và trên (1;+∞) - lồi xuống dưới.
VII Hãy lập bảng giá trị thu được

VIII Dựa vào dữ liệu thu được, ta dựng đồ thị của hàm số

Để nghiên cứu đầy đủ về hàm và vẽ đồ thị của nó, nên sử dụng sơ đồ sau:

1) tìm phạm vi của chức năng;

2) tìm các điểm gián đoạn của hàm và các tiệm cận đứng (nếu có);

3) điều tra hành vi của hàm ở vô cực, tìm các tiệm cận ngang và xiên;

4) khảo sát hàm số chẵn (lẻ) và tính tuần hoàn (đối với hàm lượng giác);

5) tìm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm số;

6) xác định khoảng lồi và điểm uốn;

7) tìm các điểm giao nhau với các trục tọa độ, nếu có thể, và một số điểm bổ sung giúp tinh chỉnh đồ thị.

Việc nghiên cứu chức năng được thực hiện đồng thời với việc xây dựng đồ thị của nó.

Ví dụ 9 Khám phá chức năng và xây dựng một đồ thị.

1. Miền xác định: ;

2. Hàm ngắt tại điểm
,
;

Chúng tôi điều tra chức năng cho sự hiện diện của tiệm cận đứng.

;
,
─ tiệm cận đứng.

;
,
─ tiệm cận đứng.

3. Chúng tôi điều tra chức năng cho sự hiện diện của các tiệm cận xiên và ngang.

Dài
─ tiệm cận xiên, nếu
,
.

,
.

Dài
─ tiệm cận ngang.

4. Hàm số chẵn vì
. Tính chẵn lẻ của hàm số biểu thị tính đối xứng của đồ thị đối với trục y.

5. Tìm các khoảng tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

Hãy tìm những điểm quan trọng, tức là điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại:
;
. Chúng tôi có ba điểm
;

. Những điểm này chia toàn bộ trục thực thành bốn khoảng. Hãy xác định các dấu hiệu trên mỗi người trong số họ.

Trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; 0) hàm số tăng, trên các khoảng (0; 1) và (1; +∞) hàm số giảm. Khi đi qua một điểm
đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ nên lúc này hàm số có cực đại
.

6. Hãy tìm các khoảng lồi, điểm uốn.

Hãy tìm những điểm mà bằng 0 hoặc không tồn tại.

không có gốc thực sự.
,
,

điểm
và
chia trục thực thành ba khoảng. Hãy xác định dấu ở mọi khoảng thời gian.

Do đó, đường cong trên các khoảng
và
lồi xuống dưới, trên khoảng (-1;1) lồi lên trên; không có điểm uốn vì hàm số tại các điểm
và
không xác định.

7. Tìm giao điểm của các trục.

có trục
đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm (0; -1) và với trục
đồ thị không giao nhau vì tử số của hàm này không có nghiệm thực.

Đồ thị của hàm số đã cho được thể hiện trong Hình 1.

Hình 1 ─ Đồ thị của hàm số

Ứng dụng khái niệm đạo hàm trong kinh tế học. chức năng đàn hồi

Để nghiên cứu các quá trình kinh tế và giải quyết các bài toán ứng dụng khác, người ta thường sử dụng khái niệm hàm co giãn.

Sự định nghĩa. chức năng đàn hồi
gọi là giới hạn của tỉ số gia tăng tương đối của hàm số đến mức tăng tương đối của biến tại
, . (VII)

Độ co giãn của một hàm cho biết hàm đó sẽ thay đổi khoảng bao nhiêu phần trăm
khi thay đổi biến độc lập bởi 1%.

Độ co giãn của một hàm được sử dụng trong phân tích nhu cầu và tiêu dùng. Nếu hệ số co giãn của cầu (về giá trị tuyệt đối)
, thì cầu được coi là co giãn nếu
─ trung lập nếu
─ không co giãn đối với giá cả (hoặc thu nhập).

Ví dụ 10 Tính độ co giãn của hàm
và tìm giá trị của chỉ số đàn hồi cho = 3.

Giải: theo công thức (VII) tính co giãn của hàm:

Đặt x=3 thì
Điều này có nghĩa là nếu biến độc lập tăng 1% thì giá trị của biến phụ thuộc sẽ tăng 1,42%.

Ví dụ 11 Cho hàm cầu liên quan đến giá cả có hình thức
, ở đâu ─ hệ số hằng. Tìm giá trị của chỉ số co giãn của hàm cầu tại mức giá x = 3 den. các đơn vị

Giải pháp: tính độ co giãn của hàm cầu theo công thức (VII)

Giả định
đơn vị tiền tệ, chúng tôi nhận được
. Điều này có nghĩa là với mức giá
Đơn vị tiền tệ tăng giá 1% sẽ làm giảm nhu cầu 6%, tức là cầu co giãn.

Tiến hành nghiên cứu đầy đủ và vẽ đồ thị hàm số

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Phạm vi chức năng. Vì hàm là một phân số nên bạn cần tìm các số 0 của mẫu số.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Chúng tôi loại trừ điểm duy nhất x=1x=1 khỏi vùng định nghĩa hàm và nhận được:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Chúng ta hãy nghiên cứu hành vi của hàm trong vùng lân cận của điểm gián đoạn. Tìm giới hạn một bên:

Vì các giới hạn bằng vô cực nên điểm x=1x=1 là điểm gián đoạn loại hai, đường thẳng x=1x=1 là một tiệm cận đứng.

3) Hãy xác định giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.

Hãy tìm các giao điểm với trục tung OyOy, tại đó ta có phương trình x=0x=0:

Như vậy giao điểm với trục OyOy có tọa độ (0;8)(0;8).

Hãy tìm các giao điểm với trục hoành OxOx mà tại đó chúng ta đặt y=0y=0:

Phương trình không có nghiệm nên không có giao điểm với trục OxOx.

Lưu ý rằng x2+8>0x2+8>0 cho mọi xx. Do đó, với x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), hàm số y>0y>0 (nhận giá trị dương, đồ thị nằm trên trục x), với x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) hàm y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Hàm số không chẵn không lẻ vì:

5) Chúng tôi điều tra các chức năng cho chu kỳ. Hàm này không tuần hoàn, vì nó là một hàm hữu tỉ phân số.

6) Chúng tôi điều tra chức năng cho các cực trị và tính đơn điệu. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm đầu tiên của hàm:

Chúng ta hãy đánh giá đạo hàm đầu tiên bằng 0 và tìm các điểm dừng (tại đó y′=0y′=0):

Ta có ba điểm tới hạn: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Chúng tôi chia toàn bộ miền của hàm thành các khoảng bằng các điểm đã cho và xác định dấu của đạo hàm trong mỗi khoảng:

Với x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) đạo hàm y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Với x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) đạo hàm y′>0y′>0, hàm số tăng trên các khoảng này.

Trong trường hợp này, x=−2x=−2 là điểm cực tiểu cục bộ (hàm số giảm rồi tăng), x=4x=4 là điểm cực đại cục bộ (hàm số tăng rồi giảm).

Hãy tìm các giá trị của hàm tại các điểm sau:

Do đó, điểm cực tiểu là (−2;4)(−2;4), điểm cực đại là (4;−8)(4;−8).

7) Chúng tôi kiểm tra các chức năng cho kinks và lồi. Hãy tìm đạo hàm cấp hai của hàm:

Cân bằng đạo hàm thứ hai bằng 0:

Phương trình thu được không có nghiệm nên không có điểm uốn. Hơn nữa, khi x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 thỏa mãn, nghĩa là hàm lõm khi x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Chúng tôi điều tra hành vi của hàm tại vô cực, nghĩa là tại .

Vì các giới hạn là vô hạn nên không có tiệm cận ngang.

Hãy thử xác định các tiệm cận xiên có dạng y=kx+by=kx+b. Chúng tôi tính toán các giá trị của k,bk,b theo các công thức đã biết:

Ta thấy rằng hàm có một tiệm cận xiên y=−x−1y=−x−1.

9) Điểm bổ sung. Hãy tính giá trị của hàm số tại một số điểm khác để dựng đồ thị chính xác hơn.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Dựa trên dữ liệu thu được, chúng tôi sẽ xây dựng biểu đồ, bổ sung cho nó các tiệm cận x=1x=1 (màu xanh lam), y=−x−1y=−x−1 (màu xanh lá cây) và đánh dấu các điểm đặc trưng (giao điểm với trục tọa độ màu tím, cực trị màu cam, các điểm bổ sung màu đen):

Nhiệm vụ 4: Các bài toán Hình học, Kinh tế (Tôi không biết là gì, đây là tuyển tập gần đúng các bài toán có lời giải và công thức)

Ví dụ 3.23. một

Dung dịch. x và y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Vì x = a/4 là điểm tới hạn duy nhất, hãy kiểm tra xem dấu của đạo hàm có đổi không khi đi qua điểm này. Đối với xa/4 S "> 0 và đối với x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ví dụ 3.24.

Dung dịch.
R=2, H=16/4=4.

Ví dụ 3.22. Tìm cực trị của hàm số f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Dung dịch. Vì f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) nên các điểm cực trị của hàm số x 1 \u003d 2 và x 2 \u003d 3. Điểm cực trị có thể chỉ tồn tại tại các điểm này.Vậy khi đi qua điểm x 1 \u003d 2 thì đạo hàm đổi dấu cộng thành dấu trừ thì lúc này hàm số có cực đại.Khi đi qua điểm x 2 \u003d 3 thì đạo hàm đổi dấu trừ thành dấu cộng nên tại điểm x 2 \u003d 3 hàm số có cực tiểu Tính các giá trị của hàm số theo điểm
x 1 = 2 và x 2 = 3, ta tìm được cực trị của hàm số: cực đại f(2) = 14 và cực tiểu f(3) = 13.

Ví dụ 3.23. Cần phải xây dựng một khu vực hình chữ nhật gần bức tường đá để nó được rào bằng lưới thép ở ba mặt và tiếp giáp với bức tường ở mặt thứ tư. Đối với điều này có một mét tuyến tính của lưới điện. Ở tỷ lệ khung hình nào thì trang web sẽ có diện tích lớn nhất?

Dung dịch. Biểu thị các mặt của trang web thông qua x và y. Diện tích của trang web là S = xy. Để cho y là chiều dài cạnh tiếp giáp với tường. Khi đó, theo điều kiện, đẳng thức 2x + y = a phải đúng. Do đó y = a - 2x và S = x(a - 2x), trong đó
0 ≤ x ≤ a/2 (chiều dài và chiều rộng của diện tích không được âm). S" = a - 4x, a - 4x = 0 với x = a/4, từ đâu
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Vì x = a/4 là điểm tới hạn duy nhất, hãy kiểm tra xem dấu của đạo hàm có đổi không khi đi qua điểm này. Đối với xa/4 S "> 0 và đối với x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ví dụ 3.24. Cần làm một bể hình trụ kín có dung tích V=16p ≈ 50 m 3 . Kích thước của bể (bán kính R và chiều cao H) nên là bao nhiêu để sử dụng ít vật liệu nhất cho sản xuất?

Dung dịch. Diện tích toàn phần của hình trụ là S = 2pR(R+H). Ta biết thể tích của hình trụ V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Do đó, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Ta tìm đạo hàm của hàm này:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 cho R 3 \u003d 8, do đó,
R=2, H=16/4=4.

Thông tin tương tự.