cổ xưa

Trong thời kỳ cổ đại, một số ý tưởng xuất hiện sau này dẫn đến phép tính tích phân, nhưng trong thời đại đó những ý tưởng này chưa được phát triển một cách chặt chẽ, có hệ thống. Các phép tính về thể tích và diện tích, là một trong những mục tiêu của phép tính tích phân, có thể được tìm thấy trong Giấy cói toán học Matxcova của Ai Cập (khoảng năm 1820 trước Công nguyên), nhưng các công thức là hướng dẫn nhiều hơn, không có bất kỳ dấu hiệu nào về phương pháp và một số chỉ đơn giản là sai lầm. Trong thời đại toán học Hy Lạp, Eudoxus (khoảng 408-355 trước Công nguyên) đã sử dụng phương pháp cạn kiệt để tính diện tích và thể tích, phương pháp này dự đoán khái niệm giới hạn, và sau đó ý tưởng này được Archimedes (khoảng 287-212 trước Công nguyên) phát triển thêm. bằng cách phát minh ra heuristics tương tự như các phương pháp của phép tính tích phân. Phương pháp tính kiệt sau đó được Liu Hui phát minh ra ở Trung Quốc vào thế kỷ thứ 3 sau Công Nguyên, phương pháp này được ông sử dụng để tính diện tích hình tròn. Vào thế kỷ thứ 5 sau Công nguyên, Zu Chongzhi đã phát triển một phương pháp tính thể tích của một quả bóng, mà sau này được gọi là nguyên lý của Cavalieri.

Tuổi trung niên

Vào thế kỷ 14, nhà toán học Ấn Độ Madhava Sangamagrama và trường toán học-thiên văn Kerala đã đưa ra nhiều thành phần của phép tính như chuỗi Taylor, xấp xỉ chuỗi vô hạn, phép thử hội tụ, các dạng phân biệt ban đầu, tích phân theo kỳ hạn, phương pháp lặp cho giải các phương trình phi tuyến tính và xác định diện tích dưới đường cong là tích phân của nó. Một số người coi Yuktibhaza (Yuktibhāṣā) là tác phẩm đầu tiên về giải tích.

Kỷ nguyên hiện đại

Ở châu Âu, luận thuyết của Bonaventure Cavalieri đã trở thành một công trình cơ bản, trong đó ông lập luận rằng thể tích và diện tích có thể được tính bằng tổng thể tích và diện tích của một mặt cắt mỏng vô hạn. Những ý tưởng tương tự như những ý tưởng của Archimedes trong Method, nhưng luận thuyết này của Archimedes đã bị thất lạc cho đến nửa đầu thế kỷ 20. Công việc của Cavalieri không được công nhận, vì các phương pháp của ông có thể dẫn đến kết quả sai và ông đã tạo ra một danh tiếng đáng ngờ về các giá trị nhỏ.

Nghiên cứu chính thức về phép tính thập phân, được Cavalieri kết hợp với phép tính của sự khác biệt hữu hạn, đã được thực hiện ở châu Âu vào cùng thời gian đó. Pierre Fermat, tuyên bố rằng ông đã mượn điều này từ Diophantus, đã đưa ra khái niệm "gần như bình đẳng" (tính đầy đủ), là sự bình đẳng có sai số nhỏ. Những đóng góp lớn cũng được thực hiện bởi John Wallis, Isaac Barrow và James Gregory. Hai lần cuối cùng vào khoảng năm 1675 đã chứng minh định lý cơ bản thứ hai của giải tích.

Cơ sở

Trong toán học, cơ sở đề cập đến một định nghĩa chặt chẽ về một chủ đề, bắt đầu từ các tiên đề và định nghĩa chính xác. Ở giai đoạn đầu của sự phát triển của giải tích, việc sử dụng các đại lượng vô cùng nhỏ được coi là không nghiêm ngặt, nó đã phải chịu sự chỉ trích gay gắt của một số tác giả, chủ yếu là Michel Rolle và Bishop Berkeley. Berkeley đã mô tả nổi tiếng những người vô định là "bóng ma của những con số chết chóc" trong cuốn sách Nhà phân tích năm 1734 của ông. Việc phát triển các nền tảng vững chắc cho phép tính đã chiếm lĩnh các nhà toán học trong hơn một thế kỷ sau Newton và Leibniz, và vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực cho đến ngày nay.

Một số nhà toán học, bao gồm cả Maclaurin, đã cố gắng chứng minh tính hợp lệ của việc sử dụng các phép tương tự infinitesimals, nhưng điều này chỉ được thực hiện 150 năm sau bởi các công trình của Cauchy và Weierstrass, những người cuối cùng đã tìm ra phương pháp làm thế nào để tránh những "điều nhỏ nhặt" đơn giản của các phép tương đương infinitesimals, và sự khởi đầu đã được đặt phép tính vi phân và tích phân. Trong các bài viết của Cauchy, chúng tôi tìm thấy một loạt các phương pháp tiếp cận cơ bản, bao gồm định nghĩa về tính liên tục về mặt cơ bản và nguyên mẫu (hơi không chính xác) của định nghĩa (ε, δ) -limit trong định nghĩa về sự khác biệt. Trong công việc của mình, Weierstrass chính thức hóa khái niệm giới hạn và loại bỏ các đại lượng vô cùng nhỏ. Sau công trình này của Weierstrass, các giới hạn, chứ không phải số lượng nhỏ, đã trở thành cơ sở chung cho phép tính toán. Bernhard Riemann đã sử dụng những ý tưởng này để đưa ra định nghĩa chính xác về tích phân. Ngoài ra, trong thời kỳ này, các ý tưởng về giải tích đã được khái quát hóa thành không gian Euclide và mặt phẳng phức.

Trong toán học hiện đại, cơ sở của giải tích được bao gồm trong phần giải tích thực, trong đó có đầy đủ các định nghĩa và chứng minh của các định lý trong giải tích. Phạm vi nghiên cứu giải tích đã trở nên rộng hơn nhiều. Henri Lebesgue đã phát triển lý thuyết về các số đo tập hợp và sử dụng nó để xác định tích phân của tất cả trừ các hàm kỳ lạ nhất. Laurent Schwartz đã giới thiệu các hàm tổng quát có thể được sử dụng để tính các đạo hàm của bất kỳ hàm nào.

Việc đưa ra các giới hạn được xác định không phải là cách tiếp cận chặt chẽ duy nhất đối với cơ sở của phép tính. Ví dụ, một giải pháp thay thế là phân tích phi tiêu chuẩn của Abraham Robinson. Phương pháp tiếp cận của Robinson, được phát triển vào những năm 1960, sử dụng các công cụ kỹ thuật từ logic toán học để mở rộng hệ thống các số thực thành các số cực nhỏ và cực nhỏ, như khái niệm ban đầu của Newton-Leibniz. Những con số này, được gọi là siêu số, có thể được sử dụng trong các quy tắc thông thường của phép tính, tương tự như những gì Leibniz đã làm.

Tầm quan trọng

Mặc dù một số ý tưởng về giải tích trước đây đã được phát triển ở Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ, Iraq, Ba Tư và Nhật Bản, việc sử dụng giải tích hiện đại bắt đầu ở châu Âu vào thế kỷ 17, khi Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz xây dựng dựa trên công trình của người trước đó. các nhà toán học các nguyên tắc cơ bản của nó. Sự phát triển của giải tích dựa trên các khái niệm trước đây về chuyển động tức thời và diện tích dưới một đường cong.

Phép tính vi phân được sử dụng trong các tính toán liên quan đến tốc độ và gia tốc, góc đường cong và tối ưu hóa. Các ứng dụng của phép tính tích phân bao gồm các phép tính liên quan đến diện tích, thể tích, độ dài cung, tâm khối lượng, công và áp suất. Các ứng dụng phức tạp hơn bao gồm tính toán chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier.

Giải tích [ ] cũng được sử dụng để hiểu chính xác hơn về bản chất của không gian, thời gian và chuyển động. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học và triết học đã phải vật lộn với những nghịch lý liên quan đến phép chia cho số 0 hoặc tìm tổng của một dãy số vô hạn. Những câu hỏi này nảy sinh trong việc nghiên cứu chuyển động và tính toán diện tích. Nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno ở Elea đã đưa ra một số ví dụ nổi tiếng về những nghịch lý như vậy. Giải tích cung cấp các công cụ để giải quyết những nghịch lý này, đặc biệt là các giới hạn cụ thể và chuỗi vô hạn.

Giới hạn và mục tiêu nội bộ

Ghi chú

1. morris kline, Tư tưởng toán học từ thời cổ đại đến hiện đại, Tập Tôi
2. archimedes, phương pháp, trong Tác phẩm của Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Quạt, Dainian; Cohen, Robert Sonne. So sánh các nghiên cứu của Archimdes "và Liu Hui" về các vòng tròn (tiếng Anh): tạp chí. - Springer, 1966. - Tập. 130. - P. 279. - ISBN 0-792-33463-9., Chương, tr. 279
4. Zill, Dennis G.; Được rồi, Scott; Được rồi, Warren S. Giải tích: Early Transcendentals (vô thời hạn). - 3. - Học tập Jones & Bartlett (Tiếng Anh)tiếng Nga, 2009. - S. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3., Trích trang 27
5. Toán học Ấn Độ
6. von Neumann, J., "Nhà toán học", ở Heywood, R. B., ed., Công việc của Tâm trí, Nhà xuất bản Đại học Chicago, 1947, pp. 180-196. Tái bản trong Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium, Nhà xuất bản Khoa học Thế giới Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, pp. 618-626.
7. André Weil: Lý thuyết số. Một cách tiếp cận thông qua lịch sử. Từ Hammurapi đến Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, tr. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. Các bản thảo toán học đầu tiên của Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Trang 228. Bản sao
9. Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi (vô thời hạn) . Cao đẳng Agnes Scott (tháng 4 năm 1995). Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 9 năm 2012.

Liên kết

• Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). "Giải tích", xuất bản lần thứ 9, Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Phương pháp toán học cho các nhà khoa học và kỹ sư, Sách Khoa học Đại học. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2008). Giải tích: Siêu việt sơ khai, Ấn bản thứ 6, Brooks Cole Cengage Learning.

Giới thiệu

L. Euler là nhà toán học có năng suất cao nhất trong lịch sử, tác giả của hơn 800 công trình về phân tích toán học, hình học vi phân, lý thuyết số, tính toán gần đúng, cơ học thiên thể, vật lý toán học, quang học, đạn đạo học, đóng tàu, lý thuyết âm nhạc, v.v. công trình của ông đã có một ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển của khoa học.

Euler đã dành gần một nửa cuộc đời của mình ở Nga, nơi ông đã giúp tạo ra nền khoa học Nga một cách tràn đầy năng lượng. Năm 1726, ông được mời đến làm việc tại St. Năm 1731-1741 và bắt đầu từ năm 1766, ông là viện sĩ của Viện Hàn lâm Khoa học St.Petersburg (năm 1741-1766 ông làm việc tại Berlin, vẫn là thành viên danh dự của Viện Hàn lâm St. Anh ấy biết tiếng Nga rất tốt, anh ấy đã xuất bản một phần các tác phẩm của mình (đặc biệt là sách giáo khoa) bằng tiếng Nga. Các viện sĩ Nga đầu tiên về toán học (S.K. Kotelnikov) và thiên văn học (S.Ya. Rumovsky) là học trò của Euler. Một số con cháu của ông vẫn sống ở Nga.

L. Euler đã đóng góp rất lớn cho sự phát triển của phân tích toán học.

Mục đích của phần tóm tắt là nghiên cứu lịch sử phát triển của phân tích toán học trong thế kỷ 18.

Khái niệm về phân tích toán học. Đại cương lịch sử

Giải tích toán học là một tập hợp các nhánh của toán học dành cho việc nghiên cứu các hàm số và sự tổng quát hóa của chúng bằng cách sử dụng các phương pháp tính vi phân và tích phân. Với cách giải thích chung như vậy, phân tích cũng nên bao gồm phân tích hàm, cùng với lý thuyết tích phân Lebesgue, phân tích phức (TFKP), nghiên cứu các hàm được xác định trên mặt phẳng phức, phân tích phi tiêu chuẩn, nghiên cứu các số vô hạn nhỏ và vô hạn. , cũng như tính toán của các biến thể.

Trong quá trình giáo dục, phân tích bao gồm

phép tính vi phân và tích phân

Lý thuyết về chuỗi (hàm, lũy thừa và Fourier) và tích phân nhiều chiều

phân tích véc tơ.

Đồng thời, các yếu tố của phân tích hàm và lý thuyết về tích phân Lebesgue được đưa ra tùy chọn, và TFKP, phép tính biến thiên, lý thuyết về phương trình vi phân được giảng dạy trong các khóa học riêng biệt. Tính nghiêm ngặt của giải trình tuân theo các mô hình của cuối thế kỷ 19 và đặc biệt sử dụng lý thuyết tập hợp ngây thơ.

Tiền thân của phân tích toán học là phương pháp suy kiệt cổ đại và phương pháp phân chia. Cả ba hướng, bao gồm cả phân tích, đều có một ý tưởng ban đầu chung: phân rã thành các phần tử vô cùng nhỏ, tuy nhiên, bản chất của nó dường như khá mơ hồ đối với các tác giả của ý tưởng. Phương pháp tiếp cận đại số (phép tính thập phân) bắt đầu xuất hiện ở Wallis, James Gregory và Barrow. Phép tính mới như một hệ thống đã được Newton tạo ra với mức độ đầy đủ, tuy nhiên, người đã không công bố khám phá của mình trong một thời gian dài. Newton I. Các công trình toán học. Năm 1937.

Tháng 5 năm 1684 có thể được coi là ngày chính thức ra đời của phép tính vi phân, khi Leibniz xuất bản bài báo đầu tiên “Một phương pháp mới của cực đại và cực tiểu ...” Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., tập V, tr. 220-226. Rus. per: Thành công Mat. Nauk, quyển 3, c. 1 (23), tr. 166--173 .. Bài báo này, ở dạng ngắn gọn và khó tiếp cận, đã nêu các nguyên tắc của một phương pháp mới được gọi là phép tính vi phân.

Vào cuối thế kỷ 17, một vòng tròn đã xuất hiện xung quanh Leibniz, những đại diện tiêu biểu nhất trong số đó là anh em nhà Bernoulli, Jacob và Johann, và Lopital. Năm 1696, sử dụng các bài giảng của I. Bernoulli, Lopital đã viết cuốn sách giáo khoa đầu tiên L'pital. Phân tích các chỉ số infinitesimals. M.-L.: GTTI, 1935., người đã trình bày một phương pháp mới được áp dụng cho lý thuyết về đường cong mặt phẳng. Ông gọi nó là "Phân tích các số lượng không nhỏ", do đó đặt một trong những cái tên cho nhánh mới của toán học. Phần trình bày dựa trên khái niệm về các biến, giữa chúng có một số mối liên hệ, do đó sự thay đổi trong cái này kéo theo sự thay đổi ở cái kia. Trong Lopital, kết nối này được đưa ra bằng cách sử dụng các đường cong phẳng: nếu M là một điểm chuyển động của một đường cong phẳng, thì tọa độ Descartes của nó là x và y, được gọi là đường kính và hoành độ của đường cong, là các biến và một sự thay đổi trong x kéo theo một sự thay đổi trong y. Không có khái niệm về một hàm: muốn nói rằng sự phụ thuộc của các biến được đưa ra, Lopital nói rằng "bản chất của đường cong đã được biết trước." Khái niệm vi phân được giới thiệu như sau:

“Phần nhỏ vô hạn mà một giá trị biến đổi liên tục tăng hoặc giảm được gọi là vi phân của nó ... Để chỉ ra vi phân của một đại lượng biến đổi, bản thân nó được biểu thị bằng một chữ cái, chúng ta sẽ sử dụng dấu hoặc ký hiệu d. Ở đó. Ch.2, def.2% D1% 87% D0% B5% D1% 81% D0% BA% D0% B8% D0% B9_% D0% B0% D0% BD% D0% B0% D0% BB% D0% B8% D0% B7 - cite_note -4 # cite_note-4 ... Phần thập phân mà vi phân của một biến tăng hoặc giảm liên tục được gọi là ... vi phân thứ hai. Ở đó. Chương 4, điều 1.

Các định nghĩa này được giải thích về mặt hình học, với số gia tăng vô cùng nhỏ được hiển thị là hữu hạn trong hình. Việc xem xét dựa trên hai yêu cầu (tiên đề). Ngày thứ nhất:

Yêu cầu rằng hai đại lượng chỉ chênh lệch nhau một lượng nhỏ có thể được lấy một cách vô tư thay vì lấy một lượng khác. Lopital. Phân tích các chỉ số infinitesimals. M.-L.: GTTI, 1935. ch.1, yêu cầu 1.

dxy = (x + dx) (y + dy)? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx) dy + ydx = xdy + ydx

và như thế. quy luật phân biệt. Yêu cầu thứ hai là:

Yêu cầu người ta có thể coi một đường cong là tập hợp của một tập hợp vô hạn các đoạn thẳng nhỏ vô hạn.

Sự tiếp tục của mỗi đường như vậy được gọi là tiếp tuyến của đường cong. Ở đó. Chương 2. định nghĩa. Khảo sát tiếp tuyến đi qua điểm M = (x, y), L'Hopital rất coi trọng lượng

đạt các giá trị cực trị tại các điểm uốn của đường cong, trong khi tỷ lệ dy trên dx không có ý nghĩa đặc biệt nào.

Việc tìm ra các điểm cực trị là điều đáng chú ý. Nếu, với sự gia tăng liên tục của đường kính x, bậc của y đầu tiên tăng và sau đó giảm, khi đó vi phân dy đầu tiên là dương so với dx, sau đó âm.

Nhưng bất kỳ đại lượng tăng hoặc giảm liên tục nào cũng không thể chuyển từ dương sang âm mà không đi qua vô cùng hoặc bằng không ... Theo đó vi phân có độ lớn lớn nhất và nhỏ nhất phải bằng không hoặc vô cùng.

Công thức này có lẽ không hoàn hảo, nếu chúng ta nhớ lại yêu cầu đầu tiên: giả sử, y = x2, thì do yêu cầu đầu tiên

2xdx + dx2 = 2xdx;

ở mức 0, phía bên phải là 0, nhưng phía bên trái thì không. Rõ ràng lẽ ra phải nói rằng dy có thể được biến đổi theo yêu cầu đầu tiên để tại điểm cực đại dy = 0. Trong các ví dụ, mọi thứ đều tự hiển nhiên, và chỉ trong lý thuyết về điểm uốn Lopital mới viết rằng dy bằng 0 tại điểm cực đại, được chia cho dx Lopital. Phân tích các chỉ số infinitesimals. M.-L.: GTTI, 1935 § 46.

Hơn nữa, chỉ với sự trợ giúp của vi phân, các điều kiện cho một cực trị được xây dựng và một số lượng lớn các bài toán phức tạp được xem xét, chủ yếu liên quan đến hình học vi phân trên mặt phẳng. Cuối sách, trong ch. 10, cái mà bây giờ được gọi là quy tắc của L'Hopital đã được phát biểu, mặc dù ở dạng không hoàn toàn bình thường. Gọi giá trị của hoành độ y của đường cong được biểu thị dưới dạng phân số, tử số và mẫu số của chúng biến mất tại x = a. Khi đó điểm thuộc đường cong với x = a có hoành độ y bằng tỉ số giữa vi phân tử số và vi phân mẫu số lấy tại x = a.

Theo ý tưởng của L'Hopital, những gì ông viết là phần đầu tiên của "Giải tích", trong khi phần thứ hai được cho là chứa phép tính tích phân, tức là một cách để tìm kết nối của các biến bằng kết nối đã biết của các vi phân của chúng. Giải thích đầu tiên của nó đã được Johann Bernoulli đưa ra trong Bài giảng toán học của ông về phương pháp tích phân của Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914. Ở đây đưa ra phương pháp lấy hầu hết các tích phân sơ cấp và phương pháp giải nhiều phương trình vi phân bậc nhất.

Lịch sử giải tích

Thế kỷ 18 thường được gọi là thế kỷ của cuộc cách mạng khoa học quyết định sự phát triển của xã hội cho đến ngày nay. Cuộc cách mạng này dựa trên những khám phá toán học đáng chú ý được thực hiện vào thế kỷ 17 và được thành lập vào thế kỷ tiếp theo. “Không có một đối tượng nào trong thế giới vật chất và không một tư tưởng nào trong lĩnh vực tinh thần không bị ảnh hưởng bởi ảnh hưởng của cuộc cách mạng khoa học thế kỷ 18. Không một yếu tố nào của nền văn minh hiện đại có thể tồn tại nếu không có các nguyên tắc cơ học, không có hình học phân tích và phép tính vi phân. Không có một nhánh hoạt động nào của con người mà không chịu ảnh hưởng mạnh mẽ của thiên tài Galileo, Descartes, Newton và Leibniz. Những lời này của nhà toán học Pháp E. Borel (1871 - 1956), được ông nói vào năm 1914, vẫn còn phù hợp với thời đại của chúng ta. Nhiều nhà khoa học lớn đã đóng góp vào sự phát triển của phân tích toán học: I. Kepler (1571-1630), R. Descartes (1596-1650), P. Fermat (1601-1665), B. Pascal (1623-1662), H. Huygens (1629 -1695), I. Barrow (1630 -1677), anh em J. Bernoulli (1654 -1705) và I. Bernoulli (1667 -1748) và những người khác.

Sự đổi mới của những người nổi tiếng này trong việc hiểu và mô tả thế giới xung quanh chúng ta:

chuyển động, thay đổi và biến đổi (cuộc sống đi vào cùng với sự năng động và phát triển của nó);

phôi thống kê và ảnh chụp nhanh về tình trạng của cô ấy.

Các khám phá toán học của thế kỷ 17-17 được xác định bằng cách sử dụng các khái niệm như biến và hàm, tọa độ, đồ thị, vectơ, đạo hàm, tích phân, chuỗi và phương trình vi phân.

Pascal, Descartes và Leibniz không phải là nhà toán học nhiều như triết gia. Đó là ý nghĩa triết học và nhân bản phổ quát của những khám phá toán học của họ giờ đây trở thành giá trị chính và là yếu tố cần thiết của một nền văn hóa chung.

Cả triết học nghiêm túc và toán học nghiêm túc đều không thể hiểu được nếu không nắm vững ngôn ngữ thích hợp. Newton, trong một bức thư gửi Leibniz về giải phương trình vi phân, đã phác thảo phương pháp của ông như sau: 5accdae10effh 12i… rrrssssttuu.

Những người sáng lập ra khoa học hiện đại - Copernicus, Kepler, Galileo và Newton - đã tiếp cận nghiên cứu về tự nhiên như toán học. Trong khi nghiên cứu chuyển động, các nhà toán học đã phát triển một khái niệm cơ bản như một hàm hoặc mối quan hệ giữa các biến, chẳng hạn d = kt 2, ở đâu d là quãng đường đi được của một vật rơi tự do, và t là số giây vật rơi tự do. Khái niệm về một hàm ngay lập tức trở thành trọng tâm trong việc xác định tốc độ tại một thời điểm nhất định và gia tốc của một vật chuyển động. Khó khăn toán học của bài toán này là tại bất kỳ thời điểm nào cơ thể đi được quãng đường bằng không trong thời gian bằng không. Do đó, xác định giá trị của tốc độ tại một thời điểm bằng cách chia quãng đường cho thời gian, chúng ta sẽ đi đến biểu thức vô nghĩa về mặt toán học 0/0.

Bài toán xác định và tính toán tốc độ thay đổi tức thời của các đại lượng khác nhau đã thu hút sự chú ý của hầu hết các nhà toán học của thế kỷ 17, bao gồm Barrow, Fermat, Descartes và Wallis. Những ý tưởng và phương pháp khác nhau do chúng đề xuất đã được Newton và G. Leibniz (1646-1716), những người sáng tạo ra phép tính vi phân, kết hợp thành một phương pháp chính thức có hệ thống, có thể áp dụng rộng rãi. Giữa họ đã có một cuộc tranh luận sôi nổi về mức độ ưu tiên trong việc phát triển phép tính này, với việc Newton cáo buộc Leibniz đạo văn. Tuy nhiên, như các nghiên cứu của các nhà sử học khoa học đã chỉ ra, Leibniz đã tạo ra phép phân tích toán học một cách độc lập với Newton. Kết quả của cuộc xung đột, việc trao đổi ý tưởng giữa các nhà toán học của lục địa Châu Âu và Anh đã bị gián đoạn trong nhiều năm, gây bất lợi cho phía Anh. Các nhà toán học Anh tiếp tục phát triển các ý tưởng phân tích theo hướng hình học, trong khi các nhà toán học của lục địa châu Âu, bao gồm I. Bernoulli (1667-1748), Euler và Lagrange, đã đạt được thành công lớn hơn không thể so sánh được, theo cách tiếp cận đại số hoặc phân tích.

Cơ sở của tất cả các phân tích toán học là khái niệm về một giới hạn. Tốc độ tại một thời điểm được định nghĩa là giới hạn mà tốc độ trung bình có xu hướng d/t khi giá trị t tiến gần hơn đến số không. Phép tính vi phân cung cấp một phương pháp chung thuận tiện để tìm tốc độ thay đổi của một hàm f (x) cho bất kỳ giá trị nào X. Tốc độ này được gọi là đạo hàm. Từ tính tổng quát của bản ghi f (x) rõ ràng là khái niệm đạo hàm không chỉ được áp dụng trong các nhiệm vụ liên quan đến nhu cầu tìm tốc độ hoặc gia tốc, mà còn liên quan đến bất kỳ sự phụ thuộc hàm nào, ví dụ, với một tỷ lệ nào đó từ lý thuyết kinh tế. Một trong những ứng dụng chính của phép tính vi phân là cái gọi là. nhiệm vụ tối đa và tối thiểu; Một loạt vấn đề quan trọng khác là tìm tiếp tuyến của một đường cong cho trước.

Hóa ra là với sự trợ giúp của đạo hàm, được phát minh đặc biệt để giải quyết các vấn đề về chuyển động, người ta cũng có thể tìm thấy các diện tích và thể tích bị giới hạn bởi các đường cong và bề mặt tương ứng. Các phương pháp của hình học Euclid không có tính tổng quát thích hợp và không cho phép thu được các kết quả định lượng cần thiết. Thông qua những nỗ lực của các nhà toán học của thế kỷ 17. Nhiều phương pháp riêng đã được tạo ra để có thể tìm diện tích của các hình bị giới hạn bởi các đường cong thuộc loại này hay loại khác, và trong một số trường hợp, người ta ghi nhận mối liên hệ giữa các vấn đề này và các vấn đề tìm tỷ lệ thay đổi của các hàm. Nhưng, như trong trường hợp của phép tính vi phân, chính Newton và Leibniz đã nhận ra tính tổng quát của phương pháp và do đó đặt nền móng cho phép tính tích phân.

Phương pháp Newton-Leibniz bắt đầu bằng cách thay thế đường cong giới hạn khu vực cần xác định bằng một chuỗi các đường đứt đoạn tiếp cận nó, tương tự như phương pháp kiệt do người Hy Lạp phát minh. Diện tích chính xác bằng tổng diện tích giới hạn N hình chữ nhật khi N chuyển sang vô cùng. Newton đã chỉ ra rằng giới hạn này có thể được tìm thấy bằng cách đảo ngược quá trình tìm tốc độ thay đổi của một hàm. Hoạt động nghịch đảo của sự khác biệt được gọi là tích hợp. Tuyên bố rằng tổng có thể được thực hiện bằng cách đảo ngược sự phân biệt được gọi là định lý cơ bản của phân tích toán học. Cũng giống như sự phân biệt có thể áp dụng cho một loại bài toán rộng hơn nhiều so với việc tìm kiếm vận tốc và gia tốc, tích phân có thể áp dụng cho bất kỳ bài toán tổng hợp nào, ví dụ, cho các bài toán vật lý liên quan đến việc cộng lực.

Thế kỷ 19 là sự khởi đầu của một thời kỳ mới, thứ tư trong lịch sử toán học - thời kỳ toán học hiện đại.

Chúng ta đã biết rằng một trong những hướng phát triển chính của toán học giai đoạn 4 là tăng cường tính chặt chẽ của phép chứng minh trong tất cả các môn toán, đặc biệt là việc tái cấu trúc các phép toán phân tích trên cơ sở lôgic. Vào nửa sau thế kỷ XVIII. nhiều nỗ lực đã được thực hiện để tái cấu trúc phân tích toán học: giới thiệu định nghĩa giới hạn (D'Alembert và những người khác), định nghĩa đạo hàm là giới hạn của tỷ lệ (Euler và những người khác), kết quả của Lagrange và Carnot, v.v. ., nhưng những công việc này thiếu hệ thống, và đôi khi chúng không thành công. Tuy nhiên, họ đã chuẩn bị nền tảng cho perestroika vào thế kỷ 19. có thể được thực hiện. Trong thế kỷ 19 hướng phát triển của phân tích toán học này đã trở thành một trong những hướng hàng đầu. Chúng được O. Koshi, B. Bolzano, K. Weierstrass và những người khác đưa lên.

1. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) tốt nghiệp Trường Bách khoa và Học viện Truyền thông ở Paris. Từ năm 1816, thành viên của Học viện Paris và là giáo sư tại Trường Bách khoa. Vào năm 1830−1838. trong những năm của nền cộng hòa, ông đã phải sống lưu vong vì những lời tuyên bố về chế độ quân chủ của mình. Từ năm 1848, Cauchy trở thành giáo sư tại Sorbonne - Đại học Paris. Ông đã xuất bản hơn 800 bài báo về giải tích, phương trình vi phân, lý thuyết hàm của một biến số phức, đại số, lý thuyết số, hình học, cơ học, quang học, v.v. Các lĩnh vực khoa học quan tâm chính của ông là phân tích toán học và lý thuyết hàm của một biến phức tạp.

Cauchy đã xuất bản các bài giảng của mình về phân tích, được gửi tại Trường Bách khoa, trong ba tác phẩm: "Khóa học về giải tích" (1821), "Tóm tắt các bài giảng về Giải tích vô số" (1823), "Bài giảng về Ứng dụng của Giải tích vào Hình học", 2 tập (1826, 1828). trong những cuốn sách này, lần đầu tiên, phân tích toán học dựa trên lý thuyết về giới hạn. chúng đã đánh dấu sự khởi đầu của việc tái cấu trúc triệt để phân tích toán học.

Cauchy đưa ra định nghĩa sau đây về giới hạn của một biến: “Nếu các giá trị được gán liên tiếp cho cùng một biến tiếp cận một giá trị cố định vô thời hạn, để cuối cùng chúng khác biệt một chút so với nó, thì giá trị sau được gọi là giới hạn của tất cả những người khác." Bản chất của vấn đề đã được thể hiện rõ ở đây, nhưng bản thân các từ "nhỏ tùy ý" cần phải được định nghĩa, và bên cạnh đó, định nghĩa về giới hạn của một biến số, chứ không phải giới hạn của một hàm số, được xây dựng ở đây. Hơn nữa, tác giả chứng minh các tính chất khác nhau của các giới hạn.

Sau đó Cauchy đưa ra định nghĩa sau về tính liên tục của một hàm: một hàm được gọi là liên tục (tại một điểm) nếu một gia số thập phân của đối số tạo ra một gia số thập phân của hàm, tức là, trong ngôn ngữ hiện đại

Sau đó, anh ta có các thuộc tính khác nhau của các hàm liên tục.

Trong cuốn sách đầu tiên, ông cũng xem xét lý thuyết về chuỗi số: ông định nghĩa tổng của một chuỗi số là giới hạn của tổng một phần của nó, giới thiệu một số tiêu chí đủ cho sự hội tụ của chuỗi số, cũng như chuỗi lũy thừa và vùng. về sự hội tụ của chúng - tất cả những điều này cả trong thực tế và trong khu vực phức hợp.

Ông giải thích vi phân và tích phân trong cuốn sách thứ hai.

Cauchy định nghĩa đạo hàm của một hàm là giới hạn của tỷ lệ giữa số gia của hàm với số gia của đối số khi số gia của đối số có xu hướng bằng 0 và vi phân là giới hạn của tỷ lệ Từ đây nó theo sau đó. Tiếp theo, chúng ta xem xét các công thức thông thường cho các dẫn xuất; tác giả thường sử dụng định lý giá trị trung bình của Lagrange.

Trong phép tính tích phân, Cauchy lần đầu tiên đưa ra một tích phân xác định như một khái niệm cơ bản. Ông cũng lần đầu tiên giới thiệu nó như là giới hạn của tổng tích phân. Ở đây chúng tôi chứng minh một định lý quan trọng về tính tích phân của một hàm liên tục. Tích phân không xác định được định nghĩa cho anh ta như là một hàm của đối số. Ngoài ra, các khai triển của hàm trong chuỗi Taylor và Maclaurin được xem xét ở đây.

Vào nửa sau TK XIX. một số nhà khoa học: B. Riemann, G. Darboux và những người khác đã tìm ra các điều kiện mới cho tính tích phân của một hàm và thậm chí đã thay đổi định nghĩa của một tích phân xác định theo cách mà nó có thể được áp dụng cho tích phân của một số hàm không liên tục.

Trong lý thuyết về phương trình vi phân, Cauchy chủ yếu tham gia vào việc chứng minh các định lý tồn tại quan trọng về cơ bản: sự tồn tại của một nghiệm cho một phương trình vi phân thông thường, đầu tiên của bậc nhất, và sau đó là bậc thứ; sự tồn tại của một nghiệm cho một hệ thống phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.

Trong lý thuyết hàm của một biến phức, Cauchy là người sáng lập; nhiều bài báo của anh ấy được dành cho nó. Vào thế kỷ thứ XVIII. Euler và d'Alembert chỉ đặt nền móng cho lý thuyết này. Trong khóa học đại học về lý thuyết hàm một biến phức, chúng ta liên tục gặp những cái tên Cauchy: điều kiện Cauchy - Riemann để tồn tại đạo hàm, tích phân Cauchy, công thức tích phân Cauchy, v.v ...; nhiều định lý về dư của một hàm cũng là do Cauchy. B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent và những người khác cũng thu được những kết quả rất quan trọng trong lĩnh vực này.

Chúng ta hãy quay trở lại các khái niệm cơ bản của phân tích toán học. Trong nửa sau của thế kỷ, rõ ràng là nhà khoa học Séc Bernard Bolzano (1781-1848) đã làm được rất nhiều trong lĩnh vực phân tích chứng minh trước Cauchy và Weierstrasse. Trước Cauchy, ông đã đưa ra các định nghĩa về giới hạn, tính liên tục của một hàm và sự hội tụ của một chuỗi số, chứng minh một tiêu chí cho sự hội tụ của một chuỗi số, và cũng rất lâu trước khi Weierstrass có nó, một định lý: nếu một tập hợp số bị giới hạn từ bên trên (từ bên dưới), sau đó nó có một cạnh chính xác trên (chính xác dưới). Ông đã xem xét một số thuộc tính của các hàm liên tục; Nhớ lại rằng trong chương trình trung học phổ thông về giải tích toán học có các định lý Bolzano-Cauchy và Bolzano-Weierstrass về các hàm số liên tục trên một đoạn. Bolzano cũng nghiên cứu một số vấn đề về phân tích toán học, chẳng hạn, ông đã xây dựng ví dụ đầu tiên về một hàm liên tục trên một đoạn, nhưng không có đạo hàm tại bất kỳ điểm nào trên đoạn. Trong suốt cuộc đời của mình, Bolzano chỉ có thể xuất bản năm tác phẩm nhỏ, vì vậy kết quả của ông được biết đến quá muộn.

2. Trong phân tích toán học, sự thiếu vắng của một định nghĩa rõ ràng về hàm ngày càng được cảm nhận rõ ràng hơn. Một đóng góp đáng kể trong việc giải quyết tranh chấp về ý nghĩa của một chức năng đã được thực hiện bởi nhà khoa học người Pháp Jean Fourier. Ông đã tham gia vào lý thuyết toán học về sự dẫn nhiệt trong chất rắn và liên quan đến điều này, ông đã sử dụng chuỗi lượng giác (chuỗi Fourier)

Các chuỗi này sau đó được sử dụng rộng rãi trong vật lý toán học - một ngành khoa học đề cập đến các phương pháp toán học để nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng gặp phải trong vật lý. Fourier đã chứng minh rằng bất kỳ đường cong liên tục nào, bất kể nó được tạo thành từ những phần không đồng nhất nào, đều có thể được xác định bằng một biểu thức phân tích duy nhất - một chuỗi lượng giác, và điều này cũng có thể được thực hiện đối với một số đường cong không liên tục. Nghiên cứu về các chuỗi như vậy, được thực hiện bởi Fourier, một lần nữa đặt ra câu hỏi về ý nghĩa của một hàm. Chúng ta có thể giả sử rằng một đường cong như vậy xác định một hàm không? (Đây là một sự đổi mới của cuộc tranh cãi cũ ở thế kỷ 18 về mối quan hệ giữa hàm và công thức ở một cấp độ mới.)

Năm 1837, nhà toán học người Đức P. Dierechle lần đầu tiên đưa ra định nghĩa hiện đại về hàm số: “Hàm của một biến số (trên đoạn nếu mỗi giá trị (trên đoạn này) tương ứng với một giá trị hoàn toàn xác định, và Không quan trọng sự tương ứng này được thiết lập như thế nào - bằng một công thức phân tích, đồ thị, bảng hoặc thậm chí chỉ bằng chữ ". Điều đáng chú ý là:" không có gì khác biệt so với cách thiết lập sự tương ứng này. "Định nghĩa của Direkhlet đã được công nhận chung khá nhanh chóng Đúng, bây giờ có thói quen gọi bản thân thư tín là một hàm.

3. Tiêu chuẩn hiện đại về tính chặt chẽ trong phân tích toán học lần đầu tiên xuất hiện trong các công trình của Weierstrass (1815 - 1897), làm việc trong một thời gian dài với tư cách là giáo viên toán tại các phòng thể dục, và năm 1856 trở thành giáo sư tại Đại học Berlin. Những người nghe các bài giảng của ông dần dần xuất bản chúng dưới dạng các cuốn sách riêng biệt, nhờ đó nội dung các bài giảng của Weierstrass trở nên nổi tiếng ở châu Âu. Chính Weierstrass đã bắt đầu sử dụng ngôn ngữ một cách có hệ thống trong phân tích toán học, ông đã đưa ra định nghĩa về giới hạn của một dãy số, định nghĩa về giới hạn của một hàm trong ngôn ngữ (thường được gọi là định nghĩa của Cauchy một cách không chính xác), các định lý đã được chứng minh một cách nghiêm ngặt. về các giới hạn và cái gọi là định lý Weierstrass về giới hạn của một dãy đơn hình: một dãy tăng (giảm), giới hạn từ phía trên (từ phía dưới), có giới hạn hữu hạn. Ông bắt đầu sử dụng các khái niệm về giới hạn chính xác trên và giới hạn dưới của một tập hợp số, khái niệm điểm giới hạn của một tập hợp, chứng minh một định lý (cũng có tác giả khác - Bolzano): một tập hợp số bị giới hạn có một điểm giới hạn, được coi là một số tính chất của hàm liên tục. Weierstrass đã cống hiến nhiều công trình cho lý thuyết hàm của một biến phức tạp, chứng minh nó với sự trợ giúp của chuỗi lũy thừa. Ông cũng làm việc về phép tính của các biến thể, hình học vi phân và đại số tuyến tính.

4. Chúng ta hãy nghiên cứu lý thuyết về tập hợp vô hạn. Người tạo ra nó là nhà toán học người Đức Kantor. Georg Kantor (18451918) đã làm việc nhiều năm với tư cách là giáo sư tại Đại học Halle. Ông đã xuất bản các công trình về lý thuyết tập hợp bắt đầu từ năm 1870. Ông đã chứng minh tính không đếm được của tập hợp các số thực, do đó thiết lập sự tồn tại của các tập hợp vô hạn không tương đương, đưa ra khái niệm chung về bản số của một tập hợp và tìm ra các nguyên tắc để so sánh các lũy thừa. Kantor đã xây dựng một lý thuyết về các số vô hạn, "không đúng", quy số nhỏ nhất, nhỏ nhất vô hạn thành tích số của một tập hợp có thể đếm được (cụ thể là tập hợp các số tự nhiên), tổng số của tập hợp các số thực - cao hơn, lớn hơn số vô hạn, v.v ...; điều này cho phép anh ta xây dựng một số học cho các số vô hạn tương tự như số học thông thường cho các số tự nhiên. Cantor đã sử dụng vô hạn thực tế một cách có hệ thống, chẳng hạn, khả năng hoàn toàn "cạn kiệt" các chuỗi số tự nhiên, trong khi trước ông trong toán học thế kỷ 19. chỉ tiềm năng vô hạn đã được sử dụng.

Lý thuyết tập hợp của Cantor đã khơi dậy sự phản đối của nhiều nhà toán học khi nó mới xuất hiện, nhưng sự công nhận dần dần xuất hiện khi tầm quan trọng to lớn của nó đối với cấu trúc liên kết cơ bản và lý thuyết hàm của một biến số thực trở nên rõ ràng. Nhưng những lỗ hổng lôgic vẫn còn trong chính lý thuyết, đặc biệt, những nghịch lý của lý thuyết tập hợp đã được phát hiện. Đây là một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất. Biểu thị bằng tập hợp tất cả các tập hợp đó không phải là phần tử của chính chúng. Liệu phần bao gồm cũng giữ và không phải là một phần tử, vì theo điều kiện, chỉ những tập hợp như vậy mới được đưa vào như những phần tử không phải là phần tử của chính chúng; nếu, theo điều kiện, mâu thuẫn bao hàm tồn tại trong cả hai trường hợp.

Những nghịch lý này được kết nối với sự mâu thuẫn bên trong của một số bộ. Rõ ràng là không phải tất cả các bộ đều có thể được sử dụng trong toán học. Sự tồn tại của những nghịch lý đã được khắc phục bằng sự sáng tạo vào đầu thế kỷ 20. lý thuyết tập hợp tiên đề (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann, v.v.), đặc biệt, đã trả lời câu hỏi: những tập hợp nào có thể được sử dụng trong toán học? Nó chỉ ra rằng người ta có thể sử dụng tập hợp rỗng, sự kết hợp của các tập hợp đã cho, tập hợp của tất cả các tập hợp con của một tập hợp đã cho, v.v.