Cách tìm mẫu số của một cấp tiến hình học. Tiến trình hình học giảm vô hạn

CÁC PHÂN TÍCH SỐ VI

§ l48. Tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn

Từ trước đến nay, nói về tổng, chúng ta luôn giả định rằng số hạng trong các tổng này là hữu hạn (ví dụ: 2, 15, 1000, v.v.). Nhưng khi giải một số bài toán (đặc biệt là toán cao hơn), người ta phải xử lý tổng của vô số số hạng

S = một 1 + một 2 + ... + một N + ... . (1)

Những số tiền này là gì? Theo định nghĩa tổng của vô số số hạng một 1 , một 2 , ..., một N , ... được gọi là giới hạn của tổng S N Đầu tiên P số khi P -> ∞ :

S = S N = (một 1 + một 2 + ... + một N ). (2)

Tất nhiên, giới hạn (2) có thể tồn tại hoặc không. Theo đó, tổng (1) được cho là tồn tại hoặc không tồn tại.

Làm thế nào để tìm xem liệu tổng (1) có tồn tại trong từng trường hợp cụ thể hay không? Một giải pháp chung cho câu hỏi này vượt xa phạm vi chương trình của chúng tôi. Tuy nhiên, có một trường hợp đặc biệt quan trọng mà chúng ta phải xem xét bây giờ. Chúng ta sẽ nói về tính tổng của các số hạng của một tiến trình hình học giảm vô hạn.

Để cho một 1 , một 1 q , một 1 q 2, ... là một cấp hình học giảm vô hạn. Điều này có nghĩa là | q |< 1. Сумма первых P các thành viên của tiến trình này ngang bằng với

Từ các định lý cơ bản về giới hạn của các biến số (xem § 136), chúng ta thu được:

Nhưng 1 = 1, a q n = 0. Do đó

Vì vậy, tổng của một cấp tiến bộ hình học giảm vô hạn bằng số hạng đầu tiên của cấp tiến này chia cho một trừ đi mẫu số của cấp tiến này.

1) Tổng của các cấp hình học 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... là

và tổng của một cấp tiến hình học là 12; -6; 3; - 3/2, ... bằng

2) Một phân số tuần hoàn đơn giản 0,454545 ... biến thành một phân số thường.

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi biểu diễn phân số này dưới dạng tổng vô hạn:

Vế phải của đẳng thức này là tổng của một cấp số hạng hình học giảm vô hạn, số hạng đầu tiên của nó là 45/100 và mẫu số là 1/100. Đó là lý do tại sao

Theo cách được mô tả, quy tắc chung để chuyển các phân số tuần hoàn đơn giản thành phân số thông thường cũng có thể đạt được (xem Chương II, § 38):

Để chuyển một phân số tuần hoàn đơn giản thành một phân số thông thường, bạn cần tiến hành như sau: đặt chu kỳ của phân số thập phân vào tử số và ở mẫu số - một số bao gồm số ni được lấy nhiều lần khi có các chữ số trong chu kỳ. của phân số thập phân.

3) Hỗn số tuần hoàn 0,58333 .... biến thành phân số thường.

Hãy biểu diễn phân số này dưới dạng tổng vô hạn:

Ở vế phải của đẳng thức này, tất cả các số hạng, bắt đầu từ 3/1000, tạo thành một cấp tiến hình học giảm vô hạn, số hạng đầu tiên của nó là 3/1000 và mẫu số là 1/10. Đó là lý do tại sao

Theo cách được mô tả, quy tắc chung để chuyển các phân số tuần hoàn hỗn hợp thành phân số thông thường cũng có thể nhận được (xem Chương II, § 38). Chúng tôi cố tình không đưa nó vào đây. Không cần thiết phải ghi nhớ quy tắc rườm rà này. Sẽ hữu ích hơn nhiều khi biết rằng bất kỳ phân số tuần hoàn hỗn hợp nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số tiến trình hình học giảm vô hạn và một số nào đó. Và công thức

đối với tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn, tất nhiên, người ta phải nhớ.

Như một bài tập, chúng tôi mời bạn, ngoài các bài toán số 995-1000 dưới đây, một lần nữa chuyển sang bài toán số 301 § 38.

Bài tập

995. Thế nào được gọi là tổng của một cấp hình học giảm vô hạn?

996. Tìm tổng của các cấp tiến hình học giảm vô hạn:

997. Đối với những giá trị nào X sự tiến triển

đang giảm vô hạn? Tìm tổng của một cấp tiến như vậy.

998. Trong một tam giác đều có cạnh một một tam giác mới được nội tiếp bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của nó; một tam giác mới được nội tiếp trong tam giác này theo cách tương tự, và cứ tiếp tục như vậy.

a) tổng các chu vi của tất cả các tam giác này;

b) tổng diện tích của chúng.

999. Trong một hình vuông có một cạnh một một hình vuông mới được nội tiếp bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của nó; một hình vuông được ghi trong hình vuông này theo cách tương tự, và cứ thế tiếp tục như vậy. Tìm tổng chu vi của tất cả các hình vuông này và tổng diện tích của chúng.

1000. Lập một cấp tiến hình học giảm vô hạn, sao cho tổng của nó bằng 25/4 và tổng bình phương các số hạng của nó bằng 625/24.

Con số này được gọi là mẫu số của một cấp tiến hình học, nghĩa là mỗi số hạng khác với số hạng trước đó q lần. (Chúng ta sẽ cho rằng q ≠ 1, nếu không thì mọi thứ đều quá tầm thường). Dễ dàng nhận thấy rằng công thức tổng quát của thành phần thứ n của cấp tiến hình học là b n = b 1 q n - 1; các số hạng b n và b m khác nhau q n - m lần.

Ngay từ thời Ai Cập cổ đại, họ không chỉ biết số học, mà còn cả sự tiến triển hình học. Ví dụ ở đây là một nhiệm vụ từ giấy cói Rhind: “Bảy khuôn mặt có bảy con mèo; mỗi con mèo ăn bảy con chuột, mỗi con chuột ăn bảy tai ngô, mỗi tai trồng được bảy thước lúa mạch. Các số trong chuỗi này lớn bao nhiêu và tổng của chúng là bao nhiêu?

Cơm. 1. Bài toán tiến trình hình học Ai Cập cổ đại

Nhiệm vụ này được lặp đi lặp lại nhiều lần với những biến thể khác nhau giữa các dân tộc khác vào những thời điểm khác nhau. Ví dụ, bằng văn bản vào thế kỷ XIII. Cuốn sách "Bàn tính" của Leonardo xứ Pisa (Fibonacci) có một bài toán trong đó có 7 bà lão xuất hiện trên đường đến Rome (hiển nhiên là những người hành hương), mỗi người có 7 con la, mỗi con có 7 túi, mỗi con có 7 ổ, mỗi ổ có 7 dao, mỗi ổ nằm trong 7 bẹ. Bài toán hỏi có tất cả bao nhiêu món.

Tổng của n phần tử đầu tiên của cấp tiến hình học S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). Ví dụ, công thức này có thể được chứng minh như sau: S n \ u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Hãy thêm số b 1 q n vào S n và nhận được:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q.

Do đó S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), và chúng ta nhận được công thức cần thiết.

Đã có trên một trong những viên đất sét của Babylon Cổ đại, có niên đại từ thế kỷ VI. BC e., chứa tổng 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Đúng, như trong một số trường hợp khác, chúng tôi không biết thực tế này được biết đến bởi người Babylon. .

Sự phát triển nhanh chóng của sự tiến bộ hình học ở một số nền văn hóa, đặc biệt là ở Ấn Độ, được sử dụng nhiều lần như một biểu tượng rõ ràng về sự bao la của vũ trụ. Trong truyền thuyết nổi tiếng về sự xuất hiện của cờ vua, người cai trị cho nhà phát minh của họ cơ hội để tự mình chọn phần thưởng, và ông ta yêu cầu một số lượng hạt lúa mì như vậy sẽ thu được nếu đặt một hạt vào ô đầu tiên của bàn cờ, hai trên thứ hai, bốn trên thứ ba, tám trên thứ tư, v.v., mỗi lần số lượng được nhân đôi. Vladyka nghĩ rằng nhiều nhất là một vài bao tải, nhưng anh đã tính toán sai. Dễ dàng nhận thấy rằng đối với tất cả 64 ô vuông của bàn cờ, nhà phát minh lẽ ra phải nhận được (2 64 - 1) hạt, được biểu thị dưới dạng một số có 20 chữ số; ngay cả khi toàn bộ bề mặt Trái đất được gieo, sẽ phải mất ít nhất 8 năm để thu thập đủ số lượng hạt cần thiết. Truyền thuyết này đôi khi được hiểu là ám chỉ đến những khả năng gần như không giới hạn ẩn chứa trong trò chơi cờ vua.

Thực tế là con số này thực sự có 20 chữ số rất dễ nhận thấy:

2 64 \ u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \ u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \ u003d 1,6 10 19 (một phép tính chính xác hơn cho 1,84 10 19). Nhưng tôi tự hỏi liệu bạn có thể tìm ra chữ số này kết thúc bằng chữ số nào không?

Một cấp số hình học đang tăng nếu mẫu số lớn hơn 1 về giá trị tuyệt đối hoặc giảm nếu nó nhỏ hơn một. Trong trường hợp sau, số q n có thể trở nên nhỏ tùy ý với n đủ lớn. Trong khi một cấp số nhân tăng lên tăng nhanh bất ngờ, một cấp số nhân giảm dần cũng giảm nhanh như vậy.

N càng lớn, số q n khác 0 càng yếu và tổng của n phần tử của tiến trình hình học S n \ u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) với số S \ u003d b 1 càng gần / (1 - q). (Lý do vậy chẳng hạn, F. Việt). Số S được gọi là tổng của một cấp hình học giảm vô hạn. Tuy nhiên, trong nhiều thế kỷ, câu hỏi về ý nghĩa của phép tính tổng của tất cả các tiến trình hình học, với số hạng vô hạn của nó, vẫn chưa đủ rõ ràng đối với các nhà toán học.

Ví dụ, một tiến trình hình học giảm dần có thể được nhìn thấy trong aporias "Cắn" và "Achilles và con rùa" của Zeno. Trong trường hợp đầu tiên, rõ ràng là toàn bộ con đường (giả sử chiều dài 1) là tổng của vô số đoạn 1/2, 1/4, 1/8, v.v. Điều này, tất nhiên, là trường hợp từ quan điểm của ý tưởng về cấp hữu hạn hình học tổng vô hạn. Tuy nhiên, làm thế nào điều này có thể được?

Cơm. 2. Cấp tiến với hệ số 1/2

Trong aporia về Achilles, tình hình phức tạp hơn một chút, bởi vì ở đây mẫu số của lũy tiến không bằng 1/2, mà là một số khác. Ví dụ, Achilles chạy với tốc độ v, con rùa di chuyển với tốc độ u và khoảng cách ban đầu giữa chúng là l. Achilles sẽ chạy quãng đường này trong thời gian l / v, rùa sẽ di chuyển quãng đường lu / v trong thời gian này. Khi Achilles chạy qua đoạn này, khoảng cách giữa anh ta và con rùa sẽ trở nên bằng l (u / v) 2, v.v. Hóa ra là bắt kịp con rùa có nghĩa là tìm tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn với bước đầu tiên. số hạng l và mẫu số u / v. Tổng này - đoạn mà Achilles cuối cùng sẽ chạy đến điểm gặp gỡ với con rùa - bằng l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Nhưng, một lần nữa, kết quả này nên được giải thích như thế nào và tại sao nó có ý nghĩa gì, đã không được rõ ràng trong một thời gian dài.

Cơm. 3. Cấp tiến hình học với hệ số 2/3

Tổng của một tiến trình hình học đã được Archimedes sử dụng khi xác định diện tích của một đoạn parabol. Cho đoạn parabol đã cho được giới hạn bởi dây AB và tiếp tuyến tại điểm D của parabol song song với AB. Gọi C là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, F là trung điểm của CB. Kẻ các đường thẳng song song với DC qua các điểm A, E, F, B; Cho tiếp tuyến vẽ tại điểm D, các đường thẳng này cắt nhau tại các điểm K, L, M, N. Hãy cũng vẽ các đoạn AD và DB. Cho đường thẳng EL cắt đường thẳng AD tại điểm G và parabol tại điểm H; đường thẳng FM cắt đường thẳng DB tại điểm Q và parabol tại điểm R. Theo lý thuyết chung về mặt cắt hình nón, DC là đường kính của một parabol (nghĩa là một đoạn song song với trục của nó); nó và tiếp tuyến tại điểm D có thể đóng vai trò là trục tọa độ x và y, trong đó phương trình parabol được viết dưới dạng y 2 \ u003d 2px (x là khoảng cách từ D đến bất kỳ điểm nào có đường kính cho trước, y là độ dài của a đoạn song song với một tiếp tuyến cho trước từ điểm có đường kính này đến điểm nào đó trên chính parabol).

Theo phương trình parabol, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, và vì DK = 2DL nên KA = 4LH. Vì KA = 2LG nên LH = HG. Diện tích của đoạn ADB của parabol bằng diện tích của tam giác ΔADB và diện tích của các đoạn AHD và DRB cộng lại. Lần lượt, diện tích đoạn AHD tương tự bằng diện tích tam giác AHD và các đoạn còn lại AH và HD, với mỗi phép toán có thể thực hiện tương tự - tách thành tam giác (Δ) và hai phân đoạn còn lại (), v.v.:

Diện tích tam giác ΔAHD bằng nửa diện tích tam giác ΔALD (chúng có chung đáy là AD và chiều cao chênh lệch nhau 2 lần), tương ứng bằng nửa diện tích của Tam giác ΔAKD, và do đó một nửa diện tích của tam giác ΔACD. Như vậy, diện tích tam giác ΔAHD bằng 1/4 diện tích tam giác ΔACD. Tương tự như vậy, diện tích tam giác ΔDRB bằng một phần tư diện tích tam giác ΔDFB. Vậy diện tích các tam giác ∆AHD và ∆DRB lấy nhau bằng diện tích tam giác ∆ADB. Lặp lại thao tác này như được áp dụng cho các đoạn AH, HD, DR và ​​RB cũng sẽ chọn các tam giác từ chúng, diện tích của chúng, được lấy cùng nhau, sẽ nhỏ hơn 4 lần so với diện tích của các tam giác ΔAHD và ΔDRB, được lấy và do đó nhỏ hơn diện tích tam giác ΔADB 16 lần. Và như thế:

Do đó, Archimedes đã chứng minh rằng "mọi đoạn nằm giữa một đường thẳng và một parabol là bốn phần ba của một tam giác có cùng đáy và cùng chiều cao với nó."

>> Toán: Hình học tiến triển

Để thuận tiện cho người đọc, phần này thực hiện theo đúng kế hoạch như chúng tôi đã theo dõi trong phần trước.

1. Các khái niệm cơ bản.

Sự định nghĩa. Một dãy số, tất cả các phần tử khác 0 và mỗi phần tử của chúng, bắt đầu từ dãy số thứ hai, nhận được từ phần tử trước đó bằng cách nhân nó với cùng một số được gọi là một cấp số nhân hình học. Trong trường hợp này, số 5 được gọi là mẫu số của một cấp tiến bộ hình học.

Do đó, một cấp tiến hình học là một dãy số (b n) được cho một cách đệ quy bởi các quan hệ

Có thể nào, bằng cách nhìn vào một dãy số, để xác định xem nó có phải là một cấp số nhân hình học hay không? Có thể. Nếu bạn tin chắc rằng tỷ lệ của bất kỳ thành viên nào của dãy so với thành viên trước đó là không đổi, thì bạn có một cấp số nhân hình học.
ví dụ 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Ví dụ 2

Đây là một tiến trình hình học
Ví dụ 3

Đây là một tiến trình hình học
Ví dụ 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Đây là một cấp độ hình học trong đó b 1 - 8, q = 1.

Lưu ý rằng dãy số này cũng là một cấp số cộng (xem Ví dụ 3 từ § 15).

Ví dụ 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Đây là một tiến trình hình học, trong đó b 1 \ u003d 2, q \ u003d -1.

Rõ ràng, một tiến trình hình học là một chuỗi tăng dần nếu b 1> 0, q> 1 (xem Ví dụ 1), và một chuỗi giảm nếu b 1> 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Để chỉ ra rằng dãy (b n) là một cấp số nhân hình học, ký hiệu sau đây đôi khi thuận tiện:

Biểu tượng thay thế cụm từ "tiến trình hình học".
Chúng tôi ghi nhận một tính chất tò mò và đồng thời khá rõ ràng của một tiến trình hình học:
Nếu trình tự là một tiến trình hình học, sau đó là chuỗi các hình vuông, tức là là một tiến trình hình học.
Trong cấp tiến hình học thứ hai, số hạng thứ nhất bằng a bằng q 2.
Nếu chúng ta loại bỏ tất cả các số hạng sau b n theo cấp số nhân, thì chúng ta nhận được một cấp số nhân hình học hữu hạn
Trong các đoạn tiếp theo của phần này, chúng ta sẽ xem xét các tính chất quan trọng nhất của một cấp hình học.

2. Công thức của số hạng thứ n của một cấp hình học.

Xem xét một tiến trình hình học mẫu số q. Chúng ta có:

Không khó để đoán rằng với bất kỳ số n nào thì bằng

Đây là công thức cho số hạng thứ n của một tiến trình hình học.

Bình luận.

Nếu bạn đã đọc chú thích quan trọng ở đoạn trước và hiểu nó, thì hãy thử chứng minh công thức (1) bằng quy nạp toán học, giống như nó đã được thực hiện đối với công thức của số hạng thứ n của một cấp số cộng.

Hãy viết lại công thức của số hạng thứ n của cấp tiến hình học

và giới thiệu ký hiệu: Chúng tôi nhận được y \ u003d mq 2 hoặc chi tiết hơn,
Đối số x được chứa trong số mũ, vì vậy một hàm số như vậy được gọi là hàm số mũ. Điều này có nghĩa là một cấp số nhân hình học có thể được coi là một hàm số mũ đã cho trên tập N các số tự nhiên. Trên hình. 96a cho thấy một đồ thị của hàm trong Hình. 966 - đồ thị hàm số Trong cả hai trường hợp, chúng ta có các điểm cô lập (với các điểm x = 1, x = 2, x = 3, v.v.) nằm trên một đường cong nào đó (cả hai hình đều hiển thị cùng một đường cong, chỉ khác nhau về vị trí và được mô tả ở các tỷ lệ khác nhau). Đường cong này được gọi là số mũ. Chúng tôi sẽ thảo luận thêm về hàm số mũ và đồ thị của nó trong chương trình học đại số lớp 11.

Hãy quay lại các ví dụ 1-5 từ đoạn trước.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Đây là một tiến trình hình học, trong đó b 1 \ u003d 1, q \ u003d 3. Hãy lập công thức cho số hạng thứ n
2) Đây là một tiến trình hình học, trong đó Hãy lập công thức của số hạng thứ n

Đây là một tiến trình hình học Soạn công thức cho số hạng thứ n
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Đây là một tiến trình hình học, trong đó b 1 \ u003d 8, q \ u003d 1. Hãy lập công thức cho số hạng thứ n
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Đây là một cấp hình học, trong đó b 1 = 2, q = -1. Soạn công thức cho số hạng thứ n

Ví dụ 6

Đưa ra một tiến trình hình học

Trong mọi trường hợp, giải pháp dựa trên công thức của phần tử thứ n của một cấp tiến bộ hình học

a) Đưa n = 6 vào công thức của số hạng thứ n của cấp tiến hình học, ta được

b) Chúng tôi có

Vì 512 \ u003d 2 9, chúng tôi nhận được n - 1 \ u003d 9, n \ u003d 10.

d) Chúng tôi có

Ví dụ 7

Hiệu số giữa các thành phần thứ bảy và thứ năm của cấp tiến hình học là 48, tổng của cấp số nhân thứ năm và thứ sáu của cấp số nhân cũng là 48. Tìm thành viên thứ mười hai của cấp số nhân này.

Giai đoạn đầu tiên. Vẽ một mô hình toán học.

Các điều kiện của nhiệm vụ có thể được viết ngắn gọn như sau:

Sử dụng công thức của phần tử thứ n của một cấp tiến bộ hình học, chúng ta nhận được:
Khi đó điều kiện thứ hai của bài toán (b 7 - b 5 = 48) có thể được viết thành

Điều kiện thứ ba của bài toán (b 5 + b 6 = 48) có thể được viết thành

Kết quả là ta thu được một hệ hai phương trình với hai biến b 1 và q:

mà, kết hợp với điều kiện 1) đã viết ở trên, là mô hình toán học của bài toán.

Giai đoạn thứ hai.

Làm việc với mô hình đã biên dịch. Lập phương trình bên trái của cả hai phương trình của hệ, ta được:

(ta đã chia cả hai vế của phương trình thành biểu thức b 1 q 4, khác 0).

Từ phương trình q 2 - q - 2 = 0 ta tìm được q 1 = 2, q 2 = -1. Thay giá trị q = 2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
Thay giá trị q = -1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được b 1 1 0 = 48; phương trình này không có nghiệm.

Vì vậy, b 1 \ u003d 1, q \ u003d 2 - cặp này là lời giải cho hệ phương trình đã biên soạn.

Bây giờ chúng ta có thể viết ra các cấp số liệu trong câu hỏi: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Giai đoạn thứ ba.

Câu trả lời cho câu hỏi vấn đề. Yêu cầu tính b 12. Chúng ta có

Đáp số: b 12 = 2048.

3. Công thức tính tổng các thành phần của một cấp hình học hữu hạn.

Để có một tiến trình hình học hữu hạn

Biểu thị bằng S n tổng các số hạng của nó, tức là

Hãy suy ra một công thức để tìm tổng này.

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi q = 1. Khi đó cấp tiến hình học b 1, b 2, b 3, ..., bn gồm n số bằng b 1, tức là. tiến trình là b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Tổng các số này là nb 1.

Bây giờ q = 1 Để tìm S n ta sử dụng phương pháp nhân tạo: thực hiện một số phép biến đổi biểu thức S n q. Chúng ta có:

Thực hiện các phép biến đổi, trước hết, chúng tôi sử dụng định nghĩa của một cấp tiến hình học, theo đó (xem dòng suy luận thứ ba); thứ hai, họ đã thêm và bớt tại sao ý nghĩa của biểu thức, tất nhiên, không thay đổi (xem dòng lập luận thứ tư); thứ ba, chúng tôi sử dụng công thức của phần tử thứ n của một cấp tiến bộ hình học:

Từ công thức (1) ta tìm được:

Đây là công thức tính tổng của n phần tử của một cấp tiến hình học (đối với trường hợp q = 1).

Ví dụ 8

Cho một tiến trình hình học hữu hạn

a) tổng số các thành viên của tiến trình; b) tổng bình phương các số hạng của nó.

b) Ở trên (xem trang 132), chúng ta đã lưu ý rằng nếu tất cả các phần tử của một cấp hình học là bình phương, thì một cấp số nhân hình học với thành viên đầu tiên b 2 và mẫu số q 2 sẽ nhận được. Sau đó, tổng của sáu số hạng của tiến trình mới sẽ được tính bằng

Ví dụ 9

Tìm số hạng thứ 8 của một cấp tiến hình học mà

Trong thực tế, chúng tôi đã chứng minh định lý sau đây.

Dãy số là một cấp số nhân hình học nếu và chỉ khi bình phương của mỗi số hạng của nó, ngoại trừ số hạng đầu tiên (và số hạng cuối cùng, trong trường hợp dãy số hữu hạn), bằng tích của các số hạng trước đó và tiếp theo. (một tính chất đặc trưng của một cấp tiến hình học).

Bây giờ hãy xem xét câu hỏi về tính tổng của một tiến trình hình học vô hạn. Chúng ta hãy gọi tổng một phần của một cấp tiến vô hạn đã cho là tổng các số hạng đầu tiên của nó. Biểu thị tổng từng phần bằng ký hiệu

Đối với mọi tiến trình vô hạn

người ta có thể soạn một chuỗi (cũng vô hạn) gồm các tổng một phần của nó

Để một chuỗi có mức tăng không giới hạn có giới hạn

Trong trường hợp này, số S, tức là, giới hạn của tổng một phần của cấp số tiến, được gọi là tổng của một cấp số nhân vô hạn. Chúng ta sẽ chứng minh rằng một cấp tiến hình học giảm vô hạn luôn có một tổng, và suy ra một công thức cho tổng này (chúng ta cũng có thể chỉ ra rằng đối với một cấp tiến vô hạn không có tổng, không tồn tại).

Chúng ta viết biểu thức cho tổng từng phần dưới dạng tổng của các phần tử của cấp tiến theo công thức (91.1) và coi giới hạn của tổng từng phần tại

Từ định lý của mục 89, người ta biết rằng đối với một cấp số nhân giảm dần; do đó, áp dụng định lý giới hạn chênh lệch, chúng ta thấy

(quy tắc cũng được sử dụng ở đây: thừa số không đổi được lấy ra khỏi dấu hiệu của giới hạn). Sự tồn tại được chứng minh, đồng thời thu được công thức tính tổng của một cấp độ hình học giảm vô hạn:

Bình đẳng (92.1) cũng có thể được viết là

Ở đây, có vẻ nghịch lý khi một giá trị hữu hạn được xác định rõ ràng được gán cho tổng của một tập hợp vô hạn các số hạng.

Có thể đưa ra một minh họa rõ ràng để giải thích tình huống này. Xét một hình vuông có cạnh bằng một (Hình 72). Chúng ta hãy chia hình vuông này bằng một đường ngang thành hai phần bằng nhau và áp dụng phần trên với phần dưới để tạo thành một hình chữ nhật với các cạnh là 2 và. Sau đó, chúng ta lại chia nửa bên phải của hình chữ nhật này bằng một đường ngang và gắn phần trên với phần dưới (như trong Hình 72). Tiếp tục quá trình này, chúng ta liên tục biến hình vuông ban đầu có diện tích bằng 1 thành các hình có kích thước bằng nhau (có dạng cầu thang với các bước mỏng dần).

Với sự tiếp tục vô hạn của quá trình này, toàn bộ diện tích hình vuông sẽ phân hủy thành vô số số hạng - diện tích hình chữ nhật có đáy bằng 1 và chiều cao. Diện tích hình chữ nhật chỉ tạo thành một cấp số giảm dần vô hạn, tổng của nó

tức là, như mong đợi, bằng diện tích của hình vuông.

Thí dụ. Tìm tổng của các cấp số nhân vô hạn sau:

Lời giải, a) Chúng ta lưu ý rằng tiến trình này Do đó, theo công thức (92.2), chúng ta thấy

b) Ở đây có nghĩa là theo cùng một công thức (92.2), chúng ta có

c) Ta nhận thấy rằng cấp tiến này Do đó, cấp tiến này không có tổng.

Trong Phần 5, việc áp dụng công thức tính tổng các số hạng của một cấp số tiến giảm vô hạn để chuyển một phân số thập phân tuần hoàn thành một phân số thông thường đã được trình bày.

Bài tập

1. Tổng của một cấp độ hình học giảm vô hạn là 3/5 và tổng của bốn số hạng đầu tiên của nó là 13/27. Tìm số hạng đầu tiên và mẫu số của cấp tiến.

2. Tìm bốn số lập thành một cấp hình học xen kẽ, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số thứ nhất 35, số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560.

3. Hiển thị trình tự if

tạo thành một tiến trình hình học giảm vô hạn, sau đó chuỗi

đối với bất kỳ dạng nào, một tiến trình hình học giảm vô hạn. Khẳng định này có giữ cho

Tìm công thức cho tích các số hạng của một cấp số nhân hình học.

Toán học là gìcon người kiểm soát thiên nhiên và bản thân.

Nhà toán học Liên Xô, viện sĩ A.N. Kolmogorov

Cấp số nhân.

Cùng với các nhiệm vụ cho cấp số cộng, các nhiệm vụ liên quan đến khái niệm cấp số nhân hình học cũng thường gặp trong các bài kiểm tra đầu vào môn toán. Để giải thành công các bài toán như vậy, bạn cần phải biết các tính chất của một cấp tiến hình học và có kỹ năng sử dụng chúng tốt.

Bài viết này được dành cho việc trình bày các tính chất chính của một cấp tiến bộ hình học. Nó cũng cung cấp các ví dụ về giải quyết các vấn đề điển hình, mượn từ các nhiệm vụ của các bài kiểm tra đầu vào trong toán học.

Chúng ta hãy ghi nhận sơ bộ các tính chất chính của một cấp tiến trình hình học và nhớ lại các công thức và câu lệnh quan trọng nhất, gắn liền với khái niệm này.

Sự định nghĩa. Một dãy số được gọi là một cấp số tiến hình học nếu mỗi số của nó, bắt đầu từ số thứ hai, bằng số trước đó, nhân với cùng một số. Con số được gọi là mẫu số của một cấp tiến bộ hình học.

Đối với một tiến trình hình họccác công thức hợp lệ

, (1)

ở đâu . Công thức (1) được gọi là công thức của số hạng tổng quát của một cấp hình học, và công thức (2) là tính chất chính của một cấp tiến hình học: mỗi phần tử của cấp số trùng với giá trị trung bình hình học của các thành phần lân cận của nó và.

Ghi chú, rằng chính vì đặc tính này mà tiến trình được đề cập được gọi là "hình học".

Công thức (1) và (2) ở trên được tóm tắt như sau:

, (3)

Để tính tổngĐầu tiên thành viên của một tiến trình hình họccông thức áp dụng

Nếu chúng tôi chỉ định

ở đâu . Vì, công thức (6) là tổng quát của công thức (5).

Trong trường hợp khi và cấp số nhânđang giảm vô hạn. Để tính tổngcủa tất cả các thành viên của một tiến trình hình học giảm vô hạn, công thức được sử dụng

. (7)

Ví dụ , sử dụng công thức (7), người ta có thể hiển thị, Gì

ở đâu . Các bằng nhau này có được từ công thức (7) với điều kiện là, (đẳng thức thứ nhất) và, (đẳng thức thứ hai).

Định lý. Nếu, thì

Bằng chứng. Nếu, sau đó,

Định lý đã được chứng minh.

Hãy chuyển sang việc xem xét các ví dụ giải các bài toán về chủ đề "Cấp tiến hình học".

ví dụ 1Đã cho:, và. Tìm thấy .

Dung dịch. Nếu công thức (5) được áp dụng, thì

Câu trả lời: .

Ví dụ 2 Hãy để và. Tìm thấy .

Dung dịch. Vì và, ta sử dụng các công thức (5), (6) và thu được hệ phương trình

Nếu phương trình thứ hai của hệ (9) chia hết cho phương trình thứ nhất, sau đó hoặc. Từ điều này, nó theo sau . Hãy xem xét hai trường hợp.

1. Nếu, thì từ phương trình thứ nhất của hệ (9) ta có.

2. Nếu, thì.

Ví dụ 3 Hãy để, và. Tìm thấy .

Dung dịch. Nó theo sau từ công thức (2) rằng hoặc. Kể từ đó, hoặc.

Theo điều kiện. Tuy nhiên, do đó. Bởi vì và, thì ở đây chúng ta có một hệ phương trình

Nếu phương trình thứ hai của hệ chia cho phương trình thứ nhất thì hoặc.

Do đó, phương trình có một nghiệm nguyên duy nhất. Trong trường hợp này, phương trình đầu tiên của hệ thống ngụ ý.

Theo công thức (7), chúng tôi nhận được.

Câu trả lời: .

Ví dụ 4Đã cho: và. Tìm thấy .

Dung dịch. Kể từ đó.

Bởi vì, sau đó hoặc

Theo công thức (2), ta có. Về vấn đề này, từ đẳng thức (10) chúng ta có được hoặc.

Tuy nhiên, do điều kiện, do đó.

Ví dụ 5Được biết rằng. Tìm thấy .

Dung dịch. Theo định lý, ta có hai giá trị bằng nhau

Kể từ đó, hoặc. Bởi vì lúc đó .

Câu trả lời: .

Ví dụ 6Đã cho: và. Tìm thấy .

Dung dịch. Tính đến công thức (5), chúng tôi nhận được

Kể từ đó. Kể từ, và, sau đó.

Ví dụ 7 Hãy để và. Tìm thấy .

Dung dịch. Theo công thức (1), chúng ta có thể viết

Do đó, chúng tôi có hoặc. Nó được biết rằng và, do đó và.

Câu trả lời: .

Ví dụ 8 Tìm mẫu số của một cấp độ hình học giảm vô hạn nếu

và .

Dung dịch. Từ công thức (7) nó theo sau và . Từ đây và từ điều kiện của bài toán, ta thu được hệ phương trình

Nếu phương trình đầu tiên của hệ là bình phương, và sau đó chia phương trình kết quả cho phương trình thứ hai, sau đó chúng tôi nhận được

Hoặc .

Câu trả lời: .

Ví dụ 9 Tìm tất cả các giá trị mà dãy, là một cấp số nhân hình học.

Dung dịch. Hãy để, và. Theo công thức (2), xác định tính chất chính của một cấp tiến bộ hình học, chúng ta có thể viết hoặc.

Từ đây ta nhận được phương trình bậc hai, gốc rễ của ai và .

Hãy kiểm tra: nếu, sau đó, và; nếu, sau đó, và.

Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi có và, và trong thứ hai - và.

Câu trả lời: , .

Ví dụ 10giải phương trình

, (11)

ở đâu và .

Dung dịch. Vế trái của phương trình (11) là tổng của một cấp tiến hình học giảm vô hạn, trong đó và, với điều kiện: và.

Từ công thức (7) nó theo sau, Gì . Về mặt này, phương trình (11) có dạng hoặc . gốc phù hợp phương trình bậc hai là

Câu trả lời: .

Ví dụ 11. P dãy số dươngtạo thành một cấp số cộng, một - cấp số nhân, nó có liên quan gì. Tìm thấy .

Dung dịch. Tại vì chuỗi số học, sau đó (tính chất chính của một cấp số cộng). Vì, sau đó hoặc. Điều này nghĩa là , rằng tiến trình hình học là. Theo công thức (2), sau đó chúng tôi viết rằng.

Kể từ đó . Trong trường hợp đó, biểu thức có dạng hoặc. Theo điều kiện, vì vậy từ phương trìnhchúng tôi có được giải pháp duy nhất cho vấn đề đang được xem xét, I E. .

Câu trả lời: .

Ví dụ 12. Tính tổng

. (12)

Dung dịch. Nhân cả hai vế của đẳng thức (12) với 5 và nhận được

Nếu chúng ta trừ (12) khỏi biểu thức kết quả, sau đó

hoặc .

Để tính toán, chúng ta thay thế các giá trị vào công thức (7) và nhận được. Kể từ đó.

Câu trả lời: .

Các ví dụ về cách giải quyết vấn đề được đưa ra ở đây sẽ hữu ích cho các ứng viên trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh. Để nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải quyết vấn đề, liên quan đến một tiến trình hình học, bạn có thể sử dụng các hướng dẫn từ danh sách các tài liệu được đề xuất.

1. Tuyển tập các nhiệm vụ trong toán học cho các ứng viên nộp đơn vào các trường đại học kỹ thuật / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Mir i Obrazovanie, 2013. - 608 tr.

2. Suprun V.P. Toán cho học sinh trung học: các phần bổ sung của chương trình học. - M.: Cho vay / URSS, 2014. - 216 tr.

3. Medynsky M.M. Một khóa học hoàn chỉnh của toán học sơ cấp trong các nhiệm vụ và bài tập. Quyển 2: Dãy số và Tiến trình. - M.: Editus, 2015. - 208 tr.

Bạn có câu hỏi nào không?

Để nhận được sự giúp đỡ của một gia sư - đăng ký.

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.