Cách tìm chiều cao của hình thang bằng cách sử dụng các đường chéo. Cách tìm diện tích hình thang: công thức và ví dụ

Thực tế của DÙNG và GIA năm ngoái cho thấy các bài toán hình học gây khó khăn cho nhiều học sinh. Bạn có thể dễ dàng đối phó với chúng nếu bạn ghi nhớ tất cả các công thức cần thiết và thực hành giải quyết vấn đề.

Trong bài viết này, bạn sẽ thấy các công thức tìm diện tích hình thang, cũng như các ví dụ về các bài toán có lời giải. Bạn có thể bắt gặp những điều tương tự trong KIM tại các kỳ thi lấy chứng chỉ hoặc tại các kỳ thi olympiad. Do đó, hãy đối xử với chúng một cách cẩn thận.

Những gì bạn cần biết về hình thang?

Để bắt đầu, hãy nhớ rằng đu quay một tứ giác được gọi là, trong đó hai cạnh đối diện, chúng còn được gọi là đáy, song song với nhau và hai cạnh còn lại thì không.

Trong một hình thang, chiều cao (vuông góc với đáy) cũng có thể được bỏ qua. Đường giữa được vẽ - đây là một đường thẳng song song với các đáy và bằng một nửa tổng của chúng. Cũng như các đường chéo có thể giao nhau, tạo thành các góc nhọn và góc tù. Hoặc, trong một số trường hợp, ở một góc bên phải. Ngoài ra, nếu hình thang là cân, một vòng tròn có thể được ghi trong đó. Và mô tả một vòng tròn xung quanh nó.

Công thức diện tích hình thang

Đầu tiên, hãy xem xét các công thức tiêu chuẩn để tìm diện tích hình thang. Các cách tính diện tích của hình thang cân và đường cong sẽ được xem xét dưới đây.

Vì vậy, hãy tưởng tượng rằng bạn có một hình thang với các đáy là a và b, trong đó chiều cao h được hạ thấp xuống đáy lớn hơn. Tính diện tích của một hình trong trường hợp này thật dễ dàng. Bạn chỉ cần chia tổng độ dài của các đáy cho hai và nhân những gì xảy ra với chiều cao: S = 1/2(a + b)*h.

Hãy lấy một trường hợp khác: giả sử ngoài chiều cao, hình thang còn có đường trung tuyến là m. Chúng ta biết công thức tìm độ dài đường trung trực: m = 1/2(a + b). Do đó, chúng ta có thể đơn giản hóa công thức tính diện tích hình thang thành dạng sau: S = m * giờ. Nói cách khác, để tìm diện tích của hình thang, bạn cần nhân đường giữa với chiều cao.

Hãy xem xét thêm một phương án: các đường chéo d 1 và d 2 được vẽ theo hình thang, giao nhau không vuông góc α. Để tính diện tích của một hình thang như vậy, bạn cần chia đôi tích của các đường chéo và nhân những gì bạn nhận được với tội lỗi của góc giữa chúng: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Bây giờ hãy xem xét công thức tìm diện tích hình thang nếu không biết gì về nó ngoại trừ độ dài của tất cả các cạnh của nó: a, b, c và d. Đây là một công thức cồng kềnh và phức tạp, nhưng sẽ rất hữu ích nếu bạn nhớ nó trong trường hợp: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Nhân tiện, các ví dụ trên cũng đúng với trường hợp bạn cần công thức tính diện tích hình thang chữ nhật. Đây là một hình thang, cạnh của nó tiếp giáp với các đáy ở một góc vuông.

hình thang cân

Hình thang có các cạnh bằng nhau gọi là hình thang cân. Chúng ta sẽ xem xét một số biến thể của công thức tính diện tích hình thang cân.

Phương án thứ nhất: đối với trường hợp khi một đường tròn có bán kính r nội tiếp bên trong một hình thang cân, cạnh bên và đáy lớn hơn tạo thành một góc nhọn α. Một đường tròn có thể nội tiếp trong một hình thang với điều kiện là tổng độ dài các đáy của nó bằng tổng độ dài các cạnh.

Diện tích của một hình thang cân được tính như sau: nhân bình phương bán kính của đường tròn nội tiếp với bốn và chia tất cả cho sinα: S = 4r 2 /sinα. Một công thức diện tích khác là trường hợp đặc biệt cho quyền chọn khi góc giữa đáy lớn và mặt bên là 30 0: S = 8r2.

Tùy chọn thứ hai: lần này chúng ta lấy một hình thang cân, trong đó, ngoài ra, các đường chéo d 1 và d 2 được vẽ, cũng như chiều cao h. Nếu hai đường chéo của hình thang vuông góc với nhau thì chiều cao bằng một nửa tổng các đáy: h = 1/2(a + b). Biết được điều này, thật dễ dàng để chuyển đổi công thức diện tích hình thang đã quen thuộc với bạn thành dạng này: S = h2.

Công thức tính diện tích hình thang cong

Hãy bắt đầu bằng cách hiểu: hình thang cong là gì. Hãy tưởng tượng một trục tọa độ và đồ thị của hàm f liên tục và không âm không đổi dấu trong một đoạn cho trước trên trục x. Một hình thang cong được hình thành bởi đồ thị của hàm y \u003d f (x) - ở trên cùng, trục x - ở dưới cùng (đoạn) và ở hai bên - các đường thẳng được vẽ giữa các điểm a và b và đồ thị của chức năng.

Không thể tính diện tích của một hình không chuẩn như vậy bằng các phương pháp trên. Ở đây bạn cần áp dụng phân tích toán học và sử dụng tích phân. Cụ thể, công thức Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Trong công thức này, F là nguyên hàm của hàm trên khoảng đã chọn. Và diện tích của hình thang cong tương ứng với số gia tăng của đường đối trên một đoạn cho trước.

ví dụ về nhiệm vụ

Để làm cho tất cả các công thức này tốt hơn trong đầu của bạn, đây là một số ví dụ về các bài toán tìm diện tích hình thang. Sẽ là tốt nhất nếu trước tiên bạn cố gắng tự giải quyết các vấn đề và chỉ sau đó kiểm tra câu trả lời bạn nhận được bằng giải pháp làm sẵn.

Nhiệm vụ 1: Cho một hình thang. Đế lớn hơn là 11 cm, đế nhỏ hơn là 4 cm. Hình thang có các đường chéo, một đường chéo dài 12 cm, đường chéo kia dài 9 cm.

Lời giải: Dựng hình thang AMRS. Vẽ đường thẳng RX đi qua đỉnh P sao cho song song với đường chéo MC và cắt đường thẳng AC tại điểm X. Ta được tam giác APX.

Chúng ta sẽ xem xét hai hình thu được do các thao tác này: tam giác APX và hình bình hành CMPX.

Nhờ hình bình hành, chúng ta biết rằng PX = MC = 12 cm và CX = MP = 4 cm. Ta có thể tính cạnh AX của tam giác ARCH ở đâu: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Chúng ta cũng có thể chứng minh rằng tam giác ARCH là một góc vuông (để làm điều này, hãy áp dụng định lý Pitago - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Và tính diện tích của nó: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Tiếp theo, bạn cần chứng minh rằng các tam giác AMP và PCX có diện tích bằng nhau. Cơ sở sẽ là sự bằng nhau của các cạnh MP và CX (đã được chứng minh ở trên). Và cả chiều cao mà bạn hạ thấp ở các cạnh này - chúng bằng chiều cao của hình thang AMRS.

Tất cả điều này sẽ cho phép bạn khẳng định rằng S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Nhiệm vụ 2: Cho một KRMS hình thang. Các điểm O và E nằm trên các mặt bên của nó, trong khi OE và KS song song. Biết rằng diện tích của hình thang ORME và OXE theo tỷ lệ 1:5. PM = a và KS = b. Bạn cần tìm một OE.

Bài giải: Kẻ đường thẳng đi qua điểm M song song với RK, gọi giao điểm của nó với OE là T. A là giao điểm của đường thẳng đi qua điểm E song song với RK với đáy KS.

Hãy giới thiệu thêm một ký hiệu - OE = x. Cũng như chiều cao h 1 của tam giác TME và chiều cao h 2 của tam giác AEC (bạn có thể chứng minh độc lập sự giống nhau của các tam giác này).

Chúng ta sẽ giả sử rằng b > a. Diện tích của hình thang ORME và OXE có liên quan với nhau theo tỷ lệ 1:5, điều này cho phép chúng ta lập phương trình sau: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Hãy biến đổi và nhận: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Vì các tam giác TME và AEC đồng dạng nên ta có h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kết hợp cả hai mục và nhận: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Do đó, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Phần kết luận

Hình học không phải là môn khoa học dễ nhất, nhưng chắc chắn bạn sẽ có thể đối phó với các bài kiểm tra. Nó chỉ cần một chút kiên nhẫn trong việc chuẩn bị. Và, tất nhiên, nhớ tất cả các công thức cần thiết.

Chúng tôi đã cố gắng thu thập vào một nơi tất cả các công thức tính diện tích hình thang để bạn có thể sử dụng chúng khi chuẩn bị cho các kỳ thi và làm lại tài liệu.

Hãy nhớ chia sẻ bài viết này với bạn cùng lớp và bạn bè của bạn trên mạng xã hội. Hãy để có nhiều điểm tốt hơn cho Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước và GIA!

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Đối với một câu hỏi đơn giản "Làm thế nào để tìm chiều cao của hình thang?" có nhiều câu trả lời, tất cả vì có thể đưa ra các đầu vào khác nhau. Do đó, các công thức sẽ khác nhau.

Những công thức này có thể được ghi nhớ, nhưng chúng không khó để rút ra. Chỉ cần áp dụng các định lý đã học trước đó.

Ký hiệu được sử dụng trong công thức

Trong tất cả các ký hiệu toán học dưới đây, cách đọc các chữ cái này đều đúng.

Trong dữ liệu gốc: tất cả các bên

Để tìm chiều cao của hình thang trong trường hợp chung, bạn cần sử dụng công thức sau:

n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2). Số 1.

Không phải là ngắn nhất, nhưng nó cũng khá hiếm trong các nhiệm vụ. Bạn thường có thể sử dụng dữ liệu khác.

Công thức cho bạn biết cách tìm chiều cao của hình thang cân trong tình huống tương tự ngắn hơn nhiều:

n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2/4). Số 2.

Bài toán được đưa ra: các cạnh và các góc ở đáy dưới

Người ta cho rằng góc α tiếp giáp với cạnh có ký hiệu "c", tương ứng là góc β với cạnh d. Sau đó, công thức về cách tìm chiều cao của hình thang, nói chung, sẽ là:

n \u003d c * sin α \u003d d * sin β. Số 3.

Nếu hình là cân, thì bạn có thể sử dụng tùy chọn này:

n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α. Số 4.

Được biết đến với: đường chéo và góc giữa chúng

Số lượng thường được biết đến được thêm vào những dữ liệu này. Ví dụ, các căn cứ hoặc đường giữa. Nếu các căn cứ được đưa ra, thì để trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm chiều cao của hình thang, công thức sau đây rất hữu ích:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + c) hoặc n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + c). Số 5.

Điều này là cho sự xuất hiện chung của hình. Nếu cung cấp cân, thì bản ghi sẽ được chuyển đổi như sau:

n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a + c) hoặc n \u003d (d 1 2 * sin δ) / (a + c). Số 6.

Khi nhiệm vụ xử lý đường giữa của hình thang, thì các công thức tìm chiều cao của nó sẽ như sau:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m hoặc n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Số 5a.

n = (d 1 2 * sin γ)/2m hoặc n = (d 1 2 * sin δ)/2m. Số 6a.

Trong số các đại lượng đã biết: diện tích có đáy hoặc đường giữa

Đây có lẽ là công thức ngắn nhất và đơn giản nhất để tìm chiều cao của hình thang. Đối với một con số tùy ý, nó sẽ như thế này:

n \u003d 2S / (a + c). Số 7.

Nó giống nhau, nhưng với một dòng ở giữa nổi tiếng:

n = S/m. Số 7a.

Thật kỳ lạ, nhưng đối với một hình thang cân, các công thức sẽ giống nhau.

nhiệm vụ

số 1. Để xác định các góc ở đáy dưới của hình thang.

Tình trạng. Cho một hình thang cân có cạnh là 5 cm, đáy của nó là 6 và 12 cm, cần tìm sin của một góc nhọn.

Giải pháp.Để thuận tiện, một ký hiệu nên được giới thiệu. Gọi đỉnh dưới bên trái là A, tất cả các đỉnh còn lại theo chiều kim đồng hồ: B, C, D. Do đó, đáy dưới sẽ được ký hiệu là AD, đáy trên là BC.

Cần vẽ các độ cao từ các đỉnh B và C. Các điểm chỉ ra các điểm cuối của độ cao sẽ được ký hiệu tương ứng là H 1 và H 2. Vì trong hình BCH 1 H 2 tất cả các góc đều vuông nên nó là hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là đoạn H 1 H 2 là 6 cm.

Bây giờ chúng ta cần xem xét hai hình tam giác. Chúng bằng nhau vì chúng là hình chữ nhật có cùng cạnh huyền và các cạnh thẳng đứng. Do đó, các chân nhỏ hơn của chúng cũng bằng nhau. Do đó, chúng có thể được định nghĩa là một thương số của sự khác biệt. Cái sau thu được bằng cách trừ phần trên khỏi phần dưới. Nó sẽ chia hết cho 2. Tức là 12 - 6 phải chia hết cho 2. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).

Bây giờ, từ định lý Pythagore, bạn cần tìm chiều cao của hình thang. Nó là cần thiết để tìm sin của một góc. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (cm).

Sử dụng kiến thức về cách tọa độ sin của một góc nhọn trong một tam giác có một góc vuông, chúng ta có thể viết biểu thức sau: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0,8.

Trả lời. Sin mong muốn là 0,8.

số 2. Để tìm chiều cao của hình thang từ một tiếp tuyến đã biết.

Tình trạng.Đối với hình thang cân, bạn cần tính chiều cao. Biết các đáy của nó là 15 và 28 cm, tang của một góc nhọn đã cho là: 13/11.

Giải pháp. Việc chỉ định các đỉnh giống như trong bài toán trước. Một lần nữa, bạn cần vẽ hai chiều cao từ các góc trên. Bằng cách tương tự với giải pháp của vấn đề đầu tiên, bạn cần tìm AH 1 = H 2 D, được định nghĩa là hiệu giữa 28 và 15, chia cho hai. Sau khi tính toán, hóa ra: 6,5 cm.

Vì tiếp tuyến là tỷ số của hai chân nên ta có thể viết đẳng thức sau: tg α \u003d AN 1 / VN 1. Hơn nữa, tỷ lệ này bằng 13/11 (theo điều kiện). Vì đã biết AH 1 nên có thể tính chiều cao: HH 1 \u003d (11 * 6,5) / 13. Các phép tính đơn giản cho kết quả là 5,5 cm.

Trả lời. Chiều cao mong muốn là 5,5 cm.

Số 3. Để tính chiều cao từ các đường chéo đã biết.

Tình trạng. Người ta biết về một hình thang có các đường chéo của nó là 13 và 3 cm, bạn cần tìm chiều cao của nó nếu tổng các đáy là 14 cm.

Giải pháp. Hãy để chỉ định của hình giống như trước đây. Giả sử AC là đường chéo nhỏ hơn. Từ đỉnh C, bạn cần vẽ chiều cao mong muốn và chỉ định nó là CH.

Bây giờ chúng ta cần thực hiện một bản dựng bổ sung. Từ góc C, bạn cần vẽ một đường thẳng song song với đường chéo lớn hơn và tìm giao điểm của nó với phần tiếp theo của cạnh AD. Nó sẽ là D 1 . Hóa ra một hình thang mới, bên trong có hình tam giác ASD 1 được vẽ. Đó là những gì cần thiết để tiếp tục giải quyết vấn đề.

Chiều cao mong muốn cũng sẽ giống nhau trong hình tam giác. Do đó, bạn có thể sử dụng các công thức đã học trong chủ đề khác. Chiều cao của một tam giác được định nghĩa là tích của số 2 và diện tích, chia cho cạnh mà nó được vẽ. Và cạnh bên hóa ra bằng tổng các đáy của hình thang ban đầu. Điều này xuất phát từ quy tắc mà việc xây dựng bổ sung được thực hiện.

Trong tam giác đang xét, tất cả các cạnh đều đã biết. Để thuận tiện, chúng tôi giới thiệu ký hiệu x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Bây giờ bạn có thể tính diện tích bằng định lý Heron. Bán chu vi sẽ bằng p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (cm). Khi đó công thức tính diện tích sau khi thay thế các giá trị sẽ như sau: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2 ).

Trả lời. Chiều cao là 6√10 / 7 cm.

Số 4. Để tìm chiều cao ở các cạnh.

Tình trạng. Cho một hình thang có ba cạnh là 10 cm và cạnh thứ tư là 24 cm, bạn cần tìm chiều cao của nó.

Giải pháp. Vì hình là cân nên cần có công thức số 2. Bạn chỉ cần thay tất cả các giá trị vào đó và tính. Nó sẽ trông giống thế này:

n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (cm).

Trả lời. h = √51 cm.

Một hình thang nhiều cạnh... Nó có thể là tùy ý, cân hoặc hình chữ nhật. Và trong mỗi trường hợp, bạn cần biết cách tìm diện tích hình thang. Tất nhiên, cách dễ nhất để nhớ các công thức cơ bản. Nhưng đôi khi sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng cái có nguồn gốc có tính đến tất cả các đặc điểm của một hình hình học cụ thể.

Một vài từ về hình thang và các yếu tố của nó

Mọi tứ giác có hai cạnh đối song song đều gọi là hình thang. Nói chung, chúng không bằng nhau và được gọi là căn cứ. Cái lớn hơn là thấp hơn, và cái kia là trên.

Hai bên còn lại là bên. Trong một hình thang tùy ý, chúng có độ dài khác nhau. Nếu chúng bằng nhau thì hình đó trở thành cân.

Nếu đột nhiên góc giữa một cạnh bất kỳ và đáy bằng 90 độ thì hình thang là hình chữ nhật.

Tất cả các tính năng này có thể giúp giải quyết vấn đề về cách tìm diện tích hình thang.

Trong số các yếu tố của hình, có thể không thể thiếu trong việc giải quyết vấn đề, chúng ta có thể phân biệt như sau:

chiều cao, tức là một đoạn vuông góc với cả hai đáy;
đường giữa, có hai đầu ở giữa các cạnh.

Nêu công thức tính diện tích khi biết đáy và chiều cao?

Biểu thức này được đưa ra là biểu thức chính vì thường có thể biết các đại lượng này ngay cả khi chúng không được đưa ra một cách rõ ràng. Vì vậy, để hiểu cách tìm diện tích hình thang, bạn cần cộng cả hai đáy và chia đôi. Giá trị kết quả sau đó được nhân thêm với giá trị chiều cao.

Nếu chúng ta chỉ định các đáy bằng các chữ cái a 1 và a 2, chiều cao - n, thì công thức tính diện tích sẽ như sau:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Công thức tính diện tích khi biết chiều cao và đường trung tuyến

Nếu bạn nhìn kỹ vào công thức trước đó, bạn sẽ dễ dàng nhận thấy rằng nó chứa giá trị của dòng ở giữa một cách rõ ràng. Cụ thể, tổng của các cơ sở chia cho hai. Đặt đường giữa được ký hiệu bằng chữ l, khi đó công thức tính diện tích sẽ trở thành:

S \u003d l * n.

Khả năng tìm diện tích theo đường chéo

Phương pháp này sẽ hữu ích nếu biết góc tạo bởi chúng. Giả sử rằng các đường chéo được biểu thị bằng các chữ cái d 1 và d 2 và các góc giữa chúng là α và β. Sau đó, công thức về cách tìm diện tích hình thang sẽ được viết như sau:

S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * sin α.

Trong biểu thức này, người ta có thể dễ dàng thay thế α bằng β. Kết quả sẽ không thay đổi.

Làm thế nào để tìm diện tích nếu biết tất cả các cạnh của hình?

Cũng có những tình huống khi biết chính xác các cạnh trong hình này. Công thức này rườm rà và khó nhớ. Nhưng có lẽ. Đặt các cạnh có ký hiệu: trong 1 và trong 2, cơ sở a 1 lớn hơn a 2. Khi đó công thức diện tích có dạng sau:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (trong 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + trong 1 2 - trong 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) ) ] 2 ).

Các phương pháp tính diện tích hình thang cân

Đầu tiên liên quan đến thực tế là một vòng tròn có thể được ghi trong đó. Và, khi biết bán kính của nó (được ký hiệu là chữ r), cũng như góc ở đáy - γ, bạn có thể sử dụng công thức sau:

S \u003d (4 * r 2) / sin γ.

Công thức chung cuối cùng, dựa trên việc biết tất cả các cạnh của hình, được đơn giản hóa rất nhiều do các cạnh có cùng giá trị:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (trong 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Các phương pháp tính diện tích hình thang chữ nhật

Rõ ràng là bất kỳ điều nào ở trên đều phù hợp với một con số tùy ý. Nhưng đôi khi thật hữu ích khi biết về một đặc điểm của hình thang như vậy. Nó nằm ở chỗ hiệu của bình phương độ dài các đường chéo bằng hiệu bình phương của các đáy.

Thường thì các công thức của hình thang bị quên, trong khi các biểu thức về diện tích của hình chữ nhật và hình tam giác được ghi nhớ. Sau đó, bạn có thể áp dụng một phương pháp đơn giản. Chia hình thang thành hai hình nếu nó là hình chữ nhật hoặc ba. Một cái chắc chắn sẽ là hình chữ nhật và cái thứ hai hoặc hai cái còn lại sẽ là hình tam giác. Sau khi tính diện tích của những hình này, bạn chỉ cần cộng chúng lại.

Đây là một cách khá đơn giản để tìm diện tích hình thang chữ nhật.

Nếu biết tọa độ các đỉnh của hình thang thì sao?

Trong trường hợp này, bạn sẽ cần sử dụng một biểu thức cho phép bạn xác định khoảng cách giữa các điểm. Nó có thể được áp dụng ba lần: để biết cả đáy và một chiều cao. Và sau đó chỉ cần áp dụng công thức đầu tiên, được mô tả cao hơn một chút.

Có thể đưa ra một ví dụ để minh họa cho phương pháp này. Cho các đỉnh có tọa độ A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Ta cần biết diện tích của hình.

Trước khi tìm diện tích hình thang, bạn cần tính độ dài của các đáy từ tọa độ. Bạn sẽ cần công thức này:

độ dài đoạn = √((hiệu của tọa độ đầu tiên của các điểm) 2 + (hiệu của tọa độ thứ hai của các điểm) 2 ).

Đáy trên được ký hiệu là AB, nghĩa là chiều dài của nó sẽ bằng √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Đáy dưới là CD = √ ((10-1 ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Bây giờ bạn cần vẽ chiều cao từ trên xuống dưới. Gọi điểm đầu của đoạn thẳng là A. Điểm cuối của đoạn thẳng nằm trên cạnh đáy tại điểm có tọa độ (5; 1), gọi điểm đó là H. Độ dài đoạn thẳng AN bằng √ ((5 -5)2 + (7-1)2 ) = √36 = 6.

Nó chỉ còn lại để thay thế các giá trị kết quả trong công thức tính diện tích hình thang:

S = ((3 + 9)/2) * 6 = 36.

Vấn đề được giải quyết mà không có đơn vị đo lường, bởi vì tỷ lệ của lưới tọa độ không được chỉ định. Nó có thể là milimét hoặc mét.

ví dụ về nhiệm vụ

Số 1. Điều kiện. Góc giữa hai đường chéo của một hình thang tùy ý đã biết, nó bằng 30 độ. Đường chéo nhỏ hơn có giá trị là 3 dm và đường chéo thứ hai lớn hơn nó 2 lần. Bạn cần tính diện tích hình thang.

Giải pháp. Trước tiên, bạn cần tìm ra độ dài của đường chéo thứ hai, bởi vì nếu không có điều này, sẽ không thể tính được câu trả lời. Tính ra thì dễ, 3 * 2 = 6 (dm).

Bây giờ bạn cần sử dụng công thức thích hợp cho diện tích:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (dm 2). Vấn đề được giải quyết.

Trả lời: diện tích hình thang là 4,5 dm 2 .

Số 2. Điều kiện. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AD và BC. Điểm E là trung điểm của cạnh SD. Từ đó kẻ một đường vuông góc với đoạn thẳng AB, điểm cuối của đoạn thẳng này được biểu thị bằng chữ H. Biết độ dài của AB và EH lần lượt là 5 cm và 4 cm, cần tính diện tích của hình thang.

Giải pháp. Trước tiên, bạn cần phải thực hiện một bản vẽ. Vì giá trị của đường vuông góc nhỏ hơn cạnh mà nó được vẽ nên hình thang sẽ được kéo dài lên trên một chút. Vì vậy, EH sẽ nằm trong hình.

Để thấy rõ tiến trình giải quyết vấn đề, bạn sẽ cần thực hiện một công trình bổ sung. Cụ thể, vẽ một đường thẳng song song với cạnh AB. Các giao điểm của đường thẳng này với AD - P và với phần tiếp theo của BC - X. Kết quả hình VKhRA là một hình bình hành. Hơn nữa, diện tích của nó bằng với yêu cầu. Điều này là do các hình tam giác thu được trong quá trình xây dựng bổ sung đều bằng nhau. Điều này xuất phát từ sự bằng nhau của cạnh và hai góc kề với nó, một góc thẳng đứng, góc kia nằm ngang.

Bạn có thể tìm diện tích của hình bình hành bằng công thức chứa tích của cạnh và chiều cao hạ xuống trên nó.

Vậy diện tích hình thang là 5 * 4 = 20 cm 2 .

Trả lời: S \u003d 20 cm 2 .

Số 3. Điều kiện. Các phần tử của hình thang cân có ý nghĩa như sau: đáy dưới là 14 cm, đáy trên là 4 cm, góc nhọn là 45º. Chúng ta cần tính diện tích của nó.

Giải pháp. Gọi đáy bé hơn là BC. Đường cao kẻ từ điểm B gọi là BH. Vì góc là 45º nên tam giác ABH sẽ là tam giác vuông và cân. Vậy AH=BH. Và AN rất dễ tìm. Nó bằng một nửa sự khác biệt của các cơ sở. Tức là (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Các cơ sở được biết đến, chiều cao được tính. Bạn có thể sử dụng công thức đầu tiên, được xem xét ở đây cho một hình thang tùy ý.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Trả lời: Diện tích mong muốn là 45 cm 2.

Số 4. Điều kiện. Có một hình thang tùy ý ABCD. Trên các cạnh của nó lấy các điểm O và E sao cho OE song song với đáy AD. Diện tích hình thang của AOED lớn gấp 5 lần diện tích của CFE. Tính giá trị của OE nếu biết độ dài cơ sở.

Giải pháp. Cần vẽ hai đường thẳng song song với AB: đường thứ nhất đi qua điểm C, giao điểm của nó với OE - điểm T; thứ hai qua E và giao điểm với AD sẽ là M.

Đặt ẩn số OE=x. Chiều cao của hình thang OVSE bé hơn là n 1, AOED lớn hơn là n 2 .

Vì diện tích của hai hình thang này có liên quan từ 1 đến 5 nên ta có thể viết đẳng thức sau:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Chiều cao và cạnh của các hình tam giác là tỷ lệ trong xây dựng. Do đó, chúng ta có thể viết một đẳng thức khác:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a 1 - x).

Trong hai mục cuối cùng ở phía bên trái có các giá trị bằng nhau, có nghĩa là chúng ta có thể viết rằng (x + a 1) / (5 (x + a 2)) bằng (x - a 2) / (a 1 - x).

Ở đây một số chuyển đổi được yêu cầu. Nhân chéo trước. Dấu ngoặc đơn sẽ xuất hiện biểu thị sự khác biệt của các bình phương, sau khi áp dụng công thức này, bạn sẽ có được một phương trình ngắn.

Trong đó, bạn cần mở ngoặc và di chuyển tất cả các số hạng có dấu "x" chưa biết sang trái, sau đó trích xuất căn bậc hai.

Trả lời: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2)/6).

(S) một hình thang, hãy bắt đầu tính chiều cao (h) bằng cách tìm nửa tổng độ dài các cạnh song song: (a+b)/2. Sau đó chia diện tích cho giá trị thu được - kết quả sẽ là giá trị mong muốn: h = S / ((a + b) / 2) = 2 * S / (a + b).

Biết độ dài của đường trung bình (m) và diện tích (S), chúng ta có thể đơn giản hóa công thức từ bước trước. Theo định nghĩa, đường giữa của một hình thang bằng một nửa tổng các đáy của nó, vì vậy để tính chiều cao (h) của một hình, chỉ cần chia diện tích cho chiều dài của đường giữa: h = S/m.

Bạn có thể xác định chiều cao (h) của cái này ngay cả khi chỉ cho chiều dài của một trong các cạnh (c) và góc (α) tạo bởi nó và đáy dài. Trong trường hợp này, người ta nên xem xét, được hình thành bởi mặt này, chiều cao và một đoạn ngắn của đế, cắt đứt chiều cao hạ xuống trên nó. Tam giác này sẽ vuông góc, cạnh đã biết sẽ là cạnh huyền trong đó và chiều cao sẽ là chân. Tỷ lệ giữa độ dài và cạnh huyền bằng góc đối diện với chân, do đó, để tính chiều cao của hình thang, hãy nhân chiều dài đã biết của cạnh với sin của góc đã biết: h \u003d c * sin (α ).

Một tam giác giống nhau sẽ được coi là nếu độ dài của cạnh bên (c) và góc (β) giữa nó và đáy (ngắn) còn lại được cho. Trong trường hợp này, góc giữa cạnh bên (cạnh huyền) và chiều cao (chân) sẽ nhỏ hơn 90° so với góc được biết từ các điều kiện: β-90°. Vì tỷ lệ giữa độ dài của cạnh và cạnh huyền bằng cosin của góc giữa chúng, nên tính chiều cao của hình thang bằng cách nhân cosin của góc giảm 90 ° với chiều dài của cạnh: h \ u003d c*cos(β-90°).

Nếu một đường tròn đã biết bán kính (r) được ghi, việc tính toán chiều cao (h) sẽ rất đơn giản và sẽ không yêu cầu bất kỳ tham số nào khác. Theo định nghĩa, một đường tròn như vậy phải có mỗi đáy chỉ có một điểm và các điểm này sẽ nằm trên cùng một đường thẳng với tâm. Điều này có nghĩa là khoảng cách giữa chúng sẽ bằng đường kính (gấp đôi bán kính) được vẽ vuông góc với các đáy, nghĩa là trùng với chiều cao của hình thang: h=2*r.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh bên song song và hai cạnh còn lại thì không. Đường cao của hình thang là đoạn vuông góc giữa hai đường thẳng song song. Tùy thuộc vào dữ liệu nguồn, nó có thể được tính toán theo những cách khác nhau.

Bạn sẽ cần

Kiến thức về các cạnh, đáy, đường giữa của hình thang và tùy chọn diện tích và/hoặc chu vi của nó.

Chỉ dẫn

Giả sử có một hình thang với dữ liệu giống như trong Hình 1. Hãy vẽ 2 chiều cao, chúng ta có 2 cạnh nhỏ hơn với các đáy là tam giác vuông. Hãy biểu thị cuộn nhỏ hơn là x. Anh ấy ở trong

hình thang gọi là tứ giác chỉ có hai các cạnh song song với nhau.

Chúng được gọi là các cơ sở của hình, phần còn lại - các mặt. Hình bình hành được coi là trường hợp đặc biệt của một hình. Ngoài ra còn có một hình thang cong, bao gồm một đồ thị hàm số. Các công thức tính diện tích hình thang bao gồm hầu hết tất cả các yếu tố của nó và giải pháp tốt nhất được chọn tùy thuộc vào các giá trị đã cho.
Các vai trò chính trong hình thang được gán cho chiều cao và đường giữa. đường giữa- đây là đường nối trung điểm của các cạnh. Chiều cao hình thang được vẽ vuông góc từ góc trên cùng đến đáy.
Diện tích của một hình thang qua chiều cao bằng tích của một nửa tổng chiều dài của các cơ sở, nhân với chiều cao:

Nếu đường trung tuyến được biết theo các điều kiện, thì công thức này được đơn giản hóa rất nhiều, vì nó bằng một nửa tổng độ dài của các cơ sở:

Nếu theo các điều kiện, độ dài của tất cả các cạnh được đưa ra, thì chúng ta có thể xem xét một ví dụ về tính diện tích của hình thang thông qua các dữ liệu này:

Giả sử cho một hình thang có các đáy a = 3 cm, b = 7 cm và các cạnh c = 5 cm, d = 4 cm.Tìm diện tích của hình:

Diện tích hình thang cân

Một trường hợp riêng biệt là hình thang cân hay còn được gọi là hình thang cân.
Một trường hợp đặc biệt cũng là tìm diện tích của một hình thang cân (isosceles). Công thức được suy ra theo nhiều cách khác nhau - qua các đường chéo, qua các góc kề với đáy và bán kính của đường tròn nội tiếp.
Nếu độ dài của các đường chéo được chỉ định bởi các điều kiện và góc giữa chúng đã biết, bạn có thể sử dụng công thức sau:

Hãy nhớ rằng các đường chéo của hình thang cân bằng nhau!

Tức là khi biết một trong các đáy, cạnh và góc của chúng, bạn có thể dễ dàng tính diện tích.

Diện tích hình thang cong

Một trường hợp riêng biệt là hình thang cong. Nó nằm trên trục tọa độ và giới hạn trong đồ thị của một hàm số liên tục dương.

Cơ sở của nó nằm trên trục X và được giới hạn ở hai điểm:
Tích phân giúp tính diện tích hình thang có đường cong.
Công thức được viết như thế này:

Hãy xem xét một ví dụ về tính diện tích của một hình thang cong. Công thức yêu cầu một số kiến thức nhất định để làm việc với các tích phân nhất định. Đầu tiên, hãy phân tích giá trị của tích phân xác định:

Ở đây F(a) là giá trị của hàm nguyên hàm f(x) tại điểm a , F(b) là giá trị của hàm nguyên hàm f(x) tại điểm b .

Bây giờ chúng ta hãy giải quyết vấn đề. Hình này cho thấy một hình thang cong giới hạn bởi một hàm. Chức năng
Ta cần tìm diện tích của hình đã chọn là hình thang cong giới hạn trên bởi đồ thị, bên phải là đường thẳng x = (-8), bên trái là đường thẳng x = (-8) 10) và trục OX bên dưới.
Chúng tôi sẽ tính diện tích của hình này bằng công thức:

Chúng tôi được cung cấp một chức năng bởi các điều kiện của vấn đề. Sử dụng nó, chúng tôi sẽ tìm thấy các giá trị của nguyên hàm tại mỗi điểm của chúng tôi:

Hiện nay
Trả lời: diện tích của một hình thang cong đã cho là 4.

Không có gì khó khăn trong việc tính toán giá trị này. Chỉ có sự cẩn thận tối đa trong tính toán là quan trọng.