Cách xác định trọng tâm của một hình không đều. Tìm trọng tâm của cơ thể bạn

Tác giả: Hãy lấy một cơ thể hình dạng tùy ý. Có thể treo nó trên một sợi để sau khi treo nó vẫn giữ nguyên vị trí của nó (tức là không bắt đầu quay) khi không tí nàođịnh hướng ban đầu (hình 27.1)?

Nói cách khác, có một điểm như vậy, liên quan đến tổng các mômen của các lực hấp dẫn tác động lên các phần khác nhau của cơ thể, sẽ bằng không tại không tí nàođịnh hướng của cơ thể trong không gian?

Người đọc: Vâng tôi cũng nghĩ thế. Điểm như vậy được gọi là trọng tâm của cơ thể.

Bằng chứng.Để đơn giản, hãy xem xét một vật thể ở dạng một tấm phẳng có hình dạng tùy ý được định hướng tùy ý trong không gian (Hình 27.2). Lấy hệ tọa độ X 0tại với gốc tọa độ tại tâm - một điểm Với, sau đó x C = 0, tại C = 0.

Chúng tôi đại diện cho cơ thể này như một tập hợp của một số lượng lớn các khối điểm tôi, vị trí của mỗi trong số đó được cho bởi vectơ bán kính.

Theo định nghĩa của khối tâm và tọa độ x C = .

Vì trong hệ tọa độ của chúng ta x C= 0, sau đó. Hãy nhân phương trình này với g và lấy

Như có thể thấy từ hình. 27,2, | x tôi| là bờ vai của sức mạnh. Và nếu x tôi> 0, thì mômen của lực Tôi tôi> 0 và nếu x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x tôi thời điểm của lực lượng sẽ là M i = m i gx i. Khi đó đẳng thức (1) tương đương với, trong đó Tôi tôi là mômen của trọng lực. Và điều này có nghĩa là với sự định hướng tùy ý của cơ thể, tổng các mômen của lực hấp dẫn tác dụng lên cơ thể sẽ bằng 0 so với khối tâm của nó.

Để cho cơ thể chúng ta đang xem xét ở trạng thái cân bằng, cần phải áp dụng cho nó tại một điểm Với lực lượng T = mg hướng thẳng đứng lên trên. Thời điểm của lực này về điểm Với bằng không.

Vì lý luận của chúng tôi không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào vào cách định hướng chính xác của cơ thể trong không gian, chúng tôi đã chứng minh rằng trọng tâm trùng với khối tâm, đó là điều cần phải chứng minh.

Bài toán 27.1. Tìm trọng tâm của một thanh không trọng lượng có chiều dài l, ở hai đầu của hai khối lượng điểm được cố định t 1 và t 2 .

t 1 t 2 l	Quyết định. Chúng ta sẽ không tìm trọng tâm mà tìm trọng tâm (vì chúng là một và giống nhau). Hãy giới thiệu trục X(Hình 27.3). Cơm. 27.3
x C =?

Trả lời: xa khối lượng t 1 .

NGỪNG LẠI! Tự quyết định: B1-B3.

Tuyên bố 1 . Nếu một vật phẳng đồng chất có trục đối xứng thì trọng tâm nằm trên trục này.

Thật vậy, đối với bất kỳ khối lượng điểm nào tôi, nằm ở bên phải của trục đối xứng, có cùng một khối lượng điểm nằm đối xứng với khối đầu tiên (Hình 27.4). Trong trường hợp này, tổng các mômen của các lực.

Vì toàn bộ cơ thể có thể được biểu diễn thành các cặp điểm giống nhau, nên tổng mômen trọng lực so với bất kỳ điểm nào nằm trên trục đối xứng bằng không, có nghĩa là trọng tâm của cơ thể cũng nằm trên trục này. Điều này dẫn đến một kết luận quan trọng: nếu vật thể có một số trục đối xứng, thì trọng tâm nằm ở giao điểm của các trục này(Hình 27.5).

Cơm. 27,5

Tuyên bố 2. Nếu hai vật có khối lượng t 1 và t 2 được kết nối thành một, khi đó trọng tâm của một vật như vậy sẽ nằm trên một đường thẳng nối giữa trọng tâm của vật thứ nhất và thứ hai (Hình 27.6).

Cơm. 27,6 Cơm. 27,7

Bằng chứng. Chúng ta hãy sắp xếp vật thể tổng hợp sao cho đoạn nối trọng tâm của các vật thể là phương thẳng đứng. Khi đó tổng các mômen trọng lực của vật thứ nhất đối với chất điểm Với 1 bằng 0 và tổng các mômen hấp dẫn của vật thứ hai về điểm Với 2 là 0 (Hình 27.7).

thông báo rằng vai trọng lực của bất kỳ khối lượng điểm nào t tôi tương tự đối với bất kỳ điểm nào trên phân khúc Với 1 Với 2, và do đó mômen trọng lực so với bất kỳ điểm nào nằm trên đoạn Với 1 Với 2 cái giống nhau. Do đó, trọng lực của toàn bộ cơ thể bằng 0 đối với bất kỳ điểm nào trên đoạn Với 1 Với 2. Như vậy, trọng tâm của vật thể hỗn hợp nằm trên đoạn Với 1 Với 2 .

Tuyên bố 2 ngụ ý một kết luận thực tế quan trọng, được trình bày rõ ràng dưới dạng hướng dẫn.

hướng dẫn,

Làm thế nào để tìm trọng tâm của một vật cứng nếu nó có thể bị phá vỡ

thành các phần, vị trí của các trọng tâm của mỗi phần đã biết

1. Thay mỗi bộ phận bằng một khối lượng nằm ở trọng tâm của bộ phận đó.

2. Tìm Trung tâm của lực hấp dẫn(và điều này giống với trọng tâm) của hệ kết quả là các khối lượng điểm, chọn một hệ tọa độ thuận tiện X 0tại, theo công thức:

Thật vậy, chúng ta hãy định vị phần thân phức hợp sao cho đoạn Với 1 Với 2 nằm ngang, và chúng tôi sẽ treo nó trên các chủ đề tại các điểm Với 1 và Với 2 (Hình 27.8, một). Rõ ràng là cơ thể sẽ ở trạng thái cân bằng. Và sự cân bằng này sẽ không bị xáo trộn nếu chúng ta thay thế mỗi cơ thể bằng các khối điểm t 1 và t 2 (Hình 27.8, b).

Cơm. 27,8

NGỪNG LẠI! Hãy tự quyết định: C3.

Bài toán 27.2. Viên bi khối lượng được đặt ở hai đỉnh của một tam giác đều t tất cả mọi người. Đỉnh thứ ba chứa một quả cầu khối lượng 2 t(Hình 27.9, một). Cạnh tam giác một. Xác định trọng tâm của hệ này.

t 2t một	Cơm. 27,9
x C = ? tại C = ?

Quyết định. Chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ X 0tại(Hình 27.9, b). sau đó

,

.

Trả lời: x C = một/2; ; trọng tâm nằm ở nửa chiều cao QUẢNG CÁO.

Chủ đề này tương đối dễ để nắm vững, nhưng nó cực kỳ quan trọng khi nghiên cứu quá trình độ bền của vật liệu. Sự chú ý chính ở đây cần được chú ý đến việc giải các bài toán với cả hình phẳng và hình học, và với các biên dạng cán tiêu chuẩn.

Câu hỏi để kiểm soát bản thân

1. Trọng tâm của các lực song song là gì?

Tâm của các lực song song là điểm mà đường của hệ quả của các lực song song tác dụng tại các điểm đã cho đi qua, với bất kỳ sự thay đổi nào về hướng của các lực này trong không gian.

2. Cách tìm tọa độ trọng tâm của các lực song song?

Để xác định tọa độ trọng tâm của các lực song song, ta sử dụng định lý Varignon.

Trục tương đối x

Mx (R) = ΣMx (Fk), - y C R = Σy kFk và y C = Σy kFk / Σ Fk .

Trục tương đối y

M y (R) = ΣM y (Fk), - x C R = Σx kFk và x C = Σx kFk / Σ Fk .

Để xác định tọa độ z C , xoay tất cả các lực một góc 90 ° để chúng trở nên song song với trục y (Hình 1.5, b). sau đó

M z (R) = ΣM z (Fk), - z C R = Σz kFk và z C = Σz kFk / Σ Fk .

Do đó, công thức xác định vectơ bán kính của tâm các lực song song có dạng

r C = Σr kFk / Σ Fk.

3. Trọng tâm của vật là gì?

Trung tâm của lực hấp dẫn - một điểm luôn kết nối với một vật rắn mà qua đó kết quả của lực hấp dẫn tác động lên các phần tử của vật thể này đi qua bất kỳ vị trí nào của vật thể trong không gian. Đối với vật thể đồng chất có tâm đối xứng (hình tròn, quả bóng, hình lập phương,…) thì trọng tâm đặt tại tâm đối xứng của vật thể. Vị trí của trọng tâm của một vật cứng trùng với vị trí của khối tâm của nó.

4. Làm thế nào để tìm được trọng tâm của hình chữ nhật, tam giác, hình tròn?

Để tìm trọng tâm của một tam giác, bạn cần vẽ một tam giác - một hình gồm ba đoạn thẳng nối với nhau tại ba điểm. Trước khi tìm trọng tâm của hình, ta cần dùng thước để đo độ dài một cạnh của hình tam giác. Ở giữa cạnh, đặt một dấu, sau đó nối đỉnh đối diện và giữa đoạn bằng một đoạn thẳng gọi là trung tuyến. Lặp lại thuật toán tương tự với cạnh thứ hai của tam giác và sau đó với cạnh thứ ba. Kết quả công việc của bạn sẽ là ba trung tuyến cắt nhau tại một điểm, đó sẽ là trọng tâm của tam giác. Nếu cần xác định trọng tâm của đĩa tròn đồng chất thì trước hết phải tìm giao điểm của các đường kính của hình tròn. Nó sẽ là trọng tâm của cơ thể này. Xét các hình như một quả bóng, một cái vòng và một hình chữ nhật đồng chất có hình bình hành, chúng ta có thể tin chắc rằng trọng tâm của cái vòng sẽ nằm ở tâm của hình, nhưng nằm ngoài các điểm của nó, thì trọng tâm của quả bóng là tâm hình học của hình cầu, và trong trường hợp thứ hai, trọng tâm là các đường chéo giao nhau của một hình chữ nhật có hình bình hành.

5. Làm thế nào để tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt phẳng ghép?

Phương pháp phân vùng: Nếu một hình phẳng có thể chia thành một số hữu hạn các phần như vậy, ứng với mỗi phần đã biết vị trí của trọng tâm, thì tọa độ của trọng tâm của toàn bộ hình được xác định theo công thức:

X C = (s k x k) / S; Y C = (s k y k) / S,

trong đó x k, y k là tọa độ trọng tâm của các phần của hình;

s k - khu vực của chúng;

S \ u003d s k - diện tích của \ u200b \ u200b toàn bộ hình.

6. Trọng tâm

1. Trường hợp nào thì chỉ cần xác định một tọa độ bằng phép tính là đủ để xác định trọng tâm?

Trong trường hợp đầu tiên, để xác định trọng tâm, chỉ cần xác định một tọa độ là đủ. Cơ thể được chia thành một số phần hữu hạn, với mỗi phần là vị trí của trọng tâm. C và khu vực S đã biết. Ví dụ, hình chiếu của một cơ thể lên một mặt phẳng xOy (Hình 1.) có thể được biểu diễn dưới dạng hai hình phẳng có diện tích S1 và S2 (S = S 1 + S 2 ). Trọng tâm của các hình này nằm ở điểm C 1 (x 1, y 1) và C 2 (x 2, y 2) . Khi đó tọa độ trọng tâm của vật là

Vì tâm của các hình nằm trên trục y (x = 0), chúng tôi chỉ tìm thấy tọa độ Chúng ta.

2 Diện tích của lỗ trên hình 4 được tính như thế nào trong công thức xác định trọng tâm của hình?

Phương pháp khối lượng âm

Phương pháp này bao gồm thực tế là một vật thể có các khoang tự do được coi là rắn, và khối lượng các khoang tự do được coi là âm. Dạng công thức xác định tọa độ trọng tâm của vật không thay đổi.

Do đó, khi xác định trọng tâm của vật có các hốc tự do, nên sử dụng phương pháp phân vùng, nhưng khối lượng của các hốc phải được coi là âm.

có một ý tưởng về trọng tâm của các lực song song và tính chất của nó;

biết rôi công thức xác định tọa độ trọng tâm của hình phẳng;

có thể xác định tọa độ trọng tâm của các hình phẳng có dạng hình học đơn giản và biên dạng cán tiêu chuẩn.

CÁC YẾU TỐ HÓA HỌC VÀ ĐỘNG HỌC
Sau khi nghiên cứu động học của một điểm, hãy chú ý đến thực tế là chuyển động thẳng của một điểm, cả không đều và đều, luôn được đặc trưng bởi sự có mặt của gia tốc pháp tuyến (hướng tâm). Với chuyển động tịnh tiến của một vật (được đặc trưng bởi chuyển động của bất kỳ điểm nào của nó), tất cả các công thức về chuyển động học của một điểm đều có thể áp dụng được. Các công thức xác định các giá trị góc của một vật thể quay quanh một trục cố định có sự tương đồng hoàn toàn về mặt ngữ nghĩa với các công thức xác định các giá trị tuyến tính tương ứng của một vật thể chuyển động tịnh tiến.

Chủ đề 1.7. Động học điểm
Khi học chủ đề cần chú ý các khái niệm cơ bản về động học: gia tốc, vận tốc, đường đi, quãng đường.

Câu hỏi để kiểm soát bản thân

1. Tính tương đối của các khái niệm về nghỉ và chuyển động là gì?

Chuyển động cơ học là sự thay đổi chuyển động của một cơ thể, hoặc (các bộ phận của nó) trong không gian so với các vật thể khác theo thời gian. Sự bay của một hòn đá ném, sự quay của một bánh xe là những ví dụ về chuyển động cơ học.

2. Nêu các khái niệm cơ bản về động học: quỹ đạo, quãng đường, đường đi, tốc độ, gia tốc, thời gian.

Tốc độ là một đại lượng động học về chuyển động của một điểm, đặc trưng cho tốc độ thay đổi vị trí của nó trong không gian. Tốc độ là một đại lượng vectơ, tức là nó được đặc trưng không chỉ bởi môđun (thành phần vô hướng), mà còn bởi hướng trong không gian.

Như đã biết từ vật lý, với chuyển động đều, tốc độ có thể được xác định bằng độ dài của con đường đi được trong một đơn vị thời gian: v = s / t = const (giả thiết rằng gốc của con đường và thời gian trùng nhau). Trong chuyển động thẳng đều, tốc độ không đổi cả về giá trị tuyệt đối và hướng, và vectơ của nó trùng với quỹ đạo.

Đơn vị tốc độ trong hệ thống SIđược xác định bằng tỷ lệ độ dài / thời gian, tức là m / s.

Gia tốc là một đại lượng động học về sự thay đổi tốc độ của một điểm trong thời gian. Nói cách khác, gia tốc là tốc độ thay đổi của tốc độ.
Giống như tốc độ, gia tốc là một đại lượng vectơ, nghĩa là nó không chỉ được đặc trưng bởi môđun mà còn bởi hướng trong không gian.

Trong chuyển động thẳng đều, vectơ vận tốc luôn trùng với quỹ đạo, và do đó vectơ biến đổi vận tốc cũng trùng với quỹ đạo.

Từ khóa học vật lý, người ta biết rằng gia tốc là sự thay đổi tốc độ trên một đơn vị thời gian. Nếu trong một khoảng thời gian ngắn Δt tốc độ của chất điểm thay đổi Δv thì gia tốc trung bình trong khoảng thời gian này là: a cp = Δv / Δt.

Gia tốc trung bình không cho biết độ lớn thực sự của sự thay đổi tốc độ tại mỗi thời điểm. Đồng thời, rõ ràng là khoảng thời gian được coi là thời gian xảy ra sự thay đổi tốc độ càng ngắn thì giá trị của gia tốc càng gần với giá trị thực (tức thời).
Do đó định nghĩa: gia tốc thực (tức thời) là giới hạn mà gia tốc trung bình có xu hướng khi Δt có xu hướng bằng không:

a = lim a cf tại t → 0 hoặc lim Δv / Δt = dv / dt.

Cho rằng v \ u003d ds / dt, chúng ta nhận được: a \ u003d dv / dt \ u003d d 2 s / dt 2.

Gia tốc thật trong chuyển động thẳng đều bằng đạo hàm bậc nhất của vận tốc hoặc đạo hàm bậc hai của tọa độ (khoảng cách từ gốc chuyển động) theo thời gian. Đơn vị của gia tốc là mét chia cho bình phương giây (m / s 2).

Quỹ đạo- một đường trong không gian mà một điểm vật chất di chuyển dọc theo.
Đường là chiều dài của đường đi. Quãng đường đi được l bằng độ dài cung tròn quĩ đạo mà vật đi được trong thời gian t nào đó. Đường dẫn là một giá trị vô hướng.

Khoảng cách xác định vị trí của một điểm trên quỹ đạo của nó và được đo từ một số gốc. Khoảng cách là một đại lượng đại số, vì tùy thuộc vào vị trí của điểm so với gốc tọa độ và theo hướng được chấp nhận của trục khoảng cách, nó có thể vừa dương vừa âm. Không giống như khoảng cách, đường đi của một điểm luôn được xác định bằng một số dương. Đường đi trùng với giá trị tuyệt đối của khoảng cách chỉ khi chuyển động của điểm bắt đầu từ gốc tọa độ và đi theo đường đi theo một hướng.

Trong trường hợp tổng quát của chuyển động chất điểm, đường đi bằng tổng các giá trị tuyệt đối của quãng đường chất điểm đi được trong một khoảng thời gian nhất định:

3. Quy luật chuyển động của chất điểm có thể được đưa ra theo những cách nào?

1. Cách tự nhiên để thiết lập chuyển động của một điểm.

Với phương pháp xác định chuyển động tự nhiên, giả thiết xác định các tham số chuyển động của một điểm trong hệ quy chiếu chuyển động, điểm bắt đầu trùng với điểm chuyển động và trục là tiếp tuyến, pháp tuyến và song song với quỹ đạo của chất điểm tại mỗi vị trí của nó. Để thiết lập quy luật chuyển động của một điểm một cách tự nhiên, cần:

1) biết quỹ đạo chuyển động;

2) thiết lập điểm tham chiếu trên đường cong này;

3) thiết lập một hướng di chuyển tích cực;

4) đưa ra định luật chuyển động của một điểm dọc theo đường cong này, tức là biểu thị khoảng cách từ điểm gốc đến vị trí của một điểm trên đường cong tại một thời điểm nhất định ∪OM = S (t) .

Phương pháp 2.Vector để xác định chuyển động của một điểm

Trong trường hợp này, vị trí của một điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian được xác định bởi một hàm vectơ. Vectơ này được vẽ từ một điểm cố định được chọn làm điểm gốc, điểm cuối của nó xác định vị trí của điểm chuyển động.

3. Phương pháp tọa độ xác định chuyển động của một điểm

Trong hệ tọa độ đã chọn, tọa độ của điểm chuyển động được cho dưới dạng một hàm của thời gian. Trong một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, đây sẽ là các phương trình:

4. Vectơ vận tốc thật của chất điểm có hướng như thế nào trong quá trình chuyển động theo đường cong?

Với chuyển động không đều của một điểm, môđun vận tốc của nó thay đổi theo thời gian.
Hãy tưởng tượng một điểm có chuyển động được cho theo phương tự nhiên bởi phương trình s = f (t).

Nếu trong một khoảng thời gian ngắn Δt mà chất điểm đi được quãng đường Δs thì tốc độ trung bình của nó bằng:

vav = ∆s / ∆t.

Tốc độ trung bình không cho biết tốc độ thực tại bất kỳ thời điểm nhất định nào (tốc độ thực còn được gọi là tốc độ tức thời). Rõ ràng, khoảng thời gian xác định tốc độ trung bình càng ngắn thì giá trị của nó càng gần với tốc độ tức thời.

Tốc độ thực (tức thời) là giới hạn mà tốc độ trung bình có xu hướng khi Δt có xu hướng bằng không:

v = lim v cf tại t → 0 hoặc v = lim (Δs / Δt) = ds / dt.

Do đó, giá trị số của tốc độ thực là v = ds / dt.
Tốc độ thực (tức thời) đối với bất kỳ chuyển động nào của một điểm bằng đạo hàm bậc nhất của tọa độ (tức là khoảng cách từ điểm gốc của chuyển động) theo thời gian.

Khi Δt có xu hướng bằng không, Δs cũng có xu hướng bằng không, và như chúng ta đã tìm hiểu, vectơ vận tốc sẽ hướng theo phương tiếp tuyến (nghĩa là, nó sẽ trùng với vectơ vận tốc thực v). Từ đó, giới hạn của vectơ tốc độ có điều kiện v p, bằng giới hạn của tỷ số giữa vectơ độ dịch chuyển của điểm trong một khoảng thời gian nhỏ, bằng vectơ tốc độ thực của điểm.

5. Gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của chất điểm như thế nào?

Hướng của vectơ gia tốc trùng với hướng của sự thay đổi vận tốc Δ = - 0

Gia tốc tiếp tuyến tại một điểm cho trước có phương tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đó; nếu chuyển động có gia tốc thì phương của vectơ gia tốc tiếp tuyến trùng với hướng của vectơ vận tốc; nếu chuyển động chậm dần đều thì hướng của vectơ gia tốc tiếp tuyến ngược với hướng của vectơ vận tốc.

6. Chất điểm thực hiện chuyển động gì nếu gia tốc tiếp tuyến bằng không và pháp tuyến không thay đổi theo thời gian?

Chuyển động cong đềuđược đặc trưng bởi thực tế là giá trị số của tốc độ là không đổi ( v= const), tốc độ chỉ thay đổi theo hướng. Trong trường hợp này, gia tốc tiếp tuyến bằng 0, vì v= const(Hình b),

và gia tốc bình thường không bằng 0, vì r - giá trị cuối cùng.

7. Đồ thị động học có dạng như thế nào với chuyển động thẳng biến đổi đều?

Với chuyển động đều, cơ thể bao phủ những khoảng cách bằng nhau trong bất kỳ khoảng thời gian nào bằng nhau. Để mô tả động học của chuyển động thẳng đều, trục tọa độ CON BÒ thuận tiện để đặt dọc theo dòng chuyển động. Vị trí của cơ thể trong quá trình chuyển động đều được xác định bằng cách đặt một tọa độ x. Vectơ độ dời và vectơ vận tốc luôn hướng song song với trục tọa độ CON BÒ. Do đó, độ dịch chuyển và tốc độ trong quá trình chuyển động tịnh tiến có thể được chiếu lên trục CON BÒ và coi các phép chiếu của chúng là các đại lượng đại số.

Với chuyển động đều, đường đi thay đổi, theo một quan hệ tuyến tính. trong tọa độ. Biểu đồ là một đường dốc.

Kết quả của việc nghiên cứu chủ đề, sinh viên phải:

có một ý tưởng về không gian, thời gian, quỹ đạo; tốc độ trung bình và thực;

biết rôi các cách xác định chuyển động của một điểm; các thông số của chuyển động của chất điểm dọc theo một quỹ đạo cho trước.

Việc xác định trọng tâm của một vật thể tùy ý bằng cách cộng liên tiếp các lực tác dụng lên các bộ phận riêng lẻ của nó là một nhiệm vụ khó khăn; nó chỉ được tạo điều kiện cho các cơ quan có dạng tương đối đơn giản.

Để vật chỉ gồm hai quả nặng có khối lượng và được nối với nhau bằng một thanh (Hình 125). Nếu khối lượng của thanh nhỏ hơn khối lượng và thì có thể bỏ qua nó. Mỗi khối lượng chịu tác dụng của trọng lực lần lượt bằng và; cả hai đều hướng thẳng đứng xuống, tức là, song song với nhau. Như chúng ta đã biết, hệ quả của hai lực song song tác dụng tại điểm, được xác định từ điều kiện

Cơm. 125. Xác định trọng tâm của vật gồm hai tải

Do đó, trọng tâm chia khoảng cách giữa hai tải theo tỷ lệ nghịch với tỷ số giữa khối lượng của chúng. Nếu cơ thể này được treo tại một điểm, nó sẽ vẫn ở trạng thái cân bằng.

Vì hai khối lượng bằng nhau có trọng tâm chung tại một điểm chia đôi khoảng cách giữa các khối lượng này, nên ngay lập tức rõ ràng rằng, ví dụ, trọng tâm của một thanh đồng chất nằm ở giữa thanh (Hình 126 ).

Vì bất kỳ đường kính nào của một đĩa tròn đồng nhất chia nó thành hai phần đối xứng hoàn toàn giống nhau (Hình 127), nên trọng tâm phải nằm trên mỗi đường kính đĩa, nghĩa là tại giao điểm của các đường kính - ở tâm hình học của Cái đĩa. Lập luận một cách tương tự, chúng ta có thể thấy rằng trọng tâm của một quả cầu đồng chất nằm ở tâm hình học của nó, trọng tâm của một hình chữ nhật đồng chất có hình bình hành nằm ở giao điểm của các đường chéo của nó, v.v. hoặc vòng nằm ở trung tâm của nó. Ví dụ cuối cùng cho thấy rằng trọng tâm của một cơ thể có thể nằm bên ngoài cơ thể.

Cơm. 126. Trọng tâm của một thanh đồng chất nằm ở giữa

Cơm. 127. Tâm của một đĩa đồng chất nằm ở tâm hình học của nó

Nếu vật thể có hình dạng bất thường hoặc không đồng nhất (ví dụ, nó có khoảng trống) thì việc tính toán vị trí của trọng tâm thường khó và vị trí này thuận tiện hơn khi tìm thấy thông qua kinh nghiệm. Ví dụ, nó được yêu cầu để tìm trọng tâm của một miếng ván ép. Hãy treo nó trên một sợi (Hình 128). Rõ ràng, ở vị trí cân bằng, trọng tâm của cơ thể phải nằm trên sự tiếp tục của sợi chỉ, nếu không, lực hấp dẫn sẽ có một mômen tương đối so với điểm treo, sẽ bắt đầu quay cơ thể. Do đó, vẽ một đường thẳng trên miếng ván ép của chúng ta, đại diện cho sự tiếp tục của sợi chỉ, chúng ta có thể khẳng định rằng trọng tâm nằm trên đường thẳng này.

Thật vậy, bằng cách treo cơ thể tại các điểm khác nhau và vẽ các đường thẳng đứng, chúng ta sẽ đảm bảo rằng tất cả chúng đều giao nhau tại một điểm. Điểm này là trọng tâm của cơ thể (vì nó phải nằm đồng thời trên tất cả các đường như vậy). Theo cách tương tự, người ta có thể xác định vị trí của trọng tâm không chỉ của một hình phẳng, mà còn của một vật phức tạp hơn. Vị trí trọng tâm của máy bay được xác định bằng cách lăn nó bằng bánh xe lên bệ cân. Kết quả của các lực trọng lượng lên mỗi bánh xe sẽ hướng theo phương thẳng đứng, và bạn có thể tìm thấy đường mà bánh xe tác động theo quy luật cộng các lực song song.

Cơm. 128. Giao điểm của các đường thẳng đứng vẽ qua các điểm của dây treo là trọng tâm của vật.

Khi khối lượng của các bộ phận riêng lẻ của cơ thể thay đổi hoặc khi hình dạng của cơ thể thay đổi, vị trí của trọng tâm thay đổi. Vậy, trọng tâm của máy bay chuyển động khi tiêu hao nhiên liệu từ thùng chứa, khi chất hành lý, ... Để làm thí nghiệm trực quan minh họa chuyển động của trọng tâm khi hình dạng của vật thay đổi, ta có thể thuận tiện lấy hai thanh giống hệt nhau được nối bằng bản lề (Hình 129). Trong trường hợp khi các thanh tạo thành sự liên tục của nhau thì trọng tâm nằm trên trục của các thanh. Nếu các thanh bị uốn ở bản lề, thì trọng tâm nằm ngoài các thanh, trên đường phân giác của góc mà chúng tạo thành. Nếu một tải trọng bổ sung được đặt lên một trong các thanh, thì trọng tâm sẽ chuyển động về phía tải trọng này.

Cơm. 129. a) Trọng tâm của các thanh nối với nhau bằng bản lề, nằm trên một đường thẳng, nằm trên trục của thanh, b) Trọng tâm của một hệ thanh bị uốn nằm ngoài các thanh.

81.1. Đặt trọng tâm của hai thanh mỏng giống nhau, có chiều dài 12 cm và được buộc chặt có dạng chữ T ở đâu?

81.2. Chứng minh rằng tâm của một tấm tam giác đều nằm tại giao điểm của các trung tuyến.

Cơm. 130. Bài tập 81.3

81.3. Một tấm ván đồng nhất có khối lượng 60 kg được đặt trên hai giá đỡ, như thể hiện trong hình. 130. Xác định các lực tác dụng lên các gối tựa.

Ghi chú. Trọng tâm của một hình đối xứng nằm trên trục đối xứng.

Trọng tâm của thanh ở giữa độ cao. Khi giải quyết vấn đề, các phương pháp sau được sử dụng:

1. phương pháp đối xứng: trọng tâm của các hình đối xứng nằm trên trục đối xứng;

2. phương pháp tách: các phần phức tạp được chia thành nhiều phần đơn giản, vị trí của trọng tâm trong đó dễ xác định;

3. Phương pháp vùng âm: các hốc (lỗ) được coi là một phần của mặt cắt có vùng âm.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Ví dụ 1. Xác định vị trí của trọng tâm của hình vẽ trên hình vẽ. 8,4.

Quyết định

Chúng tôi chia con số thành ba phần:

Tương tự được xác định tại C = 4,5 cm.

Ví dụ 2 Tìm vị trí trọng tâm của giàn thanh đối xứng ADBE(Hình 116), kích thước của chúng như sau: AB = 6m, D.E. = 3 m và EF = 1m.

Quyết định

Vì giàn là đối xứng nên trọng tâm của nó nằm trên trục đối xứng D.F. Với hệ trục tọa độ đã chọn (Hình 116) của trục tọa độ của trọng tâm của trang trại

Do đó, không xác định chỉ là giới hạn tại C trọng tâm trang trại. Để xác định nó, chúng tôi chia trang trại thành các phần riêng biệt (thanh). Độ dài của chúng được xác định từ các hình tam giác tương ứng.

Từ ∆AEF chúng ta có

Từ ΔADF chúng ta có

Trọng tâm của mỗi thanh nằm ở giữa của nó, tọa độ của các trọng tâm này được xác định dễ dàng từ hình vẽ (Hình 116).

Chiều dài và tọa độ tìm được của trọng tâm của các bộ phận riêng lẻ của trang trại được nhập vào bảng và theo công thức

xác định phong độ chúng ta trọng tâm của giàn phẳng này.

Do đó, trọng tâm Với toàn bộ giàn nằm trên trục D.F. giàn đối xứng ở khoảng cách 1,59 m từ điểm F.

Ví dụ 3 Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt tổng hợp. Phần này bao gồm một tấm và các biên dạng cuộn (Hình 8.5).

Ghi chú. Thường thì các khung được hàn từ các cấu hình khác nhau, tạo ra thiết kế cần thiết. Do đó, tiêu thụ kim loại được giảm bớt và một cấu trúc có độ bền cao được hình thành.

Đối với các mặt cắt được cán tiêu chuẩn, các đặc điểm hình học riêng của chúng đã được biết đến. Chúng được đưa ra trong các tiêu chuẩn liên quan.

Quyết định

1. Chúng tôi biểu thị các số liệu bằng số và viết ra các dữ liệu cần thiết từ các bảng:

1 - kênh số 10 (GOST 8240-89); Chiều cao h = 100 mm; chiều rộng kệ b= 46 mm; diện tích mặt cắt ngang A 1\ u003d 10,9 cm 2;

2 - Chùm chữ I số 16 (GOST 8239-89); chiều cao 160 mm; chiều rộng kệ 81 mm; diện tích mặt cắt A 2 - 20,2 cm 2;

3 - tờ 5x100; độ dày 5 mm; chiều rộng 100mm; diện tích mặt cắt A 3 \ u003d 0,5 10 \ u003d 5 cm 2.

2. Từ hình vẽ có thể xác định được tọa độ các trọng tâm của mỗi hình.

Mặt cắt hợp là đối xứng nên trọng tâm nằm trên trục đối xứng và tọa độ X C = 0.

3. Xác định trọng tâm của mặt cắt tổng hợp:

Ví dụ 4 Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt được chỉ ra trong hình. tám, một. Mặt cắt gồm hai góc 56x4 và kênh số 18. Kiểm tra tính đúng đắn của việc xác định vị trí trọng tâm. Chỉ định vị trí của nó trên phần.

Quyết định

1. : hai góc 56 x 4 và kênh số 18. Hãy ký hiệu chúng là 1, 2, 3 (xem Hình 8, một).

2. Nêu các trọng tâm từng hồ sơ sử dụng bảng. 1 và 4 adj. Tôi, và biểu thị chúng C 1, C 2, Từ 3.

3. Hãy chọn một hệ trục tọa độ. Trục tại tương thích với trục đối xứng và trục X vẽ qua trọng tâm của các góc.

4. Xác định tọa độ trọng tâm của toàn bộ mặt cắt. Kể từ trục tại trùng với trục đối xứng thì nó đi qua trọng tâm của tiết diện nên x s= 0. Tọa độ chúng ta xác định bằng công thức

Sử dụng các bảng ứng dụng, chúng tôi xác định diện tích của mỗi mặt cắt và tọa độ của các trọng tâm:

Tọa độ 1 và lúc 2 bằng 0, vì trục Xđi qua trọng tâm của các góc. Thay các giá trị thu được vào công thức để xác định chúng ta:

5. Hãy để chúng tôi chỉ ra trọng tâm của phần trong Hình. 8, và chúng tôi sẽ ký hiệu nó bằng chữ C. Chúng tôi hiển thị khoảng cách y C \ u003d 2,43 cm từ trục Xđến điểm C.

Vì các góc nằm đối xứng nhau, có cùng diện tích và tọa độ nên A 1 \ u003d A 2, y 1 = y 2. Do đó, công thức xác định tại C có thể được đơn giản hóa:

6. Hãy kiểm tra.Đối với trục này X Hãy vẽ dọc theo cạnh dưới của giá góc (Hình 8, b). Trục tại Hãy để nó như trong giải pháp đầu tiên. Công thức xác định x C và tại Cđừng thay đổi:

Các khu vực biên dạng sẽ được giữ nguyên, nhưng tọa độ của trọng tâm của các góc và kênh sẽ thay đổi. Hãy viết chúng ra:

Tìm tọa độ của trọng tâm:

Theo tọa độ tìm được x s và chúng ta ta đặt điểm C. Trên hình vẽ Vị trí của trọng tâm tìm được theo hai phương là cùng một điểm. Hãy cùng kiểm tra nào. Sự khác biệt giữa các tọa độ tại s, thấy ở dung dịch thứ nhất và thứ hai là: 6,51 - 2,43 \ u003d 4,08 cm.

Điều này bằng khoảng cách giữa các trục x trong nghiệm thứ nhất và thứ hai: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Trả lời: tại= 2,43 cm nếu trục x đi qua trọng tâm của các góc, hoặc y c = 6,51 cm nếu trục x chạy dọc theo cạnh dưới của mặt bích góc.

Ví dụ 5 Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt được chỉ ra trong hình. chín, một. Phần này bao gồm một chùm chữ I số 24 và một kênh số 24a. Chỉ ra vị trí của trọng tâm trên mặt cắt.

Quyết định

1.Hãy chia phần thành các cấu hình cuộn: I-chùm và kênh. Hãy gọi chúng là 1 và 2.

3. Chúng tôi chỉ ra các trọng tâm của mỗi cấu hình C 1 và C 2 bằng cách sử dụng bảng ứng dụng.

4. Hãy chọn một hệ trục tọa độ. Trục x tương thích với trục đối xứng, và chúng ta vẽ trục y qua trọng tâm của chùm tia I.

5. Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt. Tọa độ y c = 0, kể từ trục X trùng với trục đối xứng. Tọa độ x với được xác định bằng công thức

Theo bảng 3 và 4 ứng dụng. Tôi và lược đồ phần, chúng tôi xác định

Thay các giá trị số vào công thức và nhận được

5. Hãy đánh dấu điểm C (trọng tâm của mặt cắt) theo các giá trị x c và y c tìm được (xem Hình 9, a).

Việc xác minh giải pháp phải được thực hiện độc lập với vị trí của các trục, như thể hiện trong Hình. 9, b. Theo kết quả của giải pháp, chúng tôi nhận được x c \ u003d 11,86 cm. Hiệu số giữa các giá trị \ u200b \ u200bof x c của nghiệm thứ nhất và thứ hai là 11,86 - 6,11 \ u003d 5,75 cm, bằng khoảng cách giữa trục y có cùng nghiệm b đv / 2 = 5,75 cm.

Đáp số: x c \ u003d 6,11 cm, nếu trục y đi qua trọng tâm của chùm tia I; x c \ u003d 11,86 cm nếu trục y đi qua điểm cực trái của chùm tia I.

Ví dụ 6 Cần trục đường sắt nằm trên đường ray, khoảng cách giữa các đường ray là AB = 1,5 m (Hình 1.102). Trọng lực của xe cần cẩu là G r = 30 kN, trọng tâm của xe đẩy tại điểm C nằm trên đường thẳng KL của giao điểm của mặt phẳng đối xứng của xe đẩy với mặt phẳng hình vẽ. Trọng lực của tời cẩu Q l \ u003d 10 kN tác dụng tại điểm D. Trọng lực của quả cân G „= 20 kN tác dụng vào điểm E. Trọng lực của quả cân G c = 5 kN tác dụng vào điểm H. Cần trục nhô ra so với đường KL là 2 m. hệ số ổn định của cần trục ở trạng thái không tải và tải trọng F có thể được nâng bằng cần trục này, với điều kiện hệ số ổn định ít nhất phải bằng hai.

Quyết định

1. Ở trạng thái không tải, cần trục có nguy cơ bị lật khi quay quanh đường ray NHƯNG. Do đó, đối với điểm NHƯNG thời điểm ổn định

2. Lật ngược thời điểm về một điểm NHƯNGđược tạo ra bởi trọng lực của đối trọng, tức là

3. Do đó hệ số ổn định của cần trục ở trạng thái không tải

4. Khi tải cần cẩu có tải trọng F Có nguy cơ cần cẩu lật nghiêng khi quay quanh thanh ray B. Do đó, đối với điểm TẠI thời điểm ổn định

5. Mômen lật so với đường ray TẠI

6. Theo điều kiện của sự cố, hoạt động của cần trục được phép với hệ số ổn định k B ≥ 2, tức là

Kiểm soát câu hỏi và nhiệm vụ

1. Tại sao lực hút Trái Đất, tác dụng lên các điểm của vật, có thể coi là một hệ thống các lực song song?

2. Viết công thức xác định vị trí trọng tâm của vật không đồng chất và đồng chất, công thức xác định vị trí trọng tâm của tiết diện phẳng.

3. Nhắc lại các công thức xác định vị trí trọng tâm của các hình học đơn giản: hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang và nửa hình tròn.

4.
Thế nào được gọi là mô men tĩnh của diện tích?

5. Tính mômen tĩnh của hình này đối với trục Con bò. h= 30 cm; b= 120 cm; với= 10 cm (Hình 8.6).

6. Xác định tọa độ trọng tâm của hình tô bóng (Hình 8.7). Kích thước được tính bằng mm.

7. Xác định tọa độ tại Hình 1 của phần tổng hợp (Hình 8.8).

Khi quyết định, hãy sử dụng dữ liệu tham khảo của bảng GOST "Thép cán nóng" (xem Phụ lục 1).

6.1. Thông tin chung

Trung tâm của các lực lượng song song
Coi hai lực song song hướng cùng chiều và tác dụng vào vật tại các điểm NHƯNG 1 và NHƯNG 2 (hình 6.1). Hệ thống lực này có một hệ quả, đường tác dụng của nó đi qua một điểm nhất định Với. Vị trí điểm Với có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng định lý Varignon:

Nếu bạn chuyển lực và gần các điểm NHƯNG 1 và NHƯNG 2 theo một hướng và cùng một góc, thì chúng ta nhận được một hệ thống mới gồm các chất béo song song có cùng môđun. Trong trường hợp này, kết quả của chúng cũng sẽ đi qua điểm Với. Điểm như vậy được gọi là tâm của các lực song song.
Xét một hệ thống các lực song song và có phương đều nhau tác dụng lên một vật cứng tại các điểm. Hệ thống này có một kết quả.
Nếu mỗi lực của hệ được quay gần các điểm tác dụng của chúng theo cùng một hướng và cùng một góc thì sẽ thu được các hệ lực mới song song có hướng như nhau có cùng môđun và điểm tác dụng. Kết quả của các hệ thống như vậy sẽ có cùng một mô đun R, nhưng mỗi lần theo một hướng khác nhau. Giảm sức mạnh F 1 và F 2 thấy rằng kết quả của họ R 1, sẽ luôn đi qua điểm Với 1, vị trí của nó được xác định bởi bình đẳng. Thêm nữa R 1 và F 3, tìm kết quả của chúng, sẽ luôn đi qua điểm Với 2 nằm trên dây NHƯNG 3 Với 2. Sau khi kết thúc quá trình cộng lực, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng kết quả của tất cả các lực thực sự sẽ luôn đi qua cùng một điểm Với, vị trí của nó so với các điểm sẽ không thay đổi.
Chấm Với, qua đó đường tác dụng của hệ quả của các lực song song truyền cho bất kỳ chuyển động quay nào của các lực này gần các điểm tác dụng của chúng theo cùng một hướng ở cùng một góc được gọi là tâm của các lực song song (Hình 6.2).

Hình.6.2

Hãy xác định tọa độ trọng tâm của các lực song song. Kể từ vị trí của điểm Vớiđối với vật thể là không thay đổi, thì tọa độ của nó không phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ tọa độ. Xoay tất cả các lực gần tác dụng của chúng để chúng trở nên song song với trục Đơn vị tổ chức và áp dụng định lý Varignon cho các lực quay. Như R " là kết quả của những lực này, sau đó, theo định lý Varignon, chúng ta có , tại vì , , chúng tôi nhận được

Từ đây ta tìm được tọa độ trọng tâm của các lực song song zc:

Để xác định tọa độ xc lập biểu thức mômen của lực đối với trục Oz.

Để xác định tọa độ y C quay tất cả các lực để chúng trở nên song song với trục Oz.

Vị trí của trọng tâm của các lực song song so với gốc tọa độ (Hình 6.2) có thể được xác định bằng vectơ bán kính của nó:

6.2. Trọng tâm của một vật cứng

Trung tâm của lực hấp dẫn của một cơ thể cứng nhắc là một điểm luôn được liên kết với cơ thể này Với, qua đó đường tác dụng của kết quả của lực hấp dẫn của một cơ thể nhất định đi qua, đối với bất kỳ vị trí nào của cơ thể trong không gian.
Trọng tâm được sử dụng trong nghiên cứu sự ổn định của các vị trí cân bằng của các vật thể và môi trường liên tục dưới tác dụng của trọng lực và trong một số trường hợp khác, cụ thể là: trong lực cản của vật liệu và trong cơ học kết cấu - khi sử dụng quy tắc Vereshchagin.
Có hai cách để xác định trọng tâm của vật thể: phân tích và thực nghiệm. Phương pháp phân tích xác định trọng tâm tiếp theo trực tiếp từ khái niệm trọng tâm của các lực song song.
Tọa độ của trọng tâm, là tâm của các lực song song, được xác định theo công thức:

ở đâu R- trọng lượng của toàn bộ cơ thể; pk- trọng lượng của các hạt cơ thể; xk, yk, zk- tọa độ của các hạt cơ thể.
Đối với một cơ thể đồng chất, trọng lượng của toàn bộ cơ thể và bất kỳ bộ phận nào của nó tỷ lệ với thể tích P = Vγ, pk = vk γ, ở đâu γ - Trọng lượng trên một đơn vị khối lượng, V- thể tích của cơ thể. Biểu thức thay thế P, pk thành các công thức để xác định tọa độ của trọng tâm và, giảm theo một hệ số chung γ , chúng tôi nhận được:

Chấm Với, tọa độ của nó được xác định bằng các công thức thu được, được gọi là trọng tâm của khối lượng.
Nếu vật thể là một bản mỏng đồng chất thì trọng tâm được xác định theo công thức:

ở đâu S- diện tích của toàn bộ tấm; sk- diện tích của một phần của nó; xk, yk- tọa độ trọng tâm của các bộ phận tấm.
Chấm Với trong trường hợp này được gọi là khu vực trọng tâm.
Tử số của biểu thức xác định tọa độ trọng tâm của các hình phẳng được gọi là khoảnh khắc tĩnh của khu vực về các trục tại và X:

Khi đó trọng tâm của khu vực có thể được xác định theo công thức:

Đối với các vật thể có chiều dài lớn hơn nhiều lần kích thước của mặt cắt ngang thì trọng tâm của đoạn thẳng được xác định. Tọa độ trọng tâm của đoạn thẳng được xác định theo công thức:

ở đâu L- độ dài đoạn thẳng; lk- chiều dài của các bộ phận của nó; xk, yk, zk- tọa độ trọng tâm của các bộ phận đường thẳng.

6.3. Phương pháp xác định tọa độ trọng tâm của các vật thể

Dựa vào các công thức thu được, có thể đề xuất các phương pháp xác định trọng tâm của các vật trong thực tế.
1. Đối diện. Nếu vật có tâm đối xứng thì trọng tâm là tâm đối xứng.
Nếu cơ thể có một mặt phẳng đối xứng. Ví dụ như mặt phẳng XOU, thì trọng tâm nằm trong mặt phẳng này.
2. tách ra. Đối với các cơ quan bao gồm các cơ quan đơn giản, phương pháp tách được sử dụng. Cơ thể được chia thành nhiều phần, trọng tâm được tìm thấy bằng phương pháp đối xứng. Trọng tâm của toàn bộ vật thể được xác định bằng các công thức tính trọng tâm của thể tích (diện tích).

Ví dụ. Xác định trọng tâm của tấm cho trong hình bên dưới (Hình 6.3). Tấm có thể được chia thành các hình chữ nhật theo nhiều cách khác nhau và tọa độ của trọng tâm của mỗi hình chữ nhật và diện tích của chúng có thể được xác định.

Hình.6.3

Trả lời: xc= 17,0cm; yc= 18,0cm.

3. Phép cộng. Phương pháp này là một trường hợp đặc biệt của phương pháp phân vùng. Nó được sử dụng khi cơ thể có các vết khía, vết cắt, v.v., nếu tọa độ của trọng tâm của cơ thể không có vết khía được biết.

Ví dụ. Xác định trọng tâm của một đĩa tròn có mặt cắt bằng bán kính r = 0,6 R(Hình 6.4).

Hình.6.4

Bản tròn có tâm đối xứng. Hãy đặt gốc tọa độ ở tâm của tấm. Khu vực tấm không có khía, khu vực có khía. Khu vực tấm có khía; .
Bản khía có trục đối xứng O1 x, vì thế, y C=0.

4. Hội nhập. Nếu cơ thể không thể được chia thành một số phần hữu hạn, vị trí của các trọng tâm đã biết, thì cơ thể được chia thành các thể tích nhỏ tùy ý, mà công thức sử dụng phương pháp phân vùng có dạng: .
Hơn nữa, chúng vượt qua giới hạn, nâng các khối lượng cơ bản về 0, tức là quy đồng khối lượng thành điểm. Các tổng được thay thế bằng các tích phân mở rộng cho toàn bộ thể tích của vật thể, khi đó công thức xác định tọa độ trọng tâm của thể tích có dạng:

Công thức xác định tọa độ trọng tâm của khu vực:

Tọa độ của trọng tâm của khu vực phải được xác định khi nghiên cứu trạng thái cân bằng của các tấm, khi tính tích phân Mohr trong cơ học kết cấu.

Ví dụ. Xác định tâm của một cung tròn bán kính R với góc trung tâm AOB= 2α (Hình 6.5).

Cơm. 6,5

Cung của đường tròn đối xứng với trục Ồ, do đó, trọng tâm của cung nằm trên trục Ồ, yс = 0.
Theo công thức tính trọng tâm của một đoạn thẳng:

6.Cách thử nghiệm. Trọng tâm của các vật thể không đồng nhất có cấu hình phức tạp có thể được xác định bằng thực nghiệm: bằng cách treo và cân. Cách thứ nhất là cơ thể được treo trên một sợi cáp ở nhiều điểm khác nhau. Hướng của sợi dây mà cơ thể được treo sẽ là hướng của trọng lực. Giao điểm của các hướng này xác định trọng tâm của cơ thể.
Phương pháp cân trước tiên bao gồm việc xác định trọng lượng của một cơ thể, chẳng hạn như một chiếc ô tô. Sau đó, trên cân, áp lực của trục sau của ô tô lên giá đỡ được xác định. Bằng cách lập một phương trình cân bằng liên quan đến một số điểm, ví dụ, trục của bánh trước, bạn có thể tính khoảng cách từ trục này đến trọng tâm của ô tô (Hình 6.6).

Hình.6.6

Đôi khi khi giải bài toán cần áp dụng đồng thời các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm khác nhau.

6.4. Trọng tâm của một số hình dạng hình học đơn giản

Để xác định trọng tâm của các vật thể có hình dạng thông thường (tam giác, cung tròn, cung, đoạn), có thể thuận tiện sử dụng dữ liệu tham khảo (Bảng 6.1).

Bảng 6.1

Tọa độ trọng tâm của một số vật thể đồng chất

№	Tên hình	Bức ảnh
	cung của một vòng tròn: trọng tâm của một cung tròn đồng chất nằm trên trục đối xứng (tọa độ y C=0). R là bán kính của hình tròn.
	Khu vực tròn đồng nhất y C=0). với α là nửa góc ở tâm; R là bán kính của hình tròn.
	Bộ phận: trọng tâm nằm trên trục đối xứng (tọa độ y C=0). với α là nửa góc ở tâm; R là bán kính của hình tròn.
	Hình bán nguyệt:
	Tam giác: trọng tâm của tam giác đồng chất tại giao điểm của các trung tuyến của nó. ở đâu x1, y1, x2, y2, x3, y3- tọa độ các đỉnh của tam giác
	Hình nón: trọng tâm của hình nón tròn đồng chất nằm ở độ cao của nó và cách mặt đáy của hình nón bằng 1/4 chiều cao.