Cách đổi phân số thường thành số thập phân. số thập phân

Cố gắng quyết định Bài toán với phân số, học sinh hiểu rằng mong muốn giải quyết những vấn đề này là không đủ đối với anh ta. Kiến thức về tính toán với các số phân số cũng được yêu cầu. Trong một số vấn đề, tất cả các dữ liệu ban đầu được đưa ra trong điều kiện ở dạng phân số. Ở những người khác, một số trong số chúng có thể là phân số và một số có thể là số nguyên. Để thực hiện một số tính toán với những giá trị đã cho, trước tiên chúng ta phải đưa chúng đến loài đơn lẻ, nghĩa là dịch các số nguyên thành phân số, rồi thực hiện các phép tính. Nhìn chung cách chuyển một số nguyên thành phân số rất đơn giản. Để làm điều này, hãy viết chính số đã cho vào tử số của phân số cuối cùng và một vào mẫu số của nó. Nghĩa là, nếu bạn cần chuyển số 12 thành một phân số, thì phân số thu được sẽ là 12/1.

Những sửa đổi như vậy giúp giảm phân số thành mẫu số chung. Điều này là cần thiết để có thể trừ hoặc cộng các số phân số. Khi nhân và chia chúng, mẫu số chung là không cần thiết. Bạn có thể xem xét một ví dụ về cách chuyển một số thành một phân số và sau đó cộng hai số phân số. Giả sử cần cộng số 12 và phân số 3/4. Thuật ngữ đầu tiên (số 12) được rút gọn thành 12/1. Tuy nhiên, mẫu số của nó là 1, trong khi số hạng thứ hai là 4. Đối với phép cộng tiếp theo của hai phân số này, chúng phải được rút gọn thành mẫu số chung. Do thực tế là một trong các số có mẫu số bằng 1 nên điều này thường dễ thực hiện. Cần lấy mẫu số của số thứ hai và nhân với nó cả tử số và mẫu số của số thứ nhất.

Kết quả của phép nhân sẽ là: 12/1=48/4. Nếu 48 chia cho 4 thì được 12 tức là rút gọn phân số về đúng mẫu số. Như vậy, đồng thời, bạn có thể hiểu cách chuyển một phân số thành một số nguyên. Điều này chỉ áp dụng cho các phân số không chính xác, vì chúng có tử số lớn hơn mẫu số. Trong trường hợp này, tử số được chia cho mẫu số và nếu không có số dư thì sẽ có một số nguyên. Với phần còn lại, phân số vẫn là một phân số, nhưng được tô sáng Toàn bộ phần. Bây giờ liên quan đến việc rút gọn thành mẫu số chung trong ví dụ được xem xét. Nếu số hạng thứ nhất có mẫu số bằng một số khác 1 thì phải nhân tử số và mẫu số của số thứ nhất với mẫu số của số thứ hai, nhân tử số và mẫu số của số thứ hai với mẫu số của số thứ nhất.

Cả hai số hạng đều được rút gọn về mẫu số chung và sẵn sàng để cộng. Hóa ra trong bài toán này, bạn cần cộng hai số: 48/4 và 3/4. Khi cộng hai phân số có cùng mẫu số, bạn chỉ cần tính tổng các phần trên của chúng, tức là các tử số. Mẫu số của tổng sẽ không thay đổi. Trong ví dụ này, nó phải là 48/4+3/4=(48+3) /4=51/4. Đây sẽ là kết quả của việc bổ sung. Nhưng trong toán học, người ta thường quy các phân số không chính xác thành phân số đúng. Ở trên, người ta đã xem xét cách biến một phân số thành một số, nhưng trong ví dụ này, một số nguyên sẽ không được lấy từ phân số 51/4, vì số 51 không chia hết cho số 4 mà không có phần dư. cần chọn phần nguyên của phân số này và phần phân số của nó. Phần nguyên sẽ là số có được bằng cách chia cho một số nguyên số đầu tiên nhỏ hơn 51.

Đó là, một có thể được chia cho 4 mà không có phần còn lại. Số đầu tiên đứng trước số 51 chia hết cho 4 sẽ là số 48. Chia 48 cho 4 ta được số 12. Điều này có nghĩa là phần nguyên của phân số cần tìm sẽ là 12. Nó vẫn là chỉ để tìm phần phân số của số đó. Mẫu số của phần phân số không đổi, tức là 4 trong trường hợp này. Để tìm tử số của phần phân số, cần phải trừ đi số đã bị chia cho mẫu số mà không có phần còn lại từ tử số ban đầu. Trong ví dụ này, cần trừ số 48 cho số 51. Tức là tử số của phần phân số là 3. Kết quả của phép cộng sẽ là 12 số nguyên và 3/4. Điều này cũng đúng khi trừ các phân số. Giả sử bạn cần trừ phân số 3/4 từ số nguyên 12. Để làm điều này, số nguyên 12 được chuyển đổi thành phân số 12/1, sau đó được rút gọn thành mẫu số chung với số thứ hai - 48/4.

Khi trừ theo cùng một cách, mẫu số của cả hai phân số không thay đổi và phép trừ được thực hiện với tử số của chúng. Tức là tử số của phân số thứ nhất bị trừ đi tử số của phân số thứ nhất. TẠI ví dụ này nó sẽ là 48/4-3/4=(48-3)/4=45/4. Và một lần nữa, nó lại là một phân số không chính xác, phân số này phải được rút gọn thành phân số chính xác. Để chọn phần nguyên, số đầu tiên lên đến 45 được xác định, số này chia hết cho 4 mà không có phần dư. Nó sẽ là 44. Nếu số 44 được chia cho 4, bạn nhận được 11. Vì vậy, phần nguyên của phân số cuối cùng là 11. Ở phần phân số, mẫu số cũng được giữ nguyên và từ tử số của ban đầu phân số không đúng trừ số chia hết cho mẫu số không dư. Nghĩa là, cần phải trừ 44 từ 45. Vậy tử số trong phần phân số là 1 và 12-3/4=11 và 1/4.

Nếu cho trước một số nguyên và một phân số có mẫu số là 10 thì dễ dàng hơn lần thứ hai Chuyển số thành số thập phân rồi thực hiện phép tính. Ví dụ: bạn cần cộng số nguyên 12 và phân số 3/10. Nếu số 3/10 được viết là phân số thập phân, bạn nhận được 0,3. Giờ đây, việc cộng 0,3 với 12 và nhận được 2,3 sẽ dễ dàng hơn nhiều so với việc đưa các phân số về mẫu số chung, thực hiện các phép tính, sau đó trích xuất các phần nguyên và phân số từ một phân số không chính xác. Ngay cả những bài toán đơn giản nhất với số phân số cũng cho rằng học sinh (hoặc học sinh) biết cách chuyển đổi một số nguyên thành một phân số. Những quy tắc này quá đơn giản và dễ nhớ. Nhưng với sự trợ giúp của chúng, bạn có thể dễ dàng thực hiện các phép tính về phân số.

Chuyển một phân số thành số thập phân

Giả sử chúng ta muốn chuyển đổi phân số chung 11/4 thành số thập phân. Cách dễ nhất để làm điều đó là thế này:

						2∙2∙5∙5

Chúng tôi đã thành công vì trong trường hợp này, việc mở rộng mẫu số thành thừa số nguyên tố chỉ gồm hai. Chúng tôi đã bổ sung cho khai triển này thêm hai số năm nữa, lợi dụng thực tế là 10 = 2∙5 và nhận được một phân số thập phân. Một thủ tục như vậy rõ ràng là có thể nếu và chỉ khi việc phân tích mẫu số thành các thừa số nguyên tố không chứa gì ngoài hai và năm. Nếu có bất kỳ số nguyên tố nào khác trong khai triển mẫu số, thì phân số đó không thể chuyển đổi thành số thập phân. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ cố gắng làm điều này, nhưng chỉ theo một cách khác, mà chúng ta sẽ làm quen với ví dụ về phân số tương tự 11/4. Hãy chia 11 cho 4 "góc":

Trong dòng phản hồi, chúng ta có phần nguyên ( 2 ) và chúng ta cũng có phần dư ( 3 ). Trước đây, chúng tôi đã kết thúc phép chia về điều này, nhưng bây giờ chúng tôi biết rằng một dấu phẩy và một vài số 0 có thể được quy cho số bị chia ( 11 ) ở bên phải, điều mà chúng tôi sẽ thực hiện về mặt tinh thần ngay bây giờ. Sau dấu thập phân là vị trí thứ mười. Số không, viết tắt của cổ tức trong danh mục này, chúng tôi sẽ quy cho phần còn lại kết quả ( 3 ):

Bây giờ phép chia có thể tiếp tục như không có gì xảy ra. Bạn chỉ cần nhớ đặt dấu phẩy sau phần nguyên ở dòng trả lời:

Bây giờ chúng ta gán cho phần còn lại ( 2 ) 0, viết tắt của số bị chia ở vị trí phần trăm và đưa phép chia về cuối:

Kết quả là, chúng tôi nhận được, như trước đây,

Bây giờ, hãy thử tính toán chính xác theo cách tương tự phân số 27/11 bằng:

Ta nhận được số 2,45 ở dòng trả lời và số 5 ở dòng còn lại. Nhưng chúng ta đã thấy tàn dư như vậy trước đây. Do đó, chúng ta có thể nói ngay rằng nếu chúng ta tiếp tục chia cho “góc”, thì chữ số tiếp theo trong dòng trả lời sẽ là 4, sau đó là số 5, rồi lại 4 và lại là 5, v.v. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Chúng tôi đã nhận được cái gọi là định kỳ một phân số thập phân có chu kỳ là 45. Đối với các phân số như vậy, một ký hiệu nhỏ gọn hơn được sử dụng, trong đó chu kỳ chỉ được viết một lần, nhưng đồng thời nó được đặt trong ngoặc đơn:

2,454545454545... = 2,(45).

Nói chung, nếu chúng ta chia một số tự nhiên cho một “góc”, viết kết quả dưới dạng phân số thập phân, thì chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: (1) sớm hay muộn chúng ta sẽ nhận được số 0 ở dòng còn lại, (2) hoặc sẽ có một số dư như vậy, mà chúng ta đã gặp trước đó (tập hợp các dư lượng có thể có là hạn chế, vì tất cả chúng đều được biết là số chia nhỏ hơn). Trong trường hợp đầu tiên, kết quả của phép chia là phân số thập phân cuối cùng, trong trường hợp thứ hai, phân số định kỳ.

Chuyển đổi một số thập phân định kỳ thành một phân số chung

Ví dụ, chúng ta hãy cho một phân số thập phân tuần hoàn dương với một phần nguyên bằng 0:

một = 0,2(45).

Làm thế nào tôi có thể chuyển đổi phân số này trở lại một phân số chung?

Hãy nhân nó với 10 k, ở đâu k là số chữ số giữa dấu phẩy và dấu ngoặc đơn mở đầu cho biết thời gian bắt đầu. Trong trường hợp này k= 1 và 10 k = 10:

một∙ 10 k = 2,(45).

Nhân kết quả với 10 N, ở đâu N- "độ dài" của dấu chấm, nghĩa là số chữ số nằm giữa dấu ngoặc đơn. Trong trường hợp này N= 2 và 10 N = 100:

một∙ 10 k ∙ 10 N = 245,(45).

Bây giờ hãy tính sự khác biệt

một∙ 10 k ∙ 10 N − một∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Vì phần phân số của số bị trừ và dấu trừ bằng nhau, nên phần phân số của hiệu bằng 0, và chúng ta đi đến kết luận phương trình đơn giản tương đối một:

một∙ 10 k ∙ (10 N − 1) = 245 − 2.

Phương trình này được giải bằng các phép biến đổi sau:

một∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

một∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Chúng tôi cố tình không đưa các phép tính đến cuối cùng, để có thể thấy rõ kết quả này có thể được viết ra ngay lập tức, bỏ qua các đối số trung gian. Giảm trong tử số ( 245 ) là một phần phân số của số

một = 0,2(45)

nếu bạn xóa dấu ngoặc trong mục nhập của cô ấy. Phép trừ trong tử số ( 2 ) là phần không tuần hoàn của số một, nằm giữa dấu phẩy và dấu ngoặc đơn mở đầu. Thừa số đầu tiên trong mẫu số ( 10 ) là một, mà số 0 được gán cho nó bằng với số chữ số trong phần không tuần hoàn ( k). Yếu tố thứ hai trong mẫu số ( 99 ) là số chín bằng số chữ số trong khoảng thời gian ( N).

Bây giờ tính toán của chúng tôi có thể được hoàn thành:

Ở đây có một dấu chấm trong tử số, và số chín trong mẫu số bằng bao nhiêu chữ số trong dấu chấm. Sau khi bớt đi 9 thì phân số thu được bằng

Theo cách tương tự,

Nếu cần chia 497 cho 4 thì khi chia ta thấy 497 không chia hết cho 4 tức là là số dư của phép chia. Trong những trường hợp như vậy, người ta nói rằng chia có dư, và lời giải được viết như sau:
497 : 4 = 124 (1 số dư).

Các thành phần phép chia ở vế trái của đẳng thức được gọi giống như trong phép chia không dư: 497 - cổ tức, 4 - dải phân cách. Kết quả của phép chia khi chia có dư gọi là riêng tư không đầy đủ. Trong trường hợp của chúng tôi, con số này là 124. Và cuối cùng, thành phần cuối cùng, không nằm trong phép chia thông thường, là phần còn lại. Khi không có số dư, một số được cho là chia hết cho một số khác. không có dấu vết, hoặc hoàn toàn. Người ta tin rằng với sự phân chia như vậy, phần còn lại bằng không. Trong trường hợp của chúng tôi, phần còn lại là 1.

Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia.

Bạn có thể kiểm tra khi chia bằng cách nhân. Ví dụ: nếu có đẳng thức 64: 32 = 2, thì việc kiểm tra có thể được thực hiện như sau: 64 = 32 * 2.

Thông thường, trong trường hợp thực hiện phép chia có dư, sẽ thuận tiện khi sử dụng đẳng thức
a \u003d b * n + r,
trong đó a là số bị chia, b là số chia, n là thương riêng, r là số dư.

Thương của phép chia các số tự nhiên có thể viết dưới dạng phân số.

Tử số của một phân số là số bị chia, còn mẫu số là số chia.

Vì tử số của một phân số là số bị chia và mẫu số là số chia nên tin rằng dòng của một phân số có nghĩa là hành động chia. Đôi khi thật thuận tiện khi viết phép chia dưới dạng phân số mà không cần sử dụng dấu ":".

Thương của phép chia hai số tự nhiên m và n có thể viết dưới dạng phân số \(\frac(m)(n) \), trong đó tử số m là số bị chia và mẫu số n là số chia:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Các quy tắc sau đây là đúng:

Để có phân số \(\frac(m)(n) \), bạn cần chia đơn vị cho n các phần bằng nhau(chia sẻ) và lấy m những phần như vậy.

Để có phân số \(\frac(m)(n) \), bạn cần chia số m cho số n.

Để tìm một phần của tổng thể, bạn cần chia số tương ứng với tổng thể cho mẫu số và nhân kết quả với tử số của phân số biểu thị phần này.

Để tìm một tổng thể theo một phần của nó, bạn cần chia số tương ứng với phần này cho tử số và nhân kết quả với mẫu số của phân số biểu thị phần này.

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số (trừ số 0) thì phân số không thay đổi:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Nếu cả tử và mẫu của một phân số được chia cho cùng một số (trừ số 0) thì giá trị của phân số không thay đổi:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Thuộc tính này được gọi là tính chất cơ bản của phân số.

Hai phép biến đổi cuối cùng được gọi là rút gọn phân số.

Nếu các phân số cần được biểu diễn dưới dạng phân số có cùng mẫu số, thì hành động đó được gọi là rút gọn các phân số về mẫu số chung.

Phân số đúng và không đúng. hỗn số

Bạn đã biết rằng một phân số có thể thu được bằng cách chia một tổng thể thành các phần bằng nhau và lấy một số phần như vậy. Ví dụ: phân số \(\frac(3)(4) \) có nghĩa là ba phần tư của một. Trong nhiều bài toán ở phần trước, phân số được dùng để biểu thị một phần của tổng thể. ý thức chung gợi ý rằng phần phải luôn nhỏ hơn toàn bộ, nhưng còn các phân số như \(\frac(5)(5) \) hoặc \(\frac(8)(5) \) thì sao? Rõ ràng là đây không còn là một phần của đơn vị. Đây có lẽ là lý do tại sao các phân số như vậy, trong đó tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số, được gọi là các phân số không thích hợp. Các phân số còn lại, tức là các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số, gọi điện phân số thích hợp.

Như bạn đã biết, bất kỳ phân số thông thường nào, cả đúng và sai, đều có thể được coi là kết quả của việc chia tử số cho mẫu số. Vì vậy, trong toán học, trái ngược với ngôn ngữ thông thường, thuật ngữ "phân số không chính xác" không có nghĩa là chúng ta đã làm sai mà chỉ là phân số này có tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số.

Nếu một số bao gồm một phần nguyên và một phân số, thì như vậy phân số được gọi là hỗn hợp.

Ví dụ:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 là phần nguyên và \(\frac(2)(3) \) là phần phân số.

Nếu tử số của phân số \(\frac(a)(b) \) chia hết cho số tự nhiên n thì để phân số này chia hết cho n thì tử số của nó phải chia hết cho số này:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Nếu tử số của phân số \(\frac(a)(b) \) không chia hết cho số tự nhiên n, thì để chia phân số này cho n, bạn cần nhân mẫu số của nó với số này:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Lưu ý rằng quy tắc thứ hai cũng hợp lệ khi tử số chia hết cho n. Do đó, chúng ta có thể sử dụng nó khi thoạt nhìn khó xác định xem tử số của một phân số có chia hết cho n hay không.

Các thao tác với phân số. Phép cộng phân số.

Với phân số, cũng như với số tự nhiên, bạn có thể thực hiện các phép tính toán học. Trước tiên hãy xem xét phép cộng phân số. Thật dễ dàng để cộng các phân số có cùng mẫu số. Ví dụ: tìm tổng của \(\frac(2)(7) \) và \(\frac(3)(7) \). Dễ thấy rằng \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Nếu bạn muốn cộng các phân số với mẫu số khác nhau, thì trước tiên chúng phải được rút gọn thành mẫu số chung. Ví dụ:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Đối với phân số cũng như đối với số tự nhiên, tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng đều đúng.

Cộng các phân số hỗn hợp

Các bản ghi như \(2\frac(2)(3) \) được gọi phân số hỗn hợp. Số 2 được gọi là Toàn bộ phần phân số hỗn hợp và số \(\frac(2)(3) \) là phân số của nó phần phân đoạn. Mục \(2\frac(2)(3) \) được đọc như sau: "hai và hai phần ba".

Chia số 8 cho số 3 sẽ có hai đáp số: \(\frac(8)(3) \) và \(2\frac(2)(3) \). Chúng biểu thị cùng một số phân số, tức là \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Do đó, phân số không chính xác \(\frac(8)(3) \) được biểu diễn dưới dạng phân số hỗn hợp \(2\frac(2)(3) \). Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng từ một phần không chính xác chỉ ra toàn bộ.

Phép trừ phân số (số phân số)

Phép trừ các phân số, cũng như các số tự nhiên, được xác định trên cơ sở của phép cộng: trừ một số khác khỏi một số có nghĩa là tìm một số mà khi cộng vào số thứ hai sẽ cho số đầu tiên. Ví dụ:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) vì \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Quy tắc trừ các phân số cùng mẫu số cũng giống như quy tắc cộng các phân số đó:
Để tìm sự khác biệt giữa các phân số có cùng mẫu số, hãy trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số đầu tiên và giữ nguyên mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc này được viết như sau:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

phép nhân phân số

Để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân các tử số và mẫu số của chúng, đồng thời viết tích thứ nhất làm tử số và tích thứ hai làm mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc nhân các phân số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Sử dụng quy tắc có công thức, có thể nhân một phân số với một số tự nhiên, với một hỗn số và cũng có thể nhân phân số hỗn hợp. Để làm được điều này, bạn cần viết một số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1, hỗn số dưới dạng phân số không chính xác.

Kết quả của phép nhân nên được đơn giản hóa (nếu có thể) bằng cách rút gọn phân số và đánh dấu phần nguyên của phân số không chính xác.

Đối với phân số, cũng như đối với số tự nhiên, tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân là hợp lệ, cũng như tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

phép chia phân số

Lấy phân số \(\frac(2)(3) \) và “lật” nó bằng cách hoán đổi tử số và mẫu số. Ta được phân số \(\frac(3)(2) \). Phân số này được gọi là đảo ngược phân số \(\frac(2)(3) \).

Nếu bây giờ chúng ta “đảo ngược” phân số \(\frac(3)(2) \), thì chúng ta sẽ được phân số ban đầu \(\frac(2)(3) \). Do đó, các phân số như \(\frac(2)(3) \) và \(\frac(3)(2) \) được gọi nghịch đảo lẫn nhau.

Ví dụ: các phân số \(\frac(6)(5) \) và \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) và \(\frac (18 )(7) \).

Sử dụng các chữ cái, các phân số nghịch đảo lẫn nhau có thể được viết như sau: \(\frac(a)(b) \) và \(\frac(b)(a) \)

Rõ ràng là tích của các phân số nghịch đảo là 1. Ví dụ: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Sử dụng phân số nghịch đảo, phép chia phân số có thể được rút gọn thành phép nhân.

Quy tắc chia một phân số cho một phân số:
Để chia một phân số cho một phân số khác, bạn cần nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc chia phân số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Nếu số bị chia hoặc số chia là số tự nhiên hoặc hỗn số, thì để sử dụng quy tắc chia phân số, trước tiên nó phải được biểu diễn dưới dạng phân số không chính xác.

Rất thường xuyên trong chương trình giáo dục Trẻ em học toán phải đối mặt với vấn đề làm thế nào để chuyển đổi một phân số thông thường thành một số thập phân. Để chuyển một phân số chung thành một số thập phân, trước tiên chúng ta hãy nhớ lại phân số chung và phân số thập phân là gì. Một phân số phổ biến là một phân số có dạng m/n, trong đó m là tử số và n là mẫu số. Ví dụ: 13/8; 6/7, v.v. Phân số được chia thành các số thường, không chính xác và hỗn hợp. Phần thích hợp- đây là khi tử số nhỏ hơn mẫu số: m / n, trong đó m 3. Một phân số không chính xác luôn có thể được biểu diễn dưới dạng một số hỗn hợp, cụ thể là: 4/3 \u003d 1 và 1/3;

Chuyển đổi một phân số bình thường thành một số thập phân

Bây giờ hãy xem cách chuyển đổi một phân số hỗn hợp thành một số thập phân. Bất kỳ phân số thông thường nào, dù đúng hay sai, đều có thể chuyển đổi thành số thập phân. Để làm điều này, bạn cần chia tử số cho mẫu số. Ví dụ: phân số đơn giản (đúng) 1/2. Ta chia tử số 1 cho mẫu số 2 ta được 0,5. Lấy ví dụ về 45/12, rõ ràng đây là một phân số không chính xác. Ở đây mẫu số nhỏ hơn tử số. Chúng tôi biến phân số không chính xác thành số thập phân: 45: 12 \u003d 3,75.

Chuyển hỗn số thành số thập phân

Ví dụ: 25/8. Đầu tiên, chúng ta biến hỗn số thành một phân số không chính xác: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 và 1/8; sau đó chúng ta chia tử số bằng 1 cho mẫu số bằng 8, trong một cột hoặc trên máy tính bỏ túi, và chúng ta nhận được một phân số thập phân bằng 0,125. Bài viết cung cấp các ví dụ đơn giản nhất về chuyển đổi sang phân số thập phân. Đã hiểu phương pháp dịch sang ví dụ đơn giản, bạn có thể dễ dàng giải quyết những khó khăn nhất trong số họ.

Đã ở trường tiểu học học sinh đang xử lý các phân số. Và sau đó chúng xuất hiện trong mọi chủ đề. Không thể quên các hành động với những con số này. Do đó, bạn cần biết tất cả các thông tin về phân số thông thường và số thập phân. Những khái niệm này rất đơn giản, điều chính là hiểu mọi thứ theo thứ tự.

Tại sao phân số cần thiết?

Thế giới xung quanh chúng ta bao gồm toàn bộ các đối tượng. Do đó, không cần cổ phần. Nhưng mà Cuộc sống hàng ngày liên tục thúc đẩy mọi người làm việc với các bộ phận của đồ vật và sự vật.

Ví dụ, sô cô la gồm nhiều lát. Xem xét tình huống trong đó ô của nó được hình thành bởi mười hai hình chữ nhật. Nếu bạn chia nó thành hai phần, bạn sẽ nhận được 6 phần. Nó sẽ được chia thành ba. Nhưng năm người sẽ không thể đưa ra toàn bộ số lát sô cô la.

Nhân tiện, những lát này đã là phân số. Và sự phân chia xa hơn của chúng dẫn đến sự xuất hiện của các số phức hơn.

"phân số" là gì?

Đây là một số bao gồm các phần của một. Bề ngoài, có vẻ như hai số được phân tách bằng dấu gạch ngang hoặc dấu gạch chéo. Tính năng này được gọi là phân số. Số viết ở trên cùng (bên trái) được gọi là tử số. Cái ở dưới cùng (bên phải) là mẫu số.

Trên thực tế, thanh phân số hóa ra là một dấu hiệu chia. Nghĩa là, tử số có thể được gọi là cổ tức và mẫu số có thể được gọi là ước số.

các phân số là gì?

Trong toán học, chỉ có hai loại phân số: phân số thông thường và phân số thập phân. Học sinh lần đầu tiên được làm quen với trường tiểu học, gọi chúng đơn giản là "phân số". Lần thứ hai học năm lớp 5. Đó là lúc những cái tên này xuất hiện.

Các phân số phổ biến là tất cả những phân số được viết dưới dạng hai số cách nhau bởi một dấu gạch ngang. Ví dụ, ngày 7/4. Số thập phân là một số trong đó phần phân số có ký hiệu vị trí và được phân tách với phần nguyên bằng dấu phẩy. Ví dụ, 4.7. Học sinh cần phải rõ ràng rằng hai ví dụ được đưa ra là những con số hoàn toàn khác nhau.

Mọi phân số đơn giản có thể được viết dưới dạng số thập phân. Tuyên bố này hầu như luôn luôn đúng trong hướng ngược lại. Có những quy tắc cho phép bạn viết phân số thập phân dưới dạng phân số thông thường.

Những loại phân số này có những phân loài nào?

bắt đầu tốt hơn tại thứ tự thời gian như chúng đang được nghiên cứu. Các phân số phổ biến đến trước. Trong số đó, 5 phân loài có thể được phân biệt.

Chính xác. Tử số của nó luôn nhỏ hơn mẫu số.

Sai. Tử số của nó lớn hơn hoặc bằng mẫu số.

Có thể giảm / không thể giảm được. Nó có thể đúng hoặc sai. Một điều quan trọng nữa là tử số và mẫu số có nhân tử chung hay không. Nếu có, thì chúng phải chia cả hai phần của phân số, nghĩa là rút gọn nó.

Trộn. Một số nguyên được gán cho phần phân số đúng (không chính xác) thông thường của nó. Và nó luôn đứng bên trái.

tổng hợp. Nó được hình thành từ hai phân số được chia cho nhau. Đó là, nó có ba tính năng phân số cùng một lúc.

Số thập phân chỉ có hai phân loài:

cuối cùng, nghĩa là, một trong đó phần phân số bị giới hạn (có một kết thúc);

vô hạn - một số có các chữ số sau dấu thập phân không kết thúc (chúng có thể được viết vô tận).

Làm cách nào để chuyển đổi số thập phân thành bình thường?

Nếu điều này số giới hạn, sau đó một hiệp hội dựa trên quy tắc được áp dụng - như tôi nghe thấy, vì vậy tôi viết. Tức là bạn cần đọc chính xác và viết ra nhưng không có dấu phẩy mà có dòng phân số.

Như một gợi ý về mẫu số cần thiết, hãy nhớ rằng nó luôn là một và một vài số không. Cái sau cần được viết bằng bao nhiêu chữ số trong phần phân số của số đang xét.

Làm cách nào để chuyển đổi các phân số thập phân thành phân số bình thường nếu toàn bộ phần của chúng bị thiếu, nghĩa là bằng 0? Ví dụ: 0,9 hoặc 0,05. Sau khi áp dụng quy tắc đã chỉ định, hóa ra bạn cần viết các số nguyên bằng không. Nhưng nó không được chỉ định. Nó vẫn chỉ để viết ra các phần phân số. Đối với số đầu tiên, mẫu số sẽ là 10, đối với số thứ hai - 100. Tức là, các ví dụ được chỉ định sẽ có các số dưới dạng câu trả lời: 9/10, 5/100. Hơn nữa, cái sau hóa ra có thể giảm đi 5. Do đó, kết quả cho nó phải được viết là 1/20.

Làm cách nào để tạo một phân số thông thường từ một số thập phân nếu phần nguyên của nó khác 0? Ví dụ: 5,23 hoặc 13,00108. Cả hai ví dụ đều đọc phần nguyên và ghi giá trị của nó. Trong trường hợp đầu tiên, đây là 5, trong trường hợp thứ hai là 13. Sau đó, bạn cần chuyển sang phần phân số. Họ được cho là thực hiện cùng một hoạt động. Số thứ nhất có 23/100, số thứ hai có 108/100000. Giá trị thứ hai cần phải được giảm lại. Câu trả lời là phân số hỗn hợp: 5 23/100 và 13 27/25000.

Làm thế nào để chuyển đổi một số thập phân vô hạn thành một phân số phổ biến?

Nếu nó không định kỳ, thì một hoạt động như vậy không thể được thực hiện. Thực tế này là do thực tế là mỗi phân số thập phân luôn được chuyển đổi thành cuối cùng hoặc định kỳ.

Điều duy nhất được phép thực hiện với một phân số như vậy là làm tròn nó. Nhưng khi đó số thập phân sẽ xấp xỉ bằng số vô hạn đó. Nó đã có thể được biến thành một cái bình thường. Nhưng quy trình ngược lại: chuyển đổi sang số thập phân - sẽ không bao giờ cho giá trị ban đầu. Tức là vô tận phân số không tuần hoàn không được chuyển đổi thành thông thường. Điều này phải được ghi nhớ.

Làm thế nào để viết một phân số tuần hoàn vô hạn ở dạng bình thường?

Trong những số này, một hoặc nhiều chữ số luôn xuất hiện sau dấu thập phân, được lặp lại. Chúng được gọi là thời kỳ. Ví dụ: 0,3(3). Ở đây "3" trong khoảng thời gian. Chúng được phân loại là hợp lý, vì chúng có thể được chuyển đổi thành phân số thông thường.

Những ai đã từng gặp các phân số tuần hoàn đều biết rằng chúng có thể thuần túy hoặc hỗn hợp. Trong trường hợp đầu tiên, dấu chấm bắt đầu ngay từ dấu phẩy. Trong phần thứ hai, phần phân số bắt đầu bằng bất kỳ số nào, sau đó bắt đầu lặp lại.

Quy tắc mà bạn cần viết một số thập phân vô hạn ở dạng phân số thông thường sẽ khác nhau đối với hai loại số này. Khá dễ để viết các phân số tuần hoàn thuần túy như các phân số thông thường. Đối với những cái cuối cùng, chúng cần được chuyển đổi: viết dấu chấm vào tử số và số 9 sẽ là mẫu số, lặp lại nhiều lần khi có các chữ số trong khoảng thời gian.

Ví dụ: 0,(5). Số không có phần nguyên nên bạn cần chuyển ngay sang phần phân số. Viết 5 vào tử số và viết 9 vào mẫu số, tức là đáp số sẽ là phân số 5/9.

Quy tắc viết số thập phân thường phân số tuần hoàn, đó là hỗn hợp.

Nhìn vào độ dài của thời kỳ. Vì vậy, nhiều 9 sẽ có một mẫu số.

Viết ra mẫu số: số chín đầu tiên, sau đó là số không.

Để xác định tử số, bạn cần viết hiệu của hai số. Tất cả các chữ số sau dấu thập phân sẽ bị giảm cùng với dấu chấm. Có thể trừ - nó không có dấu chấm.

Ví dụ: 0,5(8) - viết phân số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số chung. Phần phân số trước dấu chấm là một chữ số. Vì vậy, số không sẽ là một. Cũng chỉ có một chữ số trong khoảng thời gian - 8. Tức là chỉ có một số chín. Tức là bạn cần viết 90 ở mẫu số.

Để xác định tử số từ 58, bạn cần trừ 5. Kết quả là 53. Ví dụ: bạn sẽ phải viết 53/90 làm câu trả lời.

Các phân số thông thường được chuyển thành số thập phân như thế nào?

nhiều nhất tùy chọn đơn giản hóa ra số ở mẫu số là số 10, 100, v.v. Sau đó, mẫu số chỉ đơn giản là bị loại bỏ và dấu phẩy được đặt giữa các phần phân số và phần nguyên.

Có những trường hợp mẫu số dễ dàng biến thành 10, 100, v.v. Ví dụ: các số 5, 20, 25. Chỉ cần nhân chúng với 2, 5 và 4 tương ứng là đủ. Chỉ cần nhân không chỉ mẫu số mà cả tử số với cùng một số.

Đối với tất cả các trường hợp khác, một quy tắc đơn giản sẽ hữu ích: chia tử số cho mẫu số. Trong trường hợp này, bạn có thể nhận được hai câu trả lời: phân số thập phân cuối cùng hoặc phân số định kỳ.

Các phép toán với phân số thông thường

Cộng và trừ

Học sinh làm quen với chúng sớm hơn những người khác. Và đầu tiên với phân số cùng mẫu số và sau đó khác nhau. Quy tắc chung có thể được giảm xuống một kế hoạch như vậy.

Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số.

Viết các yếu tố bổ sung cho tất cả các phân số thông thường.

Nhân các tử số và mẫu số với các thừa số đã xác định cho chúng.

Cộng (trừ) tử số của các phân số và giữ nguyên mẫu số chung.

Nếu tử số của số bị trừ nhỏ hơn số trừ, thì bạn cần tìm hiểu xem chúng ta có một hỗn số hay một phân số thích hợp.

Trong trường hợp đầu tiên, phần nguyên cần lấy một. Cộng mẫu số với tử số của một phân số. Và sau đó thực hiện phép trừ.

Trong lần thứ hai - cần áp dụng quy tắc trừ từ ít hơn hơn. Nghĩa là, trừ mô đun của phần bị trừ khỏi mô đun của phần bị trừ và đặt dấu “-” vào phản hồi.

Xem kỹ kết quả của phép cộng (phép trừ). Nếu bạn nhận được một phân số không chính xác, thì bạn nên chọn toàn bộ phần đó. Tức là chia tử số cho mẫu số.

phép nhân và phép chia

Để thực hiện chúng, các phân số không cần rút gọn về mẫu số chung. Điều này làm cho nó dễ dàng hơn để thực hiện hành động. Nhưng họ vẫn phải tuân theo các quy tắc.

Khi nhân các phân số thông thường cần xét các số ở tử số và mẫu số. Nếu bất kỳ tử số và mẫu số nào có nhân tử chung thì chúng có thể rút gọn.

Nhân tử số.

Nhân các mẫu số.

Nếu bạn nhận được một phân số có thể rút gọn, thì nó phải được đơn giản hóa lại.

Khi chia, trước tiên bạn phải thay phép chia bằng phép nhân và số chia (phân số thứ hai) bằng một nghịch đảo (hoán đổi tử số và mẫu số).

Sau đó tiến hành như trong phép nhân (bắt đầu từ bước 1).

Trong các nhiệm vụ mà bạn cần nhân (chia) cho một số nguyên, số nguyên được cho là được viết dưới dạng phân số không chính xác. Tức là với mẫu số là 1. Sau đó tiến hành như mô tả ở trên.



Các phép toán với số thập phân

Cộng và trừ

Tất nhiên, bạn luôn có thể biến một số thập phân thành một phân số chung. Và hành động theo kế hoạch đã được mô tả. Nhưng đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi hành động mà không cần bản dịch này. Sau đó, các quy tắc cộng và trừ của chúng sẽ hoàn toàn giống nhau.

Cân bằng số chữ số trong phần phân số của số, nghĩa là sau dấu thập phân. Gán số không còn thiếu trong đó.

Viết các phân số sao cho dấu phẩy nằm dưới dấu phẩy.

Cộng (trừ) như số tự nhiên.

Xóa dấu phẩy.

phép nhân và phép chia

Điều quan trọng là bạn không cần thêm số không vào đây. Các phân số được cho là để nguyên như chúng được đưa ra trong ví dụ. Và sau đó đi theo kế hoạch.

Đối với phép nhân, bạn cần viết các phân số lần lượt, không chú ý đến dấu phẩy.

Nhân như số tự nhiên.

Đặt dấu phẩy vào câu trả lời, đếm từ cuối bên phải của câu trả lời bằng bao nhiêu chữ số nằm trong phần phân số của cả hai thừa số.

Để chia, trước tiên bạn phải chuyển đổi số chia: biến nó thành một số tự nhiên. Tức là nhân nó với 10, 100, v.v., tùy thuộc vào số lượng chữ số ở phần phân số của ước số.

Nhân số cổ tức với cùng một số.

Chia một số thập phân cho một số tự nhiên.

Đặt dấu phẩy vào câu trả lời tại thời điểm kết thúc việc chia toàn bộ phần.



Nếu có cả hai loại phân số trong một ví dụ thì sao?

Đúng vậy, trong toán học thường có những ví dụ mà bạn cần thực hiện các phép toán trên phân số thông thường và số thập phân. Có hai giải pháp khả thi cho những vấn đề này. Bạn cần cân nhắc khách quan các con số và chọn con số tốt nhất.

Cách thứ nhất: biểu diễn số thập phân thông thường

Nó phù hợp nếu khi chia hoặc dịch, bạn nhận được phân số hữu hạn. Nếu ít nhất một số cung cấp một phần định kỳ, thì kỹ thuật này bị cấm. Do đó, ngay cả khi bạn không thích làm việc với các phân số thông thường, bạn sẽ phải đếm chúng.

Cách thứ hai: viết phân số thập phân như bình thường

Kỹ thuật này thuận tiện nếu có 1-2 chữ số ở phần sau dấu thập phân. Nếu có nhiều hơn, nó có thể trở nên rất lớn. phân số chung và các mục nhập thập phân sẽ cho phép bạn tính toán tác vụ nhanh hơn và dễ dàng hơn. Do đó, luôn cần phải tỉnh táo đánh giá nhiệm vụ và chọn phương pháp giải quyết đơn giản nhất.