Cách giải phân thức của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai

Phân thức cũng như phương trình bậc hai bắt đầu được học trong phân môn đại số lớp 8. Bạn có thể giải một phương trình bậc hai thông qua phép phân biệt và sử dụng định lý Vieta. Phương pháp nghiên cứu phương trình bậc hai, cũng như công thức phân biệt, khá không thành công trong học sinh, giống như trong giáo dục thực tế. Vì vậy, năm học trôi qua, giáo dục từ lớp 9-11 thay thế "giáo dục đại học" và mọi người lại đang tìm kiếm - "Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai?", "Làm thế nào để tìm nghiệm nguyên của một phương trình?", "Làm thế nào để tìm phân thức?" và...

Công thức phân biệt

Phép phân biệt D của phương trình bậc hai a * x ^ 2 + bx + c = 0 là D = b ^ 2–4 * a * c.
Nghiệm (nghiệm) của phương trình bậc hai phụ thuộc vào dấu của phân thức (D):
D> 0 - phương trình có 2 nghiệm nguyên khác nhau;
D = 0 - phương trình có 1 nghiệm (2 nghiệm trùng):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Công thức tính số phân biệt khá đơn giản, vì vậy nhiều trang cung cấp công cụ tính số phân biệt trực tuyến. Chúng tôi chưa tìm ra loại script này, nên ai biết cách triển khai, vui lòng viết thư vào mail Địa chỉ email này đã được bảo vệ từ spam bots. Bạn phải bật JavaScript để xem. .

Công thức tổng quát để tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai:

Các nghiệm nguyên của phương trình được tìm thấy bởi công thức
Nếu hệ số của biến trong bình phương được ghép nối, thì bạn nên tính toán không phải là phân biệt, mà là phần thứ tư của nó.
Trong những trường hợp như vậy, nghiệm nguyên của phương trình được tìm bằng công thức

Cách thứ hai để tìm nghiệm nguyên là Định lý Vieta.

Định lý không chỉ được xây dựng cho phương trình bậc hai mà còn cho đa thức. Bạn có thể đọc điều này trên Wikipedia hoặc các nguồn điện tử khác. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, hãy xem xét phần đó liên quan đến phương trình bậc hai rút gọn, tức là phương trình có dạng (a = 1)
Bản chất của công thức Vieta là tổng các nghiệm của phương trình bằng hệ số của biến số, lấy với dấu trái dấu. Tích của các nghiệm của phương trình bằng số hạng tự do. Các công thức của định lý Vieta có ký hiệu.
Việc suy ra công thức Vieta khá đơn giản. Hãy viết phương trình bậc hai dưới dạng thừa số nguyên tố
Như bạn có thể thấy, mọi thứ khéo léo đều đơn giản cùng một lúc. Sử dụng công thức Vieta là có hiệu quả khi hiệu số môđun của các nghiệm thức hoặc hiệu số môđun của các nghiệm thức là 1, 2. Ví dụ, các phương trình sau đây, theo định lý Vieta, có các nghiệm thức.




Lên đến 4 phân tích phương trình sẽ giống như thế này. Tích của các nghiệm nguyên của phương trình là 6, do đó các nghiệm nguyên có thể là các giá trị (1, 6) và (2, 3) hoặc các cặp cùng dấu. Tổng của các căn là 7 (hệ số của biến số cùng dấu). Từ đây ta kết luận rằng các nghiệm của phương trình bậc hai là x = 2; x = 3.
Việc chọn nghiệm nguyên của phương trình trong số các ước của số hạng tự do sẽ dễ dàng hơn, sửa dấu của chúng để hoàn thành các công thức Vieta. Lúc đầu, điều này có vẻ khó thực hiện, nhưng với việc thực hành một số phương trình bậc hai, kỹ thuật này sẽ hiệu quả hơn tính toán phân biệt và tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai theo cách cổ điển.
Như bạn có thể thấy, lý thuyết trường học về nghiên cứu phân biệt và các cách tìm nghiệm cho phương trình là không có ý nghĩa thực tế - “Tại sao học sinh cần phương trình bậc hai?”, “Ý nghĩa vật lý của phép phân biệt là gì?”.

Hãy cố gắng tìm ra nó người phân biệt mô tả cái gì?

Trong quá trình đại số, họ nghiên cứu các hàm, các lược đồ để nghiên cứu các hàm và các hàm vẽ đồ thị. Trong tất cả các hàm, một vị trí quan trọng được chiếm bởi một parabol, phương trình của nó có thể được viết dưới dạng
Vì vậy, ý nghĩa vật lý của phương trình bậc hai là các số không của parabol, tức là các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành độ Ox.
Tôi yêu cầu bạn nhớ các thuộc tính của parabol được mô tả dưới đây. Sẽ đến lúc thi cử, kiểm tra hay đầu vào và các bạn rất biết ơn vì tài liệu tham khảo. Dấu của biến trong hình vuông tương ứng với việc các nhánh của parabol trên biểu đồ có đi lên hay không (a> 0),

hoặc một hình parabol với các nhánh xuống (a<0) .

Đỉnh của parabol nằm giữa các gốc

Ý nghĩa vật lý của đối tượng phân biệt:

Nếu số phân biệt lớn hơn 0 (D> 0) thì parabol có hai giao điểm với trục Ox.
Nếu số phân biệt bằng 0 (D = 0), thì parabol ở đỉnh tiếp xúc với trục x.
Và trường hợp cuối cùng, khi số phân biệt nhỏ hơn 0 (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Phương trình bậc hai không đầy đủ

Phương trình bậc hai được học ở lớp 8 nên không có gì phức tạp ở đây. Khả năng giải quyết chúng là điều cần thiết.

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c là các số tùy ý và a ≠ 0.

Trước khi nghiên cứu các phương pháp giải cụ thể, chúng ta lưu ý rằng tất cả các phương trình bậc hai có thể được chia thành ba lớp:

1. Không có rễ;
2. Chúng có chính xác một gốc;
3. Chúng có hai gốc khác nhau.

Đây là sự khác biệt quan trọng giữa phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính, trong đó căn luôn tồn tại và là duy nhất. Làm thế nào để xác định một phương trình có bao nhiêu nghiệm? Có một điều tuyệt vời cho điều này - phân biệt đối xử.

Phân biệt đối xử

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0. Khi đó phân thức đơn giản là số D = b 2 - 4ac.

Công thức này phải thuộc lòng. Nó đến từ đâu bây giờ không còn quan trọng nữa. Một điều quan trọng nữa là: bằng dấu của phân thức, bạn có thể xác định phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm nguyên. Cụ thể:

1. Nếu D< 0, корней нет;
2. Nếu D = 0 thì có đúng một căn;
3. Nếu D> 0, sẽ có hai gốc.

Xin lưu ý: dấu hiệu phân biệt cho biết số lượng rễ chứ hoàn toàn không phải dấu hiệu của chúng, như nhiều người vẫn nghĩ. Hãy xem các ví dụ và bạn sẽ tự hiểu mọi thứ:

Một nhiệm vụ. Phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm nguyên:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Chúng tôi viết các hệ số cho phương trình đầu tiên và tìm phân biệt:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Vì vậy, số phân biệt là số dương nên phương trình có hai nghiệm khác nhau. Chúng tôi phân tích phương trình thứ hai theo cách tương tự:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \ u003d 3 2 - 4 5 7 \ u003d 9 - 140 \ u003d -131.

Phân biệt là tiêu cực, không có gốc rễ. Phương trình cuối cùng vẫn là:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Số phân biệt bằng 0 - gốc sẽ là một.

Lưu ý rằng các hệ số đã được viết ra cho mỗi phương trình. Vâng, nó dài, vâng, nó tẻ nhạt - nhưng bạn sẽ không trộn lẫn các tỷ lệ cược và không mắc những sai lầm ngớ ngẩn. Chọn cho mình: tốc độ hoặc chất lượng.

Nhân tiện, nếu bạn “điền đầy tay”, sau một thời gian, bạn sẽ không cần phải viết ra tất cả các hệ số nữa. Bạn sẽ thực hiện các thao tác như vậy trong đầu. Hầu hết mọi người bắt đầu làm điều này ở đâu đó sau khi giải được 50-70 phương trình - nói chung, không quá nhiều.

Rễ của một phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải pháp. Nếu số phân biệt D> 0, các gốc có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Công thức cơ bản cho nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Khi D = 0, bạn có thể sử dụng bất kỳ công thức nào trong số này - bạn sẽ nhận được cùng một số, đó sẽ là câu trả lời. Cuối cùng, nếu D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Phương trình đầu tiên:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm. Hãy tìm chúng:

Phương trình thứ hai:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ phương trình lại có hai nghiệm. Hãy tìm chúng

\ [\ begin (align) & (x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Cuối cùng, phương trình thứ ba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ phương trình có một nghiệm nguyên. Bất kỳ công thức nào cũng có thể được sử dụng. Ví dụ: cái đầu tiên:

Như bạn có thể thấy từ các ví dụ, mọi thứ rất đơn giản. Nếu bạn biết các công thức và có thể đếm, sẽ không có vấn đề gì. Thông thường, lỗi xảy ra khi các hệ số âm được thay thế vào công thức. Ở đây, một lần nữa, kỹ thuật được mô tả ở trên sẽ giúp ích: nhìn vào công thức theo nghĩa đen, vẽ từng bước - và loại bỏ những sai lầm rất sớm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ

Điều xảy ra là phương trình bậc hai hơi khác với những gì được đưa ra trong định nghĩa. Ví dụ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

Dễ dàng nhận thấy rằng một trong các số hạng bị thiếu trong các phương trình này. Những phương trình bậc hai như vậy thậm chí còn dễ giải hơn những phương trình chuẩn: chúng thậm chí không cần tính số phân biệt. Vì vậy, hãy giới thiệu một khái niệm mới:

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai không hoàn toàn nếu b = 0 hoặc c = 0, tức là hệ số của biến x hoặc phần tử tự do bằng không.

Tất nhiên, một trường hợp rất khó có thể xảy ra khi cả hai hệ số này đều bằng 0: b \ u003d c \ u003d 0. Trong trường hợp này, phương trình có dạng ax 2 \ u003d 0. Rõ ràng, một phương trình như vậy có một gốc: x \ u003d 0.

Chúng ta hãy xem xét các trường hợp khác. Đặt b \ u003d 0, sau đó chúng ta nhận được một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 + c \ u003d 0. Hãy biến đổi một chút:

Vì căn bậc hai số học chỉ tồn tại từ một số không âm nên hằng đẳng thức cuối cùng chỉ có nghĩa khi (−c / a) ≥ 0. Kết luận:

1. Nếu một phương trình bậc hai không hoàn toàn dạng ax 2 + c = 0 thỏa mãn bất phương trình (−c / a) ≥ 0 thì sẽ có hai nghiệm nguyên. Công thức được đưa ra ở trên;
2. Nếu (−c / a)< 0, корней нет.

Như bạn có thể thấy, số phân biệt là không cần thiết - không có phép tính phức tạp nào trong phương trình bậc hai không hoàn chỉnh. Trong thực tế, thậm chí không cần phải nhớ bất đẳng thức (−c / a) ≥ 0. Chỉ cần biểu diễn giá trị của x 2 và xem điều gì nằm ở phía bên kia của dấu bằng. Nếu có một số dương thì sẽ có hai gốc. Nếu tiêu cực, sẽ không có rễ gì cả.

Bây giờ chúng ta hãy xử lý các phương trình có dạng ax 2 + bx = 0, trong đó phần tử tự do bằng không. Mọi thứ đều đơn giản ở đây: sẽ luôn có hai gốc rễ. Nó là đủ để phân tích thành nhân tử của đa thức:

Lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng không. Đây là nơi bắt nguồn của gốc rễ. Cuối cùng, chúng tôi sẽ phân tích một số phương trình sau:

Một nhiệm vụ. Giải phương trình bậc hai:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Không có rễ, bởi vì hình vuông không thể bằng một số âm.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \ u003d -1,5.

Trường trung học nông thôn Kopyevskaya

10 cách giải phương trình bậc hai

Trưởng phòng: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

giáo viên toán học

s.Kopyevo, 2007

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

1.2 Cách Diophantus biên soạn và giải phương trình bậc hai

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

1.4 Phương trình bậc hai trong al-Khwarizmi

1.5 Phương trình bậc hai ở Châu Âu thế kỷ XIII - XVII

1.6 Về định lý Vieta

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Sự kết luận

Văn chương

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ ở cấp độ một mà còn cả cấp độ thứ hai trong thời cổ đại là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm kiếm các khu vực đất và các công trình đào đắp có tính chất quân sự, cũng như sự phát triển của thiên văn học và chính toán học. Phương trình bậc hai đã có thể giải được khoảng 2000 năm trước Công nguyên. e. Người Babylon.

Áp dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản hình nêm của họ, ngoài những văn bản không hoàn chỉnh, chẳng hạn như, phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Quy tắc giải các phương trình này, được nêu trong các văn bản của người Babylon, về cơ bản trùng khớp với quy tắc hiện đại, nhưng không biết người Babylon đã đưa ra quy tắc này như thế nào. Hầu hết tất cả các văn bản chữ hình nêm được tìm thấy cho đến nay chỉ đưa ra các vấn đề với các giải pháp được nêu dưới dạng công thức, không có dấu hiệu về cách chúng được tìm thấy.

Mặc dù có trình độ phát triển cao của đại số ở Babylon, các văn bản hình nêm thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

1.2 Cách Diophantus biên soạn và giải phương trình bậc hai.

Diophantus 'Arithmetic không chứa một giải thích đại số có hệ thống, nhưng nó chứa một loạt các vấn đề có hệ thống, kèm theo lời giải thích và được giải bằng cách lập các phương trình có bậc khác nhau.

Khi biên soạn các phương trình, Diophantus đã khéo léo chọn các ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Đây, ví dụ, là một trong những nhiệm vụ của anh ta.

Nhiệm vụ 11."Tìm hai số biết rằng tổng của chúng là 20 và tích của chúng là 96"

Diophantus lập luận như sau: điều kiện của bài toán là các số mong muốn không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau, thì tích của chúng sẽ không phải là 96, mà là 100. Như vậy, một trong số chúng sẽ hơn một nửa số của chúng. tổng, tức là 10 + x, cái còn lại nhỏ hơn, tức là 10 của. Sự khác biệt giữa chúng 2x .

Do đó phương trình:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Từ đây x = 2. Một trong những con số mong muốn là 12 , khác 8 . Dung dịch x = -2 vì Diophantus không tồn tại, vì toán học Hy Lạp chỉ biết các số dương.

Nếu chúng ta giải bài toán này bằng cách chọn một trong các số mong muốn làm ẩn số, thì chúng ta sẽ đi đến nghiệm của phương trình

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Rõ ràng là Diophantus đơn giản hóa giải pháp bằng cách chọn hiệu số nửa của các số mong muốn làm ẩn số; anh ấy xoay sở để giảm vấn đề thành giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh (1).

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong đường thiên văn "Aryabhattam", được biên soạn vào năm 499 bởi nhà toán học và thiên văn học Ấn Độ Aryabhatta. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), đã vạch ra quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn thành một dạng chính tắc duy nhất:

à 2+ b x = c, a> 0. (1)

Trong phương trình (1), các hệ số, ngoại trừ một, cũng có thể là tiêu cực. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản trùng khớp với quy tắc của chúng ta.

Ở Ấn Độ cổ đại, các cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn là rất phổ biến. Trong một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ, điều sau đây được nói về các cuộc thi như vậy: "Vì mặt trời chiếu sáng hơn các ngôi sao với vẻ rực rỡ của nó, vì vậy một người có học sẽ vượt qua vinh quang của người khác trong các cuộc họp công khai, đề xuất và giải quyết các vấn đề đại số." Các nhiệm vụ thường được đặt dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học Ấn Độ nổi tiếng thế kỷ XII. Bhaskara.

Nhiệm vụ 13.

“Một đàn khỉ cuồng nhiệt Và mười hai cây dây leo ...

Có sức ăn, có niềm vui. Họ bắt đầu nhảy, treo ...

Một phần tám trong số chúng trong một hình vuông Có bao nhiêu con khỉ ở đó,

Vui chơi trên đồng cỏ. Bạn cho tôi biết, trong đàn này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng ông đã biết về giá trị hai của các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai (Hình 3).

Phương trình tương ứng với bài toán 13 là:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

x 2 - 64x = -768

và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành một hình vuông, anh ấy thêm vào cả hai vế 32 2 , nhận được sau đó:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Phương trình bậc hai trong al-Khorezmi

Chuyên luận đại số của Al-Khorezmi đưa ra sự phân loại các phương trình tuyến tính và bậc hai. Tác giả liệt kê 6 loại phương trình, diễn đạt chúng như sau:

1) "Bình phương bằng căn", tức là ax 2 + c = b X.

2) "Hình vuông bằng số", tức là ax 2 = s.

3) "Rễ bằng số", tức là à = s.

4) "Số bình phương và số bằng căn", tức là ax 2 + c = b X.

5) "Hình vuông và gốc bằng một số", tức là à 2+ bx = s.

6) "Rễ và số lượng bằng hình vuông", tức là bx + c \ u003d ax 2.

Đối với al-Khwarizmi, người đã tránh sử dụng các số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là số phụ, không phải là số trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có nghiệm dương rõ ràng không được tính đến. Tác giả phác thảo các phương pháp giải các phương trình này, sử dụng các phương pháp của al-jabr và al-muqabala. Tất nhiên, quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Không đề cập đến việc nó hoàn toàn là phép tu từ, ví dụ, cần lưu ý rằng khi giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh loại thứ nhất.

al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học trước thế kỷ 17, không tính đến nghiệm số 0, có lẽ vì nó không quan trọng trong các bài toán thực tế cụ thể. Khi giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, al-Khorezmi đặt ra các quy tắc giải và sau đó là chứng minh hình học, sử dụng các ví dụ số cụ thể.

Nhiệm vụ 14.“Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm gốc " (giả sử là nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 21 = 10x).

Giải pháp của tác giả tương tự như sau: chia đôi số gốc, bạn được 5, nhân 5 với chính nó, trừ đi 21 cho tích, còn lại 4. Lấy gốc của 4, bạn được 2. Trừ 2 với 5, bạn lấy 3, đây sẽ là gốc mong muốn. Hoặc thêm 2 đến 5, sẽ cho ra 7, đây cũng là một gốc.

Treatise al - Khorezmi là cuốn sách đầu tiên đến với chúng tôi, trong đó việc phân loại các phương trình bậc hai được nêu một cách có hệ thống và đưa ra các công thức cho nghiệm của chúng.

1.5 Phương trình bậc hai ở Châu Âu XIII - XVII thế kỉ

Các công thức giải phương trình bậc hai trên mô hình al-Khorezmi ở Châu Âu lần đầu tiên được đưa ra trong "Sách Bàn tính", được viết vào năm 1202 bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci. Công trình đồ sộ này, phản ánh ảnh hưởng của toán học, của cả các quốc gia Hồi giáo và Hy Lạp cổ đại, được phân biệt bởi cả sự hoàn chỉnh và rõ ràng của cách trình bày. Tác giả đã độc lập phát triển một số ví dụ đại số mới về giải quyết vấn đề và là người đầu tiên ở Châu Âu tiếp cận việc giới thiệu số âm. Cuốn sách của ông đã góp phần truyền bá kiến ​​thức đại số không chỉ ở Ý, mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều nhiệm vụ từ "Sách Bàn tính" được đưa vào hầu hết các sách giáo khoa của châu Âu thế kỷ 16 - 17. và một phần XVIII.

Quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc:

x 2+ bx = với,

cho tất cả các kết hợp có thể có của các dấu hiệu của hệ số b , Với chỉ được sản xuất ở Châu Âu vào năm 1544 bởi M. Stiefel.

Vieta có một công thức tổng quát để giải một phương trình bậc hai, nhưng Vieta chỉ công nhận các nghiệm nguyên dương. Các nhà toán học Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli là những nhà toán học đầu tiên của thế kỷ 16. Hãy tính đến, ngoài gốc tích cực và tiêu cực. Chỉ trong thế kỷ XVII. Nhờ công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, cách giải phương trình bậc hai mang dáng vẻ hiện đại.

1.6 Về định lý Vieta

Định lý biểu thị mối quan hệ giữa các hệ số của phương trình bậc hai và nghiệm nguyên của nó, mang tên Vieta, được ông đưa ra lần đầu tiên vào năm 1591 như sau: “Nếu B + D nhân với Một - Một 2 , bằng BD, sau đó Một bằng TẠI và bằng nhau D ».

Để hiểu Vieta, người ta phải nhớ rằng NHƯNG, giống như bất kỳ nguyên âm nào, đối với anh ta có nghĩa là không xác định (của chúng tôi X), Nguyên âm TẠI, D- hệ số cho điều chưa biết. Theo ngôn ngữ của đại số hiện đại, công thức của Vieta ở trên có nghĩa là: nếu

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Thể hiện mối quan hệ giữa nghiệm nguyên và hệ số của phương trình bằng các công thức tổng quát viết bằng ký hiệu, Việt xác lập được tính đồng nhất trong phương pháp giải phương trình. Tuy nhiên, tính biểu tượng của Vieta vẫn còn xa so với hình thức hiện đại của nó. Ông không nhận ra các số âm, và do đó, khi giải các phương trình, ông chỉ xem xét các trường hợp mà tất cả các nghiệm đều dương.

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là nền tảng mà trên đó có thể xây dựng được tòa nhà hùng vĩ của đại số. Phương trình bậc hai được sử dụng rộng rãi trong việc giải các phương trình và bất phương trình lượng giác, mũ, logarit, vô tỉ và siêu việt. Từ khi đi học (lớp 8) chúng ta đều biết giải phương trình bậc hai cho đến khi ra trường.

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax ^ 2 + bx + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c là các số tùy ý và a ≠ 0 nếu không nó sẽ không còn là phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai hoặc không có căn, hoặc có đúng một căn, hoặc hai căn khác nhau. Bước đầu tiên là tìm kiếm đối tượng phân biệt. Công thức: D = b ^ 2 - 4ac. 1. Nếu D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, sẽ có hai gốc. Tùy chọn đầu tiên là rõ ràng, không có rễ. Nếu số phân biệt D> 0, các nghiệm nguyên có thể được tìm thấy như sau: x12 = (-b + - √D) / 2a. Đối với tùy chọn thứ hai, khi D = 0, công thức trên có thể được sử dụng.

Phương trình bậc hai đang bắt đầu được nghiên cứu trong chương trình giảng dạy của nhà trường trong quá trình toán học. Nhưng rất tiếc, không phải ai cũng hiểu và biết cách giải đúng một phương trình bậc hai và tính nghiệm nguyên của nó. Đầu tiên, chúng ta hãy hiểu phương trình bậc hai là gì.

Phương trình bậc hai là gì

Thuật ngữ phương trình bậc hai thường được hiểu là một phương trình đại số có dạng tổng quát. Phương trình này có dạng sau: ax2 + bx + c = 0, trong khi a, b và c là một số xác định, x là ẩn số. Ba số này thường được gọi là hệ số của phương trình bậc hai:

• a - hệ số thứ nhất;
• b - hệ số thứ hai;
• c là hệ số thứ ba.

Cách tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Để tính nghiệm của một phương trình bậc hai sẽ bằng bao nhiêu, cần phải tìm nghiệm phân biệt của phương trình. Phân thức của một phương trình bậc hai là một biểu thức bằng và được tính bằng công thức b2 - 4ac. Nếu số phân biệt lớn hơn 0, căn được tính theo công thức: x \ u003d -b + - căn của số phân biệt chia cho 2 a.

Hãy xem xét ví dụ của phương trình 5x bình phương - 8x +3 = 0

Số phân biệt là tám bình phương, trừ bốn nhân năm nhân ba, tức là = 64 - 4 * 5 * 3 = 64-60 = 4

x1 \ u003d 8 + - căn của bốn chia cho hai lần năm \ u003d 8 + 2/10 \ u003d 1

x2 = 8-2 / 10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Theo đó, nghiệm nguyên của phương trình bậc hai này sẽ là 1 và 0,6.

Công thức nghiệm nguyên của phương trình bậc hai. Các trường hợp gốc thực, nhiều và phức đều được xem xét. Nhân tử của một tam thức bình phương. Giải thích hình học. Ví dụ về xác định gốc và thừa số.

Công thức cơ bản

Xét phương trình bậc hai:
(1) .
Rễ của một phương trình bậc hai(1) được xác định theo công thức:
; .
Các công thức này có thể được kết hợp như sau:
.
Khi biết nghiệm nguyên của phương trình bậc hai, thì đa thức bậc hai có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số (thừa số):
.

Hơn nữa, chúng tôi giả định rằng đó là số thực.
Xem xét phân biệt của một phương trình bậc hai:
.
Nếu số phân biệt là số dương thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm nguyên khác nhau:
; .
Khi đó nhân tử của tam thức bình phương có dạng:
.
Nếu số phân biệt bằng 0 thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm nguyên (bằng nhau):
.
Thừa số hóa:
.
Nếu số phân biệt là âm thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm nguyên liên hợp:
;
.
Đây là đơn vị tưởng tượng ,;
và là phần thực và phần ảo của rễ:
; .
sau đó

.

Giải thích đồ họa

Nếu chúng ta vẽ đồ thị hàm
,
là một parabol, thì giao điểm của đồ thị với trục sẽ là nghiệm của phương trình
.
Khi nào, đồ thị cắt trục (trục) abscissa tại hai điểm.
Khi nào, biểu đồ tiếp xúc với trục x tại một điểm.
Khi nào, đồ thị không cắt qua trục x.

Dưới đây là ví dụ về các biểu đồ như vậy.

Các công thức hữu ích liên quan đến phương trình bậc hai

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Suy ra công thức nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi và áp dụng các công thức (f.1) và (f.3):




,
ở đâu
; .

Vì vậy, chúng tôi đã có công thức cho đa thức bậc hai ở dạng:
.
Từ đó có thể thấy rằng phương trình

biểu diễn tại
và .
Đó là, và là nghiệm của phương trình bậc hai
.

Ví dụ về xác định nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

ví dụ 1

(1.1) .

Dung dịch

.
So sánh với phương trình (1.1), chúng tôi tìm thấy giá trị của các hệ số:
.
Tìm điểm phân biệt:
.
Vì số phân biệt là số dương nên phương trình có hai nghiệm thực:
;
;
.

Từ đây, chúng ta thu được phân thức của tam thức bình phương thành các thừa số:

.

Đồ thị của hàm số y = 2 x 2 + 7 x + 3 cắt trục x tại hai điểm.

Hãy vẽ hàm
.
Đồ thị của hàm này là một parabol. Nó đi qua trục x (trục) tại hai điểm:
và .
Những điểm này là gốc của phương trình ban đầu (1.1).

Câu trả lời

;
;
.

Ví dụ 2

Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai:
(2.1) .

Dung dịch

Ta viết phương trình bậc hai ở dạng tổng quát:
.
Đối chiếu với phương trình ban đầu (2.1), ta tìm được giá trị của các hệ số:
.
Tìm điểm phân biệt:
.
Vì số phân biệt bằng 0 nên phương trình có hai nghiệm nguyên (bằng nhau):
;
.

Khi đó phân thức nhân tử có dạng:
.

Đồ thị của hàm số y = x 2 - 4 x + 4 chạm vào trục x tại một điểm.

Hãy vẽ hàm
.
Đồ thị của hàm này là một parabol. Nó chạm vào trục x (trục) tại một điểm:
.
Điểm này là gốc của phương trình ban đầu (2.1). Vì gốc này được tính hai lần:
,
thì một gốc như vậy được gọi là một bội số. Có nghĩa là, họ coi rằng có hai gốc bằng nhau:
.

Câu trả lời

;
.

Ví dụ 3

Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai:
(3.1) .

Dung dịch

Ta viết phương trình bậc hai ở dạng tổng quát:
(1) .
Hãy để chúng tôi viết lại phương trình ban đầu (3.1):
.
So sánh với (1), chúng tôi tìm thấy giá trị của các hệ số:
.
Tìm điểm phân biệt:
.
Phân biệt đối xử là tiêu cực ,. Do đó, không có rễ thực sự.

Bạn có thể tìm thấy các gốc phức tạp:
;
;
.

sau đó


.

Đồ thị của hàm số không qua trục x. Không có rễ thực sự.

Hãy vẽ hàm
.
Đồ thị của hàm này là một parabol. Nó không vượt qua abscissa (trục). Do đó, không có rễ thực sự.

Câu trả lời

Không có rễ thực sự. Rễ phức tạp:
;
;
.