Cách giải phương trình bằng đồ thị. Phương pháp đồ họa để giải phương trình

Giả sử có một phương trình bậc hai hoàn chỉnh: A*x2+B*x+C=0, trong đó A, B và C là số bất kỳ và A không bằng 0. Đây là trường hợp tổng quát của phương trình bậc hai. Ngoài ra còn có dạng rút gọn trong đó A=1. Để giải bất kỳ phương trình nào bằng đồ thị, bạn cần di chuyển số hạng có bậc cao nhất sang phần khác và đánh đồng cả hai phần với một biến nào đó.

Sau này, A*x2 sẽ vẫn ở vế trái của phương trình và B*x-C ở vế phải (chúng ta có thể giả sử rằng B là số âm, điều này không làm thay đổi bản chất). Phương trình thu được là A*x2=B*x-C=y. Để rõ ràng, trong trường hợp này cả hai phần đều tương đương với biến y.

Vẽ đồ thị và xử lý kết quả

Bây giờ chúng ta có thể viết hai phương trình: y=A*x2 và y=B*x-C. Tiếp theo, bạn cần vẽ đồ thị của từng hàm này. Đồ thị y=A*x2 là một parabol có đỉnh ở gốc, các nhánh của nó hướng lên trên hoặc hướng xuống dưới, tùy thuộc vào dấu của số A. Nếu nó âm, các nhánh hướng xuống dưới, nếu dương, các nhánh hướng lên trên.

Đồ thị y=B*x-C là một đường thẳng đều. Nếu C=0 thì đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Trong trường hợp tổng quát, nó cắt một đoạn bằng C khỏi trục hoành. Góc nghiêng của đường thẳng này so với trục hoành được xác định bởi hệ số B. Nó bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của góc này.

Sau khi vẽ đồ thị, ta thấy chúng cắt nhau tại hai điểm. Tọa độ của các điểm này dọc theo trục x xác định nghiệm của phương trình bậc hai. Để xác định chính xác chúng, bạn cần xây dựng đồ thị rõ ràng và chọn tỷ lệ phù hợp.

Một giải pháp đồ họa khác

Có một cách khác để giải phương trình bậc hai bằng đồ thị. Không cần thiết phải di chuyển B*x+C sang vế khác của phương trình. Bạn có thể vẽ ngay hàm y=A*x2+B*x+C. Đồ thị như vậy là một parabol có đỉnh tại một điểm tùy ý. Phương pháp này phức tạp hơn phương pháp trước, nhưng bạn chỉ có thể xây dựng một biểu đồ để...

Trước tiên bạn cần xác định đỉnh của parabol có tọa độ x0 và y0. Trục hoành của nó được tính bằng công thức x0=-B/2*a. Để xác định tọa độ, bạn cần thay thế giá trị hoành độ thu được vào hàm ban đầu. Về mặt toán học, câu lệnh này được viết như sau: y0=y(x0).

Khi đó bạn cần tìm hai điểm đối xứng với trục của parabol. Ở họ, chức năng ban đầu phải biến mất. Sau đó, bạn có thể xây dựng một parabol. Các điểm giao nhau của nó với trục X sẽ cho hai nghiệm của phương trình bậc hai.

Đôi khi các phương trình được giải bằng đồ họa. Để làm điều này, bạn cần biến đổi phương trình sao cho (nếu nó chưa được biểu diễn ở dạng biến đổi) sao cho ở bên trái và bên phải của dấu bằng có các biểu thức mà bạn có thể dễ dàng vẽ đồ thị hàm số. Ví dụ, cho phương trình sau:
x² – 2x – 1 = 0

Nếu chúng ta chưa nghiên cứu cách giải phương trình bậc hai bằng đại số, chúng ta có thể thử thực hiện điều này bằng cách phân tích nhân tử hoặc bằng đồ thị. Để giải phương trình như vậy bằng đồ thị, chúng tôi trình bày nó dưới dạng sau:
x² = 2x + 1

Từ cách biểu diễn phương trình này, cần phải tìm các giá trị x sao cho vế trái bằng vế phải.

Như bạn đã biết, đồ thị của hàm số y = x² là một parabol và y = 2x + 1 là một đường thẳng. Tọa độ x của các điểm của mặt phẳng tọa độ nằm trên cả đồ thị thứ nhất và đồ thị thứ hai (nghĩa là các điểm giao nhau của đồ thị) chính xác là các giá trị x mà tại đó vế trái của phương trình sẽ bằng nhau rẽ phải. Nói cách khác, tọa độ x của các điểm mà đồ thị giao nhau là nghiệm của phương trình.

Đồ thị có thể cắt nhau tại nhiều điểm, tại một điểm hoặc không cắt nhau chút nào. Theo đó, một phương trình có thể có nhiều nghiệm, hoặc một nghiệm, hoặc không có nghiệm nào cả.

Hãy xem một ví dụ đơn giản hơn:
x 2 – 2x = 0 hoặc x 2 = 2x

Hãy vẽ đồ thị của các hàm số y = x² và y = 2x:

Như có thể thấy từ hình vẽ, parabol và đường thẳng cắt nhau tại các điểm (0; 0) và (2; 4). Tọa độ x của các điểm này lần lượt bằng 0 và 2. Điều này có nghĩa là phương trình x² – 2x = 0 có hai nghiệm - x 1 = 0, x 2 = 2.

Hãy kiểm tra điều này bằng cách giải phương trình bằng cách lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Số 0 ở vế phải có thể xuất hiện khi x bằng 0 hoặc 2.

Lý do tại sao chúng ta không giải phương trình x2 – 2x – 1 = 0 bằng đồ thị là vì trong hầu hết các phương trình, nghiệm là số thực (phân số) và rất khó xác định chính xác giá trị của x trên đồ thị. Vì vậy, đối với hầu hết các phương trình, nghiệm đồ họa không phải là tốt nhất. Tuy nhiên, kiến ​​thức về phương pháp này cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các phương trình và hàm số.

Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét việc giải hệ hai phương trình hai biến. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét giải pháp đồ họa của một hệ gồm hai phương trình tuyến tính và tính chất cụ thể của tập hợp đồ thị của chúng. Tiếp theo, chúng ta sẽ giải một số hệ bằng phương pháp đồ họa.

Đề tài: Hệ phương trình

Bài học: Phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình

Hãy xem xét hệ thống

Một cặp số đồng thời là nghiệm của cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ được gọi là giải hệ phương trình.

Giải một hệ phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào. Chúng ta đã xem xét đồ thị của các phương trình cơ bản, hãy chuyển sang xem xét các hệ thống.

Ví dụ 1. Giải hệ

Giải pháp:

Đây là những phương trình tuyến tính, đồ thị của mỗi phương trình là một đường thẳng. Đồ thị của phương trình thứ nhất đi qua các điểm (0; 1) và (-1; 0). Đồ thị của phương trình thứ hai đi qua các điểm (0; -1) và (-1; 0). Các đường thẳng cắt nhau tại điểm (-1; 0), đây là nghiệm của hệ phương trình ( Cơm. 1).

Lời giải của hệ là một cặp số thay thế cặp số này vào mỗi phương trình, ta thu được đẳng thức đúng.

Chúng tôi đã thu được một giải pháp duy nhất cho hệ thống tuyến tính.

Hãy nhớ lại rằng khi giải một hệ tuyến tính, có thể xảy ra các trường hợp sau:

hệ thống có một giải pháp duy nhất - các đường giao nhau,

hệ thống không có nghiệm - các đường thẳng song song,

hệ có vô số nghiệm - các đường thẳng trùng nhau.

Chúng ta đã xem xét một trường hợp đặc biệt của hệ thống khi p(x; y) và q(x; y) là các biểu thức tuyến tính của x và y.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

Giải pháp:

Đồ thị của phương trình thứ nhất là đường thẳng, đồ thị của phương trình thứ hai là đường tròn. Hãy xây dựng biểu đồ đầu tiên theo điểm (Hình 2).

Tâm của đường tròn tọa lạc tại điểm O(0; 0), bán kính là 1.

Các đồ thị giao nhau tại điểm A(0; 1) và điểm B(-1; 0).

Ví dụ 3. Giải hệ bằng đồ thị

Giải: Hãy dựng đồ thị của phương trình thứ nhất - đó là một đường tròn có tâm t.O(0; 0) và bán kính 2. Đồ thị của phương trình thứ hai là một parabol. Nó được dịch chuyển lên trên 2 so với gốc tọa độ, tức là đỉnh của nó là điểm (0; 2) (Hình 3).

Các đồ thị có một điểm chung - tức là A(0; 2). Đó là giải pháp cho hệ thống. Hãy thay một vài số vào phương trình để kiểm tra xem nó có đúng không.

Ví dụ 4. Giải hệ

Giải pháp: Hãy xây dựng đồ thị của phương trình đầu tiên - đây là một đường tròn có tâm t.O(0; 0) và bán kính 1 (Hình 4).

Hãy vẽ đồ thị hàm Đây là một đường đứt nét (Hình 5).

Bây giờ hãy di chuyển nó xuống 1 dọc theo trục oy. Đây sẽ là đồ thị của hàm

Hãy đặt cả hai đồ thị trong cùng một hệ tọa độ (Hình 6).

Chúng ta có ba điểm giao nhau - điểm A(1; 0), điểm B(-1; 0), điểm C(0; -1).

Chúng tôi đã xem xét phương pháp đồ họa để giải hệ thống. Nếu bạn có thể vẽ đồ thị của từng phương trình và tìm tọa độ của các điểm giao nhau thì phương pháp này là khá đủ.

Nhưng thông thường, phương pháp đồ họa chỉ có thể tìm ra lời giải gần đúng của hệ thống hoặc trả lời câu hỏi về số lượng lời giải. Vì vậy, cần có những phương pháp khác, chính xác hơn và chúng ta sẽ giải quyết chúng trong các bài học sau.

1. Mordkovich A.G. và các bài khác Đại số lớp 9: Sách giáo khoa. Đối với giáo dục phổ thông Các tổ chức.- tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 tr.: ốm.

2. Mordkovich A.G. và các cuốn khác Đại số lớp 9: Sách giải toán dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, v.v. - tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 tr.: ốm.

3. Makarychev Yu. Lớp 9: giáo dục. dành cho học sinh phổ thông. tổ chức / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - tái bản lần thứ 7, rev. và bổ sung - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Đại số học. lớp 9. tái bản lần thứ 16 - M., 2011. - 287 tr.

5. Mordkovich A. G. Đại số. lớp 9. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - tái bản lần thứ 12, đã xóa. - M.: 2010. - 224 tr.: ốm.

6. Đại số. lớp 9. Gồm 2 phần. Phần 2. Sách giải bài tập cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina và những người khác; Ed. A. G. Mordkovich. - tái bản lần thứ 12, sửa đổi. - M.: 2010.-223 tr.: ốm.

1. Phần College.ru về toán học ().

2. Dự án Internet “Nhiệm vụ” ().

3. Cổng thông tin giáo dục “TÔI SẼ GIẢI Kỳ thi Thống nhất” ().

1. Mordkovich A.G. và các cuốn khác Đại số lớp 9: Sách giải toán dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, v.v. - tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 tr.: ốm. Số 105, 107, 114, 115.

Muốn học bơi thì hãy mạnh dạn xuống nước, muốn học cách giải quyết vấn đề thì hãy giải quyết chúng.

D. Polya

phương trình là một đẳng thức chứa một hoặc nhiều ẩn số, với điều kiện nhiệm vụ là tìm các giá trị của ẩn số mà nó đúng.

Giải phương trình- điều này có nghĩa là tìm tất cả các giá trị của ẩn số mà tại đó nó biến thành một đẳng thức số chính xác hoặc thiết lập rằng không có giá trị nào như vậy.

Phạm vi giá trị chấp nhận được phương trình (O.D.Z.) là tập hợp tất cả các giá trị của biến (biến) mà tại đó tất cả các biểu thức có trong phương trình được xác định.

Nhiều phương trình trình bày trong Kỳ thi Thống nhất được giải bằng các phương pháp tiêu chuẩn. Nhưng không ai cấm sử dụng thứ gì đó bất thường, ngay cả trong những trường hợp đơn giản nhất.

Vì vậy, ví dụ, hãy xem xét phương trình 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

Hãy giải quyết nó bằng đồ họa, rồi tìm trung bình số học của các nghiệm của nó tăng lên sáu lần.

Để làm điều này, hãy xem xét các chức năng y=3 – x 2 Và y = 6 / (2 – x) và xây dựng đồ thị của họ.

Hàm số y = 3 – x 2 là hàm bậc hai.

Hãy viết lại hàm số này dưới dạng y = -x 2 + 3. Đồ thị của nó là một parabol, các nhánh của nó hướng xuống dưới (vì a = -1< 0).

Đỉnh của parabol sẽ dịch chuyển dọc theo trục tọa độ 3 đơn vị hướng lên trên. Do đó, tọa độ của đỉnh là (0; 3).

Để tìm tọa độ các điểm giao nhau của parabol với trục abscissa, chúng ta đánh đồng hàm này bằng 0 và giải phương trình thu được:

Do đó, tại các điểm có tọa độ (√3; 0) và (-√3; 0) parabol cắt trục hoành (Hình 1).

Đồ thị của hàm số y = 6 / (2 – x) là một hyperbol.

Đồ thị của hàm này có thể được vẽ bằng các phép biến đổi sau:

1) y = 6/x – tỉ lệ nghịch đảo. Đồ thị của hàm số là một hyperbol. Nó có thể được xây dựng từng điểm một; để làm điều này, hãy tạo một bảng giá trị cho x và y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – đồ thị của hàm số thu được ở bước 1 được hiển thị đối xứng so với trục tọa độ (Hình 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – dịch chuyển đồ thị thu được ở bước 2 dọc theo trục x hai đơn vị sang phải (Hình 4).

Bây giờ hãy vẽ đồ thị hàm số y = 3 – x 2 và y = 6 / (2 – x) trong cùng một hệ tọa độ (Hình 5).

Hình vẽ cho thấy các đồ thị cắt nhau tại ba điểm.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng giải pháp đồ họa không cho phép bạn tìm giá trị chính xác của gốc. Vậy các số là -1; 0; 3 (abcissas của các điểm giao nhau của đồ thị hàm số) cho đến nay chỉ là nghiệm giả định của phương trình.

Bằng cách kiểm tra, chúng tôi sẽ đảm bảo rằng các số là -1; 0; 3 thực sự là nghiệm của phương trình ban đầu:

Gốc -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Trung bình số học của họ:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Hãy tăng nó lên sáu lần: 6 2/3 = 4.

Tất nhiên, phương trình này có thể được giải theo cách quen thuộc hơn – đại số.

Vì vậy, hãy tìm trung bình số học của các nghiệm của phương trình 3 tăng lên sáu lần – x 2 = 6 / (2 – x).

Hãy bắt đầu giải phương trình bằng cách tìm kiếm O.D.Z. Mẫu số của phân số không được bằng 0, do đó:

Để giải phương trình, chúng ta sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ, điều này sẽ cho phép chúng ta loại bỏ phân số.

(3 – x 2)(2 – x) = 6.

Hãy mở ngoặc và trình bày các thuật ngữ tương tự:

6 – 3x – 2x2 + x3 = 6;

x 3 – 2x2 – 3x = 0.

Hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:

x(x2 – 2x – 3) = 0.

Hãy tận dụng thực tế là tích chỉ bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0, vì vậy chúng ta có:

x = 0 hoặc x 2 – 2x – 3 = 0.

Hãy giải phương trình thứ hai.

x 2 – 2x – 3 = 0. Nó là hình vuông nên chúng ta sẽ sử dụng phân biệt.

D=4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Cả ba nghiệm thu được đều thỏa mãn O.D.Z.

Vì vậy, hãy tìm giá trị trung bình số học của chúng và tăng nó lên sáu lần:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Trong thực tế, phương pháp đồ họa để giải phương trình khá hiếm khi được sử dụng. Điều này là do việc biểu diễn đồ họa của các hàm chỉ cho phép giải phương trình một cách gần đúng. Phương pháp này chủ yếu được sử dụng trong những bài toán trong đó điều quan trọng là không phải tìm kiếm gốc của phương trình - các giá trị số của chúng mà chỉ tìm số lượng của chúng.

blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.

Trong video bài học này, chủ đề “Hàm số y=x 2” được đưa ra để nghiên cứu. Giải pháp đồ họa của phương trình." Trong bài học này, học sinh sẽ được làm quen với một cách giải phương trình mới - bằng đồ thị, dựa trên kiến ​​thức về tính chất của đồ thị hàm số. Giáo viên sẽ hướng dẫn cách giải hàm số y=x 2 bằng đồ thị.

Chủ thể:Chức năng

Bài học:Chức năng. Giải pháp đồ họa của phương trình

Giải pháp đồ họa của phương trình dựa trên kiến ​​thức về đồ thị hàm số và các tính chất của chúng. Hãy liệt kê các hàm có đồ thị mà chúng ta biết:

1), đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành, đi qua một điểm trên trục tọa độ. Hãy xem một ví dụ: y=1:

Đối với các giá trị khác nhau, chúng ta có một họ các đường thẳng song song với trục x.

2) Hàm số tỉ lệ thuận, đồ thị của hàm số này là đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Hãy xem một ví dụ:

Chúng ta đã xây dựng những đồ thị này trong các bài học trước; hãy nhớ rằng để dựng từng đường thẳng, bạn cần chọn một điểm thỏa mãn điểm đó và lấy gốc tọa độ làm điểm thứ hai.

Ta nhắc lại vai trò của hệ số k: khi hàm số tăng thì góc giữa đường thẳng và chiều dương của trục x là nhọn; khi hàm số giảm thì góc giữa đường thẳng và chiều dương của trục x là góc tù. Ngoài ra, giữa hai tham số k cùng dấu còn tồn tại mối quan hệ sau: đối với k dương thì giá trị càng lớn thì hàm tăng càng nhanh, còn đối với k là k cùng dấu thì hàm giảm nhanh hơn đối với giá trị k lớn trong giá trị tuyệt đối .

3) Hàm tuyến tính. Khi - ta thu được giao điểm với trục tọa độ và mọi đường thẳng thuộc loại này đều đi qua điểm (0; m). Ngoài ra, khi hàm số tăng thì góc giữa đường thẳng và chiều dương của trục x là góc nhọn; khi hàm số giảm thì góc giữa đường thẳng và chiều dương của trục x là góc tù. Và tất nhiên giá trị của k ảnh hưởng đến tốc độ thay đổi của giá trị hàm.

4). Đồ thị của hàm này là một parabol.

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ 1 - Giải phương trình bằng đồ thị:

Chúng ta không biết các hàm thuộc loại này, vì vậy chúng ta cần biến đổi phương trình đã cho để hoạt động với các hàm đã biết:

Chúng ta nhận được các hàm quen thuộc ở cả hai vế của phương trình:

Hãy xây dựng đồ thị hàm số:

Đồ thị có hai điểm giao nhau: (-1; 1); (2; 4)

Hãy kiểm tra xem lời giải có được tìm đúng hay không và thay tọa độ vào phương trình:

Điểm đầu tiên đã được tìm thấy chính xác.

, , , , , ,

Điểm thứ hai cũng được tìm thấy chính xác.

Vậy nghiệm của phương trình là và

Chúng ta tiến hành tương tự như ví dụ trước: chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành các hàm mà chúng ta đã biết, xây dựng đồ thị của chúng, tìm các dòng điện giao nhau và từ đây chỉ ra nghiệm.

Chúng tôi nhận được hai chức năng:

Hãy xây dựng đồ thị:

Các đồ thị này không có điểm giao nhau, nghĩa là phương trình đã cho không có nghiệm

Kết luận: trong bài học này, chúng ta đã ôn lại các hàm và đồ thị mà chúng ta đã biết, ghi nhớ các tính chất của chúng và xem xét phương pháp đồ họa để giải phương trình.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. và những thứ khác. Đại số 7. Phiên bản thứ 6. M.: Sự giác ngộ. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Đại số 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. và những môn khác. Đại số 7.M.: Sự khai sáng. 2006

Nhiệm vụ 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. và những môn khác Đại số 7, số 494, Điều 110;

Nhiệm vụ 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. và các môn khác Đại số 7, số 495, Điều 110;

Nhiệm vụ 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. và những môn khác Đại số 7, số 496, Điều 110;