Phương trình vi phân thuần nhất tổng quát cấp một. Phương trình thuần nhất tổng quát Phương trình thuần nhất tổng quát cấp 2

Phương trình vi phân trong hàm suy rộng

Hãy để có một phương trình. Nếu là một hàm thông thường, thì nghiệm của nó là phản đạo hàm, nghĩa là. Hãy để bây giờ là một chức năng tổng quát.

Sự định nghĩa. Một hàm tổng quát được gọi là hàm tổng quát phản đạo hàm nếu. Nếu là một hàm suy rộng đơn lẻ, thì có những trường hợp khi nguyên hàm của nó là một hàm suy rộng chính quy. Ví dụ, nguyên hàm là; nguyên hàm là một hàm, và nghiệm của phương trình có thể được viết là: , trong đó.

Có một phương trình tuyến tính của bậc thứ với các hệ số không đổi

đâu là một chức năng tổng quát. Cho là một đa thức vi phân bậc th.

Sự định nghĩa. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (8) là hàm tổng quát thỏa mãn mối quan hệ:

Nếu là hàm liên tục thì nghiệm duy nhất của phương trình (8) là nghiệm cổ điển.

Sự định nghĩa. Nghiệm cơ bản của phương trình (8) là một hàm suy rộng bất kỳ sao cho .

Hàm Green là nghiệm cơ bản thỏa mãn điều kiện biên, điều kiện ban đầu hoặc tiệm cận.

định lý. Nghiệm của phương trình (8) tồn tại và có dạng:

trừ khi tích chập được xác định.

Bằng chứng. Thật sự, . Theo thuộc tính tích chập, nó như sau: .

Dễ dàng thấy rằng nghiệm cơ bản của phương trình này là, vì

Tính chất của đạo hàm tổng quát

Hoạt động phân biệt là tuyến tính và liên tục từ đến:

trong nếu trong;

Mọi hàm suy rộng đều khả vi vô hạn. Thật vậy, nếu, thì; lần lượt, v.v.;

Kết quả của sự phân hóa không phụ thuộc vào thứ tự phân hóa. Ví dụ, ;

Nếu và, thì công thức Leibniz để phân biệt sản phẩm là hợp lệ. Ví dụ, ;

Nếu một hàm suy rộng thì;

Nếu một chuỗi bao gồm các hàm khả tích cục bộ hội tụ đồng nhất trên mỗi tập compact, thì nó có thể được phân biệt thành từng phần tử bất kỳ số lần nào (như một hàm tổng quát hóa) và chuỗi kết quả sẽ hội tụ tới.

Ví dụ. Cho phép

Hàm này được gọi là hàm Heaviside hoặc hàm nhận dạng. Nó có thể tích phân cục bộ và do đó có thể được coi là một hàm tổng quát. Bạn có thể tìm đạo hàm của nó. Theo định nghĩa, tức là .

Hàm suy rộng tương ứng dạng bậc hai với hệ số phức

Cho đến nay, chỉ các dạng bậc hai với các hệ số thực đã được xem xét. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu không gian của các dạng bậc hai với hệ số phức.

Nhiệm vụ là xác định một hàm suy rộng, ở đâu là một số phức. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, sẽ không phải là hàm giải tích đơn trị của . Do đó, trong không gian của tất cả các dạng bậc hai, "nửa mặt phẳng trên" của các dạng bậc hai với phần ảo xác định dương được chọn ra và một hàm được xác định cho chúng. Cụ thể, nếu dạng bậc hai thuộc về "nửa mặt phẳng" này, thì nó được giả định ở đâu. Hàm như vậy là hàm giải tích đơn trị của .

Bây giờ bạn có thể ánh xạ một hàm thành một hàm chung:

nơi tích hợp được thực hiện trên toàn bộ không gian. Tích phân (13) hội tụ tại và là hàm giải tích của trong nửa mặt phẳng này. Tiếp tục phân tích chức năng này, chức năng cho các giá trị khác được xác định.

Đối với các dạng bậc hai có phần ảo xác định dương, tìm các điểm kỳ dị của các hàm và tính dư của các hàm này tại các điểm kỳ dị.

Hàm suy rộng về mặt giải tích không chỉ phụ thuộc mà còn phụ thuộc vào các hệ số của dạng bậc hai. Như vậy, là một hàm giải tích trong “nửa mặt phẳng” trên của mọi dạng bậc hai của dạng mà ở đó có dạng xác định dương. Do đó, được xác định duy nhất bởi các giá trị của nó trên "bán trục tưởng tượng", tức là trên tập các dạng bậc hai của biểu mẫu, trong đó là một dạng xác định dương.

.
phương trình vi phân.

§ 1. Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường.

Định nghĩa 1. Phương trình vi phân thường N-thứ tự cho chức năng y lý lẽ xđược gọi là quan hệ có dạng

Ở đâu F là một chức năng nhất định của các đối số của nó. Trong tên của loại phương trình toán học này, thuật ngữ "vi phân" nhấn mạnh rằng chúng bao gồm các đạo hàm
(các chức năng được hình thành do sự khác biệt hóa); thuật ngữ - "thông thường" nói rằng chức năng mong muốn chỉ phụ thuộc vào một đối số thực.

Một phương trình vi phân thông thường có thể không chứa đối số một cách rõ ràng x, chức năng mong muốn
và bất kỳ đạo hàm nào của nó, nhưng đạo hàm cao nhất
phải được bao gồm trong phương trình N- đặt hàng. Ví dụ

MỘT)
là phương trình bậc nhất;

b)
là phương trình bậc ba.

Khi viết các phương trình vi phân thông thường, người ta thường dùng ký hiệu đạo hàm qua vi phân:

V)
là phương trình bậc hai;

g)
là phương trình bậc nhất,

hình thành sau khi chia cho dx dạng tương đương của phương trình:
.

Chức năng
được gọi là nghiệm của phương trình vi phân thường nếu khi thay vào nó, nó trở thành một đơn vị.

Ví dụ, phương trình bậc 3

Có một giải pháp
.

Để tìm bằng phương pháp này hay phương pháp khác, chẳng hạn như phép chọn, một hàm thỏa mãn một phương trình không có nghĩa là giải nó. Để giải một phương trình vi phân thông thường có nghĩa là tìm Tất cả các hàm tạo thành một đơn vị khi được thay thế vào phương trình. Đối với phương trình (1.1), họ các hàm như vậy được thành lập với sự trợ giúp của các hằng số tùy ý và được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường N thứ tự và số hằng số trùng với thứ tự của phương trình: y(x) : Trường hợp này nghiệm gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.1).

Chẳng hạn, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
là biểu thức sau: , và thuật ngữ thứ hai cũng có thể được viết là
, vì một hằng số tùy ý chia cho 2 có thể được thay thế bằng một hằng số tùy ý mới .

Bằng cách đặt một số giá trị chấp nhận được cho tất cả các hằng số tùy ý trong nghiệm tổng quát hoặc trong tích phân tổng quát, ta thu được một hàm nào đó không còn chứa các hằng số tùy ý. Hàm này được gọi là nghiệm riêng hay tích phân riêng của phương trình (1.1). Để tìm giá trị của các hằng số tùy ý và từ đó tìm nghiệm cụ thể, nhiều điều kiện bổ sung cho phương trình (1.1) được sử dụng. Ví dụ, cái gọi là điều kiện ban đầu cho (1.2) có thể được đưa ra

Trong phần bên phải của điều kiện ban đầu (1.2), các giá trị số của hàm và đạo hàm được đưa ra, và tổng số điều kiện ban đầu bằng số hằng số tùy ý được xác định.

Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình (1.1) từ điều kiện ban đầu được gọi là bài toán Cauchy.

§ 2. Phương trình vi phân thường cấp 1 – các khái niệm cơ bản.

Phương trình vi phân thường cấp 1 ( N=1) có dạng:
hoặc, nếu nó có thể được giải quyết đối với đạo hàm:
. quyết định chung y= y(x,VỚI) hoặc tích phân tổng quát
Phương trình bậc 1 chứa một hằng số tùy ý. Điều kiện ban đầu duy nhất để phương trình bậc 1
cho phép bạn xác định giá trị của hằng số từ nghiệm tổng quát hoặc từ tích phân tổng quát. Do đó, một giải pháp cụ thể sẽ được tìm thấy hoặc, đó cũng là vấn đề Cauchy sẽ được giải quyết. Vấn đề về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy là một trong những vấn đề trọng tâm trong lý thuyết tổng quát của phương trình vi phân thường. Đặc biệt, đối với một phương trình bậc nhất, định lý là hợp lệ, được chấp nhận ở đây mà không cần chứng minh.

Định lý 2.1. Nếu trong phương trình hàm
và đạo hàm riêng của nó
liên tục trong một số lĩnh vực D máy bay XOY, và một điểm được đưa ra trong lĩnh vực này
, thì tồn tại và hơn nữa, một nghiệm duy nhất thỏa mãn cả phương trình và điều kiện ban đầu
.

Nghiệm tổng quát về mặt hình học của phương trình bậc 1 là một họ các đường cong trong mặt phẳng XOY, không có điểm chung và khác nhau ở một tham số - giá trị của hằng số C. Các đường cong này được gọi là các đường cong tích phân của phương trình đã cho. Các đường cong tích phân của phương trình có một tính chất hình học rõ ràng: tại mỗi điểm, tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong bằng giá trị của vế phải của phương trình tại điểm đó:
. Nói cách khác, phương trình đã cho trong mặt phẳng XOY trường hướng của các tiếp tuyến với các đường cong tích phân. Bình luận: Cần lưu ý rằng đối với phương trình
phương trình và cái gọi là phương trình ở dạng đối xứng đã cho
.

§ 3. Phương trình vi phân bậc nhất ẩn biến.

Sự định nghĩa. Một phương trình vi phân với các biến tách rời là một phương trình có dạng
(3.1)

hoặc một phương trình có dạng (3.2)

Để tách các biến trong phương trình (3.1), tức là rút gọn phương trình này thành phương trình được gọi là có các biến riêng biệt, hãy thực hiện các thao tác sau:

;

Bây giờ chúng ta cần giải phương trình g(y)= 0 . Nếu nó có một giải pháp thực sự y= Một, Cái đó y= Một cũng là nghiệm của phương trình (3.1).

Phương trình (3.2) được rút gọn thành phương trình biến phân cách bằng cách chia cho tích
:

, cho phép chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình (3.2):
. (3.3)

Các đường cong tích phân (3.3) sẽ được bổ sung bởi các nghiệm
nếu các giải pháp như vậy tồn tại.

Giải phương trình: .

Tách các biến:

.

Tích hợp, chúng tôi nhận được

Hơn nữa từ các phương trình
Và
tìm thấy x=1, y=-1. Những quyết định này là những quyết định riêng tư.

§ 4. Phương trình vi phân cấp một thuần nhất.

Định nghĩa 1. Phương trình bậc 1 được gọi là thuần nhất nếu vế phải của nó với mọi
tỉ lệ
, được gọi là điều kiện thuần nhất của hàm hai biến không thứ nguyên.

ví dụ 1 Hiển thị chức năng đó
- phép đo điểm không đồng nhất.

Giải pháp.

,

Q.E.D.

định lý. bất kỳ chức năng
là hàm thuần nhất và ngược lại, bất kỳ hàm thuần nhất nào
kích thước không được giảm xuống dạng
.

Bằng chứng.

Khẳng định đầu tiên của định lý là hiển nhiên, vì
. Hãy chứng minh khẳng định thứ hai. Chúng ta hãy đặt
, sau đó cho một hàm thuần nhất
, điều đã được chứng minh.

Định nghĩa 2. Phương trình (4.1)

trong đó m Và N là các hàm thuần nhất cùng bậc, tức là có tài sản cho tất cả , được gọi là đồng nhất.

Rõ ràng, phương trình này luôn luôn có thể được rút gọn về dạng
(4.2) , mặc dù điều này có thể không được thực hiện để giải quyết nó.

Một phương trình thuần nhất được rút gọn thành một phương trình với các biến có thể tách rời bằng cách thay thế hàm mong muốn y theo công thức y= zx, Ở đâu z(x) là chức năng mong muốn mới. Sau khi thực hiện phép thế này vào phương trình (4.2), ta thu được:
hoặc
hoặc
.

Tích phân, chúng ta thu được tích phân chung của phương trình đối với hàm z(x)
, mà sau nhiều lần thay thế
đưa ra tích phân tổng quát của phương trình ban đầu. Ngoài ra, nếu - nghiệm của phương trình
, sau đó các chức năng
- nghiệm của phương trình thuần nhất đã cho. Nếu như
, thì phương trình (4.2) có dạng

và trở thành một phương trình với các biến có thể tách rời. Các giải pháp của nó là bán trực tiếp:
.

Bình luận.Đôi khi nên thay thế thay thế ở trên để sử dụng thay thế x= zy.

§ 5. Phương trình vi phân rút gọn về thuần nhất.

Xét một phương trình có dạng
. (5.1)

Nếu như
, thì phương trình này là bằng cách thay thế , trong đó Và là các biến mới, và - một số hằng số được xác định từ hệ thống

Rút gọn về một phương trình thuần nhất

Nếu như
, thì phương trình (5.1) có dạng

.

Giả định z= cây rìu+ qua, chúng ta đi đến một phương trình không chứa một biến độc lập.

Hãy xem xét các ví dụ.

ví dụ 1

tích phân phương trình

và tô đậm đường cong tích phân đi qua các điểm: a) (2;2); b) (1;-1).

Giải pháp.

Chúng ta hãy đặt y= zx. Sau đó đê= xdz+ zdx Và

Hãy rút ngắn nó bằng cách và tập hợp các thành viên tại dx Và dz:

Hãy tách các biến:

.

Tích phân, ta được ;

hoặc
,
.

thay thế ở đây z TRÊN , ta thu được tích phân tổng quát của phương trình đã cho ở dạng (5.2)
hoặc

.

Họ vòng tròn này
, có tâm nằm trên một đường thẳng y = x và tại gốc tọa độ tiếp tuyến với đường thẳng y + x = 0. thẳng nàyy = - x lần lượt là nghiệm riêng của phương trình.

Bây giờ là chế độ tác vụ Cauchy:

A) giả sử trong tích phân tổng quát x=2, y=2, tìm thấy C=2, vì vậy giải pháp mong muốn là
.

B) không có đường tròn (5.2) nào đi qua điểm (1;-1). Nhưng nửa dòng y = - x,
đi qua điểm và đưa ra giải pháp mong muốn.

ví dụ 2 Giải phương trình: .

Giải pháp.

Phương trình là trường hợp đặc biệt của phương trình (5.1).

Bản ngã
trong ví dụ này
, vậy ta cần giải hệ sau

Giải quyết, chúng tôi nhận được rằng
. Thực hiện thay thế trong phương trình đã cho
, ta thu được một phương trình thuần nhất . Tích hợp nó với một sự thay thế
, chúng ta tìm thấy
.

Quay lại các biến cũ x Và y công thức
, chúng ta có .

§ 6. Phương trình thuần nhất suy rộng.

phương trình m(x, y) dx+ N(x, y) đê=0 được gọi là đồng nhất tổng quát nếu có thể chọn một số như vậy k rằng vế trái của phương trình này trở thành một hàm thuần nhất ở một mức độ nào đó tôi tương đối x, y, dx Và đê miễn là xđược coi là giá trị của phép đo đầu tiên, y – k phép đo , dx Và đê – không và (k-1) các phép đo. Ví dụ, đây sẽ là phương trình
. (6.1)

Hợp lệ theo giả định được thực hiện về các phép đo

x, y, dx Và đê thành viên phe trái
Và đê sẽ có kích thước tương ứng -2, 2 k Và k-1. Cân bằng chúng, chúng tôi có được điều kiện là số mong muốn phải đáp ứng k: -2 = 2k=k-1. Điều kiện này được thỏa mãn khi k= -1 (với như vậy k tất cả các số hạng ở vế trái của phương trình đang xét sẽ có thứ nguyên -2). Do đó, phương trình (6.1) là thuần nhất tổng quát.

Phương trình thuần nhất tổng quát được rút gọn thành một phương trình với các biến tách được bằng cách thay thế
, Ở đâu z là một hàm mới chưa biết. Hãy tích phân phương trình (6.1) bằng phương pháp đã chỉ ra. Bởi vì k= -1 thì
, sau đó chúng ta nhận được phương trình .

Tích hợp nó, chúng tôi tìm thấy
, Ở đâu
. Đây là nghiệm tổng quát của phương trình (6.1).

§ 7. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

Phương trình tuyến tính bậc 1 là phương trình tuyến tính đối với hàm mong muốn và đạo hàm của nó. Nó có vẻ như:

, (7.1)

Ở đâu P(x) Và Hỏi(x) được cho các hàm liên tục của x. Nếu chức năng
, thì phương trình (7.1) có dạng:
(7.2)

và được gọi là phương trình thuần nhất tuyến tính, ngược lại
nó được gọi là phương trình không thuần nhất tuyến tính.

Phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính (7.2) là phương trình có các biến tách rời:

(7.3)

Biểu thức (7.3) là nghiệm tổng quát của phương trình (7.2). Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (7.1) trong đó hàm P(x) biểu thị hàm tương tự như trong phương trình (7.2), chúng tôi áp dụng phương pháp được gọi là phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý và bao gồm như sau: chúng tôi sẽ thử chọn hàm C=C(x) sao cho nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (7.2) sẽ là nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất (7.1). Sau đó, đối với đạo hàm của hàm (7.3), chúng tôi nhận được:

.

Thay đạo hàm tìm được vào phương trình (7.1), ta được:

hoặc
.

Ở đâu
, ở đâu là một hằng số tùy ý. Kết quả là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (7.1) sẽ là (7.4)

Số hạng đầu tiên trong công thức này biểu thị nghiệm tổng quát (7.3) của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (7.2) và số hạng thứ hai trong công thức (7.4) là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất tuyến tính (7.1) nhận được từ tổng quát (7.4) ) với
. Chúng ta hãy rút ra kết luận quan trọng này dưới dạng một định lý.

định lý. Nếu một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất được biết
, thì tất cả các giải pháp khác có dạng
, Ở đâu
là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng một phương pháp khác, đôi khi được gọi là phương pháp Bernoulli, thường được sử dụng để giải phương trình vi phân không thuần nhất tuyến tính cấp 1 (7.1). Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (7.1) dưới dạng
. Sau đó
. Chúng tôi thay thế đạo hàm tìm thấy vào phương trình ban đầu:
.

Ví dụ, chúng ta hãy kết hợp các số hạng thứ hai và thứ ba của biểu thức cuối cùng và đưa ra hàm bạn(x) cho dấu ngoặc:
(7.5)

Chúng tôi yêu cầu dấu ngoặc đơn biến mất:
.

Chúng tôi giải phương trình này bằng cách đặt một hằng số tùy ý C bằng không:
. Với chức năng tìm thấy v(x) trở lại phương trình (7.5):
.

Giải quyết nó, chúng tôi nhận được:
.

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (7.1) có dạng:

§ 8. Phương trình Bernoulli.

Sự định nghĩa.

Phương trình vi phân có dạng
, Ở đâu
, được gọi là phương trình Bernoulli.

Giả sử rằng
, chúng ta chia cả hai vế của phương trình Bernoulli cho . Kết quả là, chúng tôi nhận được:
(8.1)

Chúng tôi giới thiệu một chức năng mới
. Sau đó
. Ta nhân phương trình (8.1) với
và chuyển nó vào hàm z(x) :
, I E. cho chức năng z(x) thu được phương trình không thuần nhất tuyến tính cấp 1. Phương trình này được giải bằng các phương pháp đã thảo luận trong đoạn trước. Hãy để chúng tôi thay thế vào giải pháp chung của nó thay vì z(x) sự biểu lộ
, chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình Bernoulli, phương trình này có thể dễ dàng giải quyết đối với y. Tại
giải pháp được thêm vào y(x)=0 . Phương trình Bernoulli cũng có thể được giải mà không cần chuyển sang phương trình tuyến tính bằng cách thay thế
và áp dụng phương pháp Bernoulli, được thảo luận chi tiết trong § 7. Xem xét ứng dụng của phương pháp này để giải phương trình Bernoulli bằng một ví dụ cụ thể.

Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
(8.2)

Giải pháp.

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
, y(x)=0.

§ 9. Phương trình vi phân trong vi phân toàn phần.

Sự định nghĩa. Nếu trong phương trình m(x, y) dx+ N(x, y) đê=0 (9.1) vế trái là vi phân toàn phần của hàm số nào đó bạn(x, y) , thì nó được gọi là một phương trình trong vi phân toàn phần. Phương trình này có thể được viết lại như du(x, y)=0 , do đó, tích phân tổng quát của nó là bạn(x, y)= c.

Ví dụ, phương trình xdy+ ydx=0 là một phương trình trong vi phân toàn phần, vì nó có thể được viết lại dưới dạng đ(xy)=0. Tích phân tổng quát sẽ là xy= c là một hàm khả vi tùy ý. Ta đạo hàm (9.3) theo u
§ 10. Tích phân thừa số.

Nếu phương trình m(x, y) dx + N(x, y) đê = 0 không phải là một phương trình trong tổng vi phân và có một hàm µ = µ(x, y) , sao cho sau khi nhân cả hai vế của phương trình với nó, ta được phương trình

µ(Mdx + Ndy) = 0 trong tổng chênh lệch, tức là µ(Mdx + Ndy)du, thì hàm µ(x, y) được gọi là hệ số tích phân của phương trình. Trong trường hợp khi phương trình đã là một phương trình trong tổng vi phân, chúng ta giả sử µ = 1.

Nếu một yếu tố tích hợp được tìm thấy µ , thì tích phân của phương trình này rút gọn thành nhân cả hai phần của nó với µ và tìm tích phân tổng quát của phương trình kết quả trong tổng vi phân.

Nếu như µ là một hàm khả vi liên tục của x Và y, Cái đó
.

Theo đó, yếu tố tích hợp µ thỏa mãn PDE bậc 1 sau:

(10.1).

Nếu biết trước rằng µ= µ(ω) , Ở đâu ω là một hàm đã cho từ x Và y, thì phương trình (10.1) rút gọn thành phương trình thông thường (và hơn nữa là tuyến tính) với một hàm chưa biết µ từ biến độc lập ω :

(10.2),

Ở đâu
, tức là phân số chỉ là một hàm của ω .

Giải phương trình (10.2) ta tìm được tích phân

, Với = 1.

Đặc biệt, phương trình m(x, y) dx + N(x, y) đê = 0 có hệ số tích phân chỉ phụ thuộc vào x(ω = x) hoặc chỉ từ y(ω = y) nếu các điều kiện sau được đáp ứng, tương ứng:

,

,
.

Bằng cách nhấp vào nút "Tải xuống kho lưu trữ", bạn sẽ tải xuống tệp mình cần miễn phí.
Trước khi tải xuống tệp này, hãy nhớ những bài tiểu luận hay, kiểm soát, bài thi học kỳ, luận văn, bài báo và các tài liệu khác không có người nhận trên máy tính của bạn. Đây là công việc của bạn, nó nên tham gia vào sự phát triển của xã hội và mang lại lợi ích cho mọi người. Tìm những tác phẩm này và gửi chúng đến cơ sở tri thức.
Chúng tôi và tất cả các bạn sinh viên, nghiên cứu sinh, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng tri thức trong học tập và làm việc sẽ rất biết ơn các bạn.

Để tải xuống kho lưu trữ có tài liệu, hãy nhập số có năm chữ số vào trường bên dưới và nhấp vào nút "Tải xuống kho lưu trữ"

Tài liệu tương tự

Các bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân. Đồ thị nghiệm của phương trình vi phân cấp một. Phương trình với các biến tách được và khử thành đồng nhất. Phương trình tuyến tính bậc nhất thuần nhất và không thuần nhất. phương trình Bernoulli.

bài giảng, thêm 18/08/2012


Các khái niệm cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân thường. Dấu của phương trình trong vi phân toàn phần, cách xây dựng tích phân tổng quát. Các trường hợp tìm tích phân đơn giản nhất. Trường hợp số nhân chỉ phụ thuộc vào X và chỉ phụ thuộc vào Y.

giấy hạn, thêm 24/12/2014


Đặc thù của phương trình vi phân như quan hệ giữa các hàm và đạo hàm của chúng. Chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm. Các ví dụ và thuật toán giải phương trình trong vi phân toàn phần. Yếu tố tích hợp trong các ví dụ.

giấy hạn, thêm 02/11/2014


phương trình vi phân Riccati. Nghiệm tổng quát của một phương trình tuyến tính. Tìm tất cả các nghiệm có thể của phương trình vi phân Bernoulli. Giải phương trình có biến phân ly. Nghiệm tổng quát và nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân Claireut.

giấy hạn, thêm 26/01/2015


Một phương trình với các biến có thể tách rời. Phương trình vi phân thuần nhất và tuyến tính. Tính chất hình học của đường cong tích phân. Tổng vi phân của hàm hai biến. Xác định tích phân bằng phương pháp Bernoulli và các biến thiên của một hằng số tùy ý.

tóm tắt, thêm 24/08/2015


Khái niệm và cách giải phương trình vi phân đơn giản nhất và phương trình vi phân cấp tùy ý, kể cả phương trình có hệ số giải tích không đổi. Hệ phương trình tuyến tính. Hành vi tiệm cận của nghiệm của một số hệ phương trình tuyến tính.

luận văn, bổ sung 10/06/2010


Tích phân tổng quát của phương trình, ứng dụng phương pháp Lagrange giải phương trình tuyến tính không thuần nhất một ẩn số. Giải phương trình vi phân dưới dạng tham số. Điều kiện Euler, phương trình bậc nhất trong vi phân toàn phần.

công tác kiểm soát, bổ sung 02/11/2011

chắc chắn 1 kiểm soát loại

gọi điện phương trình vi phân thuần nhất cấp một(ODE).

TH1 Hãy để các điều kiện sau đây được thỏa mãn cho chức năng:

1) liên tục tại

Khi đó ODE (1) có tích phân chung, được cho bởi công thức:

đâu là một số nguyên hàm của hàm Với là một hằng số tùy ý.

Ghi chú 1 Nếu đối với một số điều kiện được thỏa mãn, thì trong quá trình giải ODE (1), các nghiệm có dạng có thể bị mất, những trường hợp như vậy cần được xử lý cẩn thận hơn và cần kiểm tra riêng từng trường hợp.

Như vậy từ định lý TH1 nên thuật toán chung để giải ODE (1):

1) Thay thế:

2) Do đó, sẽ thu được một DE với các biến có thể tách rời, nên được tích hợp;

3) Quay lại các biến g cũ;

4) Kiểm tra các giá trị về sự tham gia của chúng vào giải pháp điều khiển từ xa ban đầu, theo đó điều kiện

5) Viết ra câu trả lời.

ví dụ 1 Giải DE (4).

Giải pháp: DE(4) là một phương trình vi phân thuần nhất, vì nó có dạng (1). Hãy thay thế (3), điều này sẽ đưa phương trình (4) về dạng:

Phương trình (5) là tích phân tổng quát của DE (4).

Lưu ý rằng khi tách các biến và chia cho, các nghiệm có thể bị mất, nhưng nó không phải là nghiệm của DE (4), điều này dễ dàng được xác minh bằng cách thay thế trực tiếp vào đẳng thức (4), vì giá trị này không được bao gồm trong miền định nghĩa của DE ban đầu.

Trả lời:

Ghi chú 2Đôi khi người ta có thể viết ODE dưới dạng vi phân của các biến X Và y. Nên chuyển từ ký hiệu DE này sang biểu thức thông qua đạo hàm và chỉ sau đó thực hiện thay thế (3).

Phương trình vi phân rút gọn về dạng thuần nhất.

chắc chắn 2 Chức năng được gọi là hàm thuần nhất bậc k trong khu vực, mà đẳng thức sẽ được thỏa mãn:

Dưới đây là các loại DE phổ biến nhất có thể được rút gọn thành dạng (1) sau các phép biến đổi khác nhau.

1) chức năng ở đâu đồng nhất, không độ, nghĩa là, đẳng thức sau đúng: DE (6) có thể dễ dàng rút gọn về dạng (1) nếu chúng ta đặt , được tích phân thêm bằng cách thay thế (3).

2) (7), trong đó các hàm đồng nhất ở cùng một mức độ k . DE của biểu mẫu (7) cũng được tích hợp bằng cách sử dụng thay đổi (3).

ví dụ 2 Giải DE (8).

Giải pháp: Hãy chứng minh rằng DE(8) là thuần nhất. Chúng tôi chia cho những gì có thể, vì nó không phải là một giải pháp cho phương trình vi phân (8).

Hãy thay thế (3), điều này sẽ đưa phương trình (9) về dạng:

Phương trình (10) là tích phân tổng quát của DE (8).

Lưu ý khi tách các biến và chia cho , các nghiệm tương ứng với các giá trị của và có thể bị mất. Hãy kiểm tra các biểu thức này. Hãy thay thế chúng thành DE (8):

Trả lời:

Điều thú vị là khi giải ví dụ này, một hàm xuất hiện được gọi là "dấu" của số X(đọc " chữ ký x”), được xác định bởi biểu thức:

Ghi chú 3 Không cần đưa DE (6) hoặc (7) về dạng (1), nếu thấy DE thuần nhất thì có thể thay ngay

3) DE của biểu mẫu (11) được tích hợp dưới dạng ODE if , trong khi phép thay thế ban đầu được thực hiện:

(12), đâu là nghiệm của hệ: (13), rồi dùng phép thay (3) cho hàm số, sau khi có tích phân tổng quát, quay về phần biến X Và Tại.

Nếu , sau đó, giả sử trong phương trình (11), chúng ta thu được DE với các biến tách rời.

ví dụ 3 Giải bài toán Cauchy (14).

Giải pháp: Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng DE (14) được rút gọn thành DE đồng nhất và được tích hợp theo sơ đồ trên:

Hãy để chúng tôi giải hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất (15) bằng phương pháp Cramer:

Chúng tôi thực hiện thay đổi các biến và tích hợp phương trình kết quả:

(16) – Tích phân tổng quát của DE (14). Khi chia các biến, nghiệm có thể bị mất khi chia cho một biểu thức, điều này có thể thu được một cách rõ ràng sau khi giải phương trình bậc hai. Tuy nhiên, chúng được đưa vào tích phân tổng quát (16) tại

Hãy để chúng tôi tìm một giải pháp cho vấn đề Cauchy: chúng tôi thay thế các giá trị của và vào tích phân chung (16) và tìm Với.

Do đó, tích phân từng phần sẽ được cho bởi công thức:

Trả lời:

4) Có thể dẫn một số DE đến các DE đồng nhất cho một chức năng mới, chưa được biết, nếu chúng ta áp dụng thay thế ở dạng:

Đồng thời, số tôiđược chọn từ điều kiện là phương trình kết quả, nếu có thể, trở nên đồng nhất ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên, nếu điều này không thể được thực hiện, thì DE được xem xét không thể được giảm xuống đồng nhất theo cách này.

Ví dụ 4 Giải quyết DU. (18)

Giải pháp: Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng DE (18) được rút gọn thành DE đồng nhất bằng cách thay thế (17) và sau đó được tích hợp bằng cách thay thế (3):

Hãy tìm Với:

Như vậy nghiệm riêng của DE(24) có dạng

Nó chỉ ra cách nhận biết một phương trình vi phân thuần nhất tổng quát. Phương pháp giải phương trình vi phân thuần nhất tổng quát bậc nhất được xem xét. Một ví dụ về một giải pháp chi tiết của một phương trình như vậy được đưa ra.

Nội dung

Sự định nghĩa

Một phương trình vi phân thuần nhất cấp một tổng quát là một phương trình có dạng:
, ở đâu ≠ 0 , α ≠ 1 , f - hàm.

Cách xác định xem một phương trình vi phân có phải là một phương trình thuần nhất tổng quát hay không

Để xác định xem một phương trình vi phân có phải là một phương trình thuần nhất tổng quát hay không, chúng ta cần đưa vào một hằng số t và thay thế:
y → t α y , x → t x .
Nếu chúng ta quản lý để chọn một giá trị như vậy mà tại đó hằng số t sẽ giảm, thì đây là - phương trình vi phân thuần nhất tổng quát. Sự thay đổi trong đạo hàm y′ dưới một sự thay thế như vậy có dạng:
.

Ví dụ

Xác định xem phương trình đã cho có thuần nhất tổng quát hay không:
.

Chúng tôi thực hiện thay đổi y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 năm′:
;
.
Chia cho t α+ 5 :
;
.
Phương trình sẽ không chứa t nếu
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Vì với α = 3/2 , t giảm, sau đó đây là một phương trình thuần nhất tổng quát.

phương pháp giải

Xét phương trình vi phân thuần nhất tổng quát bậc nhất:
(1) .
Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng nó có thể được rút gọn thành một phương trình thuần nhất bằng cách thay thế:
t = xα .
Thật sự,
.
Từ đây
; .
(1) :
;
.

Đây là một phương trình thuần nhất. Nó được giải quyết bằng cách thay thế:
y = zt,
trong đó z là một hàm của t.
Khi giải quyết vấn đề, việc thay thế ngay lập tức sẽ dễ dàng hơn:
y = z x α ,
trong đó z là một chức năng của x .

Một ví dụ về giải phương trình vi phân thuần nhất tổng quát bậc nhất

Giải phương trình vi phân
(P.1) .

Hãy kiểm tra xem phương trình đã cho có phải là phương trình thuần nhất tổng quát hay không. Đối với điều này trong (P.1) thực hiện thay thế:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 năm′.
.
Chia cho t α :
.
t sẽ giảm nếu chúng ta đặt α = - 1 . Vì vậy, đây là một phương trình thuần nhất tổng quát.

Chúng tôi thay thế:
y = z x α = z x - 1 ,
trong đó z là một chức năng của x .
.
Chúng tôi thay thế vào phương trình ban đầu (P.1):
(P.1) ;
;
.
Nhân với x và mở ngoặc:
;
;
.
Biến chia - nhân với dx và chia cho x z 2 . Đối với z ≠ 0 chúng ta có:
.
Chúng tôi tích hợp bằng cách sử dụng bảng tích phân:
;
;
;
.
Tiềm năng:
.
Chúng tôi thay thế hằng số e C → C và xóa dấu của mô-đun, vì việc chọn dấu mong muốn được xác định bằng cách chọn dấu của hằng số C:
.

Chúng tôi trở lại biến y . Thay thế z = xy :
.
Chia cho x :
(P.2) .

Khi chúng ta chia cho z 2 , chúng tôi giả sử rằng z ≠ 0 . Bây giờ xét nghiệm z = xy = 0 , hoặc y = 0 .
Vì với y = 0 , vế trái của biểu thức (P.2) không xác định thì tích phân tổng quát thu được ta cộng nghiệm y = 0 .

;
.

Người giới thiệu:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các bài toán cao cấp, Lan, 2003.