Định nghĩa chung về đạo hàm. Đạo hàm của tổng và hiệu

Đạo hàm của hàm số là một trong những chủ đề khó nhất trong chương trình học ở trường. Không phải mọi sinh viên tốt nghiệp sẽ trả lời câu hỏi đạo hàm là gì.

Bài viết này giải thích đơn giản và rõ ràng công cụ phái sinh là gì và tại sao nó lại cần thiết.. Bây giờ chúng ta sẽ không cố gắng đạt được sự chính xác về mặt toán học khi trình bày. Điều quan trọng nhất là phải hiểu ý nghĩa.

Hãy nhớ định nghĩa:

Đạo hàm là tốc độ thay đổi của hàm.

Hình bên là đồ thị của ba hàm số. Cái nào bạn nghĩ phát triển nhanh nhất?

Câu trả lời là rõ ràng - thứ ba. Nó có tốc độ thay đổi cao nhất, nghĩa là đạo hàm lớn nhất.

Đây là một ví dụ khác.

Kostya, Grisha và Matvey có việc làm cùng một lúc. Hãy xem thu nhập của họ thay đổi như thế nào trong năm:

Bạn có thể thấy mọi thứ trên biểu đồ ngay lập tức, phải không? Thu nhập của Kostya đã tăng hơn gấp đôi sau sáu tháng. Và thu nhập của Grisha cũng tăng lên, nhưng chỉ một chút. Và thu nhập của Matthew giảm xuống bằng không. Các điều kiện bắt đầu giống nhau, nhưng tốc độ thay đổi của hàm, tức là phát sinh, - khác biệt. Đối với Matvey, đạo hàm thu nhập của anh ta nói chung là âm.

Bằng trực giác, chúng ta có thể dễ dàng ước lượng tốc độ thay đổi của một hàm. Nhưng làm thế nào để chúng ta làm điều đó?

Điều mà chúng ta đang thực sự quan tâm là độ dốc của đồ thị hàm số đi lên (hoặc đi xuống). Nói cách khác, y thay đổi nhanh như thế nào với x. Rõ ràng, cùng một chức năng tại các điểm khác nhau có thể có một giá trị đạo hàm khác nhau - nghĩa là nó có thể thay đổi nhanh hơn hoặc chậm hơn.

Đạo hàm của một hàm được ký hiệu là .

Hãy chỉ ra cách tìm bằng biểu đồ.

Vẽ đồ thị của một hàm số nào đó. Lấy một điểm trên nó với một abscissa. Vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm này. Chúng ta muốn đánh giá độ dốc của đồ thị hàm số. Một giá trị hữu ích cho điều này là tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến.

Đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm số tại điểm đó.

Xin lưu ý - là góc nghiêng của tiếp tuyến, chúng ta lấy góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục.

Đôi khi học sinh hỏi thế nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Đây là đường thẳng có điểm chung duy nhất với đồ thị trong phần này, hơn nữa, như hình vẽ của ta. Nó trông giống như một tiếp tuyến của một vòng tròn.

Hãy tìm . Chúng ta nhớ rằng tiếp tuyến của một góc nhọn trong một tam giác vuông bằng tỷ số của cạnh đối diện với cạnh liền kề. Từ tam giác:

Chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm bằng cách sử dụng đồ thị mà không cần biết công thức của hàm. Những nhiệm vụ như vậy thường được tìm thấy trong các kỳ thi toán dưới số.

Có một mối tương quan quan trọng khác. Nhớ lại rằng đường thẳng được cho bởi phương trình

Đại lượng trong phương trình này được gọi là độ dốc của một đường thẳng. Nó bằng tang của góc nghiêng của đường thẳng với trục.

.

Chúng tôi hiểu điều đó

Hãy ghi nhớ công thức này. Nó thể hiện ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm số tại điểm đó.

Nói cách khác, đạo hàm bằng với tang của hệ số góc của tiếp tuyến.

Chúng ta đã nói rằng cùng một chức năng có thể có các đạo hàm khác nhau tại các điểm khác nhau. Hãy xem đạo hàm có liên quan như thế nào đến hành vi của hàm.

Hãy vẽ đồ thị của một hàm số nào đó. Hãy để chức năng này tăng ở một số khu vực và giảm ở những khu vực khác và với các tỷ lệ khác nhau. Và để hàm này có điểm cực đại và cực tiểu.

Tại một thời điểm, chức năng đang tăng lên. Tiếp tuyến của đồ thị, được vẽ tại một điểm, tạo thành một góc nhọn; với hướng trục dương. Vậy đạo hàm dương tại điểm.

Tại thời điểm, chức năng của chúng tôi đang giảm dần. Tiếp tuyến tại điểm này tạo thành một góc tù; với hướng trục dương. Vì tiếp tuyến của một góc tù là âm nên đạo hàm tại điểm đó là âm.

Đây là những gì xảy ra:

Nếu một hàm đang tăng, thì đạo hàm của nó dương.

Nếu nó giảm, đạo hàm của nó âm.

Và điều gì sẽ xảy ra ở điểm cực đại và cực tiểu? Ta thấy tại (điểm cực đại) và (điểm cực tiểu) tiếp tuyến nằm ngang. Do đó, tang của hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm này bằng không và đạo hàm cũng bằng không.

Điểm là điểm tối đa. Tại thời điểm này, mức tăng của chức năng được thay thế bằng mức giảm. Do đó, dấu của đạo hàm thay đổi tại điểm từ "cộng" thành "trừ".

Tại điểm - điểm cực tiểu - đạo hàm cũng bằng 0, nhưng dấu của nó thay đổi từ "trừ" thành "cộng".

Kết luận: với sự trợ giúp của đạo hàm, bạn có thể tìm hiểu mọi thứ mà chúng ta quan tâm về hành vi của hàm.

Nếu đạo hàm dương thì hàm tăng.

Nếu đạo hàm âm thì hàm đang giảm.

Tại điểm cực đại, đạo hàm bằng 0 và đổi dấu từ cộng sang trừ.

Tại điểm cực tiểu, đạo hàm cũng bằng 0 và đổi dấu từ âm sang dương.

Chúng tôi viết những phát hiện này dưới dạng một bảng:

	tăng	điểm tối đa	giảm	điểm tối thiểu	tăng
+	0	-	0	+

Hãy làm rõ hai điều nhỏ. Bạn sẽ cần một trong số chúng khi giải quyết vấn đề. Khác - trong năm đầu tiên, với một nghiên cứu nghiêm túc hơn về các hàm và đạo hàm.

Một trường hợp có thể xảy ra khi đạo hàm của một hàm tại một số điểm bằng 0, nhưng hàm không có cực đại cũng như cực tiểu tại điểm này. Cái gọi là này :

Tại một điểm, tiếp tuyến của đồ thị nằm ngang và đạo hàm bằng không. Tuy nhiên, trước điểm, chức năng tăng - và sau điểm, nó tiếp tục tăng. Dấu hiệu của đạo hàm không thay đổi - nó vẫn dương như cũ.

Nó cũng xảy ra rằng tại điểm cực đại hoặc cực tiểu, đạo hàm không tồn tại. Trên đồ thị, điều này tương ứng với nét đứt, khi không thể vẽ tiếp tuyến tại một điểm cho trước.

Nhưng làm thế nào để tìm đạo hàm nếu hàm được cho không phải bằng đồ thị mà bằng công thức? Trong trường hợp này, nó được áp dụng

Thao tác tìm đạo hàm gọi là vi phân.

Kết quả của việc giải các bài toán tìm đạo hàm của các hàm đơn giản nhất (và không đơn giản lắm) bằng cách định nghĩa đạo hàm là giới hạn của tỷ số giữa số gia và số gia của đối số, một bảng đạo hàm và các quy tắc vi phân được xác định chính xác đã xuất hiện . Isaac Newton (1643-1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) là những người đầu tiên làm việc trong lĩnh vực tìm đạo hàm.

Vì vậy, ở thời đại chúng ta, để tìm đạo hàm của bất kỳ hàm số nào, không cần tính giới hạn nói trên của tỷ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số mà chỉ cần dùng bảng của đạo hàm và các quy luật của sự khác biệt. Thuật toán sau phù hợp để tìm đạo hàm.

Để tìm đạo hàm, bạn cần một biểu thức dưới dấu nét phá vỡ các chức năng đơn giản và xác định những hành động (tích, tổng, thương) các chức năng này có liên quan với nhau. Hơn nữa, chúng ta tìm đạo hàm của các hàm cơ bản trong bảng đạo hàm và công thức tính đạo hàm của tích, tổng và thương - trong quy tắc vi phân. Bảng đạo hàm và quy tắc phân biệt được đưa ra sau hai ví dụ đầu tiên.

ví dụ 1 Tìm đạo hàm của một hàm

Giải pháp. Từ quy tắc vi phân ta thấy rằng đạo hàm của tổng các hàm số là tổng các đạo hàm của các hàm số, tức là

Từ bảng đạo hàm, chúng ta thấy rằng đạo hàm của "X" bằng một và đạo hàm của sin là cosin. Chúng tôi thay thế các giá trị này trong tổng các đạo hàm và tìm đạo hàm theo yêu cầu của điều kiện của vấn đề:

ví dụ 2 Tìm đạo hàm của một hàm

Giải pháp. Vi phân như một đạo hàm của tổng, trong đó số hạng thứ hai với một thừa số không đổi, nó có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm:

Nếu vẫn còn thắc mắc về nguồn gốc của một thứ gì đó, thì theo quy luật, chúng sẽ trở nên rõ ràng sau khi đọc bảng đạo hàm và các quy tắc phân biệt đơn giản nhất. Chúng tôi sẽ đến chỗ họ ngay bây giờ.

Bảng đạo hàm của các hàm đơn giản

1. Đạo hàm của một hằng (số). Bất kỳ số nào (1, 2, 5, 200...) có trong biểu thức hàm. Luôn luôn bằng không. Điều này rất quan trọng cần nhớ, vì nó được yêu cầu rất thường xuyên
2. Đạo hàm của biến độc lập. Thường xuyên nhất là "x". Luôn luôn bằng một. Điều này cũng quan trọng cần nhớ
3. Đạo hàm của bằng cấp. Khi giải quyết vấn đề, bạn cần chuyển đổi căn bậc hai thành lũy thừa.
4. Đạo hàm của một biến theo lũy thừa -1
5. Đạo hàm của căn bậc hai
6. Đạo hàm sin
7. Đạo hàm cosin
8. Đạo hàm tiếp tuyến
9. Đạo hàm của cotang
10. Dẫn xuất của arcsine
11. Đạo hàm của cung cosin
12. Đạo hàm của tiếp tuyến cung
13. Đạo hàm của tiếp tuyến nghịch đảo
14. Đạo hàm của logarit tự nhiên
15. Đạo hàm của hàm logarit
16. Đạo hàm của số mũ
17. Đạo hàm của hàm mũ

Quy luật khác biệt hóa

1. Đạo hàm của tổng hoặc hiệu
2. Dẫn xuất của sản phẩm
2a. Đạo hàm của một biểu thức nhân với một thừa số không đổi
3. Đạo hàm của thương
4. Đạo hàm của hàm phức

Quy tắc 1Nếu chức năng

khả vi tại một số điểm thì tại cùng một thời điểm các hàm

Và

những thứ kia. đạo hàm của tổng đại số của các hàm bằng tổng đại số của các đạo hàm của các hàm này.

Kết quả. Nếu hai hàm khả vi khác nhau một hằng số thì đạo hàm của chúng là, I E.

Quy tắc 2Nếu chức năng

khả vi tại một số điểm thì tích của chúng cũng khả vi tại cùng một điểm

Và

những thứ kia. đạo hàm của tích hai hàm bằng tổng tích của từng hàm này với đạo hàm của hàm kia.

Hệ quả 1. Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm:

Hệ quả 2. Đạo hàm của tích của một số hàm khả vi bằng tổng các tích của đạo hàm của từng thừa số và tất cả các thừa số khác.

Ví dụ: đối với ba số nhân:

Quy tắc 3Nếu chức năng

khả vi tại một số điểm Và , thì tại điểm này thương của chúng cũng khả vi.u/v và

những thứ kia. đạo hàm của một thương của hai hàm số bằng một phân số có tử số là hiệu giữa các tích của mẫu số và đạo hàm của tử số và tử số và đạo hàm của mẫu số, còn mẫu số là bình phương của tử số cũ .

Tìm ở đâu trên các trang khác

Khi tìm đạo hàm của tích và thương trong các bài toán thực tế, luôn cần phải áp dụng đồng thời nhiều quy tắc vi phân, vì vậy bài viết sẽ có thêm các ví dụ về các đạo hàm này."Đạo hàm của tích và thương".

Bình luận. Bạn không nên nhầm lẫn giữa một hằng số (nghĩa là một số) là một số hạng trong tổng và là một thừa số không đổi! Trong trường hợp của một số hạng, đạo hàm của nó bằng 0 và trong trường hợp của một thừa số không đổi, nó được lấy ra khỏi dấu của các đạo hàm. Đây là một lỗi điển hình xảy ra ở giai đoạn đầu học đạo hàm, nhưng khi học sinh trung bình giải một số ví dụ một hai thành phần, học sinh trung bình không còn mắc lỗi này nữa.

Và nếu, khi phân biệt một sản phẩm hoặc một thương số, bạn có một thuật ngữ bạn"v, trong đó bạn- một số, ví dụ, 2 hoặc 5, tức là một hằng số, thì đạo hàm của số này sẽ bằng 0 và do đó, toàn bộ số hạng sẽ bằng 0 (trường hợp này được phân tích trong ví dụ 10) .

Một sai lầm phổ biến khác là nghiệm cơ học của đạo hàm của một hàm phức tạp như là đạo hàm của một hàm đơn giản. đó là lý do tại sao đạo hàm của một hàm phức tạp dành cho một bài báo riêng biệt. Nhưng trước tiên chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của các hàm đơn giản.

Trên đường đi, bạn không thể làm gì nếu không biến đổi các biểu thức. Để làm điều này, bạn có thể cần phải mở hướng dẫn sử dụng cửa sổ mới Hành động với quyền hạn và gốc rễ Và Thao tác với phân số .

Nếu bạn đang tìm nghiệm cho các đạo hàm có lũy thừa và nghiệm, nghĩa là khi hàm có dạng , sau đó theo dõi bài học " Đạo hàm của tổng phân số với lũy thừa và nghiệm".

Nếu bạn có một nhiệm vụ như , thì bạn đang ở trong bài học "Đạo hàm của các hàm lượng giác đơn giản".

Ví dụ từng bước - cách tìm đạo hàm

ví dụ 3 Tìm đạo hàm của một hàm

Giải pháp. Chúng tôi xác định các phần của biểu thức hàm: toàn bộ biểu thức đại diện cho sản phẩm và các thừa số của nó là các tổng, trong phần thứ hai có một trong các số hạng chứa một thừa số không đổi. Ta áp dụng quy tắc đạo hàm tích: đạo hàm của tích hai hàm bằng tổng các tích của từng hàm này với đạo hàm của hàm kia:

Tiếp theo, ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng: đạo hàm của tổng đại số của các hàm số bằng tổng đại số của các đạo hàm của các hàm số này. Trong trường hợp của chúng tôi, trong mỗi tổng, số hạng thứ hai có dấu trừ. Trong mỗi tổng, chúng ta thấy cả một biến độc lập, đạo hàm của nó bằng một và một hằng số (số), đạo hàm của nó bằng không. Vì vậy, "x" biến thành một và trừ 5 - thành không. Trong biểu thức thứ hai, "x" được nhân với 2, vì vậy chúng ta nhân hai với cùng một đơn vị như đạo hàm của "x". Ta được các giá trị đạo hàm sau:

Ta thay các đạo hàm tìm được vào tổng các tích ta được đạo hàm của nguyên hàm theo yêu cầu của bài toán:

Ví dụ 4 Tìm đạo hàm của một hàm

Giải pháp. Ta được yêu cầu tìm đạo hàm của thương. Ta áp dụng công thức lấy đạo hàm của một thương: đạo hàm của một thương của hai hàm số bằng một phân số có tử số là hiệu giữa tích của mẫu số và đạo hàm của tử số và tử số và đạo hàm của mẫu số, và mẫu số là bình phương của tử số cũ. Chúng tôi nhận được:

Chúng ta đã tìm đạo hàm của các thừa số trong tử số trong Ví dụ 2. Cũng đừng quên rằng tích, là thừa số thứ hai trong tử số trong ví dụ hiện tại, được lấy bằng dấu trừ:

Nếu bạn đang tìm giải pháp cho những vấn đề như vậy, trong đó bạn cần tìm đạo hàm của một hàm, trong đó có một đống nghiệm và bậc liên tục, chẳng hạn như, chẳng hạn như sau đó chào mừng đến lớp "Đạo hàm của tổng các phân số có lũy thừa và căn" .

Nếu bạn cần tìm hiểu thêm về đạo hàm của sin, cosin, tiếp tuyến và các hàm lượng giác khác, nghĩa là khi hàm có dạng , sau đó bạn có một bài học "Dẫn xuất của các hàm lượng giác đơn giản" .

Ví dụ 5 Tìm đạo hàm của một hàm

Giải pháp. Trong hàm này, chúng ta thấy một tích, một trong các thừa số của nó là căn bậc hai của biến độc lập, với đạo hàm mà chúng ta đã làm quen trong bảng đạo hàm. Theo quy tắc đạo hàm tích và giá trị dạng bảng của đạo hàm căn bậc hai, ta được:

Ví dụ 6 Tìm đạo hàm của một hàm

Giải pháp. Trong hàm này, chúng ta thấy thương, cổ tức là căn bậc hai của biến độc lập. Theo quy tắc phân biệt thương số, mà chúng tôi đã lặp lại và áp dụng trong ví dụ 4, và giá trị dạng bảng của đạo hàm của căn bậc hai, chúng tôi nhận được:

Để loại bỏ phân số trong tử số, hãy nhân tử số và mẫu số với .

Hoàn toàn không thể giải quyết các vấn đề hoặc ví dụ vật lý trong toán học mà không có kiến ​​​​thức về đạo hàm và phương pháp tính toán nó. Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải tích toán học. Chúng tôi quyết định dành bài viết hôm nay cho chủ đề cơ bản này. Đạo hàm là gì, ý nghĩa vật lý và hình học của nó, cách tính đạo hàm của hàm số? Tất cả những câu hỏi này có thể được kết hợp thành một: làm thế nào để hiểu đạo hàm?

Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm

Hãy để có một chức năng f(x) , được đưa ra trong một khoảng thời gian nào đó (a,b) . Các điểm x và x0 thuộc khoảng này. Khi x thay đổi, chức năng tự thay đổi. Thay đổi đối số - sự khác biệt của các giá trị của nó x-x0 . Sự khác biệt này được viết là đồng bằng x và được gọi là gia tăng đối số. Độ thay đổi hoặc số gia của hàm số là hiệu giữa các giá trị của hàm số tại hai điểm. Định nghĩa đạo hàm:

Đạo hàm của một hàm tại một điểm là giới hạn của tỷ lệ giữa số gia của hàm tại một điểm nhất định với số gia của đối số khi đối số có xu hướng bằng không.

Nếu không thì nó có thể được viết như thế này:

Điểm trong việc tìm kiếm một giới hạn như vậy là gì? Nhưng cái nào:

đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng tang của góc giữa trục OX và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: đạo hàm thời gian của đường đi bằng tốc độ của chuyển động thẳng.

Thật vậy, từ thời đi học, ai cũng biết tốc độ là con đường riêng. x=f(t) và thời gian t . Vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian nhất định:

Để biết vận tốc chuyển động tại một thời điểm t0 bạn cần tính giới hạn:

Quy tắc một: loại bỏ hằng số

Hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Hơn nữa, nó phải được thực hiện. Khi giải các ví dụ trong toán học, hãy coi như một quy tắc - nếu bạn có thể đơn giản hóa biểu thức, hãy chắc chắn đơn giản hóa .

Ví dụ. Hãy tính đạo hàm:

Quy tắc hai: đạo hàm của tổng các hàm

Đạo hàm của tổng hai hàm bằng tổng các đạo hàm của các hàm này. Điều này cũng đúng với đạo hàm của sự khác biệt của các hàm.

Chúng tôi sẽ không đưa ra bằng chứng cho định lý này, mà sẽ xem xét một ví dụ thực tế.

Tìm đạo hàm của hàm số:

Quy tắc ba: đạo hàm của tích các hàm

Đạo hàm của tích hai hàm khả vi được tính theo công thức:

Ví dụ: tìm đạo hàm của hàm số:

Giải pháp:

Ở đây, điều quan trọng là phải nói về cách tính đạo hàm của các hàm phức tạp. Đạo hàm của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm này đối với đối số trung gian bằng đạo hàm của đối số trung gian đối với biến độc lập.

Trong ví dụ trên, chúng ta gặp biểu thức:

Trong trường hợp này, đối số trung gian là 8x mũ 5. Để tính đạo hàm của một biểu thức như vậy, trước tiên chúng ta xét đạo hàm của hàm ngoài đối với đối số trung gian, sau đó nhân với đạo hàm của chính đối số trung gian đối với biến độc lập.

Quy tắc 4: Đạo hàm của thương của hai hàm số

Công thức xác định đạo hàm của một thương của hai hàm số:

Chúng tôi đã cố gắng nói về các công cụ phái sinh cho người giả từ đầu. Chủ đề này không đơn giản như vẻ ngoài của nó, vì vậy hãy lưu ý: thường có những cạm bẫy trong các ví dụ, vì vậy hãy cẩn thận khi tính toán đạo hàm.

Với bất kỳ câu hỏi nào về chủ đề này và các chủ đề khác, bạn có thể liên hệ với dịch vụ sinh viên. Trong một thời gian ngắn, chúng tôi sẽ giúp bạn giải quyết các nhiệm vụ kiểm soát và xử lý khó khăn nhất, ngay cả khi bạn chưa bao giờ xử lý việc tính toán các công cụ phái sinh trước đây.

Lập tỉ số và tính giới hạn.

đã làm ở đâu bảng đạo hàm và quy tắc vi phân? Nhờ một giới hạn duy nhất. Nó có vẻ giống như một phép thuật, nhưng trên thực tế - sự khéo léo của bàn tay và không có gian lận. tại buổi học Đạo hàm là gì? Tôi bắt đầu xem xét các ví dụ cụ thể, trong đó, sử dụng định nghĩa, tôi tìm thấy các đạo hàm của hàm tuyến tính và hàm bậc hai. Với mục đích khởi động nhận thức, chúng tôi sẽ tiếp tục làm phiền bảng đạo hàm, mài giũa thuật toán và các giải pháp kỹ thuật:

ví dụ 1

Trong thực tế, cần phải chứng minh một trường hợp đặc biệt của đạo hàm của hàm lũy thừa, thường xuất hiện trong bảng: .

Giải phápđược chính thức hóa về mặt kỹ thuật theo hai cách. Hãy bắt đầu với cách tiếp cận đầu tiên, vốn đã quen thuộc: bậc thang bắt đầu bằng một tấm ván và hàm đạo hàm bắt đầu bằng một đạo hàm tại một điểm.

Coi như một số(cụ thể) điểm thuộc về tên miền một hàm có đạo hàm. Đặt mức tăng tại thời điểm này (tất nhiên không ngoàio/o -TÔI) và soạn gia số tương ứng của hàm:

Hãy tính giới hạn:

Độ không đảm bảo 0:0 được loại bỏ bằng một kỹ thuật tiêu chuẩn được coi là có từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liền kề :

Kỹ thuật để giải một giới hạn như vậy được thảo luận chi tiết trong bài học giới thiệu. về giới hạn của hàm số.

Vì BẤT KỲ điểm nào của khoảng đều có thể được chọn là, nên bằng cách thay , ta được:

Trả lời

Một lần nữa, hãy vui mừng với logarit:

ví dụ 2

Tìm đạo hàm của hàm sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Giải pháp: hãy xem xét một cách tiếp cận khác để thúc đẩy cùng một nhiệm vụ. Nó hoàn toàn giống nhau, nhưng hợp lý hơn về mặt thiết kế. Ý tưởng là loại bỏ chỉ số ở đầu giải pháp và sử dụng chữ cái thay vì chữ cái .

Coi như Bất kỳđiểm thuộc về tên miền(interval ) và đặt số gia trong đó. Và ở đây, nhân tiện, như trong hầu hết các trường hợp, bạn có thể thực hiện mà không cần đặt trước, vì hàm logarit khả vi tại bất kỳ điểm nào trong miền xác định.

Sau đó, gia số chức năng tương ứng là:

Hãy tìm đạo hàm:

Sự dễ dàng của thiết kế được cân bằng bởi sự nhầm lẫn mà những người mới bắt đầu (và không chỉ) có thể gặp phải. Rốt cuộc, chúng ta đã quen với việc chữ “X” thay đổi theo giới hạn! Nhưng ở đây mọi thứ đều khác: - một bức tượng cổ, và - một vị khách còn sống, vui vẻ đi dọc hành lang của bảo tàng. Nghĩa là, “x” là “giống như một hằng số”.

Tôi sẽ bình luận về việc loại bỏ sự không chắc chắn từng bước:

(1) Chúng tôi sử dụng tính chất của logarit.

(2) Trong ngoặc, ta chia tử số cho mẫu số cho số hạng.

(3) Ở mẫu số, chúng ta nhân và chia một cách giả tạo cho "x" để tận dụng giới hạn tuyệt vời , trong khi như vô cùng nhỏđứng ra.

Trả lời: theo định nghĩa của đạo hàm:

Hoặc trong ngắn hạn:

Tôi đề xuất xây dựng độc lập hai công thức dạng bảng khác:

ví dụ 3

Trong trường hợp này, số gia được biên dịch ngay lập tức thuận tiện để giảm xuống mẫu số chung. Một mẫu gần đúng của bài tập ở cuối bài học (phương pháp đầu tiên).

Ví dụ 3:Giải pháp : xem xét một số điểm , thuộc phạm vi chức năng . Đặt mức tăng tại thời điểm này và soạn gia số tương ứng của hàm:

Hãy tìm đạo hàm tại một điểm :

Kể từ khi bạn có thể chọn bất kỳ điểm nào phạm vi chức năng , Cái đó Và
Trả lời : theo định nghĩa của đạo hàm

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Và ở đây mọi thứ phải được giảm xuống giới hạn tuyệt vời. Giải pháp được đóng khung theo cách thứ hai.

Tương tự, một số khác dẫn xuất dạng bảng. Bạn có thể tìm thấy danh sách đầy đủ trong sách giáo khoa ở trường, hoặc tập 1 của Fichtenholtz chẳng hạn. Tôi không thấy có ích gì khi viết lại từ sách và bằng chứng về các quy tắc của sự khác biệt - chúng cũng được tạo ra bởi công thức.

Ví dụ 4:Giải pháp , sở hữu , và thiết lập một gia số trong đó

Hãy tìm đạo hàm:

Tận dụng giới hạn tuyệt vời

Trả lời : ưu tiên

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm bằng cách sử dụng định nghĩa của một đạo hàm

Giải pháp: Sử dụng phong cách hình ảnh đầu tiên. Hãy xem xét một số điểm thuộc về , hãy đặt số gia của đối số trong đó. Sau đó, gia số chức năng tương ứng là:

Có lẽ một số độc giả vẫn chưa hiểu đầy đủ về nguyên tắc thực hiện gia tăng. Chúng tôi lấy một điểm (số) và tìm giá trị của hàm trong đó: , tức là vào hàm thay vì"x" nên được thay thế. Bây giờ chúng tôi cũng lấy một số rất cụ thể và cũng thay thế nó vào hàm thay vì"x": . Chúng tôi viết ra sự khác biệt, trong khi nó là cần thiết ngoặc đơn hoàn toàn.

Gia tăng chức năng tổng hợp nó có lợi để ngay lập tức đơn giản hóa. Để làm gì? Tạo thuận lợi và rút gọn nghiệm của giới hạn xa hơn.

Chúng tôi sử dụng công thức, mở ngoặc và giảm tất cả những gì có thể giảm:

Gà tây bị rút ruột, không có vấn đề gì với món nướng:

Vì bất kỳ số thực nào cũng có thể được chọn làm chất lượng, chúng tôi thực hiện thay thế và nhận được .

Trả lời: a-prior.

Đối với mục đích xác minh, chúng tôi tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc và bảng phân biệt:

Việc biết trước câu trả lời đúng luôn hữu ích và dễ chịu, vì vậy tốt hơn hết là bạn nên phân biệt chức năng được đề xuất một cách “nhanh chóng” trong đầu hoặc trên bản nháp ngay từ đầu giải pháp.

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của hàm số theo định nghĩa của đạo hàm

Đây là một ví dụ tự làm. Kết quả nằm trên bề mặt:

Ví dụ 6:Giải pháp : xem xét một số điểm , sở hữu và đặt số gia của đối số trong đó . Sau đó, gia số chức năng tương ứng là:


Hãy tính đạo hàm:


Như vậy:
Bởi vì như bất kỳ số thực nào cũng có thể được chọn Và
Trả lời : a-prior.

Hãy quay lại phong cách #2:

Ví dụ 7

Hãy tìm hiểu ngay những gì sẽ xảy ra. Qua quy tắc đạo hàm của hàm phức:

Giải pháp: xem xét một điểm tùy ý thuộc về , đặt số gia của đối số trong đó và soạn số gia của hàm:

Hãy tìm đạo hàm:


(1) Sử dụng công thức lượng giác .

(2) Dưới sin ta mở ngoặc, dưới cosin ta trình bày các số hạng tương tự.

(3) Theo sin ta rút gọn các số hạng, theo cosin ta chia tử số cho mẫu số theo số hạng.

(4) Do sin kỳ lạ, chúng tôi loại bỏ "điểm trừ". Theo cosin, chúng tôi chỉ ra rằng thuật ngữ .

(5) Chúng tôi nhân mẫu số một cách giả tạo để sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Do đó, sự không chắc chắn được loại bỏ, chúng tôi lược kết quả.

Trả lời: a-prior

Như bạn có thể thấy, khó khăn chính của vấn đề đang được xem xét nằm ở mức độ phức tạp của chính giới hạn + một chút độc đáo của cách đóng gói. Trong thực tế, cả hai phương pháp thiết kế đều gặp phải, vì vậy tôi mô tả cả hai phương pháp càng chi tiết càng tốt. Chúng tương đương nhau, tuy nhiên, theo ấn tượng chủ quan của tôi, sẽ tốt hơn nếu những người mới bắt đầu sử dụng tùy chọn đầu tiên với “X zero”.

Ví dụ 8

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số

Ví dụ 8:Giải pháp : xem xét một điểm tùy ý , sở hữu , hãy đặt một số gia trong đó và thực hiện một sự gia tăng của chức năng:

Hãy tìm đạo hàm:

Ta dùng công thức lượng giác và giới hạn đáng chú ý đầu tiên:


Trả lời : ưu tiên

Hãy phân tích một phiên bản hiếm hơn của vấn đề:

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm.

Đầu tiên, điểm mấu chốt nên là gì? Con số

Hãy tính toán câu trả lời theo cách tiêu chuẩn:

Giải pháp: từ quan điểm rõ ràng, nhiệm vụ này đơn giản hơn nhiều, vì thay vào đó, công thức xem xét một giá trị cụ thể.

Chúng tôi đặt một gia số tại điểm và soạn gia số tương ứng của hàm:

Tính đạo hàm tại một điểm:

Chúng tôi sử dụng một công thức rất hiếm cho sự khác biệt của tiếp tuyến và một lần nữa giảm giải pháp xuống giới hạn tuyệt vời đầu tiên:

Trả lời: theo định nghĩa của đạo hàm tại một điểm.

Nhiệm vụ này không quá khó để giải quyết và "nói chung" - nó đủ để thay thế bằng hoặc đơn giản, tùy thuộc vào phương pháp thiết kế. Tất nhiên, trong trường hợp này, bạn không nhận được một số, mà là một hàm đạo hàm.

Ví dụ 10

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm (một trong số đó có thể trở thành vô hạn), mà tôi đã nói một cách tổng quát về bài lý thuyết về đạo hàm.

Một số hàm số đã cho theo từng phần cũng khả vi tại các điểm “giao điểm” của đồ thị, ví dụ, con mèo-chó có một đạo hàm chung và một tiếp tuyến chung (trục hoành) tại điểm . Đường cong, có khả vi bởi! Những người muốn có thể tự xác minh điều này trên mô hình của ví dụ vừa được giải quyết.

©2015-2019 trang web
Tất cả các quyền thuộc về tác giả của họ. Trang web này không yêu cầu quyền tác giả, nhưng cung cấp quyền sử dụng miễn phí.
Ngày tạo trang: 2017-06-11

Trong bài toán B9, một đồ thị của hàm số hoặc đạo hàm được đưa ra, từ đó yêu cầu xác định một trong các đại lượng sau:

1. Giá trị của đạo hàm tại một số điểm x 0,
2. Điểm cao hay thấp (điểm cực trị),
3. Khoảng của các hàm tăng và giảm (khoảng của tính đơn điệu).

Các hàm và đạo hàm trình bày trong bài toán này luôn liên tục, giúp đơn giản hóa rất nhiều việc giải. Mặc dù thực tế là nhiệm vụ thuộc về phần phân tích toán học, nhưng nó hoàn toàn nằm trong khả năng của ngay cả những học sinh yếu nhất, vì ở đây không cần kiến ​​​​thức lý thuyết sâu.

Để tìm giá trị của đạo hàm, điểm cực trị và khoảng đơn điệu, có các thuật toán đơn giản và phổ quát - tất cả chúng sẽ được thảo luận bên dưới.

Đọc kỹ điều kiện của bài toán B9 để không mắc phải những lỗi ngu ngốc: đôi khi gặp phải những văn bản khá đồ sộ, nhưng có một số điều kiện quan trọng ảnh hưởng đến quá trình giải.

Tính giá trị của đạo hàm. Phương pháp hai điểm

Nếu đề bài cho một đồ thị của hàm số f(x), tiếp tuyến của đồ thị này tại một điểm x 0 , và yêu cầu tìm giá trị của đạo hàm tại điểm này, thuật toán sau sẽ được áp dụng:

1. Tìm hai điểm "thích hợp" trên đồ thị tiếp tuyến: tọa độ của chúng phải là số nguyên. Gọi các điểm này là A (x 1 ; y 1) và B (x 2 ; y 2). Viết chính xác tọa độ - đây là điểm mấu chốt của giải pháp và bất kỳ sai sót nào ở đây đều dẫn đến câu trả lời sai.
2. Biết tọa độ, ta dễ dàng tính được số gia của đối số Δx = x 2 − x 1 và số gia của hàm Δy = y 2 − y 1 .
3. Cuối cùng, chúng ta tìm được giá trị của đạo hàm D = Δy/Δx. Nói cách khác, bạn cần chia số gia của hàm cho số gia của đối số - và đây sẽ là câu trả lời.

Một lần nữa, chúng tôi lưu ý: các điểm A và B phải được tìm chính xác trên tiếp tuyến chứ không phải trên đồ thị của hàm f(x), như trường hợp thường xảy ra. Tiếp tuyến nhất thiết phải chứa ít nhất hai điểm như vậy, nếu không thì bài toán được xây dựng không chính xác.

Xét các điểm A (−3; 2) và B (−1; 6) và tìm số gia:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hãy tìm giá trị của đạo hàm: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Nhiệm vụ. Hình vẽ cho thấy đồ thị của hàm y \u003d f (x) và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ x 0. Tìm giá trị đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x 0 .

Xét các điểm A(0;3) và B(3;0), tìm số gia:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Bây giờ chúng ta tìm giá trị của đạo hàm: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Nhiệm vụ. Hình vẽ cho thấy đồ thị của hàm y \u003d f (x) và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ x 0. Tìm giá trị đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x 0 .

Xét các điểm A(0;2) và B(5;2) rồi tìm số gia:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Việc còn lại là tìm giá trị của đạo hàm: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Từ ví dụ vừa rồi, chúng ta có thể hình thành quy tắc: nếu tiếp tuyến song song với trục OX thì đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm bằng không. Trong trường hợp này, bạn không cần phải tính toán bất cứ điều gì - chỉ cần nhìn vào biểu đồ.

Tính điểm cao và điểm thấp

Đôi khi, thay vì đồ thị của một hàm số trong bài toán B9, một đồ thị đạo hàm được đưa ra và yêu cầu tìm điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số. Trong trường hợp này, phương pháp hai điểm là vô ích, nhưng có một thuật toán khác thậm chí còn đơn giản hơn. Đầu tiên, hãy xác định thuật ngữ:

1. Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn một lân cận nào đó của điểm này: f(x 0) ≥ f(x).
2. Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn một lân cận nào đó của điểm này: f(x 0) ≤ f(x).

Để tìm các điểm cực đại và cực tiểu trên đồ thị đạo hàm, chỉ cần thực hiện các bước sau là đủ:

1. Vẽ lại đồ thị đạo hàm, loại bỏ tất cả các thông tin không cần thiết. Như thực tế cho thấy, dữ liệu bổ sung chỉ can thiệp vào giải pháp. Do đó, chúng tôi đánh dấu các số 0 của đạo hàm trên trục tọa độ - và thế là xong.
2. Tìm ra các dấu hiệu của đạo hàm trên các khoảng giữa các số không. Nếu tại một điểm x 0 đã biết f'(x 0) ≠ 0 thì chỉ có hai phương án khả thi: f'(x 0) ≥ 0 hoặc f'(x 0) ≤ 0. Dấu của đạo hàm là Dễ dàng xác định từ cách vẽ ban đầu: nếu đồ thị đạo hàm nằm phía trên trục OX thì f'(x) ≥ 0. Ngược lại, nếu đồ thị đạo hàm nằm phía dưới trục OX thì f'(x) ≤ 0.
3. Chúng tôi kiểm tra lại các số 0 và dấu của đạo hàm. Trường hợp dấu thay đổi từ trừ sang cộng, có một điểm tối thiểu. Ngược lại, nếu dấu của đạo hàm thay đổi từ cộng sang trừ, đây là điểm cực đại. Việc đếm luôn được thực hiện từ trái sang phải.

Lược đồ này chỉ hoạt động đối với các hàm liên tục - không có hàm nào khác trong bài toán B9.

Nhiệm vụ. Hình bên là đồ thị đạo hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng [−5; 5]. Tìm điểm cực tiểu của hàm số f(x) trên đoạn này.

Hãy loại bỏ những thông tin không cần thiết - chúng ta sẽ chỉ để lại các đường viền [−5; 5] và các số 0 của đạo hàm x = −3 và x = 2,5. Cũng lưu ý các dấu hiệu:

Rõ ràng, tại điểm x = −3, dấu của đạo hàm thay đổi từ dấu trừ sang dấu cộng. Đây là điểm tối thiểu.

Nhiệm vụ. Hình bên là đồ thị đạo hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng [−3; 7]. Tìm điểm cực đại của hàm số f(x) trên đoạn này.

Hãy vẽ lại đồ thị, chỉ chừa lại các biên [−3; 7] và các số 0 của đạo hàm x = −1,7 và x = 5. Lưu ý các dấu của đạo hàm trên đồ thị kết quả. Chúng ta có:

Rõ ràng, tại điểm x = 5, dấu của đạo hàm thay đổi từ cộng sang trừ - đây là điểm cực đại.

Nhiệm vụ. Hình vẽ biểu diễn đồ thị đạo hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng [−6; 4]. Tìm số điểm cực đại của hàm số f(x) thuộc khoảng [−4; 3].

Từ các điều kiện của bài toán, chỉ cần xét phần đồ thị giới hạn bởi đoạn [−4; 3]. Do đó, chúng tôi xây dựng một biểu đồ mới, trên đó chúng tôi chỉ đánh dấu các ranh giới [−4; 3] và các số 0 của đạo hàm bên trong nó. Cụ thể, các điểm x = −3,5 và x = 2. Chúng tôi nhận được:

Trên đồ thị này chỉ có một điểm cực đại x = 2. Tại đó dấu của đạo hàm đổi từ cộng sang trừ.

Một lưu ý nhỏ về các điểm có tọa độ không nguyên. Ví dụ, trong bài toán trước, điểm x = −3,5 đã được xem xét, nhưng với thành công tương tự, chúng ta có thể lấy x = −3,4. Nếu vấn đề được xây dựng chính xác, những thay đổi như vậy sẽ không ảnh hưởng đến câu trả lời, vì các điểm "không có nơi cư trú cố định" không liên quan trực tiếp đến việc giải quyết vấn đề. Tất nhiên, với các số nguyên, mẹo như vậy sẽ không hoạt động.

Tìm khoảng tăng giảm của hàm số

Trong một vấn đề như vậy, giống như các điểm cực đại và cực tiểu, người ta đề xuất tìm các khu vực trong đó hàm tự tăng hoặc giảm từ đồ thị của đạo hàm. Trước tiên, hãy xác định tăng dần và giảm dần là gì:

1. Hàm số f(x) được gọi là tăng trên một đoạn nếu với hai điểm x 1 và x 2 bất kỳ thuộc đoạn này mệnh đề đúng: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Nói cách khác, giá trị của đối số càng lớn thì giá trị của hàm càng lớn.
2. Hàm số f(x) được gọi là giảm trên một đoạn nếu với hai điểm x 1 và x 2 bất kỳ thuộc đoạn này mệnh đề đúng: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Những thứ kia. giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.

Ta xây dựng điều kiện đủ để tăng và giảm:

1. Để một hàm liên tục f(x) tăng trên đoạn , chỉ cần đạo hàm của nó bên trong đoạn là dương, tức là f'(x) ≥ 0.
2. Để hàm liên tục f(x) giảm trên đoạn , chỉ cần đạo hàm của nó bên trong đoạn là âm, nghĩa là f'(x) ≤ 0.

Chúng tôi chấp nhận những khẳng định này mà không cần bằng chứng. Do đó, chúng tôi nhận được một lược đồ để tìm các khoảng tăng và giảm, theo nhiều cách tương tự như thuật toán tính điểm cực trị:

1. Loại bỏ tất cả các thông tin dư thừa. Trên đồ thị ban đầu của đạo hàm, chúng ta chủ yếu quan tâm đến các điểm không của hàm số, vì vậy chúng ta chỉ để lại chúng.
2. Đánh dấu các dấu hiệu của đạo hàm tại các khoảng giữa các số không. Trường hợp f'(x) ≥ 0 thì hàm tăng và trường hợp f'(x) ≤ 0 thì hàm giảm. Nếu vấn đề có các hạn chế đối với biến x, chúng tôi sẽ đánh dấu thêm chúng trên biểu đồ mới.
3. Bây giờ chúng ta đã biết hành vi của hàm và ràng buộc, việc còn lại là tính giá trị cần thiết trong bài toán.

Nhiệm vụ. Hình bên là đồ thị đạo hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng [−3; 7.5]. Tìm các khoảng của hàm số giảm f(x). Trong câu trả lời của bạn, hãy viết tổng các số nguyên có trong các khoảng này.

Như thường lệ, ta vẽ lại đồ thị và đánh dấu các ranh giới [−3; 7.5], cũng như các số 0 của đạo hàm x = −1,5 và x = 5,3. Sau đó, chúng tôi đánh dấu các dấu hiệu của đạo hàm. Chúng ta có:

Vì đạo hàm âm trên khoảng (−1,5), nên đây là khoảng của hàm giảm. Nó vẫn còn tính tổng tất cả các số nguyên nằm trong khoảng này:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Nhiệm vụ. Hình bên là đồ thị đạo hàm của hàm số f(x) xác định trên đoạn [−10; 4]. Tìm các khoảng của hàm số f(x) tăng. Trong câu trả lời của bạn, hãy viết độ dài của phần lớn nhất trong số chúng.

Hãy loại bỏ thông tin dư thừa. Chúng tôi chỉ để lại ranh giới [−10; 4] và các số 0 của đạo hàm, mà lần này hóa ra là bốn: x = −8, x = −6, x = −3 và x = 2. Lưu ý các dấu của đạo hàm và nhận được hình sau:

Chúng tôi quan tâm đến các khoảng của chức năng tăng dần, tức là trong đó f'(x) ≥ 0. Có hai khoảng như vậy trên đồ thị: (−8; −6) và (−3; 2). Hãy tính độ dài của chúng:
l 1 = −6−(−8) = 2;
l 2 = 2−(−3) = 5.

Vì cần phải tìm độ dài của khoảng lớn nhất trong các khoảng, nên chúng tôi viết giá trị l 2 = 5 trong phản hồi.