Khái niệm về chức năng là đặc điểm chính. Hàm bậc hai và bậc ba

Các tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa cho các giá trị khác nhau của số mũ được trình bày. Các công thức cơ bản, miền định nghĩa và tập hợp giá trị, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu, tăng giảm, cực trị, lồi, uốn, điểm giao nhau với trục tọa độ, giới hạn, giá trị cụ thể.

Công thức có hàm lũy thừa

Trên miền định nghĩa của hàm lũy thừa y = x p, các công thức sau đúng:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Tính chất của hàm lũy thừa và đồ thị của chúng

Hàm lũy thừa có số mũ bằng 0, p = 0

Nếu số mũ của hàm lũy thừa y = x p bằng 0, p = 0, thì hàm lũy thừa được xác định cho mọi x ≠ 0 và là hằng số bằng 1:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Hàm lũy thừa với số mũ lẻ tự nhiên, p = n = 1, 3, 5, ...

Xét hàm lũy thừa y = x p = x n với số mũ lẻ tự nhiên n = 1, 3, 5, ... . Chỉ báo này cũng có thể viết dưới dạng: n = 2k + 1, trong đó k = 0, 1, 2, 3, ... là số nguyên không âm. Dưới đây là các tính chất và đồ thị của các chức năng đó.

Đồ thị hàm lũy thừa y = x n với số mũ lẻ tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 1, 3, 5, ....

Lãnh địa: -∞ < x < ∞
Nhiều ý nghĩa: -∞ < y < ∞
Ngang bằng: lẻ, y(-x) = - y(x)
Giọng bằng bằng: tăng đơn điệu
Cực đoan: KHÔNG
lồi:
tại -∞< x < 0 выпукла вверх
lúc 0< x < ∞ выпукла вниз
Điểm biến đổi: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Hạn mức:
;
Giá trị riêng:
tại x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
Chức năng đảo ngược:
với n = 1, hàm số nghịch đảo của nó: x = y
với n ≠ 1, hàm nghịch đảo là nghiệm bậc n:

Hàm lũy thừa với số mũ chẵn tự nhiên, p = n = 2, 4, 6, ...

Xét hàm lũy thừa y = x p = x n với số mũ chẵn tự nhiên n = 2, 4, 6, ... . Chỉ tiêu này cũng có thể viết dưới dạng: n = 2k, trong đó k = 1, 2, 3, ... - tự nhiên. Các thuộc tính và đồ thị của các chức năng như vậy được đưa ra dưới đây.

Đồ thị của hàm lũy thừa y = x n với số mũ chẵn tự nhiên cho các giá trị khác nhau của số mũ n = 2, 4, 6, ....

Lãnh địa: -∞ < x < ∞
Nhiều ý nghĩa: 0 ≤ y< ∞
Ngang bằng: chẵn, y(-x) = y(x)
Giọng bằng bằng:
với x 0 giảm đơn điệu
với x ≥ 0 tăng đơn điệu
Cực đoan: tối thiểu, x = 0, y = 0
lồi: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: x = 0, y = 0
Hạn mức:
;
Giá trị riêng:
tại x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
tại x = 0, y(0) = 0 n = 0
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
Chức năng đảo ngược:
với n = 2, căn bậc hai:
với n ≠ 2, nghiệm bậc n:

Hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm, p = n = -1, -2, -3, ...

Xét hàm lũy thừa y = x p = x n với số mũ âm nguyên n = -1, -2, -3, ... . Nếu đặt n = -k, trong đó k = 1, 2, 3, ... là số tự nhiên thì có thể biểu diễn dưới dạng:

Đồ thị của hàm lũy thừa y = x n với số mũ nguyên âm cho các giá trị khác nhau của số mũ n = -1, -2, -3, ... .

Số mũ lẻ, n = -1, -3, -5, ...

Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm lẻ n = -1, -3, -5, ....

Lãnh địa: x ≠ 0
Nhiều ý nghĩa: y ≠ 0
Ngang bằng: lẻ, y(-x) = - y(x)
Giọng bằng bằng: giảm đơn điệu
Cực đoan: KHÔNG
lồi:
tại x< 0 : выпукла вверх
với x > 0: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: KHÔNG
Dấu hiệu:
tại x< 0, y < 0
với x > 0, y > 0
Hạn mức:
; ; ;
Giá trị riêng:
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
Chức năng đảo ngược:
khi n = -1,
tại n< -2 ,

Số mũ chẵn, n = -2, -4, -6, ...

Dưới đây là tính chất của hàm y = x n với số mũ âm chẵn n = -2, -4, -6, ....

Lãnh địa: x ≠ 0
Nhiều ý nghĩa: y > 0
Ngang bằng: chẵn, y(-x) = y(x)
Giọng bằng bằng:
tại x< 0 : монотонно возрастает
với x > 0: giảm đơn điệu
Cực đoan: KHÔNG
lồi: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: KHÔNG
Dấu hiệu: y > 0
Hạn mức:
; ; ;
Giá trị riêng:
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
Chức năng đảo ngược:
tại n = -2,
tại n< -2 ,

Hàm lũy thừa với số mũ hữu tỷ (phân số)

Xét hàm lũy thừa y = x p với số mũ hữu tỷ (phân số), trong đó n là số nguyên, m > 1 là số tự nhiên. Hơn nữa, n, m không có ước chung.

Mẫu số của chỉ số phân số là số lẻ

Đặt mẫu số của số mũ phân số là số lẻ: m = 3, 5, 7, ... . Trong trường hợp này, hàm lũy thừa x p được xác định cho cả giá trị dương và âm của đối số x. Chúng ta hãy xem xét các tính chất của các hàm lũy thừa như vậy khi số mũ p nằm trong giới hạn nhất định.

Giá trị p là âm, p< 0

Cho số mũ hữu tỉ (có mẫu số lẻ m = 3, 5, 7, ...) nhỏ hơn 0: .

Đồ thị hàm mũ với số mũ âm hợp lý cho các giá trị khác nhau của số mũ, trong đó m = 3, 5, 7, ... - lẻ.

Tử số lẻ, n = -1, -3, -5, ...

Chúng tôi trình bày các tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ âm hữu tỷ, trong đó n = -1, -3, -5, ... là số nguyên âm lẻ, m = 3, 5, 7 ... là một số nguyên âm số nguyên tự nhiên lẻ.

Lãnh địa: x ≠ 0
Nhiều ý nghĩa: y ≠ 0
Ngang bằng: lẻ, y(-x) = - y(x)
Giọng bằng bằng: giảm đơn điệu
Cực đoan: KHÔNG
lồi:
tại x< 0 : выпукла вверх
với x > 0: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: KHÔNG
Dấu hiệu:
tại x< 0, y < 0
với x > 0, y > 0
Hạn mức:
; ; ;
Giá trị riêng:
tại x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
Chức năng đảo ngược:

Tử số chẵn, n = -2, -4, -6, ...

Tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ âm hữu tỷ, trong đó n = -2, -4, -6, ... là số nguyên âm chẵn, m = 3, 5, 7 ... là số nguyên tự nhiên lẻ .

Lãnh địa: x ≠ 0
Nhiều ý nghĩa: y > 0
Ngang bằng: chẵn, y(-x) = y(x)
Giọng bằng bằng:
tại x< 0 : монотонно возрастает
với x > 0: giảm đơn điệu
Cực đoan: KHÔNG
lồi: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: KHÔNG
Dấu hiệu: y > 0
Hạn mức:
; ; ;
Giá trị riêng:
tại x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
với x = 1, y(1) = 1 n = 1
Chức năng đảo ngược:

Giá trị p là dương, nhỏ hơn một, 0< p < 1

Đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Tử số lẻ, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Lãnh địa: -∞ < x < +∞
Nhiều ý nghĩa: -∞ < y < +∞
Ngang bằng: lẻ, y(-x) = - y(x)
Giọng bằng bằng: tăng đơn điệu
Cực đoan: KHÔNG
lồi:
tại x< 0 : выпукла вниз
với x > 0: lồi hướng lên
Điểm biến đổi: x = 0, y = 0
Giao điểm với trục tọa độ: x = 0, y = 0
Dấu hiệu:
tại x< 0, y < 0
với x > 0, y > 0
Hạn mức:
;
Giá trị riêng:
tại x = -1, y(-1) = -1
tại x = 0, y(0) = 0
với x = 1, y(1) = 1
Chức năng đảo ngược:

Tử số chẵn, n = 2, 4, 6, ...

Trình bày các tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ hữu tỉ trong khoảng 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Lãnh địa: -∞ < x < +∞
Nhiều ý nghĩa: 0 ≤ y< +∞
Ngang bằng: chẵn, y(-x) = y(x)
Giọng bằng bằng:
tại x< 0 : монотонно убывает
với x > 0: tăng đơn điệu
Cực đoan: tối thiểu tại x = 0, y = 0
lồi: lồi hướng lên trên x ≠ 0
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: x = 0, y = 0
Dấu hiệu: với x ≠ 0, y > 0
Hạn mức:
;
Giá trị riêng:
tại x = -1, y(-1) = 1
tại x = 0, y(0) = 0
với x = 1, y(1) = 1
Chức năng đảo ngược:

Chỉ số p lớn hơn một, p > 1

Đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ hữu tỷ (p > 1) cho các giá trị khác nhau của số mũ, trong đó m = 3, 5, 7, ... - lẻ.

Tử số lẻ, n = 5, 7, 9, ...

Tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ hữu tỉ lớn hơn một: . Trong đó n = 5, 7, 9, ... - lẻ tự nhiên, m = 3, 5, 7 ... - lẻ tự nhiên.

Lãnh địa: -∞ < x < ∞
Nhiều ý nghĩa: -∞ < y < ∞
Ngang bằng: lẻ, y(-x) = - y(x)
Giọng bằng bằng: tăng đơn điệu
Cực đoan: KHÔNG
lồi:
tại -∞< x < 0 выпукла вверх
lúc 0< x < ∞ выпукла вниз
Điểm biến đổi: x = 0, y = 0
Giao điểm với trục tọa độ: x = 0, y = 0
Hạn mức:
;
Giá trị riêng:
tại x = -1, y(-1) = -1
tại x = 0, y(0) = 0
với x = 1, y(1) = 1
Chức năng đảo ngược:

Tử số chẵn, n = 4, 6, 8, ...

Tính chất của hàm lũy thừa y = x p với số mũ hữu tỉ lớn hơn một: . Trong đó n = 4, 6, 8, ... - chẵn tự nhiên, m = 3, 5, 7 ... - lẻ tự nhiên.

Lãnh địa: -∞ < x < ∞
Nhiều ý nghĩa: 0 ≤ y< ∞
Ngang bằng: chẵn, y(-x) = y(x)
Giọng bằng bằng:
tại x< 0 монотонно убывает
với x > 0 tăng đơn điệu
Cực đoan: tối thiểu tại x = 0, y = 0
lồi: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: x = 0, y = 0
Hạn mức:
;
Giá trị riêng:
tại x = -1, y(-1) = 1
tại x = 0, y(0) = 0
với x = 1, y(1) = 1
Chức năng đảo ngược:

Mẫu số của chỉ số phân số là số chẵn

Đặt mẫu số của số mũ phân số là số chẵn: m = 2, 4, 6, ... . Trong trường hợp này, hàm lũy thừa x p không được xác định cho các giá trị âm của đối số. Các thuộc tính của nó trùng với các thuộc tính của hàm lũy thừa có số mũ vô tỉ (xem phần tiếp theo).

Hàm lũy thừa với số mũ vô tỉ

Xét hàm lũy thừa y = x p với số mũ vô tỷ p. Thuộc tính của các hàm như vậy khác với các thuộc tính được thảo luận ở trên ở chỗ chúng không được xác định cho các giá trị âm của đối số x. Đối với các giá trị dương của đối số, các thuộc tính chỉ phụ thuộc vào giá trị của số mũ p và không phụ thuộc vào việc p là số nguyên, số hữu tỉ hay số vô tỷ.

y = x p cho các giá trị khác nhau của số mũ p.

Hàm lũy thừa với số mũ âm p< 0

Lãnh địa: x > 0
Nhiều ý nghĩa: y > 0
Giọng bằng bằng: giảm đơn điệu
lồi: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: KHÔNG
Hạn mức: ;
Ý nghĩa riêng: Với x = 1, y(1) = 1 p = 1

Hàm lũy thừa với số mũ dương p > 0

Chỉ số nhỏ hơn một 0< p < 1

Lãnh địa: x ≥ 0
Nhiều ý nghĩa: y ≥ 0
Giọng bằng bằng: tăng đơn điệu
lồi: lồi lên trên
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: x = 0, y = 0
Hạn mức:
Giá trị riêng: Với x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Với x = 1, y(1) = 1 p = 1

Chỉ số lớn hơn một p > 1

Lãnh địa: x ≥ 0
Nhiều ý nghĩa: y ≥ 0
Giọng bằng bằng: tăng đơn điệu
lồi: lồi xuống
Điểm biến đổi: KHÔNG
Giao điểm với trục tọa độ: x = 0, y = 0
Hạn mức:
Giá trị riêng: Với x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Với x = 1, y(1) = 1 p = 1

Người giới thiệu:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay toán học dành cho kỹ sư và sinh viên đại học, “Lan”, 2009.

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ ở Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Phần này chứa tài liệu tham khảo về các hàm cơ bản chính và các thuộc tính của chúng. Một sự phân loại các chức năng cơ bản được đưa ra. Dưới đây là các liên kết đến các tiểu mục thảo luận về các thuộc tính của các hàm cụ thể - đồ thị, công thức, đạo hàm, nguyên hàm (tích phân), khai triển chuỗi, biểu thức thông qua các biến phức.

Trang tham khảo cho các chức năng cơ bản

Phân loại các hàm cơ bản

hàm đại số là hàm số thỏa mãn phương trình:
,
ở đâu là đa thức của biến phụ thuộc y và biến độc lập x. Nó có thể được viết là:
,
đa thức ở đâu.

Các hàm đại số được chia thành đa thức (toàn bộ hàm hữu tỉ), hàm hữu tỉ và hàm vô tỉ.

Toàn bộ hàm hợp lý, cái này còn được gọi là đa thức hoặc đa thức, được lấy từ biến x và một số hữu hạn sử dụng các phép toán số học cộng (trừ) và nhân. Sau khi mở ngoặc, đa thức được rút gọn về dạng chính tắc:
.

Hàm hữu tỉ phân số, hoặc đơn giản hàm hợp lý, được lấy từ biến x và một số hữu hạn sử dụng các phép toán số học cộng (trừ), nhân và chia. Hàm hữu tỉ có thể được rút gọn về dạng
,
ở đâu và là đa thức.

Hàm số vô tỉ là một hàm đại số không hữu tỉ. Theo quy luật, hàm vô tỷ được hiểu là nghiệm và hợp của chúng với các hàm hữu tỉ. Căn bậc n được định nghĩa là nghiệm của phương trình
.
Nó được chỉ định như sau:
.

Chức năng siêu việtđược gọi là hàm phi đại số. Đây là các hàm số mũ, lượng giác, hyperbol và các hàm nghịch đảo của chúng.

Tổng quan về các hàm cơ bản cơ bản

Tất cả các hàm cơ bản có thể được biểu diễn dưới dạng một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân và chia được thực hiện trên một biểu thức có dạng:
zt.
Các hàm nghịch đảo cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit. Các chức năng cơ bản cơ bản được liệt kê dưới đây.

Chức năng điện:
y(x) = x p ,
trong đó p là số mũ. Nó phụ thuộc vào cơ sở của mức độ x.
Nghịch đảo của hàm lũy thừa cũng là hàm lũy thừa:
.
Đối với một giá trị nguyên không âm của số mũ p, nó là một đa thức. Đối với một giá trị số nguyên p - một hàm hữu tỷ. Với ý nghĩa hợp lý - một chức năng phi lý.

Chức năng siêu việt

Hàm số mũ:
y(x) = a x ,
trong đó a là cơ sở của bậc. Nó phụ thuộc vào số mũ x.
Hàm nghịch đảo là logarit cơ số a:
x = đăng nhập một y.

Số mũ, e lũy thừa x:
y(x) = e x ,
Đây là một hàm mũ có đạo hàm bằng chính hàm đó:
.
Cơ số của số mũ là số e:
≈ 2,718281828459045... .
Hàm nghịch đảo là logarit tự nhiên - logarit cơ số e:
x = ln y ≡ log e y.

Hàm lượng giác:
Sin: ;
cosin: ;
Đường tiếp tuyến: ;
Côtang: ;
Ở đây i là đơn vị ảo, i 2 = -1.

Hàm lượng giác nghịch đảo:
Arcsin: x = arcsin y, ;
Cung cosin: x = arccos y, ;
Arctang: x = arctan y, ;
Tiếp tuyến của cung: x = arcctg y, .

Để hiểu chủ đề này, chúng ta hãy xem xét một hàm được mô tả trên biểu đồ // Hãy chỉ ra cách đồ thị của hàm cho phép bạn xác định các thuộc tính của nó.

Hãy xem xét các thuộc tính của hàm bằng một ví dụ

Miền định nghĩa của hàm số là nhịp [ 3,5; 5,5].

Phạm vi giá trị của hàm là khoảng [ 1; 3].

1. Tại x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 thì giá trị của hàm số bằng 0.

Giá trị đối số mà tại đó giá trị hàm bằng 0 được gọi là hàm 0.

//những thứ kia. đối với hàm này, các số là -3;-1;1.5; 4,5 là số không.

2. Vào các khoảng thời gian [ 4.5; 3) và (1; 1.5) và (4.5; 5.5] đồ thị của hàm f nằm phía trên trục hoành, và trong các khoảng (-3; -1) và (1.5; 4.5) phía dưới trục hoành, điều này được giải thích như sau: trên các khoảng [ 4.5; 3) và (1; 1.5) và (4.5; 5.5] hàm lấy giá trị dương và trên các khoảng (-3; -1) và ( 1.5; 4.5) âm.

Mỗi khoảng được chỉ định (trong đó hàm lấy các giá trị cùng dấu) được gọi là khoảng dấu không đổi của hàm f.//i.e. ví dụ: nếu chúng ta lấy khoảng (0; 3), thì đó không phải là khoảng dấu không đổi của hàm này.

Trong toán học, khi tìm kiếm các khoảng dấu không đổi của hàm số, người ta thường chỉ ra các khoảng có độ dài tối đa. //Những thứ kia. khoảng (2; 3) là khoảng hằng số của dấu hiệu hàm f, nhưng câu trả lời phải bao gồm khoảng [ 4,5; 3) chứa khoảng (2; 3).

3. Nếu bạn di chuyển dọc theo trục x từ 4,5 đến 2, bạn sẽ nhận thấy đồ thị hàm số đi xuống, tức là các giá trị của hàm giảm xuống. // Trong toán học, người ta thường nói rằng trên khoảng [ 4,5; 2] chức năng giảm.

Khi x tăng từ 2 lên 0, đồ thị của hàm số cũng tăng lên, tức là các giá trị hàm tăng lên. // Trong toán học, người ta thường nói rằng trên khoảng [ 2; 0] chức năng tăng lên.

Hàm f được gọi nếu với hai giá trị bất kỳ của đối số x1 và x2 từ khoảng này sao cho x2 > x1, thì bất đẳng thức f (x2) > f (x1) đúng. // hoặc hàm được gọi tăng dần trong một khoảng thời gian nào đó, nếu đối với bất kỳ giá trị nào của đối số trong khoảng này, giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.//tức là. càng nhiều x thì càng nhiều y.

Hàm f được gọi là giảm dần trong một khoảng thời gian nào đó, nếu với hai giá trị bất kỳ của đối số x1 và x2 từ khoảng này sao cho x2 > x1, thì bất đẳng thức f(x2) đang giảm trên một khoảng nào đó, nếu với bất kỳ giá trị nào của đối số trong khoảng này thì giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm. //những thứ kia. x càng nhiều thì y càng ít.

Nếu một hàm tăng trên toàn bộ miền định nghĩa thì nó được gọi là tăng dần.

Nếu một hàm giảm trên toàn bộ miền định nghĩa thì nó được gọi là giảm dần.

Ví dụ 1.đồ thị hàm số tăng và giảm tương ứng.

Ví dụ 2.

Xác định hiện tượng. Hàm tuyến tính f(x) = 3x + 5 tăng hay giảm?

Bằng chứng. Hãy sử dụng các định nghĩa. Đặt x1 và x2 là giá trị tùy ý của đối số và x1< x2., например х1=1, х2=7

Chức năng và tính chất của chúng

Hàm là một trong những khái niệm toán học quan trọng nhất.Chức năng Người ta gọi đó là sự phụ thuộc của biến y vào biến x trong đó mỗi giá trị của biến x tương ứng với một giá trị duy nhất của biến y.

Biến đổi X gọi điện biến độc lập hoặc lý lẽ. Biến đổi Tại gọi điện biến phụ thuộc. Họ cũng nói rằngbiến y là hàm của biến x. Các giá trị của biến phụ thuộc được gọi làcác giá trị hàm.

Nếu sự phụ thuộc của biếnTại từ biếnX là một hàm thì có thể viết ngắn gọn như sau:y= f( x ). (Đọc:Tại bằngf từX .) Biểu tượngf( x) biểu thị giá trị của hàm tương ứng với giá trị của đối số bằngX .

Tất cả các giá trị của dạng biến độc lậpmiền của hàm . Tất cả các giá trị mà biến phụ thuộc có dạngphạm vi chức năng .

Nếu một hàm được chỉ định bởi một công thức và miền định nghĩa của nó không được chỉ định thì miền định nghĩa của hàm được coi là bao gồm tất cả các giá trị của đối số mà công thức có ý nghĩa.

Các phương pháp xác định hàm:

1.phương pháp phân tích (hàm được xác định bằng công thức toán học;

2. phương thức bảng (hàm được chỉ định bằng bảng)

3.phương pháp mô tả (chức năng được xác định bằng mô tả bằng lời nói)

4. Phương pháp đồ họa (hàm được xác định bằng đồ thị).

Đồ thị hàm số đặt tên cho tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng tọa độ, hoành độ của chúng bằng các giá trị của đối số và tọa độ - giá trị hàm tương ứng.

ĐẶC ĐIỂM CƠ BẢN CỦA CHỨC NĂNG

1. Số không của hàm

Số 0 của hàm là giá trị của đối số mà tại đó giá trị của hàm bằng 0.

2. Các khoảng dấu hằng số của hàm số

Các khoảng dấu hằng của hàm là tập hợp các giá trị đối số mà trên đó các giá trị của hàm chỉ dương hoặc chỉ âm.

3. Chức năng tăng (giảm).

Tăng dần trong một khoảng nhất định, hàm là hàm mà giá trị lớn hơn của đối số trong khoảng này tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.

Chức năng y = f ( x ) gọi điện tăng dần trên khoảng thời gian (MỘT; b ), nếu vì bất kỳ x 1 Và x 2 từ khoảng này sao chox 1 < x 2 , bất đẳng thức là đúngf ( x 1 )< f ( x 2 ).

Giảm dần trong một khoảng nhất định, hàm là hàm mà giá trị lớn hơn của đối số trong khoảng này tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.

Chức năng Tại = f ( x ) gọi điện giảm dần trên khoảng thời gian (MỘT; b ) , nếu vì bất kỳ x 1 Và x 2 từ khoảng này sao cho x 1 < x 2 , bất đẳng thức là đúngf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Hàm chẵn (lẻ)

Hàm chẵn - một hàm có miền định nghĩa đối xứng với gốc tọa độ và với bất kỳX từ miền định nghĩa sự bình đẳngf (- x ) = f ( x ) . Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua tọa độ.

Ví dụ: y = x 2 - hàm chẵn.

Hàm lẻ- một hàm có miền định nghĩa đối xứng với gốc tọa độ và với bất kỳ X từ miền định nghĩa thì đẳng thức là đúng f (- x ) = - f (x ). Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: y = x 3 - hàm lẻ .

Hàm có dạng tổng quát không chẵn hay lẻ (y = x 2 +x ).

Thuộc tính của một số chức năng và đồ họa của chúng

1. Hàm tuyến tính được gọi là hàm có dạng , Ở đâu k Và b – những con số

Miền định nghĩa của hàm tuyến tính là một tập hợpR số thực.

Đồ thị của hàm tuyến tínhTại = kx + b ( k ≠ 0) là đường thẳng đi qua điểm (0;b ) và song song với đường thẳngTại = kx .

Thẳng, không song song với trụcOU, là đồ thị của hàm tuyến tính.

Tính chất của hàm tuyến tính.

1. Khi nào k > 0 chức năng Tại = kx + b

2. Khi nào k < 0 chức năng y = kx + b giảm dần trong miền định nghĩa.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) là toàn bộ dòng số, tức là một loạtR số thực.

Tại k = 0 bộ giá trị hàmy = kx + b bao gồm một sốb .

3. Khi nào b = 0 và k = 0 hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Tại k = Hàm tuyến tính 0 có dạngy = b và tại b ≠ 0 nó thậm chí còn.

Tại k = 0 và b = Hàm tuyến tính 0 có dạngy = 0 vừa chẵn vừa lẻ.

Đồ thị của hàm tuyến tínhy = b là đường thẳng đi qua điểm (0; b ) và song song với trụcỒ. Lưu ý rằng khi b = 0 đồ thị hàm sốy = b trùng với trục Ồ .

5. Khi nào k > 0 chúng tôi có cái đó Tại> 0, nếu và Tại< 0 nếu . Tại k < 0 ta có y > 0 nếu và tại< 0, если .

2. Chức năng y = x 2

Rsố thực.

Đưa ra một biếnX một số giá trị từ miền của hàm và tính các giá trị tương ứngTại theo công thức y = x 2 , chúng ta vẽ đồ thị của hàm số.

Đồ thị của hàm số y = x 2 gọi điện parabol.

Tính chất của hàm số y = x 2 .

1. Nếu X= 0 thì y = 0, tức là Parabol có một điểm chung với các trục tọa độ (0; 0) - gốc tọa độ.

2. Nếu x ≠ 0 , Cái đó Tại > 0, tức là tất cả các điểm của parabol, ngoại trừ gốc tọa độ, đều nằm phía trên trục x.

3. Tập hợp giá trị hàmTại = X 2 là hàm nhịpTại = X 2 giảm đi.

3.Chức năng

Miền của hàm này là hàm spany = | x | giảm đi.

7. Hàm lấy giá trị nhỏ nhất tại điểmX, Nó bằng 0. Không có giá trị lớn nhất.

6. Chức năng

Phạm vi chức năng: .

Đồ thị là một cường điệu.

1. Số không của hàm.

y ≠ 0, không có số không.

2. Khoảng hằng số của dấu hiệu,

Nếu như k > 0 thì Tại> 0 tại X > 0; Tại < 0 при X < О.

Nếu như k < 0, то Tại < 0 при X > 0; Tại> 0 tại X < 0.

3. Khoảng tăng giảm.

Nếu như k > 0 thì hàm số giảm khi .

Nếu như k < 0, то функция возрастает при .

4. Hàm chẵn (lẻ).

Chức năng này là lẻ.

Tam thức vuông

Phương trình của dạng cây rìu 2 + bx + c = 0, ở đâu Một , b Và Với - một số con số vàa≠ 0, được gọi là quảng trường.

Trong một phương trình bậc haicây rìu 2 + bx + c = 0 hệ số MỘT gọi điện hệ số đầu tiên b - hệ số thứ hai, với - thành viên miễn phí.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là:

Biểu thức được gọi là phân biệt đối xử phương trình bậc hai và được ký hiệu làD .

Nếu như D = 0 thì chỉ có một số thỏa mãn phương trình cây rìu 2 + bx + c = 0. Tuy nhiên, chúng ta đồng ý nói rằng trong trường hợp này phương trình bậc hai có hai nghiệm thực bằng nhau và chính số đó gọi điện gốc kép.

Nếu như D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Nếu như D > 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm thực khác nhau.

Cho một phương trình bậc haicây rìu 2 + bx + c = 0. Vì a≠ 0, sau đó chia cả hai vế của phương trình này choMỘT, chúng ta có được phương trình . tin tưởng Và , chúng ta đi đến phương trình , trong đó hệ số thứ nhất bằng 1. Phương trình này được gọi làđược cho.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai trên là:

Phương trình dạng

MỘT x 2 + bx = 0, cây rìu 2 + s = 0, MỘT x 2 = 0

được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Các phương trình bậc hai không đầy đủ được giải bằng cách phân tích vế trái của phương trình.

Định lý Vieta .

Tổng các nghiệm của một phương trình bậc hai bằng tỷ số của hệ số thứ hai với hệ số thứ nhất, lấy dấu ngược lại và tích của các nghiệm là tỷ số của số hạng tự do với hệ số thứ nhất, tức là.

Định lý nghịch đảo.

Nếu tổng của hai số bất kỳX 1 Và X 2 tương đương với , và tích của chúng bằng nhau, thì những số này là nghiệm của phương trình bậc haiỒ 2 + b x + c = 0.

Chức năng của biểu mẫu Ồ 2 + b x + c gọi điện tam giác vuông. Nghiệm của hàm số này là nghiệm của phương trình bậc hai tương ứngỒ 2 + b x + c = 0.

Nếu phân biệt của một tam thức bậc hai lớn hơn 0 thì tam thức này có thể được biểu diễn dưới dạng:

Ồ 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Ở đâu X 1 Và X 2 - căn bậc ba

Nếu phân biệt của một tam thức bậc hai bằng 0 thì tam thức này có thể được biểu diễn dưới dạng:

Ồ 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Ở đâu X 1 - căn nguyên của tam thức.

Ví dụ, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Phương trình của dạng Ồ 4 + b X 2 + s= 0 được gọi là lưỡng phương. Sử dụng thay thế biến bằng công thứcX 2 = y nó rút gọn thành phương trình bậc haiMỘT y 2 + qua + c = 0.

hàm bậc hai

hàm bậc hai là một hàm có thể được viết bằng một công thức có dạngy = cây rìu 2 + bx + c , Ở đâu x - biến độc lập,Một , b Và c - một số con số vàMột ≠ 0.

Các tính chất của hàm và loại đồ thị của nó được xác định chủ yếu bởi các giá trị của hệ sốMột và phân biệt đối xử.

Tính chất của hàm bậc hai

Lãnh địa:R;

Phạm vi giá trị:

Tại MỘT > 0 [- D/(4 Một); ∞)

Tại MỘT < 0 (-∞; - D/(4 Một)];

Chẵn lẻ:

Tại b = 0 hàm chẵn

Tại b ≠ Hàm số 0 không chẵn cũng không lẻ

Tại D> 0 hai số không: ,

Tại D= 0 một không:

Tại D < 0 нулей нет

Khoảng thời gian ký hiệu không đổi:

nếu a > 0, D> 0 thì

nếu a > 0, D= 0 thì

e nếu a > 0, D < 0, то

nếu một< 0, D> 0 thì

nếu một< 0, D= 0 thì

nếu một< 0, D < 0, то

- Khoảng thời gian đơn điệu

với a > 0

tại một< 0

Đồ thị của hàm số bậc hai làparabol - Đường cong đối xứng với đường thẳng , đi qua đỉnh của parabol (đỉnh của parabol là giao điểm của parabol với trục đối xứng).

Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai, bạn cần:

1) tìm tọa độ đỉnh của parabol và đánh dấu nó trong mặt phẳng tọa độ;

2) dựng thêm một số điểm thuộc parabol;

3) nối các điểm đã đánh dấu bằng một đường thẳng.

Tọa độ đỉnh của parabol được xác định theo công thức:

; .

Chuyển đổi đồ thị hàm số

1. Kéo dài nghệ thuật đồ họay = x 2 dọc theo trụcTại V.|a| lần (vào lúc|a| < 1 là nén của 1/|a| một lần).

Nếu và< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси X (các nhánh của parabol sẽ hướng xuống dưới).

Kết quả: đồ thị của hàm sốy = à 2 .

2. Chuyển song song đồ họa chức năngy = à 2 dọc theo trụcX TRÊN| tôi | (ở bên phải khi

tôi > 0 và sang trái khiT< 0).

Kết quả: đồ thị hàm sốy = a(x - t) 2 .

3. Chuyển song song đồ họa chức năng dọc theo trụcTại TRÊN| N | (lên lúcp> 0 trở xuống tạiP< 0).

Kết quả: đồ thị hàm sốy = a(x - t) 2 + tr.

bất đẳng thức bậc hai

Bất đẳng thức về hình thứcỒ 2 + b x + c > 0 vàỒ 2 + bx + c< 0, ở đâuX - Biến đổi,Một , b VàVới - một số con số vàa≠ 0 được gọi là bất đẳng thức bậc hai một biến.

Giải bất đẳng thức bậc hai trong một biến có thể được coi là tìm các khoảng trong đó hàm bậc hai tương ứng nhận giá trị dương hoặc âm.

Để giải bất phương trình có dạngỒ 2 + bx + c > 0 vàỒ 2 + bx + c< 0 tiến hành như sau:

1) tìm phân biệt của tam thức bậc hai và tìm hiểu xem tam thức có nghiệm hay không;

2) nếu tam thức có nghiệm thì đánh dấu chúng trên trụcX và thông qua các điểm được đánh dấu, một hình parabol được vẽ dưới dạng sơ đồ, các nhánh của nó hướng lên trênMỘT > 0 hoặc giảm khiMỘT< 0; nếu tam thức không có nghiệm thì vẽ sơ đồ một parabol nằm ở nửa mặt phẳng trên tạiMỘT > 0 hoặc thấp hơn tạiMỘT < 0;

3) tìm thấy trên trụcX các khoảng mà các điểm của parabol nằm phía trên trụcX (nếu giải bất đẳng thứcỒ 2 + bx + c > 0) hoặc dưới trụcX (nếu giải bất đẳng thứcỒ 2 + bx + c < 0).

Ví dụ:

Hãy giải bất đẳng thức .

Hãy xem xét chức năng

Đồ thị của nó là một parabol, các nhánh của nó hướng xuống dưới (vì ).

Hãy tìm hiểu vị trí của đồ thị so với trụcX. Hãy giải phương trình này . Chúng tôi hiểu điều đóx = 4. Phương trình có một nghiệm duy nhất. Điều này có nghĩa là parabol chạm vào trụcX.

Bằng cách mô tả sơ đồ một parabol, chúng ta thấy rằng hàm lấy giá trị âm cho bất kỳX, ngoại trừ 4.

Câu trả lời có thể được viết như thế này:X - bất kỳ số nào không bằng 4.

Giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng

sơ đồ giải pháp

1. Tìm số không hàm ở vế trái của bất đẳng thức.

2. Đánh dấu vị trí các số 0 trên trục số và xác định bội số của chúng (Nếu nhưk Tôi là số chẵn thì số 0 là bội số chẵn nếuk Tôi lẻ là lẻ).

3. Tìm dấu của hàm số trong các khoảng giữa các số 0 của nó, bắt đầu từ khoảng ngoài cùng bên phải: trong khoảng này hàm số ở vế trái của bất đẳng thức luôn dương đối với dạng bất đẳng thức đã cho. Khi chuyển từ phải sang trái qua số 0 của hàm từ khoảng này sang khoảng liền kề, cần tính đến:

nếu số 0 là số lẻ bội số, dấu của hàm số thay đổi,

nếu số 0 là số chẵn bội số thì dấu của hàm số được giữ nguyên.

4. Viết ra câu trả lời.

Ví dụ:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Đã tìm thấy số 0 của hàm. Họ đều bình đẳng:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.