Xây dựng biểu đồ với các ví dụ về mô-đun. Biểu đồ hàm tuyến tính với các mô-đun

Dựng đồ thị hàm số chứa dấu của môđun.

Tôi hy vọng bạn đã nghiên cứu kỹ điểm 23 và hiểu được sự khác biệt giữa chức năng xem và chức năng . Bây giờ chúng ta hãy xem thêm một vài ví dụ sẽ giúp ích cho bạn khi vẽ biểu đồ.

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số

Chúng tôi có một chức năng của hình thức , trong đó .

1. Đầu tiên chúng ta xây dựng một đồ thị của một hàm con, tức là một hàm số. Để làm điều này, chọn phần nguyên của phân số này. Tôi xin nhắc bạn rằng điều này có thể được thực hiện theo hai cách: bằng cách chia tử số cho mẫu số “trong một cột” hoặc bằng cách tô màu tử số sao cho một biểu thức xuất hiện trong đó là bội số của mẫu số. Hãy chọn toàn bộ phần theo cách thứ hai.

Vậy hàm mô đun con có dạng . Do đó, đồ thị của nó là một hyperbola có dạng dịch chuyển 1 đơn vị sang phải và 3 đơn vị lên trên.

Hãy xây dựng biểu đồ này.

2. Để có được đồ thị của hàm số như mong muốn, cần giữ nguyên phần đồ thị của hàm số nằm phía trên trục Ox và phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox phải được biểu diễn đối xứng ở phía trên. nửa mặt phẳng. Hãy thực hiện các phép biến đổi này.

Biểu đồ đã được xây dựng.

Độ lớn của giao điểm của đồ thị với trục x có thể được tính bằng cách giải phương trình

y = 0, tức là . Chúng tôi nhận được điều đó.

Giờ đây, theo đồ thị, bạn có thể xác định tất cả các tính chất của hàm số, tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên khoảng, giải toán với một tham số.

Ví dụ, bạn có thể trả lời câu hỏi này. “Đối với những giá trị nào của tham số một phương trình có đúng một nghiệm?

Hãy vẽ thẳng y=một cho các giá trị khác nhau của tham số một. (các đường mảnh màu đỏ trong hình sau)

Người ta thấy rằng nếu một<0 thì đồ thị hàm số dựng được và đường thẳng không có điểm chung, nghĩa là phương trình không có nghiệm duy nhất.

Nếu một 0< một<3 hoặc a>3, thì đường thẳng y=một và đồ thị dựng được có hai điểm chung tức là phương trình có hai nghiệm.

Nếu một = 0 hoặc một = 3 thì phương trình có đúng một nghiệm vì với các giá trị này mộtĐường thẳng và đồ thị hàm số có đúng một điểm chung.

ví dụ 2 Vẽ một chức năng

Dung dịch

Trước tiên chúng ta hãy dựng đồ thị của hàm số đối với các giá trị không âm của x. Nếu , thì hàm của chúng ta cũng có dạng , và hàm mong muốn là một hàm có dạng .

Đồ thị của hàm số là nhánh của parabol “hướng” sang trái, dịch đi 4 đơn vị bên phải. (Vì chúng ta có thể tưởng tượng ).

Hãy vẽ đồ thị hàm này

và chúng tôi sẽ chỉ xem xét phần đó của nó, nằm ở bên phải trục Oy. Chúng tôi sẽ xóa phần còn lại.

Xin lưu ý rằng chúng tôi đã tính toán giá trị của tọa độ của điểm biểu đồ nằm trên trục y. Để làm được điều này, chỉ cần tính giá trị của hàm tại x = 0 là đủ. Trong trường hợp của chúng ta, tại x = 0được y=2.

Bây giờ hãy vẽ đồ thị hàm cho X< 0 . Để làm điều này, chúng ta sẽ dựng một đường đối xứng với đường mà chúng ta đã dựng, so với trục Oy.

Như vậy, ta đã xây dựng được đồ thị của hàm mong muốn.

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số

Đây không còn là một nhiệm vụ dễ dàng. Chúng tôi thấy rằng cả hai loại chức năng với một mô-đun đều có mặt ở đây: and , and . Hãy xây dựng theo thứ tự:

Trước tiên, hãy vẽ đồ thị hàm không có tất cả các mô-đun: Sau đó, thêm mô-đun cho mỗi đối số. Chúng tôi nhận được một chức năng của hình thức, tức là. Để xây dựng một biểu đồ như vậy, bạn cần áp dụng phép đối xứng quanh trục Oy. Hãy thêm một mô-đun bên ngoài. Cuối cùng, chúng tôi nhận được chức năng mong muốn . Vì hàm này được lấy từ hàm trước đó bằng cách sử dụng một mô-đun bên ngoài, nên chúng ta có một hàm có dạng , có nghĩa là cần phải áp dụng tính đối xứng đối với Ox.

Bây giờ nhiều hơn.

Đây là một hàm tuyến tính phân số, để dựng đồ thị, bạn cần chọn phần nguyên, chúng ta sẽ thực hiện.

Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm này là một hyperbola có dạng dịch chuyển 2 sang phải và 4 xuống dưới.

Hãy tính tọa độ giao điểm với các trục tọa độ.

y = 0 tại x = 0 nên đồ thị đi qua gốc tọa độ.

2. Bây giờ hãy vẽ đồ thị của hàm.

Để thực hiện việc này, trong biểu đồ ban đầu, trước tiên hãy xóa phần nằm ở bên trái của trục Oy:

, sau đó hiển thị đối xứng qua trục Oy. Xin lưu ý rằng các đường tiệm cận cũng được hiển thị đối xứng!

Bây giờ hãy dựng đồ thị cuối cùng của hàm số: . Để làm điều này, chúng tôi sẽ giữ nguyên phần của biểu đồ trước đó nằm phía trên trục Ox và phần bên dưới trục Ox chúng tôi sẽ hiển thị đối xứng trong nửa mặt phẳng trên. Một lần nữa, đừng quên rằng các tiệm cận được hiển thị cùng với đồ thị!

Biểu đồ đã được xây dựng.

Ví dụ 4: Sử dụng các phép biến đổi đồ thị khác nhau, vẽ đồ thị hàm số

Một cái gì đó hoàn toàn xoắn và phức tạp! Hàng tấn mô-đun! Và hình vuông x không có mô đun!!! Không thể xây dựng được!

Bằng cách này hay cách khác, một học sinh trung bình lớp 8, không quen với kỹ thuật lập biểu đồ, có thể tranh luận.

Nhưng không phải chúng tôi! Bởi vì chúng ta biết NHIỀU cách KHÁC BIỆT để biến đổi đồ thị hàm số và chúng ta cũng biết các thuộc tính khác nhau của mô-đun.

Vì vậy, hãy bắt đầu theo thứ tự.

Vấn đề đầu tiên là thiếu một mô-đun cho x bình phương. Không vấn đề gì. Chúng ta biết rằng . Tốt. Vì vậy, chức năng của chúng tôi có thể được viết là . Điều này đã tốt hơn rồi, vì có vẻ như .

Xa hơn. Hàm này có một mô-đun bên ngoài, vì vậy có vẻ như bạn sẽ phải sử dụng các quy tắc để vẽ đồ thị hàm. Hãy xem biểu thức mô đun con là gì. Đây là một chức năng của hình thức . Nếu không có -2, thì hàm sẽ lại chứa một mô-đun bên ngoài và chúng ta biết cách vẽ đồ thị của hàm sử dụng đối xứng. A ha! Nhưng sau cùng, nếu chúng ta xây dựng nó, sau đó dịch chuyển nó xuống 2 đơn vị, chúng ta sẽ có được thứ mình đang tìm kiếm!

Vì vậy, một cái gì đó đang bắt đầu xuất hiện. Hãy thử tạo một thuật toán để vẽ biểu đồ.

1.

5. Và cuối cùng . Mọi thứ nằm bên dưới trục Ox sẽ được hiển thị đối xứng ở nửa mặt phẳng trên.

Hoan hô! Lịch trình đã sẵn sàng!

Chúc may mắn với công việc lập biểu đồ chăm chỉ của bạn!

bảng điểm

1 Hội nghị khoa học và thực tiễn khu vực về công tác giáo dục và nghiên cứu của học sinh lớp 6-11 "Các câu hỏi cơ bản và ứng dụng của toán học" Các khía cạnh phương pháp học toán Xây dựng đồ thị hàm chứa mô-đun Gabova Anzhela Yurievna, lớp 10, MOBU "Nhà thi đấu 3 " Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, giáo viên toán, MOBU "Nhà thi đấu 3", Kudymkar, Perm, 2016

2 Nội dung: Mở đầu...3 tr. I. Phần chính... 6 tr 1.1Nền tảng lịch sử.. 6 tr. 2.Định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm số tr. ​​.8 tr 2.3 Hàm phân số hữu tỉ 8 tr. 3. Thuật toán vẽ đồ thị theo mô đun 9 trang 3.1 Xác định mô đun .. 9 trang trong công thức "mô đun lồng nhau".10 trang 3.4 Thuật toán vẽ đồ thị hàm số y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 trang 3.5 Thuật toán vẽ đồ thị của hàm số bậc hai theo modulo.14 trang 3.6 Thuật toán vẽ đồ thị của hàm số phân thức theo modulo. 15p. 4. Sự thay đổi của đồ thị hàm số bậc hai tùy thuộc vào vị trí của dấu giá trị tuyệt đối ..17str. II. Kết luận... 26 tr III. Danh mục tài liệu tham khảo và nguồn...27 tr IV. Ứng dụng....28p. 2

3 Giới thiệu Đồ thị hàm số là một trong những chủ đề thú vị nhất trong toán học phổ thông. Nhà toán học lớn nhất của thời đại chúng ta, Israel Moiseevich Gelfand, đã viết: “Quá trình vẽ đồ thị là một cách biến các công thức và mô tả thành hình ảnh hình học. Biểu đồ này là một phương tiện để xem các công thức và hàm và xem các hàm này thay đổi như thế nào. Ví dụ: nếu y \u003d x 2 được viết, thì bạn sẽ thấy ngay một hình parabol; nếu y = x 2-4, bạn sẽ thấy một hình parabol hạ thấp bốn đơn vị; nếu y \u003d - (x 2 4), thì bạn sẽ thấy parabol trước đó bị quay xuống. Khả năng nhìn thấy công thức cùng một lúc và cách giải thích hình học của nó không chỉ quan trọng đối với việc nghiên cứu toán học mà còn đối với các môn học khác. Đó là một kỹ năng sẽ theo bạn suốt đời, giống như học đi xe đạp, đánh máy hoặc lái ô tô." Những điều cơ bản về giải phương trình với các mô-đun đã có được ở lớp 6 lớp 7. Tôi chọn chủ đề đặc biệt này vì tôi tin rằng nó cần được nghiên cứu sâu hơn và kỹ lưỡng hơn. Tôi muốn có thêm kiến ​​thức về mô đun của một số, các cách khác nhau để vẽ đồ thị chứa dấu của giá trị tuyệt đối. Khi các phương trình “tiêu chuẩn” của đường thẳng, parabola, hyperbolas bao gồm dấu hiệu của mô đun, đồ thị của chúng trở nên khác thường và thậm chí còn đẹp. Để tìm hiểu cách xây dựng các biểu đồ như vậy, bạn cần nắm vững các kỹ thuật xây dựng các số liệu cơ bản, cũng như nắm chắc và hiểu định nghĩa về mô đun của một số. Trong khóa học toán ở trường, đồ thị với một mô-đun không được xem xét đủ sâu, đó là lý do tại sao tôi muốn mở rộng kiến ​​​​thức của mình về chủ đề này để thực hiện nghiên cứu của riêng mình. Không biết định nghĩa của mô-đun, không thể xây dựng ngay cả biểu đồ đơn giản nhất chứa giá trị tuyệt đối. Một tính năng đặc trưng của đồ thị hàm chứa biểu thức có dấu mô-đun, 3

4 là sự hiện diện của các đường gấp khúc tại những điểm mà tại đó biểu thức dưới ký hiệu mô-đun đổi dấu. Mục đích của công việc: xem xét việc xây dựng đồ thị của các hàm hữu tỷ tuyến tính, bậc hai và phân số chứa một biến dưới dấu mô-đun. Nhiệm vụ: 1) Nghiên cứu tài liệu về tính chất giá trị tuyệt đối của hàm số tuyến tính, bậc hai và phân số. 2) Khảo sát sự thay đổi của đồ thị hàm số phụ thuộc vào vị trí của dấu giá trị tuyệt đối. 3) Học vẽ đồ thị phương trình. Đối tượng nghiên cứu: đồ thị của hàm số hữu tỉ tuyến tính, bậc hai và phân số. Đối tượng nghiên cứu: sự thay đổi trong đồ thị của các hàm hữu tỷ tuyến tính, bậc hai và phân số tùy thuộc vào vị trí của dấu giá trị tuyệt đối. Ý nghĩa thực tiễn của công việc của tôi nằm ở chỗ: 1) sử dụng kiến ​​​​thức thu được về chủ đề này, cũng như đào sâu và áp dụng nó cho các hàm và phương trình khác; 2) trong việc sử dụng các kỹ năng nghiên cứu trong các hoạt động giáo dục tiếp theo. Mức độ liên quan: Các bài tập vẽ đồ thị theo truyền thống là một trong những chủ đề khó nhất trong toán học. Sinh viên tốt nghiệp của chúng tôi phải đối mặt với vấn đề vượt qua thành công GIA và Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước. Vấn đề nghiên cứu: vẽ đồ thị các hàm chứa dấu mô đun từ phần thứ hai của GIA. Giả thuyết nghiên cứu: việc vận dụng phương pháp giải các bài tập phần 2 GIA được xây dựng trên cơ sở các phương pháp chung xây dựng đồ thị hàm số chứa dấu của học phần sẽ cho phép sinh viên giải các bài tập này 4

5 trên cơ sở tỉnh táo, lựa chọn phương pháp giải hợp lý nhất, áp dụng các phương pháp giải khác nhau và vượt qua GIA thành công hơn. Phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong công việc: 1. Phân tích tài liệu toán học và tài nguyên Internet về chủ đề này. 2. Tái hiện sinh sản tư liệu đã học. 3. Hoạt động tìm kiếm nhận thức. 4. Phân tích, so sánh dữ liệu để tìm giải pháp cho vấn đề. 5. Tuyên bố các giả thuyết và xác minh của họ. 6. So sánh và khái quát hóa các dữ kiện toán học. 7. Phân tích kết quả thu được. Khi viết tác phẩm này, các nguồn sau đã được sử dụng: tài nguyên Internet, bài kiểm tra OGE, tài liệu toán học. 5

6 I. Phần chính 1.1 Bối cảnh lịch sử. Vào nửa đầu thế kỷ 17, khái niệm hàm bắt đầu hình thành như là sự phụ thuộc của một biến này vào một biến khác. Vì vậy, các nhà toán học người Pháp Pierre Fermat () và Rene Descartes () đã tưởng tượng một hàm như là một sự phụ thuộc của hoành độ của một điểm đường cong trên trục hoành của nó. Còn nhà bác học người Anh Isaac Newton ( ) hiểu hàm số là tọa độ của một điểm chuyển động thay đổi theo thời gian. Thuật ngữ "hàm" (từ hiệu suất hàm Latinh, hoa hồng) lần đầu tiên được giới thiệu bởi nhà toán học người Đức Gottfried Leibniz (). Ông đã liên kết một chức năng với một hình ảnh hình học (đồ thị của một chức năng). Sau đó, nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli () và là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ 18 Leonard Euler () coi hàm là một biểu thức giải tích. Euler cũng có cách hiểu chung về một hàm là sự phụ thuộc của một biến vào một biến khác. Từ "mô-đun" xuất phát từ từ "mô-đun" trong tiếng Latinh, có nghĩa là "đo lường" trong bản dịch. Đây là một từ đa giá trị (từ đồng âm) có nhiều nghĩa và không chỉ được sử dụng trong toán học mà còn trong kiến ​​​​trúc, vật lý, kỹ thuật, lập trình và các ngành khoa học chính xác khác. Trong kiến ​​trúc, đây là đơn vị đo lường ban đầu được thiết lập cho một cấu trúc kiến ​​trúc nhất định và được sử dụng để thể hiện nhiều tỷ lệ của các yếu tố cấu thành nó. Trong kỹ thuật, đây là một thuật ngữ được sử dụng trong các lĩnh vực công nghệ khác nhau, không có ý nghĩa chung và dùng để biểu thị các hệ số và đại lượng khác nhau, ví dụ: mô đun tương tác, mô đun đàn hồi, v.v. 6

7 Mô đun khối (trong vật lý) là tỷ số giữa ứng suất pháp tuyến trong vật liệu với độ giãn dài tương đối. 2.Các định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm số Hàm số là một trong những khái niệm toán học quan trọng nhất. Một hàm là một sự phụ thuộc của biến y vào biến x, trong đó mỗi giá trị của biến x tương ứng với một giá trị duy nhất của biến y. Các cách thiết lập chức năng: 1) phương pháp phân tích (chức năng được thiết lập bằng công thức toán học); 2) phương pháp dạng bảng (chức năng được chỉ định bằng cách sử dụng bảng); 3) phương pháp mô tả (chức năng được đưa ra bằng cách mô tả bằng lời nói); 4) phương pháp đồ họa (hàm được thiết lập bằng đồ thị). Đồ thị của một hàm là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng tọa độ, các trục hoành bằng với giá trị của đối số và các tọa độ bằng với các giá trị tương ứng của hàm. 2.1 Hàm bậc hai Hàm được xác định bởi công thức y=ax 2 +in+c, trong đó x và y là các biến, và các tham số a, b và c là các số thực bất kỳ và a = 0, được gọi là hàm bậc hai. Đồ thị của hàm y \u003d ax 2 + in + c là một parabola; trục đối xứng của parabol y \u003d ax 2 + in + c là một đường thẳng, với a > 0 các “nhánh” của parabol hướng lên trên, với a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (đối với hàm một biến). Thuộc tính chính của các hàm tuyến tính là số gia của hàm tỷ lệ với số gia của đối số. Đó là, chức năng là một tổng quát của tỷ lệ thuận trực tiếp. Đồ thị của một hàm tuyến tính là một đường thẳng, do đó tên của nó. Điều này liên quan đến một hàm thực của một biến thực. 1) Tại , đường thẳng tạo một góc nhọn với chiều dương của trục hoành. 2) Khi , đường thẳng tạo một góc tù với chiều dương của trục hoành. 3) là một chỉ báo về tọa độ của giao điểm của đường thẳng với trục y. 4) Khi , đường thẳng đi qua gốc tọa độ. , 2.3 Hàm phân số hữu tỷ là một phân số có tử số và mẫu số là các đa thức. Nó có dạng ở đâu, đa thức với số biến bất kỳ. Các hàm hữu tỷ của một biến là một trường hợp đặc biệt: ở đâu và là các đa thức. 1) Mọi biểu thức có thể nhận được từ các biến bằng bốn phép tính số học là một hàm hữu tỷ. tám

9 2) Tập xác định của hàm hữu tỉ đóng dưới các phép toán số học và phép hợp thành. 3) Bất kỳ hàm hữu tỷ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản - điều này được sử dụng trong tích hợp phân tích .., 3. Các thuật toán để xây dựng đồ thị với một mô-đun nếu a âm. a = 3.2 Thuật toán dựng đồ thị của hàm tuyến tính có mô đun Để vẽ đồ thị của hàm y= x, bạn cần biết rằng với x dương ta có x = x. Điều này có nghĩa là đối với các giá trị dương của đối số thì đồ thị y=x trùng với đồ thị y=x, tức là phần đồ thị này là một tia ló ra khỏi gốc tọa độ một góc 45 độ so với tia x- trục. cho x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Để dựng, ta lấy điểm (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) . Bây giờ hãy dựng đồ thị y= x-1 Nếu A là điểm trên đồ thị y= x có tọa độ (a; a) thì điểm trên đồ thị y= x-1 có cùng giá trị của hoành độ Y sẽ là điểm A1 (a+1; a). Điểm này của đồ thị thứ hai có thể lấy được từ điểm A(a; a) của đồ thị thứ nhất bằng cách dịch chuyển song song với trục Ox sang phải. Điều này có nghĩa là toàn bộ đồ thị của hàm số y= x-1 nhận được từ đồ thị của hàm số y= x bằng cách dịch chuyển song song với trục Ox sang phải một góc 1. Hãy xây dựng đồ thị: y= x-1 Để xây dựng, ta lấy điểm (-2;3) (-1;2)(0;1)(1;0)(2;1) . 3.3 Xây dựng đồ thị của các hàm chứa "mô-đun lồng nhau" trong công thức Hãy xem xét thuật toán xây dựng bằng một ví dụ cụ thể.

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Ta dựng đồ thị của hàm số. 2. Biểu diễn đồ thị của nửa mặt phẳng dưới lên trên đối xứng qua trục OX ta được đồ thị của hàm số. mười một

12 3. Vẽ đồ thị hàm số đối xứng qua trục OX ta được đồ thị hàm số. 4. Hiển thị đồ thị của hàm số đối xứng qua trục OX và được đồ thị của hàm số 5. ​​Hiển thị đồ thị của hàm số đối với trục OX và được đồ thị. 12

13 6. Kết quả là đồ thị của hàm số như hình 3.4. Thuật toán xây dựng đồ thị hàm số dạng y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. Trong ví dụ trước, thật dễ dàng để mở rộng các ký hiệu mô-đun. Nếu có nhiều tổng mô-đun hơn, thì sẽ có vấn đề khi xem xét tất cả các tổ hợp có thể có của các dấu của biểu thức mô-đun con. Làm thế nào chúng ta có thể vẽ đồ thị của chức năng trong trường hợp này? Lưu ý rằng đồ thị là một đa tuyến, với các đỉnh tại các điểm có hoành độ -1 và 2. Với x = -1 và x = 2, các biểu thức mô đun con bằng 0. Theo một cách thực tế, chúng tôi đã tiếp cận quy tắc xây dựng các đồ thị như vậy: Đồ thị của hàm số có dạng y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b là một đa tuyến có vô số liên kết cực trị. Để xây dựng một đa tuyến như vậy, chỉ cần biết tất cả các đỉnh của nó (các trục hoành của đỉnh là các số 0 của các biểu thức mô đun con) và mỗi điểm kiểm soát trên các liên kết vô hạn bên trái và bên phải. 13

14 Nhiệm vụ. Vẽ đồ thị hàm số y = x + x 1 + x + 1 và tìm giá trị nhỏ nhất của nó. Lời giải: 1. Số 0 của các biểu thức môđun con: 0; -một; Đa tuyến đỉnh(0;2); (-13); (1; 3) (các số 0 của biểu thức mô đun con được thế vào phương trình) Ta xây dựng đồ thị (Hình 7), giá trị nhỏ nhất của hàm số là Thuật toán vẽ đồ thị hàm số bậc hai với học phần Vẽ thuật toán chuyển đồ thị hàm số. 1. Dựng đồ thị của hàm số y= f(x). Theo định nghĩa của mô-đun, chức năng này được phân tách thành một bộ gồm hai chức năng. Do đó, đồ thị của hàm số y= f(x) gồm hai đồ thị: y= f(x) thuộc nửa mặt phẳng bên phải, y= f(-x) thuộc nửa mặt phẳng bên trái. Dựa trên điều này, chúng ta có thể xây dựng một quy tắc (thuật toán). Đồ thị của hàm số y= f(x) nhận được từ đồ thị của hàm số y= f(x) như sau: tại x 0 đồ thị được giữ nguyên, và tại x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Để dựng đồ thị của hàm số y= f(x), trước tiên bạn phải vẽ đồ thị của hàm số y= f(x) với x > 0, sau đó với x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Để có được đồ thị này, chỉ cần dịch đồ thị thu được trước đó sang phải ba đơn vị là đủ. Lưu ý rằng nếu mẫu số của phân số là x + 3, thì chúng ta sẽ dịch chuyển đồ thị sang bên trái: Bây giờ chúng ta cần nhân tất cả các tung độ với hai để được đồ thị của hàm Cuối cùng, chúng ta dịch chuyển đồ thị lên hai đơn vị : Điều cuối cùng còn lại để chúng ta làm là vẽ đồ thị của hàm đã cho nếu nó được đặt dưới dấu của mô đun. Để làm điều này, chúng tôi phản ánh đối xứng lên trên toàn bộ phần của biểu đồ, tọa độ của phần đó là âm (phần nằm bên dưới trục x): Hình4 16

17 4. Sự biến đổi của đồ thị hàm số bậc hai phụ thuộc vào vị trí của dấu giá trị tuyệt đối. Vẽ đồ thị hàm y \u003d x 2 - x -3 1) Vì x \u003d x tại x 0 nên đồ thị cần vẽ trùng với parabol y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. Nếu x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Do đó, tôi hoàn thành cho x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Hình. 4 Đồ thị của hàm số y \u003d f (x) trùng với đồ thị của hàm số y \u003d f (x) trên tập giá trị không âm của đối số và đối xứng với nó qua y -axis trên tập giá trị âm của đối số. Chứng minh: Nếu x 0 thì f(x) = f(x), tức là. trên tập giá trị không âm của đối số thì đồ thị của các hàm số y = f(x) và y = f(x) trùng nhau. Vì y \u003d f (x) là hàm chẵn nên đồ thị của nó đối xứng với HĐH. Do đó, đồ thị của hàm y \u003d f (x) có thể được lấy từ đồ thị của hàm y \u003d f (x) như sau: 1. vẽ đồ thị hàm y \u003d f (x) cho x>0; 2. Cho x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Cho x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Nếu x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 và phần phản xạ đối xứng y \u003d f (x) tại y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, sau đó f (x) \u003d f (x), có nghĩa là trong phần này, đồ thị của hàm y \u003d f (x) trùng với đồ thị của chính hàm y \u003d f (x). Nếu f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Hình5 Kết luận: Vẽ đồ thị của hàm y= f(x) 1. Vẽ đồ thị của hàm y=f(x) ; 2. Trong những miền mà đồ thị nằm ở nửa mặt phẳng dưới, tức là nơi f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Công trình nghiên cứu về vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối và các ví dụ đã xem xét trước đó, chúng tôi vẽ đồ thị hàm số: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \u003d x 2-2 và đưa ra kết luận. Để dựng đồ thị của hàm số y = f(x) cần: 1. Dựng đồ thị của hàm số y = f(x) với x>0. 2. Xây dựng phần thứ hai của biểu đồ, tức là phản ánh đối xứng biểu đồ đã xây dựng đối với HĐH, bởi vì hàm này chẵn. 3. Các đoạn của đồ thị thu được nằm ở nửa mặt phẳng dưới nên chuyển về nửa mặt phẳng trên đối xứng qua trục OX. Dựng đồ thị của hàm số y \u003d 2 x - 3 (phương pháp xác định môđun lần 1) X< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, với x>0 b) với x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) cho x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Ta dựng đường thẳng đối xứng với đường thẳng đã dựng đối với trục OS. 3) Các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dưới biểu diễn đối xứng qua trục OX. So sánh cả hai biểu đồ, chúng tôi thấy rằng chúng giống nhau. 21

22 Các dạng bài toán Ví dụ 1. Xét đồ thị của hàm số y = x 2 6x +5. Vì x là bình phương nên bất kể dấu của số x sau khi bình phương nó sẽ dương. Từ đó, đồ thị của hàm y \u003d x 2-6x +5 sẽ giống với đồ thị của hàm y \u003d x 2-6x +5, tức là đồ thị của hàm không chứa dấu giá trị tuyệt đối (Hình 2). Hình.2 Ví dụ 2. Xét đồ thị của hàm y \u003d x 2 6 x +5. Sử dụng định nghĩa mô đun của một số, chúng tôi thay thế công thức y \u003d x 2 6 x +5 Bây giờ chúng tôi đang xử lý một phép gán phụ thuộc từng phần mà chúng tôi đã biết rõ. Chúng tôi sẽ xây dựng một biểu đồ như thế này: 1) xây dựng một parabol y \u003d x 2-6x +5 và khoanh tròn phần đó của nó, đó là 22

23 tương ứng với các giá trị x không âm, tức là phần bên phải của trục y. 2) trong cùng một mặt phẳng tọa độ, chúng ta dựng một parabol y \u003d x 2 +6x +5 và khoanh tròn phần tương ứng với các giá trị âm của x, tức là phần bên trái của trục y. Các phần được khoanh tròn của các parabol cùng nhau tạo thành đồ thị của hàm y \u003d x 2-6 x +5 (Hình 3). Hình 3 Ví dụ 3. Xét đồ thị của hàm y \u003d x 2-6 x +5. Tại vì đồ thị của phương trình y \u003d x 2 6x +5 giống như đồ thị của hàm không có dấu mô đun (xét trong ví dụ 2), suy ra đồ thị của hàm y \u003d x 2 6 x +5 giống hệt với đồ thị của hàm y \u003d x 2 6 x +5 , được xem xét trong ví dụ 2 (Hình 3). Ví dụ 4. Hãy dựng đồ thị của hàm số y \u003d x 2 6x +5. Để làm điều này, chúng tôi xây dựng đồ thị của hàm y \u003d x 2-6x. Để có được đồ thị của hàm y \u003d x 2-6x từ nó, bạn cần thay thế từng điểm của parabola bằng một tọa độ âm bằng một điểm có cùng trục hoành nhưng có tọa độ ngược lại (dương). Nói cách khác, phần của hình parabol nằm bên dưới trục x phải được thay thế bằng một đường đối xứng qua trục x. Tại vì chúng ta cần dựng đồ thị của hàm số y \u003d x 2-6x +5, khi đó đồ thị của hàm số mà chúng ta đã xét y \u003d x 2-6x chỉ cần nâng dọc theo trục y thêm 5 đơn vị (Hình . 4). 23

24 Hình.4 Ví dụ 5. Hãy dựng đồ thị của hàm y \u003d x 2-6x + 5. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng hàm piecewise nổi tiếng. Tìm các điểm không của hàm y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 tại. Xét hai trường hợp: 1) Nếu thì phương trình có dạng y = x 2 6x -5. Hãy dựng hình parabol này và khoanh tròn phần đó ở đâu. 2) Nếu thì phương trình có dạng y \u003d x 2 + 6x +5. Hãy dựng hình parabol này và khoanh tròn phần đó của nó, nằm ở bên trái của điểm có tọa độ (Hình 5). 24

25 Fig.5 Ví dụ6. Hãy vẽ đồ thị hàm y \u003d x 2 6 x +5. Để làm điều này, chúng ta sẽ vẽ đồ thị hàm y \u003d x 2-6 x +5. Chúng tôi đã vẽ đồ thị này trong Ví dụ 3. Vì hàm số của chúng tôi hoàn toàn nằm dưới dấu mô-đun nên để vẽ đồ thị hàm số y \u003d x 2 6 x +5, bạn cần từng điểm của đồ thị hàm số y \u003d x 2 6 x + 5 có hoành độ âm, hãy thay thế bằng một điểm có cùng hoành độ, nhưng có hoành độ ngược lại (dương), tức là phần của hình parabol nằm bên dưới trục Ox phải được thay thế bằng một đường đối xứng với trục Ox (Hình 6). Hình6 25

26 II.Kết luận "Thông tin toán học chỉ có thể được sử dụng một cách khéo léo và có lợi nếu nó được làm chủ một cách sáng tạo, sao cho học sinh tự nhận thấy cách có thể tiếp cận nó một cách độc lập." MỘT. Kolmogorov. Những nhiệm vụ này rất được học sinh lớp 9 quan tâm, vì chúng rất phổ biến trong các bài kiểm tra OGE. Khả năng xây dựng các đồ thị hàm này sẽ cho phép bạn vượt qua kỳ thi thành công hơn. Các nhà toán học người Pháp Pierre Fermat () và Rene Descartes () đã tưởng tượng một hàm như là một sự phụ thuộc của hoành độ của một điểm đường cong trên trục hoành của nó. Còn nhà bác học người Anh Isaac Newton ( ) hiểu hàm số là tọa độ của một điểm chuyển động thay đổi theo thời gian. 26

27 III.Danh mục và nguồn tài liệu tham khảo 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Tuyển tập các bài toán đại số lớp 8 9: Proc. trợ cấp cho học sinh đi học. và các lớp có sự khắc sâu. nghiên cứu Toán 2nd ed. M.: Khai sáng, Dorofeev G.V. Toán học. Đại số học. Chức năng. Phân tích dữ liệu. Lớp 9: m34 Proc. cho các nghiên cứu giáo dục phổ thông. quản lý tái bản lần 2, khuôn mẫu. M.: Bustard, Solomonik V.S. Tuyển tập các câu hỏi và bài toán trong toán học M.: "Trường trung học", Yashchenko I.V. GIA. Toán học: các phương án thi điển hình: Về các phương án.m.: "Giáo dục Quốc dân", tr. 5. Yashchenko I.V. OGE. Toán học: các phương án thi điển hình: Về các phương án.m.: "Giáo dục Quốc dân", tr. 6. Yashchenko I.V. OGE. Toán học: các phương án thi điển hình: Về các phương án.m.: "Giáo dục Quốc dân", tr.

28 Phụ lục 28

29 Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 8 x Lời giải. Hãy để chúng tôi xác định tính chẵn lẻ của chức năng. Giá trị của y(-x) giống với giá trị của y(x), vì vậy hàm này là số chẵn. Khi đó đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy. Chúng tôi xây dựng đồ thị của hàm y \u003d x 2 8x + 12 cho x 0 và hiển thị đồ thị đối xứng với Oy cho x âm (Hình 1). Ví dụ 2. Đồ thị sau có dạng y \u003d x 2 8x Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số thu được như sau: các em dựng đồ thị của hàm số y \u003d x 2 8x + 12, bỏ phần đồ thị nằm phía trên trục Ox không thay đổi và phần của biểu đồ nằm dưới trục hoành, được hiển thị đối xứng với trục Ox (Hình 2). Ví dụ 3. Để vẽ đồ thị hàm y \u003d x 2 8 x + 12, người ta thực hiện tổ hợp các phép biến đổi: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Trả lời : Hình 3. Ví dụ 4 Biểu thức đứng dưới dấu môđun, đổi dấu tại điểm x=2/3. tại x<2/3 функция запишется так: 29

30 Với x>2/3, hàm sẽ được viết như sau: Tức là điểm x=2/3 chia mặt phẳng tọa độ của chúng ta thành hai miền, trong đó một miền (bên phải) chúng ta xây dựng hàm và trong miền khác (ở bên trái) đồ thị của hàm Chúng tôi xây dựng: Ví dụ 5 Tiếp theo, đồ thị cũng bị phá vỡ, nhưng có hai điểm dừng, vì nó chứa hai biểu thức dưới các dấu hiệu mô-đun:

31 Mở rộng các môđun trên khoảng thứ nhất: Trên khoảng thứ hai: Trên khoảng thứ ba: Như vậy, trên khoảng (- ; 1,5] ta có đồ thị viết bởi phương trình thứ nhất, trên khoảng viết bởi phương trình thứ hai, và trên khoảng )